Full Chapter Applications of Percolation Theory 2Nd Edition Sahimi M PDF

Applications of Percolation Theory 2nd
Edition Sahimi M.
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Applied Mathematical Sciences
Muhammad Sahimi
Applications
of Percolation
Theory
Second Edition
Founding Editors
F. John
J. P. LaSalle
L. Sirovich
Volume 213
Series Editors
Anthony Bloch, Department of Mathematics, University of Michigan, Ann Arbor,
MI, USA
C. L. Epstein, Department of Mathematics, University of Pennsylvania,
Philadelphia, PA, USA
Alain Goriely, Department of Mathematics, University of Oxford, Oxford, UK
Leslie Greengard, New York University, New York, NY, USA
Advisory Editors
J. Bell, Center for Computational Sciences and Engineering, Lawrence Berkeley
National Laboratory, Berkeley, CA, USA
P. Constantin, Department of Mathematics, Princeton University, Princeton, NJ,
USA
R. Durrett, Department of Mathematics, Duke University, Durham, CA, USA
R. Kohn, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University,
New York, NY, USA
R. Pego, Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University,
Pittsburgh, PA, USA
L. Ryzhik, Department of Mathematics, Stanford University, Stanford, CA, USA
A. Singer, Department of Mathematics, Princeton University, Princeton, NJ, USA
A. Stevens, Department of Applied Mathematics, University of Münster, Münster,
Germany
S. Wright, Computer Sciences Department, University of Wisconsin, Madison, WI,
USA
The mathematization of all sciences, the fading of traditional scientific boundaries,
the impact of computer technology, the growing importance of computer modeling
and the necessity of scientific planning all create the need both in education and
research for books that are introductory to and abreast of these developments. The
purpose of this series is to provide such books, suitable for the user of mathematics,
the mathematician interested in applications, and the student scientist. In particular,
this series will provide an outlet for topics of immediate interest because of the
novelty of its treatment of an application or of mathematics being applied or lying
close to applications. These books should be accessible to readers versed in
mathematics or science and engineering, and will feature a lively tutorial style, a
focus on topics of current interest, and present clear exposition of broad appeal.
A compliment to the Applied Mathematical Sciences series is the Texts in Applied
Mathematics series, which publishes textbooks suitable for advanced undergraduate
and beginning graduate courses.
Muhammad Sahimi
Applications of Percolation
Theory
Second Edition
Muhammad Sahimi
Department of Chemical Engineering
and Materials Science
University of Southern California
Los Angeles, CA, USA
ISSN 0066-5452 ISSN 2196-968X (electronic)

ISBN 978-3-031-20385-5 ISBN 978-3-031-20386-2 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-031-20386-2
Mathematics Subject Classification: 60K35, 82B43, 82B44, 60K37, 60K40, 60-02
1st edition: © CRC Press 1994

2nd edition: © The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive license to Springer
Nature Switzerland AG 2023
This work is subject to copyright. All rights are solely and exclusively licensed by the Publisher, whether
the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse
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claims in published maps and institutional affiliations.
This Springer imprint is published by the registered company Springer Nature Switzerland AG
The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland
Dedicated to
the people of my native land, my beloved Iran,
may they live in freedom, peace, and
prosperity;
and to
the memory of my brother, Ali (1958–1981),
who lost his life for his ideals
Preface to the Second Edition
Shortly after the first edition of this book was published in 1994, a European physicist
remarked that “percolation as a research field is dead.” Since then, however, perco-
lation theory and its applications have advanced greatly. On the experimental side,
new instruments have made it possible to measure various properties of heteroge-
neous systems. As a result, characterization of heterogeneous materials and media,
which have provided fertile grounds for applying percolation theory to model their
properties, can now be done in great details and have demonstrated the crucial role
of connectivity on their properties. Many new concepts and ideas, such as complex
graphs and networks, as well as extensions of the classical percolation model, such
as explosive and optimal percolation, have also been developed that have made it
possible to greatly extend the range of possible applications of the theory. New
methods of analysis have also made it possible to analyze precise data for large-scale
industrial and societal problems, which have demonstrated the crucial effect of the
connectivity on the properties of such systems, hence motivating further develop-
ment and applications of percolation theory. As a result, not only are percolation
theory and its applications not dead, but they are in fact thriving.
Such new developments motivated the preparation of the second edition of this
book. But this new edition does not represent merely an updated version of the first
edition. All the chapters have been rewritten completely, updated, and expanded.
Multiple new chapters have been added that demonstrate clearly the depth and breadth
of the role of connectivity and percolation in an enormous number of phenomena.
Throughout my life, I have been blessed by great mentors. My mentors for life,
my mother, Fatemeh Fakour Rashid (1928–2006), and father, Habibollah Sahimi
(1916–1997), instilled in me my love for reading and science. Over 48 years after
taking the first of many courses with him, I am still influenced by Dr. Hassan Dabiri,
my first academic mentor when I was attending the University of Tehran in Iran, and
his outstanding qualities, both as an academic mentor and as a wonderful human
being. My advisors for my Ph.D. degree at the University of Minnesota, the late
Profs. H. Ted Davis (1937–2009) and L. E. Skip Scriven (1931–2007), introduced
me to percolation theory.
vii
viii Preface to the Second Edition
As the famous song by John Lennon and Paul McCartney goes, I get by with a
little help from my friends, except that in my case my students and collaborators
have given me a lot of help, and have contributed to my understanding of the topics
described in this book. First and foremost, I have been blessed by many outstanding
doctoral students and postdoctoral fellows with whom I have worked throughout
my academic career on some of the problems described in this book. They include
Drs. Sepehr Arbabi, Fatemeh Ebrahimi, Hossein Hamzehpour, Mehrdad Hashemi,
Abdossalam Imdakm, Ehsan Nedaaee, and Sumit Mukhopadhyay. Over the years, I
have also been most fortunate to have fruitful collaborations with many friends and
colleagues on research problems related to what is studied in this book, including
Profs. Behzad Ghanbarian, Joe Goddard, Barry Hughes, Allen Hunt, Mark Knack-
stedt, Reza Rahimi Tabar, Charles Sammis, Nima Shokri, the late Dietrich Stauffer,
and Theodorte Tsotsis. I am extremely grateful to them.
Michael C. Poulson was the publisher of the first edition of this book with Taylor &
Francis, as well as a close friend. He passed away on 31 December 1996 at the age
of 50. In preparing this edition, I greatly missed his wise advices, great humor, and
cheerful personality.
My wife Mahnoush, son Ali, and daughter Niloofar are the sunshine of my life.
They put up with my long absence from family life, and my spending countless
number of hours at home in front of the computer to write this book. This edition
would not have been completed without their love, patience, and understanding.
I dedicate this book to the people of my native land, my beloved Iran, and the
memory of my younger brother Ali (1958–1981). He was a university student when
he lost his life on 19 September 1981 during his struggle for his ideals for a better
Iran. I will miss him until I meet him again.
Los Angeles, CA, USA Muhammad Sahimi

August 2022
Preface to the First Edition
Disorder plays a fundamental role in many processes of industrial and scientific

interest. Of all the disordered systems, porous media are perhaps the best-known
example, but other types of disordered systems, such as polymers and composite
materials, are also important and have been studied for a long time. With the advent
of new experimental techniques, it has become possible to study the structure of such
systems and gain a much deeper understanding of their properties. New techniques
have also allowed us to design the structure of many disordered systems in such a
way that they possess the properties that we desire.
During the past two decades, the development of a class of powerful theoret-
ical methods has enabled us to interpret the experimental observations, and predict
many properties of disordered systems. Included in this class are renormalization
group theory, modern versions of the effective-medium approximation, and perco-
lation theory. Concepts of percolation theory have, however, played one of the most
important roles in our current understanding of disordered systems and their prop-
erties. This book attempts to summarize and discuss some of the most important
applications of percolation theory to the modeling of various phenomena in disor-
dered systems. Among such applications phenomena that occur in porous media have
perhaps received the widest attention. Thus, we now have a fairly good understanding
of two-phase flow problems in porous media, and recognize that, at least in certain
limits, such problems represent percolation phenomena. Oil recovery processes have
thus benefited from the application of percolation to two-phase flow problems. Reac-
tion and diffusion in porous materials, such as catalysts and coal particles, have also
benefited from the insights that percolation has provided us. Such applications are
discussed in details in this book. However, other well-known applications of perco-
lation, such as those to polymers and gels, composite materials, and rock masses are
also discussed.
In this book, we consider applications of percolation theory to those phenomena
for which there are well-defined percolation models, and a direct comparison between
the predictions of the models and experimental data is possible. Percolation has been
applied to many phenomena; it has, however, not always been possible to compare
the predictions with the data and, therefore, it has not always been possible to check
ix
x Preface to the First Edition
the quantitative accuracy of the predictions. Although a theoretician may justifiably

argue that, “an application is an application is an application,” the scope of the
book is limited to such “practical” applications, since it is impossible to discuss
in one book all applications of percolation theory, and this is a book written by
an application-oriented chemical engineer. New applications of percolation are still
being developed, and, in the coming years, such applications will find widespread
use in many branches of science and technology.
Over the past decade, Dietrich Stauffer has greatly contributed to my under-
standing of percolation theory, disordered systems, and critical phenomena. He has
done this through his “referee’s reports,” e-mail messages, letters, and our collabo-
rations on various problems. Without his constant encouragement and support, this
book would not have been written. He also read most of the book and offered construc-
tive criticisms and very useful suggestions. I am deeply grateful to him. I would also
like to thank Ted Davis and Skip Scriven who introduced me to percolation, and
Barry Hughes for his many stimulating discussions and fruitful collaboration in my
graduate school years. Many other people have contributed to my understanding of
percolation theory, a list of whom is too long to be given here. I would like to thank
all of them.
Most of this book was written while I was visiting the HLRZ Supercomputer
Center at KFA Jülich, Germany, as an Alexander von Humboldt Foundation Research
Fellow. I would like to thank Hans Herrmann and the Center for their warm
hospitality, and the Foundation for financial support.
Los Angeles, CA, USA Muhammad Sahimi

April 1993
Contents
1 Macroscopic Connectivity as the Essential Characteristic

of Heterogeneous Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 What is Percolation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 The Scope of the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Percolation Theory: Classical and Poor Man’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Historical Origin of Percolation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Random Bond and Site Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Percolation Thresholds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Bicontinuous Materials, Phase-Inversion Symmetry,
and Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Generating a Single Percolation Cluster: The
Leath–Alexandrowicz Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 The Newman–Ziff Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8 Percolation Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8.1 Connectivity Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8.2 Flow and Transport Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8.3 The Structure of the Sample-Spanning Cluster . . . . . . 18
2.9 Universal Power Laws for Percolation Properties . . . . . . . . . . . . 18
2.9.1 Connectivity Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.9.2 Flow and Transport Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10 Scale Dependence of Percolation Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.11 Finite-Size Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.12 Experimental Measurement of Percolation Properties . . . . . . . . . 24
2.13 Poor Man’s Percolation Theory: Effective-Medium
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
xi
xii Contents
3 Extensions of the Classical Percolation Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Continuum Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Percolation Threshold of Continua . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 The Ornstein–Zernike Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.3 Percolation Thresholds: Materials with Very
Low or High Thresholds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.4 Differences Between Lattice and Continuum
Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.5 Boiling: An Application of Continuum
Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Correlated Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Percolation with Short-Range Correlations . . . . . . . . . 43
3.3.2 Percolation with Long-Range Correlations . . . . . . . . . 44
3.3.3 Correlated-Site Percolation and Unusual
Properties of Low-Temperature Water . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.4 Site-Bond Correlated Percolation and Gelation . . . . . . 47
3.4 Bootstrap Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.1 k-Core Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Invasion Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Explosive Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.7 Directed Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.8 Dynamic Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.9 Percolation Model of Galactic Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.10 Vector Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Characterization of Porous Media and Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Diagenetic Processes and Formation of Rock . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Geometrical-Percolation Models of Diagenetic Processes . . . . . 58
4.4 Percolation Model of the Tortuosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 Tortuosity and Continuum Percolation . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.2 Percolation Models for Tortuosity of Saturated
and Unsaturated Porous Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Characterization of Pore-Space Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.1 The Young–Laplace Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.2 Contact Angle, the Washburn Equation,
and Capillary Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5.3 Mercury Porosimetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5.4 Invasion and Random Percolation Models . . . . . . . . . . 70
4.6 Sorption in Porous Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6.1 Percolation Models of Sorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6.2 Determining Connectivity of Porous Materials
Using Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Contents xiii
5 Connectivity of Fracture and Fault Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Why Should Percolation be Relevant to Fractures? . . . . . . . . . . . 86
5.3 Self-Similar Fractal Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 Experimental Evidence for Self-Similarity of Fracture
Networks and Relevance of Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5 Excluded Area and Excluded Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.6 Models of Fracture Networks and Their Percolation
Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.7 Two-Dimensional Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.8 Three-Dimensional Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.9 Percolation Threshold of Fracture Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6 Earthquakes, Critical Phenomena, and Percolation . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Earthquakes as a Critical Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3 Spatial Distribution of Earthquakes Hypocenters and its
Relation with Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4 Microseismicity and Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5 The Gutenberg–Richter Law and its Relation
with Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.6 Percolation Model of Regional Seismicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7 Flow and Transport Properties of Porous Materials . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2 Percolation, Poor Man’s Percolation, or Critical-Path
Analysis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3 Selecting the Correct Percolation Model of the Unsaturated
Zone in Soil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.4 Diffusivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4.1 Percolation Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4.2 Poor Man’s Percolation: Effective-Medium
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4.3 Effective-Medium Approximation
and Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.5 Permeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.5.2 Critical-Path Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.5.3 Percolation-CPA Models of Hydraulic
Conductivity and Air Permeability . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.6 Electrical Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.6.1 Effective-Medium Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.6.2 Combining Effective-Medium Approximation
and Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.6.3 Critical-Path Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
xiv Contents
7.6.4 Renormalization Group Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.6.5 Renormalized Effective-Medium
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.6.6 Percolation and CPA models of Electrical
Conductivity and Electrokinetic Coupling . . . . . . . . . . 146
7.7 Thermal Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.7.1 Percolation Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.7.2 Effective-Medium Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.7.3 Percolation-Modified Effective-Medium
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.7.4 Universality Across Flow and Transport
Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8 Mixing and Dispersion in Flow Through Porous Media . . . . . . . . . . . 155
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.1.1 The Phenomenon of Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.2 Mechanisms of Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.3 The Convective–Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.4 Taylor–Aris Dispersion in a Capillary Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.5 Classification of Dispersion Regimes in Porous Media . . . . . . . . 160
8.6 Percolation and Pore-Network Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.7 Effect of Percolation and Connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.7.1 Scaling Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.8 Critical-Path Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.9 Comparison with Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9 Multiphase Fluid Flow in Porous Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.2 Random Percolation Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.3 Computing the Relative Permeabilities with Random
Percolation Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.3.1 Use of the Bethe Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.4 Random Site-Correlated Bond Percolation Models . . . . . . . . . . . 185
9.5.1 Comparison with Experimental Data . . . . . . . . . . . . . . 186
9.6 Flow of Thin Wetting Films in Pores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.7 Invasion Percolation with Two Invaders and Two
Defenders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.8 Random Percolation with Trapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.9 Roughening and Pinning of a Fluid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.10 Comparison with Experimental Data and Relation
with Directed Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.11 Finite-Size Effects and Devil’s Staircase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Contents xv
9.12 Displacement Under the Influence of Gravity: Gradient

Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.12.1 Comparison with Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.13 Immiscible Displacements at Finite Capillary Numbers:
Site-Bond Invasion Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.14 Evaporation and Drying in Porous Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.14.1 Pore-Network Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.14.2 Scaling Theory of Drying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10 Percolation in Evolving Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.2 Noncatalytic Gas–Solid Reactions with Fragmentation . . . . . . . 209
10.2.1 The Reaction-Limited Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.2.2 Diffusion-Limited Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.3 Percolation Models of Coal Gasification
with Fragmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.3.1 The Reaction-Limited Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.3.1.1 Statistics of Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.3.1.2 Chemical Reactions and Kinetics . . . . . . . . 215
10.3.1.3 Comparison with Experimental Data . . . . . 218
10.3.2 Hybrid Percolation-Continuum Models
of Diffusion-Limited Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.3.3 Pore-Network Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.3.3.1 Fragmentation During Gasification . . . . . . . 223
10.4 Noncatalytic Gas–Solid Reactions with Pore Blocking . . . . . . . . 224
10.5 Percolation Models of Catalyst Deactivation . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.5.1 Reaction-Limited Deactivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.5.2 Diffusion-Limited Deactivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.5.2.1 Hybrid Continuum Models . . . . . . . . . . . . . . 231
10.5.2.2 Pore-Network Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.5.3 Catalyst Deactivation at the Reactor Scale . . . . . . . . . . 234
10.6 Reaction Kinetics and Diffusion-Controlled Annihilation . . . . . 235
10.7 Clogging of Porous Media by Precipitation of Particles
Suspended in a Flowing Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11 Vector Percolation and Rigidity of Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.2 Derivation of Elasstic Networks From Continuum
Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.3 The Born Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
11.4 The Central-Force Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.4.1 Elastic Networks in Biological Materials . . . . . . . . . . . 250
11.5 Static and Dynamic Rigidity and Floppiness of Networks . . . . . 251
11.6 Rigidity Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.7 Elastic and Superelastic Percolation Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.7.1 Numerical Simulation and Finite-Size Scaling . . . . . . 255
xvi Contents
11.7.2 The Correlation Length of Rigidity Percolation . . . . . 256

11.7.3 Finite-Size Scaling Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.8 The Force Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11.9 Determination of the Elastic Percolation Threshold . . . . . . . . . . . 258
11.9.1 Estimating the Percolation Threshold
by Moments of the Force Distribution . . . . . . . . . . . . . 258
11.9.2 Constraint-Counting Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.9.3 The Pebble Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
11.10 Elastic Percolation Networks with Bond-Bending Forces . . . . . . 261
11.10.1 The Percolation Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
11.10.2 The Force Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
11.11 Nature of Phase Transition in Elastic Percolation Netwoks . . . . 265
11.12 Scaling Properties of the Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.13 Poor Man’s Percolation: Effective-Medium
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
11.13.1 The Born Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.13.2 Central-Force Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
11.13.3 The Bond-Bending Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
11.13.4 Filamentous Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
11.15 Fixed Points of Elastic Percolation and University
of the Poisson’s Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
12 Transport Properties of Composite Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
12.2 Electrical Conductivity of Powders and Polymer
Composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
12.2.1 Powders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
12.2.2 Polymer Composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
12.2.3 Polymer–Graphene Composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
12.2.4 Polymer–Carbon Nanotube Composites . . . . . . . . . . . . 290
12.2.5 Effect of Thickness and Particle-Size
Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
12.3 Metal–Insulators Composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
12.4 Tunneling Versus Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
12.5 AC Conductivity and Dielectric Properties
of Heterogeneous Composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
12.5.1 AC Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.5.2 Dielectric Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.5.3 Experimental Verification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.6 Hall Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
12.6.2 Scaling Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Contents xvii
12.7 Mechanical Properties of Heterogeneous Materials . . . . . . . . . . . 313

12.7.1 Foams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
12.7.2 Porous Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
12.7.3 Superrigid Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
12.8 Percolation Aspects of Classical Superconductivity . . . . . . . . . . 318
12.8.1 Magnetoconductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
12.8.2 Magnetic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12.8.3.1 The London Penetration Depth . . . . . . . . . . 322
12.8.3.2 The Specific Heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
12.8.3.3 The Critical Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
12.8.3.4 The Critical Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
12.8.3.5 Differential Diamagnetic
Susceptibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
12.9 Thermal Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
13 Rheology and Elastic Properties of Network Glasses,
Branched Polymers, and Gels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
13.2 Connectivity of Network Glasses and Rigidity Transition . . . . . 335
13.2.1 Experimental Confirmation
of the Phillips–Thorpe Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
13.2.2 Network Glasses with High Coordination
Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
13.2.3 Network Glasses with Dangling Atoms . . . . . . . . . . . . 341
13.2.4 Stress Transition in Network Glasses . . . . . . . . . . . . . . 342
13.3 Branched Polymers and Gels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
13.3.1 Percolation Model of Polymerization
and Gelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
13.3.2 Morphology of Branched Polymers and Gels . . . . . . . 345
13.3.2.1 Gel Polymers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
13.3.2.2 Experimental Confirmation
of the Percolation Model . . . . . . . . . . . . . . . 346
13.3.2.3 Lattice Animal Model of Branched
Polymers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
13.3.2.4 Experimental Confirmation
of Lattice Animal Model
of Branched Polymers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
13.4 Elastic Moduli of Critical Gels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
13.4.1 The Spectrum of the Relaxation Times . . . . . . . . . . . . . 355
13.4.2 Experimental Confirmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
13.4.3 Chemical Gels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
13.4.4 Enthalpic Versus Entropic Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . 359
13.4.5 Physical Gels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
13.5 Viscosity of Near Critical Gelling Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
xviii Contents
14 Vibrational Density of States of Heterogeneous Materials . . . . . . . . . 365

14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
14.2 Scalar Percolation Approximation for the Density of States . . . . 367
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
14.2.2 Scaling Theory of Phonons and Fractons . . . . . . . . . . . 370
14.2.3 Crossover from Phonons to Fractons . . . . . . . . . . . . . . 372
14.2.4 Experimental and Numerical Confirmation
of the Scalar Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
14.2.4.1 Large-Scale Numerical Simulations . . . . . . 373
14.2.4.2 Experimental Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
14.3 Vector Percolation and Vibrational Density of States . . . . . . . . . 381
14.3.1 Scaling Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
14.3.2 Crossover Between Scalar and Vector Models
of Density of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
14.3.3 Experimental and Numerical Confirmation
of Vector Percolation Model of Density of States . . . . 384
14.3.3.1 Large-Scale Computer Simulation . . . . . . . 384
14.3.3.2 Experimental Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
15 Hopping Conductivity of Heterogeneous Materials . . . . . . . . . . . . . . . 389
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
15.2 The Miller-Abrahams Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
15.3 The Symmetric Hopping Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
15.3.1 Exact Solution for One-Dimensional Materials . . . . . . 394
15.3.2 Exact Solution for Bethe Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
15.4 Poor Man’s Percolation: EMA Derivation of Mott’s
Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
15.5.1 Effect of a Variable Density of States . . . . . . . . . . . . . . 406
15.5.2 Effect of Coulomb Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
15.6 Effect of Fractal Morphology on Hopping Conductivity . . . . . . . 413
15.7 Universality of Frequency-Dependent Hopping
Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
16 Applications of Invasion Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
16.3 Extensions of Invasion Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
16.3.1 Self-Avoiding and Loopless Compressible
Invasion Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
16.3.2 Gradient Invasion Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
16.3.3 Thermal Invasion Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Contents xix
16.4 Dynamics of Invasion Percolation: The Relation

with Self-Organized Criticality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
16.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
16.5.1 Modeling of Stream Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
16.5.2 Healthy and Cancerous Vascular Networks . . . . . . . . . 428
16.5.3 Simulating Spin Systems Near and Away
from Criticality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
16.5.4 Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
16.5.5 The Queuing Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
16.5.6 Social Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
17 Percolation in Random Graphs and Complex Networks . . . . . . . . . . . 435
17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
17.2 Erdös-Rényi Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
17.2.1 Properties of Erdös-Réyni Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
17.2.2 Percolation in Erdös-Réyni Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
17.3 Small-World and Scale-Free Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
17.4 Generation of Scale-Free Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
17.5 Percolation Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
18 Percolation in Biological Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
18.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
18.2 Antigen–Antibody Reactions and Aggregation . . . . . . . . . . . . . . 444
18.3 Network Formation on Lymphocyte Membranes . . . . . . . . . . . . . 446
18.4 Percolation in Immunological Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
18.5 Percolation Conductivity in Biological Materials . . . . . . . . . . . . . 449
18.6 Neuromorphic Computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
18.7 Sensory Transmission and Loss of Consciousness . . . . . . . . . . . . 459
18.8 Actomyosin Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
18.9 Percolation Transition in the Mutation-Propagating
Module Cluster in Colorectal Tumorigenesis . . . . . . . . . . . . . . . . 462
18.10 Essential Nodes in Brain: Optimal Percolation . . . . . . . . . . . . . . . 466
18.11 Flexibility of Thought in High Creative Individuals . . . . . . . . . . 468
18.12 Cardiac Fibrosis and Arrhythmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
18.13 Connectivity of Temporal Hierarchical Mobility
Networks During COVID-19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
18.14 Protein Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
18.15 Molecular Motors and Mechanical Properties of Cells
and Active Gels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
18.16 Percolation and Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
18.17 Microbial Communications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
19 Percolation Theory, Ecology, Hydrology, and Geochemistry . . . . . . . 489
19.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
19.2 Chemical Weathering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
19.3 The Water Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
xx Contents
19.4 Scaling Theory of Low-Temperature Geochemistry . . . . . . . . . . 492

19.5 Weathering Rinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
19.6 Vegetation Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
19.7 River Drainage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
19.8 Water Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
19.9 Variability and Climate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
19.10 Plants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
19.11 Improving Production of Plants with Plague Susceptibility . . . . 507
19.12 Spread of Fungi in Soil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
19.13 Pattern of Tropical Deforestation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
20 Explosive Percolation and Its Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
20.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
20.2 Explosive Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
20.2.1 Explosive Percolation Through the Achlioptas
Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
20.2.2 Explosive Percolation Through Achlioptas
Process and the Product Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
20.2.3 Explosive Percolation Through the BFW Model . . . . . 522
20.2.4 Explosive Percolation by the n-Edge Model . . . . . . . . 522
20.2.5 Explosive Percolation by the Spanning
Cluster—Avoiding Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
20.3 Continuous Versus Discontinuous Phase Transition:
Powder Keg and Unusual Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
20.3.1 The Importance of Selecting the Correct Order
Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
20.3.2 Reversible Versus Irreversible Phase Transition . . . . . 527
20.4 Applications of Explosive Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
20.4.1 Electric Breakdown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
20.4.2 Formation of Bundles of Nanotubes
with Uniform Size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
20.4.3 Crackling Noise in Fractional Percolation . . . . . . . . . . 533
20.4.4 Diffusion-Limited Cluster Aggregation . . . . . . . . . . . . 534
20.4.5 Emergence of Molecular Life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
20.4.6 Evolutionary Process in Protein Networks . . . . . . . . . . 537
20.4.7 Global Trade Network and Transportation . . . . . . . . . . 539
20.4.8 Social Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
20.4.9 Explosive Immunization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
20.4.10 Optimal Dismantling and Explosive “Death” . . . . . . . 546
20.4.11 Spreading of Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
21 Directed Percolation and Its Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
21.2 Statistics of Vortex Filaments and Percolation . . . . . . . . . . . . . . . 550
21.3 Directed Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
Contents xxi
21.4 General Model of Directed Percolation and Random

Resistor–Diode Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
21.5 Directed Percolation and Transition Between Laminar
and Turbulent Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
21.5.1 Numerical Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
21.5.2 Experimental Confirmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
21.6 Turbulent Flow and Ecological Collapse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
21.7 Catalytic Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
21.8 Depinning of Interface in Two-Phase Flow in Porous
Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
21.9 Flowing Sand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
21.10 Neuronal Avalanche in Brain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
21.11 Satellite Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
22 Percolation in Large-Scale Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
22.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
22.2 Mobile Ad Hoc Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
22.3 Topography of Earth and Moon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
22.4 Ancient Sea Level on Mars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
22.5 Forest Fires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
22.5.1 Self-Organized Critical Model of Forrest Fires . . . . . . 600
22.6 Percolation in Sea Ice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
22.7 Lifecycle of Industrial Products and Consumer Demand . . . . . . 604
22.8 Spreading of Technological Innovations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
22.9 Social Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
Chapter 1
Macroscopic Connectivity as the
Essential Characteristic of
Heterogeneous Systems
1.1 Introduction
Let us begin this book with the introduction of a paper of the author published nearly
four decades ago (Hughes et al. 1984), which has been modified slightly:
It is a fact of life, which is as challenging to the mind of the scientists as it is frus-
trating to their aspirations, that Nature is disordered. In nowhere but the theoreti-
cian’s supermarket can we buy clean, pure, perfectly characterized and geometrically
immaculate materials. Engineers work in a world of composites and mixtures, and
biologists must grapple with even more complex systems. Even the experimentalist
who focusses on the purest of substances—carefully grown crystals—can seldom
escape the effects of defects, trace impurities, and finite boundaries. There are few
concepts in science more elegant to contemplate than an infinite, perfectly periodic
crystal lattice (which physicist have been using for decades), and few systems as
remote from experimental reality. We are, therefore, obliged to come to terms with
disordered media: variations in shape and constitution often so ill-characterized that
we must deem the media’s morphology to be random, if we are to describe it. The
morphology of a medium has two major aspects: topology—the interconnectiveness
of individual microscopic elements of the medium—and geometry—the shape and
size of the individual elements.
As if this were not enough bad news, we know that however random the stage
upon which the drama of Nature is played out, it is also at times very difficult to
follow the drama’s script. We believe, at least above the quantum mechanical level,
in the doctrine of determinism, yet important continuous systems exist in which
deterministic descriptions are beyond hope. A well-known example is diffusion for
which, over certain length scales, we observe an apparent random process, implying
that diffusion is governed by disordered dynamics.
The statement remains as valid as ever and, therefore, we still must address the
same type of phenomena occurring around us. Nature is disordered, both in her struc-
ture and the processes that she supports, with the two types of disorder often being
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2023 1

M. Sahimi, Applications of Percolation Theory, Applied Mathematical Sciences 213,
https://doi.org/10.1007/978-3-031-20386-2_1
2 1 Macroscopic Connectivity as the Essential Characteristic …
concurrent and coupled. An example is fluid flow through a porous medium where
the interplay between the disordered morphology of the pore space and the dynam-
ics of fluid motion gives rise to a rich variety of phenomena, some of which will
be described later in this book. Despite considerable progress in understanding flow
phenomena in porous materials (Sahimi 2011), many problems remain unsolved, pre-
cisely due to the disordered morphology of the pore space and disordered dynamics
of fluid flow.
Despite the rather obvious disorder in Nature, many phenomena that occur in
heterogeneous systems were, for several decades, analyzed by physicists, engineers,
and others only by statistical mechanics, or by the application of such models as
Boltzmann’s equation. Remarkable progress was made by representing the systems
of interest as periodic structures or lattices. As one always must confront the real
world, however, it became clear that a statistical physics of disordered media must be
devised that can provide methods for predicting the macroscopic properties of such
systems from laws governing the microscopic world or, alternatively, for deducing
microscopic properties of such systems from the macroscopic information that can
be measured by experimental techniques. Such a statistical physics of disordered
systems must take into account the effect of both the system’s connectivity and
geometry. But, whereas the role of geometry had already been appreciated in the early
years of twentieth century, the effect of topology was ignored for many decades, or
was treated in an unrealistic manner, simply because it was thought to be too difficult
to be taken into account.
Science never stops its progress. A study of its history indicates, however, that its
progress is not usually made with a constant rate, but rather in a sporadic manner.
There are periods of time when a phenomenon appears so difficult that we do not even
know where to start analyzing it, but then there are also periods when a quantum-leap
discovery removes an obstacle to scientific advances and enables great progress. An
example is the discovery of a new class of superconducting materials. Supercon-
ductivity was first discovered by the Dutch physicist Heike Kamerlingh-Onnes1 in
1911 in metallic mercury below 4 K. It took 75 years to fabricate materials that
were superconducting at temperatures much higher than 4 K. IBM researchers Bed-
norz and Müller (1986) showed that it is possible to have superconductivity in (La,
Ba)CuO alloys at temperatures Tc > 30 K. Subsequently, it was shown by Takagi
et al. (1987) that the phase La2−x Bax CuO4 with x ∼ 0.15 is responsible for bulk
superconductivity with Tc ∼ 35 K. Since then thousands of papers have been pub-
lished on the subject of high-temperature superconductivity, and materials have been
fabricated that become superconducting at room temperature (Snider et al. 2020),
albeit at very high pressures. The discovery had such a great impact on the subject
1Heike Kamerlingh-Onnes (1853–1926) was a Dutch physicist who pioneered refrigeration tech-
niques, and utilized them to study how materials behave when cooled to nearly absolute zero. He
succeeded in liquifying helium, for which he was awarded the Nobel Prize in physics in 1913,
discovered superconductivity in 1911, and coined the word “enthalpy” in thermodynamics. The
Onnes effect that refers to the creeping of superfluid helium is named in his honor, as is the crater
Kamerlingh-Onnes on the Moon.
1.2 What is Percolation? 3
that Bednorz and Müller were honored with the Noble Prize in physics in 1987, only
a year after publishing their work.
Over the past five decades, statistical physics of disordered systems has been in a
rapidly moving stage of progress, partly because standard methods for calculating the
average properties of disordered media have been established by the theoreticians,
while, at the same time, more and more experimental data have been accumulated
due to the advances in instrumentation and development of many novel experimental
techniques. But, perhaps, one of most important reasons for the rapid development
of the statistical physics of disordered media is that the role of the connectivity of
the microscopic elements of a disordered system and its effect on its macroscopic
properties has been appreciated, and taken into account. This has become possible
through the development of percolation theory, the applications of which are the
subject of this book.
1.2 What is Percolation?
In early September of 1978, I arrived in Minneapolis, Minnesota, to attend graduate

school and study for Ph.D. degree at the University of Minnesota. For nearly 6 years
I lived in Minneapolis, a wonderful city of many lakes and, naturally, I wanted to
live near a lake to enjoy the beautiful (but humid) summers, and to watch little kids
skate on the lake during the long winters, and people do ice fishing. The magnificent
Mississippi River runs through Minneapolis, dividing the campus of the University
into the East and West Bank sections, and the chemical engineering department
where I was studying was in the East Bank. For nearly 2 years, I lived in southeast
Minneapolis near Lake Calhoun, about 6 miles from the campus (via Interstate I94).
Every winter Minnesota experiences many snow storms that force temporary closure
of many streets in one or both directions for sweeping the snow. Even during summers
some streets are closed for repairing the damage caused by the long winters, to the
point that there is a saying among people, “There are two seasons in Minnesota: winter
and road construction.” There are also many other types of “defects” or disorder in
the structure of the streets of Minneapolis. For example, at that time there was a
large K-Mart store that blocked Nicollet Avenue, one of the most important routes
in the city that starts in the downtown area and ends in the suburb in the south. Many
railways also cut the streets, and numerous lakes have created natural blockage for
them. It often seems as if the streets are closed at random.
Fig. 1.1 Idealization of

streets of Minneapolis,
Minnesota, and determining
a percolating path between
points A and B
For my doctoral studies I had two great mentors: Skip Scriven2 and Ted Davis,3
in the then top-ranked chemical engineering department in the United States. I was
expected to work on my research projects 6 days a week, from Monday through
Saturday (working on Sundays was “voluntary,” but strongly “encouraged!”). The
question was: what fraction of the streets of Minneapolis (i.e., the number of open
streets divided by the total number of streets) between my apartment and the campus
had to be open to traffic in order for me to reach the university on time (particularly
on Saturdays, when either Skip or Ted “randomly” stopped by their students’ office
to see how they were doing)?
To answer the question, suppose that we idealize the streets of Minneapolis as the
bonds of a very large square network. Some of the streets were always blocked, with
the blockage caused by heavy snow, a rail track, a lake, or a store like K-Mart; see
Fig. 1.1. So, suppose that the fraction of the streets open to traffic was p. Clearly,
if too many streets were closed, I could not reach the university on time. If, on the
other hand, most streets were open, almost any route would take me to the campus.
Naturally, then, one is led to thinking that there must be a critical fraction pc of open
streets, such that for p < pc I could not reach the University, but for p > pc I could
always get to work on time. As we will see later on, p = pc is a special point.
2 Lawrence Edward “Skip” Scriven (1931–2007) was Regents Professor of Chemical Engineer-
ing and Materials Science at the University of Minnesota. A member of the National Academy
of Engineering, he made seminal contributions to coating flows (for which an award is named in
his honor), flow through porous media, interfacial phenomena, and complex fluids. He received
numerous awards from the American Institute of Chemical Engineering, American Chemical Soci-
ety, American Physical Society, and American Mathematical Society.
3 Howard Theodore “Ted” Davis (1937–2009) was Regents Professor of Chemical Engineering
and Materials Science, former Chairman of his Department, and former Dean of the Institute of
Technology at the University of Minnesota. A member of the National Academy of Engineering,
he made fundamental contributions to statistical mechanics of surfaces and interfaces, flow through
porous media, and complex fluids.
1.3 The Scope of the Book 5
Let us consider another example. Suppose that, instead of representing the streets
of Minneapolis, the bonds of the square network of Fig. 1.1 represent conductors,
some of which have a unit conductance, while the rest are insulators with zero
conductance. Set the voltage at point A in Fig. 1.1 to unity, and at B at zero. The
question is: what is the minimum fraction of the bonds with a unit (or any other
non-zero value) conductance, such that electrical current flows from A to B? The
answer to this seemingly simple question is relevant to the technologically important
question of the conductivity of composite materials, such as carbon black composites
that are widely used in many applications, which consist of a mixture of conducting
and insulating phases. As in the first example, if too many bonds—resistors—are
insulating, no current will flow from A to B, whereas for sufficiently large number
of conducting bonds electrical current flows between the two points with ease, and
the system as a whole is a conductor.
Such questions are answered by percolation theory. Percolation tells us when
a system is macroscopically connected. The critical point at which the transition
between a macroscopically connected system and a disconnected one occurs for the
first time is called the percolation threshold of the system. Because in its simplest
form a percolation network is generated by simply blocking bonds at random, it is
useful as a simple model of disordered media. Moreover, since the main concepts of
percolation theory are simple, writing a computer program for simulating a percola-
tion process is straightforward and, therefore, percolation can also serve as a simple
tool for introducing students to computer simulations. Stauffer4 and Aharony (1994)
give a simple introduction to essential concepts of percolation. In Chap. 2, we will
summarize the essential concepts and ideas of percolation theory.
1.3 The Scope of the Book
Over the past five decades percolation has been applied to modeling of a wide variety
of phenomena in disordered media. It is very difficult, if not impossible, to describe
all such applications in one book. In selecting those applications that are described
in this book, three criteria were used:
(i) The application is quantitative, in the sense that there is a quantitative com-
parison between the predictions of the percolation and experimental data, or with
credible computer simulations.
(ii) The problem is interesting and has scientific, societal, or technological impor-
tance.
(iii) This author has a clear understanding of the problem, and how the application
of percolation has been developed.
4Dietrich Stauffer (1943–2019) was a Professor of Physics at Cologne University in Germany, who
made seminal contributions to percolation theory, polymerization and gelation, phase transition, and
applications of statistical physics to social and biological problems.
Based on the three criteria, I have selected the classes of problems to which
percolation has been applied. Chapter 2 contains a summary of the main properties
that will be used in the rest of this book.
Every effort has been made to explain the percolation approach in simple terms. In
all cases, the predictions are compared with the experimental data, as well as precise
numerical simulations, in order to establish the relevance of percolation concepts and
their application to the problem. We also give what we believe are the most relevant
references to each subject, or provide references to recent reviews on the subjects.
1.4 Further Reading
The focus of this book is on applications of percolation theory. There are several other
books that describe theoretical foundations of percolation. The books by Kesten5
(1982) and Grimmett (1999) focus on mathematical aspects of percolation. The
two-volume book by Hughes (1995) has excellent discussions of theoretical aspects
of percolation, as well as numerical results. The book by Meester and Roy (1996)
focuses on continuum percolation, whose main features will be described in Chap. 3.
The book by Bollobás and Riordan (2006) is limited in scope, but presents good
discussions of the classical results, as well as application of conformal invariance
to two-dimensional percolation systems, and site percolation in Voronoi structures
(see Chap. 3). The book edited by Sahimi and Hunt (2021) represents a collection
of reviews, written by leading experts, on various aspects of percolation, including
some of the issues not discussed in this book.
The books by Sahimi (2011), Hunt et al. (2014a), and King and Masihi (2018)
develop application of percolation theory to problems in porous media, from pore
to field scales. The two-volume book by Sahimi (2003a, b) describes in great detail
the applications of percolation theory to predicting and estimating properties of
heterogeneous materials, while the book by Torquato (2002) also covers, but by a
much more limited scope, some aspects of the same. Moss de Oliveira et al. (1999)
describe some applications of percolation to social problems, from war and money,
to computers.
A relatively recent and very good review of percolation is that of Saberi (2015).
5 Harry Kesten (1931–2019) was an American mathematician. A member of the National Academy
of Sciences, Kesten made important contributions to theory of random walks on groups and graphs,
random matrices, branching processes, and percolation theory, for which he received numerous
awards.
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„Eine Frau, die liebt, nimmt den Kampf auf um den geliebten
Mann, wenn sie nicht ganz ohne Leidenschaft ist!“ fuhr Max Storf
ernst zu reden fort. „Verzeihen Sie mir, gnädige Frau, aber Sie
tragen selbst die Schuld daran, daß ich so zu Ihnen spreche!“ fügte
er hinzu.
Adele Altwirth sah mit einem vollen Blick ihrer grauen, beseelten
Augen zu dem Arzte auf.
„Warum sprechen Sie von mir?“ frug sie dann. „Es handelt sich
doch gar nicht um mich!“ sagte sie abweisend.
„Nein, sondern wohl um mich ...“ pflichtete er nachsichtig
lächelnd bei. „Ich soll als das räudige Schaf ...“
„Können wir nicht ernst bleiben, Herr Doktor?“
„Ja. Aber dann sprechen wir von Ihnen, gnädige Frau!“ sagte
Max Storf fest.
Wiederum herrschte eine Weile tiefes Schweigen zwischen den
beiden. Dann sagte Adele nachdenklich: „Was hat diese Frau nur an
sich, daß sie alle Männer wie im Sturm erobert?“
„Dasjenige, was den einen fehlt und was die andern in falschem
Stolz zu überwinden trachten ... Leidenschaft!“ erwiderte Max Storf
bestimmt.
„Ja ... das mag es wohl sein ...“ sprach Adele mit einem
träumerischen Blick. Dann erhob sie sich und reichte dem Arzt die
Hand. „Und nun haben Sie dasjenige mit mir getan, was ich
eigentlich Ihnen tun wollte. Sie haben mich auf die richtige Bahn
gewiesen. Ich fürchte nur, Sie kommen zu spät ...“ fügte sie leise
hinzu.
Es klang Traurigkeit in ihren Worten. Eine Resignation, die zu
hören dem Arzt wehe tat. Max Storf war gleichfalls aufgestanden
und führte die Hand der jungen Frau ehrfurchtsvoll an seine Lippen.
„Sie sind mir doch nicht böse, Herr Doktor?“ frug Adele warm.
„Nicht im mindesten, gnädige Frau!“ versicherte der Arzt. „Ich
habe allen Grund, dankbar zu sein.“
„Dankbar? Wieso?“
„Weil ich in die Seele einer reinen Frau schauen durfte!“
entgegnete Max Storf mit Nachdruck. „Ich habe Sie jetzt erst kennen
gelernt.“
Adele Altwirth überkam ein Gefühl des Dankes. Es war lange her,
seitdem sie ein gutes, anerkennendes Wort gehört hatte. Es tat ihr
wohl. So wohl, daß wieder nach langer Zeit jenes strahlende Lächeln
ihr Gesicht verklärte, das ihr ganzes Wesen so warm und innig
erscheinen ließ ...
Max Storf und Frau Adele sprachen von dieser Zeit an oft und
gern miteinander. Sie wichen einander nicht mehr aus wie früher,
sondern freuten sich darauf, sich zu sehen und wie alte, gute
Freunde zu plaudern. Es lag eine Reinheit in dieser Freundschaft.
Eine Reinheit, die auf der Grundlage einer gegenseitigen
Wertschätzung beruhte. Sie waren beide glücklich darüber.
Glücklich, daß sie sich gefunden hatten und einander etwas
bedeuteten im Leben.
Fünfzehntes Kapitel.
D runten am Saggen, in dem vornehmen Villenviertel Innsbrucks,

wohnte Doktor Valentin Rapp mit seiner Frau nun schon seit
einigen Jahren in einer kleinen Villa, die er sich nach seinem
Geschmack hatte bauen lassen. Das erste Stockwerk dieses
Hauses hatte der Rechtsanwalt für sich behalten, während er das
Erdgeschoß vermietet hatte.
Es war ein entzückendes kleines Haus in freier, herrlicher Lage,
mit einem großen Garten ringsherum, den der Rechtsanwalt in den
Stunden seiner Erholung selbst bebaute und pflegte. Da stand er oft
wie ein Arbeiter, hemdärmelig mit Spaten und Schaufel. Wühlte in
der Erde, setzte Blumen und Sträucher ein und legte sich auch eine
kleine Obstzucht an. Valentin Rapp hatte viel Liebe zur Natur und
fühlte den gesunden Trieb zu körperlicher Betätigung in sich.
So sehr sich der Rechtsanwalt in früheren Zeiten gegen eine
Verheiratung und gegen ein eigenes Heim gesträubt hatte, so viel
Sinn und Verständnis für die Ausgestaltung eines solchen bewies er
in den Jahren seiner Ehe. Er liebte sein Heim, das für ihn so viel
trauliches Glück barg, schmückte es mit Liebe und Hingebung aus
und hielt es wie ein Heiligtum.
Vor diesem kleinen Reich, wie er seinen Besitz nannte, mußte
die Sorge Halt machen. Dort durften Mißgunst und hämischer Neid
nicht einkehren. Mit aller Energie hatte sich der Rechtsanwalt Ruhe
vor dem Gerede der Leute verschafft. Er wollte sein Glück und sein
Leben genießen, wie es sich ihm darbot. Nicht in quälende Zweifel
verloren und ohne Trübung wollte er die Stunden der Ruhe und
Erholung ausnützen.
Doktor Rapp hatte es noch nie bereut, daß er die Sophie zur
Frau genommen hatte. Er freute sich über sie. War stolz auf ihre
Fähigkeit, sich den veränderten Lebensbedingungen so geschickt
anzupassen, und war selig über das Maß der Liebe, das sie ihm
noch immer gewährte.
Wohl war auch zu ihm das Gerücht gedrungen von der Untreue
seiner Frau. Aber Valentin Rapp glaubte den Leuten nicht. Er wußte,
wie viel Unheil Mißgunst und Neid in den Ehen der Menschen
anzurichten vermochten. Er wußte, daß es in solchen Fällen galt,
reinen Tisch zu halten und Freunden die Tür zu weisen, die an
seinem Glück zu zweifeln wagten.
Er hielt sich für einzig dazu berechtigt, über Sophie zu urteilen,
und er hielt sich auch für den einzigen Menschen, der imstande war,
Sophiens Charakter und ihre Liebe richtig einzuschätzen.
Dem Rechtsanwalt war es kein Geheimnis, daß seine Frau viel
Verehrung und Bewunderung genoß, und er freute sich darüber. Es
war ihm willkommen, wenn man ihr huldigte. Es bedeutete für ihn
eine Genugtuung, sich um den Besitz dieser schönen Frau beneidet
zu wissen.
Auch ihr kokettes Spiel mit den Männern kannte er von früher
her, wußte, daß sie damals rein geblieben war, und mißtraute ihr
auch jetzt nicht. Gerade dieses kokette Spiel war es ja gewesen, das
ihn damals so gereizt und ihn so weit gebracht hatte, daß er Sophie
heiratete.
Warum sollte er von ihr verlangen, daß sie jetzt, da sie seine
Frau geworden war, anders werden müsse ... hausbacken und
nüchtern? Warum sollte sie ihrem Naturell Gewalt antun?
Der Rechtsanwalt hatte einen felsenfesten Glauben an die Treue
seiner Frau. Schon deshalb, weil er sich immer und zu jeder Zeit von
ihrer Liebe umsorgt fühlte und sich daher auch für den Mittelpunkt
ihres ganzen Lebens halten konnte. Sophie war klug genug, diesen
Glauben immer mehr zu stärken durch eine liebevolle, fast
sklavische Hingebung und durch vollständige Unterordnung unter
den Willen und die Launen ihres Mannes.
Diese Frau verstand es, gut und nachgiebig und sanft zu sein
und demütig. So schmeichelte sie seinem Ehrgeiz und seiner
Selbstherrlichkeit und befestigte in ihm auf diese Art das
eingebildete Bewußtsein, daß er Herr über sie sei, während er in
Wirklichkeit ein Werkzeug war in ihren Händen wie alle die andern.
Immer wieder zeigte sie es ihm und sagte es auch mit Worten,
daß sie ihm dankbar war für die Lebensstellung, die seine Liebe ihr
gegeben hatte. Und darin sagte sie die Wahrheit. Sie war ihm
dankbar. Liebte ihn deswegen und ertrug willig und ohne Murren die
vielen kleinen Launen, die sich mit der Zeit bei dem alternden Manne
einstellten. Sie umgab ihn täglich mit so zahlreichen kleinen
Zärtlichkeiten, daß er ohne besondere Illusion in der Überzeugung
leben konnte, ihr einziger Geliebter zu sein.
Manchmal, in den ersten Jahren ihrer Ehe hatte ihn ihr heißes
Aufflammen erschreckt und ein wenig besorgt gemacht. Dann aber
war sie ruhiger geworden, steter und gleichmäßiger. Und Doktor
Rapp war es zufrieden. Er glaubte, daß es ihm gelungen sei, ihr
aufloderndes Temperament in ruhigere Bahnen zu leiten, und war
froh, diese Klippe so geschickt überwunden zu haben.
Dann kamen die guten Freunde und sprachen ihm von der
Untreue der Frau, und Valentin Rapp wurde unruhig. Ein leises
Mißtrauen blieb zurück. Sophie fühlte es und verscheuchte mit ihrer
Liebe die aufkeimenden Zweifel und machte ihn so sicher, daß er
resolut und fest allen die Tür wies, die ihm von seiner Frau nachteilig
sprechen wollten.
„Haben Sie sie gesehen?“
„Nein!“
„Nicht? Dann sind es nur Vermutungen. Auf bloße Vermutungen
hin fällt man kein Urteil, auch wenn der Schein dafür spricht!“ sagte
er entschlossen. „Kommen’s wieder, wenn Sie was Gewisses
wissen. Nit früher!“ setzte er lakonisch hinzu.
Durch diese unerschütterliche Festigkeit hatte sich der
Rechtsanwalt Ruhe verschafft. Die Leute gaben es auf, ihn zu
warnen. Und Sophie ihrerseits war zu schlau, um sich bei der Tat
erwischen zu lassen. Wie ein Aal entglitt sie immer und immer
wieder selbst den schärfsten Beobachtern. Niemand konnte es mit
Bestimmtheit beweisen, daß sie untreu war. Nur die beiden Frauen,
Hedwig und Adele. Und diese zeugten nicht gegen sie.
Es war zum erstenmal, daß Sophie Rapp so frei und ungeniert
mit einem Manne verkehrte wie jetzt mit dem Maler Felix Altwirth.
Diesmal hatte sie den Kopf verloren, sagten die Leute. Und
neuerdings machten sie den Gatten aufmerksam, daß seine Frau ein
Verhältnis mit dem Maler habe.
„So?“ fragte der Rechtsanwalt kurz und stocherte gleichgültig mit
dem Spaten in der weichen Gartenerde herum. Er war wieder einmal
bei seiner Lieblingsarbeit und stand in gebückter Haltung
hemdärmelig und ohne Weste im Garten.
Neben ihm war ein alter Herr, ein Rechtskollege, der gekommen
war, um sich mit dem Doktor Rapp in einer besonders schwierigen
Prozeßsache zu beraten, deren Vertretung sie beide gemeinsam
übernommen hatten. Bei dieser Gelegenheit hielt es der befreundete
Advokat für seine Pflicht, dem Kollegen ein Wort der Warnung zu
sagen.
„Woher wissen’s denn das so g’wiß, Herr Kollege?“ frug Doktor
Rapp sarkastisch. „Meinen’s, wenn eine schöne Frau sich gern von
einem Künstler malen laßt, muß gleich was Schlechtes dahinter
stecken? Naa, naa! Meine Frau kenn’ ich besser wie Sie alle
miteinander. Und auf Indizienbeweise hin wird nicht verurteilt!“ sagte
Doktor Rapp unerschütterlich.
„Manchesmal doch, Herr Kollege!“ widersprach der andere mit
leichtem Nachdruck.
Die Warnung hatte trotzdem einige Wirkung bei dem
Rechtsanwalt hinterlassen. Eben weil sie von ernster und, wie er
annehmen mußte, auch wohlmeinender Seite kam, dachte er
darüber nach. Und als Sophie sich ganz kurze Zeit darauf in dem
Garten zu ihm gesellte, frisch, lebendig, heiter und unbefangen wie
immer, sah er ihr forschend und mit etwas Mißtrauen in die Augen.
Es war ein lauer Sommerabend. Vom Inn herüber, in dessen
Nähe die Villa des Rechtsanwalts lag, kam eine erquickende Luft. Es
war ruhig und still da draußen. Kein Lärm, kein Wagengerassel der
inneren Stadt drang in diese Ruhe, und kein lautes, mißtöniges
Stimmengewirr von vorüber wandernden Menschen. Nur einzelne
Liebespärchen schritten eng aneinander geschmiegt durch die
einsame Villenstraße, und ganz von ferne hörte man das dumpfe
Rollen des Bahnzuges. In den Bäumen der sorgsam gepflegten
Gärten sangen die Vögel ihr andächtiges Abendlied, zwitscherten
schmelzend von Liebe und Frieden.
Sophie Rapp trug ein helles Sommerkleid und darüber ein
weißes, zartes Spitzenschürzchen. Eine grellrote Schleife in dem
dunkeln Haar verlieh ihrem Rassegesicht einen eigenen
künstlerischen Reiz. Ganz unbefangen frug sie den Gatten, ob er
das Abendbrot in dem Sommerhäuschen einzunehmen wünsche,
das am andern Ende des Gartens stand.
Der Rechtsanwalt nickte stumm und sah ernst auf seine Frau.
Sophie stutzte ein klein wenig. Sie dachte über die Ursache seiner
plötzlichen üblen Laune nach und erriet sofort, daß diese
Veränderung mit dem Besucher in irgendeinem Zusammenhang
stehen mußte.
„Du hast Besuch gehabt, Manni?“ fragte sie und legte ihren Arm
zärtlich in den seinen. „Schau, wirf einmal die Schaufel da weg und
ruh dich ein bissel aus! Du schaust ja so müd’ drein. Wir wollen ein
bissel im Gartenhaus sitzen und plauschen!“ forderte sie ihn munter
auf.
Doktor Rapp warf die Schaufel beiseite, daß sie klirrte, und folgte
seiner Frau in das lauschige, behaglich ausgestattete Sommerhaus.
„Du ... Sophie ...“ fing er dann mißmutig an.
„Ja, Mannderl, was gibt’s denn?“ lachte Sophie und schälte ihm
eine große, saftige Birne, die das Dienstmädchen auf einem Teller
gebracht hatte. „Ist die nit herrlich?“ fragte sie, ihm die Birne zur
Ansicht hinhaltend. „Die mußt du gleich kosten. Noch vor dem
Essen. Damit du mehr Hunger kriegst.“ Dann steckte sie ihm eine
Scheibe in den Mund und biß selbst von der Frucht ab. Übermütig
lachte sie: „Gut war’s! Gelt?“
Der Rechtsanwalt hatte auch lachen müssen, denn bei der
Teilung hatte sie den Löwenanteil abbekommen. „Kannst mir noch
eine in den Mund stecken!“ sagte er jetzt, schon bedeutend
freundlicher gestimmt.
„So ist’s recht!“ Sie nickte zufrieden mit dem Kopf und sah ihn
dann neckisch an. „Gelt, Manni, der hat wieder einmal g’schimpft
über mich?“ Sie deutete mit dem Finger nach dem hohen eisernen
Gartentor, durch das der Besucher verschwunden war.
„G’schimpft nit!“ sagte der Advokat, an der Birne kauend, die sie
ihm nun zum Abbeißen hinhielt. „Er hat nur gemeint, ich soll dich
warnen ...“
„Das heißt, er wollte d i c h warnen, nicht mich!“ korrigierte sie ihn.
„Mit wem hat er mich denn schon wieder im Verdacht?“ forschte sie
und lachte dabei ausgelassen.
„Mit Felix Altwirth, dem Maler.“
Nun platzte Sophie geradezu vor Lachen. Konnte sich gar nicht
mehr halten vor lauter Übermut. „Nein, so was, Schatz! Ist das ein
Esel, dein Kollege! Das ist ja köstlich! Und so was will ein
Menschenkenner sein! Ach, und du, du Dummerl, du lieb’s, du
ungeschickt’s, du blödes, du hast’s ihm geglaubt! Ach du!“ Sie fiel
ihm wie närrisch um den Hals und küßte ihn so heftig, daß er ihr
sanft wehren mußte, da er keine Luft mehr bekam.
„Fressen könnt’ eins so ein Mannsbild, so ein dummes, vor lauter
Lieb’!“ sagte sie und preßte sich innig an ihn. „Und immer wieder
glaubt er so einen Schmarrn, so einen unsinnigen! Ich lauf’ dir schon
noch davon, dir!“ drohte sie ihm scherzhaft. „Wenn du so eifersüchtig
bist! Aber naa!“ meinte sie dann schalkhaft. „G’scheiter nit!“ Sie sah
ihn sehr verliebt an. „Da müßt’ ich dich ja mitnehmen, dich
Tschapperl, dich!“
Und alle Bedenken, die Valentin Rapp gehabt hatte, waren mit
einem Male wie weggeblasen. Er lachte nun auch recht herzlich und
schämte sich vor ihr, daß er so mißtrauisch gewesen war.
Ganz zaghaft warnte er sie dann: „Aber weißt, Sophie, vorsichtig
mußt schon ein bissel sein mit deine Atelierbesuch’. Es ist wegen die
Leut’. Ich hab’ ja nichts dagegen, wenn dich der Altwirth malt. Aber
schön muß er mein Weiberl machen!“ sagte der Rechtsanwalt
verliebt und küßte mit zufriedenem Behagen den vollen Mund des
jungen Weibes ...
Es war noch immer der gleiche Sinnenrausch wie vordem, in
dem Sophie den alternden Mann gebannt hielt. Sie bezauberte ihn
stets aufs neue, belustigte und erheiterte ihn durch ihre losen
Einfälle und den ihr eigenen gesunden Mutterwitz und verblüffte ihn
öfters durch ungekannte und unberechenbare Seiten ihres
Charakters.
Daß sich Sophie jetzt auf einmal so sehr für die Kunst
begeisterte, hielt Valentin Rapp für eine kindliche Freude und gönnte
ihr das Vergnügen, sich von einem Maler verehrt zu wissen. Ja, er
freute sich mit ihr, wie schön sie auf den Bildern geworden war, als
sie ihn einmal gewaltsam mit in Felix Altwirths Atelier schleppte. Dort
konnte sie der Gatte in verschiedenen Skizzen bewundern.
Da Doktor Rapps Kunstverständnis gleich Null war, konnte er die
Bilder nicht so einschätzen, wie das Storf getan hatte. Er sah nur,
daß die Skizzen gut ausgefallen waren und daß seine Frau darauf in
Schönheit prangte. Aus diesem Gefühl heraus beglückwünschte er
den Maler zu seinen Erfolgen und meinte anerkennend, daß Felix
bald größere Werke zur Ausstellung bringen möge.
„Ja ...“ erwiderte der Künstler nicht ohne eine leichte
Anzüglichkeit in seinem Ton. „Wenn ich dann aber wieder keine
Anerkennung finde, wie das erstemal? Ich könne ja überhaupt
nichts, sagten damals die Leute.“
„Ach was!“ mischte sich Sophie resolut ein. „Damals und jetzt!
Das ist ein Unterschied! Jetzt ist es anders! Heute sind Sie wer! Und
das blöde Gewäsch, den Unsinn, den hat ja nur der Patscheider
aufgebracht. Sonst niemand.“ —
Seit jenem Atelierbesuch bei dem Maler Altwirth waren auch die
letzten Reste eines Mißtrauens gegen Sophie in der Seele des
Rechtsanwaltes geschwunden. Er hatte die beiden genau
beobachtet und hatte nicht das geringste Zeichen eines näheren
Einverständnisses, das auf Liebe hätte schließen lassen, entdeckt.
Das, was er sah, war Freundschaft und eine herzliche
Kameradschaft. Valentin Rapp war überzeugt, daß seine Frau den
Maler nur förderte, weil das ihrem warmherzigen und impulsiven
Temperament entsprach.
Daß Sophie warmherzig sein konnte, dankbar, anhänglich und
hilfsbereit, dafür hatte der Rechtsanwalt schon viele Beweise erlebt.
Ganz besonders rührte es ihn immer wieder, wenn seine Frau von
Zeit zu Zeit nach Rattenberg hinunter fuhr, um ihre alte Pflegemutter
aufzusuchen. Mit voll beladenen Armen wanderte sie dann jedesmal
ins Unterland und brachte der Ennemoserin alles dasjenige, womit
sie glaubte, ihr eine Freude bereiten zu können.
Sie hätte die alte Frau gerne zu sich ins Haus genommen. Aber
die Ennemoserin sträubte sich dagegen mit aller Entschiedenheit.
Ein einzigesmal war die alte Frau nach Innsbruck zu Besuch
gekommen. Sie fühlte sich jedoch äußerst unbehaglich in dem
feinen Haus ihrer Pflegetochter und war froh darüber, daß sie schon
nach wenigen Tagen wieder heimfahren konnte ins Unterland, in ihr
kleines, blumengeschmücktes Felsennest.
Wenn Frau Sophie Rapp in Rattenberg war, dann versäumte sie
es niemals, auch hinüber zu wandern ins Kloster zu Mariathal, um
ihre alte, liebe Schwester Salesia wiederzusehen. Jetzt freilich hatte
sie diese Besuche einstellen müssen. Die alte Schwester war seit
ein paar Jahren versetzt worden, nach Schwaz ins „Schwarze
Damenstift“. Die Sophie hatte es ihrem Gatten mit großer Empörung
erzählt und war so wütend gewesen über die Veränderung, daß
Doktor Rapp vor Belustigung fast einen Lachkrampf bekam.
Es war aber auch zu komisch, sich die alte, dicke Schwester
Salesia vorzustellen, wie sie herumhumpelte bei all den vielen
weiblichen Sträflingen in dem Schwazer Frauenzuchthaus, dem der
Volksmund den Übernamen des Schwarzen Damenstiftes
aufgebracht hat. Die heitere, asthmatische alte Schwester Salesia,
an die sich der Rechtsanwalt noch gut erinnern konnte, paßte auch
seiner Ansicht nach gar nicht dahin. Die bloße Vorstellung davon
erweckte immer wieder neue Heiterkeit in ihm.
Sophie war so erzürnt über den Verlust der Schwester Salesia,
daß sie mit dem Gatten ernstlich zu zanken anfing, weil dieser noch
dazu schlechte Witze machte. „Und jetzt lachst du mich auch noch
aus!“ sagte sie vorwurfsvoll und hatte tatsächlich Tränen in den
Augen. „Statt daß ich dir erbarmen tät’, weil ich jetzt das liebe alte
Weibele nimmer sehen kann. Denn dahinein kann ich doch
unmöglich auf Besuch gehen!“ sagte sie und hatte schon wieder den
Schalk in ihrem rassigen, dunklen Gesicht. „Und ich möcht’ sie auch
nit sehen, so eing’sperrter unter die grauslichen Weibsbilder. Pfui
Teufel!“ entrüstete sie sich. „Wie man nur auf so einen Gedanken hat
kommen können! Die paßt ja nur nach Mariathal zu die Blumen im
Garten und ...“
„Sie wird da drunten in Schwaz schon auch bei die Blumen sein!“
tröstete der Rechtsanwalt seine Gattin. „Sei ganz ruhig, die hat
schon ein stilles Pöstele als Sakristanin in der Kirch’ oder bei die
Blumen im Garten. Da wird sie halt irgendwo herumhatschen, dei’
Alte.“
Diese ehrliche Trauer um die einstige Erzieherin gefiel dem
Advokaten ganz besonders gut bei seiner Frau. Und gerade
deshalb, weil man dieses tiefere Gefühl der Sophie nicht zugetraut
hätte, weil ihr loses, flatterhaftes Wesen, die leichtsinnige Art ihres
Benehmens in so seltsamem Gegensatz zu diesem Ernst standen,
deshalb liebte ihn Doktor Rapp an seiner Frau und schätzte ihn hoch
ein ...
Einmal begab es sich, daß der Rechtsanwalt auch Gaudenz Keil,
den Karrner, und die Benedikta Zöttl kennen lernte. Droben im
Oberinntal, in der Nähe von Zirl, hatte es in einem Karrnerlager eine
arge Messerstecherei gegeben. Im jähen Zorn hatten zwei Karrner
blindwütig aufeinander losgestochen. Der eine von ihnen war tödlich
verwundet liegen geblieben, den andern hatten die Gendarmen
abgeholt und nach Innsbruck aufs Gericht geliefert.
Bei der Verhaftung hatte sich das Karrnerweib ganz rabiat
gebärdet, hatte die Gendarmen angefaucht wie ein gereiztes
Raubtier und sich schließlich auf sie gestürzt, um ihnen ins Gesicht
zu schlagen und sie zu kratzen. Den Gendarmen war nichts anderes
übrig geblieben, als beiden, Mann und Weib, die Handschellen
anzulegen und sie gemeinsam einzubringen.
Den ganzen Vorfall hatte der Rechtsanwalt seiner Frau erzählt.
Er wußte, daß sie sich für alles, was Karrnerleute betraf, riesig
interessierte.
Sophie hatte aufmerksam und mit glänzenden Augen zugehört.
Es war ihr bei der Erzählung des Gatten, als sähe sie den Streit
leibhaftig vor sich und als könnte sie die Karrnerin in ihrer
leidenschaftlichen Wut unmittelbar beobachten.
Dann war es ihr mit einem Male ganz seltsam zumute. Es war ihr,
als müsse es die Benedikta gewesen sein, die wie ein Raubtier auf
die Gendarmen losgegangen war. Ganz leise und mit klopfendem
Herzen frug Sophie ihren Gatten nach den Namen der Karrnerleute
und sah ihm erregt und mit atemloser Spannung ins Gesicht. „Wie
heißen denn die Karrnerleut’, Mannderl? Weißt nit?“
Valentin Rapp schaute verwundert auf seine Frau. „Aha!“ sagte
er dann heiter, „Karrnerblut! Hat’s dich wieder! Gelt? So was
interessiert uns halt!“ scherzte er.
„Wie heißen sie?“ frug Sophie dringend und ohne auf seinen
Scherz einzugehen. In gespannter Erwartung schaute sie auf den
Gatten.
„Ich weiß es nicht, Sophie. Ich hab’ mich nicht danach erkundigt!“
gestand er ehrlich. „Aber ich werd’ nachfragen bei Gericht und ...“
fügte er lustig hinzu, „dir zulieb’ die Verteidigung der Karrner
übernehmen.“
Sophie schüttelte heftig den Kopf.
„Nein!“ sagte sie gepreßt. „Nit von ihm.“
„Aber von ihr, gelt, Weiberl?“ neckte sie der Rechtsanwalt.
„Ja!“ erwiderte Sophie ernst. „Wenn es die Benedikta Zöttl ist.
Dann schon.“
Es war tatsächlich der Gaudenz Keil, der in viehischem Jähzorn
das Messer gegen seinen Kameraden gezogen hatte. Die Sophie
frohlockte, als sie es hörte. Ganz unbändig vor Freude war sie
darüber, daß der Gaudenz im Gefängnis saß.
„Wirklich, Mannderl? Ist’s wahr? Gaudenz Keil heißt er?“ fragte
sie immer und immer wieder. „Wie sieht er denn aus? Und was sagt
er denn? Das g’schieht ihm recht! G’hängt soll er werden ... der ...“
grollte sie. Ihre Augen hatten einen tiefen, feurigen Glanz. Sie haßte
ihren ehemaligen Feind noch mit der gleichen Leidenschaft, wie sie
es als Kind getan hatte.
„Ja ...“ sagte der Rechtsanwalt. „Und sie ist die Benedikta Zöttl.“
Etwas verlegen und unsicher sah er dabei auf seine Frau.
Sophie merkte es ihm an, daß er über die neu aufgetauchte
Verwandtschaft wenig erbaut war. „Hast du mit ihr gesprochen?“
fragte sie den Gatten.
Valentin Rapp nickte. „Ja. Ich habe die Verteidigung
übernommen!“ sagte er fast barsch.
Sophie fiel ihm um den Hals und küßte ihn stürmisch. „Mannderl,
gut’s!“ lobte sie ihn und fuhr ihm streichelnd über sein rotes,
aufgedunsenes Gesicht. „Und jetzt hab’ ich noch eine Bitt’ ... Du? ...
Ja? ... Darf ich?“
„Was?“ fragte der Gatte kurz.
„Ich möcht’ reden mit ihr ...“ bat sie schüchtern.
„Muß es sein?“ fragte der Rechtsanwalt. „Ich möcht’ mir die Leut’
nit ins Haus zügeln.“
Sophie biß sich auf die Lippen. Die Rede tat ihr wehe.
„Nein!“ sagte sie dann traurig. „Wenn du nit willst ...“
„Na, also in Gottes Namen, red’ halt mit ihr!“ willigte Valentin
Rapp ein. „Und der Karrner ... willst du den auch sehen?“ fragte er
über eine Weile.
„Den!“ Sophie drehte sich blitzschnell um und sah den Gatten
sprühend an. „Wenn er am Galgen hängt, ja! Sonst nit!“ —
Es war eine ganz kurze Szene des Wiedererkennens, die sich
zwischen Mutter und Tochter abspielte. Apathisch, ohne Freude und
ohne Liebe begrüßte die Karrnerin die junge Frau. Sie saß in einen
Winkel gekauert und ganz in sich versunken da, als Sophie in
Begleitung ihres Gatten, der ihr die Erlaubnis des Gerichtes für
diesen Besuch erwirkt hatte, die Zelle des Gefängnisses betrat.
Ein altes, verhuzeltes, braunes, runzeliges Weib war die
Benedikta geworden. Die Sophie fühlte einen ausgesprochenen
körperlichen Widerwillen, als sie ihr die Hand zum Gruße bot.
Beinahe reute es sie, daß sie sich von Neugierde hieher hatte
treiben lassen.
„Grüß Gott!“ sagte die junge Frau leise, und ihre Stimme klang
etwas gezwungen und unsicher. „Kennst du mich, Benedikta Zöttl?“
frug sie.
Die Karrnerin nickte gleichgültig. „Die Sophal ...“ sagte sie tonlos.
„Freilich. Kenn’ di schon. Hab’ di oft g’sehen. Hab’ dir aufgepaßt,
wenn der Gaudenz nit dabei war!“ kicherte das Weib leise und
schadenfroh in sich hinein. „Unseroans freut si aa, wenn’s a noble
Tochter hat!“ meinte sie. „Aber der Gaudenz hätt’s nit wissen dürfen
... der ...“
„Mag er mich noch immer nit?“ forschte die Sophie und sah sich
schaudernd in dem engen Raum der Zelle um. Eine mäßig große
Pritsche war da an die Wand gerückt, und das stark vergitterte
Fenster, durch welches das Tageslicht hereinfiel, war so hoch oben
angebracht, daß man es nicht einmal mit den Händen erreichen
konnte. Eine bange, abergläubische Furcht überkam die junge Frau,
und fest schmiegte sie sich an den Gatten, der neben ihr stand.
„Er mag di nit!“ bestätigte die Karrnerin gleichgültig und zog die
magern Achseln empor. „’s macht aa nix. Ist guat so!“ nickte sie mit
dem Kopfe. „Hast an braven Mann kriagt! An noblen, ha?“ Ein
stechender Blick aus den schwarzen Augen des Weibes traf den
Rechtsanwalt. „Hast es g’schickt g’macht, Madel! Besser wie i!“ lobte
sie dann.
Sophie stand schweigend vor der Karrnerin und hielt sich fest an
dem Arm ihres Gatten. Sie schämte sich ein wenig über das Lob der
Benedikta.
„Aber der Gaudenz woaß nix davon!“ berichtete das Weib
kichernd und wiegte sich schaukelnd hin und her. Sie hielt ihre Knie
umschlungen und sah listig und schlau zu dem Rechtsanwalt auf.
„Er kennt sie nit amal mehr!“ erzählte sie Doktor Rapp und deutete
mit dem Kopf auf Sophie. „Niemand kennt sie. Koans von die Kinder
woaß eppas von ihr!“ lachte sie schadenfroh.
Sophie atmete befreit auf. Es war ihr recht, daß sie niemand
kannte und niemand von den Karrnerleuten etwas von ihr wußte.
Eine ganze Weile saß die Karrnerin schweigend da und stierte
stumpfsinnig vor sich hin. Dann sah sie plötzlich zu Valentin Rapp
auf und fragte: „Wird er g’hängt, der Gaudenz, ha?“ Es lag eine
heiße Angst in ihrem Blick.
„Die Anklage lautet auf Totschlag ...“ sagte der Rechtsanwalt
ausweichend.
„Totschlag! Dann ist er hin, der Hund!“ stieß die Benedikta wild
hervor. „Recht ist’s! Hat ihn alleweil erzürnt, den Gaudenz!“
Darauf sank sie wieder in sich zusammen, und ihr Gesicht wurde
ganz eingefallen vor sorgenvollem Gram. „Der Gaudenz ...“ kam es
stöhnend über ihre Lippen. Es war ein weher Schmerz, der in
diesem Ton lag.
„Totschlag ist nit Mord!“ versuchte sie der Rechtsanwalt zu
trösten. „Er wird Zuchthaus kriegen.“
„Eing’sperrt ...“ Das Weib atmete erleichtert auf. Dann
wiederholte sie leise: „Eing’sperrt ... fort ... alloan ... Was nutzt’s mi ...
hab’ ihn nimmer, den Gaudenz!“
„Hast ihn so gern ... Mutter?“ frug Sophie fast flüsternd. Ein
weiches Erbarmen gab ihr diese Anrede als etwas
Selbstverständliches in den Mund.
„Gern?“ Die Benedikta flammte auf. „Jahr und Tag bin i mit ihm
gezogen!“ sagte sie leidenschaftlich. „Und hab’ Kinder g’habt von
ihm, oans nach dem andern. I werd’ ihn wohl gern g’habt haben!“
fügte sie dann wieder gleichgültig werdend hinzu.
„Und jetzt?“ frug Sophie weiter.
Die Karrnerin duckte sich noch enger in ihrem Winkel zusammen.
„Den ... dein’ Vater ... weißt ...“ sagte sie zögernd, „den hab’ i
gern g’habt. So gern ... Nachg’rennt bin i ihm wie a Hunderl, Tag und
Nacht ... Hab’ g’moant, i kann nit leben ohne ihn ... bis er mich sitzen
hat lassen ... verschwunden ist ... Nacher ist der Gaudenz kommen
... Du woaßt’s ja, warum er di nit mögen hat ... Und wenn der
Gaudenz stirbt ... nacher ist alles aus ...“ sprach sie tonlos.
Es lag eine unsagbare Traurigkeit in ihrem Wesen, die so trostlos
war, daß sie nicht nur Sophie, sondern auch den Rechtsanwalt
bedrückte. Valentin Rapp mahnte zum Aufbruch. Ohne Rührung und
ohne Schmerz trennten sich Mutter und Tochter, um sich nie mehr zu
sehen im Leben ...
Nach einigen Wochen der Haft verließ Benedikta Zöttl das
Gefängnis zu Innsbruck. Valentin Rapp hatte ihr eine größere
Summe Geldes ausgehändigt. Die Benedikta starrte gleichgültig auf
das Geld. Kaum, daß sie dem Rechtsanwalt dafür dankte. Aber
dieser verstand ihre Art und wußte, daß die Karrnerin nur mehr ein
einziges Empfinden hatte, das sie vollständig beherrschte. Das war
die Angst um Gaudenz Keil, den Karrner ...
Seit ihrer Begegnung mit der Mutter hatte Sophie Rapp Schluß
gemacht mit ihrer Vergangenheit. Die Erinnerung an ihre trübe
Kindheit, an die Jahre des Elends und der rohen Grausamkeit hatten
die junge Frau seelisch so gedrückt, daß es ein paar Wochen
brauchte, bis sie ihre unbefangene Heiterkeit wiederfand.
Und als ihr Gatte ihr erzählte, daß Gaudenz Keil zu schwerer
Zuchthausstrafe verurteilt worden war und daß die Benedikta gleich
nach dem Urteil spurlos verschwunden sei, da atmete Sophie auf
wie von schwerer Last befreit.
Sie fühlte sich jetzt, nachdem sie von diesen Menschen ganz
losgelöst war, zu denen sie einmal gehört hatte, aufs neue dem
Dasein zurückgegeben. Fühlte, daß die alte, sprühende Lebenslust
wieder Einkehr hielt bei ihr, daß sie wie früher frei und ungezwungen
scherzen und lachen konnte und dem Glück ihrer Liebe leben durfte,
das ihr ein gütiges Schicksal beschieden hatte.
Sechzehntes Kapitel.
I n dem stillen, behaglichen Heim des Apothekers Tiefenbrunner

herrschte heute ein reges Leben. Es war nicht oft der Fall, daß
Frau Therese Gäste bei sich sah. Nur einmal oder zweimal im Jahr.
Da bat sie alle jene Damen zu sich, denen sie eine Einladung
schuldete.
Von Zeit zu Zeit kamen die Damen bald bei dieser und bald bei
einer andern Bekannten zusammen. Es war immer derselbe Kreis
von Damen, und es waren stets die gleichen Meinungen und
Lebensauffassungen, die da geäußert wurden. Gute, gesunde
Ansichten, allerdings etwas rückständig und spießbürgerlich. Das
konnte auch gar nicht anders sein. Neue Elemente hatten so gut wie
gar keinen Zutritt in diesem exklusiven Zirkel.
Ab und zu traf man bei der Frau Professor Haidacher eine
fremde, unbekannte Dame. Die wirkte dann jedesmal wie eine
Erscheinung aus einer andern Welt, die man kaum vom Hörensagen
kannte.
Die Professorin war nicht so wählerisch in ihrem Umgang. Sie
liebte es, mit neuen Menschen bekannt zu werden und ihre
Ansichten kennen zu lernen. Wenn Frau Haidacher einmal eine
wirklich nette Frau traf, so führte sie dieselbe gerne in ihrem
Bekanntenkreis ein. Meistens waren das die Frauen von
Berufskollegen ihres Gatten oder die Offiziersdamen der Garnison.
Frau Haidacher hatte die Hoffnung noch immer nicht
aufgegeben, einen freieren und frischeren Zug in ihren
Gesellschaftskreis zu bringen. Ein jeder dieser Versuche scheiterte
jedoch stets kläglich. Die Damen waren wohl immer artig und

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Applications of Percolation Theory 2nd

Sojourns in Probability Theory and Statistical Physics

Quantum Information Theory 2nd Edition Mark M. Wilde

Effective medium theory principles and applications 2nd

Electronic Structure Basic Theory and Practical Methods

Participatory Action Research Theory and Methods for

Psychology of Emotion 2nd Edition Paula M. Niedenthal

Principles of Econometrics: Theory and Applications 1st

Neoclassical Realist Theory of International Politics

ISSN 0066-5452 ISSN 2196-968X (electronic)

Mathematics Subject Classification: 60K35, 82B43, 82B44, 60K37, 60K40, 60-02

1st edition: © CRC Press 1994

Los Angeles, CA, USA Muhammad Sahimi

Disorder plays a fundamental role in many processes of industrial and scientific

the quantitative accuracy of the predictions. Although a theoretician may justifiably

Los Angeles, CA, USA Muhammad Sahimi

1 Macroscopic Connectivity as the Essential Characteristic

3 Extensions of the Classical Percolation Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Connectivity of Fracture and Fault Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.6.4 Renormalization Group Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.12 Displacement Under the Influence of Gravity: Gradient

11.7.2 The Correlation Length of Rigidity Percolation . . . . . 256

12.7 Mechanical Properties of Heterogeneous Materials . . . . . . . . . . . 313

14 Vibrational Density of States of Heterogeneous Materials . . . . . . . . . 365

16.4 Dynamics of Invasion Percolation: The Relation

19.4 Scaling Theory of Low-Temperature Geochemistry . . . . . . . . . . 492

21.4 General Model of Directed Percolation and Random

© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2023 1

1.2 What is Percolation?

In early September of 1978, I arrived in Minneapolis, Minnesota, to attend graduate

Fig. 1.1 Idealization of

1.3 The Scope of the Book

1.4 Further Reading

D runten am Saggen, in dem vornehmen Villenviertel Innsbrucks,

I n dem stillen, behaglichen Heim des Apothekers Tiefenbrunner

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