베르누이 샘플링

유한집단 표본추출 이론에서 베르누이 표본추출은 모집단의 각 원소가 표본의 일부가 되는지를 결정하는 독립적인 베르누이 재판을 받는 표본추출 과정이다.베르누이 표본 추출의 필수적 특성은 모든 모집단 요소가 표본에 포함될 확률이 동일하다는 것이다.^[1]

따라서 베르누이 표본 추출은 포아송 표본 추출의 특별한 경우다.포아송 표본 추출에서 모집단의 각 원소는 표본에 포함될 확률이 다를 수 있다.베르누이 표본 추출에서는 모든 원소에 대해 확률이 동일하다.

모집단의 각 요소는 표본에 대해 별도로 고려되기 때문에 표본 크기는 고정되지 않고 오히려 이항 분포를 따른다.

예

가장 기본적인 베르누이 방법은 n개 항목의 모집단에서 표본을 추출하기 위해 n개의 랜덤 변수를 생성한다.모집단의 지정된 백분율 pct를 추출한다고 가정합시다.알고리즘은 다음과 같이 설명할 수 있다.^[2]

세트의 각 항목에 대해 (R mod 100) > pct인 경우 음이 아닌 임의의 정수 R을 생성한다.

20%의 퍼센트는 일반적으로 확률 p=0.2로 표현된다.이 경우, 무작위 변동은 단위 간격에 생성된다.알고리즘을 실행한 후, 크기 k의 샘플이 선택될 것이다.어떤 사람은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \approx n}$ ${\displaystyle \cdot }$ p ${\displaystyle k\$ 약 $n\cdot p}$을(를) 가질 것으로 예상할 수 있는데$,$ 이는 n이 커질수록 점점 더 가능성이 높아진다.실제로 이항 분포에 의해 k의 표본 크기를 얻을 확률을 계산할 수 있다.

${\displaystyle f(k,n,p)={\binom {n}{k}{k^{k}(1-p)^{n-k}}}}}{n-k}}}$

왼쪽에는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$과 p${\displaystyle }$=${\displaystyle 0.2}$ ${\displaystyle p=0.2}$의 4개 값에 대해 이 함수가 표시된다$.$ $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $n}$의 다른 값에 대한 $값$을 비교하기 위해$,$ 압시사의 k ${\$$displaystyle$ k$\}$$s$는${\displaystyle }$[$0, n ]$에서 장치$$ 간격, w, w,함수의 값을 세로좌표로 곱하여 그래프 아래 영역이 동일한 값을 유지하도록 함수의 값을 역수로 곱한다. 즉, 해당 누적 분포 함수와 관련이 있다.값은 로그 척도로 표시된다.

오른쪽에서 95% 확률로 주어진 오차 한계를 충족하는$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 최소값.오류가 발생하면 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의$$범위 내 집합을 다음과 같이 설명할 수 있다.

${\displaystyle K_{n,p}=\왼쪽\{k\in {\mathb{N}:\왼쪽\vert {\frac {k}{n}-p\right\vert <error\right\}}}}}}$

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 내에 끝날 확률은 이항 분포에 의해 다음과 같이 다시 주어진다$$.

${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{K}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$( k${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \sum _{k\in K}f(k,n,p$

$그림$에는 n ${\displaystyle n}$의 최저 값이 표시되며, 합계는 최소 0.95이다.$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$.0${\displaystyle p=0.0}$ 및 $p$ =${\displaystyle 1.00}$ ${\displaystyle p=1.00}$의 경우 알고리즘은$$ 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$s에 대해 정확한 결과를 전달한다.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$\}$ 사이의 $p$는 이분법을 통해 얻는다.Note that, if ${\displaystyle 100\cdot p}$ is an integer percentage, ${\displaystyle error=0.005}$, guarantees that ${\displaystyle 100\cdot k/n=100\cdot p}$. Values as high as ${\displaystyle n=38400}$ can be required for such an exact match.

참고 항목

• 포아송 표본 추출
• 베르누이 재판
• 베르누이 과정
• 샘플링 설계

참조

외부 링크

• 갭 샘플링으로 더 빠른 랜덤 샘플링