PDF Handbook of Linear Partial Differential Equations For Engineers and Scientists Second Edition Andrei D Polyanin Ebook Full Chapter

Handbook of Linear Partial Differential
Equations for Engineers and Scientists

Second Edition Andrei D. Polyanin
Visit to download the full and correct content document:
https://textbookfull.com/product/handbook-of-linear-partial-differential-equations-for-e
ngineers-and-scientists-second-edition-andrei-d-polyanin/
More products digital (pdf, epub, mobi) instant
download maybe you interests ...
Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact

Solutions, Methods, and Problems: Third Edition Andrei
D. Polyanin
https://textbookfull.com/product/handbook-of-ordinary-
differential-equations-exact-solutions-methods-and-problems-
third-edition-andrei-d-polyanin/
Partial Differential Equations Mathematical Techniques

for Engineers 1st Edition Marcelo Epstein (Auth.)
https://textbookfull.com/product/partial-differential-equations-
mathematical-techniques-for-engineers-1st-edition-marcelo-
epstein-auth/
Differential Equations A Primer for Scientists and

Engineers 2nd Edition Christian Constanda
https://textbookfull.com/product/differential-equations-a-primer-
for-scientists-and-engineers-2nd-edition-christian-constanda/
Solution Techniques for Elementary Partial Differential

Equations Third Edition Constanda
https://textbookfull.com/product/solution-techniques-for-
elementary-partial-differential-equations-third-edition-
constanda/
Introduction to Partial Differential Equations Peter J.
Olver
https://textbookfull.com/product/introduction-to-partial-
differential-equations-peter-j-olver/
Artificial Neural Networks for Engineers and

Scientists: Solving Ordinary Differential Equations 1st
Edition S. Chakraverty And Susmita Mall
https://textbookfull.com/product/artificial-neural-networks-for-
engineers-and-scientists-solving-ordinary-differential-
equations-1st-edition-s-chakraverty-and-susmita-mall/
Semigroups of Bounded Operators and Second-Order

Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations
1st Edition Luca Lorenzi
https://textbookfull.com/product/semigroups-of-bounded-operators-
and-second-order-elliptic-and-parabolic-partial-differential-
equations-1st-edition-luca-lorenzi/
Multiplicative Partial Differential Equations 1st

Edition Svetlin G. Georgiev
https://textbookfull.com/product/multiplicative-partial-
differential-equations-1st-edition-svetlin-g-georgiev/
Partial Differential Equations of Classical Structural

Members A Consistent Approach Andreas Öchsner
https://textbookfull.com/product/partial-differential-equations-
of-classical-structural-members-a-consistent-approach-andreas-
ochsner/
HANDBOOK OF
LINEAR PARTIAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR
ENGINEERS AND SCIENTISTS
SECOND EDITION
© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

HANDBOOK OF
LINEAR PARTIAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR
ENGINEERS AND SCIENTISTS
SECOND EDITION
Andrei D. Polyanin
Vladimir E. Nazaikinskii

MATLAB® is a trademark of The MathWorks, Inc. and is used with permission. The MathWorks does not warrant the
accuracy of the text or exercises in this book. This book’s use or discussion of MATLAB® software or related products
does not constitute endorsement or sponsorship by The MathWorks of a particular pedagogical approach or particular
use of the MATLAB® software.
CRC Press
Taylor & Francis Group
6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300
Boca Raton, FL 33487-2742
CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group, an Informa business
No claim to original U.S. Government works

Version Date: 20151119
International Standard Book Number-13: 978-1-4665-8149-4 (eBook - PDF)
This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reasonable efforts have been
made to publish reliable data and information, but the author and publisher cannot assume responsibility for the valid-
ity of all materials or the consequences of their use. The authors and publishers have attempted to trace the copyright
holders of all material reproduced in this publication and apologize to copyright holders if permission to publish in this
form has not been obtained. If any copyright material has not been acknowledged please write and let us know so we may
rectify in any future reprint.
Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted, reproduced, transmitted, or uti-
lized in any form by any electronic, mechanical, or other means, now known or hereafter invented, including photocopy-
ing, microfilming, and recording, or in any information storage or retrieval system, without written permission from the
publishers.
For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copyright.com (http://
www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923,
978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that provides licenses and registration for a variety of users. For
organizations that have been granted a photocopy license by the CCC, a separate system of payment has been arranged.
Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used only for
identification and explanation without intent to infringe.
Visit the Taylor & Francis Web site at
http://www.taylorandfrancis.com
and the CRC Press Web site at
http://www.crcpress.com
CONTENTS
Preface to the Second Edition xxv

Preface to the First Edition xxvi
Authors xxix
Notation xxxi
Part I Exact Solutions 1

1 First-Order Equations with Two Independent Variables 3
1.1 Equations of the Form f (x, y) ∂w
∂x + g(x, y) ∂w
=0 .........................
∂y 3
1.1.1 Equations Containing Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Equations Containing Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.3 Equations Containing Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.4 Equations Containing Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1.5 Equations Containing Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.1.6 Equations Containing Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.1.7 Equations Containing Arbitrary Functions of x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.1.8 Equations Containing Arbitrary Functions of Different Arguments . . . . . 59
1.2 Equations of the Form f (x, y) ∂w ∂w
∂x + g(x, y) ∂y = h(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.2.7 Equations Containing Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
∂x + g(x, y) ∂y = h(x, y)w . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
∂x + g(x, y) ∂y = h1 (x, y)w + h0 (x, y) . . . . . . . 114
v
vi C ONTENTS
2 First-Order Equations with Three or More Independent Variables 139

2.1 Equations of the Form f (x, y, z) ∂w
∂x + g(x, y, z) ∂w
∂y + h(x, y, z) ∂w
=0 .......∂z 139
2.2 Equations of the Form f1 ∂w ∂w ∂w
∂x + f2 ∂y + f3 ∂z = f4 , fn = fn (x, y, z) . . . . . . . . . 170
∂x + f2 ∂y + f3 ∂z = f4 w, fn = fn (x, y, z) . . . . . . . 196
∂x + f2 ∂y + f3 ∂z = f4 w + f5 , fn = fn (x, y, z) . . . 222
2.4.8 Underdetermined Equations Containing Operator div . . . . . . . . . . . . . . . . 248
2.4.9 Equations with Four or More Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3 Second-Order Parabolic Equations with One Space Variable 261
3.1 Constant Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
∂2w
3.1.1 Heat Equation ∂w∂t = a ∂x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
∂w 2
3.1.2 Equation of the Form ∂t = a ∂∂xw2 + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
∂w 2
3.1.3 Equation of the Form ∂t = a ∂∂xw2 + bw + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
∂w 2
3.1.4 Equation of the Form ∂t = a ∂∂xw2 + b ∂w
∂x + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
∂w 2
3.1.5 Equation of the Form ∂t = a ∂∂xw2 + b ∂w
∂x + cw + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . 284

C ONTENTS vii
3.2 Heat Equation with Axial or Central Symmetry and Related Equations . . . . . . . 288
∂2w

3.2.1 Equation of the Form ∂w 1 ∂w
∂t = a ∂r 2 + r ∂r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
∂2w
∂t = a ∂r 2 + r ∂r + Φ(r, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
∂2w
∂t = a ∂r 2 + r ∂r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
∂2w
∂t = a ∂r 2 + r ∂r + Φ(r, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
∂2w 1−2β ∂w
3.2.5 Equation of the Form ∂w
∂t = ∂x2 + x ∂x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
∂2w 1−2β ∂w
3.2.6 Equation of the Form ∂w
∂t = ∂x2 + x ∂x + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . 311
3.3 Equations Containing Power Functions and Arbitrary Parameters . . . . . . . . . . . . 312
∂2w
3.3.1 Equations of the Form ∂w
∂t = a ∂x2 + f (x, t)w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
∂2w
3.3.2 Equations of the Form ∂w ∂w
∂t = a ∂x2 + f (x, t) ∂x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
2
3.3.3 Equations of the Form ∂w ∂ w ∂w
∂t = a ∂x2 + f (x, t) ∂x + g(x, t)w + h(x, t) . . . . 321
2
∂t = (ax + b) ∂x2 + f (x, t) ∂x + g(x, t)w . . . . . . 324
2
3.3.5 Equations of the Form ∂w 2 ∂ w ∂w
∂t = (ax + bx + c) ∂x2 + f (x, t) ∂x + g(x, t)w 327
2
∂t = f (x) ∂x2 + g(x, t) ∂x + h(x, t)w . . . . . . . . . 329
2
∂t = f (x, t) ∂x2 + g(x, t) ∂x + h(x, t)w . . . . . . . 334
∂2w
3.3.8 Liquid-Film Mass Transfer Equation (1 − y 2 ) ∂w ∂x = a ∂y 2 . . . . . . . . . . . . . 335
∂2w
3.3.9 Equations of the Form f (x, y) ∂w ∂w
∂x + g(x, y) ∂y = ∂y 2
+ h(x, y) . . . . . . . 338
3.4 Equations Containing Exponential Functions and Arbitrary Parameters . . . . . . . 338
∂2w
3.4.1 Equations of the Form ∂w ∂t = a ∂x2 + f (x, t)w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
∂2w
∂t = a ∂x2 + f (x, t) ∂x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
∂2w
∂t = a ∂x2 + f (x, t) ∂x + g(x, t)w . . . . . . . . . . . . 344
3.4.4 Equations of the Form ∂w n ∂2w ∂w
∂t = ax ∂x2 + f (x, t) ∂x + g(x, t)w . . . . . . . . . 345
3.4.5 Equations of the Form ∂w βx ∂ 2 w + f (x, t) ∂w + g(x, t)w . . . . . . . . .
∂t = ae ∂x2 ∂x 346
3.4.6 Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
3.5 Equations Containing Hyperbolic Functions and Arbitrary Parameters . . . . . . . . 349
3.5.1 Equations Containing a Hyperbolic Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
3.5.2 Equations Containing a Hyperbolic Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
3.5.3 Equations Containing a Hyperbolic Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
3.5.4 Equations Containing a Hyperbolic Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
3.6 Equations Containing Logarithmic Functions and Arbitrary Parameters . . . . . . . 354
∂2w
∂t = a ∂x2 + f (x, t) ∂x + g(x, t)w . . . . . . . . . . . . 354
2
3.6.2 Equations of the Form ∂w k∂ w ∂w
∂t = ax ∂x2 + f (x, t) ∂x + g(x, t)w . . . . . . . . . 354
3.7 Equations Containing Trigonometric Functions and Arbitrary Parameters . . . . . 356
3.7.1 Equations Containing a Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
3.7.2 Equations Containing a Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
3.7.3 Equations Containing a Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
3.7.4 Equations Containing a Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
3.8 Equations Containing Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
∂2w
3.8.1 Equations of the Form ∂w ∂t = a ∂x2 + f (x, t)w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
∂2w
∂t = a ∂x2 + f (x, t) ∂x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
∂2w
∂t = a ∂x2 + f (x, t) ∂x + g(x, t)w . . . . . . . . . . . . 368

viii C ONTENTS
2
3.8.4 Equations of the Form ∂w n∂ w ∂w
∂t = ax ∂x2 + f (x, t) ∂x + g(x, t)w . . . . . . . . . 370
2
3.8.5 Equations of the Form ∂w ∂t = ae
βx ∂ w + f (x, t) ∂w + g(x, t)w . . . . . . . . .
∂x2 ∂x 372
∂2w
∂w
3.8.6 Equations of the Form ∂t = f (x) ∂x2 + g(x, t) ∂w ∂x + h(x, t)w . . . . . . . . . 373
∂w ∂2w ∂w
3.8.7 Equations of the Form ∂t = f (t) ∂x2 + g(x, t) ∂x + h(x, t)w . . . . . . . . . 382
∂2w
3.8.8 Equations of the Form ∂w ∂t = f (x, t) ∂x + g(x, t) ∂w + h(x, t)w . . . . . . . 385
∂w ∂
2 ∂w ∂x
3.8.9 Equations of the Form s(x) ∂t = ∂x p(x) ∂x − q(x)w + Φ(x, t) . . . . . . 388
3.9 Equations of Special Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
3.9.1 Equations of the Diffusion (Thermal) Boundary Layer . . . . . . . . . . . . . . . 393
~2 ∂ 2 w
3.9.2 One-Dimensional Schrödinger Equation i~ ∂w ∂t = − 2m ∂x2 + U (x)w . . . 396
4 Second-Order Parabolic Equations with Two Space Variables 401
4.1 Heat Equation ∂w
∂t = a∆2 w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
4.1.1 Boundary Value Problems in Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
4.1.2 Problems in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
4.1.3 Axisymmetric Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
4.2 Heat Equation with a Source ∂w ∂t = a∆2 w + Φ(x, y, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
4.2.1 Problems in Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
4.3 Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
4.3.1 Equations Containing Arbitrary Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
5 Second-Order Parabolic Equations with Three or More Space Variables 463
5.1 Heat Equation ∂w
∂t = a∆3 w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
5.1.2 Problems in Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
5.1.3 Problems in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
5.2 Heat Equation with Source ∂w
∂t = a∆3 w + Φ(x, y, z, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
5.3 Other Equations with Three Space Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
5.3.3 Equations of the Form ρ(x, y, z) ∂w ∂t =
div[a(x, y, z)∇w] − q(x, y, z)w + Φ(x, y, z, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
5.4 Equations with n Space Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
5.4.1 Equations of the Form ∂w
∂t = a∆n w + Φ(x1 , . . . , xn , t) . . . . . . . . . . . . . . . 545
5.4.2 Other Equations Containing Arbitrary Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
6 Second-Order Hyperbolic Equations with One Space Variable 557
6.1 Constant Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
2
6.1.1 Wave Equation ∂∂tw 2 ∂2w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 = a ∂x2 557
2
6.1.2 Equations of the Form ∂∂tw 2 ∂2w
2 = a ∂x2 + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
2
6.1.3 Equation of the Form ∂∂tw 2 ∂2w
2 = a ∂x2 − bw + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

C ONTENTS ix
∂2w 2
6.1.4 Equation of the Form ∂t2
= a2 ∂∂xw2 − b ∂w
∂x + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
∂2w 2
= a2 ∂∂xw2 + b ∂w
∂x + cw + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . 574
6.2 Wave Equations with Axial or Central Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
2
2 ∂ 2 w + 1 ∂w

6.2.1 Equation of the Form ∂∂tw2 =a ∂r 2 r ∂r ....................... 577
∂2w 2 ∂2w 1 ∂w

6.2.2 Equation of the Form ∂t2 = a ∂r2 + r ∂r + Φ(r, t) . . . . . . . . . . . . . . . 580
2
2 ∂ 2 w + 2 ∂w

6.2.3 Equation of the Form ∂∂tw2 =a ∂r 2 r ∂r ....................... 581
∂2w 2 ∂2w 2 ∂w

6.2.4 Equation of the Form ∂t2 = a ∂r2 + r ∂r + Φ(r, t) . . . . . . . . . . . . . . . 585
2
2 ∂ 2 w + 1 ∂w − bw + Φ(r, t) . . . . . . . . . .
6.2.5 Equation of the Form ∂∂tw2 =a ∂r 2 r ∂r 586
2
2 ∂ 2 w + 2 ∂w − bw + Φ(r, t) . . . . . . . . . .
6.2.6 Equation of the Form ∂∂tw2 =a ∂r 2 r ∂r 590
6.3 Equations Containing Power Functions and Arbitrary Parameters . . . . . . . . . . . . 593
2 ∂2w
6.3.1 Equations of the Form ∂∂tw ∂w
2 = (ax + b) ∂x2 + c ∂x + kw + Φ(x, t) . . . . . . 593
2 2
6.3.2 Equations of the Form ∂∂tw 2 ∂ w ∂w
2 = (ax + b) ∂x2 + cx ∂x + kw + Φ(x, t) . . . . 598
6.3.3 Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
6.4 Equations Containing the First Time Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
2
6.4.1 Equations of the Form ∂∂tw ∂w 2 ∂2w ∂w
2 + k ∂t = a ∂x2 + b ∂x + cw + Φ(x, t) . . . . . 607
2 2
6.4.2 Equations of the Form ∂∂tw ∂w ∂ w
2 +k ∂t =f (x) ∂x2 +g(x) ∂x +h(x)w+Φ(x, t)
∂w
616
6.4.3 Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
6.5 Equations Containing Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
2
6.5.1 Equations of the Form s(x) ∂∂tw ∂ ∂w
2 = ∂x p(x) ∂x − q(x)w + Φ(x, t) . . . . . 623
2
6.5.2 Equations of the Form ∂∂tw 2 + a(t) ∂t =
∂w
∂ ∂w

b(t) ∂x p(x) ∂x − q(x)w + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
6.5.3 Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
7 Second-Order Hyperbolic Equations with Two Space Variables 633
∂2w
7.1 Wave Equation ∂t2 = a2 ∆
2w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
2
7.2 Nonhomogeneous Wave Equation ∂∂tw 2
2 = a ∆2 w + Φ(x, y, t) . . . . . . . . . . . . . . . 651
2
7.3 Equations of the Form ∂∂tw 2
2 = a ∆2 w − bw + Φ(x, y, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
2
7.4 Telegraph Equation ∂∂tw ∂w 2
2 + k ∂t = a ∆2 w − bw + Φ(x, y, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
7.5 Other Equations with Two Space Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

x C ONTENTS
8 Second-Order Hyperbolic Equations with Three or More Space Variables 695

2
8.1 Wave Equation ∂∂tw 2
2 = a ∆3 w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695
2
8.2 Nonhomogeneous Wave Equation ∂∂tw 2
2 = a ∆3 w + Φ(x, y, z, t) . . . . . . . . . . . . . 717
2
8.3 Equations of the Form ∂∂tw 2
2 = a ∆3 w − bw + Φ(x, y, z, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
2
8.4 Telegraph Equation ∂∂tw ∂w 2
2 + k ∂t = a ∆3 w − bw + Φ(x, y, z, t) . . . . . . . . . . . . . . . 743
8.5 Other Equations with Three Space Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765
2
8.5.2 Equation of the Form ρ(x, y, z) ∂∂tw 2 =
div[a(x, y, z)∇w] − q(x, y, z)w + Φ(x, y, z, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765
8.6 Equations with n Space Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
2
8.6.1 Wave Equation ∂∂tw 2
2 = a ∆n w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
2
8.6.2 Nonhomogeneous Wave Equation ∂∂tw 2
2 = a ∆n w + Φ(x1 , . . . , xn , t) . . . 770
2
8.6.3 Equations of the Form ∂∂tw 2
2 = a ∆n w − bw + Φ(x1 , . . . , xn , t) . . . . . . . . 773
8.6.4 Equations Containing the First Time Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776
9 Second-Order Elliptic Equations with Two Space Variables 781
9.1 Laplace Equation ∆2 w = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
9.1.1 Problems in Cartesian Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
9.1.2 Problems in Polar Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787
9.1.3 Other Coordinate Systems. Conformal Mappings Method . . . . . . . . . . . . 792
9.2 Poisson Equation ∆2 w = −Φ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
9.2.1 Preliminary Remarks. Solution Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
9.2.4 Arbitrary Shape Domain. Conformal Mappings Method . . . . . . . . . . . . . . 807
9.3 Helmholtz Equation ∆2 w + λw = −Φ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809
9.3.1 General Remarks, Results, and Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809
9.3.4 Other Orthogonal Coordinate Systems. Elliptic Domain . . . . . . . . . . . . . . 830
9.4 Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832
9.4.1 Stationary Schrödinger Equation ∆2 w = f (x, y)w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832
9.4.2 Convective Heat and Mass Transfer Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835
9.4.3 Equations of Heat and Mass Transfer in Anisotropic Media . . . . . . . . . . . 843
9.4.4 Other Equations Arising in Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851
2 2
9.4.5 Equations of the Form a(x) ∂∂xw2 + ∂∂yw2 + b(x) ∂w ∂x + c(x)w = −Φ(x, y) . 855

C ONTENTS xi
10 Second-Order Elliptic Equations with Three or More Space Variables 859

10.1 Laplace Equation ∆3 w = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859
10.1.1 Problems in Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859
10.1.2 Problems in Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862
10.1.3 Problems in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
10.1.4 Other Orthogonal Curvilinear Systems of Coordinates . . . . . . . . . . . . . . 866
10.2 Poisson Equation ∆3 w + Φ(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
10.2.1 Preliminary Remarks. Solution Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
10.3 Helmholtz Equation ∆3 w + λw = −Φ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892
10.3.1 Homogeneous Helmholtz Equation. Eigenvalue problems . . . . . . . . . . 892
10.3.2 Nonhomogeneous Helmholtz Equation. General Remarks, Results,
and Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893
10.3.6 Other Orthogonal Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929
10.4 Other Equations with Three Space Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
10.4.1 Equations Containing Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
10.4.2 Equations of the Form div[a(x, y, z)∇w] − q(x, y, z)w = −Φ(x, y, z) 934
10.5 Equations with n Space Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
10.5.1 Laplace Equation ∆n w = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
10.5.2 Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937
11 Higher-Order Partial Differential Equations 941
11.1 Third-Order Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
11.1.1 One-Dimensional Equations Containing the First Derivative in t . . . . . 941
11.1.2 One-Dimensional Equations Containing the Second Derivative in t . . 944
11.1.3 One-Dimensional Equations Containing a Mixed Derivative and the
First Derivative in t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945
11.1.4 One-Dimensional Equations Containing a Mixed Derivative and the
Second Derivative in t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
11.1.5 Two- and Three-Dimensional Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954
11.2 Fourth-Order One-Dimensional Nonstationary Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
11.2.1 Equation of the Form ∂w 2 ∂4w
∂t + a ∂x4 = Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
2
2 + a ∂x4 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960
2
2 + a ∂x4 = Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962
2
2 + a ∂x4 + kw = Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . 965
11.2.5 Other Equations without Mixed Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968
11.2.6 Equations Containing Second Derivative in x and Mixed Derivatives . 971
11.2.7 Equations Containing Fourth Derivative in x and Mixed Derivatives . . 980
11.3 Two-Dimensional Nonstationary Fourth-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986

2 ∂ 4 w + ∂ 4 w = Φ(x, y, t) . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Equation of the Form ∂w ∂t + a ∂x4 ∂y 4
986
∂2w
+ a2 ∆∆w = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988
∂2w
+ a2 ∆∆w + kw = Φ(x, y, t) . . . . . . . . . . . . 991

xii C ONTENTS
2
2 ∂ 4 w + ∂ 4 w + kw = Φ(x, y, t) . . . . . .
11.3.4 Equation of the Form ∂∂tw2 +a ∂x 4 ∂y 4 993
11.3.5 Other Two-Dimensional Nonstationary Fourth-Order Equations . . . . . 994
11.4 Three- and n-Dimensional Nonstationary Fourth-Order Equations . . . . . . . . . . 997
2
11.4.1 Equation of the Form ∂∂tw 2
2 + a ∆∆w = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997
11.4.2 Equations Containing Mixed Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999
11.5 Fourth-Order Stationary Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003
11.5.1 Biharmonic Equation ∆∆w = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003
11.5.2 Equation of the Form ∆∆w = Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009
11.5.3 Equation of the Form ∆∆w − λw = Φ(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
4 4
11.5.4 Equation of the Form ∂∂xw4 + ∂∂yw4 = Φ(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014
4 4
11.5.5 Equation of the Form ∂∂xw4 + ∂∂yw4 + kw = Φ(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016
11.5.6 Stokes Equation (Axisymmetric Flows of Viscous Fluids) . . . . . . . . . . 1017
11.6 Higher-Order Linear Equations with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . 1020
11.6.1 Fundamental Solutions. Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1020
11.6.2 Elliptic Operators and Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022
11.6.3 Hyperbolic Operators and Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025
11.6.4 Regular Equations. Number of Initial Conditions in the Cauchy
Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025
11.6.5 Some Equations with Two Independent Variables Containing the First
Derivative in t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029
11.6.6 Some Equations with Two Independent Variables Containing the
Second Derivative in t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
11.6.7 Other Equations with Two Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
11.6.8 Equations with Three and More Independent Variables . . . . . . . . . . . . . 1041
11.7 Higher-Order Linear Equations with Variable Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045
11.7.1 Equations Containing the First Time Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045
11.7.2 Equations Containing the Second Time Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050
11.7.3 Nonstationary Problems with Many Space Variables . . . . . . . . . . . . . . . 1052
11.7.4 Some Special Equations with Variable Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . 1054
12 Systems of Linear Partial Differential Equations 1059
12.1 Preliminary Remarks. Some Notation and Helpful Relations . . . . . . . . . . . . . . . 1059
12.2 Systems of Two First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059
12.3 Systems of Two Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
12.3.1 Systems of Parabolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
12.3.2 Systems of Hyperbolic or Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064
12.4 Systems of Two Higher-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064
12.5 Simplest Systems Containing Vector Functions and Operators div and curl . . . 1066
12.5.1 Equation curl u = A(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
12.5.2 Simple Systems of Equations Containing Operators div and curl . . . . . 1067
12.5.3 Two Representations of Vector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069
12.6 Elasticity Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
12.6.1 Elasticity Equations in Various Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
12.6.2 Various Forms of Decompositions of Homogeneous Elasticity
Equations with f = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
12.6.3 Various Forms of Decompositions for Nonhomogeneous Elasticity
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075
12.6.4 Cauchy Problem and Its Solution. Fundamental Solution Matrix . . . . . 1076

C ONTENTS xiii
12.7 Stokes Equations for Viscous Incompressible Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077

12.7.1 Stokes Equations in Various Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077
12.7.2 Various Forms of Decompositions for the Stokes Equations with f = 0 1081
12.7.3 Various Forms of Decompositions for the Stokes Equations with f 6= 0 1082
12.7.4 General Solution of the Steady-State Homogeneous Stokes Equations 1084
12.7.5 Solution of the Steady-State Nonhomogeneous Stokes Equations . . . . 1085
12.7.6 Solution of the Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085
12.8 Oseen Equations for Viscous Incompressible Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086
12.8.1 Vector Form of Oseen Equations. Some Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086
12.8.2 Various Forms of Decompositions for the Oseen Equations with f = 0 1087
12.8.3 Various Forms of Decompositions for the Oseen Equations with f 6= 0 1088
12.8.4 Oseen Equations with Variable Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088
12.9 Maxwell Equations for Viscoelastic Incompressible Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089
12.9.1 Vector Form of the Maxwell Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089
12.9.2 Various Forms of Decompositions for the Maxwell Equations with
f=0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. 1089
12.9.3 Various Forms of Decompositions for the Maxwell Equations with
f=
6 0 ......................................................... 1090
12.10 Equations of Viscoelastic Incompressible Fluids (General Model) . . . . . . . . . . 1091
12.10.1 Linearized Equations of Viscoelastic Incompressible Fluids. Some
Models of Viscoelastic Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
12.10.2 Various Forms of Decompositions for Equations of Viscoelastic
Incompressible Fluids with f = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092
12.10.3 Various Forms of Decompositions for Equations of Viscoelastic
Incompressible Fluids with f 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093
12.11 Linearized Equations for Inviscid Compressible Barotropic Fluids . . . . . . . . . 1094
12.11.1 Vector Form of Equations without Mass Forces. Some Remarks . . . 1094
12.11.2 Decompositions of Equations for Inviscid Compressible Barotropic
Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095
12.11.3 Vector Form of Equations with Mass Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095
12.12 Stokes Equations for Viscous Compressible Barotropic Fluids . . . . . . . . . . . . . 1096
12.12.1 Linearized Equations of Viscous Compressible Barotropic Fluids . . 1096
12.12.2 Decompositions of Equations of Viscous Compressible Barotropic
Fluid with f = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097
12.12.3 Decompositions of Equations of a Viscous Compressible Barotropic
Fluid with f 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098
12.12.4 Reduction to One Vector Equation and Its Decompositions . . . . . . . . 1098
12.12.5 Independent Equations for u and p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099
12.13 Oseen Equations for Viscous Compressible Barotropic Fluids . . . . . . . . . . . . . 1100
12.13.1 Vector Form of Equations. Some Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100
12.13.2 Decompositions of Equations with f = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100
12.13.3 Decomposition of Equations with f =
6 0 ......................... 1101
12.14 Equations of Thermoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101
12.14.1 Vector Form of Thermoelasticity Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101
12.14.2 Decompositions of Thermoelasticity Equations with f = 0 . . . . . . . . 1101
12.14.3 Decompositions of Thermoelasticity Equations with f 6= 0 . . . . . . . . 1102

xiv C ONTENTS
12.15 Nondissipative Thermoelasticity Equations (the Green–Naghdi Model) . . . . . 1103

12.15.1 Vector Form of the Nondissipative Thermoelasticity Equations . . . . 1103
12.15.2 Decompositions of the Nondissipative Thermoelasticity Equations
with f = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104
12.15.3 Decompositions of Thermoelasticity Equations with f 6= 0 . . . . . . . . 1105
12.16 Viscoelasticity Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106
12.16.1 Vector Form of Viscoelasticity Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106
12.16.2 Decompositions of Viscoelasticity Equations with f = 0 . . . . . . . . . . 1106
12.16.3 Various Forms of Decompositions for Viscoelasticity Equations with
6 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108
f=
12.17 Maxwell Equations (Electromagnetic Field Equations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108
12.17.1 Maxwell Equations in a Medium and Constitutive Relations . . . . . . 1108
12.17.2 Some Transformations and Solutions of the Maxwell Equations . . . 1109
12.18 Vector Equations of General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110
12.18.1 Vector Equations Containing Operators div and ∇ . . . . . . . . . . . . . . . 1110
12.18.2 Decompositions of the Homogeneous Vector Equation . . . . . . . . . . . 1111
12.18.3 Decompositions of the Nonhomogeneous Vector Equation . . . . . . . . 1112
12.18.4 Vector Equations Containing More General Operators . . . . . . . . . . . . 1113
12.19 General Systems Involving Vector and Scalar Equations: Part I . . . . . . . . . . . . 1114
12.19.1 Systems Containing Operators div and ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114
12.19.2 Decompositions of Systems with Homogeneous Vector Equation . . 1115
12.19.3 Decompositions of Systems with Nonhomogeneous Vector
Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115
12.19.4 Equations for u and p. Reduction to One Vector Equation . . . . . . . . . 1116
12.19.5 Systems Containing More General Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117
12.20 General Systems Involving Vector and Scalar Equations: Part II . . . . . . . . . . . 1118
12.20.1 Class of Systems Considered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118
12.20.2 Asymmetric Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118
12.20.3 Symmetric Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119
Part II Analytical Methods 1121

13 Methods for First-Order Linear PDEs 1123
13.1 Linear PDEs with Two Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123
13.1.1 Special First-Order Linear PDEs with Two Independent Variables . . . 1123
13.1.2 General First-Order Linear PDE with Two Independent Variables . . . . 1126
13.2 First-Order Linear PDEs with Three or More Independent Variables . . . . . . . . 1129
13.2.1 Characteristic System. General Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129
13.2.2 Cauchy Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131
14 Second-Order Linear PDEs: Classification, Problems, Particular Solutions 1133
14.1 Classification of Second-Order Linear Partial Differential Equations . . . . . . . . 1133
14.1.1 Equations with Two Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133
14.1.2 Equations with Many Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138
14.2 Basic Problems of Mathematical Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140
14.2.1 Initial and Boundary Conditions. Cauchy Problem. Boundary Value
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140
14.2.2 First, Second, Third, and Mixed Boundary Value Problems . . . . . . . . . 1142

C ONTENTS xv
14.3 Properties and Particular Solutions of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144

14.3.1 Homogeneous Linear Equations. Basic Properties of Particular
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144
14.3.2 Separable Solutions. Solutions in the Form of Infinite Series . . . . . . . . 1147
14.3.3 Nonhomogeneous Linear Equations and Their Properties . . . . . . . . . . . 1150
14.3.4 General Solutions of Some Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150
15 Separation of Variables and Integral Transform Methods 1153
15.1 Separation of Variables (Fourier Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153
15.1.1 Description of Separation of Variables. General Stage of Solution . . . 1153
15.1.2 Problems for Parabolic Equations: Final Stage of Solution . . . . . . . . . . 1157
15.1.3 Problems for Hyperbolic Equations: Final Stage of Solution . . . . . . . . 1159
15.1.4 Solution of Boundary Value Problems for Elliptic Equations . . . . . . . . 1160
15.1.5 Solution of Boundary Value Problems for Higher-Order Equations . . . 1163
15.2 Integral Transform Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165
15.2.1 Laplace Transform and Its Application in Mathematical Physics . . . . . 1165
15.2.2 Fourier Transform and Its Application in Mathematical Physics . . . . . 1170
15.2.3 Fourier Sine and Cosine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173
15.2.4 Mellin, Hankel, and Other Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177
16 Cauchy Problem. Fundamental Solutions 1181
16.1 Dirac Delta Function. Fundamental Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181
16.1.1 Dirac Delta Function and Its Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181
16.1.2 Fundamental Solutions. Constructing Particular Solutions . . . . . . . . . . 1182
16.2 Representation of the Solution of the Cauchy Problem via the Fundamental
Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185
16.2.1 Cauchy Problem for Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 1185
16.2.2 Cauchy Problem for Parabolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187
16.2.3 Cauchy Problem for Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1190
16.2.4 Higher-Order Linear PDEs. Generalized Cauchy Problem . . . . . . . . . . 1193
17 Boundary Value Problems. Green’s Function 1199
17.1 Boundary Value Problems for Parabolic Equations with One Space Variable.
Green’s Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199
17.1.1 Representation of Solutions via the Green’s Function
.............. 1199
∂w ∂ ∂w
17.1.2 Problems for Equation s(x) ∂t = ∂x p(x) ∂x − q(x)w + Φ(x, t) . . . 1202
17.2 Boundary Value Problems for Hyperbolic Equations with One Space Variable.
Green’s Function. Goursat Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205
17.2.1 Representation of Solutions via the Green’s Function . . . . . . . . . . . . . . 1205
2
17.2.2 Problems for Equation s(x) ∂∂tw ∂ ∂w
2 = ∂x p(x) ∂x − q(x)w + Φ(x, t) . . . 1207
2
17.2.3 Problems for Equation ∂∂tw 2 + a(t) ∂t =
∂w
∂
b(t) ∂x p(x) ∂w ∂x − q(x)w + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208
17.2.4 Generalized Cauchy Problem with Initial Conditions Set along a
Curve. Riemann Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210
17.2.5 Goursat Problem (a Problem with Initial Data on Characteristics) . . . . 1212
17.3 Boundary Value Problems for Elliptic Equations with Two Space Variables . . 1214
17.3.1 Problems and the Green’s Functions for Equation
2 2
a(x) ∂∂xw2 + ∂∂yw2 + b(x) ∂w ∂x + c(x)w = −Φ(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214
17.3.2 Representation of Solutions of Boundary Value Problems via Green’s
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216

xvi C ONTENTS
17.4 Boundary Value Problems with Many Space Variables. Green’s Function . . . . 1218
17.4.1 Problems for Parabolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218
17.4.2 Problems for Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220
17.4.3 Problems for Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221
17.4.4 Comparison of the Solution Structures for Boundary Value Problems
for Equations of Various Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222
17.5 Construction of the Green’s Functions. General Formulas and Relations . . . . . 1223
17.5.1 Green’s Functions of Boundary Value Problems for Equations of
Various Types in Bounded Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223
17.5.2 Green’s Functions Admitting Incomplete Separation of Variables . . . . 1224
17.5.3 Construction of Green’s Functions via Fundamental Solutions . . . . . . . 1227
18 Duhamel’s Principles. Some Transformations 1233
18.1 Duhamel’s Principles in Nonstationary Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233
18.1.1 Problems for Homogeneous Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233
18.1.2 Problems for Nonhomogeneous Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235
18.2 Transformations Simplifying Initial and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . 1237
18.2.1 Transformations That Lead to Homogeneous Boundary Conditions . . 1237
18.2.2 Transformations That Lead to Homogeneous Initial and Boundary
Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238
19 Systems of Linear Coupled PDEs. Decomposition Methods 1239
19.1 Asymmetric and Symmetric Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239
19.1.1 Asymmetric Decomposition. Order of Decomposition . . . . . . . . . . . . . . 1239
19.1.2 Symmetric Decomposition. Invariant Transformations . . . . . . . . . . . . . 1242
19.2 First-Order Decompositions. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244
19.2.1 Systems of Linear PDEs without Mass Forces (f = 0) . . . . . . . . . . . . . . 1244
19.2.2 Systems of Linear PDEs with Mass Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249
19.3 Higher-Order Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251
19.3.1 Decomposition of Systems Consisting of One Vector Equation . . . . . . 1251
19.3.2 Decomposition of Systems Consisting of a Vector Equation and a
Scalar Equation (the First Approach) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252
19.3.3 Decomposition of Systems Consisting of a Vector Equation and a
Scalar Equation (the Second Approach) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253
20 Some Asymptotic Results and Formulas 1255
20.1 Regular Perturbation Theory Formulas for the Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256
20.1.1 Statement of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256
20.1.2 Formulas for the Coefficients of the Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256
20.2 Singular Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257
20.2.1 Cauchy Problem for the Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257
20.2.2 Stationary Phase Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261
20.2.3 Fourier Transform with a Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264
21 Elements of Theory of Generalized Functions 1265
21.1 Generalized Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265
21.1.1 Important Terminological Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265
21.1.2 Test Function Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265
21.1.3 Distribution Space. Dirac Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266
21.1.4 Derivatives of Distributions. Some Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267
21.1.5 Operations on Distributions and Some Transformations . . . . . . . . . . . . 1269

C ONTENTS xvii
21.1.6 Tempered Distributions and Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1270

21.1.7 Generalized Solutions of Linear Ordinary Differential Equations . . . . 1271
21.2 Generalized Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271
21.2.1 Some Definitions. Partial Derivatives. Direct Product. Linear
Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271
21.2.2 Dirac Delta Function. Generalized Solutions of Linear PDEs . . . . . . . . 1273
Part III Symbolic and Numerical Solutions with Maple, Mathematica,

and MATLAB R 1275
22 Linear Partial Differential Equations with Maple 1277
22.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277
22.1.1 Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277
22.1.2 Brief Introduction to Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279
22.1.3 Maple Language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1280
22.2 Analytical Solutions and Their Visualizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282
22.2.1 Constructing Analytical Solutions in Terms of Predefined Functions . 1282
22.2.2 Constructing General Solutions via the Method of Characteristics . . . . 1289
22.2.3 Constructing General Solutions via Transformations to Canonical
Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291
22.2.4 Constructing Analytical Solutions of Cauchy Problems . . . . . . . . . . . . . 1293
22.2.5 Constructing Analytical Solutions of Boundary Value Problems . . . . . 1297
22.2.6 Constructing Analytical Solutions of Initial-Boundary Value Problems 1298
22.2.7 Constructing Analytical Solutions of Systems of Linear PDEs . . . . . . . 1299
22.3 Analytical Solutions of Mathematical Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1301
22.3.1 Constructing Separable Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1301
22.3.2 Constructing Analytical Solutions via Integral Transform Methods . . . 1305
22.3.3 Constructing Analytical Solutions in Terms of Green’s Functions . . . . 1306
22.4 Numerical Solutions and Their Visualizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309
22.4.1 Constructing Numerical Solutions in Terms of Predefined Functions . 1310
22.4.2 Numerical Methods Embedded in Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312
22.4.3 Numerical Solutions of Initial-Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . 1318
22.4.4 Numerical Solutions of Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322
22.4.5 Numerical Solutions of Cauchy Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323
22.4.6 Numerical Solutions of Systems of Linear PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325
23 Linear Partial Differential Equations with Mathematica 1327
23.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327
23.1.1 Some Notational Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327
23.1.2 Brief Introduction to Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327
23.1.3 Mathematica Language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329
23.1.4 Dynamic Computation and Visualization in Mathematica Notebook . . 1332
23.2 Analytical Solutions and Their Visualizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333
23.2.1 Constructing Analytical Solutions in Terms of Predefined Functions . 1333
23.2.2 Constructing General Solutions via the Method of Characteristics . . . . 1335
23.2.3 Constructing General Solutions via Conversion to Canonical Forms . . 1338
23.2.4 Constructing Analytical Solutions of Cauchy Problems . . . . . . . . . . . . . 1340
23.2.5 Constructing Analytical Solutions of Boundary Value Problems . . . . . 1342
23.2.6 Constructing Analytical Solutions of Initial-Boundary Value Problems 1344
23.2.7 Constructing Analytical Solutions of Systems of Linear PDEs . . . . . . . 1345

xviii C ONTENTS
23.3 Analytical Solutions of Mathematical Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347

23.3.1 Constructing Separable Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347
23.3.2 Constructing Analytical Solutions via Integral Transform Methods . . . 1350
23.3.3 Constructing Analytical Solutions in Terms of Green’s Functions . . . . 1352
23.4 Numerical Solutions and Their Visualizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356
23.4.1 Constructing Numerical Solutions in Terms of Predefined Functions . 1356
23.4.2 Numerical Methods Embedded in Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358
23.4.6 Numerical Solutions of Systems of Linear PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365
24 Linear Partial Differential Equations with MATLAB R 1367
24.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367
24.1.1 Preliminary Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367
24.1.2 Brief Introduction to MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368
24.1.3 MATLAB Language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371
24.2 Numerical Solutions of Linear PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374
24.2.1 Constructing Numerical Solutions via Predefined Functions . . . . . . . . . 1375
24.2.2 Numerical Methods Embedded in MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383
24.3 Constructing Finite Difference Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392
24.3.1 Explicit Finite Difference Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392
24.3.2 Implicit Finite Difference Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395
24.4 Numerical Solutions of Systems of Linear PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396
24.4.1 Linear Systems of 1D PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396
24.4.2 Linear Systems of 2D PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399
Part IV Tables and Supplements 1403

25 Elementary Functions and Their Properties 1405
25.1 Power, Exponential, and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405
25.1.1 Properties of the Power Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405
25.1.2 Properties of the Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405
25.1.3 Properties of the Logarithmic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406
25.2 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407
25.2.1 Simplest Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407
25.2.2 Reduction Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408
25.2.3 Relations between Trigonometric Functions of Single Argument . . . . . 1408
25.2.4 Addition and Subtraction of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . 1408
25.2.5 Products of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409
25.2.6 Powers of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409
25.2.7 Addition Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409
25.2.8 Trigonometric Functions of Multiple Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410
25.2.9 Trigonometric Functions of Half Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410
25.2.10 Differentiation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410
25.2.11 Integration Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410
25.2.12 Expansion in Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411

C ONTENTS xix
25.2.13 Representation in the Form of Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411

25.2.14 Euler and de Moivre Formulas. Relationship with Hyperbolic
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411
25.3 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411
25.3.1 Definitions of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411
25.3.2 Simplest Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412
25.3.3 Some Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412
25.3.4 Relations between Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 1413
25.3.5 Addition and Subtraction of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . 1413
25.3.6 Differentiation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414
25.3.7 Integration Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414
25.3.8 Expansion in Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414
25.4 Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414
25.4.1 Definitions of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414
25.4.3 Relations between Hyperbolic Functions of Single Argument (x ≥ 0) . 1415
25.4.4 Addition and Subtraction of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415
25.4.5 Products of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415
25.4.6 Powers of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416
25.4.7 Addition Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416
25.4.8 Hyperbolic Functions of Multiple Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416
25.4.9 Hyperbolic Functions of Half Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417
25.4.10 Differentiation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417
25.4.11 Integration Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417
25.4.12 Expansion in Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417
25.4.13 Representation in the Form of Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417
25.4.14 Relationship with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418
25.5 Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418
25.5.1 Definitions of Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418
25.5.3 Relations between Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418
25.5.4 Addition and Subtraction of Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . 1418
25.5.5 Differentiation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419
25.5.6 Integration Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419
25.5.7 Expansion in Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419
26 Finite Sums and Infinite Series 1421
26.1 Finite Numerical Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421
26.1.1 Progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P............. 1421
26.1.2 Sums of Powers of Natural Numbers Having the Form P km . . . . . . . 1421
26.1.3 Alternating Sums of Powers of Natural Numbers, (−1) k m . . . . . . k 1422
26.1.4 Other Sums Containing Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422
26.1.5 Sums Containing Binomial Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422
26.1.6 Other Numerical Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423
26.2 Finite Functional Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424
26.2.1 Sums Involving Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424
26.2.2 Sums Involving Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425
26.3 Infinite Numerical Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426
26.3.1 Progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426
26.3.2 Other Numerical Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426

xx C ONTENTS
26.4 Infinite Functional Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428

26.4.1 Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428
26.4.2 Trigonometric Series in One Variable Involving Sine . . . . . . . . . . . . . . . 1429
26.4.3 Trigonometric Series in One Variable Involving Cosine . . . . . . . . . . . . . 1431
26.4.4 Trigonometric Series in Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433
27 Indefinite and Definite Integrals 1435
27.1 Indefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435
27.1.1 Integrals Involving Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435
27.1.2 Integrals Involving Irrational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439
27.1.3 Integrals Involving Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442
27.1.4 Integrals Involving Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443
27.1.5 Integrals Involving Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446
27.1.6 Integrals Involving Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447
27.1.7 Integrals Involving Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . 1451
27.2 Definite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452
27.2.1 Integrals Involving Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452
27.2.2 Integrals Involving Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455
27.2.3 Integrals Involving Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456
27.2.4 Integrals Involving Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457
27.2.5 Integrals Involving Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457
27.2.6 Integrals Involving Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1460
28 Integral Transforms 1463
28.1 Tables of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463
28.1.1 General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463
28.1.2 Expressions with Power-Law Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465
28.1.3 Expressions with Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465
28.1.4 Expressions with Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466
28.1.5 Expressions with Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467
28.1.6 Expressions with Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467
28.1.7 Expressions with Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469
28.2 Tables of Inverse Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1470
28.2.2 Expressions with Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472
28.2.3 Expressions with Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476
28.2.4 Expressions with Arbitrary Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477
28.3 Tables of Fourier Cosine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482

C ONTENTS xxi
28.4 Tables of Fourier Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488

29 Curvilinear Coordinates, Vectors, Operators, and Differential Relations 1495
29.1 Arbitrary Curvilinear Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495
29.1.1 General Nonorthogonal Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495
29.1.2 General Orthogonal Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497
29.2 Cartesian, Cylindrical, and Spherical Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498
29.2.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498
29.2.2 Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499
29.2.3 Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1500
29.3 Other Special Orthogonal Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502
29.3.1 Coordinates of a Prolate Ellipsoid of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502
29.3.2 Coordinates of an Oblate Ellipsoid of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503
29.3.3 Coordinates of an Elliptic Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504
29.3.4 Conical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505
29.3.5 Parabolic Cylinder Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506
29.3.6 Parabolic Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506
29.3.7 Bicylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507
29.3.8 Bipolar Coordinates (in Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507
29.3.9 Toroidal Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508
30 Special Functions and Their Properties 1509
30.1 Some Coefficients, Symbols, and Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509
30.1.1 Binomial Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509
30.1.2 Pochhammer Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510
30.1.3 Bernoulli Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510
30.1.4 Euler Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511
30.2 Error Functions. Exponential and Logarithmic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512
30.2.1 Error Function and Complementary Error Function . . . . . . . . . . . . . . . . 1512
30.2.2 Exponential Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512
30.2.3 Logarithmic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513
30.3 Sine Integral and Cosine Integral. Fresnel Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514
30.3.1 Sine Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514
30.3.2 Cosine Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515
30.3.3 Fresnel Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515
30.4 Gamma Function, Psi Function, and Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516
30.4.1 Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516
30.4.2 Psi Function (Digamma Function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517
30.4.3 Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518
30.5 Incomplete Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519
30.5.1 Incomplete Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519
30.5.2 Incomplete Beta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1520

xxii C ONTENTS
30.6 Bessel Functions (Cylindrical Functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1520

30.6.1 Definitions and Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1520
30.6.2 Integral Representations and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . 1522
30.6.3 Zeros and Orthogonality Properties of Bessel Functions . . . . . . . . . . . . 1524
30.6.4 Hankel Functions (Bessel Functions of the Third Kind) . . . . . . . . . . . . . 1525
30.7 Modified Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526
30.7.1 Definitions. Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526
30.8 Airy Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529
30.8.1 Definition and Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529
30.8.2 Power Series and Asymptotic Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529
30.9 Degenerate Hypergeometric Functions (Kummer Functions) . . . . . . . . . . . . . . . 1530
30.9.1 Definitions and Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1530
30.9.3 Whittaker Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534
30.10 Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534
30.10.1 Various Representations of the Hypergeometric Function . . . . . . . . . 1534
30.10.2 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536
30.11 Legendre Polynomials, Legendre Functions, and Associated Legendre
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536
30.11.1 Legendre Polynomials and Legendre Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536
30.11.2 Associated Legendre Functions with Integer Indices and Real
Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539
30.11.3 Associated Legendre Functions. General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539
30.12 Parabolic Cylinder Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542
30.12.1 Definitions. Basic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542
30.12.2 Integral Representations, Asymptotic Expansions, and Linear
Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543
30.13 Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544
30.13.1 Complete Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544
30.13.2 Incomplete Elliptic Integrals (Elliptic Integrals) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545
30.14 Elliptic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547
30.14.1 Jacobi Elliptic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547
30.14.2 Weierstrass Elliptic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1551
30.15 Jacobi Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553
30.15.1 Series Representation of the Jacobi Theta Functions. Simplest
Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553
30.15.2 Various Relations and Formulas. Connection with Jacobi Elliptic
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554
30.16 Mathieu Functions and Modified Mathieu Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555
30.16.1 Mathieu Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555
30.16.2 Modified Mathieu Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557
30.17 Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557
30.17.1 Laguerre Polynomials and Generalized Laguerre Polynomials . . . . . 1558
30.17.2 Chebyshev Polynomials and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559
30.17.3 Hermite Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1561
30.17.4 Jacobi Polynomials and Gegenbauer Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 1563

C ONTENTS xxiii
30.18 Nonorthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564

30.18.1 Bernoulli Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564
30.18.2 Euler Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565
References 1569
Index 1587

PREFACE TO THE SECOND EDITION
The Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scien-
tists, a unique reference for scientists and engineers, contains nearly 4,000 linear partial
differential equations with solutions as well as analytical, symbolic, and numerical methods
for solving linear equations. First-, second-, third-, fourth-, and higher-order linear equa-
tions and systems of coupled equations are considered. Equations of parabolic, hyperbolic,
elliptic, mixed, and other types are discussed. A number of new linear equations, exact
solutions, transformations, and methods are described. Formulas for effective construction
of solutions are given. A number of specific examples where the methods described in
the book are used are considered. Boundary value problems and eigenvalue problems are
described. Symbolic and numerical methods for solving PDEs with Maple, Mathematica,
and MATLAB R are considered. All in all, the handbook contains many more linear partial
differential equations than any other book currently available.
In selecting the material, the authors have given highest priority to the following major
topics:
• Equations and problems that arise in various applications (heat and mass transfer theory,
wave theory, elasticity, hydrodynamics, aerodynamics, continuum mechanics, acous-
tics, electrostatics, electrodynamics, electrical engineering, diffraction theory, quantum
mechanics, chemical engineering sciences, control theory, etc.).
• Systems of coupled equations that arise in various fields of continuum mechanics and
physics.
• Analytical and symbolic methods for solving linear equations of mathematical
physics.
• Equations of general form that depend on arbitrary functions and equations that involve
many free parameters; exact solutions of such equations are of major importance for
testing numerical and approximate analytical methods.
The second edition has been substantially updated, revised, and expanded. More than
1,500 linear equations and systems with solutions, as well some methods and many exam-
ples, have been added, which amounts to over 700 pages of new material (including 250
new pages dealing with methods).
New to the second edition:
• Some second-, third-, fourth-, and higher-order linear PDEs with solutions.
• Systems of coupled partial differential equations with solutions.
• First-order linear PDEs with solutions.
• Some analytical methods including decomposition methods and their applications.
• Symbolic and numerical methods with Maple, Mathematica, and MATLAB.
• Some transformations, asymptotic formulas and solutions.
• Many new examples and figures included for illustrative purposes.
• Some long tables, including tables of various integral transforms.
• Extensive table of contents and detailed index.
xxv
xxvi P REFACE
Note that Chapters 1–12 of the book can be used as a database of test problems for
numerical, approximate analytical, and symbolic methods for solving linear partial differ-
ential equations and systems of coupled equations. To satisfy the needs of a broad au-
dience with diverse mathematical backgrounds, the authors have done their best to avoid
special terminology whenever possible. Therefore, some of the methods are outlined in
a schematic and somewhat simplified manner with necessary references made to books
where these methods are considered in more detail. Many sections are written so that they
can be read independently from each other. This allows the reader to get to the heart of the
matter quickly.
Separate sections of the book can serve as a basis for practical courses and lectures on
equations of mathematical physics and linear PDEs.
We would like to express our keen gratitude to Alexei Zhurov for fruitful discussions
and valuable remarks. We are very thankful to Inna Shingareva and Carlos Lizárraga-
Celaya, who wrote three chapters (22–24) of the book at our request.
The authors hope that the handbook will prove helpful for a wide audience of re-
searchers, university and college teachers, engineers, and students in various fields of ap-
plied mathematics, mechanics, physics, chemistry, economics, and engineering sciences.
Andrei D. Polyanin
Vladimir E. Nazaikinskii
PREFACE TO THE FIRST EDITION
Linear partial differential equations arise in various fields of science and numerous ap-
plications, e.g., heat and mass transfer theory, wave theory, hydrodynamics, aerodynamics,
elasticity, acoustics, electrostatics, electrodynamics, electrical engineering, diffraction the-
ory, quantum mechanics, control theory, chemical engineering sciences, and biomechanics.
This book presents brief statements and exact solutions of more than 2000 linear equa-
tions and problems of mathematical physics. Nonstationary and stationary equations with
constant and variable coefficients of parabolic, hyperbolic, and elliptic types are consid-
ered. A number of new solutions to linear equations and boundary value problems are
described. Special attention is paid to equations and problems of general form that depend
on arbitrary functions. Formulas for the effective construction of solutions to nonhomo-
geneous boundary value problems of various types are given. We consider second-order
and higher-order equations as well as the corresponding boundary value problems. All in
all, the handbook presents more equations and problems of mathematical physics than any
other book currently available.
For the reader’s convenience, the introduction outlines some definitions and basic equa-
tions, problems, and methods of mathematical physics. It also gives useful formulas that
enable one to express solutions to stationary and nonstationary boundary value problems
of general form in terms of the Green’s function.
Two supplements are given at the end of the book. Supplement A lists properties of
the most common special functions (the gamma function, Bessel functions, degenerate hy-
pergeometric functions, Mathieu functions, etc.). Supplement B describes the methods of

P REFACE xxvii
generalized and functional separation of variables for nonlinear partial differential equa-
tions. We give specific examples and an overview application of these methods to construct
exact solutions for various classes of second-, third-, fourth-, and higher-order equations
(in total, about 150 nonlinear equations with solutions are described). Special attention is
paid to equations of heat and mass transfer theory, wave theory, and hydrodynamics as well
as to mathematical physics equations of general form that involve arbitrary functions.
The equations in all chapters are in ascending order of complexity. Many sections
can be read independently, which facilitates working with the material. An extended table
of contents will help the reader find the desired equations and boundary value problems.
We refer to specific equations using notation like “1.8.5.2,” which means “Equation 2 in
Subsection 1.8.5.”
To extend the range of potential readers with diverse mathematical backgrounds, the
author strove to avoid the use of special terminology wherever possible. For this reason,
some results are presented schematically, in a simplified manner (without details), which
is, however, quite sufficient in most applications.
Separate sections of the book can serve as a basis for practical courses and lectures on
equations of mathematical physics.
The author thanks Alexei Zhurov for useful remarks on the manuscript.
The author hopes that the handbook will be useful for a wide range of scientists, univer-
sity teachers, engineers, and students in various areas of mathematics, physics, mechanics,
control, and engineering sciences.
Andrei D. Polyanin
MATLAB R is a registered trademark of The MathWorks, Inc. For product information,

please contact:
The MathWorks, Inc. 3
Apple Hill Drive
Natick, MA 01760-2098 USA
Tel: 508 647 7000
Fax: 508-647-7001
E-mail: info@mathworks.com
Web: www.mathworks.com

AUTHORS
Andrei D. Polyanin, D.Sc., is an internationally renowned

scientist of broad interests and is active in various areas
of mathematics, mechanics, and chemical engineering sci-
ences. He is one of the most prominent authors in the field
of reference literature on mathematics.
Professor Polyanin graduated with honors from the Fac-
ulty of Mechanics and Mathematics at Lomonosov Moscow
State University in 1974. He received his Ph.D. in 1981 and
D.Sc. in 1986 at the Institute for Problems in Mechanics of
the Russian (former USSR) Academy of Sciences. Since
1975, Professor Polyanin has been working at the Institute
for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sci-
ences; he is also Professor of applied mathematics at Bau-
man Moscow State Technical University and at National Research Nuclear University
MEPhI. He is a member of the Russian National Committee on Theoretical and Applied
Mechanics and the Mathematics and Mechanics Expert Council of the Higher Certification
Committee of the Russian Federation.
Professor Polyanin has made important contributions to the theory of differential and in-
tegral equations, mathematical physics, engineering mathematics, theory of heat and mass
transfer, and chemical hydrodynamics. He has obtained exact solutions for several thousand
ordinary differential, partial differential, delay partial differential, and integral equations.
Professor Polyanin has authored more than 30 books in English, Russian, German,
and Bulgarian as well as over 170 research papers and three patents. He has written a
number of fundamental handbooks, including A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev’s Hand-
book of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (CRC Press, 1995 and 2003);
A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov’s Handbook of Integral Equations (CRC Press, 1998
and 2008); A. D. Polyanin’s Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engi-
neers and Scientists (Chapman & Hall/CRC Press, 2002); A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and
A. Moussiaux’s Handbook of First Order Partial Differential Equations (Taylor & Francis,
2002); A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev’s Handbook of Nonlinear Partial Differential Equa-
tions (Chapman & Hall/CRC Press, 2004 and 2012); A. D. Polyanin and A. V. Manzhi-
rov’s Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists (Chapman & Hall/CRC Press,
2007), and A. D. Polyanin and A. I. Chernoutsan’s (Eds.) A Concise Handbook of Mathe-
matics, Physics, and Engineering Sciences (Chapman & Hall/CRC Press, 2010).
Professor Polyanin is editor-in-chief of the international scientific educational website
EqWorld—The World of Mathematical Equations and he is editor of the book series Differ-
ential and Integral Equations and Their Applications (Chapman & Hall/CRC Press, Lon-
don/Boca Raton). Professor Polyanin is a member of the editorial board of the journals
Theoretical Foundations of Chemical Engineering, Mathematical Modeling and Compu-
tational Methods (in Russian), and Bulletin of the National Research Nuclear University
MEPhI (in Russian).
xxix
Another random document with
no related content on Scribd:
Már nem tudom biztosan, hogyan akadtam akkor össze az ódon
kikötővárosban, a «Barlang»-ban Peninával és társaival. Amaz üres
éjjelek egyikén volt, amelyek sivárságban és vágyódásban és
végeszakadatlan, értelem és cél nélkül való nyugtalan ide-
odajárkálásban telhetnek el és amelyeket mindenki ismer, aki
idegenben ifjú évei tanácstalansága miatt szenvedett. Hogy
ifjúságunk magárahagyatottsága áldássá váljék, erő kell hozzá és
valami cél, a fejlődés tervtelen éveiben ez a magárahagyatottság a
legjobbak közül is nem egyre nézve végzetessé vált.
Kis Penina, virág az utca porában, nem foglak elfeledni, tündöklő
ékesség lelkem ruháján. Kedves a nap, amelyen megtaláltalak és
elhagytalak, hogy többé el ne veszítselek. Emlékezetem kertjében
tovább virulsz, pedig nem ápollak, nem is gondozlak. Sőt megtörtént,
hogy hosszú időre elvesztél emlékezetemből, jó napokban vagy
veszedelmes jólétben, amelyet mulandó dolgok adhatnak nekünk.
De hideg szélben, vészes és zord úton megnyugtatásomul,
békességemül ismét érzem illatodat a lelkemben. Vannak a léleknek
virágai, amelyek csak akkor nőnek, virulnak és illatoznak, ha a szél
és a fény áthatol az összetépett kabát rongyain, selyem és prém
alatt elhervadnak és ha ápolt kéz gondozza őket, elszárad a kelyhük.
Ilyen virágok kedvéért rohantam mindig újra a vándorlás
bizonytalanságába és békétlenségébe. A magányosság
elégedetlenségében lakozik a legtisztább remény, az egyik a
csendből hallja ki Isten szavát, a másik inkább a viharból, sőt van
ember, aki csak külső viharban leli meg belső nyugalmát. Sokaknak
a jelenségek értelmébe való hosszú szemlélődő elmerülés után
villan meg valamelyik életigazságuk fénye, másoknak ellenben
hirtelen egész lényük megrázkodtatásában nyilvánul meg, itt szelid
mosolynak enged az akadály, amott könnyek árja omlik és az
eltakart fenékről elmossa a zavarodottságot és lényünk szerint az
enyhe fény vagy az égő áram csábit bennünket. De nem mindig a
megismerés a végső cél? Ha másképpen tudjátok, oktassatok ki. Én
úgy láttam, hogy a világon minden nemes harc a megismerésért
folyik, mert ez ad erőt nagy áldozatra és biztositja az egyetértést.
A késő éjben messziről halvány fényt láttam az utcán. Feléje
tartottam, mert magához csalogatott, de egyszersmind bizonyos
kellemetlen érzést is okozott. Akkoriban egy timármesternél
dolgoztam, aki nem mintha valóban szüksége lett volna reám,
hanem inkább szánalomból időnként alkalmazott, hogy végre némi
rendet teremtsen könyvei és irományai közt. Időközben meg kellett
látogatnom üzletfeleit, különböző megbizásokat végeztem és
bevásároltam a számára. Még nem voltam húsz éves.
Az a társaság, amelyet éjjel a «Barlang»-ban, ebben a legutolsó
lebujban találtam, sokáig lekötötte érdeklődésemet és ez betöltötte
életemet. Külsőleg kevéssé különbözhettem azoktól a fickóktól, akik
közé keveredtem, bár volt még valami pénzem, de a ruhám eléggé
szegényes volt. Minden akadékoskodás nélkül fogadtak maguk
közé, mint ahogyan azok az emberek szokták, akik egészen jól
tudják, hogy nem egykönnyen akad ember, akinek még nagyobb
elnézésre van szükségük, mint maguknak. Köztük ült Penina,
vérvörös kartonbluz volt rajta, világos haján színtelen kendő és
különös szeme szürke volt és kissé ferde. Nagy szája a sóvárgás és
szomorúság szenvedő kifejezésével, az ajak minden ivelése nélkül,
széles volt és egyenes, mintha erős ecsetvonással festették volna és
csaknem színtelenül illeszkedett bele keskeny állába. Arca, mint
egész lénye egyszerre megragadta az érzékeket és fájdalmas
édességében mégis valami elpusztított fönség volt, valami távoli,
világos ég tükröződött benne.
Félreismerhetetlen hajlandósággal az odaadásra ült, csaknem
feküdt egy karcsú legény mellett, akiről nem tudtam levenni a
szememet, bár gúnyosan lekicsinylő tekintete elárulta, hogy nem
akar rólam tudni és már rövid idő mulva leplezetlenül kimutatta
megvetését. De arca annyira tele volt gonosz, kemény élettel, olyan
komor, szép és hetyke egyszersmind, hogy majd gonosztevőnek tünt
föl, majd fiatal uralkodónak, aki itt romlásnak és megalázásnak tette
ki a méltóságát. Kubas volt a neve.
Egészen pontosan nem tudtam fölismerni, kikkel volt
tulajdonképpen dolgom ebben a társaságban, egyet azonban hamar
megláttam: könnyen vették az életet. Ámbár csupa fiatalember volt
együtt, a korán tapasztalatot szerzett emberek dacos fölsőbbségével
viselkedtek, szemtelen biztosságot mutattak, hallgatások ravasz volt
és öntudatos, egykedvűen vették gonoszságukat és vakmerőségük
tele volt megvetéssel a polgári társaság jogai iránt, amelyet
gyűlöltek. Mert az utca korán edz és érlel, nevelése senkit sem
kényeztet el és zavaros hullámaiban gyakorlottabb úszók vannak,
mint a biztosított életviszonyok csöndes árjában. Fiatalságában
tetterősebbnek, vakmerőbbnek és életrevalóbbnak bizonyult nem
egy ezek közül az elzüllött legények közül, mint sokan, akik hasznos
óvatosságuk szegénysége miatt sohasem lettek emberek, akik nem
mennek ugyan tönkre, de nem is állnak meg a maguk erejéből.
Néhány nap mulva, amikor egymagamban ültem, Kubas odajött
hozzám és ezt kérdezte:
– Mit akarsz itt nálunk?
– Nem tudom.
– Nekem mondod? Peninát akarod.
Rettenetesen megijedtem, de Kubas megrendíthetetlenül
nyugodt volt. Becsmérlőleg nevetett és kiváncsian nézett reám.
– Nem akarom őt, – feleltem.
– Dehogy nem akarod. Meg is kaphatod, de ne ajánljál neki
pénzt, nagyon érzékeny. A pénzt nekem adhatod.
Érzelmeimet nem tudtam rendezni, megrohantak, mint
vadászkutyák a vadat. Szeme észrevette legtitkosabb óhajaimat,
amelyeket magamnak sem mertem bevallani és megláttam benne,
hogy gyalázatosan visszaél velük és bepiszkolva
megszentségteleníti őket. Szeme egyszersmind fenyegetődzött,
csak az a kivánság lelkesítette, hogy beleegyezésemet hallja. Ez a
követelés volt a leghatalmasabb e pillanatban, nekem támadt és
védekeztem ellene, amikor ezt mondtam:
– Penina téged szeret.
És hirtelen hatása alatt mindannak, amit szemem a legutóbbi
napokban forró csodálattal, szánalommal és haraggal látott,
folytattam:
– Tiéd ő egész szívével, lelke legmélyéből. Ha beszélsz, reszket
a figyelemtől, ha elmégy, elhal és föllélekzik, visszatér beléje az élet,
ha visszajösz. Az árnyékod ő, betakar a szeretetével, amely
áhitatosabb bármely imádságnál. Amikor egyszer megütötted,
reszketett meghatottságában, mert durvaságodban csak azt látta,
hogy törődsz vele … és most… azt mondod nekem…
Kubas kiváncsian vizsgált. Halvány, gonosz arcán semmi
elfogultság nem látszott. Ez az ember valóban gonosz volt,
gonosznak született, az volt hiúság és megbánás nélkül. Gonosz volt
legbelsőbb hajlamánál fogva csak magáért a gonoszságáért, nem
bánatból vagy bosszúérzetből, nem is csalódásból vagy
elkeseredésből, csak legsajátosabb énjének engedelmeskedett és a
gonoszságban egyszerű volt és erős. Megértettem, hogy Penina az
élettől való félelemtől megborzadva egészen odaadta magát neki.
Ezt a félelmet csak az ifjúság ismeri, amely még azt hiszi, hogy a lét
elemei valami titkos igazságosztás jóakaratától függnek. Most
értettem meg először a gonoszságot, amely eredetére és értelmére
nézve a napi jelenségek hiábavalóságától egészen a vallás
miszteriumáig örökre titok marad nekünk embereknek.
Kubas gondolkodott.
– Te bolond, hiszen ha nem úgy volna, ahogyan mondod, nem
ajánlhatnám föl neked. Azt hiszed különben, hogy valami ujság ez
neki? Utólag fizethetsz. Nos?
Az után, amit mondtam, biztos volt ellenszolgáltatásomról, mert a
gonoszok sokkal tisztábban ismerik föl az érzés őszinteségét vagy
hamisságát, mint ahogyan az érző emberek a gonoszság örvényeit
egész mélységükben csak megérteni merészelhetnék is.
Mivel hallgattam, Kubas hirtelen és anélkül, hogy megkötöttük
volna az üzletet, fölkelt. Amikor az ivószobából távoztam, láttam,
hogy szép, kemény, élesráncú arcával egy darab papirosra hajolva a
gázláng szegényes vilgításánál firkálgat valamit. Penina nem volt ott,
a sötét kapualjban a kijáratnál találkoztam vele.
– Gyere velem, – mondtam, – csak egy pillanatra.
– Benn van Kubas? – kérdezte alt hangján.
Kisebbnek láttam, mint máskor, az utcai halvány fény ráesett
szánandó gyermekvállára és úgy látszott, hogy fázott nyomorúságos
ruhájában, amely izgatóan mutatta testének formáit. Ősz is volt már
és az alkonyatban falevelet és papirdarabokat kergetett az utcán a
szél.
– Később is ott lesz még. Kérlek, gyere, kérlek.
Habozva jött velem, minden együttérzés nélkül. Egy lámpánál
megállott és kérdő tekintettel nézett föl reám. Összeszedtem
magamat:
– Penina, szegény kis Penina… ez a Kubas…
– Hallgass!
Szava ütött és úgy talált, mint valami kéz a sötét levegőből. Én
ostoba, aki szánalmat mertem mutatni a szeretetnek és megvetést a
tárgyának. Egyetlen szót sem tudtam többé mondani, se szegényt,
se gazdagot, megrendülve és tehetetlenül állottam az utcai szélben
és nem volt gondolatom. Csak az az egy tudat gyötört a
kínszenvedésig: nem fogom legyőzni az életet, nem fogok rajta
uralkodni.
Penina vizsgálódva, csaknem kutató szomorúsággal rám nézett
és hirtelen, mintha valami régen elvesztettet fedezett volna föl
arcvonásaimban, elfordította a fejét és lerázva a kezemet válláról,
homlokával nekidőlt a vas lámpaoszlopnak és sírt. Arcát nem takarta
el a kezével, sírt, mint ahogyan sötét felhőből zápor zuhog a földre.
– Hát így van, – mondta lassan, amikor lecsillapodott. – Ne gyere
többé közénk. Hallod? A te utad a világosságba vigyen.
Elfutott és eltűnt a szemem elől a régi kapú sötét torkában, a
melyen korcsmacégér fölött kicsiny, vöröses fényű lámpa égett.
Soha sem láttam többé.
De míg mi el vagyunk telve becsületességünk látszólagos
gazdagságával, addig talán a világ örök lelkiismerete kimondta az
irgalom megváltó szavát Peninára, akinek tisztasága elvesztett
egéért omlott égő könnye minden bűnt kimosott lelke ruhájából.
Csak sokkal később életem folyamán, amikor megkezdődött
gondolataim harca az egyetlen, a nagy megváltás szóért, állott
Penina ismét mellém és könnyeit, mint valami fénylő követ,
odanyujtotta kétkedésem sötétségébe.
NEGYEDIK FEJEZET.
Az első vacsora.
A szél ágról-ágra röpítette a virágport és megtöltötte vele a

kelyheket, megmozgatta a gyönge gabonaszálakat és a mezők
szőnyegébe világoszöld vándorló fényszigeteket varázsolt. Egész
reggelen át pacsirtadal kisért, úgy, hogy a kék ég mintha
hangosszavú csengőkkel lett volna tele.
Mekkora gazdagság a meleg földeken! A tavasz éltető ereje
behatolt keblem sötét börtönébe, ahol a szívem dobogott és a vér
mint a rét forrása és patakja csurgott a maga útján. Köröskörül
kankalinnak és erdei földnek a szaga terjengett, úgy hogy a szél
simogatása gyermeknapjaim emlékeivel töltötte meg érzékeimet és
gondolataimat, lengedezésével tarka világot keltett életre, mintha
színes képekkel telt átlátszó kendőket lobogtatott volna a szemem
előtt. Szabadon csapongtak gondolataim, mint a szél, majd azt a
tájékot keresték föl, majd ezt, egyik ritka órától a másikhoz röpültek,
embertől emberhez, a leirhatatlantól a megfoghatóhoz, pajkos
tréfáktól a vér biborvörös mélységeibe, ahogyan az akarat igája alól
fölszabadult gondolatok szokták és előttünk sürögnek-forognak,
tréfát űzve a hatalommal, amely máskor megfékezte őket, magukkal,
velünk, a világgal.
De most magamhoz szólítottam őket és villámgyorsan jöttek,
mint ezer nyíl, amely mindenfelől egy kis cél felé röpül. Valami
fontos, rendkivüli fontos dolog jutott az eszembe, de ekkor fölöttem a
magasban gólyákat láttam röpülni és a gondolatok ismét
megszöktek és magukkal vitték a tárgyat, amiért magamhoz
szólítottam őket és messzi künn, valahol a tavaszban csöndben és
gyorsan elejtették, mint ahogyan a kép sülyed el a szem elől, ha
kialszik a szobában a világítás. A gólyák az ég vakító kékjében
északnak röpültek és amikor szememmel követtem őket, a
szemhatáron a dombon malmot pillantottam meg és mögötte
templomtornyot. Ekkor tudatára ébredtem, hogy mily régen nem
ettem becsületesen és elhatároztam, bár nem volt pénzem, hogy
megteszem abban a faluban.
Valahányszor szeretettel és odaadással tettem, gondoltam vagy
éreztem valamit, közönbös voltam minden külső esemény iránt és
tele voltam bizalommal, ha ellenben nyomorúságosan, tétlenül és
szeretet nélkül teltek el az órák, az élelemért való gond mint sötét fal
állott előttem.
A faluba érkezve, elhatároztam, hogy a lelkészhez megyek.
Belsőmben nem éreztem magamat eléggé ellentállóképesnek arra,
hogy azzal a humorral tudtam volna rendelkezni, amely szükséges
lett volna ahhoz, hogy egy parasztot bírjak bizalomra, szánalomra és
bőkezűségre. Hogy az ilyesfajta bizalmatlankodókat, mint aminő
rendszerint a paraszt, magunknak meghódíthassuk, testben-
lélekben frissnek, erősnek és egészségesnek kell magunkat
éreznünk, de nekem e pillanatban az volt a gondom, hogy fáradság
és áldozat nélkül juttassam jogához a testemet. Fölkerestem tehát a
paplakot, amelyre fehérre festett kerítés és egy fenyőfasor mögött
hamarosan rá is akadtam. A kertiajtó nyitva volt, az út gyepes téren
át kissé hegynek vitt, láttam, hogy istállók és pajták tartoznak a
lelkészi hivatalhoz, az előtéren tyúkok sürögtek-forogtak és egyikük
az utam mellett levő biztos helyét elhagyva, előttem az útra ment,
hogy elmenekülhessen előlem. A tyúk néha kedvét leli ebben, valami
okból szívesen elmenekül előlünk, azért megy olyan helyre, ahol
erre lehetőség nyílik. A tyúk lelki életének legfontosabb részleteit
még nem fedezték föl és nem mondták el, most alkalom nyílnék,
hogy némi fölvilágosítást adjak, de máskorra kell halasztanom, mert
a lelkészről és házában való élményeimről akarok számot adni.
Mivel szaporán lépdeltem előre, az említett tyúk azt hitte, hogy
üldözöm, szárnyát lelógatta, nagyokat lépett és hogy mások
figyelmét fölhívja szorongatott helyzetére, hangosan kiáltozni
kezdett. Végre a ház nyitott ajtaján besurrant a paplak tágas
előcsarnokába, amely tisztára föl volt surolva és fapadlója fehér
homokkal volt behintve. A tyúk mivel ide is követtem, azt hitte, hogy
elvágom az útját vagy sarokba szorítom és az új helyzettel számolva
a lehető legnagyobb lármát csapva fölugrott az ablakdeszkára és
bátor szárnycsapással nekiment az ablaküvegnek.
A mezőkön és falvakon át folytatott vándorlásomban némi
tapasztalatot szereztem, hogyan kell a tyúkokkal bánni és ezért
tudtam, hogy az ilyen állatnak nem szabad a segítségére sietni, mert
a tyúkok visszautasítják az ügyeikbe való emberi beavatkozást. Hát
inkább az előcsarnokot vettem szemügyre, amely a tiszta fehér
ajtókkal és a régi állóórával nagyon tetszett nekem. Az óra
számlapja befuttatott acélból készült, a mutatók
cérnaszálvékonyságúak és ketyegése lassú volt, mint valami
különködő ember magányos beszéde. A számlap alsó felén kicsiny,
köralakú égboltozat volt látható aranyos félholddal, csillagokkal és a
nappal.
Balról kinyílt az egyik ajtó és egy tekintélyes külsejű idősebb
asszonyt láttam, aki egy pillanatra megállott, hogy azután a
gyanútlanul és bátran kinyitott ajtót gyors mozdulattal és halk ijedt
kiáltással ismét becsapja. Rövid időre megint üres és csöndes lett az
előtér, csak a tyúk lármázott tovább az ablakon, kis pihenőkkel,
amelyeket kotkodácsolással töltött ki. A padlón ide-oda surrant
árnyéka a napfényben. Azután az ajtó mögül a konyha zajával
egybeolvadó ijedten szólítgató hangot hallottam és megértettem a
szavakat:
– Ellop egy tyúkot!
Futkosás támadt, asszonyi hangok hallatszottak, a tűzhelyen
mintha kifutott volna a forró víz, mert sistergés támadt, mint valami
pályaudvaron. Majd becsapódott egy ajtó, utána még egy, úgy
látszott, hogy valaki szobáról-szobára haladva átmegy a ház másik
oldalára, míg csakugyan jobbról hallottam hangokat, egy heves és
suttogó nőit és egy megnyugtató basszust. Csoszogó lépteket
hallottam és az ajtó lassan kitárult. A küszöbön ott állott a lelkész.
Szeretetreméltó jelensége bizalommal töltött el, egészséges telt arca
körül kellemes szellőcske lengedezett és jóságos kék szeme
kiváncsian érdeklődött irántam.
– Mi lesz? – kérdezte férfiasan és gyors pillantást vetett a tyúkra.
A levegőt szimatolgatva ezt feleltem:
– Úgy érzem, valami tápláló lesz, de talán jobb, ha ezt a
feleségétől kérdezzük meg.
Nem felelt, hosszúszárú pipáját mint valami puskát tartotta
lebocsátott kezében, de megértvén, miképpen magyaráztam a
kérdését, hangosan és jóízűen az arcomba nevetett.
– Tehát az éhség hozott ide! Ez nem ujság a paplakban, lesz mit
enned és mindjárt meg is tudakolom, hogy mi. Van még valami
kivánságod? Gyere be.
Meglóbálta a pipáját és visszalépett, hogy bebocsásson. Ez
aztán pompás dolgozószoba volt! Fölteszem, hogy mindenki ismeri
és nem akarom részletes leírásával az időt vesztegetni, mert a
szokásos módon volt berendezve szürke és aranyosan fénylő
könyvállványokkal, túlterhelt íróasztallal, amelyen a prédikációk
készülnek, pipafüsttel és napsugarakkal, amelyek a virágzó
gyümölcsfákon át hatoltak be. A szoba közepén levő asztalon
virágcserép nagyságú hamútartó állott és az ajtó közelében faszék a
parasztlátogatók számára. Az egyik sarokban Thorwaldsen gipszből
készült és kissé füstös áldástosztó Krisztusa magaslott,
barátságosan fölemelt egyik karjára csak úgy futólag, valószínüleg,
mert hirtelen kellett kézből letenni, egy pamlagpárnát akasztottak.
Mert a lelkész azt kérdezte tőlem, van-e még valami kivánságom,
leülvén az ajtó mellett a faszékre, azt mondtam:
– Azután egy könyvet szeretnék becserélni.
– Egy könyvet? Becserélni…?
– Igen, a batyumban van egy könyv, amelyet már kiolvastam,
szeretném, ha másikat adna helyette, amelyet még nem ismerek.
Az öreg úr figyelmesen vizsgált, de csak habozva nyilvánult meg
érdeklődése, mindamellett nyugodt volt és nem lehetett észrevenni,
hogy nem tetszik neki a viselkedésem, amely idegen volt neki. Csak
életének mindennapi tapasztalata tette idegenné a számára,
ellenben veleszületett hajlandósága révén igenis volt érzéke olyan
ember természetes szabadsága iránt, aki tehernek érez mindent,
ami nem természetes. Különös és kedvre derítő, ha észrevesszük,
hogy a legtöbb ember sokkal gyorsabban és szívesebben látja az
elfogulatlan kiméletlenség kendőzetlen megnyilvánulását, mint az
elfogult kimélet megszokott vonásait és akinek nem romlott a
gondolkodása, oly gyorsan belenyugszik ebbe, mintha haszontalan
és nehéz fölkapaszkodás után valami jóságos szellem megengedte
volna neki a visszatérést származásának meghitt völgyébe. Igaz,
hogy a lelkész nem kevéssé meglepődött, sőt megütközött
elfogulatlanságomon és határozottan észrevettem, hogy fontolgatja,
nem kell-e mint szemtelenséget kifogásolnia a viselkedésemet. De
senkisem tünik föl szemtelennek, akinek szívében szeretet lakozik,
még akkor sem, ha valóban az.
Kissé kétes határozottsággal rám mosolygott és kelleténél
hangosabban így szólt:
– Könyvet is kaphatsz tőlem, anélkül, hogy a tiedet ideadod.
– Ezzel nem segít rajtam, – mondám, – egy könyvet is elég
cipelnem.
–… elég cipelned. Igen, igen… – felelte.
– Igen. Mindig így teszek, ha egy könyvet kiolvastam, mert
vándorúton vagyok és eddig még mindig fáradság nélkül be tudtam
cserélni az enyémet. Azzal nem törődtem, hogy melyik drágább és
melyik van jobb állapotban, csak az vizsgáltam, hogy új-e nekem a
tartalma és szórakozást igér-e.
– Jó, ó… ez jó, igazán jó! Mintha bizony mindenki csak úgy egy
szóra odaadná könyvtárának egy darabját.
– Hiszen éppen az imént maga ajánlotta föl nekem. De különben
is lehetetlen, hogy minden ember oly zárkózott lenne, mint ahogyan
az ön kétkedéséből következtethető. Könyörtelen eljárás az, ha
megtagadunk egy könyvet valakitől, aki nincs abban a helyzetben,
hogy vásárolhasson magának, ezt épp oly kevéssé szabad
megtenni, mint ahogyan nem tiltanók meg senkinek, hogy egy szép
képre tekintsen. És mindig legelőször azokat a legjobb könyveket
kellene odaadnia az embernek, amelyeket legjobban szeret. Aki
valami szellemi örömét magának tartja meg, annak lelke sötét pince,
amelybe véletlenül napsugarak jutottak be, de nem tudnak életet
kelteni nedves hüvösségében. Adjon hát egy könyvet, ime itt az
enyém.
Ezeket az utolsó szavakat csak azért mondtam, mert másfelé
akartam terelni a lelkész válaszát. Éreztem ugyanis és láttam, hogy
a válasz megszégyenített volna. Melegen rám nézett jóságos kék
szemével, fölkelt és kezet nyújtott.
– Mi az? – kérdeztem, – hiszen még nem ettünk.
– Nem akartam öntől elbúcsúzni, sőt most látom igazán
szívesen. Legyen a vendégem, ha úgy tetszik. Foglaljon újra helyet,
nem itt, itt, mondja el, kicsoda ön, mi vitte vándorútra, beszéljen az
életéről, arról szeretnék valamit megtudni.
– Mit mondjak az életemről? Élek, nem elég ez? Bárhová nézek,
mindenütt azt látom, hogy az emberek arcát fakóvá és fáradttá teszi
a gond életük értékeért és értelméért. Az én életem értelme
sohasem fog előttem az életemen való öröm árán megnyilvánulni.
Az öreg úr elgondolkozott és komolyan, csöndben sokáig maga
elé nézett. Meglepődése, ez az enyhe, ha mindjárt akaratlan
megsértődése megszűnt és őt figyelve, ezt gondoltam: hozzád jó
tudnék lenni. Nincs gondolat, amely valakivel szemben derűltebbé
tudna tenni bennünket, mint ez és boldogságunk tisztaságára nézve
teljesen mellékes, vajjon viszonozzák-e.
– Jól van, jól van, – mondta lassan a lelkész és tekintetemet
keresve rám nézett, – de hát annak idején mit szeretne mondhatni,
hogy miért élt?
Csaknem nevettem. Más felelet aligha elégítette volna ki, mint
az, amely valami szellemi vagy gyakorlati sikert mond életem céljául.
De érezve kérdésének jogosultságát és a benne rejlő jó szándékot,
ezt feleltem:
– Ha erre egy mondattal felelhetnék, olyan egyszerűen, mint
ahogyan a kérdést fölteszi, akkor aligha állanék ma ön előtt.
– Hogyan adhat ilyen bizonytalanság biztosságot, hacsak nem
könyelműség ez a biztosság?
– Az én biztosságom nem az, hogy ismerem a célomat, hanem
az, hogy feléje haladok, csakis abban a tudatban, hogy megtalálom,
ami az én részem.
– Bámulatraméltó önérzet ez fiatal barátom, amelyet meg kell
okolnia.
– Bizakodásom nem ezen az önérzeten nyugszik, hanem
hitemen.
– Hitén? Ugyan miben hisz oly bizakodva?
– Hiszek. Nem elég ez?
A lelkész úgy érezhette, hogy elsietve kényszerült kérdésre és
feleletre, arcán titkos aggodalom volt észrevehető.
– Mindez nem olyan egyszerű, – felelte kis idő mulva, – de talán
mégis – kezdet. A cél azonban az a bizonyosság, hogy Istenben
hiszünk, közösségünk van vele és hogy szeret bennünket.
Hallgattam.
– Ön hallgat, – mondta kisvártatva lassan és vizsgálódva. –
Bizonyára egy öreg falusi lelkészt lát bennem, aki egyházának
dogmái szerint beszél. Talán úgy is van, de egész életemben
fontosnak tartottam, hogy a józan ész szabadságát gyönge erőmhöz
képest megóvjam és ne homályosítsam el valami át nem gondolt
szabály kényszerével.
Erre habozva és a gondolatokat fáradságosan keresve, ezt
feleltem:
– Nem hiszem, hogy cél és maradandó vigasz az a bizonyosság,
hogy Isten szeret bennünket. Ez a kiskorúak előjoga. A szeretet
lényét, fényét, mindenhatóságát nem érezheti senki, aki maga nem
szeret. Isten csak az én szeretetemben elevenedik meg, de nem
abban, amit ön az ő irántam való szeretetének nevez. De ha szeretni
tudok, akkor Isten bennem él, őt magamban tudni: ez maradandó
vigasz, benne nagykorú leszek. Az az ember, aki szeret, sohasem
fogja magát istentelennek érezni. Ha azonban így áll a dolog, akkor
nem tudom azt kivánni, hogy Isten szeressen engem, mert Isten az
én szeretetem.
– Nem mondok önnek ellent, – mondta a lelkész, – de mi hiszünk
Istenben, mint minden dolog megteremtőjében, aki előttünk volt és
mindig lesz. Azzal, hogy ilyen vagy olyan módon megelevenedik
bennünk, bebizonyitja szeretetét; abban hogy úgy teremtett meg
bennünket, hogy képesek leszünk neki lakásul szolgálni, fölismerjük
irántunk való szeretetét, amelyre érdemessé lenni és amelyet mindig
tudni a mi célunk és bizodalmunk.
– Semmi más lény szeretete nem fog engem megváltani, csak az
enyém, – felelém. – A tűz világít és melegít, de egyetlen tűz sem ég,
hogy világítson és hogy melegítsen. Nem, az ön Istenében, akinek
szeretetét kérnem kell, nem hiszek többé, én nagykorú akarok lenni.
– A nagykorúak és a kiskorúak… – mondta elgondolkozva az
öreg ember, aki fölkelt és föl és alájárt a szobában. No most láthatja,
hogyan kerülhetnek szóba beszélgetés közben olyan dolgok,
amelyekre nézve az emberek sohasem tudnak megegyezni. És
mégis azt kell mondania az embernek, amit gondol; ha áhitattal és
megismerés vágyából teszi, sohasem történik hiába. E dolgokról
elhangzó minden állításban és minden ellenmondásban ugyanegy
szellem nyilvánul meg. Majd másképpen fog ön gondolkodni, most
azonban bizonyára joga van ahhoz, hogy úgy gondolkozzék,
ahogyan teszi. Ezt, higyje el, nem mindenkinek engedem meg, de
csekély lenne a bizalmam Isten vezérlő kezében, ha minden embert
ugyanegy útra akarnék küldeni. Talán igazán csak a kiskorúaknak
vagyunk rendelve. – De van-e, aki föléri ésszel, hogy mi kergeti önt
ebben a nyomorúságos ruhában az országútra! Önnek olvasnia,
tanulnia kellene…
Föl s alájárt a szobában, amíg az íróasztalán szemébe nem ötlött
a könyv, amelyet a batyúmból vettem ki. Legutóbbi szavaival való
eszmetársulás révén a kezébe vette, lapozgatott, olvasgatott benne
és óvatos ujjakkal belül-kivül megvizsgálgatta, azután a pápaszemét
kereste.
– Hát lehetséges ez? – kérdezte. – Ez akarja nekem fölajánlani,
ezt állítsam a könyveim közé?
Már alig gondoltam a könyvre, aminthogy azt az inditványomat is,
hogy cserélje be, első szavaim elfogódottságával elsietve tettem. A
könyvet az egyik szálláson egy kis púpos kárpitoslegénytől kaptam,
aki egy éjjelre hozzám csatlakozott és őszinte megindultsága akkora
volt, hogy megbántottam volna, ha amikor búcsúzáskor nekem
ajándékozta, visszautasítottam volna. Dróttal összetartott első tiz
füzete volt egy kitagadott grófkisasszonyról szóló regénynek, aki egy
ballépése után sokféle kaland közt vetődik a világban. Mindenik
füzetben valami új szörnyűség készülődött, amely a következőben
csaknem, az azt követőben majdnem és a negyedikben még mindig
nem következett be. Be kell vallanom, hogy érdeklődéssel kisértem
az eseményeket és lefolyásukat, mert nem tartoztam azok közé az
emberek közé, akik csak úgynevezett jó könyveket tudnak olvasni.
Még mindig inkább kötött le olyan könyv, amely az életet írta le, mint
az, amely szerzőjének bizonyos írói készségéről tett tanuságot, de
mással nem is szolgált. Az írásra való hajlandóság, mert azt hisszük,
hogy tudunk hozzá, dilletáns fáradozás, akinek igazán van mondani
valója, csak akkor aggódik tehetsége miatt, ha valami akadályozza
az írásban.
Körülbelül ezt mondtam mosolygó házigazdámnak a könyvekről,
de egyáltalán nem azért, hogy megvédjem az én könyvemet, mert
az bizony igazán rosz könyv volt. Ezt kertelés nélkül be is ismertem,
de azzal a mentséggel, hogy engem nagyon érdekelt.
Barátságosan és nekihevülés nélkül mondta:
– Hogyan érdekelhet valakit ilyen könyv?
– Attól függ, hogy ki olvassa, – feleltem, – a könyvekben a
legnagyobb élvezet magának az olvasónak a teljesítménye és a
legjobb könyv az, amely az olvasóval a saját gazdagságát érezteti.
Kopogtak és az óvatosan kinyitott ajtóban egy fiatal leány alakja
jelent meg, aki tisztességtudó határozottsággal, de nagyon félénken
azt a hírt hozta, hogy ebédhez várják az apját. A lelkész egy
pillanatra észrevehetőleg zavarba jött, közelebb intette a leányát és
egyszerre egy körülbelül húsz éves fiatal leánnyal állottam szemben.
Megmagyarázták neki, hogy úgy kell engem fogadnia, mintha nem
az lennék, amint akinek gondolnia kellett. Azt hitte, hogy fura tréfát
űznek vele és míg világos szeme szinte valószínűtlen
gyermetegséggel mosolygott, habozott, hogy mit tegyen. De
vonakodásféléről nem lehetett szó, itt céltudatos rend és pontos
engedelmesség volt az úr, úgy hogy egy alig érezhető pillanatra
csaknem élettelen kéz került hüvelykujjam és mutatóujjam közé. Az
üdvözlés tehát a kivánt rendben megtörtént, de lefolyása egy
lépéssel sem vitte előbbre a házigazdámat, aki úgy látszik
ráeszmélt, hogy a közvetetlenség szelleme az ő családi életének
házi szellemei közt tulajdonképpen idegen kísértet volt és hogy egy
idegen hozta a házába sokkal hirtelenebbül, semhogy övéit ne
kellene előbb erre előkészítenie.
– Majd értesítem a feleségemet és megmondom neki, hogy ön itt
van, – mondta elfogultan, leányát karon fogta és maga előtt kitolta az
ajtón, úgy hogy egyidőre magamra maradtam és kötelességszerűen
azon aggódtam, hogy itt alkalmatlanságot okozok. Ha kevésbbé
komolyan vettem volna a lelkészt, nagyon könnyen tetszetős hídat
verhettem volna, de nem vitt rá a lelkem, hogy leányával szemben
ugyanazt az elfogulatlanságot tanusítsam, mint amellyel őt nyertem
meg magamnak.
Kis idő mulva hangokat hallottam, az egyik az ellenmondásé volt,
a másik mély basszus, amely csitítgatott és rábeszélt. Majd
nyomosabb és hatásosabb lett a basszus, amit hallgatás követett,
amelynek alázatossága közvetetlenül azután hangos
ajtócsapkodásban nyilvánult meg. Meglehetősen nagy idő mulva
kinyilt az előcsarnokba szolgáló ajtó és egy nagy szőke szakácsnő
jelent meg előttem. Tetőtől-talpig végigmustrált, ifjonti anyáskodással
aggódóan megrázta vörös fejét és gorombán rám szólt:
– Gyere velem, mosakodjál meg, az urasággal egy asztalnál
fogsz enni.
Előttem elhimbálódzott a konyha egyik sarkába, ahol faszéken
mosdótál állott, a szék támláján vastag törülköző lógott, mellette
pedig egy darab szappan feküdt, akkora mint egy kenyér.
Megtettem, amit kivántak és a szakácsnő kérdésére azt feleltem,
hogy tanult országútgázoló vagyok, de most hely nélkül.
– Mázoló?
– Nem, gázoló. Inkább enném itt künn veled, mint az urasággal.
– Azt elhiszem, – felelte. És tegez ez az ember… – Mi jutott az úr
eszébe.
– Ó, semmi rosszat nem forgatok a fejemben.
– A háziúrról beszélek, nem rólad, – jelentette ki
vendégszereplésem ellensége. – Siess!
Kikapta kezemből a törülközőt és kegyesen oldalba lökött, hogy
ne kelljen külön megmagyaráznia, mely irányban kell mennem.
Azt hiszem, hogy a lelkészné asszony, akihez most jutottam, jó
akarattal magának is, nekem is megkönnyíthette volna a helyzetet,
amelyet férjének kivánsága teremtett meg a számára, mert amikor
az ebédlőbe léptem, a család már asztalnál ült és én természetesen
betolakodónak éreztem magam. Derűlt nyugodtságom és
egykedvüségem elhagyott, mert nem tudtam magamat arra
kényszeríteni, hogy úgy tessem a ház nőinek, mint ahogyan a háziúr
nyilván kivánta és remélte. A lelkészné olyan nyilvánvaló, izgatott
ellenérzéssel volt irányomban, hogy semmisem csábított a
legyőzésére, hiszen csak olyan mozdulatok és szavak segítségét
használhattam volna, amelyek fölületesek, tetszeni vágyók és hiúk
lettek volna. De mert úgy éreztem, hogy ok nélkül aláztak meg,
elhatároztam, hogy ugyanazzal a pontossággal fogok fizetni ezért a
gyalázatért, mint amellyel velem szemben elkövették. Haragudtam
egészen az elkeseredésig, az élet áprilisában gyorsan változik a
lélek időjárása…
Belépve néhány szóval üdvözölni akartam a hölgyeket. Hárman
voltak, mert még egy másik, fiatalabb leány is volt a paplakban, de a
lelkészné asszony üdvözlő szavaimnak röviden véget vetett:
– Hát… csak üljön ott le.
Meg akartam fordulni, hogy távozzam, ekkor elfogtam az öreg
ember pillantását és leültem. Barátságosan szólt hozzám, de
egyszerűsége elfogult és kissé leereszkedő tartózkodássá változott,
amelytől ő maga szenvedett. Nyilván reám és segítségemre várt,
belsőleg neki is rugaszkodtam és kudarcot vallottam.
A ház asszonya föltünően sovány magas nő volt, arcvonásaiban
az élet gondjainak kínos kifejezésével, amely mellett a megdicsőülés
halvány lehelete sem volt található, pedig ezt még a legnagyobb
nyomor is megadja minden nő arcának, aki szerető feleség és anya
volt. Korlátolt nézetekben és kicsinyes szokásokban
meggyökeresedett természet képét mutatta, de a feszesség,
amelyet lénye elárult, olyan józan volt, hogy megfélemlítette az
embert. A virágocskákra tekintettem, akik e magabíráskodás pedáns
jótéteményei közt virultak föl és megnyugodtam, mert a két fiatal
leány bár kissé megfélemlített frissesége úgy hatott, mint a megujuló
természet megváltása. Bensőmben kissé kibékültem az anyával és
egészen kibékültem volna vele, ha csak a legcsekélyebb
előzékenységet mutatta volna.
Az öreg ember kedvéért, aki szeretettel szólt hozzám, azt
latolgattam magamban, nem lenne-e talán ajánlatos, hogy háza
hölgyeinek némi megértő engedményt tegyek; beszélhettem volna
apám állásáról és házáról és arról, hogy nem azért koborlok ilyen
ruhában a világban, mert elveszettnek hittem magamat, hanem mert
magamat kerestem. De lemondtam erről az előzékenységről a
fiatalság ama makacsságával, amelynek előjoga az engedmény
gyülölése. A fiatalság szenvedélyes tévedése meggyőződéseért
szebb, mint a fölnőttek szenvedélytelen erénye, még akkor is, ha a
tapasztalat ezeknek ad igazat. Hiába, már én csak eltökéltem, hogy
nem ismerek tiszteletet, csak ha az én személyemnek és
legsajátosabb javamnak szól.
Fehér abrosszal terített hosszú asztalnál ültünk világos
szobában, amelynek üvegajtaja a kert felé ki volt tárva. A két fiatal
leány terítéke nagyon közel volt a szüleikéhez, úgy hogy nekem
nagyon sok hely maradt. A lelkészné asszony erőszakosan és
hangosan gondoskodott rólam azzal a visszataszító
szolgálatkészséggel, amelyre csak azok az asszonyok képesek, akik
egyszerre engedelmesek és akaratosak és bosszús megadásuk
mellett meghúzódik az a kivánság, bárcsak minél előbb ostobának
bizonyulna be a férj parancsa. A látszat tehát az volt, hogy nagyon
tiszteli férje akaratát, a valóságban azonban mindent, amit a férje
akart úgy teljesített, hogy jó szándékainak érvényesülése lehetetlen
volt. Nagyon jól láttam és éreztem mindezt és beérhettem volna
azzal, hogy jól mulatok e titkos megfigyelésemen, de nagyon is
óhajtottam, hogy vendéglátó házigazdám egyszerű emberiessége
diadalmaskodjék feleségének szűkkeblű előitéletén. Tehát vagy el
kellett tűrnöm hallgatagon a megaláztatást, amely a ház asszonya
részéről ért, vagy pedig energikusan meg kellett kísérelnem, hogy
cselekvő akarattal és olyan szembetünően fogjam jóakarómnak a
pártját, hogy vele ellenfelünket látható és döntő vereség érje. Ez
azonban nem történhetett volna meg megszégyenítése nélkül, amit
pedig nem mertem megkockáztatni, mert attól tartottam, hogy ezzel
azonnal elvesztem pártfelem segítségét.
De mielőtt még véglegesen határoztam, a véletlen döntött és én
megszabadultam minden további fontolgatástól. Éppen azzal
próbáltam tisztába jönni, hogy az asztalnál levő pártok melyikéhez
húznak a fiatal leányok, amikor megjelent a szakácsnő és elvitte a
levest, hogy új ételt tálaljon föl. Tányért váltott, de az enyém
kivételével, amelyet a lelkészné asszony rosszaló
homlokráncolására ott hagyott előttem. A lelkész úr ezt csak akkor
vette észre, amikor már körbejárt a hús, a főzelék és a burgonya és
a szakácsnő valamennyiünk balszerencséjére már távozott volt a
szobából, amikor visszafojtott fölháborodással meglehetősen
hangosan így szólt a ház ura:
– Vendégünknek azonnal hozzanak másik tányért.
Az öreg ember ajka reszketett, mintha őt magát érte volna valami
megszégyenítés. De az asztalnál nem mozdult senki, a két fiatal
leány szinte parancsszóra egyformán elpirult és olyan feszesen és
szótlan és csöndben ültek, mintha vihar nyomta volna őket le és a
legcsekélyebb megmozdulásuk a villámot csalná elő. Nem, ebben
mégis csak az anyjuknak kellett igazat adniok, nagyon is sok lenne,
ha azt kivánnák tőlük, hogy ezt a csavargót még személyesen is
kiszolgálják.
– Ez igazán nem szükséges, – mondta a lelkészné kényszeredett
jóakarattal és olyan meggyőződéses magabiztossággal, hogy
ingerültsége csaknem erénnyé vált.
Ez ugyancsak kellemetlen barátságosság volt! Istenem,
gondolám, miért bántja meg így a férjét? Akkor még nem értettem
meg, hogy ő maga és csakis ő volt az oka, ha felesége lényében
ilyen viselkedés vert gyökeret. A férfiúi jóságnak és elnézésnek van
egy fajtája, amellyel visszaél minden asszony, mert a megélhetésére
és lelkének boldogságára való jogos igény egészen határozott,
legyőzhetetlen erő a férfi lelkében. Ha a férfiben ez az erő nincs
meg, gyöngeségét a felesége nemsokára súlyos szemrehányásként
fogja fölhasználni, amelyből kicseng tudatos vagy öntudatlan igénye
legfőbb és legszebb életjogára, korlátlan odaadására. Hiszem
ugyan, hogy alapjában véve egyedül a férfi szeretete és jósága az
előföltétele az őt szerető nő odaadásának, de nem hiszem, hogy a
nő ha bizalma e tenger dagadó hullámain nem ragaszkodik ahhoz a
kézhez, amely a kormányt tartja, ezt a szeretetet és jóságot annak
ismeri föl és annak veszi, a mi.

PDF Handbook of Linear Partial Differential Equations For Engineers and Scientists Second Edition Andrei D Polyanin Ebook Full Chapter

Uploaded by

Copyright:

Available Formats

PDF Handbook of Linear Partial Differential Equations For Engineers and Scientists Second Edition Andrei D Polyanin Ebook Full Chapter

Uploaded by

Document Information

Original Title

Copyright

Available Formats

Share this document

Share or Embed Document

Sharing Options

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

Copyright:

Available Formats

PDF Handbook of Linear Partial Differential Equations For Engineers and Scientists Second Edition Andrei D Polyanin Ebook Full Chapter

Uploaded by

Copyright:

Available Formats

Handbook of Linear Partial Differential

Equations for Engineers and Scientists

Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact

Partial Differential Equations Mathematical Techniques

Differential Equations A Primer for Scientists and

Solution Techniques for Elementary Partial Differential

Artificial Neural Networks for Engineers and

Semigroups of Bounded Operators and Second-Order

Multiplicative Partial Differential Equations 1st

Partial Differential Equations of Classical Structural

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

No claim to original U.S. Government works

International Standard Book Number-13: 978-1-4665-8149-4 (eBook - PDF)

Preface to the Second Edition xxv

Part I Exact Solutions 1

2 First-Order Equations with Three or More Independent Variables 139

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

8 Second-Order Hyperbolic Equations with Three or More Space Variables 695

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

10 Second-Order Elliptic Equations with Three or More Space Variables 859

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

12.7 Stokes Equations for Viscous Incompressible Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

12.15 Nondissipative Thermoelasticity Equations (the Green–Naghdi Model) . . . . . 1103

Part II Analytical Methods 1121

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

14.3 Properties and Particular Solutions of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

21.1.6 Tempered Distributions and Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1270

Part III Symbolic and Numerical Solutions with Maple, Mathematica,

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

23.3 Analytical Solutions of Mathematical Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347

Part IV Tables and Supplements 1403

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

25.2.13 Representation in the Form of Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

26.4 Infinite Functional Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

28.4 Tables of Fourier Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

30.6 Bessel Functions (Cylindrical Functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1520

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

30.18 Nonorthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

PREFACE TO THE FIRST EDITION

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

MATLAB R is a registered trademark of The MathWorks, Inc. For product information,

© 2016 by Taylor & Francis Group, LLC

Andrei D. Polyanin, D.Sc., is an internationally renowned

A szél ágról-ágra röpítette a virágport és megtöltötte vele a

You might also like