교류 튜링 기계

계산 복잡성 이론에서 교류 튜링 머신(ATM)은 복잡성 등급 NP와 공동 NP의 정의에 사용되는 규칙을 일반화하는 연산 수용 규칙을 가진 비결정론적 튜링 머신(NTM)이다.ATM의 개념은 Chandra와 Stockmeyer에^[1] 의해 제시되었고, 1976년에 Kozen에^[2] 의해 독자적으로 제시되었으며, 1981년에 공동 저널이 발행되었다.^[3]

정의들

비공식 설명

NP의 정의는 실존적 연산 모드를 사용한다: 어떤 선택이 수용 상태로 이어진다면, 전체 계산이 수용된다.co-NP의 정의는 모든 선택이 수용 상태로 이어지는 경우에만 전체 계산이 허용된다.교번 튜링 기계(또는 더 정확히 말하면 그러한 기계에 대한 수용의 정의)는 이러한 모드들 사이에서 번갈아 나타난다.

교류 튜링 기계는 비결정론적 튜링 기계로서 상태가 실존적 상태와 보편적 상태의 두 세트로 나뉜다.실존적 국가는 어떤 전환이 수용적 상태로 이어진다면 받아들이고 있으며, 보편적 국가는 모든 전환이 수용적 상태로 이어진다면 받아들이고 있다.(즉, 전환이 없는 보편적 상태는 무조건 수용하고, 전환이 없는 실존적 상태는 무조건 거부한다.)초기 상태가 받아들이면 기계 전체가 받아들인다.

형식 정의

형식적으로 튜링 시스템을 교대하는 (원테이프)는 $M=(Q,\Gamma ,\delta ,q_{0},g)$ M $M=(Q,\Gamma ,\delta ,q_{0},g)$ = ( $M=(Q,\Gamma ,\delta ,q_{0},g)$ , $M=(Q,\Gamma ,\delta ,q_{0},g)$ , Δ $M=(Q,\Gamma ,\delta ,q_{0},g)$ $M=(Q,\Gamma ,\delta ,q_{0},g)$ , $M=(Q,\Gamma ,\delta ,q_{0},g)$ ) ${\displaystyle M=(Q,\Gamma ,\delta ,q_{0}g)$ 이다 $M=(Q,\Gamma ,\delta ,q_{0},g)$ .

$Q$ $Q$ 은 $Q$ (는) 유한한 상태 집합임
$\Gamma$ $\Gamma$ 은 $\Gamma$ (는) 유한 테이프 문자임
${\displaystyle \delta$ $Q\time \Gamma \오른쪽 화살표$ {\ $mathcal{P}($ Q\ $time \Gammatcal$ {P})(Q\time $\Times \{L,$ R\})를 전환 $\delta :Q\times \Gamma \rightarrow {\mathcal {P}}(Q\times \Gamma \times \{L,R\})$ 함수라고 한다(L은 머리를 왼쪽으로, R은 머리를 오른쪽으로 이동).
$q_{0}\in Q$ 0 $q_{0}\in Q$ $q_{0}\in Q$ $q_{0}\in Q$ 이(가) 초기 상태임 $q_{0}\in Q$
${\displaystyle g:$ $Q\rightarrow$ \{\ $wedge ,\vee ,accept, reject\}}}$ 각 주의 유형을 지정한다 $g:Q\rightarrow \{\wedge ,\vee ,accept,reject\}$ .

M이 $g(q)=accept$ $q\in Q$ ( $g(q)=accept$ ) $g(q)=accept$ = $g(q)=accept$ $g(q)=accept$ $g(q)=accept$ $g(q)=accept$ t $g(q)=accept$ ${\$ $displaystyle$ g( $q)=accept}$ 인 $q\in Q$ $상태$ $q\in Q$ 에 있으면 해당 $g(q)=accept$ 구성이 수용되고 있다고 하며, $g(q)=reject$ ( $g(q)=reject$ ) = $g(q)=reject$ e $g(q)=reject$ $g(q)=reject$ c $g(q)=reject$ ${\displaysty g(q)=reject}$ 인 경우 구성이 $g(q)=reject$ 거부된다고 한다. $g(q)=\wedge$ ( $g(q)=\wedge$ ) $g(q)=\wedge$ = $g(q)=\wedge$ $g(q)=\wedge$ 을(를) 가진 구성은 한 단계에서 도달할 수 있는 모든 구성이 수락하는 경우 수락하고, 한 단계에서 도달할 수 있는 일부 구성이 거절하는 경우 거부한다고 한다 $g(q)=\wedge$ . $g(q)=\vee$ ( $g(q)=\vee$ ) $g(q)=\vee$ = $g(q)=\vee$ $g(q)=\ve$ 을(를) 가진 구성은 한 번에 도달할 수 있는 모든 구성이 거부될 때 수락하고 거부하는 어떤 구성이 있을 때 수락한다고 한다 $g(q)=\vee$ (이것은 최종 상태를 제외한 고전적인 NTM의 모든 상태의 유형이다).M은 M의 초기 구성(M의 상태는 $q_{0}$ $q_{0}$ ${\$ 이 승인되고 $q_{0}$ 헤드는 테이프의 왼쪽 끝에 있고, 테이프는 w를 포함)이 승인하고, 초기 구성이 거부되면 거부한다고 한다.

그러나 구성이 승인과 거부 둘 다인다는 것은 불가능하지만, 일부 구성은 중단되지 않는 연산의 가능성 때문에 승인과 거부 둘 다를 하지 않을 수 있다.

리소스 한계

ATM의 구성이 위의 정의를 사용하여 수락 또는 거절하는지를 결정할 때, 항상 현재 구성에서 도달할 수 있는 모든 구성을 검사할 필요는 없다.특히, 실존적 환경설정은 어떤 후계자 구성이 수용하고 있는 것으로 판명될 경우 수용한다고 라벨을 붙일 수 있으며, 보편적 환경설정은 후계자 구성이 거부한다고 밝혀질 경우 거부라고 라벨을 붙일 수 있다.

길이 $n$ 의 입력에서 $t(n)$ ( $t(n)$ ) ${\$ $displaystyle t(n$ $)}$ 단계까지의 $t(n)$ 구성만 검사하면 초기 구성을 승인 또는 거부로 표시하기에 충분한 경우 $t(n)$ ATM은 시간 t $t(n)$ ( $t(n)$ ) ${\$ $displaysty$ t $(n$ $)}$ 에서 공식 언어를 결정한다.왼쪽에서 $s(n)$ ) ${\displaystyle$ s $(n)}$ 셀을 $s(n)$ 넘어 테이프 셀을 수정하지 않는 구성이 충분한 경우 $s(n)$ ATM은 공간 $s(n)$ ) ${\displaystyle$ s( $n)}$ 에서 언어를 결정한다.

일부 ATM에 의해 시간 c⋅ t(n){\displaystyle c\cdot t(n)}에서 상수 c을에 대한 결정이 이루어져 있는 언어;0{\displaystyle c>0}ATME(t(n)){\displaystyle{\mathsf{ATIME}}(t(n)클래스에 있는 것)}, 언어 공간 c에 ⋅ s(n){\displaystyle c\cdot s(n)}다고 한다i.로 결정했다고 한다n은클래스 ${\mathsf {ASPACE}}(s(n))$ ${\mathsf {ASPACE}}(s(n))$ ${\mathsf {ASPACE}}(s(n))$ ${\mathsf {ASPACE}}(s(n))$ E ${\mathsf {ASPACE}}(s(n))$ ( s ${\mathsf {ASPACE}}(s(n))$ ( ${\mathsf {ASPACE}}(s(n))$ ) ${\displaystyle {\mathsf {ASPACE}(s)(n$

예

아마도 기계 교대로 풀 수 있는 가장 자연스러운 문제는 계량화된 부울식 문제일 것이다. 이는 각 변수가 실존적 또는 보편적 정량화에 의해 구속될 수 있는 부울 만족도 문제의 일반화다.교대 기계는 실존적으로 정량화된 변수의 가능한 모든 값을 시도하기 위해, 그리고 보편적으로 그것들이 묶인 좌우 순서로 보편적으로 정량화된 변수의 가능한 모든 값을 시도하기 위해 분기를 나눈다.정량화된 모든 변수에 대한 값을 결정한 후, 기계는 결과 부울 공식이 참으로 평가되는지 여부를 받아들이고, 거짓으로 평가되는지 여부를 거부한다.따라서 실존적으로 계량화된 변수에서 기계는 남은 문제를 만족시킬 수 있는 변수를 값을 대체할 수 있는지, 그리고 보편적으로 계량화된 변수에서 어떤 값을 대체할 수 있는지 그리고 나머지 문제를 만족시킬 수 있는지를 기계는 받아들이고 있다.

이러한 시스템은 시간 $n^{2}$ $n^{2}$ ${\$ }} $n^{2}$ 및 $n^{2}$ 공간 $n$ $n$ 에서 정량화된 부울 공식을 결정한다 $n$

부울만족도 문제는 모든 변수가 실존적으로 수량화돼 실존 분기만 사용하는 일반 비결정론도 효율적으로 해결할 수 있는 특수한 경우로 볼 수 있다.

복잡도 등급 및 결정론적 튜링 기계와의 비교

ATM에 대해 다음과 같은 복잡성 클래스가 정의하는데 유용하다.

${\mathsf {AP}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(n^{k})$ = ${\mathsf {AP}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(n^{k})$ > 0 ${\mathsf {AP}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(n^{k})$ T ${\mathsf {AP}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(n^{k})$ ${\mathsf {AP}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(n^{k})$ ${\mathsf {AP}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(n^{k})$ ( ${\mathsf {AP}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(n^{k})$ ${\mathsf {AP}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(n^{k})$ ) ${\displaystyle {\mathsf {AP}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(n^{k})$ 는 다항식 시간 내에 해독 가능한 언어다 ${\mathsf {AP}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(n^{k})$ .
${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ E ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ = ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ > ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ P A C E ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ (n ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ ) ${\displaystyle$ {\ $mathsf {APSpace}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}(n^{k})}}$ 은 다항 공간에서 해독 가능한 언어다 ${\mathsf {APSPACE}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ASPACE}}(n^{k})$ .
${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ P ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ = ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ > 0 ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ( ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ ) ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}}}}})}}}$ 은 지수 시간 ${\mathsf {AEXPTIME}}=\bigcup _{k>0}{\mathsf {ATIME}}(2^{n^{k}})$ 내에 해독할 수 없는 언어다.

이는 결정론적 튜링 기계가 아닌 ATM에서 사용하는 자원을 고려할 때 P, PSPACE, EXPTIME의 정의와 유사하다.찬드라, 코젠, 그리고 스톡마이어는^[3] 이론들을 증명했다.

ALOGSPACE = P
AP = PSpace
APPACE = EXPTIME
AEXPTIME = EXPACE
${\mathsf {ASPACE}(n)=\빅컵 _{c>0}{{DTIME}(2^{cF(n)}}={\mathsf {DTIME}(2^{O(n)}}}}}$
${\mathsf {ATIME}(g)(n)\subseteq {\mathsf {DSPACE}(n)$
${\mathsf {NSPACE}(g)(n)\subseteq \빅컵 _{c>0}{\mathsf {ATIME}}(c\times g(n)^{2}),$

$f(n)\geq \log(n)$ ( $f(n)\geq \log(n)$ ) $f(n)\geq \log(n)$ $f(n)\geq \log(n)$ $f(n)\geq \log(n)$ ( n $f(n)\geq \log(n)$ ) $f(n)\geq \log(n)$ 및 $f(n)\geq \log(n)$ $g(n)\geq \log(n)$ ( $g(n)\geq \log(n)$ $g(n)\geq \log(n)$ $g(n)\geq \log(n)$ $g(n)\geq \log(n)$ $g(n)\geq \log(n)$ $g(n)\geq \log(n)$ ) $g(n)\geq \log(n)$ 인 경우 $g(n)\geq \log(n)$

이러한 관계의 보다 일반적인 형태는 병렬 계산 논문으로 표현된다.

경계 교대

정의

k 교대형 튜링 기계는 실존적 상태에서 보편적 상태로 전환하거나 그 반대로 k-1회 이하로 전환되는 교대 튜링 기계다.(k 세트로 상태를 나누는 교대 튜링 기계다.짝수 집합의 상태는 보편적이며 홀수 집합의 상태는 실존적이다(또는 그 반대).기계는 set i의 상태와 set j < i)의 상태 사이에 전환이 없다.

${\mathsf {ATIME}}(C,j)=\Sigma _{j}{\mathsf {TIME}}(C)$ is the class of languages decidable in time $f\in C$ by a machine beginning in an existential state and alternating at most $j-1$ times. ${\mathsf {TIME}}(C)$ ${\mathsf {TIME}}(C)$ ${\mathsf {TIME}}(C)$ ${\mathsf {TIME}}(C)$ ( C ${\mathsf {TIME}}(C)$ ) ${\mathsf {TIME}(C)$ 계층의 ${\mathsf {TIME}}(C)$ j번째 수준이라고 한다.

${\mathsf {coATIME}}(C,j)=\Pi _{j}{\mathsf {TIME}}(C)$ is defined in the same way, but beginning in a universal state; it consists of the complements of the languages in ${\mathsf {ATIME}}(f,j)$ .

${\mathsf {ASPACE}}(C,j)=\Sigma _{j}{\mathsf {SPACE}}(C)$ ${\mathsf {ASPACE}}(C,j)=\Sigma _{j}{\mathsf {SPACE}}(C)$ ${\mathsf {ASPACE}}(C,j)=\Sigma _{j}{\mathsf {SPACE}}(C)$ ${\mathsf {ASPACE}}(C,j)=\Sigma _{j}{\mathsf {SPACE}}(C)$

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