Ebook Fundamentals of Structural Dynamics PDF Full Chapter PDF

Fundamentals of Structural Dynamics -
eBook PDF
Visit to download the full and correct content document:
https://ebooksecure.com/download/fundamentals-of-structural-dynamics-ebook-pdf/
Fundamentals of
Structural Dynamics
This page intentionally left blank
Fundamentals of
Structural Dynamics
ZHIHUI ZHOU
Central South University, Changsha, Hunan, China
YING WEN
CHENZHI CAI
QINGYUAN ZENG
Elsevier
Radarweg 29, PO Box 211, 1000 AE Amsterdam, Netherlands
The Boulevard, Langford Lane, Kidlington, Oxford OX5 1GB, United Kingdom
50 Hampshire Street, 5th Floor, Cambridge, MA 02139, United States
Copyright © 2021 Central South University Press. Published by Elsevier Inc. All Rights Reserved.
No part of this publication may be reproduced or transmitted in any form or by any means,
electronic or mechanical, including photocopying, recording, or any information storage and
retrieval system, without permission in writing from the publisher. Details on how to seek
permission, further information about the Publisher’s permissions policies and our
arrangements with organizations such as the Copyright Clearance Center and the Copyright
Licensing Agency, can be found at our website: www.elsevier.com/permissions.
This book and the individual contributions contained in it are protected under copyright
by the Publisher (other than as may be noted herein).
Notices
Knowledge and best practice in this field are constantly changing. As new research and
experience broaden our understanding, changes in research methods, professional practices,
or medical treatment may become necessary.
Practitioners and researchers must always rely on their own experience and knowledge in
evaluating and using any information, methods, compounds, or experiments described
herein. In using such information or methods they should be mindful of their own safety
and the safety of others, including parties for whom they have a professional responsibility.
To the fullest extent of the law, neither the Publisher nor the authors, contributors, or
editors, assume any liability for any injury and/or damage to persons or property as a matter
of products liability, negligence or otherwise, or from any use or operation of any methods,
products, instructions, or ideas contained in the material herein.
British Library Cataloguing-in-Publication Data
A catalogue record for this book is available from the British Library
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
A catalog record for this book is available from the Library of Congress
ISBN: 978-0-12-823704-5
For Information on all Elsevier publications

visit our website at https://www.elsevier.com/books-and-journals
Publisher: Glyn Jones

Editorial Project Manager: Naomi Robertson
Production Project Manager: Vijayaraj Purushothaman
Cover Designer: Mark Rogers
Typeset by MPS Limited, Chennai, India
Contents
About the authors ix

Preface xi
1. Overview of structural dynamics 1

1.1 Objective of structural dynamic analysis 1
1.2 Characteristics of structural dynamics 2
1.3 Classification of vibrations 3
1.4 Vibration problems in engineering 6
1.5 Procedures of dynamic response analysis of structures 7
1.5.1 Description of system configuration 7
1.5.2 Analysis of excitation 7
1.5.3 Mechanism of vibration energy dissipation 9
1.5.4 Equation of motion of a system 9
1.5.5 Solution of equation of motion 10
1.5.6 Vibration tests 10
Problems 10
References 11
2. Formulation of equations of motion of systems 13

2.1 System constraints 13
2.2 Representation of system configuration 18
2.3 Real displacements, possible displacements, and virtual displacements 22
2.4 Generalized force 25
2.5 Conservative force and potential energy 30
2.6 Direct equilibrium method 34
2.7 Principle of virtual displacements 35
2.8 Lagrange’s equation 39
2.9 Hamilton’s principle 45
2.10 Principle of total potential energy with a stationary value in
elastic system dynamics 50
2.10.1 Principle of virtual work and principle of total potential
energy with a stationary value in statics 50
2.10.2 Derivation of the principle of total potential energy
with a stationary value in elastic system dynamics 52
2.11 The “set-in-right-position” rule for assembling system matrices
and method of computer implementation in Matlab 59
v
vi Contents
2.11.1 The “set-in-right-position” rule for assembling system matrices 59

2.11.2 Method of computer implementation in Matlab for
assembling system matrices 70
References 75
Problems 75
3. Analysis of dynamic response of SDOF systems 79

3.1 Analysis of free vibrations 79
3.1.1 Undamped free vibrations 79
3.1.2 Damped free vibrations 81
3.1.3 Stability of motion 89
3.2 Response of SDOF systems to harmonic loads 93
3.3 Vibration caused by base motion and vibration isolation 105
3.3.1 Vibration caused by base motion 105
3.3.2 Vibration isolation 110
3.4 Introduction to damping theory 113
3.4.1 Viscous-damping theory 114
3.4.2 Hysteretic-damping theory 117
3.4.3 Frictional damping theory 118
3.5 Evaluation of viscous-damping ratio 118
3.5.1 Free-vibration decay method 119
3.5.2 Resonant amplification method 119
3.5.3 Half-power (band-width) method 120
3.5.4 Resonance energy loss per cycle method 124
3.6 Response of SDOF systems to periodic loads 126
3.7 Response of SDOF systems to impulsive loads 129
3.7.1 Sine-wave impulsive load 129
3.7.2 Rectangular impulsive load 134
3.7.3 Triangular impulsive load 136
3.7.4 Response ratios to different types of impulsive loads 138
3.7.5 Response spectra (shock spectra) 138
3.7.6 Approximate analysis of response to impulsive loads 141
3.8 Time-domain analysis of dynamic response to arbitrary
dynamic loads 143
3.9 Frequency-domain analysis of dynamic response to arbitrary
dynamic loads 146
3.9.1 Express the system response to periodic loads in complex form 147
3.9.2 Fourier integral method 150
References 153
Problems 153
Contents vii
4. Analysis of dynamic response of MDOF systems:

mode superposition method 157
4.1 Analysis of dynamic properties of multidegree-of-freedom systems 157
4.1.1 Natural frequencies, mode shapes, and principal vibration 157
4.1.2 Orthogonality of mode shapes 160
4.1.3 Repeated frequency case 163
4.2 Coupling characteristics and uncoupling procedure of equations
of MDOF systems 165
4.2.1 Coupling characteristics of equations of MDOF systems 165
4.2.2 Uncoupling procedure of equations of MDOF systems 167
4.3 Analysis of free vibration response of undamped systems 171
4.4 Response of undamped systems to arbitrary dynamic loads 175
4.5 Response of damped systems to arbitrary dynamic loads 177
References 184
Problems 185
5. Analysis of dynamic response of continuous systems:

straight beam 187
5.1 Differential equations of motion of undamped straight beam 188
5.2 Modal expansion of displacement and orthogonality of mode
shapes of straight beam 190
5.3 Free vibration analysis of undamped straight beam 195
5.4 Forced vibration analysis of undamped straight beam 201
5.5 Forced vibration analysis of damped straight beam 204
References 209
Problems 209
6. Approximate evaluation of natural frequencies and

mode shapes 211
6.1 Rayleigh energy method 211
6.2 RayleighRitz method 218
6.3 Matrix iteration method 222
6.3.1 Iteration procedure for fundamental frequency and mode 223
6.3.2 Iteration procedure for higher frequencies and modes 226
6.4 Subspace iteration method 229
6.5 Reduction of degrees of freedom in dynamic analysis 237
6.5.1 Preliminary comments 237
6.5.2 Kinematic constraints method 238
6.5.3 Static condensation method 239
viii Contents
6.5.4 RayleighRitz method 241

References 242
Problems 242
7. Step-by-step integration method 245

7.1 Basic idea of step-by-step integration method 245
7.2 Linear acceleration method 247
7.3 Wilson-θ method 252
7.4 Newmark method 255
7.5 Stability and accuracy of step-by-step integration method 257
Problems 266
References 266
Index 267
About the authors
Dr. Zhihui Zhou is currently an associate professor at the School of

Civil Engineering, Central South University (CSU), in China. He
received a PhD in Civil Engineering from CSU in 2007 under the super-
vision of Prof. Qingyuan Zeng. He was invited to study at the University
of Kentucky in 2014. Dr. Zhou’s research interests include train derail-
ment and dynamics of trainbridge (track) systems. He has been the prin-
cipal investigator of several research grants, including the research project
of National Natural Science Foundation of China (a study on the control
theory of running safety and comfort for high-speed trains on bridges), a
scientific research project of China’s Ministry of Railways (a study on
safety of running trains on large span cable-stayed bridges), special and
general projects of the Chinese Postdoctoral Science Foundation, and
some other scientific research projects. Dr. Zhou has published over 30
journal papers as the first author, and two monographs entitled “Lectures
on dynamics of structures” and “Theory and application of train derail-
ment.” He won the first prize of the Science and Technology Progress of
Hunan Province for his study “Theory and application of train derailment”
in 2006.
Dr. Ying Wen was employed in the School of Civil Engineering, CSU,
in China, after obtaining his PhD in 2010, and he was promoted to asso-
ciate professor in 2012. He became a research associate in the Department
of Civil and Structural Engineering, The Hong Kong Polytechnic
University in 2011. In 2014 Dr. Wen was invited to visit the Department
of Aerospace and Mechanical Engineering, University of Southern
California, for a collaborative research on the problem of moving loads
on structures. After he returned to CSU in 2015, Dr. Wen was appointed
as the vice director of the Key Laboratory of Engineering Structures of
Heavy-haul Railway, Ministry of Education. Dr. Wen has interests in
fields of various structural dynamics and stability, especially nonlinear
mechanics of long-span bridges and their dynamic stability under moving
trains. Dr. Wen has published more than 20 journal papers, one of which
is listed as the Top 25 Hottest articles published in “Finite Elements in
Analysis & Design.” He has also published three Chinese monographs
about statics and dynamics of structures as a coauthor. Dr. Wen has
ix
x About the authors
received the awards of the Science and Technology Progress of Hunan

Province (2006) and Zhejiang Province (2011).
Dr. Chenzhi Cai received his BS degree in civil engineering and MS

degree in road and railway engineering from CSU, in China in 2011 and
2015, respectively. He graduated from The Hong Kong Polytechnic
University with a PhD in civil engineering in 2018 and joined the
Department of Bridge Engineering as well as the Wind Tunnel
Laboratory of CSU as an associate professor later that year. Dr. Cai’s main
research interests are the fields of noise and vibration control, train-bridge
interaction dynamics, and train-induced ground vibration isolation. He
has participated in several research projects funded by the Hong Kong
government and has also received research funding from the National
Natural Science Foundation of China and Hunan Provincial Natural
Science Foundation of China. Dr. Cai has published more than 20 papers
in international journals, and some of his work is under consideration for
acceptance by the UK CIBSE Guide.
Prof. Qingyuan Zeng is a distinguished scientist on bridge engineering at

Central South University, in China. He obtained his BS and MS degrees
from the Department of Civil Engineering, Nanchang University and
Department of Engineering Mechanics, Tsinghua University, in 1950 and
1956, respectively. He was elected as a member of the Chinese Academy
of Engineering in 1999 for his great contributions to localglobal interac-
tive buckling behavior of long-span bridge structures, trainbridge inter-
action dynamics and the basic theory of train derailment. He presented
the principle of total potential energy with a stationary value in elastic sys-
tem dynamics and the “set-in-right-position” rule for assembling system
matrices, which is a significant improvement of the classical theory of
structural dynamics and finite element method. Prof. Zeng has an interna-
tional reputation for his originality in the transverse vibration mechanism
and time-varying analysis method of the trainbridge system. He has
authored and coauthored more than 100 journal papers, three monographs,
and three textbooks. He received numerous awards, including the State
Science and Technology Progress Award, Distinguished Achievement
Award for Railway Science and Technology from Zhan Tianyou
Development Foundation, and Honorary Member Award from the China
Railway Society. He has supervised more than 16 MS students and 30 PhD
students in the past three decades.
Preface
Nowadays, the design of engineering structures, for example, long-span

bridges, high-rise buildings, stadiums, airport terminals, and offshore plat-
forms, seeks a large ratio of their load carrying capacity to self-weight to
achieve esthetic pleasure and economy. However, the type of these light-
weight and flexible structures will lead to a large deformation and exces-
sive vibrations under loading. In addition, these structures may suffer from
some extreme excitations, for instance, strong winds, seismic actions,
high-impact collisions, and impacts of water wave flow. Therefore, inves-
tigation of structural behaviors under dynamic loads is essential in order to
achieve a good performance of the structure when satisfying the require-
ment of designed service. The basic concept of structural dynamics is of
great help to engineers in understanding structural vibration and taking
appropriate measures.
This book introduces the fundamental concepts and basic principles of
the “dynamics of structures.” Although the book focuses on the linear
problem in structural dynamics, solutions for some nonlinear problems
have also been briefly introduced. It should be noted that random vibra-
tion is beyond the scope of this book and is not included here. The main
content of this book includes the overview of structural dynamics, the
formulation of equations of motion of systems, the analysis of dynamic
response of SDOF systems, the analysis of dynamic response of MDOF
and continuous systems, the mode superposition method, the approximate
evaluation of natural frequencies and mode shapes, and the step-by-step
integration method.
Three original contributions have been proposed in this book, namely,
the principle of total potential energy with a stationary value in elastic sys-
tem dynamics, the “set-in-right-position” rule for assembling system
matrices, and the method of computer implementation in Matlab.
Moreover, this book introduces the fundamental concepts of structural
dynamics in a concise way rather than with a detailed description, which
is more efficient for abecedarians in understanding the basic concepts and
methods of vibration analysis.
Participants in the writing of this book include Zhihui Zhou, Ying
Wen, Chenzhi Cai, and Qingyuan Zeng from Central South University.
The specific division of the organization and writing of this book is as
xi
xii Preface
follows: Zhihui Zhou is responsible for the writing of Chapters 1 to 4;

Ying Wen has fulfilled Chapters 5 and 6; Chenzhi Cai has completed
Chapter 7, and Qingyuan Zeng supplied the original manuscript of the
book.
The authors wish to express their sincere thanks and appreciation to
Prof. Xiaojun Wei from Central South University, Prof. Tong Qiu from
The Pennsylvania State University, and PhD student Juanya Yu from
University of Illinois at Urbana-Champaign for valuable advice in the
process of writing. The authors are also grateful to Mr. Lican Xie, Ms.
Manxuan Yang, Mr. Liang Zhang, Mr. Bao Zhang, Mr. Xuanyu Liao,
Mr. Chenlong Tang, Mr. Zhenhua Jian, Mr. Xiaojie Zhu, and other
graduate students from Central South University for their contributions in
different ways to the content of this book.
This book can be used as a textbook for both postgraduates and
undergraduates majoring in civil engineering, engineering mechanics,
mechanical engineering, and other related fields in general colleges and
universities. It can also be a reference for teachers, general students, and
short-term trainees in institutions of higher vocational education.
The authors cordially invite the audience of this book to contact with
us (Zhihui Zhou: zzhyy@csu.edu.cn) if you have any suggestions for
improvements and clarifications in the content organization, and even to
help identify errors. All the above efforts and comments are sincerely
acknowledged.
Zhihui Zhou
Ying Wen
Chenzhi Cai
Qingyuan Zeng
CHAPTER 1
Overview of structural dynamics

1.1 Objective of structural dynamic analysis
Dynamic analysis of the trainbridge system originated from the collapse of
the Chester Railway Bridge in the United Kingdom due to a train passing
over the bridge. In November 1940 the engineering community was aston-
ished by the dynamic instability of the Tacoma suspension bridge in the
United States under strong wind with a speed of 1720 m/s. A large
crowd of people participated in the opening ceremony of Wuhan Yangtze
River Bridge in 1957, resulting in continuous swaying of the newly opened
bridge. The swaying came to an end when the crowd went away at night.
In 2011 the administrator of the Shanghai Railway observed the excessive
transverse vibration of the Nanjing Yangtze River Bridge under the condi-
tion of a cargo train passing over the bridge. The transverse amplitude of
the oscillated bridge exceeded 9 mm, which led to concerns over the safety
of running trains on the bridge. Therefore the assessment of the safety and
comfort of running trains on this bridge was conducted [1,2].
Seismic activity has been relatively active in recent decades, for instance,
the Chilean earthquake in 1960, the Tangshan earthquake in China in
1976, the Mexico earthquake in 1985, the OsakaKobe earthquake in
Japan in 1995, the India earthquake in 2001, and the Sichuan earthquake
in China in 2008. In addition to serious disruption to the local economy,
these disasters threatened the safety of residents and their properties in the
concerned areas. Thus the aseismic design of infrastructures in seismically
active areas is necessary to reduce or avoid severe earthquake damage for
major projects. In addition, many airplane accidents have been caused by
the flutter of aircraft wings or the abnormal vibration of engines. In
mechanical engineering, vibrations may bring about negative effects on the
performance of some precision instruments, for instance, these vibrations
may increase abrasion and fatigue, or reduce machining accuracy and sur-
face finish. However, some manufacturing facilities, for example, transmis-
sion, screening, grinding, piling, and so on, as well as various generators and
clocks, benefit from the positive aspects of vibrations [3].
Fundamentals of Structural Dynamics © 2021 Central South University Press.

DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-823704-5.00001-X Published by Elsevier Inc. All rights reserved. 1
2 Fundamentals of Structural Dynamics
The investigation of structural dynamics focuses on understanding the

basic mechanism of vibrations and presenting the corresponding proces-
sing methods. These methods can be adopted to eliminate of the negative
vibration effects of machines, prevent dynamic instability of bridges and
improve the tamping and compaction performances of the road construc-
tion machinery, and so on.
1.2 Characteristics of structural dynamics

The main differences between statics and dynamics can be addressed in
the following aspects: (1) in dynamics, both the loads and responses of
structures are time-varying, which implies that, unlike static problems, the
solution of dynamics cannot be a single one. Therefore the dynamic anal-
ysis of structures presents a more complex and time-consuming process
when compared with the static analysis of structures; (2) acceleration is
significant in dynamics. The so-called inertial force produced by accelera-
tion acts in the opposite direction of the acceleration. As illustrated in
Fig. 1.1A, the internal moment and shear of the cantilever beam should
equilibrate the applied dynamic load, F(t), as well as the inertial force asso-
ciated with the acceleration. In Fig. 1.1B, the internal moment, shear, and
deflection of the cantilever beam under a static load F depend only on
the applied load itself. In general, once the inertial force accounts for a
relatively large proportion of the forces equilibrated by the elastic internal
force, the dynamic characteristics should be taken into account in the
structural analysis. When applied loads do not change significantly, the
dynamic responses are minor and the inertial forces can be neglected.
Thus the static analysis procedure could be applied at any desired instant
of time in these cases. If the exciting frequency is less than one third of
the first natural frequency of the structure, the analysis of the structure
Figure 1.1 Cantilever beam subjected to (A) dynamic load and (B) static load.
Overview of structural dynamics 3
could be treated as a static problem (a better understating of this concept

can be achieved by means of Fig. 3.14); (3) damping is also an indispens-
able factor in dynamic problems. Energy will be dissipated in the vibration
of structures. Structural damping is frequently ignored in the analysis of
the natural dynamic properties and the dynamic response over a relatively
short duration (such as the action of impulsive loads). However, structural
damping must be taken into account when large damping exists or vibra-
tion lasts a long period, as well as in the analysis of the vibration in the
resonance region.
1.3 Classification of vibrations

1. The vibrations could be classified as either deterministic or random
vibrations according to the deterministic or random characteristics of
the dynamic responses.
a. Deterministic vibration: the structural responses are deterministic
functions of time due to the determined load and system.
b. Random vibration: the structural responses are random due to the
uncertainty of load or system. However, the responses usually comply
with certain statistical rules and can be analyzed with statistical pro-
bability methods. For instance, the vibrations of aircraft owing
to aerodynamic noise, the vibrations of the traintrackbridge system
caused by track irregularity, etc., are all regarded as random vibrations.
2. The vibrations could be classified as either free vibrations, forced vibra-
tions, self-excited vibrations, or parametric vibrations.
a. Free vibration: external perturbation makes the system deviate
from the initial equilibrium position or have initial velocity. When
the perturbation is rapidly removed, the system will vibrate due to
initial displacement or velocity, which is called free vibration.
b. Forced vibration: the vibration of the structure is caused by a contin-
uously applied load, which is called forced vibration. The response
of a forced vibration consists of two components. One is the tran-
sient response related to the initial conditions and the other is the
steady-state response with the same frequency as the applied load.
Since transient vibrations decay rapidly due to the damping effect,
forced vibrations are often referred to as steady-state vibration.
c. Self-excited vibration: the vibration is excited and controlled by
the system motion itself, which is called self-excited vibration.
In the analysis of self-excited vibrations, the components of the
system should be determined first. Then, the interaction among

these components should be fully understood, as well as the pro-
cess of the input and dissipation of system energy. In self-excited
vibrations, energy is obtained from the periodic vibration of a part
of the system. The excitation is a function of the displacement,
velocity and acceleration of the system. It is common to encounter
self-excited vibration phenomena in nature, engineering, and daily
life, for example, the piston motion of engines, the working prin-
ciple of clocks, the wind-induced motion of the Tacoma Bridge,
and the vibration of leaves in the breeze.
Through the observation of the swing of leaves under the excita-
tion of the wind, it can be noted that the wind angle of leaves stand-
ing against the wind will be changed due to bending of branches.
Therefore part of the air flow along the leaves and the wind pressure
on the leaves would be reduced. However, the elastic resistance of
the branch forces the leaves to return to their initial positions. Such a
process is repeated over and over. It can be concluded from the
above description that the external wind itself does not vary periodi-
cally, while the wind excitation on the leaves is periodic. This is
because the motion of the leaves controls the wind actions on the
leaves. This type of vibration is referred to as self-excited vibration.
d. Parametric vibration: system parameters change with a certain rule
due to the action of applied load, and the vibration is excited by the
changing system parameters, which is called parametric vibration.
The motion of a single pendulum with the time-varying length is
a typical example, as illustrated in Fig. 1.2A. Considering a small-
amplitude motion of a single pendulum,
its equation of motion
could be derived as ϕ€ 1 2 _l=l ϕ_ 1 g=l ϕ 5 0 (ϕ is the rotation of
the pendulum; l is the time-varying length of the pendulum; g is
the acceleration of gravity; the detailed derivation can be found in
Example 2.6). It can be observed from the equation that the system
parameters vary with the length of the pendulum l. The external
force is not present in the load term of the equation of motion.
Another typical example is the transverse vibration of a straight bar
to a periodic axial force, as shown in Fig. 1.2B. The periodic axial
force results in periodic variation of parameters in the equation of
transverse bending (detailed information can be found in Chapter 17
of Ref. [4]), which leads to the vibration of the straight bar in the
transverse direction. Once the frequency of the applied force ω, and
the natural frequency associated with transverse bending of the bar,

ω, satisfy the relation of ω 5 2ω=K, K 5 1; 2; ?, the transverse
amplitude of the bar would become larger and larger and instability
would occur eventually. That is parametric resonance of the bar in
the transverse direction due to the periodic excitation in the direc-
tion of the bar axis, as shown in Fig. 1.2C.
3. According to the linear or nonlinear differential equations of a system,
the vibrations can be categorized into linear vibrations and nonlinear
vibrations:
a. Linear vibration: the inertial force, damping force, and elastic resis-
tance of the system are linearly related to the acceleration, velocity,
and displacement, respectively. The vibration of a system is governed
by a linear differential equation. Instead of second- and higher-order
terms, only the first-order terms with respect to acceleration, veloc-
ity, and displacement are present in the differential equation. This
book focuses on the investigation of the linear vibration.
b. Nonlinear vibration: in contrast to the linear vibration, the inertial
force, damping force, or elastic resistance of the system are nonlinear
with respect to acceleration, velocity, or displacement, respectively,
and the corresponding vibration can only be governed by nonlinear
differential equations. For instance, both the collapse of infrastructure
due to earthquakes and large amplitude vibration of flexible struc-
tures due to strong winds are examples of the nonlinear vibration.
Figure 1.2 Examples and response characteristics of parametric vibration: (A) motion
of a single pendulum with time-varying length; (B) transverse instability of a straight
bar; (C) vibration response due to parametric vibration.
1.4 Vibration problems in engineering

In the analysis of vibration, the investigated object (the engineering struc-
ture) is generally referred to as the vibrating system, and can be described
by the mass M, stiffness K, and damping C. The external loads that act on
a system or the factors that lead to the vibration of a system are called the
excitation or input. The dynamic responses of the system subjected to
such an excitation or input, for instance, accelerations, velocities, and dis-
placements, are regarded as the responses or output. The excitation (input)
is connected with the responses (output) by means of the properties of the
vibration system, as shown in Fig. 1.3.
The investigation of system vibration boils down to the analysis of the
relationships among the system, input, and output. Theoretically, once two
of these three factors are determined, the remaining one can be obtained.
Therefore vibration problems in engineering can be classified into the follow-
ing four types:
1. Response analysis: based on the given physical properties of the structural
system and the applied loads, the responses, including the acceleration,
velocity, and displacement, etc., are solved. Response analysis provides
basic information for analyzing the strength, stiffness, and vibration state
of a system. This book mainly focuses on the response analysis.
2. Environment prediction: based on the given properties and responses of
the structural system, the input is to be determined, and the characteristics
of the environment where the system is located may be identified.
3. System identification: the input and output are known, that is, the
dynamic loads and responses of the system are known. Therefore the
properties of the system can be obtained by using the system identifi-
cation method. The identified parameters include both physical prop-
erties (mass, stiffness, damping, etc.) and modal parameters (natural
frequencies and mode shapes).
4. System design: in many cases of engineering applications, the proper-
ties of the system can be designed based on the given input and
required criteria of responses. In general, the system design depends on
the response analysis. System design and response analysis are often
conducted alternately in practical engineering.
Figure 1.3 Three factors representing system vibration.

1.5 Procedures of dynamic response analysis of structures

1.5.1 Description of system configuration
Evaluation of the system responses of is a significant objective in structural
dynamics. The prerequisite for finding the solutions of the structural
responses is to formulate the dynamic equilibrium equation, that is, the equa-
tion of motion of the system, by considering the inertial, damping, elastic,
and external forces. The inertial, damping, and elastic forces are directly
related to the displacements, velocities, and accelerations of the system, as
well as its physical properties. Therefore it is necessary to describe the config-
uration of the system at any instant of time. Generally, a vibration configura-
tion is determined from the positions of all particles of the system. Practical
structures are generally continuous systems, and infinite displacement variables
are required to represent their vibration configuration theoretically. For
example, the position coordinates v k , k 5 1; 2; ?, of all continuous particles
distributing along the length of the beam should be obtained for the sake of
accurate description of the vibration of the simply supported beam in the
vertical plane, as shown in Fig. 1.4A. However, it is difficult and unnecessary
to do so in vibration analysis of engineering structures. An approximate esti-
mate of structural configuration can often satisfy the requirement of accuracy
in practical engineering. It is both efficient and possible to discretize a simply
supported beam into finite elements and use the displacements of nodes to
describe the configuration of the beam, as shown in Fig. 1.4B. The selection
of the appropriate coordinates that represent vibration configuration of struc-
tures is the preliminary and most important step for the modeling of practical
structures, which is associated with computational effort and accuracy.
1.5.2 Analysis of excitation

Excitation is defined as the external actions which induce structural vibra-
tions. The excitation of structural vibration is complex and affected by
many random factors. For instance, the dynamic actions of a train running
Figure 1.4 Configuration of a simply supported beam: (A) accurate description;

(B) approximate description using the finite element method.
on a bridge include the wheelrail contact forces caused by the hunting

movement of wheelsets, eccentric loads of vehicles, and additional forces
generated by track irregularities. It is difficult to identify these excitations
with specific expressions quantitatively; however, these excitations satisfy
certain statistical rules. Although seismic acceleration waves can be adopted
for the input of earthquake actions on structures, there are no uniform
mathematical models for seismic acceleration waves for different regions,
even for earthquakes of the same magnitude. The seismic actions on the
structure are random, as well as the wind actions. These dynamic loads are
called random loads.
Some special excitations are present in engineering, which can be
described with sufficient precision by a specific time-domain function.
Harmonic excitation caused by the eccentric rotor with a constant angular
speed is a typical example of this.
According to whether excitations can be described by a deterministic
mathematical model or not, excitations can be classified into two types,
namely, random dynamic load and prescribed dynamic load.
1. Random dynamic load: a time-varying random dynamic load cannot
be represented deterministically. The differences of loads in each
experiment are obvious. However, probability theory can be adopted
to describe the statistical characteristics of these loads.
2. Prescribed dynamic load: the time variation of a deterministic dynamic
load is specified. The obtained results of these kinds of loads in different
experiments are nearly identical when considering the experimental
error. Fig. 1.5 shows some typical prescribed dynamic loads.
Figure 1.5 Typical prescribed dynamic loads: (A) harmonic load; (B) arbitrary periodic
load; (C) impulsive load; (D) arbitrary nonperiodic load.
Prescribed dynamic loads include both periodic and nonperiodic loads.

Periodic loads can be categorized into simple harmonic loads (Fig. 1.5A)
and arbitrary periodic loads (Fig. 1.5B). Nonperiodic loads can be catego-
rized as impulsive loads with an extremely short duration (such as a shock
wave and explosion wave, as shown in Fig. 1.5C), and arbitrary nonperio-
dic loads with a specified duration (such as measured seismic excitations,
as illustrated in Fig. 1.5D, which is regarded as a prescribed dynamic load
in the analysis of deterministic vibrations).
1.5.3 Mechanism of vibration energy dissipation

The mechanism of energy dissipation is complex and not fully under-
stood. Energy dissipation in structural vibration is related to the damping
force. The damping force is mainly caused by the internal friction due to
the deforming of solid material, the friction at connection points of struc-
tures (such as the friction at bolt joints of steel structures), the opening
and closing of microcracks in concrete, and the friction due to external
media around structures (such as the effects of air and fluids), etc. In real-
ity, it is difficult to simulate damping accurately due to the combined
effects of several factors. If only one kind of damping dominates the
effects, it would be possible to find a reasonable model for the damping
force. For instance, viscous damping force is proportional to the magni-
tude of velocity, that is, F vd 5 c_v , and it opposes the velocity. Detailed
information about the damping will be given in Section 3.4.
1.5.4 Equation of motion of a system

An important task for structural dynamics is to obtain the displacements
that vary with time or other responses to prescribed loads. Approximate
methods (such as the finite element method) considering a certain number
of degrees of freedom can generally meet the accuracy requirements for
most structures. Thus the problem boils down to solving the time history
of these selected displacement variables. The mathematical expression of
dynamic displacements is referred to as the equation of motion of a struc-
tural system. It is also known as the dynamic equilibrium equation once
the inertial force is introduced. By solving the equation, the displacements
and other responses can be obtained. The vibration characteristics
of a multidegree-of-freedom system can be expressed by the following
equation:
M q€ 1 C q_ 1 Kq 5 Q (1.1)
where q is the generalized displacement vector; q_ is the generalized veloc-

ity vector; q€ is the generalized acceleration vector; M is the mass matrix;
C is the damping matrix; K is the stiffness matrix; and Q is the general-
ized force vector.
1.5.5 Solution of equation of motion

The theory for the linear equation of motion of a system is comparatively
mature. It can be categorized into the following two types:
1. Solution for linear equation of motion with constant coefficients: the
main methods include numerical integration method (such as the
Euler method or RungeKutta method), variational method, mode-
superposition method, and weighted residual method.
2. Solution for linear equation of motion with variable coefficients: this
is mainly tackled by the variational method, step-by-step integration
method, and weighted residual method.
There is no general method available for solving a nonlinear equation of
motion yet. The small parameter method, variational method, and weighted
residual method are commonly applied to solve a nonlinear equation of
motion. With the rapid development of computers, the step-by-step integra-
tion method has become the dominant algorithm.
1.5.6 Vibration tests

The main purpose of vibration tests is to validate the theoretical results,
modify the theoretical model, and obtain the parameters required by the
theoretical analysis. The natural frequencies, mode shapes, damping ratio,
and seismic acceleration wave are among the test items. These parameters
are the basis of the analysis of structural dynamics.
Problems
1.1 What are the main differences between the dynamic and static analy-
sis of structures?
1.2 What are the main differences between prescribed and random
dynamic loads? How should one express these two kinds of loads in
mathematics?
1.3 What are the common problems related to engineering vibration
analysis and what relationships do they have?
1.4 According to the characteristics of parametric vibration and self-excited
vibration, which category does the motion of swing belong to?
References
[1] Zeng Q, Guo X. Theory of vibration analysis of train-bridge time-varying system and
its application. Beijing: China Railway Press; 1999.
[2] Zeng Q, Xiang J, Zhou Z, Lou P. Theory of train derailment analysis and its applica-
tion. Changsha: Central South University Press; 2006.
[3] Zhou Z, Wen Y, Zeng Q. Lectures on dynamics of structures. 2nd ed. Beijing: China
Communications Press Co., Ltd; 2017.
[4] Clough RW, Penzien J. Dynamics of structures. 3rd ed. Berkeley, CA: Computers &
Structures, Inc; 2003.
This page intentionally left blank
CHAPTER 2
Formulation of equations of
motion of systems
The preliminary step for estimating structural response is to formulate the
equation of motion of a structural system. This chapter focuses on the
basic concepts of structural dynamics and several methods for formulating
the equation of motion. These methods include (1) the direct equilibrium
method, (2) the principle of virtual displacements, (3) Lagrange’s equa-
tions, (4) Hamilton’s principle, (5) the principle of total potential energy
with a stationary value in elastic system dynamics, and (6) the “set-in-
right-position” rule for assembling system matrices and the method of
computer implementation in Matlab.
First, the concept of system constraint and the representation of the
configuration of a system will be introduced in this chapter. Then, the prin-
ciples and applications of the aforementioned six methods will be discussed.
2.1 System constraints

The earth is often selected as the reference frame in the vibration analysis of
systems. The chosen Cartesian coordinate system is fixed on the Earth, as
illustrated in Fig. 2.1. This kind of coordinate system is called a basic coor-
dinate system. The notation O represents the origin of the coordinate
Figure 2.1 Position of a particle in the basic coordinate system.
Fundamentals of Structural Dynamics © 2021 Central South University Press.

DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-823704-5.00002-1 Published by Elsevier Inc. All rights reserved. 13
system. Bridges, buildings, and other infrastructures are considered to be

fixed on the earth and are incapable of moving freely. The motions of these
structures should satisfy external constraint conditions. Such kinds of systems
are referred to as constrained systems of particles. In contrast, aircrafts, birds,
etc., can move freely in all directions relative to the earth (i.e., the basic
coordinate system). This kind of system is called a free system of particles.
Each particle, which satisfies the requirements of internal constraints, can
move freely in all directions relative to the basic coordinate system.
A constraint could be defined as a geometric or kinematic restriction
imposed on the position and/or velocity of a particle. It is commonly
expressed by a constraint equation. The boundary conditions of a struc-
ture are typical examples of constraint equations. The following is a brief
introduction of constraint classifications.
1. Constraints can be categorized as either geometric or kinematic constraints
according to the characteristics of state variables in constraint equations.
Geometric constraint: Only the positions of the particles of a system
are restricted. For example, the coordinates of the particle m, x, y, z, as
shown in Fig. 2.2, should satisfy the following equation
x2 1 y2 1 z2 5 l 2 (2.1)
where l represents the length of the rigid rod. Eq. (2.1) is known as the
geometric constraint equation. Therefore the position coordinates of the
particle m at any instant of time t, xðtÞ, yðtÞ, zðtÞ, are not independent.
Only two of them are independent.
Kinematic constraint: Both the position and velocity of the particles of
a system are restricted. A cylinder moves along the positive direction
of the x axis, as shown in Fig. 2.3. It should be noted that the position of
the center of the cylinder C must satisfy the following relationship
zC 5 R (2.2)
Figure 2.2 Particle constrained by a rigid rod.

Formulation of equations of motion of systems 15
Figure 2.3 Cylinder rolling horizontally.
Figure 2.4 Motion of an ice skate in a plane.
where zC is the position of the center of cylinder along the z axis, and R
is the radius of the cylinder.
Eq. (2.2) is a geometric constraint equation. Once the cylinder can
only roll without sliding, the velocity of the contact point D on the
ground shall equal zero, which could be expressed as
x_ C 2 Rϕ_ 5 0 (2.3)
where x_ C is the velocity of the center of cylinder along the x axis, and ϕ_
is the angular velocity of the cylinder.
Eq. (2.3) is a kinematic constraint equation. Eq. (2.3) could be trans-
formed into xC 5 Rϕ 1 c (c is an integral constant; ϕ is the rotation of the
cylinder) by integration, which is a geometric constraint equation. The
motion of an ice skate on the ground can be simplified to the motion of
the rod AB in a plane, as shown in Fig. 2.4. The velocity vC of the center
of mass C is always along the direction of rod AB. Therefore the velocity
components x_ C and y_ C along the direction of the x and y axes should
satisfy the following relationship

y_ C
5 tan θ or x_ C sin θ 2 y_ C cos θ 5 0
x_ C
where θ is the rotation angle of rod AB measured from the x axis.
The above equation is a kinematic constraint equation. Due to the
angle θ varying with the motion of the system, the above equation cannot
be integrated to obtain a geometric constraint relation. More knowledge
about transforming kinematic constraint equations into geometric con-
straint equations can be found in Ref. [1].
2. Constraints can be categorized as either steady or unsteady constraints
according to whether the time variable is explicitly present in the con-
straint equation or not.
Steady constraint: Time variable t is not present in the constraint equa-
tion. Eqs. (2.1), (2.2), and (2.3) belong to the steady constraints.
Consider a system of l particles, the steady constraint equation could
be expressed as follows:
f c ðr 1 ; ?; r l ;_r 1 ; ?; r_l Þ 5 0
(2.4)
or f c ðx1 ;y1 ;z1 ;?;xl ;yl ;zl ;_x1 ;_y1 ;_z1 ;?;_xl ;_yl ;_zl Þ 5 0
where r k is the position vector of the kth particle, r_k is the velocity vector
of the kth particle, xk ; yk ; zk are the coordinate components of the kth
particle in the basic coordinate system, and x_ k ; y_ k ; z_ k are the velocity com-
ponents of the kth particle in the basic coordinate system, where
k 5 1; 2; ?; l.
Unsteady constraint: Time t is an explicit variable in constraint
equations. For example, Fig. 2.5 shows a planar pendulum dangled at
point j. The point j moves in terms of sine function y0 5 a sin ωt along
Figure 2.5 Motion of a planar pendulum.

the direction of the y axis. The constraint equation of particle m can be

given as follows:
x2 1 ðy2a sin ωtÞ2 5 l 2 (2.5)
The general equation of an unsteady constraint can be expressed as:
f c ðr 1 ; ?; r l ; r_1 ; ?; r_l ; tÞ 5 0
(2.6)
or f c ðx1 ;y1 ;z1 ;?;xl ;yl ;zl ;_x1 ;_y1 ;_z1 ;?;_xl ;_yl ;_zl ;tÞ 5 0
3. Constraints can also be categorized as either holonomic or nonholo-
nomic constraints, according to whether the terms of velocity are present
in constraint equations or not.
Holonomic constraints: Geometric constraints and integrable kine-
matic constraints are called holonomic constraints. Holonomic constraints
only depend on the coordinates and time t, and holonomic constraint
equations exclude the terms of velocity. The general expression could be
given as follows:
f c ðr 1 ; ?; r l ; tÞ 5 0 or f c ðx1 ;y1 ;z1 ;?;xl ;yl ;zl ;tÞ 5 0 (2.7)
Nonholonomic constraints: Kinematic constraints which cannot be inte-
grated to get geometric constraints are called nonholonomic constraints.
Nonholonomic constraint equations contain derivatives of coordinates with
respect to time t. The general expression could be given as follows:
f c ðr 1 ; ?; r l ; r_1 ; ?; r_l ; tÞ 5 0
(2.8)
or f c ðx1 ;y1 ;z1 ;?;xl ;yl ;zl ;_x1 ;_y1 ;_z1 ;?;_xl ;_yl ;_zl ;tÞ 5 0
As discussed above, the constraints of the rolling cylinder, as shown in
Fig. 2.3, can be considered to be holonomic. The constraint of the ice
skate, as shown in Fig. 2.4, is nonholonomic due to its unintegrable kine-
matic constraint equation. For given constraint equations which contain
the terms of velocity, integration transformations should be used to obtain
constraint equations in the form of Eq. (2.7). Once these transformations
are available, the corresponding constrains are holonomic. Otherwise, the
constrains are nonholonomic.
Once all the constrains of a system are holonomic, the system can be
defined as a holonomic system. Otherwise, the system is a nonholonomic
system. The subsequent chapters of the book focus on holonomic systems.
Detailed information about nonholonomic systems could be found in
Ref. [1].
2.2 Representation of system configuration

The independent variables that can completely specify the configuration
of a system are defined as the generalized coordinates. For the case of a
holonomic system, the number of degrees of freedom (DOFs) of the sys-
tem equals that of generalized coordinates, and n is used to represent the
number of DOFs. However, the number of DOFs does not necessarily
equal that of generalized coordinates, which will occur in the case of a
nonholonomic system. More information can be found in Ref. [1].
Assuming a free system consisting of l particles (the system is assumed to
contain l particles in this book, except that specific notes are addressed),
the number of independent coordinates to determine the system configu-
ration is therefore required to be 3l. Due to some constraints in the con-
strained system of particles, the coordinates of particles in such a system
are not independent and should satisfy some constraint conditions.
A constrained system of particles is set to be a holonomic system with
s holonomic constraints. Then, 3l coordinates of the system should satisfy
s constraint equations. This means that only ð3l 2 sÞ coordinates are inde-
pendent. The remaining s coordinates are given as functions of these inde-
pendent coordinates. Thus ð3l 2 sÞ independent coordinates are sufficient
to determine the system configuration, that is, n 5 3l 2 s.
For example, a free spatial particle with three DOFs is restricted to be
in a plane, then the number of DOFs of the particle decreases from three
to two. Once the particle is connected to a fixed point in the plane
through a rigid rod, the particle would only have one DOF. Another
example is the oscillation of a double pendulum, as shown in Fig. 2.6.
Figure 2.6 Motion of a double pendulum.

The coordinates x1 , y1 of the mass m1 and x2 , y2 of the mass m2 should

satisfy the following constraint equations
x21 1 y21 5 l12 ; ðx2 2x1 Þ2 1 ðy2 2y1 Þ2 5 l 22
In such a circumstance, only two independent coordinates are present
in the system. This indicates that the system is a 2-DOF system.
Generally, it is not convenient to determine independent coordinates
in the form of Cartesian coordinates. The uniqueness of independent
coordinates may sometimes be damaged. For the example shown in
Fig. 2.6, the independent coordinates x1 , x2 (or y1 , y2 ) correspond to the
above or below positions (left or right positions). It is obvious that x1 and
x2 (y1 and y2 ) are not appropriate for independent coordinates anymore.
It is convenient to specify the system configuration completely by using
the rotation angles ϕ1 and ϕ2 as the independent coordinates. The
Cartesian coordinates of each mass can be expressed as continuous, single-
valued functions of ϕ1 and ϕ2 .
Actually, there are many options for the generalized coordinates for a
given system. As shown in Fig. 2.7, the deflection of the simply supported
beam could be expressed in the form of Fourier series by considering
Figure 2.7 Description of the configuration of a simply supported beam.

the boundary constraints

X
N
iπx
vðx; tÞ 5 ai ðtÞ sin (2.9)
i51
L
where sinðiπx=LÞ represents the ith shape function which is a prescribed

function satisfying the boundary conditions, L represents the length of the
beam, and ai ðtÞ represents the ith generalized coordinate which is an
unknown quantity. For dynamic problems, ai ðtÞ is a function of time t.
Therefore the deflection of the beam can be determined by using a set of
generalized coordinates of ai ðtÞ, i 5 1; 2; ?; N, and the number of DOFs
of the system is infinite. Only the first few terms of the series are required
to be retained in the actual analysis, which is similar to the truncation in a
mathematical analysis. By considering the first n terms of the series, the
deflection of the simply supported beam could be approximated as
follows:
X
n
iπx
vðx; tÞ 5 ai ðtÞ sin (2.10)
i51
L
Therefore a simply supported beam of infinite DOFs is simplified to a

finite-DOF system. The generalized coordinates describe the amplitudes
of shape functions. The generalized coordinates will have the dimension
of the displacement if the shape functions are related to the displacement.
However, the generalized coordinates are often not real physical quanti-
ties, and only the superposition of n terms of series represents the actual
deflection. This kind of method, which is used to express system configu-
ration, is called the generalized coordinate method.
In addition, the finite element method (FEM) may be considered to
be an application of the generalized coordinate method, which has been
widely used in structural analysis. The amplitudes of shape functions men-
tioned above are defined as the generalized coordinates, which are not
physically meaningful. Meanwhile, the shape functions are defined
throughout the entire structure. It is difficult to find a set of appropriate
shape functions for complex structures. However, the variables adopted as
generalized coordinates in the FEM have clear physical meanings. The
shape functions in FEM can be expressed indirectly by means of the local
functions throughout segments so that expressions are relatively simple.
The simply supported beam as shown in Fig. 2.8A is used as an example
to introduce the above method briefly.
Figure 2.8 Discretization of a simply supported beam with FEM: (A) vertical transla-
tions and rotations of nodes; (B) shape function ϕ1 ðxÞ; (C) shape function ϕ2 ðxÞ;
(D) shape function ϕ3 ðxÞ.
The simply supported beam may be divided into three elements

with
four nodes. The vertical translation v and rotation v 0 v0 5 @v=@x of all
nodes, as shown in Fig. 2.8A, have been selected as the generalized coor-
dinates. Taking account of the boundary conditions of nodes 1 and 4, the
finite element model has six displacement coordinates, namely, v1 0 , v2 , v2 0 ,
v3 , v3 0 , and v4 0 . The displacement coordinates of each node only affect the
displacements of the adjacent elements. Fig. 2.8B, C, and D shows the
shape functions ϕ1 ðxÞ, ϕ2 ðxÞ, and ϕ3 ðxÞ corresponding to node displace-
ments v1 0 , v2 , and v2 0 , respectively, and other shape functions can be
obtained similarly. Referring to Eq. (2.10), the configuration of the simply
supported beam could be expressed in terms of six displacement coordi-
nates and the corresponding shape functions as follows:
vðx; tÞ 5 v1 0 ϕ1 ðxÞ 1 v2 ϕ2 ðxÞ 1 v2 0 ϕ3 ðxÞ 1 v3 ϕ4 ðxÞ 1 v3 0 ϕ5 ðxÞ 1 v4 0 ϕ6 ðxÞ
Therefore a simply supported beam of infinite DOFs is simplified to a
6-DOF system by FEM.
The shape function ϕi ðxÞ in the present section is closely related to the
element shape function Ni , which will be introduced in Section 2.11.
However, there are some differences between them. Here, ϕi ðxÞ indicates a
function of the entire region of the structure, and Ni only represents a func-
tion of the small region of an element. The ϕi ðxÞ can be determined by
means of Ni . Therefore the shape functions of the structure can be expressed
conveniently through this way. Generally, the coordinates used in the gener-
alized coordinate method are the amplitudes of shape functions, which are
not physically meaningful displacements. However, the displacement coordi-
nates adopted by the FEM have physical meaning. These are the advantages
of the FEM over the generalized coordinate method [2].
2.3 Real displacements, possible displacements, and virtual

displacements
A constrained system with l particles starts to move under specified initial
conditions. The position vectors of particles r k , k 5 1; 2; ?; l, should sat-
isfy initial conditions, dynamic differential equations, and all the constraint
equations. This kind of motion is called real motion which occurs actu-
ally. The displacements of particles in the real motion are referred to as
real displacements. The constraint equations of a holonomic system could
be given as follows:
f c ðr 1 ; ?; r l ; tÞ 5 0
(2.11)
or f c ðx1 ;y1 ;z1 ;x2 ;y2 ;z2 ;?;xl ;yl ;zl ;tÞ 5 0; c 5 1; 2; ?; s
For simplicity, x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y2 ; z2 ; ?; xl ; yl ; zl are replaced by
x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 ; ?; x3l22 ; x3l21 ; x3l , respectively, and the second
expression of Eq. (2.11) is rewritten as
fc ðx1 ; x2 ; ?; x3l ; t Þ 5 0; c 5 1; 2; ?; s (2.12)
The time t is assumed to vary from t to t 1 dt. The small displacements
of particles could be expressed as dr k , k 5 1; 2; ?; l, (dxi ; i 5 1; 2; ?; 3l,
in the Cartesian coordinate system). When the displacements occur, the
system should still satisfy Eq. (2.12), that is,
fc ðx1 1 dx1 ; x2 1 dx2 ; ?; x3l 1 dx3l ; t 1 dt Þ 5 0; c 5 1; 2; ?; s
By expanding with Taylor series and ignoring the second and higher
order terms, the above equations become
fc ðx1 1 dx1 ; x2 1 dx2 ; ?; x3l 1 dx3l ; t 1 dtÞ
@fc @fc @fc @fc
5 fc ðx1 ; x2 ; ?; x3l ; tÞ 1 dx1 1 dx2 1 ? 1 dx3l 1 dt 5 0
@x1 @x2 @x3l @t
c 5 1; 2; ?; s
Considering Eq. (2.12), one obtains

@fc @fc @fc @fc
dx1 1 dx2 1 ? 1 dx3l 1 dt 5 0
@x1 @x2 @x3l @t
or after simplifying
X
3l
@fc @fc
dxi 1 dt 5 0 ; c 5 1; 2; ?; s (2.13)
i51
@xi @t
For the case of steady constraints, fc does not contain time t explicitly.
Thus Eq. (2.13) becomes
X
3l
@fc
dxi 5 0; c 5 1; 2; ?; s (2.14)
i51
@xi
Infinitesimal displacements that only satisfy Eq. (2.13) or Eq. (2.14) are
called possible displacements. The possible displacements are not unique
since they are only required to meet constraint equations rather than both
initial conditions and equations of motion. It is obvious that the real dis-
placements satisfy constraint equations. Therefore real displacements
belong to one case of possible displacements. However, the real displace-
ments also need to satisfy initial conditions and equations of motion. Thus
there is only one solution for real displacements.
As shown in Fig. 2.9, the particle m is constrained to a spherical surface
with constant radius R. The constraint equation could be given as:
x2 1 y2 1 z2 5 R2 . At the instant of time t 1 dt, the particle m should satisfy
xdx 1 ydy 1 zdz 5 0, or rUdr 5 0.
There are infinite solutions for dr or dx, dy, and dz, which satisfy the
above constraint equation. The solutions are arbitrary vectors dr which
are located in the tangent plane at point M. Only five vectors in Fig. 2.9
are drawn for examples, and these vectors are possible displacements.
The real displacement of particle m should satisfy initial conditions, equa-
tions of motion, and constraint equations simultaneously. Thus the real
Figure 2.9 Schematic diagram of real and possible displacements.

displacement, which is unique, is located at the tangent plane at point M

and along the actual trajectory. The solid line in Fig. 2.9 illustrates the
real displacement. Obviously, it is only one case of possible displacements.
A virtual displacement is an arbitrary, infinitesimal, imaginary change
of configuration, which is consistent with all displacement constraints
on the system. The virtual displacements could be expressed in the form
of δr k , k 5 1; 2; ?; l, or δxi , i 5 1; 2; ?; 3l. According to the concepts of
virtual displacement and DOF, the number of independent virtual displa-
cements equals that of DOFs, as well as that of the independent equations
of motion of the system. The system should also satisfy Eq. (2.12) at some
time t with the virtual displacement δxi , i 5 1; 2; ?; 3l, that is,
fc ðx1 1 δx1 ; x2 1 δx2 ; ?; x3l 1 δx3l ; tÞ 5 0; c 5 1; 2; ?; s

By expanding with Taylor series and ignoring the second and higher
order terms, the above equation becomes
fc ðx1 1 δx1 ; x2 1 δx2 ; ?; x3l 1 δx3l ; tÞ
@fc @fc @fc
5 fc ðx1 ; x2 ; ?; x3l ; tÞ 1 δx1 1 δx2 1 ? 1 δx3l 5 0
@x1 @x2 @x3l
Considering Eq. (2.12), one obtains

@fc @fc @fc
δx1 1 δx2 1 ? 1 δx3l 5 0
@x1 @x2 @x3l
or after simplifying
X
3l
@fc
δxi 5 0; c 5 1; 2; ?; s (2.15)
i51
@xi
By comparing Eq. (2.15) with Eq. (2.13), the equations governing δxi
and dxi are different. δxi is time-independent, whereas dxi depends on
time. The constraints are time-varying in the circumstance of unsteady
constraints. For this case, all the time-varying constraints can be “frozen”
at some time, and the displacements compatible with the frozen con-
straints are the virtual displacements. Therefore the virtual displacements
may not be possible displacements or real displacements.
As shown in Fig. 2.10A, the curvilinear motion of particle m in a plane
is given. Its constraint would be steady if the plane is fixed. The real dis-
placement of particle m is in the plane along the tangent line of point M,
and its direction is determined, as illustrated in notation dr via the solid line.
Figure 2.10 Schematic diagram of real, possible, and virtual displacements: (A) steady
constraint; (B) unsteady constraint.
The possible displacements with arbitrary directions through point M are

also located in the plane, as illustrated with notation dr via the dashed lines.
Similarly, the virtual displacement δr with arbitrary directions through point
M, is also located in the plane, as illustrated via the dashed lines. It should be
noted that both the numbers of possible displacements and virtual displace-
ments are infinite.
The constraint will become unsteady once the plane moves upward at
a constant speed v, as illustrated in Fig. 2.10B. Then, the real displacement
of the particle m is the vector represented by the solid line from the point
M in the plane I at the time t to the point M 0 in the plane II at the time
t 1 dt. The possible displacements of the particle m are the arbitrary vec-
tors from point M in the plane I at the time t to any point in plane II at
the time t 1 dt (see dashed lines with notation dr). However, the virtual
displacements are arbitrary vectors staring from point M in plane I at the
instant of time t (dashed lines with notation δr).
2.4 Generalized force

Consider a system of particles having holonomic constraints. The numbers of
particles and holonomic constraints are denoted as l and s, respectively.
Therefore the number of DOFs of the system equals n 5 3l 2 s. The position
of the system could be determined from n generalized coordinates, denoted
by q1 ; q2 ; ?; qn . The spatial positions of the particle mk can be expressed as
the function of the generalized coordinates and the time t as follows:
r k 5 r k ðq1 ; q2 ; ?; qn ; tÞ (2.16)
Generalized coordinates that are adopted to describe the position of

the system are independent. The variation of each generalized coordinate
is identical to an independent virtual displacement of the system. Thus the
virtual displacement of each particle can be described by the function
of a set of independent virtual displacements, δq1 ; δq2 ; ?; δqn . The time t
corresponding to virtual displacements is stationary. Taking variation of
Eq. (2.16) leads to
X
n
@r k
δr k 5 δqi (2.17)
i51
@qi
Suppose that a force F k acts on particle mk . The virtual work done by

F k under δr k can be given by
δWk 5 F k Uδr k (2.18)
Substituting Eq. (2.17) into Eq. (2.18) yields
X
n
@r k X
n
@r k
δWk 5 F k U δqi 5 F kU δqi (2.19)
i51
@qi i51
@qi
Therefore the virtual work of all particles could be given as follows:

X
l X
n
@r k Xn X l
@r k Xn
δW 5 F kU δqi 5 F kU δqi Qi δqi (2.20)
k51 i51
@qi i51 k51
@qi i51
where
X
l
@r k
Qi 5 F kU (2.21)
k51
@qi
Qi is the generalized force corresponding to the generalized coordinate qi .

F k represents all the external and internal forces which act on the system.
If the virtual work done by the internal forces equals zero (such as the
case of ideal constraints), only the virtual work done by the external forces
needs to be considered. The generalized forces corresponding to each
generalized coordinate can be obtained from Eq. (2.20). In addition, the
generalized forces can be calculated by the following approaches [3]:
1. Eq. (2.21) can be rewritten in the form of projection as follows:
Xl
@xk @yk @zk
Qi 5 Fkx 1 Fky 1 Fkz (2.22)
k51
@qi @qi @qi
where Fkx , Fky , and Fkz are projections of F k onto the x, y, and z
axes, respectively, and xk , yk , and zk are the position coordinates of
particle mk . When xk , yk , and zk can be easily expressed as the func-
tions of generalized coordinates, it is convenient to obtain Qi in accor-
dance with Eq. (2.22).
2. All the generalized virtual displacements, except δqi , can be set to be
zero due to the independence of the generalized coordinates. Then, the
virtual work of the system to δqi could be given as δWi . The general-
ized force corresponding to qi could be obtained from the following
equation
δWi
Qi 5 (2.23)
δqi
When F k , k 5 1; 2; ?; l, includes all the forces (both the external and
internal forces) acting on the system, and Qi , i 5 1; 2; ?; n, are the gener-
alized forces associated with all forces, then the equilibrium equations in
the form of generalized forces can be expressed as follows:
Qi 5 0; i 5 1; 2; ?; n (2.24)
When F k , k 5 1; 2; ?; l, only includes part of forces acting on the sys-
tem, Qi , i 5 1; 2; ?; n, are the generalized forces associated with such part
of forces. For example, the generalized force Qi in the Lagrange’s equa-
tion, as shown in Eq. (2.46) in Section 2.8 of this book, is the one associ-
ated with all forces except the inertial forces.
Example 2.1: Fig. 2.11 shows a double pendulum. P1 and P2 are the
external forces acting on particles m1 and m2 , respectively. Here, ϕ1 and
ϕ2 are selected as the generalized coordinates. Determine the generalized
forces associated with P1 and P2 , respectively.
Solution (1):
F1x 5 F2x 5 F1z 5 F2z 5 0; F1y 5 P1 ; F2y 5 P2
It can be observed that F1x , F2x , F1z , and F2z equal zero. Then, only
y1 and y2 are required to be expressed as the functions of ϕ1 and ϕ2 ,
given by
y1 5 l1 cos ϕ1
y2 5 l1 cos ϕ1 1 l2 cos ϕ2
Figure 2.11 Analytical model of the generalized forces for a double pendulum.
Then,
@y1 @y1
5 2 l1 sin ϕ1 ; 50
@ϕ1 @ϕ2
@y2 @y2
5 2 l1 sin ϕ1 ; 5 2 l2 sin ϕ2
@ϕ1 @ϕ2
Thus one obtains
@y1 @y2
Q1 5 F1y 1 F2y 5 2 ðP1 1 P2 Þl1 sin ϕ1
@ϕ1 @ϕ1
@y1 @y2
Q2 5 F1y 1 F2y 5 2 P2 l2 sin ϕ2
@ϕ2 @ϕ2
Solution (2):
First, δϕ1 and δϕ2 are set to be nonzero and zero, respectively. Then, the
virtual displacements in the Cartesian coordinate system are given as follows:
δx1 5 l1 δϕ1 cos ϕ1 ; δy1 5 2 l1 δϕ1 sin ϕ1

The virtual work by forces P1 and P2 to δϕ1 is given as follows:

δW1 5 P1 δy1 1 P2 δy2 5 2 P1 l1 δϕ1 sin ϕ1 2 P2 l1 δϕ1 sin ϕ1
Substituting the above equation into Eq. (2.23) yields
Q1 5 2 ðP1 1 P2 Þl1 sin ϕ1
Second, δϕ1 and δϕ2 are set to be zero and nonzero, respectively. The
virtual displacements in the Cartesian coordinate system are given as follows:
δx1 5 0; δy1 5 0

The virtual work by forces P1 and P2 to δϕ2 is given as follows:
δW2 5 P1 δy1 1 P2 δy2 5 2 P2 l2 δϕ2 sin ϕ2
Finally, one obtains
Q2 5 2 P2 l2 sin ϕ2
Example 2.2: Fig. 2.12 shows a massspring system. P1 and P2 are the
external forces acting on masses m1 and m2 , respectively. v1 and v2 are
selected as the generalized coordinates. Determine the generalized forces
associated with all the forces acting on the system.
Solution:
Suppose that the system is subjected to the virtual displacements δv1
and δv2 . The virtual work done by the external and internal forces of the
system can be given respectively as follows:
1. The virtual work done by external forces P1 and P2 is P1 δv1 1 P2 δv2 .
2. The forces acting on m1 and m2 , which are induced by the spring k1 ,
are a pair of internal forces, which can be expressed as 2k1 ðv1 2 v2 Þ
Figure 2.12 Schematic diagram of a massspring system.

and k1 ðv1 2 v2 Þ, respectively. The virtual work by this pair of forces

could be expressed as 2k1 ðv1 2 v2 Þδv1 1 k1 ðv1 2 v2 Þδv2 .
3. Assume that the spring k2 is removed and the elastic force of the spring
k2 acting on m2 can be regarded as an external force expressed as 2k2 v2 .
The virtual work done by this force could be given as 2k2 v2 δv2 .
Finally, the total virtual work done by all the forces could be obtained as:
δW 5 P1 δv1 1 P2 δv2 2 k1 ðv1 2 v2 Þδv1 1 k1 ðv1 2 v2 Þδv2 2 k2 v2 δv2
5 ðP1 2 k1 v1 1 k1 v2 Þδv1 1 ðP2 1 k1 v1 2 k1 v2 2 k2 v2 Þδv2
In accordance with Eq. (2.20), one obtains
Q1 5 P1 2 k1 v1 1 k1 v2 ; Q2 5 P2 1 k1 v1 2 k1 v2 2 k2 v2
where Q1 and Q2 are generalized forces of the system associated with all
the forces. The equilibrium equations in the form of generalized forces
could be obtained as Q1 5 0 and Q2 5 0.
When the external forces P1 and P2 are time-varying, this means that the
system is a dynamic system, and the generalized coordinates v1 and v2 vary
with time. On the basis of the above deduction, the virtual work by the iner-
tial forces should be added, and can be expressed as 2m1 v€1 δv1 2 m2 v€2 δv2 .
Then, the total virtual work by all the forces could be written as
δW 5 P1 δv1 1 P2 δv2 2 k1 ðv1 2 v2 Þδv1 1 k1 ðv1 2 v2 Þδv2 2 k2 v2 δv2 2 m1 v€1 δv1 2 m2 v€2 δv2
5 ðP1 2 k1 v1 1 k1 v2 2 m1 v€1 Þδv1 1 ðP2 1 k1 v1 2 k1 v2 2 k2 v2 2 m2 v€2 Þδv2
Similarly, one could also obtain the following

Q1 5 P1 2 k1 v1 1 k1 v2 2 m1 v€1 ; Q2 5 P2 1 k1 v1 2 k1 v2 2 k2 v2 2 m2 v€2
where Q1 and Q2 are the generalized forces of the system associated with
all the forces. It should be noted that the forces in this case include the
inertial forces. The dynamic equilibrium equations in the form of general-
ized forces could be obtained as Q1 5 0 and Q2 5 0.
2.5 Conservative force and potential energy

According to the principle of the conservation of mechanical energy, the
work done by the gravity when an object falls freely from a certain height
is transformed into the kinetic energy of the object. This indicates that an
object has certain energy at the initial height. This type of energy is
known as gravitational potential energy. By considering the object falling
from the height z to the reference plane, the work done by the gravity
Figure 2.13 Gravitational potential energy of an object.
indicates the change of the object’s potential energy. For instance,

Fig. 2.13 shows the movement of an object from position B to A. Then,
the work done by the gravity can be given as
W 5 2mgðzA 2 zB Þ 5 2 ðVA 2 VB Þ (2.25)
where m is the mass of the object, g represents the acceleration of gravity,
zA and zB are the heights at positions A and B, respectively, and VA and
VB represent the potential energy of positions A and B, respectively.
It is shown from Eq.(2.25) that the change of the potential energy of
the object equals the negative value of the work done by the gravity.
Here, zB 5 0 and VB 5 0 could be obtained when the horizontal plane
through position B is chosen to be the reference plane, thus
VA 5 2ð2 mgzA Þ (2.26)
This indicates that the potential energy of an object at the position A
equals the negative value of the work done by gravity when the object
moves from the reference plane to position A. This is the criterion for
evaluating the gravitational potential energy.
The aforementioned criterion for evaluating the gravitational potential
energy is also applicable to the potential energy of an elastic system. As
shown in Fig. 2.14, the stiffness of the spring is k. The potential energy of
the spring at the positions x2 and x1 equals the negative value of the work
done by the elastic internal force from zero (unstretched position) to x2
and x1 , respectively,

1 2 1 2
V2 5 2 W2 5 2 2 kx2 ; V1 5 2 W1 5 2 2 kx1 (2.27)
2 2
The direction of the elastic internal force is opposite to that of the
spring’s displacement, which leads to the negative sign in the bracket of
Figure 2.14 Work by the spring’s elastic force.
Eq. (2.27). The change of the spring’s potential energy equals the negative
value of work done by the internal force of the spring when moving
from x2 to x1 , that is,

k 2
V2 2 V1 5 2 2 x2 2 x1 2
(2.28)
2
It should be noted that the elastic force is assumed to be a linear func-
tion of displacement. Therefore a coefficient 1/2 is present in Eq. (2.28).
Since the displacement of an object to the gravity is negligible in compar-
ison with the distance between the object and the earth’s center, the grav-
ity can be regarded as a constant. Thus the coefficient 1/2 is not present
in Eq. (2.26).
The common characteristics of the gravitational and elastic forces can
be concluded as follows:
1. The magnitude and direction of forces are entirely determined from
the position of the object.
2. As shown in Fig. 2.15, the object moves from position B to A. The
work done by the force only depends on the initial and final positions.
It is independent of the movement path of the object.
The force with the above characteristics is defined as the conservative
force. Choosing the position B as the zero position of potential energy,
the potential energy at an arbitrary position A is defined as the sum of
Another random document with
no related content on Scribd:
terre, ceux-là la tête appuyée sur leur main. Ils dorment, et le comte
aurait pu en tuer un grand nombre ; pourtant il ne tira pas Durandal.
Le généreux Roland a le cœur si grand, qu’il dédaigne de frapper
des gens qui dorment. Il parcourt ces lieux en tous sens, cherchant à
retrouver les traces de sa dame. A chacun de ceux qu’il rencontre
éveillés, il dépeint, en soupirant, ses vêtements et sa tournure, et les
prie de lui apprendre, par courtoisie, de quel côté elle est allée.
Puis, quand vint le jour clair et brillant, il chercha dans toute
l’armée mauresque ; et il pouvait le faire en toute sécurité, vêtu qu’il
était de l’habit arabe. Il était en outre servi en cette occasion par sa
connaissance des langues autres que la langue française ; il parlait
en particulier la langue africaine de façon à faire croire qu’il était né à
Tripoli et qu’il y avait été élevé.
Il chercha par tout le camp, où il demeura trois jours sans plus de
résultat. Puis il parcourut non seulement les cités et les bourgs de
France et de son territoire, mais jusqu’à la moindre bourgade
d’Auvergne et de Gascogne. Il chercha partout, de la Provence à la
Bretagne, et de la Picardie aux frontières d’Espagne.
Ce fut entre la fin d’octobre et le commencement de novembre,
dans la saison où les arbres voient tomber leur robe feuillue jusqu’à
ce que leurs branches restent entièrement nues, et où les oiseaux
vont par bandes nombreuses, que Roland entreprit son amoureuse
recherche. Et de tout l’hiver il ne l’abandonna point, non plus qu’au
retour de la saison nouvelle.
Passant un jour, selon qu’il en avait coutume, d’un pays dans un
autre, il arriva sur les bords d’un fleuve qui sépare les Normands des
Bretons [52] , et va se jeter dans la mer voisine. Ce fleuve était alors
tout débordé et couvert d’écume blanche par la fonte des neiges et
la pluie des montagnes, et l’impétuosité des eaux avait rompu et
emporté le pont, de sorte qu’on ne pouvait plus passer.
Le paladin cherche des yeux d’un côté et d’autre le long des
rives, pour voir, puisqu’il n’est ni poisson ni oiseau, comment il
pourra mettre le pied sur l’autre bord. Et voici qu’il voit venir à lui un
bateau, à la poupe duquel une damoiselle est assise. Il lui fait signe
de venir à lui, mais elle ne laisse point arriver la barque jusqu’à terre.
Elle ne touche point terre de la proue, car elle craint qu’on ne
monte contre son gré dans la barque. Roland la prie de le prendre
avec elle et de le déposer de l’autre côté du fleuve. Et elle à lui : «
— Aucun chevalier ne passe par ici, sans avoir donné sa foi de
livrer, à ma requête, la bataille la plus juste et la plus honorable qui
soit au monde.
« C’est pourquoi, si vous avez le désir, chevalier, de porter vos
pas sur l’autre rive, promettez-moi que vous irez, avant la fin du mois
prochain, vous joindre au roi d’Irlande qui rassemble une grande
armée pour détruire l’île d’Ébude, la plus barbare de toutes celles
que la mer entoure.
« Vous devez savoir que par delà l’Irlande, et parmi beaucoup
d’autres, est située une île nommée Ébude, dont les sauvages
habitants, pour satisfaire à leur loi, pillent les environs, enlevant
toutes les femmes qu’ils peuvent saisir, et qu’ils destinent à servir de
proie à un animal vorace qui vient chaque jour sur leur rivage, où il
trouve toujours une nouvelle dame ou damoiselle dont il se nourrit.
« Les marchands et les corsaires qui croisent dans ces parages,
leur en livrent en quantité, et surtout les plus belles. Vous pouvez
compter, à une par jour, combien ont déjà péri de dames et de
damoiselles. Mais, si la pitié trouve en vous asile, si vous n’êtes pas
entièrement rebelle à l’amour, ayez pour agréable de faire partie de
ceux qui vont combattre pour une si juste cause. — »
Roland attend à peine d’avoir tout entendu, et, en homme qui ne
peut souffrir un acte inique et barbare, ni en entendre parler sans
que cela lui pèse, il jure d’être le premier à cette entreprise. Quelque
chose lui fait penser, lui fait craindre, que ces gens ne se soient
emparés d’Angélique, puisqu’il l’a cherchée par tant d’endroits sans
pouvoir retrouver sa trace.
Cette pensée le trouble et lui fait abandonner son premier projet.
Il se décide à s’embarquer le plus vite possible pour cette île inique.
Avant que le soleil ne se soit plongé dans la mer, il trouve près de
Saint-Malo un navire sur lequel il monte ; puis, ayant fait déployer les
voiles, il dépasse le Mont-Saint-Michel pendant la nuit.
Il laisse Saint-Brieuc et Landriglier [53] à main gauche, et s’en va
côtoyant les grandes falaises bretonnes. Puis, il se dirige droit sur
les côtes blanches d’où l’Angleterre a pris le nom d’Albion. Mais le
vent, qui était d’abord au midi, vient à manquer, et se met à souffler
du ponant et du nord avec une telle force, qu’il faut abaisser toutes
les voiles et tourner la poupe.
Tout le chemin qu’avait fait le navire en quatre jours, on le refait
en arrière en un seul. L’habile pilote tient la haute mer et n’approche
pas de terre, où son bâtiment se briserait comme un verre fragile. Le
vent, après avoir soufflé en fureur pendant quatre jours, s’apaisa le
cinquième et laissa le navire entrer paisiblement dans l’embouchure
du fleuve d’Anvers.
Dès que le pilote, harassé de fatigue, eut fait entrer dans cette
embouchure son vaisseau maltraité par la tempête, il longea une
contrée qui s’étendait à droite du fleuve ; on vit aussitôt descendre
sur la rive un vieillard d’un grand âge, ainsi que semblait l’indiquer sa
chevelure blanche. D’un air tout à fait courtois, après avoir salué tout
le monde, il se retourna vers le comte, qu’il jugea être le chef,
Et le pria, de la part d’une damoiselle, de venir au plus tôt lui
parler, ajoutant qu’elle était belle, et plus douce et plus affable que
toute autre au monde ; et que s’il préférait l’attendre, elle viendrait le
trouver sur son navire, car elle mettait le plus grand empressement à
s’aboucher avec tous les chevaliers errants qui passaient par là ;
Qu’aucun chevalier, venu par terre ou par mer dans
l’embouchure du fleuve, n’avait refusé de s’entretenir avec la
damoiselle et de la conseiller dans sa cruelle position. En entendant
cela, Roland s’élance sans retard sur la rive, et comme il était
humain et rempli de courtoisie, il va où le vieillard le mène.
Une fois à terre, le paladin fut conduit dans un palais, au haut de
l’escalier duquel il trouva une dame en grand deuil, autant que
l’indiquaient son visage et les tentures noires dont toutes les
chambres et les salles étaient tendues. Après un accueil plein de
grâce et de déférence, la dame le fit asseoir et lui dit d’une voix
triste :
« — Je veux que vous sachiez que je suis la fille du comte de
Hollande. Bien que je ne fusse pas son seul enfant, et que j’eusse
deux frères, je lui étais si chère, qu’à tout ce que je lui demandais,
jamais il ne me répondit par un refus. Je vivais heureuse en cet état,
lorsqu’arriva sur nos terres un jeune duc.
« Il était duc de Zélande et s’en allait vers la Biscaye, guerroyer
contre les Maures. La jeunesse et la beauté qui fleurissaient en lui
m’inspirèrent un profond amour, et il eut peu de peine à me captiver.
Je croyais et je crois, et je pense ne point me tromper, qu’il m’aimait
et qu’il m’aime encore d’un cœur sincère.
« Pendant les jours qu’il fut retenu chez nous par les vents
contraires — contraires aux autres, mais à moi propices, car s’ils
furent au nombre de quarante pour tout le monde, ils me parurent à
moi durer un moment, tant à s’enfuir ils eurent les ailes promptes —
nous eûmes ensemble de nombreux entretiens, où nous nous
promîmes de nous unir solennellement en mariage, aussitôt qu’il
serait de retour.
« A peine Birène nous eut-il quittés — c’est le nom de mon fidèle
amant — que le roi de Frise, pays qui est séparé du nôtre par la
largeur du fleuve, désirant me faire épouser son fils unique nommé
Arbant, envoya en Hollande les plus dignes seigneurs de son
royaume, pour me demander à mon père.
« Moi, qui ne pouvais pas manquer à la foi promise à mon amant,
et qui n’aurais pas voulu y manquer, quand même Amour me l’eût
permis, pour déjouer tous ces projets menés si vivement, et pressée
de donner une réponse, je dis à mon père que, plutôt que prendre
un mari en Frise, j’aimerais mieux être mise à mort.
« Mon bon père, dont le seul plaisir était de faire ce qui me
plaisait, ne voulut pas me tourmenter plus longtemps, et pour me
consoler et faire cesser les pleurs que je répandais, il rompit la
négociation. Le superbe roi de Frise en conçut tant d’irritation et de
colère, qu’il entra en Hollande, et commença la guerre qui devait
mettre en terre tous ceux de mon sang.
« Outre qu’il est si fort et si vigoureux que bien peu l’égalent de
nos jours, il est si astucieux dans le mal, que la puissance, le
courage et l’intelligence ne peuvent rien contre lui. Il possède une
arme que les anciens n’ont jamais vue, et que, parmi les modernes,
lui seul connaît. C’est un tube de fer, long de deux brasses, dans
lequel il met de la poudre et une balle.
« Dès qu’avec le feu il touche un petit soupirail qui se trouve à
l’arrière de cette canne et qui se voit à peine — comme le médecin
qui effleure la veine qu’il veut alléger — la balle est chassée avec le
fracas du tonnerre et de l’éclair, et comme fait la foudre à l’endroit où
elle a passé, elle brûle, abat, déchire et fracasse tout ce qu’elle
touche.
« A l’aide de cette arme perfide, il mit deux fois notre armée en
déroute, et occit mes frères. A la première rencontre, il tua le premier
en lui mettant la balle au beau milieu du cœur, après avoir traversé
le haubert ; dans le second combat, l’autre, qui fuyait, reçut la mort
par une balle qui le frappa de loin entre les épaules et qui ressortit
par la poitrine.
« Quelques jours après, mon père qui se défendait dans le
dernier château qui lui restait, car il avait perdu tous les autres, fut
tué d’un coup semblable ; pendant qu’il allait et venait, veillant à ceci
et à cela, il fut frappé entre les deux yeux par le traître qui l’avait visé
de loin.
« Mes frères et mon père morts, je restai l’unique héritière de l’île
de Hollande. Le roi de Frise, qui avait l’intention bien arrêtée de
prendre pied sur cet État, me fit savoir, ainsi qu’à mon peuple, qu’il
m’accorderait la paix, si je voulais encore — ce que j’avais refusé
auparavant — prendre pour mari son fils Arbant.
« Moi, tant à cause de la haine que j’avais conçue pour lui et pour
toute sa race infâme qui avait tué mes deux frères et mon père, et
qui m’avait vaincue et dépouillée, que parce que je ne voulais pas
manquer à la promesse que j’avais faite à Birène de ne pas en
épouser un autre jusqu’à ce qu’il fût revenu d’Espagne,
« Je répondis que j’aimerais mieux souffrir mille maux, être mise
à mort, brûlée vive et que ma cendre fût jetée au vent, avant de
consentir à faire cela. Mes sujets essayèrent de me détourner de
cette résolution ; ils me prièrent ; ils me menacèrent de me livrer, moi
et mes domaines, plutôt que de se laisser opprimer à cause de mon
obstination.
« Aussi, voyant que leurs protestations et leurs prières étaient
vaines, et que je persistais dans mon refus, ils entrèrent en accord
avec le Frison et, comme ils l’avaient dit, ils me livrèrent à lui, moi et
ma ville. Le roi de Frise, sans me faire subir aucun mauvais
traitement, m’assura qu’il me conserverait la vie, si je voulais
consentir à ses anciens projets et devenir la femme de son fils
Arbant.
« Me voyant ainsi forcée, je voulus, pour m’échapper de leurs
mains, perdre la vie ; mais mourir sans me venger m’eût semblé plus
douloureux que tous les maux que j’avais déjà soufferts. Après avoir
beaucoup réfléchi, je compris que la dissimulation pouvait seule
servir ma vengeance. Je feignis de désirer que le roi me pardonnât
et fît de moi sa belle-fille.
« Parmi tous ceux qui avaient été jadis au service de mon père,
je choisis deux frères doués d’une grande intelligence et d’un grand
courage. Ils étaient encore plus fidèles, ayant grandi à la cour et
ayant été élevés avec nous dès leur première jeunesse. Ils m’étaient
si dévoués, que leur vie leur paraissait peu de chose pour me
sauver.
« Je leur fis part de mon dessein, et ils me promirent de m’aider.
L’un d’eux alla en Flandre pour y appareiller un navire ; l’autre resta
en Hollande avec moi. Or, pendant que les étrangers et les habitants
du royaume se préparaient à célébrer mes noces, on apprit que
Birène avait levé une armée en Biscaye, pour venir en Hollande.
« Après la première bataille, où un de mes frères fut tué, j’avais
en effet envoyé un messager en Biscaye, pour en porter la triste
nouvelle à Birène. Pendant que ce dernier était occupé à lever une
armée, le roi de Frise conquit le reste de la Hollande. Birène, qui ne
savait rien de tout cela, avait mis à la voile pour venir à notre
secours.
« Le roi frison, avisé de ce fait, laisse à son fils le soin de
continuer les préparatifs des noces, et prend la mer avec toute son
armée. Il rencontre le duc, le défait, brûle et détruit sa flotte, et —
ainsi le veut la Fortune — le fait prisonnier. Mais la nouvelle de ces
événements ne parvint pas encore jusqu’à nous. Pendant ce temps,
le jeune prince m’épousa et voulut coucher avec moi, dès le soleil
disparu.
« J’avais fait cacher, derrière les rideaux du lit, mon fidèle
serviteur, qui ne bougea pas avant d’avoir vu mon époux venir à moi.
Mais à peine celui-ci fut-il couché, qu’il leva une hache et lui porta un
coup si vigoureux derrière la tête, qu’il lui ôta la parole et la vie. Moi,
je sautai vivement à bas du lit et je lui coupai la gorge.
« Comme tombe le bœuf sous la masse, ainsi tomba le misérable
jeune homme. Et cela fut un juste châtiment pour le roi Cymosque,
plus que tout autre félon — l’impitoyable roi de Frise est ainsi
nommé — qui m’avait tué mes deux frères et mon père ; et qui, pour
mieux se rendre maître de mes États, me voulait pour bru, et
m’aurait peut-être un jour tuée aussi.
« Avant que l’éveil soit donné, je prends ce que j’ai de plus
précieux et de moins lourd ; mon compagnon me descend en toute
hâte, par une corde suspendue à la fenêtre, vers la mer où son frère
attendait sur le navire qu’il avait acheté en Flandre. Nous livrons les
voiles au vent, nous battons l’eau avec les rames, et nous nous
sauvons tous, comme il plaît à Dieu.
« Je ne sais si le roi de Frise fut plus affligé de la mort de son fils,
qu’enflammé de colère contre moi, lorsque, le jour suivant, il apprit à
son retour combien il avait été outragé. Il s’en revenait, lui et son
armée, orgueilleux de sa victoire et de la prise de Birène. Et croyant
accourir à des noces et à une fête, il trouva tout le monde dans un
deuil sombre et funeste.
« La douleur de la mort de son fils, la haine qu’il a contre moi, ne
le laissent en repos ni jour ni nuit. Mais, comme les pleurs ne
ressuscitent pas les morts, et que la vengeance seule assouvit la
haine, il veut employer le temps qu’il devait passer dans les soupirs
et dans les larmes, à chercher comment il pourra me prendre et me
punir.
« Tous ceux qu’il savait, ou qu’on lui avait dit être mes amis ou
m’avoir aidée dans mon entreprise, il les fit mettre à mort, et leurs
domaines furent brûlés et ravagés. Il voulut aussi tuer Birène,
pensant que je ne pourrais pas ressentir de plus grande douleur.
Mais il pensa qu’en le gardant en vie il aurait en main le filet qu’il
fallait pour me prendre.
« Toutefois il lui impose une cruelle et dure condition : il lui
accorde une année, à la fin de laquelle il lui infligera une mort
obscure, si, par la force ou par la ruse, Birène, avec l’aide de ses
amis et de ses parents, par tous les moyens qu’il pourra, ne me livre
à lui prisonnière. Ainsi sa seule voie de salut est ma mort.
« Tout ce qu’on peut faire pour le sauver, hors me perdre moi-
même, je l’ai fait. J’avais six châteaux en Flandre ; je les ai vendus ;
et le prix, petit ou grand, que j’en ai retiré, je l’ai employé partie à
tenter, par l’intermédiaire de personnes adroites, de corrompre ses
gardiens, partie à soulever contre ce barbare, tantôt les Anglais,
tantôt les Allemands.
« Mes émissaires, soit qu’ils n’aient rien pu, soit qu’ils n’aient pas
rempli leur devoir, m’ont fait de belles promesses et ne m’ont point
aidée. Ils me méprisent, maintenant qu’ils m’ont soutiré de l’or. Et le
terme fatal approche, après lequel ni force ni trésor ne pourront
arriver à temps pour arracher mon cher époux à une mort terrible.
« Mon père et mes frères sont morts à cause de lui ; c’est à
cause de lui que mon royaume m’a été enlevé ; pour lui, pour le tirer
de prison, j’ai sacrifié les quelques biens qui me restaient, et qui
étaient ma seule ressource pour vivre. Il ne me reste plus
maintenant qu’à aller me livrer moi-même aux mains d’un si cruel
ennemi, afin de le délivrer.
« Si donc il ne me reste plus autre chose à faire, et si je n’ai plus
d’autre moyen pour le sauver que d’aller offrir ma vie pour lui, offrir
ma vie pour lui me sera cher encore. Mais une seule crainte
m’arrête : sais-je si je pourrai conclure avec le tyran un pacte assez
solide pour qu’une fois qu’il m’aura en son pouvoir, il ne me trompe
pas ?
« Je crains, quand il me tiendra en cage, et qu’il m’aura fait subir
tous les tourments, qu’il ne laisse point pour cela aller Birène, afin de
m’ôter la satisfaction de l’avoir délivré. Je périrai, mais sa rage ne
sera pas satisfaite s’il me fait périr seule, et, quelque vengeance qu’il
ait tirée de moi, il n’en fera pas moins ce qu’il voudra du malheureux
Birène.
« Or, la raison qui me porte à conférer avec vous au sujet de mes
malheurs, et qui fait que je les expose à tous les seigneurs et à tous
les chevaliers qui passent près de nous, est simplement pour que
quelqu’un me donne l’assurance qu’après que je me serai livrée à
mon cruel persécuteur, il ne retiendra pas Birène prisonnier. Je ne
veux pas, moi morte, qu’il soit ensuite mis à mort.
« J’ai prié chaque guerrier que j’ai vu, de m’accompagner quand
j’irai me remettre entre les mains du roi de Frise. Mais auparavant
j’ai exigé qu’il me promît, qu’il me donnât sa foi de faire exécuter
l’échange, de façon que, moi livrée, Birène sera à l’instant mis en
liberté. De la sorte, quand je serai conduite au supplice, je mourrai
contente, certaine que ma mort aura donné la vie à mon époux.
« Jusqu’à ce jour, je n’ai trouvé personne qui veuille m’assurer
sur sa foi qu’une fois que je serai au pouvoir du roi, celui-ci remettra
Birène en échange, et que je ne me serai pas livrée en vain,
tellement chacun redoute cette arme, cette arme contre laquelle il
n’est pas, dit-on, de cuirasse qui puisse résister, si épaisse qu’elle
soit.
« Mais si chez vous le courage répond à la fière prestance et à
l’aspect herculéen, si vous croyez pouvoir m’arracher à Cymosque
dans le cas où il manquerait à sa promesse, consentez à
m’accompagner lorsque j’irai me remettre en ses mains. Si vous
êtes avec moi, je ne craindrai plus qu’une fois que je serai morte,
mon seigneur meure aussi. — »
Ici la damoiselle termina son récit qu’elle avait interrompu
souvent par ses larmes et ses soupirs. Dès qu’elle eut fermé la
bouche, Roland, qui n’hésita jamais à faire le bien, ne se répandit
pas en vaines paroles, car, de sa nature, il n’en abusait pas. Mais il
lui promit et lui donna sa foi qu’il ferait plus qu’elle ne lui avait
demandé.
Son intention n’est pas qu’elle aille se remettre aux mains de son
ennemi pour sauver Birène. Il les sauvera bien tous deux, si son
épée et sa valeur habituelle ne lui font point défaut. Le jour même, ils
se mettent en route, profitant du vent doux et favorable. Le paladin
presse le départ, car il désirait se rendre ensuite le plus tôt possible
à l’île du monstre.
L’habile pilote dirige sa voile d’un côté et d’autre, à travers les
étangs profonds ; il longe successivement toutes les îles de la
Zélande, découvrant l’une à mesure qu’on dépasse l’autre. Le
troisième jour, Roland descend en Hollande ; mais il ne laisse pas
venir avec lui celle qui est en guerre avec le roi de Frise ; Roland
veut qu’elle apprenne la mort de ce tyran avant de descendre.
Couvert de ses armes, le paladin s’avance le long du rivage,
monté sur un coursier au pelage gris et noir, nourri en Flandre et né
en Danemark, et fort et robuste encore plus que rapide. Car, avant
de s’embarquer, il avait laissé en Bretagne son destrier, ce Bride-
d’Or si beau et si vaillant, qui n’avait pas d’égal, si ce n’est Bayard.
Roland arrive à Dordrecht, et là il trouve la porte gardée par une
nombreuse troupe de gens en armes, ainsi qu’on fait toujours pour
maintenir une ville suspecte, et surtout quand elle est nouvellement
conquise. On venait du reste de recevoir la nouvelle qu’un cousin du
prisonnier accourait de Zélande avec une flotte et une armée.
Roland prie un des gardes d’aller dire au roi qu’un chevalier
errant désire se mesurer avec lui à la lance et à l’épée ; mais qu’il
veut qu’entre eux un pacte soit auparavant conclu : si le roi renverse
celui qui l’a défié, on lui livrera la dame qui a tué Arbant, car le
chevalier la tient à sa disposition dans un endroit peu éloigné, de
manière à pouvoir la lui livrer.
En revanche, il veut que le roi promette, s’il est vaincu dans le
combat, de mettre immédiatement Birène en liberté et de le laisser
aller où il voudra. Le soldat remplit en toute hâte son ambassade,
mais le roi, qui ne connut jamais ni courage ni courtoisie, songe
aussitôt à employer la fraude, la tromperie et la trahison.
Il pense qu’en s’emparant du chevalier, il aura par-dessus le
marché la dame qui l’a si fort outragé, si elle est véritablement à sa
disposition et si le soldat a bien entendu. Par divers sentiers
aboutissant à d’autres portes que celle où il était attendu, il fait sortir
trente hommes, qui, après un long détour et en se cachant, vont
s’embusquer derrière le paladin.
En attendant, le traître fait engager des pourparlers, jusqu’à ce
qu’il ait vu les cavaliers et les fantassins arrivés à l’endroit où il veut.
Ensuite, il sort lui-même par la porte à la tête d’un nombre égal de
soldats. Comme le chasseur expérimenté a coutume de cerner les
bois de tous côtés, ou comme, près du Volana [54] , le pêcheur
entoure les poissons d’un long filet,
De même, le roi de Frise prend ses mesures pour que le
chevalier ne puisse fuir par aucun côté. Il veut le prendre vivant et
non d’une autre façon. Et il croit le faire si facilement, qu’il n’apporte
pas avec lui cette foudre terrestre, avec laquelle il fait de si
nombreuses victimes, car ici elle ne lui semble pas nécessaire,
puisqu’il veut faire un prisonnier et non donner la mort.
Comme le rusé oiseleur, qui conserve vivants les premiers
oiseaux pris, afin d’en attirer par leur jeu et par l’appeau une plus
grande quantité, ainsi voulait faire en cette circonstance le roi
Cymosque. Mais Roland n’était pas un de ces oiseaux qui se
laissent prendre du premier coup, et il eut bien vite rompu le cercle
qu’on avait fait autour de lui.
Le chevalier d’Anglante abaisse sa lance et se précipite au plus
épais de la troupe. Il en transperce un, puis un autre, et un autre, et
un autre, tellement qu’ils semblent être de pâte ; à la fin il en enfile
six, et il les tient tous embrochés à sa lance ; et comme elle ne peut
plus en contenir, il laisse retomber le septième, mais si grièvement
blessé qu’il meurt du coup.
Non autrement, on voit, le long des fossés et des canaux, les
grenouilles frappées aux flancs et à l’échine par l’habile archer,
jusqu’à ce que d’un côté et de l’autre sa flèche soit toute pleine et
qu’on ne puisse plus en mettre. La lance de Roland se rompt sous le
poids, et il se jette avec son épée au milieu de la bataille.
Sa lance rompue, il saisit son épée, celle qui jamais ne fut tirée
en vain. Et à chaque coup, de la taille ou de la pointe, il extermine
tantôt un fantassin, tantôt un cavalier. Partout où il touche, il teint en
rouge, l’azur, le vert, le blanc, le noir, le jaune. Cimosque se lamente
de n’avoir pas avec lui la canne et le feu, alors qu’ils lui seraient le
plus utiles.
Et avec de grands cris et de grandes menaces, il ordonne qu’on
les lui apporte ; mais on l’écoute peu, car quiconque a pu se sauver
dans la ville, n’a plus l’audace d’en sortir. Le roi Frison qui voit fuir
tous ses gens, prend le parti de se sauver, lui aussi. Il court à la
porte et veut faire lever le pont, mais le comte le suit de trop près.
Le roi tourne les épaules et laisse Roland maître du pont et des
deux portes. Il fuit et gagne tous les autres en vitesse, grâce à ce
que son coursier court plus vite. Roland ne prend pas garde à la vile
plèbe ; il veut mettre à mort le félon et non les autres. Mais son
destrier ne court pas assez vite pour atteindre celui qui fuit comme
s’il avait des ailes.
Par une voie, ou par une autre, Cimosque se met bien vite hors
de vue du paladin. Mais il ne tarde pas à revenir avec des armes
nouvelles. Il s’est fait apporter le tube de fer creux et le feu, et tapi
dans un coin, il attend son ennemi comme le chasseur à l’affût, avec
son épieu et ses chiens, attend le sanglier féroce qui descend
détruisant tout sur son passage,
Brisant les branches et faisant rouler les rochers. Partout où se
heurte son front terrible, il semble que l’orgueilleuse forêt croule
sous la rumeur, et que la montagne s’entr’ouvre. Cimosque se tient
à son poste, afin que l’audacieux comte ne passe pas sans lui payer
tribut. Aussitôt qu’il l’aperçoit, il touche avec le feu le soupirail du
tube, et soudain celui-ci éclate.
En arrière, il étincelle comme l’éclair ; par devant, il gronde et
lance le tonnerre dans les airs. Les murs tremblent, le terrain frémit
sous les pieds. Le ciel retentit de l’effroyable son. Le trait ardent, qui
abat et tue tout ce qu’il rencontre et n’épargne personne, siffle et
grince. Mais, comme l’aurait voulu ce misérable assassin, il ne va
pas frapper le but.
Soit précipitation, soit que son trop vif désir de tuer le baron lui ait
fait mal viser ; soit que son cœur tremblant comme la feuille ait fait
trembler aussi son bras et sa main ; soit enfin que la bonté divine
n’ait pas voulu que son fidèle champion fût si tôt abattu, le coup vint
frapper le ventre du destrier et l’étendit par terre, d’où il ne se releva
plus jamais.
Le cheval et le cavalier tombent à terre, le premier lourdement, le
second en la touchant à peine, car il se relève si adroitement et si
légèrement, que sa force et son haleine en semblent accrues.
Comme Antée, le Libyen, qui se relevait plus vigoureux après avoir
touché le sol, tel se relève Roland, et sa force paraît avoir doublé en
touchant la terre.
Que celui qui a vu tomber du ciel le feu que Jupiter lance avec un
bruit si horrible, et qui l’a vu pénétrer dans un lieu où sont renfermés
le soufre et le salpêtre, alors que le ciel et la terre semblent en feu,
que les murs éclatent et que les marbres pesants et les rochers
volent jusqu’aux étoiles,
Se représente le paladin après qu’il se fut relevé de terre. Il se
redresse avec un air si terrible, si effrayant et si horrible à la fois,
qu’il aurait fait trembler Mars dans les cieux. Le roi frison, saisi
d’épouvante, tourne bride en arrière pour fuir. Mais Roland l’atteint
plus vite qu’une flèche n’est chassée de l’arc.
Et ce qu’il n’avait pas pu faire auparavant à cheval, il le fera à
pied. Il le suit si rapidement, que celui qui ne l’a pas vu ne voudrait
point le croire. Il le rejoint après un court chemin ; il lève l’épée au-
dessus du casque et lui assène un tel coup, qu’il lui fend la tête
jusqu’au col, et l’envoie rendre à terre le dernier soupir.
Soudain voici que de l’intérieur de la cité s’élève une nouvelle
rumeur, un nouveau bruit d’armes. C’est le cousin de Birène, qui, à
la tête des gens qu’il avait amenés de son pays, voyant la porte
grande ouverte, a pénétré jusqu’au cœur de la ville encore sous le
coup de l’épouvante où l’avait plongée le paladin, et qui la parcourt
sans trouver de résistance.
La population fuit en déroute, sans s’informer de ce que sont ces
nouveaux venus, ni de ce qu’ils veulent. Mais, quand on s’est aperçu
à leurs vêtements et à leur langage que ce sont des Zélandais, on
demande la paix et on arbore le drapeau blanc, et l’on informe celui
qui les commande qu’on veut l’aider contre les Frisons qui retiennent
son duc prisonnier.
Car la population avait toujours été hostile au roi de Frise et à
ses compagnons, non seulement parce qu’il avait fait périr leur
ancien seigneur, mais surtout parce qu’il était injuste, impitoyable et
rapace. Roland s’interpose en ami entre les deux partis, et rétablit la
paix entre eux. Les deux troupes réunies ne laissèrent pas un Frison
sans le tuer ou le faire prisonnier.
On jette à terre les portes des prisons, sans prendre la peine de
chercher les clefs. Birène fait voir au comte, par ses paroles de
gratitude, qu’il connaît quelle obligation il lui a. Puis, ils vont
ensemble, accompagnés d’une foule nombreuse, vers le navire où
attend Olympie. Ainsi s’appelait la dame à qui, comme de droit, la
souveraineté de l’île était rendue.
Celle-ci avait amené Roland sans penser qu’il ferait tant pour
elle ; il lui paraissait suffisant qu’il sauvât son époux, en
l’abandonnant elle seule au péril. Elle le révère et l’honore, et tout le
peuple avec elle. Il serait trop long de raconter les caresses que lui
prodigue Birène, et celles qu’elle lui rend, ainsi que les
remerciements que tous deux adressent au comte.
Le peuple remet la damoiselle en possession du trône paternel,
et lui jure fidélité. Après s’être unie à Birène d’une chaîne qu’Amour
doit rendre éternelle, elle lui donne le gouvernement de l’État et
d’elle-même. Et celui-ci confie le commandement des forteresses et
des domaines de l’île à son cousin.
Car il avait résolu de retourner en Zélande et d’emmener sa
fidèle épouse avec lui, prétendant qu’il voulait tenter la conquête de
la Frise, et qu’il avait un gage de succès qu’il appréciait fort, à savoir
la fille du roi Cymosque, trouvée parmi les nombreux prisonniers
qu’on avait faits.
Il prétendit aussi qu’il voulait la donner pour femme à son frère
encore mineur. Le sénateur romain partit le même jour que Birène
mit à la voile ; et il ne voulut emporter de tant de dépouilles gagnées
par lui rien autre chose que cet instrument qui, comme nous l’avons
dit, produisait tous les effets de la foudre.
Son intention, en le prenant, n’était pas d’en user pour sa
défense, car il avait toujours estimé qu’il n’appartenait qu’à une âme
lâche de se lancer dans une entreprise quelconque avec un
avantage sur son adversaire. Mais il voulait la jeter dans un lieu où
elle ne pourrait plus jamais nuire à personne. C’est pourquoi il
emporta avec lui la poudre, les balles et tout ce qui servait à cette
arme.
Et, dès qu’il fut sorti du port, et qu’il se vit arrivé à l’endroit où la
mer était la plus profonde, de sorte que, sur l’un et l’autre rivage, on
n’apercevait aucun signe lointain, il la prit et dit : « — Afin que plus
jamais chevalier ne se confie à toi, et que le lâche ne se puisse
vanter de valoir plus que le brave, reste engloutie ici.
« O maudite, abominable invention, forgée au plus profond du
Tartare par les mains mêmes du malin Belzébuth, dans l’intention de
couvrir le monde de ruines, je te renvoie à l’enfer d’où tu es sortie. —
» Ainsi disant, il la jette dans l’abîme, pendant que les voiles,
gonflées par le vent, le poussent sur le chemin de l’île cruelle.
Le paladin est pressé d’un tel désir de savoir si sa dame s’y
trouve, sa dame qu’il aime plus que tout l’univers ensemble, et sans
laquelle il ne peut pas vivre une heure joyeux, qu’il ne met pas le
pied en Ibernie, de peur d’être obligé de consacrer son temps à une
œuvre nouvelle et d’être réduit plus tard à dire : Hélas ! pourquoi ne
me suis-je point hâté davantage !
Il ne permet pas non plus d’aborder en Angleterre ni en Irlande,
ni sur les rivages opposés. Mais laissons-le aller où l’envoie l’Archer
qui l’a blessé au cœur. Avant de parler encore de lui, je veux
retourner en Hollande, et je vous invite à y retourner avec moi. Je
sais qu’il vous déplairait autant qu’à moi que les noces s’y fissent
sans nous.
Les noces furent belles et somptueuses, mais elles seront encore
surpassées par celles qui, dit-on se préparent en Zélande.
Cependant, je ne vous propose pas de venir à celles-ci, car elles
doivent être troublées par de nouveaux incidents dont je vous
parlerai dans l’autre chant, si à l’autre chant vous venez m’entendre.
CHANT X.
Argument. — Birène étant devenu amoureux d’une autre

femme, abandonne Olympie. — Roger reçoit l’hippogriffe des mains
de Logistilla qui lui apprend à le conduire. Il descend avec lui en
Angleterre, où il voit le rassemblement des troupes destinées à
porter secours à Charles. En passant en Irlande, il aperçoit dans l’île
d’Ébude Angélique enchaînée à un rocher pour être dévorée par
l’orque. Il abat le monstre, prend la jeune fille en croupe, et descend
avec elle sur le rivage de la Basse-Bretagne.
Parmi les amants les plus fameux qui donnèrent au monde, soit
dans l’infortune, soit dans la prospérité, les meilleures preuves
d’amour et les plus grands exemples de fidélité, je donnerai de
préférence, non pas la seconde, mais la première place à Olympie.
Et si elle ne doit pas être placée avant tous, je tiens à dire que,
parmi les anciens et les modernes, on ne saurait trouver un amour
plus grand que le sien.
Elle avait rendu Birène certain de cet amour, par des
témoignages si nombreux et si évidents, qu’il serait impossible à une
femme de faire plus pour assurer un homme de sa tendresse, même
quand elle lui montrerait sa poitrine et son cœur tout ouverts. Et si
les âmes si fidèles et si dévouées doivent être récompensées d’un
amour réciproque, je dis qu’Olympie était digne d’être aimée par
Birène, non pas autant, mais plus que soi-même ;
Et qu’il ne devait pas l’abandonner jamais pour une autre femme,
fût-ce pour celle qui jeta l’Europe et l’Asie dans tant de malheurs, ou
pour toute autre méritant plus encore le titre de belle ; mais qu’il
aurait dû, plutôt que de la laisser, renoncer à la clarté du jour, à
l’ouïe, au goût, à la parole, à la vie, à la gloire, et à tout ce qu’on
peut dire ou imaginer de plus précieux.
Si Birène l’aima comme elle avait aimé Birène ; s’il lui fut fidèle
comme elle le lui avait été ; si jamais il tourna sa voile pour suivre
une autre voie que la sienne ; ou bien s’il paya tant de services par
son ingratitude, et s’il fut cruel pour celle qui lui avait montré tant de
fidélité, tant d’amour, je vais vous le dire et vous faire, d’étonnement,
serrer les lèvres et froncer les sourcils.
Et quand vous aura été dévoilée l’impitoyable cruauté dont il
paya tant de bontés, ô femmes, aucune de vous ne saura plus si elle
doit ajouter foi aux paroles d’un amant. L’amant, pour avoir ce qu’il
désire, sans songer que Dieu voit et entend tout, entasse les
promesses et les serments, qui tous se dispersent ensuite par les
airs au gré des vents.
Les serments et les promesses s’en vont dans les airs, emportés
et dispersés par les vents, dès que ces amants ont assouvi la soif
qui les embrasait et les brûlait. Soyez, par cet exemple, moins
faciles à croire à leurs prières et à leurs plaintes. Bien avisé et
heureux, ô mes chères dames, celui qui apprend à être prudent aux
dépens d’autrui.
Gardez-vous de ceux qui portent sur leur frais visage la fleur des
belles années ; car, chez eux, tout désir naît et meurt promptement,
semblable à un feu de paille. De même que le chasseur suit le lièvre,
par le froid, par le chaud, sur la montagne, dans la plaine, et n’en fait
plus le moindre cas dès qu’il l’a pris, s’acharnant seulement à
poursuivre ce qui le fuit ;
Ainsi font ces jeunes gens qui, tant que vous vous montrez dures
et hautaines envers eux, vous aiment et vous révèrent avec tout
l’empressement que doit avoir l’esclave fidèle. Mais, aussitôt qu’ils
pourront se vanter de la victoire, de maîtresses il vous faudra
devenir esclaves, et voir s’éloigner de vous leur faux amour qu’ils
porteront à d’autres.
Je ne vous défends pas pour cela — j’aurais tort — de vous
laisser aimer, car, sans amant, vous seriez comme la vigne inculte
au milieu d’un jardin, sans tuteur ou sans arbre auquel elle puisse
s’appuyer. Je vous engage seulement à fuir la jeunesse volage et
inconstante, et à cueillir des fruits qui ne soient pas verts et âcres,
sans les choisir cependant trop mûrs.
Je vous ai dit plus haut qu’on avait trouvé parmi les prisonniers
une fille du roi de Frise, et que Birène parlait, toutes les fois qu’il en
avait l’occasion, de la donner pour femme à son frère. Mais, à dire le
vrai, il en était lui-même affriandé, car c’était un morceau délicat ; et
il eût considéré comme une sottise de se l’enlever de la bouche,
pour le donner à un autre.
La damoiselle n’avait pas encore dépassé quatorze ans ; elle
était belle et fraîche comme une rose qui vient de sortir du bouton et
s’épanouit au soleil levant. Non seulement Birène s’en amouracha,
mais on ne vit jamais un feu pareil consumer les moissons mûres
sur lesquelles des mains envieuses et ennemies ont porté la
flamme,
Aussi vite qu’il en fut embrasé, brûlé jusqu’aux moelles, du jour
où il la vit, pleurant son père mort et son beau visage tout inondé de
pleurs. Et comme l’eau froide tempère celle qui bouillait auparavant
sur le feu, ainsi l’ardeur qu’avait allumée Olympie, vaincue par une
ardeur nouvelle, fut éteinte en lui.
Et il se sentit tellement rassasié, ou pour mieux dire tellement
fatigué d’elle, qu’il pouvait à peine la voir ; tandis que son appétit
pour l’autre était tellement excité, qu’il en serait mort s’il avait trop
tardé à l’assouvir. Pourtant, jusqu’à ce que fût arrivé le jour marqué
par lui pour satisfaire son désir, il le maîtrisa de façon à paraître non
pas aimer, mais adorer Olympie, et à vouloir seulement ce qui
pouvait lui faire plaisir.
Et s’il caressait la jeune fille, — et il ne pouvait se tenir de la
caresser plus qu’il n’aurait dû, — personne ne l’interprétait à mal,
mais bien plutôt comme un témoignage de pitié et de bonté. Car
relever celui que la Fortune a précipité dans l’abîme, et consoler le
malheureux, n’a jamais été blâmé, mais a souvent passé pour un
titre de gloire, surtout quand il s’agit d’une enfant, d’une innocente.
O souverain Dieu, comme les jugements humains sont parfois
obscurcis par un nuage sombre ! Les procédés de Birène, impies et
déshonnêtes, passèrent pour de la pitié et de la bonté. Déjà les
mariniers avaient pris les rames en main, et, quittant le rivage sûr,
emportaient joyeux vers la Zélande, à travers les étangs aux eaux
salées, le duc et ses compagnons.
Déjà ils avaient laissé derrière eux et perdu de vue les rivages de
la Hollande — car, afin de ne pas aborder en Frise, ils s’étaient
tenus sur la gauche, du côté de l’Écosse — lorsqu’ils furent surpris
par un coup de vent qui, pendant trois jours, les fit errer en pleine
mer. Le troisième jour, à l’approche du soir, ils furent poussés sur
une île inculte et déserte.
Dès qu’ils se furent abrités dans une petite anse, Olympie vint à
terre. Contente, heureuse et loin de tout soupçon, elle soupa en
compagnie de l’infidèle Birène ; puis, sous une tente qui leur avait
été dressée dans un lieu agréable, elle se mit au lit avec lui. Tous
leurs autres compagnons retournèrent sur le vaisseau pour s’y
reposer.
La fatigue de la mer, et la peur qui l’avait tenue éveillée pendant
plusieurs jours, le bonheur de se retrouver en sûreté sur le rivage,
loin de toute rumeur, dans une solitude où nulle pensée, nul souci,
puisqu’elle avait son amant avec elle, ne venait la tourmenter,
plongèrent Olympie dans un sommeil si profond, que les ours et les
loirs n’en subissent pas de plus grand.
Son infidèle amant, que la tromperie qu’il médite tient éveillé, la
sent à peine endormie, qu’il sort doucement du lit, fait un paquet de
ses habits et, sans plus se vêtir, abandonne la tente. Comme s’il lui
était poussé des ailes, il vole vers ses gens, les réveille, et sans leur
permettre de pousser un cri, leur fait gagner le large et abandonner
le rivage.

Ebook Fundamentals of Structural Dynamics PDF Full Chapter PDF

Uploaded by

Copyright:

Available Formats

Ebook Fundamentals of Structural Dynamics PDF Full Chapter PDF

Uploaded by

Document Information

Original Title

Copyright

Available Formats

Share this document

Share or Embed Document

Sharing Options

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

Copyright:

Available Formats

Ebook Fundamentals of Structural Dynamics PDF Full Chapter PDF

Uploaded by

Copyright:

Available Formats

Fundamentals of Structural Dynamics -

For Information on all Elsevier publications

Publisher: Glyn Jones

About the authors ix

1. Overview of structural dynamics 1

2. Formulation of equations of motion of systems 13

2.11.1 The “set-in-right-position” rule for assembling system matrices 59

3. Analysis of dynamic response of SDOF systems 79

4. Analysis of dynamic response of MDOF systems:

5. Analysis of dynamic response of continuous systems:

6. Approximate evaluation of natural frequencies and

6.5.4 RayleighRitz method 241

7. Step-by-step integration method 245

Dr. Zhihui Zhou is currently an associate professor at the School of

received the awards of the Science and Technology Progress of Hunan

Dr. Chenzhi Cai received his BS degree in civil engineering and MS

Prof. Qingyuan Zeng is a distinguished scientist on bridge engineering at

Nowadays, the design of engineering structures, for example, long-span

follows: Zhihui Zhou is responsible for the writing of Chapters 1 to 4;

Overview of structural dynamics

Fundamentals of Structural Dynamics © 2021 Central South University Press.

The investigation of structural dynamics focuses on understanding the

1.2 Characteristics of structural dynamics

could be treated as a static problem (a better understating of this concept

1.3 Classification of vibrations

system should be determined first. Then, the interaction among

the natural frequency associated with transverse bending of the bar,

1.4 Vibration problems in engineering

Figure 1.3 Three factors representing system vibration.

1.5 Procedures of dynamic response analysis of structures

1.5.2 Analysis of excitation

Figure 1.4 Configuration of a simply supported beam: (A) accurate description;

on a bridge include the wheelrail contact forces caused by the hunting

Prescribed dynamic loads include both periodic and nonperiodic loads.

1.5.3 Mechanism of vibration energy dissipation

1.5.4 Equation of motion of a system

where q is the generalized displacement vector; q_ is the generalized veloc-

1.5.5 Solution of equation of motion

1.5.6 Vibration tests

2.1 System constraints

Figure 2.1 Position of a particle in the basic coordinate system.

Fundamentals of Structural Dynamics © 2021 Central South University Press.

system. Bridges, buildings, and other infrastructures are considered to be

Figure 2.2 Particle constrained by a rigid rod.

Figure 2.3 Cylinder rolling horizontally.

Figure 2.4 Motion of an ice skate in a plane.

satisfy the following relationship

Figure 2.5 Motion of a planar pendulum.

the direction of the y axis. The constraint equation of particle m can be

2.2 Representation of system configuration

Figure 2.6 Motion of a double pendulum.

The coordinates x1 , y1 of the mass m1 and x2 , y2 of the mass m2 should

Figure 2.7 Description of the configuration of a simply supported beam.

the boundary constraints

where sinðiπx=LÞ represents the ith shape function which is a prescribed

Therefore a simply supported beam of infinite DOFs is simplified to a

The simply supported beam may be divided into three elements

2.3 Real displacements, possible displacements, and virtual

Considering Eq. (2.12), one obtains