UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA

FACULTAD DE INGENIERIA EN INFORMATICA Y SISTEMAS

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE CIENCIAS EXACTAS

PRACTICA 2: GEOMETRIA ANALITICA APLICACIONES

ESCUELA PROFESIONAL : MECANICA ELECTRICA
CURSO : CALCULO I
SEMESTRE : 2023-I
Profesor: Portilla Sandoval L.

I. SISTEMA DE COORDENADAS
1. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es (4,3).
Hallar el otro extremo.
2. El punto P(16,9) divide al segmento de extremos A(x1,y1) y B(4,-5) en la razón
r = -3/2, hallar las coordenadas de A.
3. Un segmento que une A (-1,2) con B(2,-5) se prolonga hasta C(x,y) sabiendo que
AC = 3 AB. Hallar las coordenadas del punto C.
4. Los extremos de un segmento son los puntos A (7,4) y B (-1,-4). Hallar la razón r en
la que el punto M (1,-2) divide al segmento
5. Los puntos extremos de un segmento son A (-4,2) y B(8,-4) hallar la suma de las
BP 1
coordenadas de un punto P que se encuentra en la prolongación de AB, tal que  
PA 2

6. Sean P(a, -2) y R(6,4) los extremos de un segmento. Si Q(0, b) es un punto de PR

tal que PQ = 2 QR , hallar b – a.
7. Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son
a) (5,7), (1,-3), (-5,1) b) (2,-1), (6,7) , (3,6) c) (7,4) , (3,-6) ,(-5,2)
8. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en
tres partes iguales por los putos P (2,2) y Q(1,5).
9. Una recta pasa por los puntos M (2,-3), N (-6,5). Hallar en esta recta el punto cuya
ordenada es igual a -5.
10. El área de un triangulo es 3. Dos de sus vértices son los puntos A(3,1) y B(1,-3); el
tercer vértice C esta situado en el eje 0Y. Determinar las coordenadas del vértice C.
11. El área de un paralelogramo es 12; dos de sus vértices son los puntos A (-1,3) y
B (-2,4). Hallar los otros dos vértices sabiendo que el punto de intersección de sus
diagonales este situado en el eje de las abscisas.
12. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (2,4) es siempre igual
a su distancia del eje Y aumentada en 3, hallar la ecuación de su lugar geométrico
13. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del triangulo A (5,-4),
B (-1,3), C (-3,-2) y son paralelos a los lados opuestos
14. Los vértices de un triángulo son A (-1,3), B(3,5) y C(7,-1). Si Des el punto medio de
AB y E es el punto medio de AC. Demostrar que la longitud del segmento DE es la
mitad de la longitud del lado AC.
15. Los vértices del triángulo son A (-1,-1), B (3,5) y C (7,-1). Hallar el punto de
intersección de la bisectriz del ángulo externo del vértice A con la prolongación BC.
16. Los puntos M(3,2), N(2,4), P(1,1), R(-3,1), S(0,6) , Q(3,1) son los vértices de dos
triangulo uno de ellos es rectángulo y el otro es isósceles. Si la hipotenusa mide a und.
Y la base del triangulo isósceles mide b und. Hallar a2 + b
17. El punto P divide al segmento AB con A (-2,0) y B (-6,4) en la razón de 1 a 3. Si Q
es un punto del eje X tal que d(P, Q) = 1, hallar la abscisa de Q.
AP
18. Sea r  la razón que P(-6, b) divide al segmento de extremos A(10,-2) y B(2,8).
PB

Calcular r + b.
19. La recta L2 forma un ángulo de 600 L1, si la pendiente de L1 es 1. Hallar la
pendiente L2.
20. Los puntos A( 3 ,1) , B (0,2), C (2 3 , 2 ) , son los vértices de un triángulo, calcular el
ángulo externo con el vértice A
21. Determinar el ángulo que forman las rectas
a) 5x – y + 7 = 0, 3x + 2y = 0 b) 3x + 2y – 1 = 0 , 5x – 2y + 3 = 0
22. Dada la recta 2x + 3y + 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M
(2,1) y forma un ángulo 600 con la recta dada.
23. Demostrar que la ecuación e la recta que pasa por el punto M(x1, y1) , paralela a la
recta Ax + By + C = 0 , puede escribirse de la forma A(x – x1) + B(y – y1) = 0
24. Determinar “b” para que la recta (b + 2) x + (b2 - 9)y +3 b2 - 8b + 5 = 0 , sea
a) Paralela el eje de las abscisas b) paralela el eje de las ordenadas c) pasa por el origen
25. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y forma con las
rectas x – y + 12 = 0 y 2x + y + 9 = 0, un triángulo cuya área es igual a 1.5 u2
26. Probar en los siguientes casos que las dos rectas coinciden

a) 3x + 5y – 4 = 0, 6x + 10y – 8 = 0 b) x - 2y  0 , 2x  2 y  0
27. Calcular las distancias entre las rectas paralelas
a) 24x – 10y + 39 = 0, 12x – 5y – 26 = 0 b) 4x – 3y + 15 = 0, 8x – 6y + 25 = 0
28. Determinar “k” para que la recta 4x + 5y + k = 0, forme con los ejes coordenados un
triangulo rectángulo de área igual a 2.5 u2
29. Un punto se mueve de tal manera que la distancia del punto (1,-1) es siempre igual
al doble de su distancia de la recta 3x – 2y + 6 = 0, hallar su lugar geométrico.
30. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1,-2) y forma con los ejes
coordenados, en el tercer cuadrante, un triangulo de área 4 und.
31. Hallar el valor de “k” de modo que la recta kx + 3y – 18 = 0 diste 3 und. Del origen.
32. Dado el triángulo de vértices A(-4,3), B(5,-1) y C(7,5). Hallar las ecuaciones de las
rectas que pasan por el vértice C y triseca al lado opuesto AB.
33. Desde un punto M(-2,3) se ha dirigido al eje X un rayo de luz con una inclinación
de un ángulo α, se sabe que tan es 3 , el rayo se ha reflejado del eje X. Hallar las
ecuaciones de las rectas en las que esta el rayo incidente y reflejado.
34. Un rayo de luz va dirigido por x - 2y + 5 = 0, al llegar a la recta 3x – 2y + 7 = 0 se
ha reflejado de ella. Hallar la ecuación de la recta en la que esta el rayo reflejado.
35. Hallar los ángulos interiores del triángulo con vértices (-2,1), (3,4) y (5,-2)
36. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 1350 sabiendo que la recta final tiene
una pendiente de -3, Calcular la pendiente de la recta inicial
37. La suma de las coordenadas en el origen de una recta es 7 y el área del triangulo que
esta recta determina con los ejes coordenados es 6, hallar la ecuación de la recta en su
forma simétrica.
38. Una recta pasa por el punto A (-6,7) y forma con los ejes coordenados un triangulo
de área igual a 10.5 und. Hallar su ecuación.
39. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 450, la recta inicial pasa por (-2,1) y
(9,7) y la recta final pasa por (3,9) y por el punto A cuya abscisa es -2. Hallar la
ordenada de A
40. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x – 7y + 27 = 0, 9x – 2y – 15 = 0
y 4x + 5y + 11 = 0. Hallar sus ángulos internos.
41. Hallar el área del triangulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta
5x + 4y + 20 = 0.
42. Hallar las ecuaciones de los lados de un triangulo, si se dan uno de sus vértices
B (-4,-5) y las ecuaciones de dos alturas 5x + 3y – 4 = 0, 3x + 8y + 13 = 0
43. Dados los puntos A (-1,4), B (2,7), C (8,0) y D (12,2) y la recta x – y -14 = 0.
Determinar las coordenadas de un punto P de la recta de manera que los triángulos APB
y CPD tenga la misma área.
44. Que valores habrá que dar a “m” para que las rectas L1 : 3x + y – m = 0 y
L2: mx – y – 3 = 0. Se interceptan sobre la bisectriz del segundo cuadrante.
45. Una persona situada en el punto A (1,-2) emite un grito que se refleja en una pared
situada en la recta L: 5x + 2y = 6. Suponiendo que las coordenadas se miden en metros.
Cuanto tardara en oír su eco.
46. Demostrar que las tres rectas 3x – 5y + 7 = 0, 2x + 3y – 8 = 0 y 6x – 7y + 8 = 0 son
concurrentes
47. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2,-1) y forman cada uno
un ángulo de 450 con la recta 2x – 3y + 7 = 0.
48. Si la pendiente de la recta L : ax + by + c = 0 es numéricamente igual a la distancia
del punto (16/5,3) a la recta L1 : 5x + 12y = 0, calcular b/a.
49. Un comerciante puede vender 20 rasuradores eléctricos al día al precio de s/. 25.00
cada una, pero puede vender 30 si se les fija un precio de s/. 20.00 cada una. Determine
la ecuación de demanda.
50. Una compañía de autobuses ha observado que cuando el precio de una excursión es
de s/. 50.00 se venden 30 puestos; si el precio sube a s/. 80.00 solo se vende 10. Obtener
la forma punto pendiente de la ecuación de la demanda y graficar.
51. Los vértices de un triángulo son A (a, b), B(c,9), C (2, d). Si el punto medio de BC
es (-1/2,5/2) y el baricentro del triángulo es (-1,1) Hallar a + b
52. La recta L: y = mx + b pasa por los puntos A(-1,-2m), B (2, a + 2b) hallar el valor de
a, si L no corta a la recta L1 : y = x + 55.
53. El área de un triángulo es A = 8 u2, dos de sus vértices son los puntos A(1,-2) ,
B(2,3) y el tercer vértice C está en la recta 2x + y -2 = 0, determinar las coordenadas del
vértice C
54. Un vértice de un cuadrado es el punto P (2,3) y una de sus diagonales esta sobre la
recta 3x + 4y – 8 = 0. Hallar el área del cuadrado.
55. Dado el segmento de extremos A(-3,-5) y B(3,1). Determine las ecuaciones y el
ángulo de las rectas que pasan por el punto P(-1,4) y los puntos de trisección del
segmento AB
56. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P (-5,5) y forma con las rectas L1: 2x – y
+ 5 = 0. L2: 3x + 6y - 1 = 0. Un triángulo isósceles
II. LA CIRCUNFERENCIA
1. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las dos rectas paralelas 2x +
y – 5 = 0; 2x + y + 15 = 0, y una de ellas, en el punto A (2,1).
2. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(-3,-3) y es tangente a la recta 5x –
12y – 25 = 0
3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta 2x + y +3 = 0,
sabiendo que pasa por el punto A(3,1) y que es tangente a la recta 4x – 3y – 14 = 0
4. Hallar la ecuación del circulo que pasa por los puntos A(5,1) y B(9,5) y cuyo centro
se encuentra sobre la recta 3x – 2y – 5 = 0
5. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en C(-2,-2) y es tangente a la
circunferencia x2 + y2 – 8x – 14y + 52 = 0
6. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia x2 + y2 + 4x – 2y = 0, que
son perpendiculares a la recta x – 2y + 18 = 0
7. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por el punto M(1,0) y son
tangentes a las dos rectas paralelas 2x + y +2 = 0 , 2x + y -18 = 0
8. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta 2x + y = 0, y es
tangente a las rectas 4x – 3y + 5 = 0, 4x – 3y – 30 = 0.
9. Hallar la ecuación de diámetro de la circunferencia x2 + y2 – 4x – 6y – 17 = 0 y que
es perpendicular a la recta 5x + 2y – 13 = 0
10. Determinar la longitud de la cuerda de la circunferencia (x - 2)2 + (y - 4)2 = 10
Que se divide por la mitad en el punto M (1,2)
11. Determinar la ecuación, el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los
puntos: a) (0,0), (3,6), (7,0) b) (2,-2), (-1,4), (4,6) c) (4,-1), (0,-7), (-2,3)
12. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta en la recta 6x + 7y – 16 = 0
y es tangente a cada una de las rectas 8x + 15y +17 = 0 y 3x – 4y – 18 = 0.
13. Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 esta sobre la recta cuya ecuación es
x – 7y + 25 = 0, hallar la ecuación de la cuerda.
14.- La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = 50, el punto medio de una cuerda de
esta circunferencia es el punto (-2,4). Hallar la ecuación de la cuerda.
15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6,1) y es tangente a
cada una de las rectas 4x – 3y + 6 = 0, 12x + 5y – 2 = 0
16. Determinar “k” para que la recta 2x + 3y + k = 0 sea tangente a la circunferencia
x2 + y2 + 6x + 4y = 0.
17. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (1,4) y es tangente a la
circunferencia x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto (-2,1)
18. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-1,-4), (2,-1) y cuyo
centro esta sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0
19. Demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y2 -16x + 12y + 13 = 0 y
12x2 + 12y2 – 48x + 36y + 55 = 0 son tangentes.
20. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 - 2x + 4y = 0,
que sean perpendicular a la recta L: x – 2y + 9 = 0.
21. Determinar la longitud de la cuerda común a las circunferencias x2 + y2 – 6x -16y +
23 = 0 ; x2 + y2 + 10x -4y - 21 = 0
22. Si P(5,1) es el centro de una cuerda de la circunferencia x2 + y2 – 6x + 6y – 82 = 0.
Hallar la longitud de dicha cuerda.
23. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices A(-2,-2) ,
B(4,10) , C(12,6)
24. Hallar la circunferencia inscrita al triangulo de lados 4x – 3y -65 = 0;
7x – 24y + 55 = 0; 3x + 4y -5 = 0
25. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-2,2) y por los puntos
de intersección de las circunferencias x2 + y2 + 8x - 8y + 7 = 0, x2 + y2 + 6y - 71 = 0
III. LA PARABOLA
1. Hallar la ecuación de la parábola con vértice V (-2,1) y cuyos extremos del lado recto
son (0,0) y (-4,0).
2. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco F (2,2) y la ecuación
de su directriz.
3. Dado el vértice V(4,-2) de una parábola y la ecuación de su directriz 3x – 5y + 12 =
0. Hallar el foco de esta parábola.
4. Hallar la ecuación de la recta que se tangente a la parábola y2 = 8x y paralela con
2x + 2y – 3 = 0.
5. La recta x + 4 = 0 es la directriz de una parábola que pasa por los puntos P (6,6) y
Q (1, –4). Hallar la ecuación de la parábola.
6. Una parábola pasa por los puntos P (5, –3) y Q (–1,3), y su tangente en el vértice es la
recta y + 5 = 0. Hallar la ecuación de la parábola.
7. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical, vértice (3,1) con LR igual a 8.
8. Dado el vértice V (4,1) de una parábola y la ecuación de su directriz y + 1 = 0,
calcular el radio focal del punto P de la parábola si la abscisa de P es igual a 12.
9. Encontrar en la parábola y 2  8 x  2 y  17  0 un punto para el cual la longitud de
su radio focal es igual a 10.
10. Hallar la ecuación de una parábola de eje paralelo al eje X y que pasa por los puntos
A(2,1) , B(0,5), C(-6,-7).
11. Hallar la ecuación de una parábola de eje paralelo al eje Y y que pasa por los puntos
A(0,3) , B(3,4), C(4,1).

12. Hallar la ecuación de la cuerda común de la parábola y 2  18 x  2 y  37  0 y de la

circunferencia x 2  y 2  8 x  2 y  83  0 . Además, hallar las ecuaciones de las

tangentes a la parábola en los extremos de la cuerda.
13. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de la intersección de la

recta x + y – 2 = 0 y la parábola ( x  2) 2  4( y  1) y el vértice de esta.

14. Dado el vértice V (2,1) y el foco F(2,4) de una parábola, hallar la ecuación de la
cuerda de contactos relativa al punto P(4, –1).
15. Una circunferencia es tangente a la directriz y al lado recto de la parábola

y 2  8 x  4 y  28  0 . Hallar la ecuación de dicha circunferencia si su centro es el

vértice de dicha parábola. Además, hallar la ecuación de la cuerda de contactos relativa
al punto P (–3,4) y verificar que ésta contiene al foco.
16. Dado el vértice V(2, –1) de una parábola y la ecuación de su
directriz x + 2 y – 5 = 0, hallar la ecuación de esta parábola.
17. El vértice del ángulo recto de un triángulo esta en un extremo del lado recto de la

parábola x 2  2 x  8 y  7  0 El segundo vértice del triángulo, es el vértice de la

parábola, ¿Cuál es el tercer vértice del triángulo y cuanto mide la hipotenusa, si se sabe
que dicho vértice está en la recta x – 2 y + 11 = 0?
18. Una recta que pasa por el foco de la parábola de vértice V(–2,7) y eje focal vertical,
corta a la directriz en el punto (2,6), Hallar la longitud de la cuerda que dicha recta
determina en la parábola.
19. La gráfica (Fig. I) muestra la trayectoria de un proyectil, el cual describe una
parábola de eje vertical. El proyectil alcanza su máxima altura V (800, 1000) e impacta
la ladera de la colina OBC en el punto A. Hallar la ecuación de la trayectoria y las
coordenadas del punto de impacto, si B (1600, 1400).
 B
y
A

O C x

20. Los cables de la parte central de un puente colgante tienen la forma de una parábola
si las torres están separadas por una distancia de 800 metros y las cables están unidos a
estas en puntos que están a 400 metros arriba del suelo del puente, ¿Cuál es la longitud
del poste vertical que esta a 100 metros de la torre? suponga que el cable toca la parte
inferior del puente en el punto medio del mismo (ver Fig.2)

Fig.2
Estructura

21. Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre si 300 m. y se
extienden 80 m. por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la forma de una
parábola) es tangente a la calzada en el Centro del puente, determinar la altura del cable
por encima de la pista a 50 m. y también a 100 m. del centro del puente (asumir que la
pista es horizontal)
22. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola y2 + 4x + 2y – 19 = 0
Cuya ordenada es igual a 3.
23. Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los cables que soportan un
puente colgante cuando el claro es de 150 mts. Y la depresión de 20 mts.
IV. LA ELIPSE
1. Los focos de una elipse son F1(3,1) y F2(-1,1). Hallar la ecuación de la elipse si uno
de los extremos del eje menor está en la recta x – 2y – 3 = 0.
2. Hallar la ecuación de la elipse que satisface:
a) centro C (0,0), foco en eje X, e = 2/3 y pasa por P(2,-5/3)
b) Vértice (0, ±6) y pasa por P(3,2)
c) Centro C (2,4) y el foco F (5,4) y e = 0.75
d) Centro C (-3,0) un foco F (-1,0) y es tangente al eje Y
3. Una elipse tiene su centro en C (2,5), un extremo del eje menor en B (4,5) y pasa por
el punto Q (3,8). Hallar su ecuación.
4. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, distancia entre sus directrices
perpendicular el eje X es 50/3 y la distancia focal es 12.
5. La excentricidad de una elipse e = 1/3, su centro coincide con el origen y uno de sus
focos es F(–2,0). Calcular la distancia del punto M de la elipse, cuya abscisa es 2, a la
directriz correspondiente al foco dado.
6. Los vértices de una elipse tienen por coordenadas V1(–3,7) y V2(–3, –1) y la longitud
de su lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse.

7. Hallar la ecuación de la tangente a la elipse ( x / 5) 2  ( y / 4) 2  1 , en el punto de

contacto de abscisa 3 y ordenada positiva.

8. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse 3 x 2  y 2  4 x  2 y  3  0 que son

perpendiculares a la recta x + y – 5 = 0.

9. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse x 2  2 y 2  4  0 que son paralelas a

la recta x – 4 y + 5 = 0.
10. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje mayor de longitud 8 sobre
la recta L1: 3 x – y = 0 y eje menor de longitud 4 sobre la recta L2: x + 3 y = 0.
11. Una elipse de eje focal paralelo al eje Y, pasa por el punto P(–3,2) y tiene sus

vértices en la circunferencia x 2  y 2  2 x  24  0 y es concéntrica con ella.

Determinar la ecuación de la elipse.
12. La recta L: x – y – 14 = 0 es tangente a una elipse cuyos focos son F1(1, –5) y
F2(7, –5). Hallar la ecuación de la elipse.
13. Una elipse con eje mayor paralelo al eje Y, tiene su centro C (4, –2),
excentricidad e = 1/2 y eje menor de longitud 12. Hallar su ecuación.

14. Una cuerda de la elipse x 2  2 y 2  6 x  12 y  9  0 , tiene como punto medio a M

(5,5). Hallar la ecuación de la cuerda.
15. La tierra se mueve sobre una órbita elíptica con el sol en uno de sus focos. Si la
longitud de la mitad del eje mayor es de 93 millones de millas y la excentricidad es
0.017, hallar la distancia mínima y máxima entre la tierra y el sol.
16. Se tiene una elipse tangente al eje Y, está su centro sobre la recta 4 x – 5 y = 0, eje
focal en la recta y = 4, y pasa por P (5,0). Hallar su ecuación y longitud del lado recto.
17. Calcular la longitud del lado recto de una elipse cuyos focos son F1(18,7),
F2(22, –3), si se sabe además que la elipse pasa por el punto Q(10, –8)
18. Un automóvil deportivo en una pista de carreras elípticas de ecuación

x 2  4 y 2  400 , pierde el control en el punto P (16,6) y en adelante continua sobre la

tangente hasta chocar en un árbol en el punto Q(14,k). Determinar k.
19. Un lado recto de la elipse coincide con el lado recto de la parábola
32 4
( y  4) 2   ( x  ) . Si la elipse es tangente al eje X en el punto B(–3,0), determinar
5 3
la ecuación de la elipse.
20. El punto Q(–5,4) está en una elipse, uno de cuyos focos es F(–3,5 ) y la directriz
correspondiente a dicho foco es L: 2 x – y + 3 = 0. Hallar su excentricidad.

21. Dada la elipse E1 : 16 x 2  9 y 2  32 x  128  0 , hallar la ecuación de la elipse E2

cuyo centro es el extremo derecho del eje menor de E1, uno de los focos es el vértice
inferior de E1 y que pasa por el vértice superior de E1.
22. Hallar una elipse cuyos focos están en la intersección de L1: 2x – y + 6 = 0,
L2: 3 x – y – 5 = 0 con la recta x – y + 5 = 0 y su excentricidad es e = 0.6. Además,
hallar su centro y sus vértices.
23. Hallar los vértices de un triángulo equilátero circunscrito a la elipse

( x / 10) 2  ( y / 8) 2  1 , si uno de sus vértices está en la parte positiva del eje X.

24. Una elipse tiene un vértice en V1 (5,6), el foco del otro vértice en F2 (–1,0) y una de
sus directrices pasa por Q (6,13). Hallar:
a) La ecuación de la elipse.
b) Las coordenadas del foco F1 y del vértice V2.
c) La ecuación de la otra directriz.
d) La ecuación de la cuerda de contactos relativa al punto Q(6,13).
25. Encuentre las ecuaciones de las elipses cuyos elementos son los que se indican:
a) Centro C(4, –1), foco F(1, –1), pasa por el punto P(8,0).
b) Focos F1(3,3) y F2(–7,3), longitud de lado recto igual a 39/4.
c) Focos F1(1,2) y F2(1, –2), eje mayor igual a 6.
26. El cometa Halley tiene una órbita elíptica con diámetro mayor y menor, respectivos
de 36.18UA y 9.12UA (1 UA es la unidad astronómica, la distancia media de la tierra al
sol) ¿Cuál es su máximo acercamiento al sol, suponiendo al sol en uno de sus focos?
27. Un arco de 80 mts. de luz tiene forma semieliptica, sabiendo que su altura es de 30
mts. Hallar la altura del arco en un punto situado 15 mts. del centro.
28. Un punto P(x,y) se mueve de forma que el producto de las pendientes de las dos
rectas que unen P con dos puntos fijos (-2,1) y (6,5) es constante e igual a -4 , demostrar
que dicho lugar es una elipse y hallar su centro
29. La tierra se mueve sobre una órbita elíptica con el sol en uno de sus focos. Si la
longitud de la mitad del eje mayor de 93 millones de millas y la excentricidad es 0.017,
hallar la distancia mínima y máxima entre la tierra y el sol
30. Una puerta tiene la forma de un arco elíptico (media elipse) de 10 pies de ancho por
4 pies de altura en el centro. Se va a pasar por la puerta una caja de 2 pies de altura
¿Qué amplitud puede tener la caja?
V. LA HIPERBOLA
1. Determinar las ecuaciones de la hipérbola que satisface las condiciones dadas
a) F (5,0), V (3,0) b) V (4,0) , pasa por (8,2) c) V1 (5,2), V2 (3,2) ,un foco (7,-2)
d) V1 (5,5), V2 (5,1) , e = 2 e) Centro en (2,-3) eje focal vertical y pasa (3,-1) y (-1,0).
2. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse
x 2 / 100  y 2 / 64  1 , y las directrices pasan por los focos de esta elipse.
3. Hallar la ecuación de la hipérbola, si se conoce su excentricidad 5/4, el foco F(5,0) y
la ecuación de la directriz 5x – 16 = 0.
4. Hallar la ecuación de las tangentes a la hipérbola x 2 / 20  y 2 / 5  1 , que son
perpendiculares a la recta 4x + 3y – 7 = 0
5. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro (0,0), focos sobre el eje X, y la distancia
30
entre las directrices igual a y que pasa por el punto P (1,2).
15

6. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices V1(–1,2) ,V2(–1,8) y una de sus

asíntotas 2 x – y +7 = 0.
7. El punto P(–1, –4) está en la hipérbola, uno de cuyos focos es F(0, –2) y la directriz
correspondiente es L: x – 1 = 0. Hallar la ecuación de esta hipérbola.
8. Una hipérbola con centro en C (0,3), eje focal paralelo al eje X, pasa por el punto
30
Q(1,5). Si la diferencia de las distancias del punto Q a las directrices es unidades,
15

hallar la ecuación de la hipérbola y de sus asíntotas.

9. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene un foco en F(–3 3 ,–1) , las asíntotas se
intersecan en el punto I(0, –1) y una de sus asíntotas pasa por el punto P(4,5)
10. El ángulo comprendido entre las asíntotas de una hipérbola es 60º. Calcular la
excentricidad de la hipérbola.
11. Una hipérbola tiene su centro en C (25,0) y uno de sus vértices en V1(–23,36). Si
Q (–30,35) es un punto de la hipérbola, encontrar su ecuación y de sus asíntotas.
12. Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera con foco F(4, –3) y directriz asociada:
x+y = 0.
13. Hallar el área del triángulo formado por las asíntotas de la hipérbola

9 x 2  4 y 2  36 x  16 y  16  0 y la recta x – 6 = 0.

14. La excentricidad es 2 . Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por

el punto ( 3, 2 )

15. El punto P(a,b) pertenece al a hipérbola x2 – y2 = 16 en el primer cuadrante ,

además la distancia a su asíntota correspondiente es 2 2 . Hallar a + b
16. Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola son las rectas L1 : x – 2y -11 = 0 y
L2 : x+ 2y – 3 = 0. Hallar su ecuación, si su foco es F(8,-2).

17. Dada la ecuación de la hipérbola 9 x 2  4 y 2  18 x  8 y  31  0 , hallar en la asíntota

de pendiente positiva, todos los puntos Q de tal manera que el triángulo formado por Q
y los vértices de la hipérbola, tengan un área de 2 u2
18. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el foco de mayor ordenada de la

hipérbola 9 x 2  16 y 2  90 x  369  0 y con el eje transverso forman un ángulo de 120o

19. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de la hipérbola b2 x2

a 2b 2
– a2 y2 = a2 b2 a su asíntota es
c2

20. Hallar el ángulo de intersección de las asíntotas hipérbola 9x2 – y2 –36x -2y –44 = 0
21. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola x2 – 2y2 + 4x – 8y – 6 = 0, que
son paralelas a la recta 4x – 4y + 11 = 0
22. Hallar el ángulo formado por las tangentes trazadas del punto (3,6) a la hipérbola
x2 – y2 + 4x – 2y – 5 = 0
23. Hallar los valores de “m” para los cuales las rectas de la familia y = mx – 1, son
tangentes a la hipérbola 4x2 – 9y2 = 36
Profesor: Portilla Sandoval-Julio de 2023