5 Cross Product
5 Cross Product
5 Cross Product
Perkalian silang (cross product) adalah perkalian antar vektor yang menghasilkan besaran
vektor (nilai dan arah).
Perkalian silang dua vektor juga menghasilkan vektor lain yang tegak lurus dengan kedua
vektor yang dikalikan.
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗
𝑒⃗
𝑏⃗⃗
𝜃
𝑎⃗
Rumus Determinan Cross Product
Untuk vektor 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) mendefinisikan perkalian silang dengan
rumus berikut ini :
𝑖 𝑗 𝑘
𝑎
𝐴×𝐵 =| 1 𝑎 2 𝑎3|
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑎2 𝑎3 𝑎1 𝑎3 𝑎1 𝑎2
= 𝑖 |𝑏 𝑏 | − 𝑗 |𝑏 𝑏3 | + 𝑘 | 𝑏1 𝑏2 |
2 3 1
Geometri
Untuk menggambarkan perkalian silang secara geometris diperlukan besar dan arahnya.
Teorema : |𝑨 × 𝑩| = |𝑨||𝑩| 𝒔𝒊𝒏 𝜽
Panjang vektor 𝐴 × 𝐵 adalah |𝑨||𝑩|𝒔𝒊𝒏 𝜽
|𝑨 × 𝑩|𝟐 = |𝑨|𝟐 |𝑩|𝟐 − (𝑨. 𝑩)𝟐
= |𝑨|𝟐 |𝑩|𝟐 − (|𝑨||𝑩| 𝒄𝒐𝒔 𝜽)𝟐
= |𝑨|𝟐 |𝑩|𝟐 (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽)
= |𝑨|𝟐 |𝑩|𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽
|𝑨 × 𝑩| = |𝑨||𝑩| 𝒔𝒊𝒏 𝜽
Identitas Lagrange :
|𝑨 × 𝑩|𝟐 = |𝑨|𝟐 |𝑩|𝟐 − (𝑨. 𝑩)𝟐
Misalkan :
𝐴 = 𝑎 dan 𝐵 = 𝑏
|𝑎 × 𝑏|2 = (𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 )2 + (𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 )2 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )2
= (𝑎22 𝑏32 + 𝑎32 𝑏22 − 2𝑎2 𝑎3 𝑏2 𝑏3 ) + (𝑎32 𝑏12 + 𝑎12 𝑏32 − 2𝑎1 𝑎3 𝑏1 𝑏3 ) + (𝑎12 𝑏22 + 𝑎22 𝑏12 −
2𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 )
= (𝑎22 𝑏32 + 𝑎32 𝑏22 + 𝑎32 𝑏12 + 𝑎12 𝑏32 + 𝑎12 𝑏22 + 𝑎22 𝑏12 ) − 2(𝑎2 𝑎3 𝑏2 𝑏3 + 𝑎1 𝑎3 𝑏1 𝑏3 + 𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 )
= [((𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32 )(𝑏12 + 𝑏22 + 𝑏32 )) − (𝑎12 𝑏12 + 𝑎22 𝑏22 + 𝑎32 𝑏32 )] − [(𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 +
𝑎3 𝑏3 )2 − (𝑎12 𝑏12 + 𝑎22 𝑏22 + 𝑎32 𝑏32 )]
= [|𝑎|2 |𝑏|2 − (𝑎12 𝑏12 + 𝑎22 𝑏22 + 𝑎32 𝑏32 )] − [(𝑎. 𝑏)2 − (𝑎12 𝑏12 + 𝑎22 𝑏22 + 𝑎32 𝑏32 )]
|𝒂 × 𝒃|𝟐 = |𝒂|𝟐 |𝒃|𝟐 − (𝒂. 𝒃)𝟐
Contoh
1. Tentukan luas segitiga yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini
Jawab :
1
Luas segitiga = 2 |(1, 2, 4) × (0, 5, 1)|
𝑖 𝑗 𝑘
(1, 2, 4) × (0, 5, 1) = |1 2 4|
0 5 1
2 4 1 4 1 2
= 𝑖| | −𝑗| |+𝑘| |
5 1 0 1 0 5
= 𝑖 (−18) − 𝑗 + 5𝑘
= (−18, −1, 5)
1 1
Luas segitiga = 2 √(−18)2 + (−1)2 + 52 = 2 √350