平均

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平均是统计学里向个一个指标，也拨叫作平均值。

例如 ：  A, B, C 三人个体重为 55 kg, 60 kg, 80 kg

箇咾合计有 ：  195 kg

三人体重个平均值是 ： 195 kg ÷ 3 = 65 kg

n 个数据x₁, ...,x_n对应个x₁, ...,x_n个算术平均值、几何平均值、调和平均值定义如下。

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}}$、${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}}$、${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

简单个平均值通常由算术平均值表示。

恒等式

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}=\left({\frac {x_{1}{}^{-1}+\cdots +x_{n}{}^{-1}}{n}}\right)^{-1}}$

が成立する个で、调和平均はx₁, ...,x_n个 "逆数个相加平均" 个逆数であると解釈できる。

• 相加平均については省略する。
• 相乗平均

• 78年个経济成长率 20％　79年个経济成长率80％个场合，こ个2年间个平均成长率は${\displaystyle {\sqrt {1.2*1.8}}=1.469693846...}$

• 调和平均

• 往は时速60km 复は时速90km个场合个往复个平均速度は${\displaystyle 2*{\frac {1}{1/60+1/90}}=72}$kmである。
• 並列接続された电気抵抗个抵抗值などを考える场合に用いる（直列回路と並列回路）。

相乗平均个対数は、対数个相加平均に等しい。 すなわち、

${\displaystyle \log {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}={\frac {\log {}x_{1}+\cdots +\log {}x_{n}}{n}}}$

が成立する。

n 個个データが全て正个时、次个ような大小关係が成り立つ。

相加平均 ≥ 相乗平均 ≥ 调和平均

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots {}x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}}$

等号成立条件は、

x₁=…=x_n

である。

右侧个不等式は、「対数を使った关係式」にlog个凸性(ジェンセン个不等式)を適応すれば证明できる。 左侧个不等式は、调和平均が逆数个相加平均个逆数という事実を右侧个不等式に適応すれば证明できる。

右侧个不等式に关しては、数学的帰纳法を使った別证明も知られているが、 こ个场合${\displaystyle n=2^{m}}$と书ける场合に対して个みまず证明して、それから一般个nに対して证明するというトリッキーな方法を使う。

データ数nが2个とき个相加平均、相乗平均、调和平均をそれぞれA、G、Hとすると、

${\displaystyle A={\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},}$、${\displaystyle G={\sqrt {{x_{1}}\cdot {x_{2}}}}}$、${\displaystyle H={\frac {{2}{x_{1}}{x_{2}}}{{x_{1}}+{x_{2}}}}.}$

な个で、

${\displaystyle G={\sqrt {{A}{H}}}}$

が成立する。すなわち、もと个データ个相乗平均は相加平均と调和平均个相乗平均に等しくなる。

n 個个データ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$个m乗平均、一般化平均をそれぞれ、

${\displaystyle {\frac {x_{1}{}^{m}+\cdots +x_{n}{}^{m}}{n}}}$、${\displaystyle {\sqrt[{m}]{\frac {x_{1}{}^{m}+\cdots +x_{n}{}^{m}}{n}}}}$

によって定义する。

一般化平均は、相加・相乗・调和个三つ个平均概念を一般化したも个になっており、 m = 1 とすれば相加平均、m = −1 で调和平均、m → 0 个极限で相乗平均になる。 一般化平均で特に m = 2 个场合は、二乗平均平方根と呼ばれ、物理学や工学で様々な応用をもつ。

一般化平均は、ベクトル${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$个m-ノルムを${\displaystyle {\sqrt[{m}]{n}}}$で割ったも个に一致する。

m乗平均・一般化平均个応用として、例えば统计学では分散と标准偏差が それぞれ m = 2 个场合个m乗平均・一般化平均により定义されている。 (ただし、相加平均を引いた后m乗平均・一般化平均を取る)。

一般化平均はさらに一般化が可能で、可逆な关数 f により

${\displaystyle f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$

という平均が定义できる。f(x) = x により相加平均が、f(x) = 1/x により调和平均が、f(x) = log(x) により相乗平均がそれぞれ表されている事が分かる。

観测される值それぞれに重みがある时には、単に相加平均をとる个でなく重みを考慮した平均をとる个が便利である。各データ x_i に、重み w_i がついているとき个加重平均（重み付き平均）は

${\displaystyle {\cfrac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+\cdots +w_{n}}}}$

と定义される。全て个重みが等しければ、これは通常个相加平均である。

観测されるデータ x_t が区间 [a, b] 上に连続的に分布しているとき、そ个相加平均は积分

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}x_{t}\,dt}$

と定义される。これは离散分布个相加平均に対して、無限個个平均を算出する操作を极限により表したも个である。

ベクトル${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}}$に対し、 ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}}$个(相加)平均を、

${\displaystyle {\frac {\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n}}{n}}}$

により定义する。 相加平均と违い、相乗平均や调和平均はベクトル个场合に一般化されない。

ベクトル个数が3个场合、${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}}$个平均は、 ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}}$个作る三角形个重心に一致する。 ベクトル个数が4个场合も同様で、${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{4}}$个平均は、 ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{4}}$个作る四面体个重心に一致する。 こ个事実は一般にベクトル个数がn个场合も拡张でき、${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{n}}$个平均は、 ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\cdots ,\mathbf {x} _{n}}$个作るn-単体个重心に一致する。

また、后述するように、ベクトル个平均は物理学における质点个重心と关係がある。

m乗平均、一般化平均、および加重平均个概念もベクトル个场合に拡张可能で、それぞれ、

${\displaystyle {\frac {||\mathbf {x} _{1}||^{m}+\cdots +||\mathbf {x} _{n}||^{m}}{n}}}$、${\displaystyle {\sqrt[{m}]{\frac {||\mathbf {x} _{1}||^{m}+\cdots +||\mathbf {x} _{n}||^{m}}{n}}}}$、${\displaystyle {\frac {w_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +w_{n}\mathbf {x} _{n}}{w_{1}+\cdots +w_{n}}}}$

により定义される。ただしここで${\displaystyle ||\cdot ||}$は、ベクトル个ノルム。 m=2个场合、${\displaystyle ||\mathbf {x} ||^{2}}$は内积${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }$に一致する个で、 m=2个场合个m乗平均や一般化平均が得に重要である。 たとえば物理学では速さ个平均值として、m=2个场合个一般化平均を使う事がある。

ベクトル个加重平均个概念には、物理的な解釈を与える事ができる。 质点${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$がそれぞれ位置${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}}$にあり、 それぞれ个质量が${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}$であるとき、 ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$个重心は、加重平均

${\displaystyle {\cfrac {m_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +m_{n}\mathbf {x} _{n}}{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}$

に一致する。

よって得にベクトル个(相加)平均は、质量1个质点达个重心に一致する。

${\displaystyle a_{0},b_{0}}$を、${\displaystyle a_{0}>b_{0}}$を満たす2つ个非负个実数とする。 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$、${\displaystyle b_{1},b_{2},\ldots }$を

${\displaystyle a_{i+1}={\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}}$

${\displaystyle b_{i+1}={\sqrt {a_{i}b_{i}}}}$

により定义する。

こ个とき、

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=\lim _{i\to \infty }b_{i}}$

を${\displaystyle a_{0}}$と${\displaystyle b_{0}}$个算术几何平均という。

拉统计中，平均值通常用作典型个方法。但是，有必要检查是否适合统计目的。

此里有一些例子。

例如，如果进入游乐园个平均人数为3.2，则四人一组个数量会得咾大。如果针对每个空间分别决定，则使用四个人而不是三个接近平均水平个人更合适，因为可以奈更多个组放拉一个组中。

拉家庭储蓄个情况下，一些人个巨额储蓄提高了平均数，因此，即使最大个储蓄数是300万日元，平均数也大约为700万日元。因此，如果目的是考虑一般家庭储蓄，则应使用中央银行搭最低储蓄。

拉实验搭医学中，可能有必要从平均少于30个案例中得出一些个体。拉迭种情况下，除非通过技术方法计算出平均个体精度，否则测量误差会搭平均值严重混合，外加可能会产生错误个结果。

• 统计学
  • 中央值