민들레 구

기하학에서 Dandelin 구들은 평면과 면과 교차하는 원뿔에 모두 접하는 한두 개의 구이다. 원추와 평면의 교차점은 원추형이며, 어느 한쪽 구가 평면에 닿는 지점은 원추형의 초점이기 때문에 민들레인 구는 초점형이라고도 불린다.^[1]

민들레 구들은 1822년에 발견되었다.^[1][2] 그들은 프랑스 수학자 게르미날 피에르 민들레에게 경의를 표하며 이름 지어졌지만, 아돌프 퀘틀레에게도 부분적인 공로가 주어지기도 한다.^[3][4][5]

민들레 구들은 페르가의 아폴로니우스에게 알려진 두 가지 고전적 이론의 우아한 현대적 증거를 제공하는 데 사용될 수 있다. 첫 번째 정리는 닫힌 원뿔 부분(즉 타원)이 두 고정점(초점)까지의 거리의 합이 일정하게 되는 점의 중심점이라는 것이다. 두 번째 정리는 어떤 원뿔 단면의 경우, 고정점으로부터의 거리(초점)는 고정선(직격)으로부터의 거리에 비례하는 것으로, 편심이라고 하는 비례의 상수다.^[6]

원뿔 부분은 각각의 초점마다 하나의 Dandelin 구체가 있다. 안 타원은 두 개의 민들레 구가 원뿔의 같은 나페에 닿고, 하이퍼볼라는 두 개의 민들레 구가 반대편 나페에 닿는다. 포물선은 단 하나의 민들레 구를 가지고 있다.

교차로 곡선에 초점을 맞출 거리의 일정 합계가 있다는 증거

꼭대기에 꼭지점 S가 있는 원뿔을 묘사하는 그림을 생각해 보라. 평면 e는 곡선 C(파란색 내부)에서 원뿔을 교차한다. 다음 증거는 C 곡선이 타원임을 보여야 한다.

두 개의 갈색 민들레 구인 G와₁ G는₂ 평면과 원뿔 둘 다에 접해 있다: G는₁ 평면 위에, G는₂ 아래쪽에 있다. 각$$ 구체는 원(색깔 흰색), ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$

G₁ by F로₁ 평면의 접선점을 나타내며₂, G와₂ F에 대해서도 유사하게 P를 곡선 C의 전형적인 점으로 한다.

증명할 대상: The sum of distances ${\displaystyle d(P,F_{1})+d(P,F_{2})}$ remains constant as the point P moves along the intersection curve C. (This is one definition of C being an ellipse, with ${\displaystyle F_{1}}$ and ${\displaystyle F_{2}}$ being its foci.)

• 원뿔의 P와 정점 S를 통과하는 선은 두₁ 원과 교차하며, P와₂ P 지점에서 각각₁ G와₂ G에 닿는다.
• P가 커브를 돌면 P와₁ P가₂ 두 원을 따라 움직이며 거리 d(P₁, P₂)는 일정하게 유지된다.
• 선 세그먼트 PF와₁ PP는₁ 모두 동일한 구체 G에₁ 접하기 때문에 P에서 F까지의₁ 거리는 P에서 P까지의₁ 거리와 동일하다.
• 대칭적 논거에 의해 P에서₂ F까지의 거리는 P에서₂ P까지의 거리와 같다.
• Consequently, we compute the sum of distances as ${\displaystyle d(P,F_{1})+d(P,F_{2})\ =\ d(P,P_{1})+d(P,P_{2})\ =\ d(P_{1},P_{2}),}$ which is constant as P moves along the curve.

이것은 페르가의 아폴로니우스가 정리되었다는 다른 증거를 준다.^[6]

d(F₁, P) + d(F₂, P) = 상수처럼 P 점의 위치를 의미하는 타원을 정의한다면, 위의 인수는 교차 곡선 C가 실제로 타원임을 증명한다. 원뿔이 있는 평면의 교차점이 F와₁ F를₂ 통과하는 선의 수직 이등분선에 대해 대칭적이라는 것은 직관에 반할 수 있지만, 이 주장을 통해 분명히 알 수 있다.

이 주장의 적응은 원뿔이 있는 평면의 교차점으로서 하이퍼볼라와 파라볼라에게 효과가 있다. 또 다른 적응은 오른쪽 원형 실린더를 가진 평면의 교차점으로서 실현된 타원에 작용한다.

포커스-디렉트릭스 속성 증명

원뿔 부분의 다이렉트릭스는 Dandelin의 구조를 사용하여 찾을 수 있다. 각 Dandelin 구체는 원뿔을 원을 그리며 교차한다; 이 원들이 그들 자신의 평면을 정의하도록 한다. 원뿔 섹션의 평면과 이 두 개의 평행 평면의 교차점은 두 개의 평행선이 될 것이다. 이 선들은 원뿔 섹션의 직교선이다. 그러나 포물선은 단 하나의 Dandelin 구체만을 가지고 있으므로 단 하나의 다이렉트릭스만을 가지고 있다.

Dandelin 구를 사용하면 어떤 원뿔 부분이든 점으로부터의 거리(초점)가 다이렉트릭스로부터의 거리와 비례하는 점들의 중심점임을 증명할 수 있다.^[7] 알렉산드리아의 파푸스 같은 고대 그리스 수학자들은 이 속성을 알고 있었지만, Dandelin 구들은 증거를 용이하게 한다.^[6]

Dandelin이나 Quetlette 모두 Dandelin 구를 사용하여 포커스-디렉트릭스 특성을 증명하지 않았다. 가장 먼저 그렇게 한 것은 1829년의 피어스 모튼일 수도 있고,^[8] 또는 (1758년) 원뿔 부분의 평면과의 교차점이 다이렉트릭스인 평면을 정의하는 원뿔에 구가 닿았다고 말한 휴 해밀턴일 수도 있다.^{[1][9][10][11]} 포커스-디렉트릭스 속성은 천문학적 물체가 태양 주위의 원뿔 부분을 따라 움직인다는 간단한 증거를 제공하는 데 사용될 수 있다.^[12]

메모들

외부 링크

• 홉 데이비드의 민들레 구 페이지
• Weisstein, Eric W. "Dandelin Spheres". MathWorld.
• 민들레 구에 관한 수학 학원 페이지
• Les théoremes believe by Xavier Hubaut (프랑스어)