1.

Momento da carga permanente (M ¿¿ CP)¿

2
M CP =K x qCP x l

q CP =pp Laje + pp Pavim .

q CP =h Laje x γ Conc . +h Pavim. x γ CBUQ
q CP =0,26 x 2,5+0,11 x 2,4
q CP =0,91tf /m²

−Mxe CP =−0,00833 x 0,91 x 7,6 2=−4,38 tf . m

2
MxmCP =0,014 x 0,91 x 7,6 =2,19 tf . m
2
MymCP =0,0069 x 0,91 x 7,6 =0,36 tf . m

2. Momento da carga móvel ( M CM )

M CM =Q roda x K 1+ q x( K 2+ K 3)

Proda=75 KN ≅ 7,5 tf
TB = 450
2
p=5 KN /m ≅ 0,5 tf /m ²

Qroda=P roda x CIV x CNF x CIA

Qroda=7,5 x 1,35 x 1,0 x 1,25
Qroda=12,66 tf

q=P x CIV x CNF x CIA

q=0,5 x 1,35 x 1,0 x 1,25
q=0,84 tf /m ²

3,00
l x 7,60
= =3,80 m
a 2
4,00

t 0,5+2 x h PAVIM . +h Laje

=
a a

t 0,5+2 x 0,11+0,26
=
a 2

t 0,49
=
a 2
 t
=0,5
a

I NT =V i + ( V f −V i ) x V AR

I −I i
V AR=
I f −I i

3,8−3,0
V AR=
4,0−3,0

V AR=0,8

−M xe =Qroda x K 1+ q x (K 2+ K 3)
−M xe =−[12,66 x K 1 +0,84 x ( K 2 + K 3 ) ]
K 1=0,8+ ( 1,01−0,8 ) x 0,8=0,97
K 2=0,2+ ( 0,55−0,2 ) x 0,8=0,48
K 3=0,8+ ( 2,2−0,8 ) x 0,8=1,92

−M xe =−¿]
−M xe =−14,30 tf . m

MxmCM =Qroda x K 1+ q x (K 2+ K 3)
MxmCM =[12,66 x K 1 +0,84 x ( K 2 + K 3 ) ]
K 1=0,37+ ( 0,485−0,37 ) x 0,8=0,462
K 2=0,30+ ( 0,8−0,3 ) x 0,8=0,70
K 3=0,53+ ( 1,11−0,53 ) x 0,8=0,994

MxmCM =¿
MxmCM =7,27 tf . m

MymCM =Qroda x K 1+ q x (K 2+ K 3)
MymCM =[12,66 x K 1 +0,84 x ( K 2 + K 3 ) ]
K 1=0,179+ ( 0,262−0,179 ) x 0,8=0,245
K 2=0,05+ ( 0,13−0,05 ) x 0,8=0,114
K 3=0,24+ ( 0,57−0,24 ) x 0,8=0,504

MymCM =¿
MymCM =3,62tf .m

3. Momento de dimensionamento (Md)

Md=1,35 x M CP +1,5 x M CM
 −Md ex =−¿
Md xm=1,35 x 2,19+ 1,5 x 7,27=13,86 tf .m
Md ym =1,35 x 0,36+ 1,5 x 3,62=5,92 tf . m

Cálculo dos momentos das lajes em balanço:

1. Momento da carga permanente (M ¿¿ CP)¿

2
M CP =K x qCP x l

l=2,70 m

q CP =pp Laje + pp Pavim .

q CP =h Laje x γ Conc . +h Pavim. x γ CBUQ
q CP =0,21 x 2,5+0,11 x 2,4
q CP =0,79 tf /m ²

−Mxe CP =−¿
−MxmCP =−¿

MxmCP =0
MymCP =0,0069 x 0,91 x 2,7 2=0,04 tf . m
Myr CP =0

2. Momento da carga móvel ( M CM )

M CM =Q roda x K 1+ q x( K 2+ K 3)

Proda=75 KN ≅ 7,5 tf
TB = 450
2
p=5 KN /m ≅ 0,5 tf /m ²

Qroda=P roda x CIV x CNF x CIA

Qroda=7,5 x 1,35 x 1,0 x 1,25
Qroda=12,66 tf

q=P x CIV x CNF x CIA

q=0,5 x 1,35 x 1,0 x 1,25
q=0,84 tf /m ²

l x 2,05
= =1,025 m
a 2
 t 0,5+2 x h PAVIM . +h Laje
=
a a

t 0,5+2 x 0,11+0,22
=
a 2

t 0,94
=
a 2

t
≅ 0,50
a

−Mxe CM =Qroda x K 1+ q x( K 2+ K 3)
−Mxe CM =−[12,66 x 1,10+0,84 x ( 0,05+0 )]
−Mxe CM =−13,97 tf . m

−MxmCM =−¿]
−MxmCM =−3,38 tf . m

MxmCM =Qroda x K 1+ q x (K 2+ K 3)
MxmCM =[12,66 x 0,051+0,84 x ( 0+0,01 ) ]
MxmCM =0,65 tf . m

MymCM =Qroda x K 1+ q x (K 2+ K 3)
MymCM =[12,66 x 0.085+ 0,84 x ( 0+0 ) ]
MymCM =1,08 tf . m

Myr CM =Qroda x K 1 +q x ( K 2 + K 3 )
Myr CM =[12,66 x 0.220+0,84 x ( 0+0 ) ]
Myr CM =2,78 tf . m

3. Momento de dimensionamento (Md)

Md=1,35 x M CP +1,5 x M CM

−Md ex =−[1,35 x 4,38+ 1,5 x 13,97]=−26,87 tf . m

−Md xm=−[ 1,35 x 1,41+ 1,5 x 3,38]=−6,97 tf . m
Md xm=1,35 x 0+1,5 x 0,65=0,98 tf . m
Md ym =1,35 x 0,04 +1,5 x 1,08=1,67 tf .m
Md yr =1,35 x 0+1,5 x 2,78=4,17 tf . m

4. Superestrutura – Laje:
Envoltória de momentos (Md)
 -0,98

,9
5 2
-6,97

26,87

7
7
,9

,6

,1
27,36

-1

-4
13,86

7
7
,6
,1
-1
-4

Envoltória direção (x):

27,36+26,87
Md xe=
2

Md xe=27,12tf . m

0,8 x 27,36=21,89 tf . m

27,36−27,12=0,24
0,24−13,86=14,10

h=26 cm
cobrimento=4 cm

5. Cálculo dos esforços da carga permanente( ECP ):

5.1. Definir o esquema estático das vigas principais relativos aos

carregamentos permanentes.
EX: VP1 = VP2 - 45 x 180

RE1 RT 1 RT2 RT3 RE2

qcp = 7,87 tf / m
4, 00 18,00 4,00
P1 P2
P3 P4

( 0,2 x 1,80 x 13,0 ) x 2,5

ℜ1=ℜ 2= =5,85 tf
2

( 0,25 x 1,20 x 7,15 ) x 2,5

RT 1=RT 2=RT 3= =2,68 tf
2

q CP =q1 +q 2+ q3 +q 4 +q 5

q 1=GR=0,6 tf /m

q 2=[ ( 0,26+0,16 ) x 2,475¿ ¿¿ 2 ] x 1 x 2,5=1,30 tf /m

q 3=( 0,45 x 1,80 ) x 2,5=2,03 tf /m

q 4= ( 0,26 x 3,575 x 1 ) x 2,5=2,33 tf /m

q 5=( 0,11 x 6,10 x 1 ) x 2,6=1,61tf /m

q CP =q1 +q 2+ q3 +q 4 +q 5
q CP =0,6+1,30+2,03+2,33+1,61
q CP =7,87 tf /m

5.2. Reação da carga permanente( RCP ):

(2 x 5,85)+(3 x 2,68)+(7,87 x 26)

Rc pa=Rc pb=
2

Rc pa =Rc pb =112,18 tf

5.3. Esforço cortante da carga permanente:

−5,85
−5,85−7,87 x 4=−37,33
−37,33−2,68+112,18=72,17
72,17−7,87 x 4,5=36,75
36,75−7,87 x 4,5=1,34
1,34−2,68=−1,34
−1,34−7,87 x 4,5=−36,75

72,17

37,33
36,75

5,87
1,34
-1,34
-5,87

-36,75
-37,33

-72,17

5.4. Momento fletor da carga permanente(M CP ):

4
M CP =5,84 x 4−( 7,87 x 4 ) x
2
Mcp S 0=86,36 tf . m

8,5
Mcp S 1=5,85 x 8,5+ 112,18 x 4,5−2,68 x 4,5−( 7,87 x 8,5 ) x
2
Mcp S 1=158,72 tf . m

13
Mcp S 1=−5,85 x 13+ 112,18 x 9−2,68 x 9− (7,87 x 13 ) x
2
Mcp S 1=244,43 tf . m
 -86,36 -86,36

158,72 158,72

244,43

6. Definição do Trem-Tipo-Vigas:
6.1. Definir o Trem-Tipo de carga móvel das vigas principais VP1=VP2,
considerando classe TB – 450.

12 x 8,40
P=
7,60

P=13,26 tf

9,90
( 0,5 x 9,9 ) x
2
p=
7,60

p=3,22 tf /m

Resposta:

7. Linhas de Influência:
7.1. Traçar as linhas de influência de momento fletor em seção a ¼ do vão
para as vigas principais VP1=VP2 e calcular seus respectivos momentos
máximo e mínimo devido a carga móvel em cada seção.

VP1=VP2
 q
Y1
Y2 Y3

4,00
-
Seção S0 S0 S1 S2 S3 S4
LIMF S0 4,00 18,00 4,00

Y 1=−4,00
Y 2=−2,50
Y 3=−1,00

M MAX CM ¿0
S 0=S 4

M MIN CM ¿−¿
S 0=S 4

Area 4x4
−¿= ¿
2

Area−¿=−8 ¿

CIV =1,35
CNF=1,00
CIA=1,25

Q=P x CIV x CNF x CIA

Q=13,26 x 1,35 x 1,00 x 1,25
Q=22,38tf

q= p x CIV x CNF x CIA

q=3,22 x 1,35 x 1,00 x 1,25
q=5,43 tf /m

M MIN CM ¿−¿
S 0=S 4

M MIN CM ¿−[ 22,38 x ( 4,0+ 2,5+ 1,0 ) +5,43 x 8 ]

S 0=S 4

M MIN CM ¿−211,29 tf . m
S 0=S 4
 Y5 Y6 Y7
q

Y8
Seção S1 S1
4,00 18,00 4,00

Y4
Y2 Y3
Y1
4,50

13,50

Y 1=3,38
Y 2=3,00
Y 3=2,63
Y 4=2,25

Area 18 x3,38
+¿= ¿
2

Area+¿=30,42¿

P=13,26 tf
p=3,22 tf . m

CIV =1+1,06 x ( 18+50

20
)
CIV =1,31
CNF=1,00
CIA=1,25

Q=P x CIV x CNF x CIA

Q=13,26 x 1,31 x 1,00 x 1,25
Q=21,71tf

q= p x CIV x CNF x CIA

q=3,22 x 1,31 x 1,00 x 1,25
q=5,27 tf /m

M MAX CM ¿¿
S 1= S 3
 M MIN CM ¿ [ 21,71 x ( 3,38+3,0+ 2,63 )+ 5,27 x 30,42 ]
S 1= S 3

M MIN CM ¿ 355,92 tf . m
S 1= S 3

Y 5=3,00
Y 6=1,88
Y 7=0,75
Y 8=1,00

Area 4 x3,00 4 x1,00

−¿= + ¿
2 2

Area−¿=−8 ¿

M MIN CM ¿−¿
S 1= S 3

M MIN CM ¿−[ 22,38 x ( 3,0+1,88+ 0,75 ) +(5,43 x 8) ]

S 1= S 3

M MIN CM ¿−169,44 tf . m
S 1= S 3

-q q -q
Y3 Y4 Y5

- S2 -
Seção S2
4,00 9,00 9,00 4,00

Y2 Y2
Y1

9,00 9,00

13,26 1,5 1,5 13,26 tf

p=3,22 tf / m

QBAL =22,38 t f
q BAL=5,43 tf /m
Q vão =21,71t f
q vão=5,27 tf /m

Y 1=4,5
Y 2=3,75

Area 18 x 4,5
+¿= ¿
2

Area+¿=40,5 ¿

M MAX ¿ ¿ CM
S2

M MAX ¿ [ 21,71 x ( 4,5+3,75+3,75 ) +5,27 x 40,5 ]

CM
S2

M MAX ¿ 475,95 tf . m
CM
S2

Y 3=2,0
Y 4=1,25
Y 5=0,5

Area
−¿=2 x ( 4 x2 2 )¿
Area−¿=−8 ¿

M MIN ¿−¿ CM
S2

M MIN ¿−[ 22,38 x (2,0+ 1,25+0,5 ) +5,43 x 8 ]

CM
S2

M MIN ¿−127,36 tf .m
CM
S2

8. Momento de dimensionamento(Md ):
_ Envoltória de momentos

Md=1,35 x M CP +1,5 x M CM

Calcular os momentos de dimensionamento ( Md =1,35 x M CP +1,5 x M CM ) para as

vigas principais e traçar sua envoltória de momento máximo e mínimo.

Md MAX ¿ 1,35 x (−86,36 )+1,5 x 0

S 0=S 4
 Md MAX ¿−116,59tf .m
S 0=S 4

Md MIN ¿ 1,35 x (−86,36 )+1,5 x (−211,29)

S 0=S 4
Md MIN ¿−433,52 tf . m
S 0=S 4

Md MAX ¿ 1,35 x 158,72+1,5 x 355,92

S 1= S 3
Md MAX ¿ 748,15 tf . m
S 1= S 3

Md MIN ¿ 1,35 x 158,72+1,5 x (−169,44)

S 1= S 3
Md MIN ¿−39,89 tf . m
S 1= S 3

Md MAX ¿ 1,35 x 244,48+1,5 x 473,95

S2
Md MAX ¿ 1040,97 tf . m
S2

Md MIN ¿ 1,35 x 244,48+1,5 x(−127,36)

S2
Md MIN ¿ 139,01tf . m
S2

-433,52 -433,52

-116,59 -116,59

-39,89 -39,89

139,01

748,15 748,15

1040,97

Max.

Min.

9. Esforço cortante da carga móvel ( M CM ) :

V MAX ¿ ∑ Q x Yi MAX
CM +¿ +q x Area +¿ ¿ ¿
V MAX ¿ ∑ Q x Yi MAX
CM −¿ −q x Area−¿¿ ¿

Traçar a linha de influência de esforço cortante em seções a cada ¼ do vão

das vigas principais e calcular os respectivos cortantes máximos e mínimos
devido a carga móvel em cada seção.

LIEC S0 ESQ. S0
18,00 4, 00
-
-1,0

V MAX S 0 ESQ.=S4 DIR .

¿0

Y 1=−1,0

Area−¿=4 x 1¿
Area−¿=−4 ¿

M MIN CM ¿−[ 22,38 x ( 1,0+1,0+1,0 ) +5,43 x 4 ]

S 0 ESQ .= S 4 DIR.

M MIN CM ¿−88,86 tf . m
S 0 ESQ .= S 4 DIR.

10. Cortantes de carga móvel ( V CM ):

V CM ¿ ∑ Q x Yi MAX +¿ +q x Area+ ¿¿ ¿

V CM ¿−∑ Q x Yi MAX −¿−q x Area−¿ ¿ ¿

Y1 Y2 Y3

Y4 +
+
-
18,00 Y6 Y5 Y4

-1,0

Y 1=1 , 0
Y 2=0 , 92
Y 3=0,83

Area
+¿= ( 182x 1 )¿
Area+¿=9 ¿

Y 4=0,22

QBAL =22,38 t f
q BAL=5,43 tf /m

Q vão =21,71t f
q vão=5,27 tf /m

Area
BAL.+ ¿ = ( 4 x0,22
2 )
¿

Area BAL. +¿ =0,44 ¿

M MAX CM ¿ [ 21,71 x ( 1,0+0,92+0,83 ) + ( 5,27 x 9 ) +(5,43 x 0,44) ]

S 0 DIR .=S 4 ESQ .

M MAX CM ¿ 109,52tf
S 0 DIR .=S 4 ESQ .

Y 5=0 ,14
Y 6=0 , 06

Area
−¿= ( 4 x 0,22
2 )
¿

Area−¿=−0,44 ¿

M MIN CM ¿−[ 22,38 x ( 0,22+0,14+ 0,06 ) +( 5,43 x 0,44)]

S 0 DIR .=S 4 ESQ .

M MIN CM ¿−11,79 tf
S 0 DIR .=S 4 ESQ .

Y1 Y2 Y3

1,0
+
Y4 4,5 +
+ S1
-
Y7 Y6 18,00
Y5
-1,0

Y 1=0,75
Y 2=0 , 67
Y 3=0,58
Area
VÃO + ¿ = ( 13,52x 0,7 )¿
AreaVÃO +¿ =5,06 ¿

Y 4=0,22

Area
BAL .+ ¿ = ( 4 x02, 22 )¿
Area BAL. +¿ =0,44 ¿

M MIN CM ¿ [ 21,71 x ( 0,75+ 0,67+0,58 ) + ( 5,27 x 5,06 )+(5,43 x 0,44) ]

S 1= S 3

M MIN CM ¿ 72,47 tf
S 1= S 3

Y 6=0,75
Y 7=0,67

Area
VÃO −¿= ( 4,5 x20,25 )¿
AreaVÃO −¿ =0,5 6 ¿

M MIN CM ¿−[ 21,71 x ( 0,25+0,17+ 0,0 8 ) + ( 5,27 x 0,5 6 )+(5,43 x 0,44) ]

S 1= S 3

M MIN CM ¿−16,20 tf
S 1= S 3

1 ,0
0,5
+ S2 +
- -

0,5
-1,0