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Math 302 Lecture Notes
Kenneth Kuttler
February 4, 2015
2
Contents
I Introduction 11
II Vectors, Vector Products, Lines 15

1 Vectors And Points In Rn 17
1.1 Rn Ordered n− tuples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Vectors And Algebra In Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Geometric Meaning Of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Geometric Meaning Of Vector Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Distance Between Points In Rn Length Of A Vector . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Geometric Meaning Of Scalar Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Unit Vectors (Direction Vectors) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Parametric Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9 Vectors And Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.10 The Special Unit Vectors i, j, k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Vector Products 37
2.1 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Definition In terms Of Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 The Geometric Meaning Of The Dot Product, The Included Angle . . 38
2.1.3 The Cauchy Schwarz Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.4 The Triangle Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.5 Direction Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.6 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.7 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.1 Cross Product, Geometric Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 The Coordinate Description Of The Cross Product . . . . . . . . . . . 49
2.2.3 A Physical Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.4 The Box Product, Triple Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.5 A Proof Of The Distributive Law For The Cross Product∗ . . . . . . . 52
2.2.6 Torque, Moment Of A Force∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.7 Angular Velocity∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.8 Center Of Mass∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Further Explanations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.1 The Distributive Law For The Cross Product∗ . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2 Vector Identities And Notation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
4 CONTENTS
III Planes And Systems Of Equations 67

3 Planes 69
3.1 Finding Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1 The Cartesian Equation Of A Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 The Plane Which Contains Three Points . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.3 The Cartesian Equation For Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.4 Parametric Equation For A Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.5 Triple Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.6 The Angle Between Two Planes∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.7 Intercepts Of A Plane∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.8 Distance Between A Point And A Plane Or A Point And A Line∗ . . 75
4 Systems Of Linear Equations 79

4.1 Systems Of Equations, Geometric Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Systems Of Equations, Algebraic Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.1 Elementary Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2 Gauss Elimination, Row Echelon Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Matrices 95
5.1 Matrix Operations And Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.1 Addition And Scalar Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . 95
5.1.2 Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.1.3 The ij th Entry Of A Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1.4 Graphs And Digraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.5 Properties Of Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.6 The Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.7 The Identity And Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 Finding The Inverse Of A Matrix, Gauss Jordan Method . . . . . . . . . . . . 110
5.3 Systems Of Equations And Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4 Elementary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5 Finding Linear Relationships Between Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5.1 The Great And Glorious Lemma On Row Operations . . . . . . . . . 125
5.5.2 Theory Of Row Reduced Echelon Form∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.6 Block Multiplication Of Matrices∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.8 The Rank Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6 The LU and QR Factorization 145

6.0.1 Definition Of An LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.0.2 Finding An LU Factorization By Inspection . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.0.3 Using Multipliers To Find An LU Factorization . . . . . . . . . . . . . 146
6.0.4 Solving Systems Using A LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1 The QR Factorization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7 Determinants 153
7.1 Basic Techniques And Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1.1 Cofactors And 2 × 2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1.2 The Determinant Of A Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.1.3 Properties Of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.1.4 Finding Determinants Using Row Operations . . . . . . . . . . . . . . 159
CONTENTS 5
7.1.5 A Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.1.6 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.2 The Mathematical Theory Of Determinants∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.3 The Cayley Hamilton Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8 Vector Spaces Subspaces Bases 179

8.0.1 What Is A Vector Space? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.0.2 What Is A Subspace? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.0.3 What Is A Span? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.1 Linear Independence, Bases, Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.1 Linear Independence For Spaces Of Functions . . . . . . . . . . . . . . 191
8.1.2 Row Space, Column Space, And Null Space . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.2 Row Column And Determinant Rank∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9 Linear Transformations 201

9.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.1 What Is A Linear Transformation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.2 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.3 Constructing The Matrix Of A Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . 204
9.3.1 Rotations in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.3.2 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.3.3 Algebraically Defined Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . 207
9.3.4 Matrices Which Are One To One Or Onto . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.3.5 Similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.3.6 The General Solution Of A Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10 Eigenvalues And Eigenvectors Of A Matrix 217

10.1 Definition Of Eigenvectors And Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.2 Finding Eigenvectors And Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.3 A Warning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.4 Some Useful Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.5 Defective And Nondefective Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.6 Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.7 The Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.8 Migration Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.9 Complex Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10.10The Estimation Of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10.11Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11 Curves In Space 247

11.1 Limits Of A Vector Valued Function Of One Variable . . . . . . . . . . . . . 247
11.2 The Derivative And Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.2.1 Arc Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.2.2 Geometric And Physical Significance Of The Derivative . . . . . . . . 253
11.2.3 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.2.4 Leibniz’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11.2.5 Motion Of A Projectile (Idealized) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6 CONTENTS
12 Newton’s Laws Of Motion∗ 261

12.1 Kinetic Energy∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.2 Impulse And Momentum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.3 Conservation Of Momentum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
13 Physics Of Curvilinear Motion 269

13.0.1 The Acceleration In Terms Of The Unit Tangent And Normal . . . . . 269
13.0.2 The Circle Of Curvature* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.1 Geometry Of Space Curves∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13.2 Independence Of Parametrization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
13.2.1 Hard Calculus∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
13.2.2 Independence Of Parametrization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.3 Product Rule For Matrices∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
13.4 Moving Coordinate Systems∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
IV Functions Of Many Variables 291

14 Functions Of Many Variables 293
14.1 The Graph Of A Function Of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
14.2 The Domain Of A Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.3 Quadric Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.4 Open And Closed Sets∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.5 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
14.6 Sufficient Conditions For Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
14.7 Properties Of Continuous Functions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
15 Limits Of A Function 307

15.1 The Limit Of A Function Of Many Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
15.2 The Directional Derivative And Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 311
15.2.1 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
15.2.2 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
15.2.3 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
15.3 Some Fundamentals∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
15.3.1 The Nested Interval Lemma∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
15.3.2 The Extreme Value Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
15.3.3 Sequences And Completeness∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
15.3.4 Continuity And The Limit Of A Sequence∗ . . . . . . . . . . . . . . . 326
V Differentiability 327
16 Differentiability 329
16.1 The Definition Of Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
16.2 C 1 Functions And Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
16.3 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.3.1 Separable Differential Equations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
16.4 Exercises With Answers∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
16.4.1 A Heat Seaking Particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
16.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
16.5.1 Related Rates Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
CONTENTS 7
16.6 Taylor’s Formula An Application Of Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . 343

16.7 Normal Vectors And Tangent Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
17 Extrema Of Functions Of Several Variables 349

17.1 Local Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
17.2 The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
17.2.1 Functions Of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
17.2.2 Functions Of Many Variables∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
17.3 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
17.4 Finding Function From Its Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
18 The Derivative Of Vector Valued Functions, What Is The Derivative?∗ 367

18.1 C 1 Functions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
18.2 The Chain Rule∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
18.2.1 The Chain Rule For Functions Of One Variable∗ . . . . . . . . . . . . 373
18.2.2 The Chain Rule For Functions Of Many Variables∗ . . . . . . . . . . . 373
18.2.3 The Derivative Of The Inverse Function∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 377
18.2.4 Acceleration In Spherical Coordinates∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
18.3 Proof Of The Chain Rule∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
18.4 Proof Of The Second Derivative Test∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
19 Implicit Function Theorem∗ 385

19.1 The Method Of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
19.2 The Local Structure Of C 1 Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
VI Multiple Integrals 393

20 The Riemann Integral On Rn 395
20.1 Methods For Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
20.1.1 Density Mass And Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
20.2 Double Integrals In Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
20.3 A Few Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
20.4 Surface Area And Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
20.5 Methods For Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
20.5.1 Definition Of The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
20.5.2 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
20.5.3 Mass And Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
21 The Integral In Other Coordinates 423

21.1 Cylindrical And Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
21.1.1 Geometric Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
21.1.2 Volume And Integrals In Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . 424
21.1.3 Volume And Integrals In Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . 425
21.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
21.3 The General Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
21.5 The Moment Of Inertia ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
21.5.1 The Spinning Top∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
21.5.2 Kinetic Energy∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
8 CONTENTS
21.6 Finding The Moment Of Inertia And Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . 449

VII Line Integrals 457

22 Line Integrals 459
22.0.1 Orientations And Smooth Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
22.0.2 The Integral Of A Function Defined On A Smooth Curve . . . . . . . 461
22.0.3 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
22.0.4 Line Integrals And Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
22.0.5 Another Notation For Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
22.2 Conservative Vector Fields, Path Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
22.2.1 Finding The Scalar Potential, (Recover The Function From Its Gradient)469
22.2.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
22.3 Divergence, Gradient, Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
22.3.1 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
22.3.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
22.3.3 Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
22.3.4 Identities Involving Curl Divergence And Gradient . . . . . . . . . . . 473
22.3.5 Vector Potentials∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
VIII Green’s Theorem, Integrals On Surfaces 475

23 Green’s Theorem 477
23.1 An Alternative Explanation Of Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 480
23.2 Area And Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
24 The Integral On Two Dimensional Surfaces In R3 485

24.1 Parametrically Defined Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
24.2 The Two Dimensional Area In R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
24.2.1 Surfaces Of The Form z = f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
24.3 Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
IX The Divergence Theorem And Stoke’s Theorem 505

25 Divergence And Curl 507
25.1 Divergence Of A Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
25.2 Curl Of A Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
26 The Divergence Theorem 509

26.0.1 Green’s Theorem, A Review∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
26.0.2 Coordinate Free Concept Of Divergence, Flux Density . . . . . . . . . 514
26.1 The Weak Maximum Principle∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
26.2 Some Applications Of The Divergence Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 516
26.2.1 Hydrostatic Pressure∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
26.2.2 Archimedes Law Of Buoyancy∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
26.2.3 Equations Of Heat And Diffusion∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
CONTENTS 9
26.2.4 Balance Of Mass∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

26.2.5 Balance Of Momentum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
26.2.6 Frame Indifference∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
26.2.7 Bernoulli’s Principle∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
26.2.8 The Wave Equation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
26.2.9 A Negative Observation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
26.2.10 Electrostatics∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
27 Stokes And Green’s Theorems 529

27.1 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
27.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
27.3 Stoke’s Theorem From Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
27.3.1 The Normal And The Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
27.3.2 The Mobeus Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
27.3.3 The Meaning Of The Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
27.3.4 Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
27.3.5 Some Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
27.4 Maxwell’s Equations And The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
X Some Iterative Techniques For Linear Algebra 551

28 Iterative Methods For Linear Systems 553
28.1 Jacobi Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
28.2 Gauss Seidel Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
29 Iterative Methods For Finding Eigenvalues 563

29.1 The Power Method For Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
29.1.1 Rayleigh Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
29.2 The Shifted Inverse Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
XI The Correct Version Of The Riemann Integral ∗ 575

A The Theory Of The Riemann Integral∗∗ 577
A.1 An Important Warning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
A.2 The Definition Of The Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
A.3 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
A.4 Which Functions Are Integrable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
A.5 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
A.6 The Change Of Variables Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
A.7 Some Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
Copyright ⃝
c 2005,
10 CONTENTS
Part I
Introduction
11
13
These are the lecture notes for my section of Math 302. They are pretty much in
the order of the syllabus for the course. You don’t need to read the starred sections and
chapters and subsections. These are there to provide depth in the subject. To quote from
the mission statement of BYU, “ Depth comes when students realize the effect of rigorous,
coherent, and progressively more sophisticated study. Depth helps students distinguish
between what is fundamental and what is only peripheral; it requires focus, provides intense
concentration. ...” To see clearly what is peripheral you need to read the fundamental and
difficult concepts, most of which are presented in the starred sections. These are not always
easy to read and I have indicated the most difficult with a picture of a dragon. Some are
not much harder than what is presented in the course. A good example is the one which
defines the derivative. If you don’t learn this material, you will have trouble understanding
many fundamental topics. Some which come to mind are basic continuum mechanics (The
deformation gradient is a derivative.) and Newton’s method for solving nonlinear systems
of equations.(The entire method involves looking at the derivative and its inverse.) If you
don’t want to learn anything more than what you will be tested on, then you can omit these
sections. This is up to you. It is your choice.
A word about notation might help. Most of the linear algebra works in any field. Exam-
ples are the rational numbers, the integers modulo a prime number, the complex numbers,
or the real numbers. Therefore, I will often write F to denote this field. If you don’t like
this, just put in R and you will be fine. This is the main one of interest. However, I at least
want you to realize that everything holds for the complex numbers in addition to the reals.
In many applications this is essential so it does not hurt to begin to realize this. Also, I will
write vectors in terms of bold letters. Thus u will denote a vector. Sometimes people write
something like ⃗u to indicate a vector. However, the bold face is the usual notation so I am
using this in these notes. On the board, I will likely write the other notation. The norm
or length of a vector is often written as ||u|| . I will usually write it as |u| . This is standard
notation also although most books use the double bar notation. The notation I am using
emphasizes that the norm is just like the absolute value which is an important connection
to make. It also seems less cluttered. You need to understand that either notation means
the same thing.
For a more substantial treatment of certain topics, there is a complete calculus book on
my web page. There are significant generalizations which unify all the notions of volume
into one beautiful theory. I have not pursued this topic in these notes but it is in the calculus
book. There are other things also, especially all the one variable theory if you need a review.
14
Part II
Vectors, Vector Products, Lines
15
Chapter 1
Vectors And Points In Rn
1.1 Rn Ordered n− tuples

The notation, Rn refers to the collection of ordered lists of n real numbers. More precisely,
consider the following definition.
Definition 1.1.1 Define
Rn ≡ {(x1 , · · ·, xn ) : xj ∈ R for j = 1, · · ·, n} .
(x1 , · · ·, xn ) = (y1 , · · ·, yn ) if and only if for all j = 1, ···, n, xj = yj . When (x1 , · · ·, xn ) ∈ Rn ,

it is conventional to denote (x1 , · · ·, xn ) by the single bold face letter, x. The numbers, xj
are called the coordinates. The set
{(0, · · ·, 0, t, 0, · · ·, 0) : t ∈ R }
for t in the ith slot is called the ith coordinate axis coordinate axis, the xi axis for short.
The point 0 ≡ (0, · · ·, 0) is called the origin.
Thus (1, 2, 4) ∈ R3 and (2, 1, 4) ∈ R3 but (1, 2, 4) ̸= (2, 1, 4) because, even though the
same numbers are involved, they don’t match up. In particular, the first entries are not
equal.
Why would anyone be interested in such a thing? First consider the case when n = 1.
Then from the definition, R1 = R. Recall that R is identified with the points of a line.
Look at the number line again. Observe that this amounts to identifying a point on this
line with a real number. In other words a real number determines where you are on this
line. Now suppose n = 2 and consider two lines which intersect each other at right angles
as shown in the following picture.
6 · (2, 6)
(−8, 3) · 3
2
−8
17
18 CHAPTER 1. VECTORS AND POINTS IN RN
Notice how you can identify a point shown in the plane with the ordered pair, (2, 6) .
You go to the right a distance of 2 and then up a distance of 6. Similarly, you can identify
another point in the plane with the ordered pair (−8, 3) . Go to the left a distance of 8 and
then up a distance of 3. The reason you go to the left is that there is a − sign on the eight.
From this reasoning, every ordered pair determines a unique point in the plane. Conversely,
taking a point in the plane, you could draw two lines through the point, one vertical and the
other horizontal and determine unique points, x1 on the horizontal line in the above picture
and x2 on the vertical line in the above picture, such that the point of interest is identified
with the ordered pair, (x1 , x2 ) . In short, points in the plane can be identified with ordered
pairs similar to the way that points on the real line are identified with real numbers. Now
suppose n = 3. As just explained, the first two coordinates determine a point in a plane.
Letting the third component determine how far up or down you go, depending on whether
this number is positive or negative, this determines a point in space. Thus, (1, 4, −5) would
mean to determine the point in the plane that goes with (1, 4) and then to go below this
plane a distance of 5 to obtain a unique point in space. You see that the ordered triples
correspond to points in space just as the ordered pairs correspond to points in a plane and
single real numbers correspond to points on a line.
You can’t stop here and say that you are only interested in n ≤ 3. What if you were
interested in the motion of two objects? You would need three coordinates to describe
where the first object is and you would need another three coordinates to describe where
the other object is located. Therefore, you would need to be considering R6 . If the two
objects moved around, you would need a time coordinate as well. As another example,
consider a hot object which is cooling and suppose you want the temperature of this object.
How many coordinates would be needed? You would need one for the temperature, three
for the position of the point in the object and one more for the time. Thus you would need
to be considering R5 . Many other examples can be given. Sometimes n is very large. This
is often the case in applications to business when they are trying to maximize profit subject
to constraints. It also occurs in numerical analysis when people try to solve hard problems
on a computer.
There are other ways to identify points in space with three numbers but the one presented
is the most basic. In this case, the coordinates are known as Cartesian coordinates after
Descartes1 who invented this idea in the first half of the seventeenth century. I will often
not bother to draw a distinction between the point in n dimensional space and its Cartesian
coordinates.
1.2 Vectors And Algebra In Rn

There are two algebraic operations done with points of Rn . One is addition and the other
is multiplication by numbers, called scalars.
Definition 1.2.1 If x ∈ Rn and a is a number, also called a scalar, then ax ∈ Rn
is defined by
ax = a (x1 , · · ·, xn ) ≡ (ax1 , · · ·, axn ) . (1.1)
This is known as scalar multiplication. If x, y ∈ R then x + y ∈ R and is defined by
n n
x + y = (x1 , · · ·, xn ) + (y1 , · · ·, yn )
≡ (x1 + y1 , · · ·, xn + yn ) (1.2)
1 René Descartes 1596-1650 is often credited with inventing analytic geometry although it seems the ideas
were actually known much earlier. He was interested in many different subjects, physiology, chemistry, and
physics being some of them. He also wrote a large book in which he tried to explain the book of Genesis
scientifically. Descartes ended up dying in Sweden.
1.3. GEOMETRIC MEANING OF VECTORS 19
An element of Rn , x ≡ (x1 , · · ·, xn ) is often called a vector. The above definition is known

as vector addition.
With this definition, the algebraic properties satisfy the conclusions of the following
theorem.
Theorem 1.2.2 For v, w vectors in Rn and α, β scalars, (real numbers), the fol-
lowing hold.
v + w = w + v, (1.3)
the commutative law of addition,
(v + w) + z = v+ (w + z) , (1.4)
the associative law for addition,

v + 0 = v, (1.5)
the existence of an additive identity,
v+ (−v) = 0, (1.6)
the existence of an additive inverse, Also
α (v + w) = αv+αw, (1.7)
(α + β) v =αv+βv, (1.8)
α (βv) = αβ (v) , (1.9)
1v = v. (1.10)
In the above 0 = (0, · · ·, 0).
You should verify these properties all hold. For example, consider 1.7
α (v + w) = α (v1 + w1 , · · ·, vn + wn )
= (α (v1 + w1 ) , · · ·, α (vn + wn ))
= (αv1 + αw1 , · · ·, αvn + αwn )
= (αv1 , · · ·, αvn ) + (αw1 , · · ·, αwn )
= αv + αw.
As usual subtraction is defined as x − y ≡ x+ (−y) .
1.3 Geometric Meaning Of Vectors

Definition 1.3.1 Let x = (x1 , · · ·, xn ) be the coordinates of a point in Rn . Imagine
an arrow with its tail at 0 = (0, · · ·, 0) and its point at x as shown in the following picture
in the case of R3 .
(x1 , x2 , x3 ) = x
3
20 CHAPTER 1. VECTORS AND POINTS IN RN
Then this arrow is called the position vector of the point, x. Given two points, P, Q
whose coordinates are (p1 , · · ·, pn ) and (q1 , · · ·, qn ) respectively, one can also determine the
vector defined as follows. Also one can obtain a vector from a given two points.
−−→
P Q ≡ (q1 − p1 , · · ·, qn − pn )
Thus every point determines such a vector and conversely, every such vector (arrow)
which has its tail at 0 determines a point of Rn , namely the point of Rn which coincides
with the point of the vector.
Imagine taking the above position vector and moving it around, always keeping it point-
ing in the same direction as shown in the following picture.
3 (x1 , x2 , x3 ) = x
3
3 3
After moving it around, it is regarded as the same vector because it points in the same
direction and has the same length.2 Thus each of the arrows in the above picture is regarded
as the same vector. The components of this vector are the numbers, x1 , · · ·, xn . You
should think of these numbers as directions for obtainng an arrow. Starting at some point,
(a1 , a2 , · · ·, an ) in Rn , you move to the point (a1 + x1 , · · ·, an ) and from there to the point
(a1 + x1 , a2 + x2 , a3 · ··, an ) and then to (a1 + x1 , a2 + x2 , a3 + x3 , · · ·, an ) and continue this
way until you obtain the point (a1 + x1 , a2 + x2 , · · ·, an + xn ) . The arrow having its tail
at (a1 , a2 , · · ·, an ) and its point at (a1 + x1 , a2 + x2 , · · ·, an + xn ) looks just like the arrow
which has its tail at 0 and its point at (x1 , · · ·, xn ) so it is regarded as the same vector.
1.4 Geometric Meaning Of Vector Addition

It was explained earlier that an element of Rn is an n tuple of numbers and it was also
shown that this can be used to determine a point in three dimensional space in the case
where n = 3 and in two dimensional space, in the case where n = 2. This point was specified
relative to some coordinate axes.
Consider the case where n = 3 for now. If you draw an arrow from the point in three
dimensional space determined by (0, 0, 0) to the point (a, b, c) with its tail sitting at the
point (0, 0, 0) and its point at the point (a, b, c) , this arrow is called the position vector
of the point determined by u ≡ (a, b, c) . One way to get to this point is to start at (0, 0, 0)
and move in the direction of the x1 axis to (a, 0, 0) and then in the direction of the x2 axis
to (a, b, 0) and finally in the direction of the x3 axis to (a, b, c) . It is evident that the same
arrow (vector) would result if you began at the point, v ≡ (d, e, f ) , moved in the direction
of the x1 axis to (d + a, e, f ) , then in the direction of the x2 axis to (d + a, e + b, f ) , and
finally in the x3 direction to (d + a, e + b, f + c) only this time, the arrow would have its
tail sitting at the point determined by v ≡ (d, e, f ) and its point at (d + a, e + b, f + c) . It
is said to be the same arrow (vector) because it will point in the same direction and have
the same length. It is like you took an actual arrow, the sort of thing you shoot with a bow,
and moved it from one location to another keeping it pointing the same direction. This
is illustrated in the following picture in which v + u is illustrated. Note the parallelogram
determined in the picture by the vectors u and v.
2 I will discuss how to define length later. For now, it is only necessary to observe that the length should
be defined in such a way that it does not change when such motion takes place.
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Or revenons au Breton qui porta les deffiances
dou roy Charle de France au roy Edouwart
d’Engleterre.
§ 610. Tant esploita cilz dis varlés qu’il vint à

25 Londres, et entendi que li rois d’Engleterre et ses
consaulz estoient ou palais de Wesmoustier, et avoient
là un grant temps parlementé et consilliet sus les besongnes
de le princeté et l’afaire dou prince, qui estoit
des barons de Gascongne guerriiés, à savoir comment
30 il s’en maintenroient, et quelz gens d’Engleterre
on y envoieroit pour conforter le prince. Evous
[110] venues autres nouvelles, qui leur donna plus à penser
que devant; car li varlés, qui les dittes deffiances
aportoit, fist tant qu’il entra en le ditte cambre, où
li rois et tous ses consauls estoient, et dist qu’il estoit
5 uns varlés de l’ostel dou roy Charle de France,
là envoiiés de par le dit roy, et aportoit lettres qui
s’adreçoient au roy d’Engleterre, mès mies ne savoit
de quoi elles parloient, ne point à lui n’en apertenoit
de parler ne dou savoir. Si les offri il en genoulz
10 au roy. Li rois, qui desiroit à savoir quel
cose il y avoit dedens, les fist prendre, ouvrir et lire.
Or furent moult esmervilliet li rois qui là estoit et
tout cil qui les oïrent lire, quant il entendirent les
deffiances, et regardèrent bien et avisèrent desous et
15 deseure le seel, et cogneurent assés clerement que
les dittes deffiances estoient bonnes. Si fist on le
garçon partir, et li fu dit que il avoit bien fait son
message et qu’il se mesist hardiement au retour, il
ne trouveroit point d’empeecement, ensi qu’il fist, et
20 retourna au plus tost qu’il peut parmi raison. Encores
estoient à ce jour hostagier en Engleterre, pour
le fait dou roy de France, li contes daufins d’Auvergne,
li contes de Porsiien, li sires de Roiie, li sires
de Maulevrier et pluiseur aultre, qui furent en grant
25 soussi de coer, quant il oïrent ces nouvelles, car mies
ne savoient que li rois d’Engleterre et ses consaulz
vorroient faire d’yaus.
Vous devés savoir que adonc li rois d’Engleterre
et ses consaulz prisent en grant despit et desplaisance
30 les deffiances aportées par un garçon; et disent
que ce n’estoit pas cose apertenans, que guerre
de si grans signeurs, comme dou roy de France et
[111] dou roy d’Engleterre, fust nonciée ne deffiiée par
un varlet, mès bien valoit que ce fust par un prelat
ou par un vaillant homme, baron ou chevalier:
nequedent il n’en eurent adonc aultre cose. Si fu
5 dit et consilliet là au roy que il envoiast, tantost et
sans delay, grans gens d’armes en Pontieu, pour
là garder le frontière, et especialment en le ville de
Abbeville, qui gisoit en grant peril de estre prise.
Li rois entendi volentiers à ce conseil, et y furent
10 ordené et cargiet de là aler li sires de Persi, li sires
de Nuefville, li sires de Carlestonne et messires Guillaumes
de Windesore, à quatre cens hommes d’armes
et mil arciers.
Entrues que cil signeur et leur gens se ordenèrent
15 et appareillièrent dou plus tost qu’il peurent, et ja
estoient trait à Douvres et venu pour passer le mer,
aultres nouvelles leur vinrent de Pontieu, qui ne leur
furent mies trop plaisans. Car si tretost que li contes
Guis de Saint Pol et messires Hues de Chastillon,
20 mestres pour le temps des arbalestriers de France, peurent
penser et aviser ne considerer que li rois d’Engleterre
estoit deffiiés, il se traisent avant par devers
Pontieu, et avoient fait secretement leur mandement
de chevaliers et de escuiers d’Artois, de Haynau, de
25 Cambresis, de Vermendois, de Vismeu et de Pikardie,
et estoient six cens lances, et vinrent à Abbeville.
Si leur furent les portes tantost ouvertes, car c’estoit
cose toute pourparlée et avisée, et entrèrent ces gens
d’armes ens, sans mal faire à nul de chiaus de le nation
30 de le ville.
Messires Hues de Chastillon, qui estoit menères
et conduisières de ces gens d’armes, se traist tantost
[112] de celle part où il pensoit à trouver le senescal de
Pontieu, monsigneur Nicole de Louvaing, et fist tant
qu’il le trouva et qu’il le prist et retint pour son
prisonnier, et prist encores un moult riche clerch
5 et vaillant homme durement, qui estoit tresoriers
de Pontieu. Ce jour eurent li François tamaint bon
et riche prisonnier et se saisirent dou leur, et perdirent
li Englès tout ce que il avoient à ce jour en le
ditte ville de Abbeville. Encores coururent en ce jour
10 caudement li François à Saint Walleri, et y entrèrent
de fait et s’en saisirent, et ossi au Crotoi et le prisent,
et ensi le ville de Rue sus mer.
Assés tost apriès, vint li contes de Saint Pol au
Pont de Remi sus Somme, où aucun Englès de là
15 environ estoient recueilliet: si les fist assallir li dis
contes, et là eut grant escarmuce et forte. Et y fu
fais chevaliers messires Gallerans ses ainsnés filz,
liquelz se porta bien et vaillamment en se nouvelle
chevalerie. Si furent cil Englès, qui là estoient, si dur
20 assalli qu’il furent desconfi, mort et pris, et li dis
pons et la forterèce conquise, et demora as François.
Briefment, tous li pays et la conté de Pontieu fu delivrée
des Englès, ne onques nulz n’i demora, qui
peuist grever le pays.
25 Ces nouvelles vinrent au roy d’Engleterre, qui se
tenoit à Londres, comment cil de Pontieu l’avoient
relenqui et estoient tourné françois. Si en fu durement
courouciés, et eut li dis rois tamainte dure imagination
sus aucuns hostagiers de France, qui estoient encores
30 à Londres, quant il se ravisa que ce seroit cruaultés se
il leur faisoit comparer son mautalent. Nequedent, il
envoia tous les bourgois des cités et bonnes villes de
[113] France, qui là estoient hostagier, en aultres villes et
forterèces parmi son royaume, et ne les tint mies si au
large que il avoient esté tenu dou temps passé. Et le
conte daufin d’Auvergne, il rançonna à trente mil
5 frans, et le conte de Porsiien à dix mil francs. Et
encores demora li sires de Roie en prison, en grant
dangier, car il n’estoit mies bien de court: se li
couvint souffrir et endurer au plus bellement qu’il
peut et povoit, tant que jours de delivrance vint pour
10 li, par grant fortune et aventure, si com vous orés
avant en l’istore.
§ 611. Quant li rois d’Engleterre se vei deffiiés

dou roy de France et le conté de Pontieu perdue,
qui tant li avoit cousté au remparer villes, chastiaus
15 et maisons, car il y avoit mis cent mil francs deseure
toutes revennes, et il se vei guerriiés de tous costés,
car dit li fu que li Escot estoient alloiiet au roy de
France, qui li feroient guerre, si fu durement courouciés
et merancolieus. Et toutesfois il doubta plus
20 la guerre des Escos que des François; car bien savoit
que li Escot ne l’amoient mies bien, pour les grans
damages que dou temps passé il leur avoit fais. Si
envoia tantost grans gens d’armes sur les frontières
d’Escosse, à Bervich, à Rosebourch, au Noef Chastiel
25 sur Thin et là partout sus les frontières. Et ossi il mist
grans gens d’armes sus mer au lés devers Hantonne,
Grenesie, l’isle de Wiske et Grenesee, car on li dist
que li rois de France faisoit un trop grant appareil de
naves et de vaissiaus pour venir en Engleterre. Si ne
30 se savoit de quel part gaitier, et vous di que li Englès
furent adonc bien esbahi.
[114] Sitost que li dus d’Ango et li dus de Berri sceurent
que les deffiances estoient et la guerre ouverte,
si ne veurent mies sejourner, mès fisent leurs mandemens
grans et especiaulz, li uns en Auvergne, et li
5 aultres à Thoulouse, pour envoiier en le princeté. Li
dus de Berri avoit de son mandement tous les barons
d’Auvergne et de l’archeveskié de Lyons et de l’eveskié
de Mascons, le signeur de Biaugeu, le signeur de
Villars, le signeur de Tournon, monsigneur Godefroy
10 de Boulongne, monsigneur Jehan d’Ermignach son
serourge, monsigneur Jehan de Villemur, le signeur
de Montagut, le signeur de Calençon, monsigneur
Hughe daufin, le signeur d’Achier, le signeur d’Achon,
le signeur de Rocefort et moult d’autres.
15 Si se traisent tantost ces gens d’armes en Tourainne
et sus les marces de Berri, et commencièrent
fort à guerriier et à heriier le bon pays de Poito, mès
il le trouvèrent pourveu et garni de bonnes gens
d’armes, chevaliers et escuiers: si ne l’eurent mies
20 d’avantage. Adonc estoient, sus les marces de Tourainne
et en garnison ès forterèces françoises, messires
Loeis de Saint Juliien, messires Guillaumes des
Bordes et Keranloet, Breton. Chil troi estoient compagnon
et grant capitainnes de gens d’armes. Si
25 fisent en ce temps pluiseurs grans apertises d’armes
sus les Englès, ensi que vous orés recorder avant en
l’ystore.
§ 612. Li dus de Lancastre de son hiretage tenoit

un chastiel en Campagne, entre Troies et Chaalons,
30 qui s’appelloit Biaufort, douquel uns escuiers englès,
qui se nommoit le Poursieugant d’amours, estoit
[115] chapitainne. Quant cilz escuiers vei que la guerre estoit
renouvelée entre le roy d’Engleterre et le roy de
France, il avoit si enamouré le royaume de France
qu’il se tourna François et jura foy et loyauté à tenir,
5 de ce jour en avant, comme bons François au roy de
France. Et li rois, pour ce, li fist grant pourfit et li
laissa en se garde, avoech un aultre escuier de Campagne,
le dit chastiel de Biaufort. Cilz Poursieugans
d’amours et Yewains de Galles estoient compagnon
10 ensamble, et fisent depuis sus les Englès et chiaus de
leur costé tamaintes grans apertises d’armes. Ossi
messires li Chanonnes de Robertsart avoit en devant
estet toutdis bons François, mais à celle guerre renouvelée
il se tourna Englès et devint homs de foy
15 et d’ommage au roy d’Engleterre qui fu de son service
moult joians. Ensi se tournoient li chevalier et
li escuier d’un lés ou de l’autre.
Et tant avoit procuré li dus d’Ango devers les Compagnes
gascons que messires Perducas de Labreth,
20 li Petis Meschins, li bours de Bretueil, Aymenions
d’Ortige, Perros de Savoie, Jakes de Bray et Ernaudon
de Paus se tournèrent François: dont li Englès
furent moult courouciet, car leur force en fu durement
afoibli. Et demorèrent Englès Naudon de Bagherant,
25 li bours de Lespare, li bours Camus et les
plus grans capitainnes des leurs: si estoient messires
Robers Brikés, messires Robers Cheni, Jehans Cressuelle,
Gaillart de le Motte et Aymeri de Rochewart.
Si se tenoient ces Compagnes, Englès et Gascon de
30 leur acort, en l’eveskiet du Mans et sus le Basse Normendie,
et avoient pris une ville que on appelle Vire,
et destruisoient et honnissoient tout le pays de là
[116] environ. Ensi tournèrent toutes les Compagnes ou
d’un lés ou d’aultre, et se tenoient tout ou Englès
ou François.
Li rois d’Engleterre eut conseil d’envoiier son fil
le conte de Cantbruge et le conte de Pennebruch,
5 en le ducé d’Aquitainne, devers son fil le prince de[*]
Galles, à tout une carge de gens d’armes et d’arciers.
Si furent nommé et ordené cil qui avoecques yaus
iroient. Si me samble que li sires de Carbestone en
fu li uns, et messires Brians de Stapletonne, messires
10 Thomas Balastre, messires Jehans Trivés et pluiseur
aultre. Si montèrent en mer au plus tost qu’il peurent,
et estoient en somme quatre cens hommes d’armes
et quatre cens arciers. Si singlèrent devers Bretagne,
si eurent vent à souhet, si arrivèrent ou havene de
15 Saint Malo de l’Ille. Quant li dus de Bretagne sceut
que il estoient arrivé en son pays, si en fu durement
joiant, et envoia tantost aucuns de ses chevaliers
devers yaus pour les mieulz conjoïr, telz que messires
Jehans de Lagnigay et messires Jehans
20 Augustins.
[*] Numéroté ainsi dans l’original (n. d. t.)
De la venue les chevaliers dou duch de Bretagne,

furent moult content li contes de Cantbruge et li
contes de Pennebruch. Encores ne savoient il de verité
se li baron, li chevalier et les bonnes villes de
25 Bretagne les lairoient passer parmi leur pays, pour
entrer en Poito. Si en fisent li doi dessus dit signeur
d’Engleterre requeste et priière au duc et au pays.
Li dus, qui moult estoit favourables as Englès et qui
30 envis les euist courechiés, s’i acorda legierement et
esploita tant par devers les barons et chevaliers et
bonnes villes de son pays, qu’il leur fu acordé qu’il
[117] passeroient sans dangier et sans rihote, par paier tout
ce qu’il prenderoient sus le pays, et li Englès si
l’acordèrent ensi. Si trettièrent li contes de Cantbruge,
li contes de Pennebruch et leurs consauls devers ces
5 Compagnes qui se tenoient en Mainne, à Chastiel
Gontier et à Vire, et qui avoient tout honni et
apovri le pays de là environ, qu’il passeroient oultre
avoecques euls. Si se porta trettiet et acort, qu’il se
partiroient de là et venroient passer la rivière de
10 Loire au pont de Nantes, sans porter damage au pays:
ensi l’acordèrent li Breton.
En ce temps, estoit messires Hues de Cavrelée, à
une grosse route de Compagnes, sus le marce d’Arragon,
qui nouvellement estoit issus hors d’Espagne.
15 Sitost qu’il peut savoir et entendre que li François
faisoient guerre au prince, il se parti à tout ce qu’il
avoit de gens d’armes, Compagnes et aultres, et passa
entre Fois et Arragon et entra en Bigorre, et fist tant
qu’il, de bien guerriier pourveus, vint devers le
20 prince qui se tenoit en le cité d’Angouloime. Quant
li princes le vei venu, se li fist grant chière et lie, et
li sceut grant gré de ce secours, et le fist un petit demorer
dalés lui, tant que les Compagnes, qui estoient
issu hors de Normendie et qui avoient vendu les forterèces
25 qu’il tenoient, furent venu; car li Breton les
laissièrent passer parmi leur pays, parmi tant qu’il
n’i portoient nul damage. Sitost qu’il furent venu en
Angouloime et là environ, li princes ordonna monsigneur
Hue de Cavrelée à estre souverain et chapitainne
30 d’yaus; et estoient bien, parmi chiaus qu’il
avoient amené avoecques lui d’Arragon, deux mil
combatans. Si les envoia tantost li dis princes ens ès
[118] terres le conte d’Ermignach et dou signeur de Labreth,
pour les ardoir et exillier; et y fisent grant
guerre et y portèrent grant damage.
§ 613. Li contes de Cantbruge et li contes de Pennebruch

5 s’estoient tenu à Saint Malo de l’Ille, à tout
leur carge, si com chi dessus est dit, tant que toutes
les Compagnes de leur costé furent passet oultre, par
l’acort dou pays de Bretagne et le bonne diligense
que li dus de Bretagne y mist. Quant il se furent rafreschi,
10 et il eurent le congié et acord de passer, il
passèrent et se departirent de Saint Malo, et s’en
vinrent par leurs journées en le cité de Nantes. Et là
les rechut li dus grandement et honnourablement,
et se tinrent dalés lui trois jours, et s’i rafreschirent
15 yaus et leurs gens. Au quatrime jour, il passèrent
oultre et le grosse rivière de Loire au pont à Nantes,
et puis cheminèrent tant par leurs journées, qu’il
vinrent en Angouloime, où il trouvèrent le prince et
madame la princesse. De la venue le conte de Cantbruge
20 son frère et dou conte de Pennebruc fu li
princes grandement resjoïs: si leur demanda dou roy
leur père et de madame la royne leur mère et de ses
aultres frères, comment il le faisoient; et li dessus dit
en parlèrent bien et à point, ensi qu’il apertenoit.
25 Quant il eurent sejourné dalés le prince environ
quatre jours et il s’i furent rafreschi, li princes les
ordonna d’aler en le Gascongne et de faire une chevaucie
en le conté de Pieregorth. Li doi dessus dit signeur
d’Engleterre et li chevalier, qui avoech yaus
30 estoient venu, s’i assentirent volentiers, et se ordonnèrent
et pourveirent selonch che, et se departirent
[119] dou prince en grant arroy, et estoient bien troi
mil combatans, parmi pluiseurs chevaliers et escuiers
de Poito, de Saintonge, de Quersin, de Limozin
et de Roerge, que li princes ordonna et commanda
5 d’aler en leur compagnie. Si chevaucièrent cil
signeur et ces gens d’armes, et entrèrent efforciement
en le conté de Pieregorth: si le commencièrent à
courir et à exillier, et y fisent pluiseurs grans apertises
d’armes et moult de damages. Et quant il eurent
10 ars et couru le plus grant partie dou plat pays,
il s’en vinrent mettre le siège devant une forterèce
que on appelle Bourdille, de laquele estoient chapitainne
doy escuier de Gascongne et frère, Ernaudon
et Bernardet de Batefol.
15 § 614. En le garnison de Bourdille, en le conté de

Pieregorth, avoit, avoech les deus chapitainnes dessus
nommés, fuison de bons compagnons, que li
contes de Pieregorth y avoit ordonnés et establis,
pour aidier à garder le forterèce, laquele estoit bien
20 pourveue de toute artillerie, de vins, de vivres et de
toutes aultres pourveances, pour le tenir bien et longement;
et ossi cil qui le gardoient, en estoient en
bonne volenté. Si eut devant Bourdille, le siège
pendant, pluiseurs grans apertises d’armes faites,
25 maint assaut, mainte envaïe, mainte recueilloite et
tamainte escarmuce, et priesque tous les jours, car
li doy escuier estoient hardi et orghilleus, et qui petit
amiroient les Englès; si venoient souvent à leurs barrières
escarmucier à yaus: une fois perdoient et l’autre
30 gaegnoient, ensi que les aventures aviennent en
telz fais d’armes et en samblables.
[120] D’autre part, en Poito et sus les marces dou dit
pays et d’Ango et de Tourainne, estoient bien mil
combatans, François, Bretons, Bourghegnons, Pikars,
Normans et Angevins; et couroient tous les jours
5 moult souvent en le terre dou prince et y faisoient
grant damage: desquelz estoient capitainne messires
Jehans de Buel, messires Guillaumes des Bordes, messires
Loeis de Saint Juliien et Carenloet, Breton. A l’encontre
de ces gens d’armes se tenoient ossi, sus les
10 frontières de Poito et de Saintonge, aucun chevalier
dou prince, et par especial, messires Symons Burlé et
messires d’Aghorises, mès il n’avoient pas le quarte
partie de gens que li François, quant il chevauçoient,
se trouvoient; car il estoient toutdis mil combatans
15 ou plus ensamble, et li Englès environ deux cens ou
trois cens dou plus. Car li princes en avoit envoiié
en trois chevaucies grant fuison, à Montalben plus
de cinq cens avoech monsigneur Jehan Chandos, et
ens ès terres le conte d’Ermignach, et le signeur de
20 Labreth ossi grant fuison avoecques monsigneur Hue
de Cavrelée, et le plus grant partie avoech le conte
de Cantbruge, son frère, devant Bourdille. Pour ce ne
demoroit mies que cil qui estoient en Poito contre
ces François, ne s’acquittassent bien et loyaument
25 de faire lor devoir de chevaucier et de garder les
frontières à leur pooir. Et toutdis l’ont ensi fait li Englès
et toute manière de gens d’armes de leur costé,
ne n’ont pas ressongné pour ce se il n’estoient point
moult grant fuison.
30 Dont il avint que un jour li François furent enfourmé
de verité que li Englès chevauçoient et estoient
sus les camps: de ce furent il tout joiant, et
[121] s’ordonnèrent et cueillièrent selonch ce, et se misent
en embusce toutes leurs routes. Ensi que li
Englès retournoient, qui leur chevaucie avoient fait
entre Luzegnan et Mirabiel, sus une desroute cauchie
5 qui là est, li François leur sallirent au devant,
qui bien estoient sept cens combatant, dont les dessus
dittes capitainnes estoient meneur et gouvreneur,
messires Jehans de Buel, messires Guillaumes des Bordes,
messires Loeis de Saint Juliien et Carenloet, Breton.
10 Là eut grant hustin et fort rencontre et tamaint
homme reversé par terre, car li Englès se misent à
deffense, qui se combatirent bien et vaillamment,
tant qu’il peurent durer, et y fisent li aucun pluiseurs
belles apertises d’armes. Et y furent très bon chevalier
15 messires Symons Burlé et messires d’Agorises; mès
finablement il n’en eurent point le milleur, car il
n’avoient q’une puignie de gens ens ou regard des
François: si furent desconfi, et les couvint fuir. Si
se sauva messires d’Aghorises au mieulz qu’il peut,
20 et s’en vint bouter ens ou chastiel de Luzegnan. Et
messires Symons Burlé fut si priès sievois et encauciés
que, sus une desroute caucie, assés priès de Lusegnan,
il fu ratains, et ne peut fuir ne escaper les
François. Si fu là pris li dis chevaliers, et toutes ses
25 gens mors ou pris: petit s’en sauvèrent. Et retournèrent
li François en leurs garnisons, qui furent
moult resjoy de ceste avenue, et ossi fu li rois de
France, quant il le seut, et li princes de Galles durement
courechiés, qui moult plaindi le prise de son
30 chevalier monsigneur Symon Burlé, que moult amoit.
§ 615. Apriès ceste avenue qui avint entre Mirabiel

[122] et Luzegnan, si com ci dessus est dit, chevaucièrent
li Englès et li Poitevin mieulz ensamble et plus
sagement.
Or parlerons de monsigneur Jehan Chandos, de
5 monsigneur le captal, de monsigneur de Harcourt,
de monsigneur Guichart d’Angle et des aultres qui
se tenoient à Montalben, à sept liewes de Thoulouse,
et faisoient souvent des issues honnerables et pourfitables
pour yaus sus les François, car il estoient bien
10 mil combatans et plus: si desiroient moult à trouver
les François, pour yaus combatre.
Entrues qu’il estoient là, il regardèrent qu’il n’emploioient
pas trop bien leur saison, fors que de garder
le frontière. Si se avisèrent qu’il venroient mettre le
15 siège par devant le ville de Terrières en Thoulousain.
Si se ordonnèrent selonch che, et se departirent un
jour en grant arroy de Montalben, et s’en vinrent devant
Terrières. Quant il furent là parvenu, il le assegièrent
tout environ, et le imaginèrent bien que de
20 assaut il ne l’aroient point à leur aise, se il ne l’avoient
par mine. Si misent leurs mineurs en oevre,
liquel esploitièrent si bien que, au chief de quinze
jours, il le prisent par mine; et furent mort tout cil
qui dedens estoient, et la ville robée et courue. Encores
25 en celle chevaucie, il avoient avisé une aultre
ville, à trois liewes de Thoulouse, que on appelle Laval,
et avoient mis leur embusche assés priès de là
en un bois, et s’en venoient devant environ quarante
des leurs, armés desous vestemens de villains.
30 Si furent deceu par un garçon qui venoit piet à piet
avoech yaus; aultrement il euissent eu le ville, et fallirent
à leur entente et retournèrent arrière à Montalben.
[123] En ce temps, tenoient les camps li contes de Pieregorth,
li contes de Commignes, li contes de Lille, li
viscontes de Quarmaing, li viscontes de Brunikiel, li
viscontes de Talar, li viscontes de Murendon, li viscontes
5 de Lautré, messires Bertrans de Taride, li sires
de Labarde, li sires de Pincornet, messires Perducas
de Labreth, li bourch de Lespare, li bourch de
Bretuel, Aymenion d’Ortige, Jakes de Bray, Perros de
Savoie et Ernaudon de Paus, et estoient bien ces gens
10 d’armes, parmi les Compagnes, dix mil combatans. Si
entrèrent, par le commandement et ordenance dou
duch d’Ango, qui pour le temps se tenoit en le cité
de Thoulouse, en Quersin moult efforciement, et
contournèrent le pays en grant tribulation, et ardirent
15 et exillièrent le plus grant partie dou plat pays,
et s’en vinrent par devant Royauville en Quersin et
le assegièrent. Li seneschaus de Quersin l’avoit en
devant pourveu bien et souffissamment de tout ce que
il apertenoit pour une ville garder, et de bons compagnons
20 englès, qui jamais ne se fuissent rendu pour
morir, quoique cil de le ville en fuissent en bonne
volenté, se il peuissent.
Quant cil baron et chevalier de France l’eurent
assegié, il envoiièrent querre quatre moult grans engiens
25 en le cité de Thoulouse. Tantos on leur envoia,
et fist on là achariier. Si furent drechiet et
mis en ordenance par devant le garnison de Royauville.
Si jettoient nuit et jour pierres et mangonniaus
par dedens la ville, qui moult les constraindi
30 et afoibli. Avoech tout ce, il avoient mineurs avoech
yaus, qu’il misent en leurs mines et qui se vantoient
qu’il prenderoient le ville, et toutdis se tenoient li
[124] Englès comme bonnes et vaillans gens, et se confortoient
bien de ces mineurs, et par samblant nul
compte n’en faisoient.
§ 616. Endementrues que ces gens d’armes françois

5 se tenoient si efforciement en Quersin, sus les
marces de Limozin et d’Auvergne, li dus de Berri, d’autre
part, estoit en Auvergne, et tenoit là grant genz
d’armes, telz que monsigneur Jehan d’Ermignach,
son serourge, monsigneur Jehan de Villemur, Rogier
10 de Biaufort, le signeur de Biaugeu, le signeur de Villars,
le signeur de Serignach, le signeur de Calençon,
monsigneur Griffon de Montagut, monsigneur Hughe
Daufin et grant fuison de bonnes gens d’armes; et
couroient sus les marces de Roerge, de Quersin et de
15 Limozin, et apovrissoient et honnissoient durement le
pays où il entroient et conversoient, ne nulz ne duroit
devant yaus. Dont il avint adonc que, par le promovement
de monsigneur le duch d’Ango, qui veoit
ses besongnes en bon parti, et que leurs gens tenoient
20 les camps en Quersin et en Roerge, il fist partir de
Thoulouse l’archevesque de la ditte ville, qui estoit
grans clers et vaillans homs durement, et chevaucier
devers le cité de Chaours, dont ses frères estoit
evesques.
25 Li dis archevesques preeça là telement et si bellement
la querelle dou roy de France que la cité de
Chaours se tourna françoise, et jurèrent foy et loyauté
à tenir de ce jour en avant au roy de France. En
apriès, il chevauça oultre, et partout preeçoit et remoustroit
30 la querelle dou roy de France si bellement,
que tous li pays se tournoit. Et fist à ce donc tourner
[125] plus de soissante cités, villes, chastiaus et forterèces,
parmi le confort des gens le duch de Berri, qui chevauçoient
ou pays, messires Jehans d’Ermignach et
les aultres. Si fist tourner Figeach, Gramach, Rochemadour
5 et Chapedenach et pluiseurs bonnes villes et
fors chastiaus, car il preeçoit le roy de France si grant
droit avoir en ceste querelle, que les gens qui l’ooient,
le creoient en verité; et ossi de nature et de volenté
il estoient trop plus françois qu’englès, qui bien aidoit
10 à le besongne.
En tel manière que cilz archevesques aloit preeçant
et remoustrant la querelle dou dit roy ens ès mettes
et limitations de le Langue d’Ok, estoient en Pikardie
pluiseur prelat et clerch de droit, qui souffissamment
15 en faisoient bien leur devoir dou preechier et dou remoustrer
as communautés des cités et bonnes villes.
Et par especial messires Guillaumes de Dormans preeçoit
la ditte querelle dou roy de France, de cité en cité
et de bonne ville en bonne ville, si bellement et si
20 notablement que toutes gens y entendoient volentiers,
et estoient les besongnes dou royaume par li et par
ses parolles telement coulourées que merveilles seroit
à oïr recorder.
Avoech tout ce, li rois de France, meus en devotion
25 et en humilité, faisoit continuelement faire,
en le cité de Paris, grandes processions de tout le
clergié; et il meismes, tous descaus et à nus piés, et
madame la royne ensi en cel estat y aloient en suppliant
devotement à Dieu que il volsist entendre à
30 eulz et as besongnes dou royaume, qui avoient de
lonch temps esté en grant tribulation. Et faisoit li
dis rois, par tout son royaume, estre son peuple,
[126] par constrainte des prelas et gens d’eglise, en ceste
affliction.
Tout en tel manière faisoit li rois d’Engleterre en
son royaume. Et y avoit un evesque pour le temps à
5 Londres, qui en faisoit pluiseurs grans et belles
predications, et disoit et remoustroit en ses sermons
que li rois de France et li François, à leur trop
grant tort et prejudisce, avoient renouvellé le guerre,
et que c’estoit contre droit et contre raison, par pluiseurs
10 poins et articles que il leur moustroit.
Au voir dire, il estoit de necessité, à l’un roy et
l’autre, puisque guerriier voloient, que il fesissent
mettre en termes et remoustrer à leur peuple l’ordenance
de leur querelle, par quoi çascuns entendesist
15 de plus grant volenté à conforter son signeur, et de
ce estoient il tout resvilliet en l’un royaume et en
l’autre.
Li rois d’Engleterre avoit envoiiet en Braibant et
en Haynau, pour savoir se il en seroit point aidiés.
20 Et avoit par linage priiet son neveut le duc Aubert,
qui tenoit en bail pour ce temps le conté de Haynau,
que il li volsist ouvrir son pays et appareillier pour
passer, aler et demorer et sejourner, se mestier faisoit,
et pour par cesti lés entrer ens ou dit royaume
25 de France et faire y guerre. Li dus Aubers, à le
priière dou roy d’Engleterre, son oncle, et de madame
la royne d’Engleterre, sen ante, y fust assés legierement
descendus, et en estoit en bonne volenté par
le pourcach et monition de monsigneur Edouwart
30 de Guerles, qui faisoit partie pour le dit roy et qui
avoit sa fille espousée, et dou duch de Jullers, son
cousin germain.
[127] Cil doi, pour ce temps, estoient de foy et d’ommage
loiiet et acouvenenciet au roy d’Engleterre,
et avoient ja estet priiet et aviset de par le roy
d’Engleterre, qui avoit envoiiet devers yaus grans messages,
5 que il retenissent gens, cescuns jusques à
mil lances, et il seroient delivret: pourquoi cil doi
signeur euissent volentiers veu avoech le roy d’Engleterre,
que li dus Aubers euist esté de leur alliance;
et en estoit li dis dus grandement temptés, parmi grans
10 dons et grans pourfis que li rois d’Engleterre li prommetoit
à donner et à faire par ses chevaliers que il
avoit envoiiés devers lui et par le signeur de Gommegnies,
qui se tenoit dalés le roy et qui estoit des
chevaliers dou roy, et qui pour ceste cause en partie
15 estoit retournés en Hainau.
A ce donc et en ce temps, avoit en Haynau grant
conseil et bon de monsigneur Jehan de Wercin, senescal
de Haynau, par qui tous li pays estoit gouvrenés,
et liquels estoit sages homs et vaillans chevaliers
20 durement et bons François. Li dis seneschaus
estoit tant crus et tant amés dou dit duc et de madame
la duçoise, que il brisa tous les pourpos des
Englès, parmi l’ayde dou conte de Blois et de monsigneur
Jehan de Blois, son frère, et dou signeur
25 de Barbençon, et dou signeur de Ligne, que li dus
Aubers et tous li pays demorèrent neutre et ne se
deurent tourner, ne de l’une part, ne d’autre. Et
ensi en respondi madame Jehane la duçoise de
Braibant.
30 Li rois Charles de France, qui estoit sages et soutieus,
avoit carpenté et ouvré tous ces trettiés trois
ans en devant, et bien savoit que il avoit des bons
[128] amis en Haynau et en Braibant, et par especial le
plus grant partie des consaulz des signeurs. Et pour
sa guerre embellir et coulourer, il fist copiier par
ses clers pluiseurs lettres touchans à le pais jadis
5 confremée à Calais, et là en dedens enclore toute le
substance dou fait et quel cose li rois d’Engleterre et
si enfant avoient juret à tenir, et en quoi par leurs
seelés il s’estoient sousmis, et des renonciations ossi
qu’il avoient faites, et des commissions que il devoient
10 avoir eu baillies à leurs gens, et tous les poins
et articles qui estoient pour lui, en condempnant le
fait des Englès, et ces lettres publiier ens ès cambres
des signeurs et de leurs consaulz, afin que il en fuissent
mieus enfourmé.
15 Tout en tel manière, à l’opposite, faisoit li rois
d’Engleterre ses moustrances et ses escusances en
Alemagne, là où il pensoit que elles li peuissent
aidier et valoir. Li dus de Guerles, neveus à ce roy
d’Engleterre, filz de sa suer, et li dus de Jullers,
20 cousins germains à ses enfans, liquel estoient pour
ce temps bon Englès et loyal, avoient pris en grant
despit l’ordenance des deffiances, que li rois de
France avoit fait faire par un garçon, et en reprendoient
et blasmoient grandement le roy de France
25 et son conseil, quant par tel manière l’avoient
fait; car guerre de si grans signeurs et si renommés
comme dou roy de France et dou roy d’Engleterre,
devoit estre ouverte et deffiiée par gens
notables, telz que grans prelas, evesques ou abbés, et
30 disoient que li François l’avoient consilliet au roy à
faire par grant orgueil et presumption. Si envoiièrent
li dessus dit deffiier le roy de France moult notablement,
[129] et seelèrent pluiseur chevalier d’Alemagne
avoech eulz, et estoit leur intention que d’entrer
temprement en France et de faire y un si grant
trau, que il y parroit vint ans en apriès; mais de ce
5 ne fisent il riens, car leurs pourpos fu brisiés par
aultre voie qu’il ne cuidoient adonc, si com vous
orés avant en l’istore.
§ 617. Vous avés chi en devant bien oy parler et
recorder dou grant pourcach que li rois d’Engleterre
10 fist et mist par l’espasse de cinq ans et plus, pour
avoir la fille le conte de Flandres en mariage pour
son fil monsigneur Aymon, conte de Cantbruge. Les
devises et les ordenances en seroient trop longes à
demener: si m’en passerai briefment. Et saciés que
15 onques li rois d’Engleterre ne peut tant esploitier,
par quelque voie ne moiien que ce fust, que li papes
Urbains Ves les volsist dispenser. Si demora chilz mariages
à faire. Li contes de Flandres, qui estoit priiés
d’autre part dou roy de France pour son frère le
20 duch de Bourgongne, quant il vei que cilz mariages
ne se passeroit nient en Engleterre, et que sa fille
demoroit à marier et si n’avoit plus d’enfans, entendi,
par le promovement de madame sa mère la
contesse d’Artois, au jone duch de Bourgongne, car
25 c’estoit uns grans mariages et haulz et bien paraus à
lui. Si envoia grans messages en Engleterre, pour
trettier au dit roy quittances.
Cil esploitièrent si bien que li rois d’Engleterre, qui
ne voloit que toute loyauté, quitta le conte de Flandres
30 de toutes couvenences; et retournèrent li message
à Bruges, et recordèrent au conte leur signeur comment
[130] il avoient esploitié. De cel esploit fu li contes
tous liés. Depuis ne demora gaires de temps que cilz
mariages se fist, de Flandre et de Bourgongne, parmi
grans trettiés et consaulz, couvenences et alliances des
5 uns as aultres. Et me fu adonc dit que li contes, pour
ce mariage laissier passer, rechut grant pourfit, plus
de cent mil frans, et demorèrent encores à lui le ville
de Lille et ceste de Douay, en carge de grant argent
que li rois donnoit à son frère en mariage et au conte
10 de Flandres, qui prist le saisine et possession des
dessus dittes villes et y mist ses gens. Et furent ces
villes attribuées à Flandres, par cause de wage, je
n’en sçai plus avant.
Tantost apriès ceste ordenance, on proceda ou mariage
15 qui se fist et confrema en le bonne ville de
Gand. Et là eut grans festes et grans solennités, au
jour des noces, devant et apriès, et grant fuison de
signeurs, barons et chevaliers. Et par especial li
gentilz sires de Couci y fu, qui bien affreoit en une
20 feste, et mieulz le savoit faire que nulz aultres, car li
rois de France l’i envoia. Si furent ces noces bien et
grandement festées et joustées, et en apriès cescuns
s’en retourna en son pays.
Li rois d’Engleterre, qui veoit que li contes de
25 Flandres, par le cause de ce mariage, estoit alloiiés
en France, ne savoit que supposer se li contes de
Flandres feroit partie contre li, avoech le duch de
Bourgongne son fil, qui par succession devoit estre
ses hoirs de le conté de Flandres, ne quelz couvenences
30 il avoit entre le dit conte et le roy de France.
Si se tint li rois d’Engleterre un petit plus frans et
plus fors contre les Flamens, et leur moustra grignes
[131] et fist moustrer par ses gens, sus mer et ailleurs en
son pays, ensi que on les y trouvoit et que il venoient
en marchandise. De ce n’estoit mies li rois de France
coureciés, car il euist volentiers veu que la guerre
5 fust ouverte entre les Flamens et les Englès, mès li
sage homme de Flandres et li riche bourgois des
bonnes villes n’en avoient nulle volenté; et soustenoient
toutdis plus les communautés de Flandres la
querelle et oppinion dou roy d’Engleterre à estre
10 juste et bonne que ceste dou roy de France.
§ 618. Li rois Edowars d’Engleterre, qui acqueroit

amis de tous lés, et bien li besongnoit selonch les
grans guerres et rebellions de pays qui li apparoient,
senti et entendi que li rois Charles de Navare ses cousins,
15 qui se tenoit en le Basse Normendie, seroit assés
tost de son acord, car il estoit en grignes et en
hayne contre le roy de France, pour aucunes terres
qui estoient en debat, que li dis rois de Navare
reclamoit de son hiretage, et li rois de France li deveoit.
20 Si en avoient esté leurs gens et leurs consaulz
pluiseurs fois ensamble, mais il n’i avoient pout trouver
moiien ne acord. Si estoit la cose demorée en ce
parti, que cescuns se tenoit sus sa garde. Et avoit li
dis rois de Navare fait grossement et bien pourveir
25 ses villes et ses castiaus, en Constentin et en le conté
d’Evrues, sus les bendes de Normendie, et se tenoit
à Chierebourch, et partout ses garnisons gens
d’armes.
A ce donc estoit dalés lui messires Eustasses d’Aubrecicourt,
30 mestres et gouvrenères d’une ville oultre
les Gués Saint Clement, ou clos de Constentin, qui se
[132] tenoit pour le roy de Navare, car c’estoit de son hiretage,
et ceste ville appelle on Quarenten; et estoit
li dis messires Eustasses li plus especiaus de tout son
conseil: siques li rois d’Engleterre envoia devers lui,
5 car il estoit ossi ses homs et ses chevaliers, pour savoir
l’intention dou roy de Navare. On le trouva tel,
et si bien esploita li dis messires Eustasses, que li rois
de Navare, à privée mesnie, entra en un vaissiel que
on appelle un lin, et vint en Engleterre parler au dit
10 roy qui li fist grant chière et bonne. Et eurent là ensamble
grans parlemens et lons, et furent si bien d’acort
que li rois de Navare, lui retourné à Chierebourch,
devoit deffiier le roy de France, et recueillier et mettre
par tout ses chastiaus les Englès.
15 Apriès ces alliances et confederations entre ces
deux rois faites et confremées, li rois de Navare retourna
arrière en Normendie en le ville de Chierebourch,
et le raconduisirent chevalier et escuier de
l’ostel dou roy d’Engleterre et de madame la royne,
20 asquelz à leur retour il chei moult mal, car il encontrèrent
nefs normandes et escumeurs de mer, qui
tantost les envaïrent et assallirent fierement et qui
furent plus fort d’yaus. Si conquisent li dit Normant
les Englès et les misent tout à bort: onques
25 homme il n’i prisent à merci. Ensi ala de ceste aventure,
de quoi li rois d’Engleterre fu moult courouciés,
quant il le sceut, mès amender ne le peut tant c’à
ceste fois.
Assés tost apriès la revenue dou roy de Navare qui
30 estoit retournés à Chierebourch, messires Eustasses
d’Aubrecicourt, qui avoit estet mandés et priiés dou
prince de Galles et envoiiés querre par messages et
[133] par hiraus, prist congiet dou dit roy de Navare, pour
aler en le princeté servir le prince, liquelz rois li donna
moult envis. Mès li dis messires Eustasses li moustra
tant de raisons, que finablement il se parti et entra
5 en mer avoech ce qu’il avoit de gens, et vint ariver à
Saint Malo de l’Ille en Bretagne et là prist terre, et
puis chevauça vers Nantes pour là passer le Loire,
par l’acort dou duc et de chiaus dou pays, qui encores
ne se mouvoient ne de l’un lés ne de l’autre. Si esploita
10 tant par ses journées li dis messires Eustasses,
qu’il entra en Poito, et vint en le cité d’Angouloime,
devers le prince, qui le rechut à joie et qui assés tost
apriès l’envoia devers monsigneur Jehan Chandos et
le captal, qui se tenoient à Montalben et faisoient la
15 frontière contre les François. Si fu li dis messires
Eustasses li très bien venus entre les signeurs et compagnons,
si tretost qu’il y vint.
§ 619. En ce temps, misent sus li chevalier de Pikardie
une chevaucie de gens d’armes, sus l’intention
20 de chevauchier et d’aller veoir chiaus d’Arde, de laquele
furent adonc chief messires Moriaus de Fiennes,
connestables de France, et messires Jehans de
Wercin, seneschaus de Haynau, par le commandement
dou roy de France. Si se assamblèrent en le
25 bonne ville de Saint Omer, et estoient bien mil lances,
chevaliers et escuiers. Si vinrent ces gens d’armes
faire leur moustre, par devant le bastide d’Arde,
qui bien estoit garnie et pourveue d’Englès, et se logièrent
par devant et donnèrent à entendre que il
30 tenroient là le siège.
Li Englès, qui pour ce temps estoient adonc dedens
[134] Arde, n’en furent noient esbahi, mès se ordonnèrent
et se apparillièrent pour deffendre, se on les
assalloit. Si se armèrent et ordonnèrent un jour li
signeur de France et de Haynau, qui là estoient, et
5 se traisent tout sus les camps en moult frice et
noble arroy; et là estoit grans biautés de veoir les
banières de ces signeurs mettre avant et faire lor
moustre. Si assalli on ce jour à petit de pourfit,
car il en y eut des navrés et des blechiés, et se
10 n’i conquisent riens. Et me samble, selonch ce que
je fui adonc enfourmés, que au cinquime jour il
se departirent d’Arde sans aultre esploit, et retourna
cescuns en son lieu. Ensi se desrompi ceste
chevaucie.
15 § 620. Nous revenrons as besongnes des lontainnes

marces; si compterons dou siège qui se tenoit devant
Royauville, en Quersin, que li François y avoient
mis et establi, qui estoient plus de douze mil combatans,
parmi les Compagnes, et toutes bonnes gens.
20 Et encores, à deux journées priès d’yaus, se tenoient
les gens le duch de Berri, messires Jehans d’Ermignach,
messires Jehans de Villemur, li sires de Biaugeu
et li aultre d’Auvergne et de Bourgongne, qui
bien estoient troi mil combatans, qui tantost fuissent
25 trait avant, se il besongnast. Messires Jehans
Chandos et li captaus et messires Guichars d’Angle et
li aultre, qui faisoient frontière à Montalben, savoient
bien le siège des François devant Royauville et quel
nombre de leur costé il estoient sus le pays. Si ne
30 trouvoient mies gens assés pour yaus combatre ne lever
le siège, car li contes de Cantbruge et li contes
[135] de Pennebruch, qui seoient devant Bourdille, ne voloient
nullement brisier leur siège.
Or avint ensi que li François, qui avoient devant
Royauville mis leurs mineurs en mine et qui avoient
5 grans engiens qui jettoient nuit et jour, constraindirent
si chiaus de Royauville que li dit mineur vinrent
à leur entente et fisent reverser un grant pan
dou mur, par quoi la ville fu prise et tout li Englès,
qui dedens estoient, mort sans prendre à merci, dont
10 ce fu damages, car il y avoit de bons escuiers. Chil de
le nation de le ville furent pris à merci, parmi tant
que, de ce jour en avant, il jurèrent à estre bon François
et loyal. Si ordonnèrent cil signeur qui là estoient,
chapitainnes et gens d’armes, pour garder le ville, se
15 mestier faisoit, et pour donner avis et conseil dou
remparer. Si se departirent ces gens d’armes, apriès
le conquès de Royauville, sus le pays de Quersin et
de Roerge, pour yaus rafreschir et estre mieuls à leur
aise, et s’en vinrent les Compagnes en le cité de
20 Chaours et là environ. Si en furent chapitainne Aymenions
d’Ortige, Perros de Savoie, li Petis Meschins,
Jakes de Bray et Ernaudon de Paus, et destruisoient
tout le pays. Si retournèrent li contes de
Pieregorch, li contes de Laille, li contes de Commignes,
25 li viscontes de Quarmaing et li aultre Gascon ens
leurs terres; car messires Hues de Cavrelée, messires
Robers Cheni, messires Robers Brikés, Jehans Cressuelle,
Lamit, Naudon de Bagherant, li bourch Camus,
li bourch de Bretueil, li bourch de Lespare et
30 toutes ces gens de Compagnes y faisoient grant guerre,
et avoient mort, ars et destruit le terre le conte
d’Ermignach et ceste dou signeur de Labreth.
[136] En ce temps, avoit un seneschal en Roerge, très
vaillant homme et bon chevalier durement, Englès,
qui s’appelloit messires Thumas de Wettevale, qui
tenoit le ville et le chastiel de la Millau, à une journée
5 de Montpellier; et quoique li pays autour de lui
fust tournés françois, si tint il la ditte garnison de
la Millau plus d’an et demi, et une aultre forterèce
en Roerge, que on appelle Vauclère. Et fist, en ce
temps, pluiseurs belles chevaucies et issues honnerables
10 sus les François, et des bons conquès. Et jut là
très honnerablement jusques adonc que messires Bertrans
de Claiekin le bouta hors, ensi que vous orés
recorder avant en l’ystore. Et toutdis se tenoit li sièges
devant Bourdille.
15 § 621. Sus les marces de Poito et de Tourainne se

tenoient messires Jehans de Buel, messires Guillaumes
des Bordes, messires Loeis de Saint Juliien et Carenloet,
Breton, à plus de douze cens combatans, qui
imaginoient et estudioient nuit et jour comment il
20 peuissent prendre, eskieller et embler villes, chastiaus
et forterèces, en Poito. Dont il avint que il emblèrent
et prisent par eskiellement, de nuit, le chastiel
que on dist le Roce de Ponsoy, à l’entrée de Poito,
seant sus le rivière de Cruese, à deux liewes de le
25 Haie en Tourainne, et assés priès de Chastieleraut,
sus ceste meisme rivière. Si en fu durement tous li
pays de Poito effraés, car li François en fisent une
grande garnison et reparèrent, pourveirent et rafreschirent
de vivres et d’artillerie bien et grossement.
30 Quant les nouvelles en vinrent au prince, si en fu durement
coureciés, mès amender ne le peut. Si remanda
[137] tantost monsigneur Guichart d’Angle, messire Loeis
de Harcourt, le signeur de Partenay, le signeur de
Puiane et pluiseurs aultres, qui se tenoient à Montalben
dalés monsigneur Jehan Chandos, qu’il revenissent
5 apertement, et qu’il les voloit ailleurs envoiier.
Cil dessus dit signeur de Poito, à l’ordenance dou
prince, se partirent de Montalben, et esploitièrent
tant par leurs journées, qu’il vinrent en le cité
d’Angouloime devers le prince, qui tantost les envoia à
10 Poitiers, pour garder le cité et faire frontière as François.
Assés nouvellement s’estoit tournés francois uns
grans barons de Poito, li sires de Chauvegni, viscontes
de Bruese, et sa ville ossi, et l’avoit garnie de Bretons
et de gens d’armes, mès point n’estoit en sa
15 terre, ains estoit venus en France dalés le roy. De
ceste avenue furent li princes et tout li baron de Poito
moult coureciet.
Si fu soupeçonnés li viscontes de Rocewart; et en
fu enfourmés li princes qu’il se voloit tourner françois.
20 Dont il avint que li princes le manda en Angouloime
où il estoit, et li dist se intention. Li viscontes
s’en deffendi et escusa au mieulz qu’il peut, mès pour
ce ne demora mies qu’il ne li couvenist tenir prison
fremée, et demora un grant temps en ce dangier.
25 En ce temps, estoit grans seneschaus de Poito messires
James d’Audelée, uns moult sages et vaillans
chevaliers: si mist sus une chevaucie de tous les barons
et chevaliers de Poito. Là estoient messires Guichars
d’Angle, messires Loeis de Harcourt, li sires de
30 Pons, li sires de Partenay, li sires de Puiane, messires
Joffrois d’Argenton, messires Mauburni de Linières,
li sires de Tannai Bouton, messires Guillaumes
[138] de Montendre et pluiseur aultre chevalier et escuier
de Poito, et estoient bien douze cens lances, et encores
y estoit messires Bauduins de Fraiville, seneschaus
de Saintonge. Si fisent cil signeur leur assamblée à
5 Poitiers, et puis s’en partirent en grant arroy, et
chevaucièrent tant qu’il entrèrent en Berri. Si commencièrent
à ardoir et à exillier le pays et à honnir povres
gens, et y fisent moult de damages, et puis s’en
retournèrent par Tourainne. Et partout où il conversoient,
10 li pays estoit contournés en grant tribulation,
ne nulz ne leur aloit au devant, car il estoient
si fort que il tenoient les camps.
Et entrèrent ces gens d’armes en le terre le signeur
de Chauvegni, qui estoit tournés françois; si le ardirent
15 et exillièrent toute sans deport, horsmis les forterèces,
et vinrent devant sa mestre ville de Bruese. Si
le assegièrent et le assallirent et fisent assallir un jour
tout entier par leurs gens, mès riens n’i conquisent.
Dont s’alèrent il logier, et disent qu’il ne s’en partiroient
20 mies ensi, et que elle estoit à yaus bien prendable.
Si se levèrent au point dou jour, et s’armèrent
et ordonnèrent, et sonnèrent leurs trompètes d’assaut.
Si approcièrent cil Poitevin et cil Englès, et se misent
en ordenance par connestablies, cescuns sires entre
25 ses gens et desous se banière. Là eut, par un samedi,
grant assaut et dur et bien continuet, car il y avoit
dedens le ville gens d’armes et compagnons, qui se
deffendoient dou mieulz qu’il pooient, car il savoient
bien que c’estoit sus leurs vies. Si y fisent tamainte
30 apertise d’armes.
Li seneschaus de Poito et li seneschaus de Saintonge,
qui estoient en grant volenté et desir de conquerre
[139] la forterèce, faisoient leurs arciers traire si
ouniement que à painnes ne s’osoit nulz amoustrer à
garittes pour deffendre. Si furent, à ce jour et ce samedi,
au matin, cil de Bruese si fort assalli et si continuelment
5 par traire et lancier et escarmucier à
yaus, que finablement la ville fu conquise et la porte
jettée par terre, et entrèrent ens tout cil qui entrer y
veurent. Si furent pris li homme d’armes dou visconte,
et tantost en fisent li signeur de l’ost pendre
10 jusques à seize en leurs propres armeures, ou despit
dou dessus dit visconte, qui pas n’i estoit, mès se tenoit
à Paris dalés le roy de France. Si fu toute la
ville courue, arse et robée, et y perdirent li habitant
et li demorant tout le leur. Encores en y eut fuison de
15 mors et de navrés et de noiiés, et puis si s’en retournèrent
li Englès et leurs routes en le cité de Poitiers,
pour yaus mieulz à leur aise rafreschir.
§ 622. Messires Robers Canolles, qui se tenoit en

Bretagne sus son hiretage, lequel il avoit biel et grant,
20 et qui toutdis avoit estet bons et loyaus Englès, et
servi et amé le roy d’Engleterre et le prince de Galles
son ainsnet fil, et esté en leurs armées et chevaucies,
quant il entendi que li François faisoient ensi si
forte guerre au dit prince, et qu’il li tolloient et voloient
25 tollir son hiretage d’Acquitainne, lequel il li
avoit jadis aidiet à conquerre, se li vint à grant amiration
et desplaisance, et s’avisa en soi meismes
que il prenderoit ce qu’il poroit avoir de gens et s’en
iroit servir le prince à ses propres frès et despens.
30 Tout ensi comme il imagina et considera, il fist, et
cueilla gens et manda tous ses subgès et ses feaulz et
[140] priia ses amis, et eut environ soixante hommes d’armes
et otant d’arciers de se delivrance, et fist ses
pourveances sus le mer en quatre grosses nefs, en
une ville, en Bretagne, et port de mer, que on appelle
5 Konke.
Quant toutes ses pourveances furent faites et acomplies,
il se parti de Derval et se traist de celle
part: si entra en son vaissiel, et ses gens ès leurs; si
desancrèrent et singlèrent tant au vent et as estoilles,
10 qu’il arrivèrent au kay en le Rocelle. Se li fisent li
bourgois de le Rocelle grant feste arrière coer, mais
il n’en osoient aultre cose faire. Et là trouva il monsigneur
Jehan d’Evrues, qui estoit chapitainne de le
Rocelle, de par le prince; car li seneschaus estoit
15 avoecques monsigneur Jehan Chandos, messires Thumas
de Persi. Messires Jehans d’Evrues rechut le dit
messire Robert moult liement et li fist toute le bonne
compagnie qu’il peut faire. Si se rafreschirent messires
Robers et ses gens en le Rocelle par deux jours.
20 Au troisime jour, il s’en partirent et se misent au
chemin devers Angouloime, et tant esploitièrent par
leurs journées qu’il y parvinrent. De la venue monsigneur
Robert Canolles fu li princes grandement resjoïs,
et ne le peut par samblant trop conjoïr ne festiier,
25 et ossi madame la princesse. Tantost li princes
le fist mestre et souverain de tous ses chevaliers et
escuiers d’ostel par cause d’amour, d’onneur et de
vaillance, et leur commanda à obeir à lui, si com à leur
souverain, et il disent que ossi feroient il volentiers.
30 Quant li dis messires Robers eut esté dalés le prince
environ cinq jours, et cil furent tout appareilliet,
qui devoient aler en se chevaucie, et ossi il sceut
[141] quel part il se trairoit, il prist congiet au prince et
se parti d’Angouloime, bien acompagniés, les chevaliers
dou prince avoech lui, telz que monsigneur
Richart de Pontchardon, monsigneur Estievene de
5 Gousenton, monsigneur d’Aghorises, monsigneur
Neel Lorinch, monsigneur Guillaume Toursiel, monsigneur

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Multivariable advanced calculus Kuttler K

One Variable Advanced Calculus Kenneth Kuttler

Calculus of Real and Complex Variables Kenneth Kuttler

Calculus of One and Many Variables Kenneth Kuttler

Math 8 Lecture Notes Introduction to Advanced

II Vectors, Vector Products, Lines 15

III Planes And Systems Of Equations 67

4 Systems Of Linear Equations 79

6 The LU and QR Factorization 145

7.1.5 A Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8 Vector Spaces Subspaces Bases 179

9 Linear Transformations 201

10 Eigenvalues And Eigenvectors Of A Matrix 217

11 Curves In Space 247

12 Newton’s Laws Of Motion∗ 261

13 Physics Of Curvilinear Motion 269

IV Functions Of Many Variables 291

15 Limits Of A Function 307

16.6 Taylor’s Formula An Application Of Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . 343

17 Extrema Of Functions Of Several Variables 349

18 The Derivative Of Vector Valued Functions, What Is The Derivative?∗ 367

19 Implicit Function Theorem∗ 385

VI Multiple Integrals 393

21 The Integral In Other Coordinates 423

21.6 Finding The Moment Of Inertia And Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . 449

VII Line Integrals 457

VIII Green’s Theorem, Integrals On Surfaces 475

24 The Integral On Two Dimensional Surfaces In R3 485

IX The Divergence Theorem And Stoke’s Theorem 505

26 The Divergence Theorem 509

26.2.4 Balance Of Mass∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

27 Stokes And Green’s Theorems 529

X Some Iterative Techniques For Linear Algebra 551

29 Iterative Methods For Finding Eigenvalues 563

XI The Correct Version Of The Riemann Integral ∗ 575

Vectors, Vector Products, Lines

Vectors And Points In Rn

1.1 Rn Ordered n− tuples

Deﬁnition 1.1.1 Deﬁne

(x1 , · · ·, xn ) = (y1 , · · ·, yn ) if and only if for all j = 1, ···, n, xj = yj . When (x1 , · · ·, xn ) ∈ Rn ,

1.2 Vectors And Algebra In Rn

An element of Rn , x ≡ (x1 , · · ·, xn ) is often called a vector. The above deﬁnition is known

the associative law for addition,

the existence of an additive inverse, Also

As usual subtraction is deﬁned as x − y ≡ x+ (−y) .

1.3 Geometric Meaning Of Vectors

1.4 Geometric Meaning Of Vector Addition

§ 610. Tant esploita cilz dis varlés qu’il vint à

§ 611. Quant li rois d’Engleterre se vei deffiiés

§ 612. Li dus de Lancastre de son hiretage tenoit

De la venue les chevaliers dou duch de Bretagne,

§ 613. Li contes de Cantbruge et li contes de Pennebruch

15 § 614. En le garnison de Bourdille, en le conté de