Full download text book at textbookfull.

com

Interval-Valued Methods in
Classifications and Decisions Urszula
Bentkowska
DOWLOAD HERE

https://textbookfull.com/product/interval-valued-
methods-in-classifications-and-decisions-urszula-
bentkowska/

DOWLOAD NOW

Download more textbook from textbookfull.com

More products digital (pdf, epub, mobi) instant
download maybe you interests ...

Decision and Inhibitory Trees and Rules for Decision

Tables with Many-valued Decisions Fawaz Alsolami

https://textbookfull.com/product/decision-and-inhibitory-trees-
and-rules-for-decision-tables-with-many-valued-decisions-fawaz-
alsolami/

Bridge Engineering Classifications Design Loading and

Analysis Methods Weiwei Lin And Teruhiko Yoda (Auth.)

https://textbookfull.com/product/bridge-engineering-
classifications-design-loading-and-analysis-methods-weiwei-lin-
and-teruhiko-yoda-auth/

Exploring Business Language And Culture Urszula

Michalik

https://textbookfull.com/product/exploring-business-language-and-
culture-urszula-michalik/

Difficult Decisions in Bariatric Surgery John Alverdy

https://textbookfull.com/product/difficult-decisions-in-
bariatric-surgery-john-alverdy/
Survival Analysis with Interval Censored Data A
Practical Approach with Examples in R SAS and BUGS 1st
Edition Kris Bogaerts

https://textbookfull.com/product/survival-analysis-with-interval-
censored-data-a-practical-approach-with-examples-in-r-sas-and-
bugs-1st-edition-kris-bogaerts/

The Clinical Guide in the Emergency Room Part 2

Clinical Classifications and Scores 1st Edition Mina
Azer

https://textbookfull.com/product/the-clinical-guide-in-the-
emergency-room-part-2-clinical-classifications-and-scores-1st-
edition-mina-azer/

Spree Killers-Practical Classifications for Law

Enforcement and Criminology 1st Edition Mark Safarik

https://textbookfull.com/product/spree-killers-practical-
classifications-for-law-enforcement-and-criminology-1st-edition-
mark-safarik/

Vector Valued Partial Differential Equations and

Applications Cetraro Italy 2013 1st Edition Bernard
Dacorogna

https://textbookfull.com/product/vector-valued-partial-
differential-equations-and-applications-cetraro-italy-2013-1st-
edition-bernard-dacorogna/

Difficult Decisions in Colorectal Surgery 1st Edition

Neil Hyman

https://textbookfull.com/product/difficult-decisions-in-
colorectal-surgery-1st-edition-neil-hyman/
Studies in Fuzziness and Soft Computing

Urszula Bentkowska

Interval-Valued
Methods in
Classifications
and Decisions
Studies in Fuzziness and Soft Computing

Volume 378

Series editor
Janusz Kacprzyk, Polish Academy of Sciences, Systems Research Institute,
Warsaw, Poland
e-mail: kacprzyk@ibspan.waw.pl
The series “Studies in Fuzziness and Soft Computing” contains publications on
various topics in the area of soft computing, which include fuzzy sets, rough sets,
neural networks, evolutionary computation, probabilistic and evidential reasoning,
multi-valued logic, and related fields. The publications within “Studies in Fuzziness
and Soft Computing” are primarily monographs and edited volumes. They cover
significant recent developments in the field, both of a foundational and applicable
character. An important feature of the series is its short publication time and
world-wide distribution. This permits a rapid and broad dissemination of research
results.
Indexed by ISI, DBLP and Ulrichs, SCOPUS, Zentralblatt Math, GeoRef,
Current Mathematical Publications, IngentaConnect, MetaPress and Springerlink.
The books of the series are submitted for indexing to Web of Science.

More information about this series at http://www.springer.com/series/2941

Urszula Bentkowska

Interval-Valued Methods
in Classifications
and Decisions

123
Urszula Bentkowska
Faculty of Mathematics and Natural
Sciences
University of Rzeszów
Rzeszów, Poland

ISSN 1434-9922 ISSN 1860-0808 (electronic)

Studies in Fuzziness and Soft Computing
ISBN 978-3-030-12926-2 ISBN 978-3-030-12927-9 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-030-12927-9

Library of Congress Control Number: 2019930980

© Springer Nature Switzerland AG 2020

This work is subject to copyright. All rights are reserved by the Publisher, whether the whole or part
of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations,
recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission
or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar
methodology now known or hereafter developed.
The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this
publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from
the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use.
The publisher, the authors and the editors are safe to assume that the advice and information in this
book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the
authors or the editors give a warranty, express or implied, with respect to the material contained herein or
for any errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to
jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

This Springer imprint is published by the registered company Springer Nature Switzerland AG
The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland
To my Family and Friends,
especially to my Parents
Preface

I saw the need, but I did not know how to satisfy it. I posed
the problem to my best friends, Herbert Robins and Richard
Bellman, because as mathematicians they were better qual-
ified than I was to come up with a theory which was needed.
Both were too busy with their own problems. I was left on my
own.
Lotfi A. Zadeh [1]

Since the seminal paper on fuzzy sets was published [2], plenty of books and papers
devoted to the topic of fuzzy sets theory, its extensions and applications appeared.
According to the Web of Science, there are over 198,000 works with the fuzzy as a
topic. Among them, there are also works of the best friends mentioned in the
quotation by Lotfi Zadeh (e.g., [3]). The author of this monograph also would like
to contribute to the subject of fuzzy sets, especially interval-valued fuzzy sets,
which are one of the most important and developing generalizations of the fuzzy
sets theory. However, the presented results may be also advantageous to the whole
community, not only fuzzy, but more generally involved in research under uncer-
tainty or imperfect information.
Fuzzy sets theory and its extensions are interesting not only from a theoretical
point of view, but also they have applications in many disciplines such as computer
science and technology. Fuzzy sets turned out to be effective tools for many
practical applications in all areas, where we deal with natural language and per-
ceptions. Fuzzy sets and fuzzy logic contributed to the development of the artificial
intelligence and its applications. Fuzzy sets theory and its diverse extensions are
still one of the most important approaches for dealing with uncertain, incomplete,
imprecise, or vague information. The aspect of data uncertainty is studied inten-
sively in many contexts and scientific disciplines. Many different forms of uncer-
tainty in data have been recognized. Some come from conflicting or incomplete
information, as well as from multiple interpretations of some phenomenon. Other
arise from lack of well-defined distinctions or from imprecise boundaries. It is
impossible to eliminate completely uncertainty and ignorance from everyday
experience of scientists, specialists in various fields, and also the life of an average
man. According to Lotfi A. Zadeh As complexity rises, precise statements lose

vii
viii Preface

meaning and meaningful statements lose precision. This is why there is a need to
develop effective algorithms and decision support systems that would be able to
capture the arising problems.
The main aim of this monograph is to consider interval-valued fuzzy methods
that improve the classification results and decision processes under incomplete or
imprecise information. The presented results may be useful not only for the com-
munity working on fuzzy sets and their extensions, but also for researches and
practitioners dealing with the problems of uncertain or imperfect information. The
key part of the monograph is the description of the original classification algorithms
based on interval-valued fuzzy methods. The described algorithms may be applied
in decision support systems, for example, in medicine or other disciplines where the
incomplete or imprecise information may appear (cf. Chap. 4), or for data sets with
a very large number of objects or attributes (cf. Chap. 5). The presented solutions
may cope with the challenges arising from the growth of data and information in
our society since they enter the field of large-scale computing. As a result, they may
enable efficient data processing. The presented applications are based on theoretical
results connected with the family of comparability relations defined for intervals
and other related notions. We show the origin, interpretation, and properties of the
considered concepts deriving from the epistemic interpretation of intervals.
Namely, the epistemic uncertainty represents the idea of partial or incomplete
information. It may be described by means of a set of possible values of some
quantity of interest, one of which is the right one [4]. Since the subject is wide, we
mainly concentrate on theory and applications of new concepts of aggregation
functions in interval-valued fuzzy settings. The theory of aggregation functions
became an established area of research in the past 30 years [5]. Apart from theo-
retical results, there are many applications in decision sciences, artificial intelli-
gence, fuzzy systems, or image processing. One of the challenges is to propose
implementable aggregation methods (cf. [6]) to improve the usability of the pro-
posed ideas. Such methods provide a heuristic which may be conveniently
implemented and easily understood by practitioners. Moreover, another challenge is
related to the ability of including in the proposed solutions human-specific features
like intuition, sentiment, judgment, affect, etc. These features are expressed in
natural language which is the only fully natural means of articulation and com-
munication of the human beings. This idea led to considering aggregations inspired
by the Zadeh idea computing with words [7]. Computing with words (CWW) (cf.
[8]) has a very high application potential by its remarkable ability to represent and
handle all kinds of descriptions of values, relations, handling imprecision. There are
many aggregation methods that try, with success, to resolve the challenges of
nowadays problems (cf. [9–16]). In this book, we examine the so-called possible
and necessary aggregation functions defined for interval-valued fuzzy settings. One
of the reasons to consider these types of aggregation operators is connected with the
fact that these notions of aggregation functions were recently introduced [17] and
they have not been widely examined before.
Preface ix

The book consists of two parts. In the first part, theoretical background is pre-
sented and next in the second part application results are analyzed. In theoretical
part, in Chap. 1 elements of fuzzy sets theory and its extensions are provided. There
are presented the notions of interval-valued fuzzy calculus. Diverse orders applicable
for interval-valued comparing, including interval-valued fuzzy settings, are dis-
cussed. Furthermore, in Chap. 2 aggregation functions defined on the unit interval
½0; 1 are recalled and useful notions and properties are provided. Construction
methods of interval-valued aggregation functions derive from the real-line settings
and interval-valued aggregation functions often inherit the properties of their com-
ponent functions defined on the unit interval ½0; 1. All these issues will be presented
in Chap. 2.
Part II covers two major topics: decision-making and classification problems.
Chapter 3 is devoted to decision-making problems with interval-valued fuzzy
methods involved. It is pointed out the usage of new concepts with possible and
necessary interpretation involved. Next, the classification problems are discussed.
When classifiers are used there is a problem of lowering its performance due to the
large number of objects or attributes and in the case of missing values in attribute
data. In this book, it is shown that in such situations interval-valued fuzzy methods
help to retrieve the information and to improve the quality of classification. These
issues are discussed in Chaps. 4 and 5. In Chap. 4, there are proposed methods of
optimization problem of k-NN classifiers that may be useful in diverse computer
support systems facing the problem of missing values in data sets. Missing values
appear very often in data sets of computer support systems designed for the medical
diagnosis, where the lack of data may be due to financial reasons or the lack of a
specific medical equipment in a given medical center. Chapter 5 presents methods of
dealing with large-scale problems such as large number of objects or attributes in
data sets. Specifically, there is presented a method of optimization problem of k-NN
classifiers in DNA microarray methods for identification of marker genes, where
typically there is faced the problem of huge number of attributes. Finally, in Chap. 6,
there is presented the performance of the new types of aggregation functions for
interval-valued fuzzy settings in the computer support system OvaExpert [18].
The book ends with a brief description of the future research plans in the area of
presented problems, both in the theoretical and practical aspects.
The book is aimed at practitioners working in the areas of classification and
decision-making under uncertainty, especially in medical diagnosis. It can serve as
a brief introduction into the theory of aggregation functions for interval-valued
fuzzy settings and application in decision-making and classification problems. It
can also be used as supplementary reading for the students of mathematics and
computer science. Moreover, the results on aggregation functions may be inter-
esting for computer scientists, system architects, knowledge engineers, program-
mers, who face a problem of combining various inputs into a single output. The
classification algorithms considered in this book (in Chaps. 4 and 5), along with
other supplementary materials are available at [19], where there are provided
suitable files to download and run the experiments.
x Preface

I would like to thank Prof. Józef Drewniak for introducing me to the subject of
fuzzy sets theory. Moreover, I would like to thank other Professors that helped me
in better understanding the nuances of fuzzy sets theory, its extensions, and
applications. Namely, these are the following persons (listed in the alphabetical
order): Jan G. Bazan, Humberto Bustince, Bernard De Baets, Przemysław
Grzegorzewski, Janusz Kacprzyk, Radko Mesiar, Vilém Novák, and Eulalia
Szmidt. I am also grateful to my colleagues from Poland and abroad with whom I
cooperated working on scientific problems or whom I met during scientific con-
ferences. Especially, I would like to thank my colleagues from the University of
Rzeszów with whom we spent many hours on seminars discussing scientific
problems.
Finally, I would like to express my deepest gratitude to my family and friends
for their constant encouragement and support.

Rzeszów, Poland Urszula Bentkowska

October 2018

References

1. Zadeh, L.A.: Fuzzy logic–a personal perspective. Fuzzy Sets Syst. 281, 4–20 (2015)
2. Zadeh, L.A.: Fuzzy sets. Inf. Control 8, 338–353 (1965)
3. Bellman, R., Giertz, M.: On the analytic formalism of the theory of fuzzy sets. Inf.
Sci. 5, 149–156 (1973)
4. Dubois, D., Prade, H.: Gradualness, uncertainty and bipolarity: making sense of fuzzy sets.
Fuzzy Sets Syst. 192, 3–24 (2012)
5. Beliakov, G., Bustince, H., Calvo, T.: A Practical Guide to Averaging Functions. Studies in
Fuzziness and Soft Computing. Springer International Publishing, Switzerland (2016)
6. Albers, S.: Optimizable and implementable aggregate response modeling for marketing
decision support. Int. J. Res. Mark. 29, 111–122 (2012)
7. Kacprzyk, J., Merigó, J.M., Yager, R.R.: Aggregation and linguistic data summaries: a new
perspective on inspirations from Zadeh’s fuzzy logic and computing with words. IEEE
Computational Intelligence Magazine (forthcoming) (2018)
8. Zadeh L.A.: Computing with Words—Principal Concepts and Ideas. Studies in Fuzziness and
Soft Computing, p. 277, Springer (2012)
9. Blanco-Mesa, F., Merigó, J.M., Kacprzyk, J.: Bonferroni means with distance measures and
the adequacy coefficient in entrepreneurial group theory. Knowl.-Based Syst. 111, 217–227
(2016)
10. Castro, E.L., Ochoa, E.A, Merigó, J.M., Gil Lafuente, A.M.: Heavy moving averages and
their application in econometric forecasting. Cybern. Syst. 49(1), 26–43 (2018)
11. Castro, E.L., Ochoa, E.A, Merigó, J.M.: Induced heavy moving averages. Int. J. Intell.
Syst. 33(9), 1823–1839 (2018)
12. Liu, P., Liu, J., Merigó, J.M.: Partitioned Heronian means based on linguistic intuitionistic
fuzzy numbers for dealing with multi-attribute group decision making. Appl. Soft Comput.
62, 395–422 (2018)
13. Merigó, J.M., Palacios Marqu´es, D., Soto-Acosta, P.: Distance measures, weighted averages,
OWA operators and Bonferroni means. Appl. Soft Comput. 50, 356–366 (2017)
Preface xi

14. Merigó, J.M., Gil Lafuente, A.M., Yu, D., Llopis-Albert, C.: Fuzzy decision making in
complex frameworks with generalized aggregation operators. Appl. Soft Comput. 68,
314–321 (2018)
15. Merigó, J.M., Zhou, L., Yu, D., Alrajeh, N., Alnowibet, K.: Probabilistic OWA distances
applied to asset management. Soft Comput. 22(15), 4855–4878 (2018)
16. Zeng, S., Merigó, J.M., Palacios Marqu´es, D., Jin, H., Gu, F.: Intuitionistic fuzzy induce-
dordered weighted averaging distance operator and its application to decision making.
J. Intell. Fuzzy Syst. 32(1), 11–22 (2017)
17. Bentkowska, U.: New types of aggregation functions for interval-valued fuzzy setting and
preservation of pos-B and nec-B-transitivity in decision making problems. Inf. Sci. 424,
385–399 (2018)
18. Dyczkowski, K.: Intelligent Medical Decision Support System Based on Imperfect
Information. The Case of Ovarian Tumor Diagnosis. Studies in Computational Intelligence,
Springer (2018)
19. http://diagres.ur.edu.pl/*fuzzydataminer/
Contents

Part I Foundations
1 Fuzzy Sets and Their Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Elements of Fuzzy Sets Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Basic Notions of Fuzzy Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Fuzzy Connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Elements of Interval-Valued Fuzzy Sets Theory . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Basic Notions of Interval-Valued Fuzzy Calculus . . . . . . . 9
1.2.2 Order Relations for Interval-Valued Fuzzy Settings . . . . . . 12
1.2.3 Linear Orders for Interval-Valued Fuzzy Settings . . . . . . . 15
1.2.4 Possible and Necessary Properties of Interval-Valued
Fuzzy Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 17
1.2.5 Interval-Valued Fuzzy Connectives . . . . . . . . . . . . . . .... 19
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 20
2 Aggregation in Interval-Valued Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Aggregation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Development of the Concept of Aggregation Function . . . . 26
2.1.2 Classes of Aggregation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Dominance Between Aggregation Functions . . . . . . . . . . . 36
2.2 Classes of Aggregation Functions for Interval-Valued Fuzzy
Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 38
2.2.1 Interval-Valued Aggregation Functions with Respect
to the Classical Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 39
2.2.2 Pos-Aggregation Functions and Nec-Aggregation
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 42
2.2.3 Interval-Valued Aggregation Functions with Respect
to Linear Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 45

xiii
xiv Contents

2.3 Dependencies Between Classes of Aggregation Functions

in Interval-Valued Fuzzy Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 48
2.3.1 Interval-Valued Aggregation Functions Versus
Pos-Aggregation Functions and Nec-Aggregation
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 48
2.3.2 Aggregation Functions with Respect to Linear Orders
Versus Other Classes of Aggregation Functions in
Interval-Valued Fuzzy Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 53
2.4 Construction Methods of Aggregation Operators
in Interval-Valued Fuzzy Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 55
2.5 Properties of Aggregation Functions in Interval-Valued Fuzzy
Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 58
2.6 Preservation of the Width of Intervals by Aggregation
Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 62
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 65

Part II Applications
3 Decision Making Using Interval-Valued Aggregation . . . . . . ...... 71
3.1 Preservation of Interval-Valued Fuzzy Relation Properties
in Aggregation Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 72
3.2 Multicriteria Decision Making Algorithm . . . . . . . . . . . . . ...... 74
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 81
4 Optimization Problem of k-NN Classifier for Missing Values
Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1 Construction of the Classifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.1 Aggregation Operators for Interval-Valued Settings . . . . . . 85
4.1.2 Missing Values in Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.3 k-NN Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.4 New Version of Classifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.1 Conditions of Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.2 Discussion and Statistical Analysis of the Results . . . . . . . 97
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Optimization Problem of k-NN Classifier in DNA Microarray
Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 DNA Microarray Methods from Biological Point of View . . . . . . 108
5.2 DNA Microarray Methods from Information Technology
Point of View . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 A Method of Constructing a Complex Classifier . . . . . . . . . . . . . . 113
Contents xv

5.4 Details of Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.5 Discussion and Statistical Analysis of the Results . . . . . . . . . . . . . 118
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6 Interval-Valued Methods in Medical Decision Support Systems . . . . 121
6.1 OEA Module of OvaExpert Diagnosis Support System . . . . . . . . . 122
6.2 Performance of Pos- and Nec-Aggregation Functions in OEA . . . . 126
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8 Tables with the Results of Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
System FuzzyDataMiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
 Part I
Foundations

In this part there are presented concepts related to fuzzy sets theory and its exten-
sions. Moreover, short historical mentions regarding the development of these notions
are provided. There are recalled diverse types of comparability relations between
intervals, including orders and linear orders. Mostly, this part of book concerns
aggregation functions defined both on the real line (or the unit interval [0,1]) and
for interval-valued settings. There are presented diverse representation methods of
interval-valued aggregation operators, their properties, construction methods and
dependencies between diverse classes of these operators. The considered aggrega-
tion operators may fulfil various monotonicity conditions, namely with respect to
the classical partial order, with respect to the linear orders or with respect to the
two other distinguished comparability relations derived from the epistemic inter-
pretation of intervals. Special attention is paid to the recently introduced notions of
pos-aggregation functions and nec-aggregation functions. There is also discussed the
problem of preservation of width of intervals by aggregation operators.
Chapter 1
Fuzzy Sets and Their Extensions

In July of 1964, I was in New York, and was scheduled to have

dinner with my friends. The dinner was canceled. I had a free
evening. My thoughts turned to the issue of cointensive
indefinability. At that point, a simple idea clicked in my mind the
concept of a grade of membership. The concept of a grade of
membership was a key to the development of the theory of fuzzy
sets.
Lotfi A. Zadeh [1]

In this chapter basic notions regarding fuzzy calculus, its history and basic properties
are recalled. Moreover, extensions of fuzzy sets are briefly described and the most
important results concerning interval-valued fuzzy calculus are provided. Especially,
the notions of diverse order and comparability relations for interval-valued settings
are discussed.

1.1 Elements of Fuzzy Sets Theory

Lotfi A. Zadeh is credited with inventing the specific idea of a fuzzy set, i.e. an exten-
sion of the classical notion of set in his seminal paper on fuzzy sets [2]. He gave a
formal mathematical representation of the concept which was widely accepted by
scholars. In fact, the German researcher Dieter Klaua independently published a
German-language paper presenting examples of fuzzy sets in the same year, but he
used a different terminology (he referred to many-valued sets, mehrwertiger men-
genlehre in German, [3]). The ideas of a fuzzy set, as a generalized characteristic
function, appeared much earlier. Jan Łukasiewicz is a pioneer with the concept of

© Springer Nature Switzerland AG 2020 3

U. Bentkowska, Interval-Valued Methods in Classifications and Decisions,
Studies in Fuzziness and Soft Computing 378,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-12927-9_1
4 1 Fuzzy Sets and Their Extensions

multivalued logic. In 1920 he introduced the concept of a trivalent logic [4]. Edward
Szpilrajn considered a generalized characteristic function with the values in the Can-
tor Set [5]. Examples of fuzzy relations were provided by Karl Menger in 1951
(ensembles flous in French, [6]). Helena Rasiowa in 1964 considered generalized
characteristic functions (functions f : X → L, where L is any logical algebra, cf.
[7]), but did not use them in the sense of fuzzy sets.
Farther important papers on fuzzy sets published after 1965 are the ones on fuzzy
relations by Zadeh [8] and L-fuzzy sets by Goguen [9]. Now there exist a long list of
papers on fuzzy sets theory and there exist a long list of applications such as digital
cameras, fraud detection systems, fuzzy logic blood pressure monitors, fuzzy logic
based train operation systems and many others. Fuzzy sets theory is a very wide
branch of science. In this section we will provide only some basic notions connected
with the theory of fuzzy sets.

1.1.1 Basic Notions of Fuzzy Calculus

A fuzzy set may be treated as a generalization of the notion of a characteristic function

of a set A ⊂ X , namely

1, x∈A
χ A (x) = , x ∈ X.
0, x∈
/ A

Definition 1.1 ([2]) A fuzzy set A on X = ∅ is defined as an arbitrary function

A : X → [0, 1]. The family of all fuzzy sets on X is denoted by F S (X ). A value
A(x) is called a membership value of x ∈ X to the fuzzy set A.
Operations on fuzzy sets are defined analogously to the operations on crisp sets.

Definition 1.2 (cf. [2]) A complement of a fuzzy set A ∈ F S (X ) is called A ∈
F S (X ), where

A (x) = 1 − A(x), x ∈ X. (1.1)

Inclusion, sum and intersection of A, B ∈ F S (X ) are defined in the following way:

A  B ⇔ ∀ A(x)  B(x), (1.2)

x∈X

(A ∨ B)(x) = max(A(x), B(x)), (A ∧ B)(x) = min(A(x), B(x)), x ∈ X. (1.3)

Special cases of fuzzy sets are fuzzy relations.

Definition 1.3 ([2]) A fuzzy relation between X, Y = ∅ is called an arbitrary func-
tion R : X × Y → [0, 1]. The family of all fuzzy relations between X and Y is
denoted by F R(X, Y ). If Y = X , then we say that R is a fuzzy relation on X . The
family of all fuzzy relations on X is denoted by F R(X ).
1.1 Elements of Fuzzy Sets Theory 5

Remark 1.1 If car d X = n, X = {x1 , . . . , xn }, car d Y = m, Y = {y1 , . . . , ym }, then

a fuzzy relation may be presented by a matrix R = [rik ], where rik = R(xi , yk ),
i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , m, m, n ∈ N.

Example 1.1 Examples of fuzzy relations may be provided by expressions such as

„x is almost equal to y”, „x is about 10 times greater than y”,√„x + y is close to 10”,
„x is much larger than y”, „y is a good approximation of x”, „x 2 + y 2 is much
smaller than 100”, etc. Let Y = X , car d X = 5. We present below an exemplary
relation R ∈ F R(X ) of approximate equality on a finite set X , where
⎡ ⎤
1 0.5 0.1 0 0
⎢ 0.5 1 0.4 0.2 0 ⎥
⎢ ⎥
R=⎢
⎢ 0.1 0.4 1 0.5 0.1 ⎥
⎥.
⎣ 0 0.2 0.5 1 0.4 ⎦
0 0 0.1 0.4 1

Analogously to Definition 1.2 we may define basic operations on fuzzy rela-

tions. There exist also some operations that are typical for the relational calculus.
One of such operations is composition. We recall the notion of sup–B and inf–B–
composition. In these notions we follow the notational convention of Bandler and
Kohout (cf. [10]).

Definition 1.4 (cf. [2]) Let B : [0, 1]2 → [0, 1]. A sup–B–composition of relations
R ∈ F R(X, Y ) and W ∈ F R(Y, Z ) is the relation (R ◦ B W ) ∈ F R(X, Z ) such
that for any (x, z) ∈ X × Z it holds

(R ◦ B W )(x, z) = sup B(R(x, y), W (y, z)). (1.4)

y∈X

An inf–B–composition of relations R ∈ F R(X, Y ) and W ∈ F R(Y, Z ) is the rela-

tion (R  B W ) ∈ F R(X, Z ) such that for any (x, z) ∈ X × Z it holds

(R  B W )(x, z) = inf B(R(x, y), W (y, z)). (1.5)

y∈X

In the next section the notions of fuzzy connectives are recalled. They are exten-
sions of adequate notions of the classical propositional calculus.

1.1.2 Fuzzy Connectives

Fuzzy connectives are important notions in fuzzy sets theory. A fuzzy negation, a
fuzzy conjunction, a fuzzy disjunction, a fuzzy implication, and a fuzzy equivalence
are the basic connectives.
6 1 Fuzzy Sets and Their Extensions

Definition 1.5 ([11]) A decreasing function N : [0, 1] → [0, 1] is called a fuzzy

negation, if N (0) = 1 and N (1) = 0. A fuzzy negation is called a strict negation, if
it is a strictly decreasing and continuous function. A fuzzy negation is called a strong
negation, if it is involution, i.e. N (N (x)) = x for any x ∈ [0, 1].
Each strong fuzzy negation is a strict fuzzy negation but the converse is not true.
Example 1.2 (cf. [12]) Typical examples of fuzzy negations are:
• N (x) = 1 − x, which is a strong fuzzy negation and is called the classical or
standard negation.
• N (x) = 1 − x 2 , which is strict but not strong.
Moreover, the Sugeno family of fuzzy (strong) negations is the set of fuzzy negations
of the form
1−x
N Sλ (x) = , λ ∈ (−1, ∞), x ∈ [0, 1].
1 + λx

Note that for λ = 0 we get the classical fuzzy negation.

The Yager family of strong fuzzy negations is the set of fuzzy negations of the
form
1
NYw (x) = (1 − x w ) w , w ∈ (0, ∞), x ∈ [0, 1].

The next class of fuzzy connectives consists of fuzzy conjunctions and disjunc-
tions. There exist diverse definitions of these notions (cf. [12]). We recall one of the
weakest approach to define fuzzy conjunctions and disjunctions along with some of
their important subclasses.
Definition 1.6 (cf. [11, 13]) An operation C : [0, 1]2 → [0, 1] is called a fuzzy
conjunction (respectively disjunction) if it is increasing and C(1, 1) = 1, C(0, 0)
= C(0, 1) = C(1, 0) = 0 (respectively C(0, 0) = 0, C(1, 1) = C(0, 1) = C(1, 0)
= 1). A fuzzy conjunction is called a triangular seminorm (respectively triangular
semiconorm) if it has a neutral element 1 (respectively 0). A triangular seminorm
(respectively triangular semiconorm) is called a triangular norm (respectively trian-
gular conorm) if it is commutative and associative.
Triangular norms (t-norms for short) and triangular conorms (t-conorms for short)
are precisely discussed in the monograph [11].
Example 1.3 ([11]) Examples of fuzzy conjunctions are the following well-known
t-norms (denoted by T ) given here with their usually used abbreviations:
TM (x, y) = min(x, y), TP (x, y) = x y, TL (x, y) = max(x + y − 1, 0),
⎧
⎪
⎨x, if y = 1
TD (x, y) = y, if x = 1 .
⎪
⎩
0, otherwise

Similarly, examples of fuzzy disjunctions are the following well-known t-conorms

(denoted by S) given here with their usually used abbreviations:
1.1 Elements of Fuzzy Sets Theory 7

S M (x, y) = max(x, y), S P (x, y) = x + y − x y, SL (x, y) = min(x + y, 1),

⎧
⎪
⎨x, if y = 0
S D (x, y) = y, if x = 0 .
⎪
⎩
1, otherwise

These operations are comparable (linearly ordered on [0, 1]), i.e.

T D  TL  T P  T M , S D  SL  S P  S M . (1.6)

Other examples and classes of fuzzy conjunctions and disjunctions are gathered for
example in [14].
Fuzzy implications are interesting connectives in fuzzy settings which may fulfil
many additional properties (cf. [12, 15]).
Definition 1.7 ([15], pp. 2, 9) A function I : [0, 1]2 → [0, 1] is called a fuzzy impli-
cation, if it is decreasing with respect to the first variable, increasing with respect to
the second variable and fulfils the truth-table of a crisp implication, i.e. I (1, 0) = 0,
I (1, 1) = I (0, 1) = I (0, 0) = 1.
A fuzzy implication I fulfils the identity principle, if

I (x, x) = 1, x ∈ [0, 1]. (1.7)

The notion of a fuzzy equivalence, understood as a fuzzy connective, is probably

the least known among fuzzy connectives. However, this is important concept from
practical point of view (cf. [16]) and it may be defined in diverse ways (cf. [17], p. 33,
[18, 19]). We recall the notion of a fuzzy equivalence considered by Fodor and
Roubens in [20].
Definition 1.8 ([20], p. 33) A function E : [0, 1]2 → [0, 1] is called a fuzzy equiv-
alence, if it fulfils the following conditions:

E(0, 1) = 0, E(x, x) = 1, E(x, y) = E(y, x), x, y ∈ [0, 1],

E(x, y)  E(u, v), x  u  v  y, x, y, u, v ∈ [0, 1].

In Theorem 1.1 a generalization of a tautology from the classical propositional

calculus, i.e. ( p ⇔ q) ⇔ (( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)), is applied to characterize a fuzzy
equivalence given in Definition 1.8. However, the classical conjunction is replaced
with a fuzzy conjunction – minimum.
Theorem 1.1 ([20], p. 33) A function E : [0, 1]2 → [0, 1] is a fuzzy equivalence if
and only if there exists a fuzzy implication I fulfilling the identity principle (1.7) such
that
E(x, y) = min(I (x, y), I (y, x)), x, y ∈ [0, 1].
Another random document with
no related content on Scribd:
 Elza megrántotta Rózsa kabátjának az ujját:
– Figyeljen csak! Hirdetem már a tanait!
A társalgás általános témákra fordult, Jánosnak mennie kellett,
mert Adél várta otthon, hogy beszéljen vele a somogyi utja előtt.
János szivesebben maradt volna, hogy elnézze a leány nagy, piros
száját, anélkül, hogy figyelne arra, amit mond és hogy folytassa azt
a müveletet, amit már az imént elkezdett: hogy a szemével lehuzza
a leányról a divatos városi ruhát és feladja rá a nedves, fekete
balatoni trikót, amiben ugy villogott ki a vizből, mint egy ördög,
kerek, kemény, kivánatos ördög, akivel szerelmesen hancurozni
olyan gyönyörü volna.
Ezt ilyen határozottan János most először érezte.
Azzal ment el a Gerbeaudból, hogy igenis meg kell próbálni
képviselővé lenni, hátha valóra válhat ennek a furcsa leánynak a
tréfálkozása.
Jó meleg volt a szive táján és Lelle óta először érezte magát
kellemesen.
 XX. FEJEZET.

Egy magyar mandátum

Adél csak percekre jött fel. Még a kalapot, még a fátyolt sem
engedte lekérlelni magáról. Az utóbbi időben mindig igy tett. Nőnél
szinte hihetetlen erővel tudott vigyáni magára, hogy a szerelem el ne
széditse. Érezte, hogy a csók ellágyitaná, elárasztaná forró
életvágygyal s ez összetörné egészen, sirásba és gyötrődésbe
fullasztaná, ami – kitanulta már önmagán – rohamosan emészti
életerejét s képtelenné teszi arra a sürgős és fáradságos munkára,
amit még okvetlen el akart intézni.
– Jánoska, – mondta a fiunak – maga most lemegy a kerületébe,
a népnek szónokolni.
– Nem szivesen megyek.
– Miért?
– Nem szivesen hagyom itt magát.
– Ne fájditsa a szivemet ilyen kedves beszédekkel. Ha
elérzékenyit, összedönti az egész épületet.
– Melyiket?
– Amit most épitek magának, hogy aztán beleköltözhessen.
– De, kérem, Adél, édes, szép betegem, én nem akarom, hogy
maga épitsen nekem. Gyógyuljon meg és nekem semmi se kell.
 – Nem tudnék meggyógyulni, ha a munkámban zavarna. Lássa,
Jánoska, ez az egyetlen örömem, hogy igy elanyáskodom maga
felett, hogy megpróbálom, hátha mindhalálig rendbe tudnám hozni a
maga életét… Legalább a magáét, szerelmem. Na, ne beszéljünk igy,
nagyon mélyre megy a szó. Van elég pénze a választásra?
– Van – mondta rekedten János és a hangjában érdes tiltakozás
volt.
– Mert, nézze… ha nincs, én szivesen adom oda, ami kevesem
nekem van.
– De ha mondom, hogy van pénzem!
– Jánoska, mondtam már magának, hogy akik szeretik egymást,
azoknak nem szégyen egymástól elfogadni.
– Nem, nem!
– A legnagyobb ajándék, hogy az emberek egymást adják
egymásnak. Azontul, a többi, ha akármi, ha akármennyi: gyerekség,
mert nem is azon tul van, hanem innen rajta.
– Adélka, – mondta a fiu és megcsókolta a nő kezét – ne akarjon
adni. Már ugyis… – és abbahagyta.
– Mit már ugyis?
– Semmi, semmi…
– Maga rosszalkodik, János. Ezt nem szabad, ezt ne tegye, ezzel
fájdalmat okoz nekem. Ha ezt hallom, azt hiszem, hogy nem szeret
már. Szeret, ugy-e?
Ez olyan szépen zengett, hogy körülhullámozta még János kicsit
száraz és kurta hangját is:
– Szeretem.
 – Akkor menjen és gondoljon rám, ha nagyon kellemetlen napjai
lesznek odalenn. Gondolja, hogy nekem okoz örömet vele. Én
megvárom, amig hazajön, akkorra talán meglesz…
– Mi?
– Amit akarok, hogy meglegyen.
– A mandátum?
– Nem. Egyéb. Majd meglátja. Ne kérdezze. Isten vele. Megyek.
A fiu lehajolt, hogy ujra kezet csókoljon. A nő kiforditotta a kezét:
– A tenyeremet, Jánoska. Az olyan, mintha a számat csókolná.
Aztán mosolyogva sóhajtott:
– És még sem olyan.
És elment.
Este ért János Kaposvárra.
Ribáry éppen vadászatról jött haza, azon csizmásan, sárosan,
bőrkabátosan ölelte Jánost keblére.
– Szervusz, édes hálópajtásom, isten hozott! – harsogott János
felé. – Tudom, hogy a kerület miatt jöttél le, tudom. Ráértél volna
később is.
– Azt hittem, bátyám, kötelességem…
– Hja, civiljelölt, az jőjjön le már, amikor eszébe villant, hogy ő az
én országomban szeretne mandátumot kapni, de te akár le se jöttél
volna!…
– Nekem azt mondták, a pártban…
– Az más, öcsém, az mind más! Neked majd máskép csináljuk. Te
vagy az, aki megosztottad velem a párnádat és a parfümödet! A te
választásodnak olyan simán kell csuszni, mintha megolajozták volna.
 János megköszönte szépen.
– Ma hetivásár volt, ma ittbenn van biztosan a városban lábahuzi
Grünstein, a tófalusi kerület apja, átküldünk érte a Koronába és egy
kis haditanácsot tartunk vele. Amit elhatározunk majd, az szentirás
lesz.
Ribáry már küldött is lábahuzi Grünsteinért.
– Hogy ki a lábahuzi Grünstein, ugy-e? Hát az csak kocsmáros
Tófalun, sőt egy kicsit sántás is az egyik lábára, ezért hivják
lábahuzinak, de nemcsak a legokosabb ember a kerületben, hanem
minden parasztnak a legjobb barátja. Az öregekkel nevelődött, a
fiatalokat nevelte, mindenkivel te-tu, aki nincs a zsebében, annak ő
van a szivében, ő szervezte már vagy tiz választáson, hogy ki hogyan
kapjon pénzt, kinek-mindenkinek legyen haszna az alkotmányból. El
se képzeled, mennyire megkönnyiti egy főispánnak a munkáját egy-
egy ilyen ember a kerületben.
És a főispán tovább beszélt Grünsteinről, aki tiz percen belül
megérkezett. Magas, erős, szélesvállu ember volt, akin az is, hogy
öreg, az is, hogy zsidó, csak alig látszott meg. Naptól vörös
magyaros ábrázatát az tette jellegzetessé, hogy az orra vége
megvastagodott és a közepén egy vonal szaladt lefelé, ugy, hogy az
orra kicsit kétágunak látszott. A bal lába valamivel rövidebb lehetett,
azért mintha huzta volna maga után. A hangja és a beszédje inkább
parasztgazdát mutatott, csak a hosszu nadrágja és a cuggos cipője
árulták el, hogy a vidéki élet intelligenciájához tartozik.
– Adjon isten, Náci bácsi! – köszönt rá Ribáry. – Idenézzen, ki
van itt! A maguk uj képviselője. Senkhy János szerkesztő ur. Ugy
nézzen rá, hogy nagyszerü fiatal ember és az én legjobb barátom.
– Tartom szerencsémnek – mondta Grünstein és nagy
tisztességtudással hajolt meg János felé.
– Mondd, öcsém – kérdezte a főispán Jánostól – mennyit szánnak
odafenn a mandátumodra? Azt Grünsteinnek tudni kell.
 – Tizezer koronát – felelt János kicsit kedvetlenül.
– Hát az nem sok, öcsém, de nem baj, neked annyiért is van
Somogyban mandátum. Mennyibe került legutóbb Tófalu, Nácikám?
– Sieben und fünf machen zwölf – számolt magában félig
fennhangon Grünstein, aztán kimondta: – Az bizony kóstált
százhuszezer koronát. De ha méltóságod azt mondja, hogy most
csak tizezerbe kóstáljon, akkor tizezerbe kóstál.
– Ez beszéd! – helyeselte a főispán.
Grünstein már részletezte:
– Lélekpénz nem lesz.
– Hát az nem. – János felé a főispán igy magyarázta: – A
lélekpénz, öcsém, az az összeg, amit egy-egy szavazat közvetlenül a
kezéhez kap. Volt itt már ötven pengő is a lélekpénz.
– Ötven? – mosolygott Grünstein. – Mikor a gróf Czinderyt
választottuk, az utolsó nap százhuszonöt pengő volt a lélekpénz. A
záróra előtt kettőszáz. – Aztán folytatta: – Gulyáspénz nem lesz.
– Nem, Nácikám, az se lehet. A gulyáspénz azt az összeget
jelenti, amibe az kerül, hogy a kerület minden kocsmájában a
választás kitüzése napjától az eredmény kihirdetéséig ingyen gulyás,
meg egy meszely bor jár kinek-kinek, aki beteszi a kocsmába a lábát.
– Zászlópénz? – vetette föl a kérdést Grünstein.
– Ne is keresgéljük, Nácikám, ebből a tizezerből semmire se futja.
Rendezünk egy szép egyhangut a barátomnak. Ellenjelölt nem lesz
és punktum…
– Stt, méltóságos uram! – vágott Grünstein a főispán szavába és
fölemelte a kezét, hogy Ribáry ne beszéljen tovább. – Az nem lesz
jó, méltóságos uram. Uriember persze hogy nem lép föl, ha
méltóságod azt mondja, hogy nincs ellenjelölt, de valamelyik
dikicsnek vagy gyalunak mégis eszébe juthat, hogy elrikkantja magát
valamelyik olvasó-körben, amik nagyon eldivatoztak már, hogy éljen
ez vagy az, követünk. És akkor egyszerre fölborul a szekér, vagy ugy
el köll kezdeni pénzelni, hogy a tizezer koronának az első félórában
már se hire, se pora. Ha méltóságod azt akarja, hogy a szerkesztő ur
tizezer koronáért meglegyen, akkor ellenjelölt kell, jó
negyvennyolcas ellenjelölt.
– Nana, Náci bácsi, ezt nem látom…
– Stt, méltóságos uram! – emelte fel ujra a kezét Grünstein –
csak tessék kivárni a végét. Megtesszük ellenjelöltnek a Lipik Pétert,
a tófalusi jegyzőt, az negyvennyolcas, de ugy utálja a paraszt, a
gatyás is, a mándlis is, hogy ingyen le nem szavaz rá az Istennek se.
De másik jelöltet az ellenzékiek még se tehetnek melléje. A Lipik
Péternek most leégett a malma, pénz kell neki. Adunk neki
háromezer koronát zászlókra, adunk neki hármat fuvarra. Egy
krajcárt az ki nem enged a markából, gerendát, meg zsindelyt vesz a
malmára.
– Hát a többi négyezer?
– Háromezerért hozatunk zászlót a szerkesztő urnak, egyezer
meg marad az én Bertámnak.
– De Nácikám! A maga feleségének?
– Stt, méltóságos uram! Az én Bertámnak minden választásból
kijár ezer korona. Ha méltóságod azt mondja: ez meg ez, aki
barátom, tizezerért lesz tófalusi követ, akkor az ugy lesz; Grünstein
Ignác egy lyukas forintot se akar keresni. De hogy’ jön az én Bertám
ahhoz, hogy ne kapja meg az ezer koronáját, amit eddig mindig
megkapott? Nem igaz, mélyen tisztelt szerkesztő ur?
Ribáry nevetett, János belenyugodott az elosztásba.
– Hát Grünsteinkám, – nyujtotta a kezét Ribáry a tófalusi
mandátum apja felé – igy lesz ez?
– Ez igy, méltóságos uram! Ha élünk, meg nem halunk.
 – Hol vagyunk még attól, Nácikám, hogy meghaljunk?
Az egészséges arcu zsidó kicsit elkomolyodó hangon felelte:
– Azt aztán nem tudhatjuk, méltóságos uram; nagyon bólogatnak
rám a tófalusi temető ágácifái, mikor este a szürkével elhajtok
mellettük. Istennek ajánlom az urakat.
Lábahuzi Grünstein távozott.
– Ebben nyugodtak lehetünk – mondta Ribáry. – Te, öcsém,
ámbárhogy én itt fognálak világ végéig, akkor mehetsz vissza Pestre,
amikor akarsz. Tudom én, hogy az ilyen lapiró embernek minden
perce drága. Csak akkor nem, ha rászánta magát, hogy elcsuszkálja
az idejét a Tátrában, sárgakabátos szép asszonyokkal. Láttad-e
azóta Czillernét, öcsém? Különben mit is kérdem? Tátrai ismeretség
elolvad, mint a hó. Velünk vacsorázol, aztán megmondod, meddig
akarsz maradni…
– Programmbeszéd nem kell? – kérdezte János.
– Ki a fenének? A Grünstein tudja, hogy a te programmod az,
hogy a barátom vagy. Az itteni pógárnak meg hiába mondod a
programmodat, balpárti az akkor is, ha elveszi tőled a lélekpénzt és a
kakastollas csendőr vigyáz is rá, hogy rád szavaljon.
– Ha mehetek, édes bátyám, akkor már holnap szeretnék
visszamenni.
– Hát még egy ebédet megeszel nálam, aztán Isten hirével,
öcsém.
Ezt a programmot aztán keresztül is vitték.
Ribáry elhozatta a hotelből János kézitáskáját, vacsoránál
bemutatta családjának, mint azt a ragyogó tátrai embert, akiről már
annyit beszélt. Másnap délben tizenkettőtől fél kettőig ebéd cimen
olyan kináló kereszttüzbe vették, hogy a gyomrát, bárhogy
védekezett, el kellett rontania, aztán mehetett ki az állomásra,
zsinóros hajduval kocsija bakján.
 XXI. FEJEZET.

János ismét előrelendül. Ahogy eddig, ugy most sem tehet

róla. Kicsit csodálkozik, de aztán belenyugszik abba, hogy
neki mindföljebb kell mennie
Három héttel a kaposvári vizit után egy nagyon csunya
november-eleji délelőtt János kicsit kóválygó fejjel ébredt fel tiz
órakor. Este Gotthelféknél volt vacsorán s egész este az volt az
érzése, hogy a vacsora doktor Rózsa Rezső kedvéért rendeződött,
aki, ugy látta János, nem Emma iránt érdeklődik s akit, ezt is látta
János, nem Emma, hanem Elza hallgat csillogóbb szemmel, örömtől
és megelégedéstől ragyogóbb arccal.
A társaság éjfélig nagy volt, volt zongorázás, kártya, hangosság,
aztán csak a család maradt, a Gotthelf-szülők, a két leány, Rózsa
Rezső és János, aki nem tudta magát rávenni a távozásra, noha csak
seblonos marasztalásokat kapott. A szalón egyik sarkában ültek,
sárga selyemfoteleken, nagy sárgaernyős állólámpa alatt, és János
alig csinált egyebet, csak nézte Elzát s azt próbálta elhitetni
magával, hogy a lány csunya. Mikor egy-egy negyedórára már
nagyon sikerült ez a munka, egyszerre melege lett, vér ömlött a
fejébe s a negyedóra sikeres munkáját elsöpörte az az erőszakos
vágy, hogy el kellene kapni ennek a csuf lánynak a göndör fejét,
hátrahajlitani a nyakát és megcsókolni a nagy vörös száját, de ugy,
hogy lélekzetért kapkodjon. Ezt muszájna; akkor minden nagyon jól
volna.
Előttük egy kis asztalon pezsgő állt, Elza töltögetett a poharakba.
Az öregek nem ittak, a lányok és Rózsa csak keveset mindig. János
ellenben valahányszor fölvette a poharát, mindig ki is itta. Ez nem
használt a fejének. Ha beszélnie kellett volna, biztosan dadogott
volna, de az ő szavára alig volt szükség. Tulajdonképpen Elza és
Rózsa Rezső párbeszéde tette ki az egész társalgást, az is ugy, hogy
Elza kérdezett, vagy közbevetett valamit s akkor Rózsa hosszan,
csendesen, könnyed és nagyon intelligens hangon egész kis
előadásokat tartott. Az öregek inkább bóbiskoltak, mint a beszédet
hallgatták, Emma unatkozott és a legyezőjével játszott, János pedig
csak foszlányokat értett meg Rózsa beszédeiből. Nem mintha a
szavakat nem értette volna, azok egészen rendesek voltak, de a
mondatok értelme volt olyan, hogy János eddig mindig csak az
ellenkezőjét hallotta, vagy gondolta.
– Nem, Elzus, – mondta Rózsa, mikor még János elég jól tudott
figyelni – amit én mondok és irok és most már tanitok is, odalent
Kolozsváron, annak a három szál hallgatómnak, aki véletlenül a
kollégiumomba belézeng, az mind nem vadonatuj gondolat,
többnyire mindegyiket elgondolta és kimondta már valaki, de elmult
korok filozófusai annyi helytelen eszmét, tévhitet, alaptalan
igazságot hirdettek, hogy a véletlenül helyes gondolat, amire mégis
rábukkantak, elvesz náluk, ahelyett, hogy kidomborodnék. És én
erről nem szivesen beszélek társaságban és még kevésbbé fiatal
lányok előtt, mert mindig abban a kényelmetlen helyzetben vagyok,
hogy az ugynevezett tanaimat azért hiszik el, mert én is társaságbeli
ember vagyok, jó ruhát és szakálltalan, fiatal ábrázatot viselek s nem
harsogom az igazságaimat, mint az igazság őrültje, hanem
nyugodtan és enyhén mondom el, mintha épp olyan fölületes és
lényegtelen beszéd volna, mint a társaságok rendes társalgása.
– Ebben van valami – mondta rá Elza.
– És mindig attól is félek, hogy ha akadnak kedves, laikus
hallgatóim, azok hamis utra terelődnek attól, amit mondok. Levonják
a konzekvenciákat ott is, ahol én még egyelőre fölöslegesnek tartom.
Ha például azt mondom: a család nem szent kötelék, hanem
ösztönös egoizmuson épülő inkább rossz, mint jó szövetkezet s erről
részletesen meggyőzöm azt, akivel beszélek, mindig attól kell
tartanom, hogy valamelyik lipótvárosi leány már másnap kihirdeti ezt
a szülei előtt és kétségbeejti vele őket. Ha azt mondom, hogy az
állam a mai formájában egy több ezer éves ostobaságokon
összeépült kártékony szervezet, amely, maximális teherátháritással
polgáraira, nekik csak minimális hasznot nyujt, akkor attól tartok,
hogy akad, aki azt hiszi, már holnap föl kell robbantania valakit vagy
valamit a mai államélet keretein belül…
Itt még följebb csavarodott a gondolatmenet, vagy Jánosnak lett
még homályosabb az agya a pezsgőtől, mert a sárga szalón
elsötétedett előtte, csak Elza nedves szeme csillogott ki belőle, de
mindig Rózsa Rezsőre irányozva s Jánosnak azon a vágyon tul, hogy
ezt a szemet is meg kellene csókolni, még egy másik vágya is
támadt: teljes tenyérrel és teljes erővel nagyot kellene ütni ennek a
gyerekarcu fiatal embernek az arcára, hogy a fogai kiessenek, a
szája feldagadjon, csuf és undoritó legyen a foghijjas, dagadt
pofájával és ne tudjon tovább beszélni, hogy Elza ne hallgathassa
tovább. Ezt is muszájna, akkor is minden nagyon jól volna.
Két óra felé járt, mikor Gotthelfné fölrezzent és azt mondta
halkan Elza felé:
– Gyerekek…
– Persze! Már két óra, – felelte a leány – mingyárt elküldjük a
vendégeket. Én ugyan reggelig elhallgattam volna a gyorsvonatok
doktorát, de itt már mindenki alszik. Még a Szépember is.
– Dehogy, – szólt János – csakugyan érdekes… nagyon érdekes,
amit a doktor ur…
De már fölkeltek és bucsuztak.
A lépcsőn lefelé János ment hátul, mert nem volt biztos a
lépéseiben. Közben folyton az járt a fejében, hogy le kellene lökni a
lépcsőn a gyorsvonatok doktorát, hogy a nyakát törje ki.
Az uccán egy darabig együtt mentek.
 – Egész este nem beszéltünk róla, – mondta Rózsa – pedig
szerkesztő urat biztosan az érdekli jobban, mikor lesz a választása?
– Holnap – mondta János és neki is most nyilallott egész este
először a fejébe, hogy holnap reggel zajlik le a választás Tófalun s
hogy voltaképen neki most az iránt kellene érdeklődnie, ahelyett,
hogy az Elza vörös száján járna az esze.
– És ön nincs a kerületében?
– Ne… Nem vagyok. Nincs szükség rám.
– Kormánypárti kerület, ugy-e, hitbizományi alapon?
– Körülbelül – felelte kedvetlenül János.
– Nagyon szomoruak a magyar viszonyok – fejezte be Rózsa
Rezső.
Valami hideg nedvesség szemerkélt alá, János szerette volna
levenni a kalapját, hogy a fejét hütse, de restelte magát. Viszont a
szabad levegő még jobban széditette s mert éppen egy konflis
csörömpölt el mellettük, János megállitotta.
– Hazaviszem – mondta Rózsának.
– Kérem – fogadta el a szivességet Rózsa és bemondta a lakása
cimét:
– Kálmán-ucca 7. – aztán hozzátette magyarázatnak János
számára: – nem adtam fel a pesti lakásomat Kolozsvár miatt. Ott
hotelben lakom.
– Ja igaz, Kolozsvár – dünnyögte János. – És ha ön rendes tanár
lesz, akkor is?
És János gondolatai mélyén az lappangott, hogy szólni kellene
valakinek, szögezze ezt a fiatalembert Kolozsvárra. Most először
voltak ilyen kijárói gondolatai. Rózsa azonban igy felelt a föltett
kérdésre:
 – A további egyetemi grádusokat már nem vállalnám odalent.
Csak azért fogadtam el a magántanárságot, igy, mert valahol
kezdeni kell a professzorságot.
Többet nem beszéltek, mert a kocsi tulságosan zörgött ahhoz,
hogy megértsék egymást.
A Kálmán-ucca 7. előtt Rózsa kiszállt, János utánanézett, látta,
hogy egy patika van a házban, közvetlenül a kapu mellett nagy
üvegtáblán valami görög férfifej van aranyozva, mögötte két
keresztbe tett bot, amik körül kigyók kavarodnak.
– Köszönöm! – szólt vissza Rózsa, aki már becsöngetett. János
bemondta a saját cimét a konflisnak és elkocogott. Mikor még
egyszer visszatekintett, még eszébe jutott, hogy a falhoz kellett
volna lapitani a gyerekarcu filozófust.
Otthon gyorsan aludt el s tiz órakor, mint már az imént láttuk,
kóválygó fejjel ébredt fel.
A takaritónő bekopogtatott.
– Na! – mondta az ajtó felé rosszkedvüen János. – Mit akar,
Kata?
Kata már be is jött:
– Sürgöny jött, nagyságos ur és János elé tette a recepiszt, hogy
aláirja. János egy elmosódott nagy S-t irt a papirszeletre és utána is
kent még valamit, fölvett egy hatost az éjjeli szekrényről, Katának
nyujtotta, aztán elolvasta a sürgönyt.
Ez állt benne:
„Lipik Péter visszalépett. Egyhangulag megválasztottunk.
Gratulálok, kedves barátom“.
És aláirva Ribázy volt, a Morse-gép sajtóhibája Ribáry helyett.
 János visszatette fejét a párnára. Kicsit gondolkodott rajta, hogy
hogy is van ez?
Hát megvan. Ő most képviselő. Adél elérte a célját, mandátumot
szerzett neki. Szeretett volna szeretettel gondolni Adélra, de csak
zavaros érzések hullámzották körül a lelkében ezt a nevet. János a
csók izének emlékén keresztül próbált visszamenni gondolataiban
Adélhoz. De ez sem ment. Valahogy, mintha soha se ölelkezett volna
a nagy fehér és aranyszinü asszonytesttel. A legtöbb, amit fel tudott
idézni, a vanilia-illat volt. De vágyódások nem kapcsolódtak hozzá. S
ahogy képzeletben közelebb ment az asszonyhoz, a fehér test
helyett fekete, vizes trikó villant feléje s a szőke fej átcserélődött egy
göndörre. Elza volt előtte. S most az a gondolata támadt, hogy
ennek a mandátumnak csak ugy volna értelme, ha Elzának mingyárt
megmondaná, Elza örülne neki és mingyárt megcsókolná érte. Ehhez
a ponthoz azután már kellemesebben kapcsolódtak a képzetek.
Hátrahajtotta a leány fejét, megkapaszkodva göndör hajában és az
arcát az arca fölött tartotta, lassan közeledett a szájához, ugy, ahogy
már tegnap este elképzelte.
János szájában édesség ömlött szét és ujra elaludt erre a
gondolatra. Fárasztóan szép szerelmi álmot álmodott végig, amikor
ujra kopogtattak az ajtaján.
A takaritónő megint sürgönyt hozott. János megint aláirt, megint
odaadott egy hatost és olvasta a táviratot, melyet Bécsben adtak fel.
Ez hosszabb volt:
„Kedves barátom, örömmel értesitelek arról, hogy pártunk kitünő
elnöke, báró Frideczky Tihamér, legfelsőbb engedelemmel fiává
fogadott. Remélem, hogy ezt a hirt már a tófalusi kerület
képiselőjével közlöm.“
Aláirva a miniszterelnök neve volt.
János rámeresztette álomtól dagadt szemét a táviratra. Egészen
kábult lett, mintha kalapácscsal halántékon ütötték volna. S az ütés
nyomán folyton ez kongott a fülébe:
 – Adél!
Hát ez volt az, amit Adél az ő számára előkészitett, ez volt az az
épület, amibe neki bele kellett költözködnie. A szeme elé
viziószerüen egy hatalmas palota került, olyanféle, mint a Nemzeti
Muzeum, nagy, egyszerü sikokkal, hatalmas oszlopokkal, de belül
igen éles világossággal. Nyomasztóan széles márványlépcsők
vezettek benne fölfelé, végtelenül sok lépcső igen magasra. És ő állt
a lépcsők alján és nézett föl, valahogyan fáradtan és reménytelenül,
hogy lehetetlen oda fölmennie. Először érzett széditő
aránytalanságot a maga személye és a vele végigjátszódó
események közt.
Aztán az tolakodott az agyába, hogy hová mindenhová kell
elsietnie ezzel a hirrel s a legfőbb óhaja megint az volt, hogy
Gotthelfékhez szaladjon és bemutatkozzék Elzának:
– Báró Frideczky János.
Még igy, kábultan, fürdött meg és öltözött föl s minden egyéb
mennivalót mellőzve, ugy döntött, hogy elmegy Prokeschhez, az
majd mond józan szavakat, amik tulsegitik ezen a részegségen.
Prokesch ugyanott lakott most is, ahol annak idején, mikor János
az első meglepő hirrel fölkereste, csak az ódon ház lépcsőháza volt,
tekintettel a nedves késő-őszi időre, még rosszabb levegőjü. A
háziasszony most épp ugy nem akarta beengedni, mint akkor s
János most épp ugy fölverte álmából Prokescht, mint akkor.
– Tudom, miért jössz – mondta Prokesch.
Nem tudod.
– Dehogy nem. Képviselő lettél. Hát persze, hogy az lettél. Biztos
voltam benne, hogy leszel. Ámbár a kerületből folyton ellenzéki
gyülésekről hozott hireket a kőnyomatos. Meg sem mutattam neked.
Tudtam, hogy minden hiába. Ha háborus időket élnénk, azt
mondanám: rajtad nem fog a golyó. Gratulálok öregem. Mindjárt
megmondom, hogy mit kell csinálnunk.
 – De nem azért jöttem.
– Hát? Megbuktál? Az lehetetlen.
– Nem buktam meg, dehogy!
– Na ugye!
– De még-valami lettem.
– Mi a fene? – szakadt fel Prokeschből – mingyárt miniszter is
lettél?
– Nem. Báró.
– Mi? Mi lettél?
– Báró.
Prokesch eltátotta a száját. Aztán egy nagyot nyelt, szárazat.
– Őrület! – mondta. – Hogy’ lettél? Miért lettél? Vetted? De hiszen
nincs pénzed! Te nem is vehetted. Hát ki vette? Őrület!
– Nem vettem. Kaptam. Adoptáltak.
– Ki a ménkü? Valami zsidó?
– Nem.
– Hanem?
– Báró Frideczky Tihamér.
Prokesch ugy, ahogy volt, fehérben, kipattant a dunyha alól és
sovány lábait lelógatta az ágyról:
– Hihetetlen! Várj kérlek, amig rendezem a gondolataimat.
Különben mit erőlködöm a rendezéssel? Reinhardt sem tudná
rendezni őket. Báró Frideczky vagy?
– Az.
 – Szédület. Bódulat. Zászlós ur lettél, karok és rendek lettél, ó-
arisztokrata lettél. Hazánk egyik ősapja lettél.
– Az, az – bólogatott János.
– Hát egyelőre ehhez nem tudok hozzászólni. Ezt kapcsoljuk ki.
Ez tul van felfogóképességemen. Az emberek vagy lépcsőn, vagy
létrán, vagy liften mennek fölfelé. Ez nem az. Ez repülőgép. Ezt tehát
tegyük félre. Térjünk vissza a józan élet keretei közé. Tárgyaljuk a
képviselőségedet. Pardon egészen kiszáradt a torkom.
János fölkelt, a mosdószekrényen álló pohárba vizet öntött, de
megjegyezte:
– Odolos.
– Nem baj. Én itthon még soha sem ittam vizet. Vizet én itthon
csak olyankor iszom, ha belőled nemcsak képviselő, hanem báró is
lesz. Nemcsak báró, hanem Frideczky báró. Ez egy életben csak
egyszer fordulhat elő. Olyankor megihatom az odolos vizet is.
És Prokesch kiitta a vizet. Aztán visszadugta lábát a dunyha alá
és most már nyugodtabban beszélt:
– E mai szent napon, méltóságos uram…
– Ne viccelj.
– Dehogy viccelek. Te vagy az első méltóságos, akivel komoly,
történeti alapon pertu vagyok. Nem téged tisztellek meg tehát a
cimmel, hanem magamat. Eddig csak en passant lehettem pertu
méltóságosokkal, ugy, hogy ha egyik hirtelen letegezett, én hirtelen
visszategeztem, de vigyáztam arra, hogy nagyon észre ne vegye. De
most már biztos, hogy lesz egy igazi kegyelmes pertum is.
– Ki?
– Te!
János elnevette magát. Prokesch folytatta:
 – Te, méltóságos uram, a mai nappal megszünsz a Függetlenség
szerkesztője lenni.
– Miért? – kérdezte János.
– Mert a mandátum nagyon szép, a báróság gyönyörü, ez a
báróság pláne olyan, hogy uj jelzőkért Remete barátomhoz kellene
fordulnom, de a kormánypárti képviselő, ha még-ugy báró is, le kell
hogy kerüljön a lapról, mert egy lap, amely kormánypárti képviselőt
hordoz a homlokán, a halált hordozza szivében. Kimondottan
kormánypárti lapok nálunk csak a kormánytól élhetnek. A kormány
iratja, de kizárólag a kormány olvassa is őket. A lap a tied marad és
pártonkivüli mérsékelt politikát fog folytatni a fődolgokban, a
mellékesekben lehet akár radikális is. Valakit kiirunk rá
szerkesztőnek.
– Téged.
– Köszönöm. Soha se gondoltam, hogy kiirt szerkesztő is lehet
belőlem. De nem fogok szégyent hozni a lapra. Ezennel Proksayra
változtatom régi Prokeschemet. Proksay Miksa… Nem is fog rosszul
festeni. A zsurnalizmus ugyan már holnap Miksay Proksának fog
csufolni, de azzal nem fogok törődni. Ha a Prokescht kibirtam,
kibirom a Miksay Proksát, sőt kibirnám a Moksay Priksát is. Délután
megirom a bucsuzó cikkedet. Nagyon szép és érzékeny lesz, benne
áll majd a lap függetlenségének mindenekfelett való tisztelete. Gyere
be hat órakor. Különben is gyere be, hogy egy kis üdvözlő cécót
rendezhessünk. Sok minden volt már a magyar ujságirásban, de
ilyen még nem volt! Szervusz, méltóságos uram, viszontlátásra
délután.
János otthagyta Prokescht és megint Gotthelfékhez szeretett
volna menni. De hogyan tegye? Beállitson és mondja:
– Ez lettem, az lettem, szeress érte, te kis ördög.
Vaskos és piszkos esőfelhők lógtak az égről. János mégis kifelé
igyekezett a Dunapartra. Hátha Elza, amilyen furcsa, éppen ma tart
ott korzót.
A Duna és a budai hegyek fölött még csunyább volt az őszi ég. A
propellerek füstje leverődött a pesti partra és elnehezitette a levegőt.
Persze, hogy egy lélek se korzózott. Azaz, hogy mégis; fent a
Lánchid felé egy hosszu, csikos alak lengett a gyalogjárón. Báró
Frideczky, Senkhy János korhadt családfája tartotta szabályos déli
sétáját. János – furcsa – semmi hajlamot nem érzett magában arra,
hogy az öreghez rohanjon és hálás szivvel átölelje. Tudta, hogy az
öreg csak eszköz volt Adél kezében. Jobb szeretett volna letérni a
korzóról. De még sem tette. Ment nyugodtan Frideczky felé, aki elég
idejekorán meglátta és hadonászni kezdett a kezével:
– Szervusz, szervusz! – krákogta az öreg – rég nem láttalak! Te is
elhanyagolsz, pedig, bizony, pedig…
Frideczky célzást akart tenni a készülő eseményre, valami olyan
célzást, amit János ne értsen meg, mert Adélnak megigérte a báró,
hogy nem árulja el a tervet Jánosnak. De János már megszoritotta
az öreg kezét és belesüvöltötte Frideczky fülébe:
– Köszönöm! Köszönöm!
– Mit? Hát tudsz róla?
– Megtörtént. Köszönöm! Végtelen hálám, végtelen hálám…
Többet nem orditott János, mert tudta, hogy itt, a szabad
levegőn, ahol még a szél is viszi a hangot, ugyis hiába.
Frideczky gyerekesen elhuzta a száját. Duzzogva mondta:
– Félretolt ember vagyok. Megszidom Sándort. Megmondtam
neki, hogy én akarom közölni veled. Én akarom megmondani a
fiamnak…
János mentegette a miniszterelnököt. Az öreg nem figyelt:
– Nagyszerü nő! – motyogta – nagyszerü nő! (Ez Adélra
vonatkozott.) Ha engem egy nő igy szeretett volna, én elvettem
volna, ha… ha… (az öreg keresett valami megfelelőt), ha komorna
lett volna, akkor is. És a Frideczky-család nem halt volna ki. De most
sem hal ki. Az tulajdonképpen mindegy. Lehet, hogy nekem nem is
lett volna olyan nagyszerü fiam, mint te vagy. És ha lett volna,
biztosan nem ült volna le az apjával sakkozni. Ezek a mai fiatalok
nem olyanok. Te más vagy, azért tettem nagyon szivesen… Mi van a
mandátummal?
– Megvan.
– Nekem azt sem mondták. Félretolt ember vagyok. Majd
megmondom a véleményemet nekik. Nem jösz velem ebédelni?
Gyere, a fiam vagy!
János vállalkozott.
A Hungáriában ettek, a két Friedczkyek, János és az ősapja. Az
ős csak egy levest evett, meg egy kis fasirozott husikát, meg egy
puha körtét. Az ifju sarj sem volt nagyon ehetném kedvében. Az
izgalom és a töprengés ellanyhitották.
Ebéd után Frideczky fölvitte Jánost a klubba, hogy egy kicsit
sakkozzon vele.
Ahogy átmentek a termeken, kézszorongató gratulációk estek.
Az öreg le akarta aratni a dicsőséget:
– Na! mit szóltok hozzá? Mit szóltok hozzám?
Pedig a gratulációk egyelőre csak a mandátumnak szóltak; a
báróságról még nem tudtak a klubbeliek.
János ötig sakkozgatott atyja-urával, akkor elölelkezett tőle és
bement a szerkesztőségbe, ahol a fiuk felálltak az asztalok mellől és
egy diszkrét, zavart éljent küldtek feléje.
– Köszönöm, fiuk – mondta János és bevonult a szobájába.
Kevéssel utána a szerkesztőség valamennyi tagja bekerülközött,
Prokesch, most már Proksay vezérlete alatt. A kis szónoklatot
azonban Domahidy mondta (politikai ügyről lévén szó).
– Szeretve tisztelt barátunk, méltóságos urunk!
Igy kezdődött a szónoklat.
Most-amidőnnel folytatódott, mi-akik-veled-ettük-a-szükös-napok-
kenyerét is volt benne és sok más nagyon szép és megható fordulat,
amit Domahidi a parlament kupolacsarnokából hozott el, ahol
miniszterek küldöttségeket szoktak fogadni. Voltak benne csinos latin
szavak is, amik különösen Sikorszkynak, az ókori novellák
specialistájának, tetszettek s végül abban hegyeződött ki, hogy
János maradjon meg továbbra is a sajtószabadság rettenthetetlen
harcosának.
Mert ha ujságirók szónokolnak, mindig szó van rettenthetetlen
harcról és sajtószabadságról is.
Mikor Jánosra került volna a sor, hogy válaszoljon, akkor
csengetett a telefon az asztalán.
– Megbocsáttotok? – mondotta és fölvette a kagylót. (Ilyenkor
Adél szokott jelentkezni.)
– Kezét csókolom… – mondta bele halkan a kagylóba János.
A fiuk jelentősen egymásra néztek. Hátul Szeniczei Prokesch
fülébe sugta:
– A báró ur anyja…
Aztán Prokesch intett a fiuknak a kezével, hogy kifelé és a
redakció, mint testület, kiment János szobájából, Prokesch még az
ajtót is betette mögöttük és Szeniczei, akit külön e célra hivtak fel a
Popper-kávéházból, folytatta azt a mondatát, amit ott bent elkezdett.
A fiuk közt ugyanis már ama rövid negyed óra alatt, ami a
báróság tudomásul vétele óta eltelt, kialakult az a vélemény, hogy a
báróságot azzal szerezte meg Jánosunk, hogy a hármas fogatba
negyediknek az öreg Frideczkyt szerszámozta bele.
– Kár, hogy a neve megváltozott, – mondta Remete.
– Kinek a neve? – kérdezte Sikorszky.
– A szőrkeztyüd neve. Báró Senki sokkal jobb ritmusu lett volna.
– Ne köszörüljétek a nyelveteket a gazdátokon – vetette oda
Prokesch, kicsit meggyőződése ellenére, már az asztala mellől.
– Priksay ur! – mondta halkan, csendes megvetéssel Remete,
Sikorszky felé, vagyis egy olyan formáját találta ki Prokesch már
bejelentett uj nevének, amire Prokesch nem is számitott…
 XXII. FEJEZET.

Még egy éjszaka

Ezenközben Adél ezt mondta Jánosnak telefonon:
– Jánoska, ne mondjon semmit. Most ne; majd este, ha az arcát
is láthatom, mikor mondja.
– Feljön este?
– Fel. Kilenc után, Jánoskám, ott leszek és ott vacsorázom
magánál. Na, meg ne ijedjen! Csak egy kis sonkát eszik a vendége
és egy pohárka pezsgőt iszik hozzá, ha lesz.
– Szabad?
– Ma szabad. Ma konziliumot tartottam magammal és
engedélyeztem magamnak a pezsgőt is. Pá, Jánoska, csókolom, a
viszontlátásra.
János letette a kagylót, hátradőlt a székében, bámult maga elé,
aztán kicsit turkált az asztal tetején, szórakozottan, nem tudva, mit
keres; egy darab fehér kéziratpapir került a kezébe, akkor
bemártotta a tollat és mig azt hitte, hogy az uj aláirását próbálja ki,
ezt irta a papirra:
– Báró Frideczky Jánosné…
Mikor észrevette a nét, eltépte a papirost.
János hideg holmit vett vacsorára és két kis üveg édes francia
pezsgőt, ugy ment haza. Adél már várta. A lilavirágos sárga selyem
pongyola volt rajta, amit még annak idején hozott el hazulról János
lakására, de már hónapok óta soha sem vett föl, ha Jánosnál volt.
Egy kis asztalt is megteritett már két személyre és lehunyt szemmel
ült egy karosszékben, mikor János belépett.
– Jó napot, báróka! – üdvözölte Jánost. – Mit szól hozzá, milyen
házias vagyok.
– Teritett?
– Bizony. Sőt szerettem volna ezüsttel teniteni, ha magának
ezüstje volna. De majd lesz. Láttam Ivándon szép sulyos ezüst
evőeszközt, nagy családi monogrammokkal. Az a maga öröksége
lesz. Egyebet onnan alig örökölhet.
– Adél! Hát még Ivándon is volt?
– Voltam, persze. Meghivott öreg barátom. Ha valaki látta volna,
most már azt beszélnék, hogy az öreg Frideczky babája lettem.
Pedig, ugy-e csak a fiatalé vagyok?
– Kié? – kérdezte János, aki még nem élte bele magát uj
helyzetébe.
– A fiatal Frideczkyé. Az maga.
János azonban nem nevetett a tréfán. Komoly szemrehányással
mondta:
– Mennyit szaladgálhatott!
– Dehogy, Jánoska! Minden ugy ment, mint a karikacsapás.
– Hogy’ köszönjem meg?
– Sehogy. Azzal köszöni meg, hogy természetesnek tartja, hogy
megtettem. Magától értetődőnek. Különben nem is volt fáradságos.
– Lefogyott.
– Nem attól, Jánoska. Ez az idő nem tesz jót nekem.
 – Brioniban olyan szépen összeszedte magát!
– Nekem vagy homokon, vagy havon kell élnem és mindig
napfényen. Itt a három közül egyik sincs. Maga a homlokom, a
havam, a napfényem, Jánoska és maga tilos. Magától meghalnék.
– Megint ezt beszéli?
– Hiszen csak feltételes módban mondom. Meghalnék, de nem
halok meg, mert visszamegyek a havas napfény alá.
– Hová készül ujra?
– Tátraszéplakra megyek.
– De ott télen csak a szanatórium van nyitva.
– Odamegyek.
Egy kis csend lett. János nem felelt semmit, mert irtózott a
széplaki szanatóriumtól. Adél folytatta:
– Odamegyek. Ott nagyon jó lesz. A fekvést a napon olyan
könnyen megszokja az ember. Utóbb már jól is esik. És mindenki
sportot csinál a feketedésből, még a betegek is. Ugy-e milyen szép
sötét voltam, mikor megjöttem Brioniból?
János ránézett a nőre.
Annak a feketeségnek már nyoma sem volt. Ellenben, jobban
megtekintve, látszott, hogy Adél egy kis festékkel és puderrel adott
kölcsön némi jó szint magának. De ezt János nem mondta. Adél
mégis felelt erre a gondolatára:
– Nem szabad haragudni. Jánoska. Tudja, mikor a feketeség
lekopik, akkor olyan furcsa arcszine van az embernek… Ugy nem
járhatok kint a világban, pedig azelőtt soha semmit az arcomra nem
raktam. Maga tudja.
– Tudom… olyan sima, kedves bőre van.
 – Még emlékszik rá?
– Hogy’ kérdezhet ilyet?
– Nincs könnyebb a feledésnél. Tulajdonképpen nem egyéb az
élet, mint gyüjtögetése mindannak, amit utóbb elfeledünk, vagy… –
tette hozzá kicsit elhalkuló hangon – … vagy el kell felednünk.
János félbe akarta szakitani ezt a gondolatmenetet, de Adél már
be is fejezte:
– Mikor már mindent elfeledtünk, vagy már nem érdemes
emlékeznünk… akkor meghalunk…
– Adél! – mondta szemrehányóan János. De a nő, félig magának,
még hozzátett valamit:
– Vagy… amikor már nagyon fáj emlékezni.
Aztán felkapta a fejét:
– Na, báróka, nem azért jöttem, hogy szomorkodjunk. Ünnepi
vacsora lesz a maga uj cimeinek felavatására, nagyságos képviselő,
méltóságos báró ur… és régi dolgoktól való elbucsuzásra.
– Nincs mitől bucsuzni… – mondta János, hogy megint elháritson
egy közéjük felhőző gondolatot.
– Bucsuzni mindig van mitől. Hacsak a tegnaptól… ha csak az
elmult órától… ha csak az iménti perctől is, ami nem jön vissza.
Jánoska, Jánoska! Semmi sem jön vissza. Nem érdemes élni, annyira
egyszer van minden ebben az életben.
János nem volt ezeknek az elmélázásoknak az embere. Mondani
semmit sem tudott. Adél tovább szövögethette volna a fekete
fonalat. De nem tette. Ezt mondta:
– Vagy talán azért érdemes élni, mert minden csak egyszer van?
– Azért… – felelte János tétován.
 – Én sem tudom. Hát maga hogy’ tudná? Maga nem tudhat
annyit, mint én…
– Miért?
– Mert… mert az ember olyan sokáig nem lát. Aztán elkezd látni.
Az rossz, Jánoska, az rossz. Ne kivánja a látást.
És megint más hangba próbált átcsapni.
– Hozott-e sonkát nekem?
– Hoztam.
– Akkor szépen kicsomagoljuk.
(És már tette is, amit mondott.)
– Nini, báró ur, mekkora lakomát szállitott! Éhes?
– Nem – nem vagyok éhes.
– Akkor ez a sok nagyszerüség mind megmarad, mert én nem
eszem belőle. Ó, szamócát is hozott?
– Maga szereti.
– Milyen kedves, hogy gondolt rá! Majd a pezsgőbe dobáljuk.
Leültek a kis asztal mellé. Jánosnak nagyon nem kellett az étel.
Valahogy a torka viszketett folyton. De nem akarta elsirni magát.
A nő nem evett.
– Parancsol? – kérdezte János.
Adél, aki a villanylámpába bámult, megrezzent.
– Nem. Még nem. Egy kis kölni vizzel le kell törölnöm az arcom’
és a szám. Most már nincs szükségem a mesterséges szinemre. Vagy
igen?
 – Dehogy! – tiltakozott János.
Adél sápadtan jött vissza. A szája most nem volt piros, mint az
előbb, hanem kékesen halvány. János riadtan nézte.
– Ugy-e nem jó a szinem?
– Ki mondta?
– A maga szeme, Jánoska. Jobb lett volna fenthagyni a pirosat,
meg a fehéret. De azért csak nem vagyok csunya?
– Ugyan, Adél!
– Na, együnk inkább. Maga egyék, én majd nézem.
János legyürt néhány falatot, Adél is evett egy kicsit a sonkából,
aztán hátradült a karosszékben és ujra a lámpa izzó fényszálát nézte.
János megint fölrezzentette azzal, hogy pezsgővel kinálta meg.
Adél egy kanál epret dobott a pohárba aztán megkóstolta.
Visszatette az asztalra:
– Brr… savanyu!
– Édeset hoztam – védekezett János.
– Mégis savanyu. Minden savanyu. Nem kell. Ez sem kell. Semmi
sem kell.
Lehunyta a szemét s csendesen tette hozzá:
– Tudom, mi kell.
János a nő fölé hajolt.
– Ez kell – mondta Adél és beleharapott a fiu szájába.
Majd fölkelt, a két kezével a fejéhez nyult, megrázta ugy, hogy a
nagy csonthajtük a szőnyegre szóródtak széjjel, a haja lebomlott.
 – Nem birom a hajtüket – mondta összerázódva. – A hajam is
olyan nehéz… most.
János némán nézett rá.
A nő beszélt:
– Jánoska, tudja, hogy ma itt maradok magánál!
A fiu elcsodálkozott. Ez még soha sem történt meg.
– Itt? – kérdezte – igazán?
– Itt. Az uramat elküldettem vidékre, bizottságozni. Itt maradok
magánál. Olyan szomjas a szám már és olyan sokáig nem látom
magát ujra. Tavaszig bizonyára nem. Ma, még egyszer… nem bánom,
ha árt is a csók… Nem árt!… Nem halok meg tőle… Istenem! Ha
meghalnék tőle!
Szélesre tárta két karját és a fiu nyakába vetette magát.
János behunyta a szemét, kezével belemélyedt a szőke hajba,
melyet feketének és göndörnek képzelt el, hátrahajtotta a nő fejét,
ugy, ahogy tegnap is, ma is, gondolt már rá. És megcsókolta a
csunya Elzát.
*
Adél másnap elutazott.
Másnap János egy kis levelet kapott a lakására. A levél igy szólt:
Kedves Senki, méltóságos Szépember! Papa, mama már nem birják ki
jövő csütörtökig, amikor Maga ugyis elhozná hozzánk személyével együtt
uj méltóságait, hogy őket teánkba mártogassa; megkérnek tehát engem,
hogy kérjem meg Magát: postafordultával jöjjön el és adjon fényt
házunknak. Szükkörü családi estebéd lesz csupán.
Hát tegye meg a kivánságukat az én kedvemért. Üdvözli:
G. Elza.

P. S. Lakoma kezdete kilenckor; ha előbb jön beszélgetünk.