조합

수학에서 조합(合合, )은 서로 다른 구성원을 갖는 집합에서 항목을 선택하는 것으로, 순열과는 달리 선택 순서가 중요하지 않습니다.예를 들어, 사과, 오렌지, 배 등 세 가지 과일이 주어졌을 때, 이 세트에서 추출할 수 있는 두 가지 조합은 사과와 배, 사과와 오렌지, 또는 배와 오렌지의 세 가지입니다.좀 더 형식적으로, 집합 S의 k-조합은 S의 k개의 서로 다른 원소들의 부분집합이므로, 각각의 조합이 동일한 원소를 갖는 경우에만 두 조합이 동일합니다. (각 집합의 원소들의 배열은 중요하지 않습니다.)집합에 n개의 요소가 있는 경우, C $C(n,k)$ ) $C(n,k)$ {\ $displaystyle$ C $(n,k)}$ $C_{k}^{n}$ $C_{k}^{n}$ {\ $displaystyle C_{$ k}^{ $n$ 로 표시되는 k-조합의 수는 이항 계수와 같습니다.

{\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\nb(n-k+1)}{k(k-1)\nb1}},

$\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ ! $\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ ! ( $\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ - $\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ ) ! ${\$ {\ $frac {n!$ $} {k!(n-k)!$ $}}}$ k $k\leq n$ $k\leq n$ ${\displaystyle$ k $\leq$ n $k\leq n$ 일 $k\leq n$ 마다, k $k>n$ > $k>n$ ${\displaystyle$ k> $n$ 일 때 0입니다. 이 공식은 n개의 멤버로 이루어진 집합 S의 각 k-조합이 k $!$ {\ $displaystyle$ k $!}$ 개의 순열을 $P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!$ $P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!$ $P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!$ n $=$ $C$ k $n$ × $P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!$ k $!$ {\ $displaystyle P_{k}^{n}$ $=$ C_{k $}^{n$ }\ $C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!$ k $C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!$ {\ $displaystyle C_{k}^{n$ } $=$ P_{ $k}^{{$ k}^{{}} $n}/k$ ^[1]집합 S의 모든 k-조합의 집합은 종종 ( $\textstyle {\binom {S}{k}}$ {\ $displaystyle \textstyle$ {\ $binom {S}{k$ 로 $\textstyle {\binom {S}{k}}$ 표시됩니다.

조합은 반복하지 않고 한 번에 k개의 것을 조합한 것입니다.반복이 허용되는 조합을 지칭하기 위해 k-조합과 반복, k-다중 ^[2]집합 또는 ^[3]k-선택이라는 용어가 자주 ^[4]사용됩니다.만약 위의 예에서, 어떤 한 종류의 과일이라도 두 개를 먹을 수 있다면, 두 개의 사과, 두 개의 오렌지, 그리고 두 개의 배와 같은 세 개의 두 가지 선택이 더 있을 것입니다.

비록 3개의 과일 세트가 전체 조합 목록을 작성할 만큼 충분히 작았지만, 이것은 세트의 크기가 증가함에 따라 실용적이지 않게 됩니다.예를 들어, 포커 핸드는 52 카드 덱(n = 52)의 카드들의 5-조합(k = 5)으로 묘사될 수 있습니다.손의 5장의 카드는 모두 다르며, 손에 든 카드의 순서는 상관없습니다.이러한 조합은 2,598,960개이며 임의로 한 손을 그릴 확률은 1/2,598,960입니다.

k-조합횟수

n개 요소의 주어진 집합 S에서 k-조합의 수는 종종 C $C(n,k)$ ) $C(n,k)$ {\ $displaystyle$ C $(n,k$ $C(n,k)$ $C_{k}^{n}$ ${\$ ${}_{n}C_{k}$ ${}_{n}C_{k}$ {\ $displaystyle {}_{n}C_{k$ ${}^{n}C_{k}$ ${}^{n}C_{k}$ {\ $displaystyle {}^{n}C_{k$ , $C_{n,k}$ k {\ $displaystyle C_{n,$ k $C_{n,k}$ }, $C_{n}^{k}$ $C_{n}^{k}$ {\ $displaystyle$ C_{n}{ $n$ }와 $C_{n,k}$ $C_{k}^{n}$ 으로 표시됩니다 $.$ $}^{k}}($ ^[5]마지막 형식은 프랑스어, 루마니아어, 러시아어^[6]^[7], 중국어 및 폴란드어^{[citation needed]} 텍스트에서 표준 형식입니다.)그러나 동일한 숫자는 다른 많은 수학적 맥락에서 발생하며, 이는 ( ${\tbinom {n}{k}}$ k ${\tbinom {n}{k}}$ {\ $displaystyle$ {\ $tbinom {n}{k}}($ 흔히 "n choose k"로 읽힙니다 ${\tbinom {n}{k}}$ 로 표시됩니다. 특히 이항식에서 계수로 발생하므로 이항 계수라는 이름이 붙습니다.모든 자연수 k에 대해 ( ${\tbinom {n}{k}}$ {\ $displaystyle$ {\ $tbinom {n}{k}}}$ 을 ${\tbinom {n}{k}}$ ${\tbinom {n}{k}}$ 를) 관계식으로 한 번에 정의할 수 있습니다.

{\displaystyle(1+X)^{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n}{k}}X^{k}}

는 것이 분명합니다.

{\binom {n}{0}}={\binom {n}}=1,

그리고 더 나아가,

{\binom {n}{k}}=0

포크 > n

이 계수들이 S에서 k-조합을 계산한다는 것을 알기 위해서는 먼저 S의 원소로 표시된 n개의 구별되는_s 변수 X의 집합을 고려하고 S의 모든 원소로 곱을 확장할 수 있습니다.

\prod _{s\in S}(1+X_{s});

S의 모든 부분 집합에 해당하는 두 개의 다른 항이 있으며ⁿ, 각 부분 집합은 해당 변수_s X의 곱을 제공합니다.이제 곱이_s (1 + X)ⁿ가 되도록 모든 X를 무표지 변수 X와 같게 설정하면 S에서 각 k-조합에 대한 항이 X가^k 되어 결과에서 해당 거듭제곱의 계수가 이러한 k-조합의 수와 같아집니다.

이항 계수는 다양한 방법으로 명시적으로 계산할 수 있습니다.(1 + X)ⁿ까지의 확장을 위해 모든 확장 값을 얻으려면 (이미 주어진 기본적인 경우 외에도) 재귀 관계를 사용할 수 있습니다.

{\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}

(1 + X) = (1 + X) (1 + X) (1 + X)로 이어지는 0 < k < n에 대하여; 이것은 파스칼의 삼각형의 구성으로 이어집니다.

개별 이항 계수를 결정하려면 공식을 사용하는 것이 더 실용적입니다.

{\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)(n-1)(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}}.

분자는 n의 k-순열, 즉 S의 k개의 개별 요소의 시퀀스의 수를 제공하는 반면 분모는 순서가 무시될 때 동일한 k-조합을 제공하는 그러한 k-순열의 수를 제공합니다.

k가 n/2를 초과할 때, 위 공식은 분자와 분모에 공통된 인자를 포함하고, 이를 취소하면 관계가 나타납니다.

{\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}

0 ≤ k ≤ n인 경우.이는 이항식에서 명확하게 나타나는 대칭을 표현하며, 또한 (n - k)-조합인 그러한 조합의 상보를 취함으로써 k-조합의 관점에서 이해될 수 있습니다.

마지막으로 이러한 대칭성을 직접적으로 나타내는 공식이 있으며, 기억하기 쉬운 장점이 있습니다.

{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},

여기서 n!은 n의 계승을 나타냅니다.분모와 분자에 (n - k)!를 곱하여 앞의 공식에서 구하므로 그 공식보다 계산 효율이 확실히 떨어집니다.

마지막 공식은 S의 모든 원소들의 n! 순열을 고려하여 직접적으로 이해할 수 있습니다.이러한 각 순열은 첫 번째 k 요소를 선택하여 k 조합을 제공합니다.여러 가지 중복 선택이 있습니다. 처음 k개의 원소를 서로 결합하고 최종 (n - k)개의 원소를 서로 결합하면 동일한 조합이 생성됩니다. 이것은 공식에서 나눗셈을 설명합니다.

위의 공식으로부터 파스칼의 삼각형의 인접한 수들 사이의 관계를 세 방향 모두 따라갑니다.

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\display{case}{\binom {n}{k-1}}{\frac {n-k+1}{k}}&\display{\text{n-1}{k}}{\frac {n}{n-k}}&\displaystyle {\text{n}{k-1}}{k<n\{\binom {n-1}}{k-1}}{\frac {n}{k}}&displaystyle {\text{if}},k>0\end{case}}}.

기본 ${\tbinom {n}{0}}=1={\tbinom {n}{n}}$ 사례 ( ${\tbinom {n}{0}}=1={\tbinom {n}{n}}$ 0 ${\tbinom {n}{0}}=1={\tbinom {n}{n}}$ ) = ${\tbinom {n}{0}}=1={\tbinom {n}{n}}$ = ( ${\tbinom {n}{0}}=1={\tbinom {n}{n}}$ ${\tbinom {n}{0}}=1={\tbinom {n}{n}}$ {\ $displaystyle$ {\ $tbinom {n}{0$ }} = ${\tbinom {n}{0}}=1={\tbinom {n}{n}}$ 1 = {\ $tbinom {n}{n$ 와 함께, 이는 동일한 집합(파스칼 삼각형의 행)의 모든 수의 조합, 성장하는 크기의 집합의 k-조합 및 고정된 크기의 n - k의 상보를 갖는 조합의 연속적인 계산을 허용합니다.

조합 세기 예제

구체적인 예로, 표준 52장 카드 덱에서 가능한 5장의 카드 핸드 수를 다음과 ^[8]같이 계산할 수 있습니다.

{\displaystyle {52 \choose 5}={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}}={\frac {311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960}.

또는 공식을 요인 단위로 사용하여 분자 내 요인을 분모 내 요인의 일부에 대해 취소할 수 있으며, 그 후 나머지 요인의 곱셈만 필요합니다.

{\display{alignat}{2}{52 \choose 5}&={\frac {52!}{5!47!}}\[5pt]&={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48\times {\times {47!}}}{5\time 4\time 3\time 2\time {\time {1}}\time {\time {47!}}\[5pt]&={\frac {52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2}}\[5pt]&={\frac {(26\times {2}}\times {17\times {3}}\times {\times {5}}\times {12\times {4}}{\times {5}}\times {\times {4}}\times {\times {3}}\[5pt]&={26\times 17\times 10\times 49\times.imes 12}\[5pt]&=2{,}598{,}960.\end{alignedat}

첫번째와 같은 또 다른 대안적인 계산은 글쓰기를 기반으로 합니다.

{n \choose k}={\frac {(n-1)}{1}}\times {\frac {(n-1)}{2}}\times {\frac {(n-1)}{3}}\times \cdots \times {\frac {(n-(k-1))}}{k}},

이에 해당되는

{52 \choose 5}={\frac {52}{1}}\times {\frac {51}{2}}\times {\frac {50}{3}}\times {\frac {49}{4}}\times {\frac {48}{5}=2{,}598{,}960.

52 ÷ $1$ × $51$ ÷ $2$ ÷ $50$ ÷ $3$ × $49$ ÷ $4$ × $48$ 5 5의 $순서$ 로 평가할 때, 이는 정수 연산만으로 계산할 수 있습니다.그 이유는 각 분할이 발생할 때 생성되는 중간 결과가 그 자체로 이항 계수이므로 나머지가 발생하지 않기 때문입니다.

단순화를 수행하지 않고 요인 단위로 대칭 공식을 사용하면 다음과 같은 계산이 가능합니다.

{\display{align}{52 \choose 5}&={\frac {n!} {k!(n-k)!}}={\frac {52!}{5!(52-5)!}}={\frac {52!}{5!47!}}\[6pt]&={\tfrac {80,658,175,170,943,878,571,189,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000}{120\times 258,623,241,511,168,180,642,964,355,632,389,120,000,000}\[6pt]&=2{,598{,560}.\end{aligned}

k-조합 열거하기

n개 요소의 주어진 집합 S의 모든 k-조합을 어떤 고정된 순서로 열거할 수 있으며, 이는 k-조합의 집합과 함께 ( ${\tbinom {n}{k}}$ k ${\tbinom {n}{k}}$ {\ $displaystyle$ {\ $tbinom {n}{k}}$ 개 ${\tbinom {n}{k}}$ 정수의 ${\tbinom {n}{k}}$ 구간에서 빗변을 설정합니다.예를 들어, S = {1, 2, ..., n }와 같이 S 자체가 순서화되었다고 가정하면, k-조합을 순서화하는 데는 (위의 그림에서와 같이) 가장 작은 원소를 먼저 비교하거나 가장 큰 원소를 먼저 비교하는 두 가지 자연스러운 가능성이 있습니다.후자의 옵션은 S에 새로운 가장 큰 요소를 추가하면 열거의 초기 부분이 변경되지 않고 이전의 k-조합 다음에 큰 집합의 새로운 k-조합을 추가할 수 있다는 장점이 있습니다.이 과정을 반복하면 더 큰 집합의 k-

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