Introducción a la probabilidad

La "probabilidad" palabra deriva del probare América (de probar, o para probar) Informalmente,
"probable" es una de varias palabras aplicadas a hechos o conocimientos inciertos, estrechamente
relacionados en significado a "probable, arriesgado, peligroso", y "dudoso". "Mayormente, las
probabilidades", y "apuesta" son otras palabras que expresan nociones similares.

Igualmente probables eventos

Emita su mente de nuevo a la discusión acerca de lanzar una moneda. Para un solo tirón el
espacio muestral fue el conjunto {h, t}. Suponiendo que la moneda es justa, la cabeza o la cola
resultados son igualmente probables. Esto significa que si lanzamos varias veces, la mitad de los
resultados serán cabezas y colas medio. Hay una aleatoriedad en el mover de un tirón y en la
práctica las proporciones podrían no ser exactamente la mitad de cada uno, pero los más saltos
que hacemos, cuanto más cerca la relación llegará a un medio. Nosotros decimos que la
probabilidad de que el resultado de "cabeza" es un medio.

De manera parecida la probabilidad de resultado "cola" es también un medio.

Para un dado de seis lados, el espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suponiendo de nuevo un
dado, todos los resultados son igualmente probable y hay seis posibilidades, por lo que dicen que
la probabilidad de cada resultado individual es 1/6

En general, para n igual de probables eventos, la probabilidad de cada evento individual es 1 / n.

Probabilidad de un evento
No todos los eventos son igualmente probables. Suponga que tiene una caja de zapatos de
diferentes colores. Los colores son: 7 negro, 4 blanco, 2 rojas, 6 azules, 5 marrón. Pon tu mano
en la caja y tomar un zapato sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un zapato rojo?

Hay 2 rojo y un total de 24 los zapatos en la caja. La probabilidad de escoger el rojo es 2/24 =
1/12.
Nos convertir esto en una fórmula general como sigue. El cuadro es un conjunto universal U.
Entonces n (T) = 24. Los zapatos rojos forman una AU subconjunto. La probabilidad de
escoger un miembro de A es P (A).

Entonces P (A) = n (A) / n (U)

Ejemplo 3.8.2
Un cajón de mi armario contiene 53 calcetines. 13 son los calcetines individuales y 40 son
miembros de un par. Si elijo un calcetín al azar, ¿cuál es la probabilidad de tener un solo
calcetín?

Solución
U es el cajón. n (U) = 53. Subconjunto SU es el subconjunto de calcetines individuales. n (S) =
13.
P (S) = n (S) / n (T) = 13/53

3.8.3 probabilidad de un evento complementaria

En el último ejemplo, hay 40 calcetines que son miembros de un par. El conjunto de pares de
calcetines es el complemento S' de S.
La probabilidad de elegir uno de los calcetines de un par es P(S') = 40/53.
Observe que P (S) + P (S') = 13/53 + 40/53 = (13 + 40) / 53 = 53/53 = 1
A menudo pensamos en esta relación reordenada como P(S) = 1 - P(S)

Esta es una fórmula general para todos los subconjuntos.

Algo más útil ha surgido de este. Eventos en S o S' son eventos complementarios. (Ya sea que
elija un solo calcetín o no. No hay otras posibilidades). Esto significa que u SS'= U.

Puesto que usted ha elegido un calcetín la probabilidad de escoger un calcetín es

P (U) = n (U) / n (T) = 1

Este es el mismo 1 como aparece a la derecha en la fórmula para P(S') anterior. Del mismo
modo, el conjunto SS'= 0, el conjunto vacío.
(Usted no puede escoger un calcetín que es a la vez único y parte de un par.)
Por lo tanto P (SS') = P(o) = n(o) / n(U) = 0/1 = 0.

• Cuando un evento es seguro de que tiene una probabilidad de 1.

• Cuando un evento es imposible que tiene una probabilidad de 0.

Ejemplo 3.8.3a
Un dado de seis caras normales se lanza una vez. Calcular la probabilidad de que la cara superior
es
a) un seis b) no es un seis c) un siete d) sin número
e) un número entero de 1 a 6 inclusive.

Solución
El dado es normal por lo que ha marcado caras 1 a 6. El espacio de muestra para el tiro es T = {1,
2, 3, 4, 5, 6} con n(T) = 6. Cada cara es igualmente probable. Por lo tanto la probabilidad de cada
uno es 1/6.

a) P (6) = 1/6 b) P (6') = 1-1/6 = 5/6 c) 7 es imposte, P (7) = 0

d) Un número se mostrará de modo P(ninguno) = 0 e) P (l, 2, 3, 4, 5, 6) = P (T) = 1

Ejemplo 5.8.3b
Un dado de seis caras se pondera de manera que es dos veces más propensos a caer con 6 hacia
arriba que cualquier otro número. El dado se lanza una vez. Calcular la probabilidad de que la
cara superior es
a) 6 b) No 6 c) 5 o 6.

Solución
Cada uno de los números del 1 al 5 tiene la misma probabilidad de aparecer.
Hay 5 de estos números.

El 6 tiene el doble de probabilidad de los otros por lo que se le asigna peso 2 cuando se sumen
los valores de probabilidad. 5 + 2 = 7 así que dividimos certeza (probabilidad 1) en 7 partes
iguales y asignamos 1 parte a cada una de las caras 1 a 5 y 2 partes a 6. Por lo tanto
a) 2/7 b) 5/7 c) (1 + 2)/7 = 3/7

Teoría del conocimiento

"Dios no juega a los dados con el universo" es una famosa cita del eminente científico Albert
Einstein. Enstein no le gustaba la evolución de la teoría atómica se producen en la primera parte
del siglo 20, en el que la naturaleza parecía ser intrínsecamente probabilística (no sólo rata no
podíamos medir las cosas exactamente). Esta revolución en el pensamiento, conocida como
Quantum Mechantes tuvo un enorme impacto en el siglo 20, no sólo en la ciencia, sino también
en la filosofía, el arte, la poesía, la arquitectura y la música Vea si puede encontrar más
información acerca de este impacto en su propia área de interés. Desde finales de 2007, predijo
nuevos resultados del centro de investigación CERN en Ginebra podrían tener un impacto aún
mayor en la manera en que pensamos sobre el Universo. Tiempos emocionantes están por
delante. Intente una búsqueda en Internet para "dimensiones extra"

Ejercicio 3.8
Un paquete normal de 52 cartas contiene 4 palos, espadas (), corazones (), diamantes () y
clubes (), que consisten en valores de 2 a 10, jota, reina, rey, as. Cada paquete tiene una de
cada valor de la tarjeta.

1 Si una tarjeta se elige al azar del paquete de encontrar la probabilidad de que sea
a) la reina de corazones b) un rey c) no es un diamante d) a partir de un traje rojo
(corazones o diamantes) e) un club pero no un as o un dos.

2 Supongamos que dos tarjetas son elegidos sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que
a) el primero es un as y el segundo un rey? b) el primero es un as y el segundo un rey
del mismo palo? c) si las tarjetas de cinco se dibujan sin reemplazo, ¿cuál es la
probabilidad de obtener un color (los cinco del mismo palo).

3 Un troquel se hace en la forma de un tetraedro, con caras que muestra un cuadrado, un círculo,
una parábola y una línea recta. Cuando es lanzado, cada cara tiene la misma probabilidad de caer
boca abajo. Calcular la probabilidad de la cara hacia abajo siendo
a) un círculo b) no es una forma curva c) no es un cuadrado, una línea recta
o un círculo.

4 Una bandeja de área de 100 cm2 con bordes elevados se divide en tres parches en forma
aleatoria de colores rojo, azul y verde. Las áreas de los parches son de color rojo de 32 cm2, azul
48 cm2, verde 20 cm2. Una pelota muy pequeña se echa en la bandeja y se dejó venir a descansar
Encuentre la probabilidad de que la bola se detiene
a) en la mancha roja b) no en la mancha verde c) en el rojo o el parche
verde.
(Suponga que la pelota nunca miente exactamente al otro lado de una frontera.)

Pregunta 4 no es tan tonto como parece. Áreas irregulares en realidad se pueden medir de esta
manera, por lo general el uso de una computadora. El área desconocida está incrustado en un
área conocida y un generador de números aleatorios genera un gran número de coordenadas de
puntos dentro de la zona conocida.

La relación (Número de puntos en área desconocida) / (Número total de puntos generados) x área
Conocido es una estimación de la zona desconocida.

Esta es una simple aplicación de un método llamado el método de Monte-Carlo utilizado en toda
la ciencia y la ingeniería

3.9 Diagramas de Venn y de árbol en la probabilidad

Diagramas de Venn
Cuando combinaciones de eventos se vuelven más complicadas que utilizamos diagramas de
Venn para representar la estructura y para ayudar con la búsqueda de probabilidades. Considere
el siguiente problema.

Ejemplo 3.9.1a
Año 12 en un determinado Colegio del Mundo del IB cuenta con 38 candidatos.
Uno de los candidatos matemáticas previstos y no está tomando el tema en el año 12.
De los otros 37 candidatos:
• 17 toman estudios matemáticos (MS)
• 14 toma de Matemáticas NM
• 6 toma matemáticas HL.

Un año 12 candidato es elegido al azar. Encuentre la probabilidad de que este candidato tiene
estudios matemáticos.

Solución
El problema es elemental y podríamos simplemente escribir la respuesta, pero lo utilizamos para
mostrar cómo utilizar un diagrama de Venn. El diagrama muestra se etiqueta con el número de
candidatos en cada conjunto (en lugar de los candidatos reales). No hay intersección de
cualquiera de los conjuntos.

Hay 17 miembros del conjunto MS y 38 candidatos en total, así la probabilidad es 17/38.

No siempre tenemos toda la información. A veces tenemos que trabajar en algunos de los
números para poner en el diagrama.

Ejemplo 3.9.1b
En un Colegio del Mundo del IB el número total de candidatos teniendo Programa del Diploma
• Estudios de matemáticas es 22
• Alemán es 16
• El francés es 21.
De éstos
2 están tomando los tres sujetos
9 están tomando los estudios matemáticos y francés, pero no Germán
7 están tomando los estudios matemáticos y Germán, pero no francés
6 están tomando sólo Germán.
a) Rellene esta información en un diagrama de Venn.
b) Hallar cuántos candidatos están tomando
i Germán y estudios franceses pero no matemáticos
i i francés solamente
iii sólo estudios matemáticos.
c) Si hay 49 candidatos de IB en esta escuela, calcular cuántos están haciendo ninguno de los
sujetos.
Rellene el resto de la información en el diagrama de Venn.
d) Si se elige un candidato al azar de los candidatos de IB, calcular la probabilidad de que este
candidato toma
i sólo una de las asignaturas
ii estudios alemanes o matemáticas.
e) Si se nos dice que este candidato hace alemana, ¿cuál es la probabilidad de que él / ella
también tiene estudios matemáticos?

Solución
a) El 2 se puede poner en la intersección central y el 6 en la región "sólo en alemán"
inmediatamente. Hay 9 candidatos a los estudios matemáticos y francés pero esto incluye la 2 ya
está ahí.
Tenemos que entrar en 9-2 = 7 en la región matemática y francés restante.
El 5 se obtiene de una manera similar.

b) i El total de Alemania es 16. La entrada que falta para las matemáticas alemanas y francesas,
pero no debe ser de 16 - (2 + 5 + 6) = 3
ii Ahora también podemos encontrar el número de sólo francés. Es 21 - (7 + 2 + 3) = 9
iii Para las matemáticas sólo hay 22 - (5 + 7 + 2) = 8 candidatos

c) Ahora tenemos un total de 8 + 5 + 6 + 7 + 3 + 2 + 9 = 40 candidatos y hay 49 en la escuela.

La diferencia es de 9, el número de candidatos que ninguno de los tres sujetos.

d) i El número total de candidatos es 49. Contador de los que tomaban un solo tema. La respuesta
es 6 + 8 + 9 = 23. La probabilidad debe ser 23/49.
ii El número haciendo estudios alemanes o matemáticas es n(GMS) = 8 + 7 + 2 + 5 + 3 + 6 (o
simplemente 22 + 3 + 6) = 31 por lo que la probabilidad es 31/49.

e) Ahora sabemos que este candidato es uno de los 16 haciendo alemán podemos ignorar otros
candidatos.
De estos 16 hay n(GMS) = 7 también hacer matemáticas. Por lo tanto la probabilidad es 7/16.

Esto se llama una probabilidad condicional y se estudiará con más detalle en una sección
posterior

3.9.2 Los diagramas de árbol

Podemos representar eventos alternativos, junto con sus probabilidades utilizando un diagrama
de árbol.

El diagrama de árbol más simple sólo tiene dos ramas. Por ejemplo las cabezas resultados (H) o
cruz (T) de lanzar una moneda al aire una vez que se muestran en este diagrama. La probabilidad
de cada evento se escribe al lado de la rama para ese evento
Si la moneda se voltea dos veces, hay cuatro posibles resultados. El árbol se extiende a un
segundo nivel de ramas, un par unido a la rama para una cabeza lanzado primero y un par a la de
una cola primero.

La probabilidad de obtener la secuencia de eventos a lo largo de una serie de sucursales en el

orden representado por esas ramas se obtiene multiplicando todas las probabilidades a lo largo
del camino recorrido. Por lo tanto la probabilidad de obtener una cabeza seguido de una cola
viene de seguir la rama superior primero, luego tomar la rama inferior.

Teoría del conocimiento

¿Por qué es importante para ¡n algunas áreas de las matemáticas y no en otros?

La probabilidad de obtener este resultado es ½ x ½ = ¼ .

Las probabilidades combinadas se han añadido al diagrama.

Tenga en cuenta que estas probabilidades combinadas suman 1.

¼ + ¼ + ¼ + ¼ = 1.
(Es cierto que si la moneda se voltea dos veces, uno de los posibles resultados finales serán los
que pasa.)

La probabilidad de obtener una cabeza y una cola independientemente de orden también puede
obtenerse a partir del diagrama, mediante la adición de las dos probabilidades correspondientes a
esos eventos: ¼ + ¼ = ½.

Ejemplo 3.9.2
La probabilidad de que Jasmine se despierta a las 7:30 am es de 0,6.
Si Jasmine se despierta a las 7:30, entonces la probabilidad de que ella va a coger el autobús de
la escuela es de 0,9.
Si duerme más tarde de las 7:30, la probabilidad de que ella va a coger el autobús es de 0,4.
Dibuja un diagrama de árbol que representa esta situación. Calcular la probabilidad de que
Jasmine cogerá el autobús en un día. Si jazmín va a la escuela en 280 días en el año, ¿cuántos de
estos días va a Jasmine coger el autobús?

Solución
La primera sucursal debe representar a despertar a las 7:30.
La probabilidad de hacer esto es 0,6 lo que la probabilidad de no hacerlo es 1-0,6 = 0,4.
(Ellos son eventos complementarios.)

Introduction to probabílíty
The Word "probability" derives from the Latin probare (to prove, or to test) Informally,
"probable" is one of several words applied to uncertain events or knowledge, being closely
related in meaning to "likely, risky, hazardous", and "doubtful". "Chance, odds", and “bet” are
other words expressing similar notions.

Equally likely events

Cast your mind back to the discussion about flipping a coin. For a single flip the sample space
was the set {h, t}. Assuming the coin is fair, the results head or tail are equally likely. This means
that if we flip several times, about half the results will be heads and half tails. There is a
randomness in the flipping and in practice the proportions might not be exactly half of each, but
the more flips we make, the closer the ratio will get to a half. We say that the probability of the
result "head" is 1/2.

Similary the probability of result "tail" is also 1/2.

For a six-sided die, the sample space is {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Again assuming a fair die, all the results
are
equally likely and there are six possibilities, so we say the probability of each single result is 1/6

In general, for n equally likely events, the probability of each individual event is 1/n.

Probability of an event
Not all events are equally likely. Suppose you have a box of shoes of different colours. The
colours are: 7 black, 4 white, 2 red, 6 blue, 5 brown. Put your hand in the box and take a shoe
without looking. What is the probability of picking a red shoe?

There are 2 red and a total of 24 shoes in the box. The probability of picking red is 2/24 = 1/12.
We turn this into a general formula as follows. The box is a universal set U. Then n(U) = 24. The
red shoes form a subset AU. The probability of picking a member of A is P(A).
ThenP(A) = n(A)/n(U)

Example 3.8.2
A drawer in my cupboard contains 53 socks. 13 are single socks and 40 are members of a pair. If
I pick a sock at random, what is the probability of taking a single sock?

Solution
U is the drawer. n(U) = 53. Subset SU is the subset of single socks. n(S) = 13.
P(S)=n(S)/n(U)=13/53

3.8.3 Probability of a complementary event

In the last example, there are 40 socks that are members of a pair. The set of pairs of socks is the
complement S' of S.
The probability of picking one of the socks from a pair is P(S') =40/53.
Notice that P(S) + P(S') = 13/53 + 40/53 = (13 + 40)/53 = 53/53 = 1

We often think of this relation re-ordered as P(S') = 1 - P(S)

This is a general formula for all subsets.

Something else useful has emerged from this. Events in S or S' are complementary events.
(Either you pick a single sock or you do not. There are no other possibilities.) This means that S
u S' = U.

Since you have picked a sock the probability of picking a sock is

P(U)= n(U)/n(U)=1

This is the same 1 as appears on the right in the formula for P(S') above. Similarly, the set S n S'
= 0, the empty set.
(You cannot pick a sock that is both single and part of a pair.)
Hence P(S n S') = P(0) = n(o)/ n(U) = 0/1 = 0.

• When an event is certain it has a probability of 1.

• When an event is impossible it has a probability of 0.

Example 3.8.3a
A normal six-sided die is thrown once. Calculate the probability that the top face is
a) a six b) not a six c) a seven d) no number
e) a whole number from 1 to 6 inclusive.

Solution
The die is normal so it has faces marked 1 to 6. The sample space for the throw is T= {1, 2, 3, 4,
5, 6} with n(T) = 6. Each face is equally likely. Hence the probability of each is 1/6.

a) P(6) = 1/6 b) P(6') =1-1/6=5/6 c) 7 is imposte, P(7) = 0

d) A number will show so P(none) = 0 e) P(l, 2, 3, 4, 5, 6) = P(T) = 1

Example 5.8.3b
A six-sided die is weighted so that it is twice as likely to fall with 6 facing up than any other
number. The die is thrown once. Caculate the probability that the top face is
a) 6 b) not 6 c) 5 or 6.
Solution
Each of the numbers 1 to 5 has an equal probability of appearing.
There are 5 of these numbers.

The 6 has twice the probability of the others so it is assigned weight 2 when adding up the
probability values. 5 + 2 = 7 so we divide certainty (probability 1) into 7 equal parts and assign 1
part to each of faces 1 to 5 and 2 parts to 6. Hence
A 2/7 b 5/7 c 1+2/7 = 3/7

Theory of knowledge
“God does not play dice with the universe" is a famous quote from the eminent scientist Albert
Einstein. Enstein did not like the developments in atomic theory occurring in the early part of the
20th century, in which nature seemed to be inherently probabilistic (not just rat we couldn't
measure things exactly). This revolution in thought, known as Quantum Mechantes had an
enormous impact in the early 20th century, not just on science but also on philosophy, art,
poetry, architecture and music. See if you can find out more about this impact in your own área
of interest. From the end of 2007, predicted new results from the CERN research centre in
Geneva could have an even bigger impact on the way we think about the Universe. Exciting
times are ahead. Try an Internet search for "Extra dimensions"

Excercise 3.8
A normal pack of 52 playing cards contains 4 suits, spades (*), hearts (v), diamonds («) and
clubs (*), consisting of values 2 to 10, jack, queen, king, ace. Each pack has one of each card
value.

1 If a card is chosen at random from the pack find the probability that it is
a) the queen of hearts b) a king c) not a diamond d) from a red suit
(hearts or diamonds) e) a club but not an ace or a two.
2 Suppose two cards are chosen without replacement. What is the probability that
a) the first is an ace and the second a king? b) the first is an ace and the second a
king of the same suit? c) if fíve cards are drawn without replacement, what is the
probability of getting a flush (all five in the same suit).
3 A die is made in the form of a tetrahedron, with faces showing a square, a circle, a parabola
and a straight line. When thrown, each face is equally likely to fall face down. Calculate
the probability of the downward face being
a) a circle b) not a curved shape c) not a square, a straight line or a circle.
4 A tray of area 100 cm2 with raised edges is divided into three randomly shaped patches
coloured red, blue and green. The areas of the patches are red 32 cm2, blue 48 cm2, green
20 cm2. A very small ball is thrown into the tray and allowed to come to rest Find the
probability that the ball comes to rest
a) in the red patch b) not in the green patch c) in the red or the green patch.
(Assume that the ball never lies exactly across a boundary.)

Question 4 is not as silly as it seems. Irregular areas can actually be measured this way, usually
using a computer. The unknown area is embedded in a known area and a random number
generator generates a large number of coordinates of points inside the known area.

The ratio (Number of points in unknown área)/(Total number of points generated) x Known area
is
an estimate of the unknown area.
This is a simple application of a method called the Monte-Carlo method used throughout
science and engineering.

3.9 Venn and tree diagrams in probability

3.9.1 Venn diagrams
When combinations of events become more complicated we use Venn diagrams to picture the
structure and to help with finding probabilities. Consider the following problem.

Example 3.9.1a
Year 12 at a certain IB World School has 38 candidates.
One candidate anticipated mathematics and is not taking the subject in Year 12.
Of the other 37 candidates:
• 17 take mathematical studies (MS)
• 14 take mathematics SL
• 6 take mathematics HL.

A year 12 candidate is picked at random. Find the probability that this candidate takes
mathematical studies.

Solution
The problem is elementary and we could just write down the answer, but we
use it to show how to use a Venn diagram. The diagram shown is labelled
with the numbers of candidates in each set (rather than the actual candidates).
There is no ntersection of any of the sets.

There are 17 members of set MS and 38 candidates in total so

the probability is 17/38.

We do not always have all the information. Sometimes we have to work out some of the
numbers to put in the diagram.

Example 3.9.1b
In an IB World School the total number of candidates taking Diploma Programme
• mathematical studies is 22
• German is 16
• French is 21.
Of these
2 are taking all three subjects
9 are taking mathematical studies and French but not Germán
7 are taking mathematical studies and Germán but not French
6 are taking Germán only.
a) Fill in this information on a Venn diagram.
b) Find how many candidates are taking
i Germán and French but not mathematical studies
i i French only
iii mathematical studies only.
c) If there are 49 IB candidates in this school, calculate how many are doing none of the
subjects.
Fill in the rest of the information on the Venn diagram.
d) If a candidate is chosen at random from the IB candidates, calculate the probability that this
candidate takes
i just one of the subjects
 ii German or mathematical studies.
e) If we are told that this candidate does do German, what is the probability that s/he also
takes mathematical studies?

Solution
a) The 2 can be put in the central intersection and the 6 in the "German only" región
immediately. There are 9 candidates taking mathematical studies and Prendi but this includes the
2 already there.
We need to enter 9 - 2 = 7 in the remaining mathematical and French región.
The 5 is obtained in a similar way.

b) i The total for German is 16. The missing entry for German and French but not mathematics
must be 16 - (2 + 5 + 6) = 3
ii Now we can also find the number for French only. Itis21 - (7 + 2 + 3) = 9
iii For mathematics only there are 22 - (5 + 7 + 2) = 8 candidates

c) We now have a total of 8 + 5 + 6 + 7 + 3 + 2 + 9 = 40 candidates and there are 49 in the

school.
The difference is 9, the number of candidates taking none of the three subjects.
d) i The total number of candidates is 49. Count those taking only one subject. The answer is 6
+ 8 + 9 = 23. The probability must be 23/49.
ii The number doing German or mathematical studies is n(G u MS) = 8 + 7 + 2 + 5 + 3 + 6
(or just 22 + 3 + 6) = 31 so the probability is 31/49.
e) Now we know this candidate is one of the 16 doing German we can ignore other candidates.
Of these 16 there are n(G n MS) = 7 also doing mathematics. Henee the probability is 7/16.
This is called a conditional probability and will be studied further in a later section.

3.9.2 Tree diagrams

We can represent alternative events along with their probabilities using a tree diagram.

The simplest tree diagram has only two branches. For example the results heads (H) or tails (T)
of flipping a fair coin once are shown in this diagram. The probability of each event is written
next to the branch for that event

If the coin is flipped twice, there are four possible outcomes. The tree is extended to a second
level of branches, one pair attached to the branch for a head thrown first and one pair to that for a
tail first.
The probability of obtaining the sequence of events along a set of branches in the order
represented by those branches is obtained by multiplying all the probabilities along the path
taken. Hence the probability of obtaining a head followed by a tail comes from following the top
branch first, then taking the lower branch.

Theory of knowledge
Why is order important ¡n some áreas of mathematics and not in others?

The probability of getting this result is 1/2 x ½ = 1/4.

The combined probabilities have been added to the diagram.

Notice that these combined probabilities add up to 1.

¼ + ¼ + ¼ + ¼ = 1.
(It is certain that if the coin is flipped twice, one of the possible final results will be what
happens.)

The probability of obtaining a head and a tail regardless of order can also be obtained from
the diagram, by adding the two probabilities corresponding to those events: ¼ + ¼ = 1/2.

Example 3.9.2
The probability that Jasmine wakes up by 7:30 am is 0.6.
If Jasmine wakes up by 7:30, then the probability that she will catch the school bus is 0.9.
If she sleeps later than 7:30, the probability that she will catch the bus is 0.4.
Draw a tree diagram representing this situation. Calculate the probability that Jasmine will
catch the bus on any one day. If Jasmine goes to school on 280 days in the year, how many of
these days will Jasmine catch the bus?

The first branch must represent waking by 7:30.

The probability of doing this is 0.6 so the probability of not doing so is 1 - 0.6 = 0.4.
(They are complementary events.)