Algebră s, i elemente de statistică matematică

Curs 8

Adela Sasu, Ph.D.

asasu@unitbv.ro Curs 8 1 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

Repartiţia Poisson Po (λ)

Definiţie
O variabilă aleatoare X are o repartiţie Poisson de parametru λ, λ > 0 dacă

 
 k 
X k
λ −λ 
e
k! k∈N

P∞ λk −λ P∞ λk
Evident k=0 k! e = e −λ k=0 k! = e −λ e λ = 1
it −1)
Funcţia caracteristică: ϕ(t) = e λ(e

Demonstraţie:
P∞ itk λk e −λ
P∞ (e it λ)k it λ
ϕ(t) = M(e itX ) = k=0 e k! = e −λ k=0 k! = e −λ e e =⇒
asasu@unitbv.ro Curs 8 2 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

it −1)
=⇒ ϕ(t) = e λ(e
Media: M(X ) = λ
M(X ) = 1i ϕ0 (0)
it −1)
ϕ0 (t) = e λ(e λe it i =⇒ ϕ0 (0) = λi =⇒ M(X ) = λ
Dispersia: D 2 (X ) = λ
1 00
M(X 2 ) = i2
ϕ (0)
it −1) it −1)
ϕ00 (t) = λi[e λ(e λe it ie it + e λ(e e it i] =⇒ ϕ00 (0) = λi(λi + i) =
i 2 (λ2 + λ) =⇒ M(X 2 ) = λ2 + λ =⇒ D 2 (X ) = λ2 + λ − λ2 =⇒
D 2 (X ) = λ
q √
Abaterea pătratică medie: σ(X ) = D 2 (X ) = λ

asasu@unitbv.ro Curs 8 3 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

Repartiţia hipergeometrică
Definiţie
O variabilă aleatoare X are o repartiţie hipergeometrică de parametrii n, a,

N dacă
 
k
, a ∈ N∗ , n ∈ N∗ , max(0, a + n − N) ≤ k ≤ min(n, a)
 
X k n−k 
 Ca CN−a 
CNn k=0,n
n∈N∗

Avem:
n−k
Pn Cak CN−a Pn
= 1 k n−k 1 n
k=0 CNn CNn k=0 Ca CN−a = CNn CN =1

asasu@unitbv.ro Curs 8 4 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete
n
X
Am folosit identitatea: Cak Cbn−k = Ca+b
n
obţinută din
k=0
(1 + x)a (1 + x)b = (1 + x)a+b
an
Media: M(X ) =
N
C k C n−k
Demonstraţie: M(X ) = nk=0 k a C N−a
P 1 Pn k n−k
n = CNn k=0 kCa CN−a
N
a k−1
Folosim formula: Cak = Ca−1
k

n
1 X a k−1 n−k 1 n−1 1 n−1 an
M(X ) = n k Ca−1 CN−a = n aCN−1 = N n−1
aCN−1 = =⇒
CN k CN n CN−1
N
k=1

an
M(X ) =
N
asasu@unitbv.ro Curs 8 5 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

an (N − n)(N − a)
Dispersia: D 2 (X ) =
N N(N − 1)
Demonstraţie: D (X ) = M(X 2 ) − (M(X ))2
2

n n−k n
2
X
2
Cak CN−a 1 X 2 k n−k
M(X ) = k = n k Ca CN−a =
CNn CN
k=0 k=0

n
1 X n−k
= n [k(k + 1) + k]Cak CN−a =
CN
k=0

n n
" #
1 X n−k
X
n−k
= n k(k − 1)Cak CN−a + kCak CN−a =
CN
k=1 k=0

asasu@unitbv.ro Curs 8 6 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

n n
" #
1 X
k−2 n−k
X
k−1 n−k a(a − 1) n−2
= n a(a − 1) Ca−2 CN−a + a Ca−1 CN−a = CN−2 +
CN CNn
k=2 k=1

a n−1 a(a − 1) n−2 a n−1 na(a − 1)(n − 1) an

+ C = CN−2 + CN−1 = +
CNn N−1 N(N−1) n−2 N n−1
n CN−1
N(N − 1) N
n(n−1 CN−2

an (N − n)(N − a)
=⇒ D 2 (X ) =
N N(N − 1)
s
an (N − n)(N − a)
q
Abaterea pătratică medie: σ(X ) = D 2 (X ) =
N N(N − 1)

asasu@unitbv.ro Curs 8 7 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

Repartiţia uniformă discretă

Definiţie
O variabilă aleatoare X are o repartiţie uniformă discretă dacă

 
k 
X 1
n k=1,n

Pn1 1
Avem = n=1
k=1
n n
n+1
Media: M(X ) =
2
Pn 1 1 Pn 1 n(n + 1) n+1
Demonstraţie: M(X ) = k=1 k = k=1 k = =
n n n 2 2
asasu@unitbv.ro Curs 8 8 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

n2 − 1
Dispersia: D 2 (X ) =
12
Demonstraţie:

D 2 (X ) = M(X 2 ) − (M(X ))2

1 1 Pn 1 n(n + 1)(2n + 1)
M(X 2 ) = nk=1 k 2 = 2
P
k=1 k = =
n n n 6
(n + 1)(2n + 1)
6
n + 1 2 n2 − 1 n2 − 1
 
2 (n + 1)(2n + 1)
D (X ) = − = =⇒ D 2 (X ) =
6 2 12 12
r
q 2
n −1
Abaterea pătratică medie: σ(X ) = D 2 (X ) =
12

asasu@unitbv.ro Curs 8 9 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

Exemplul 1: Să se găsească limita inferioară a probabilităţii

  
 X 1  1
P  5 − <

10 6 100

unde X reprezintă numărul de apariţii ale feţei 5 ı̂n 105 aruncări de zar.

Rezolvare: Folosim inegalitatea lui Cebâşev:

D 2 (X )
P(|X − M(X )| < ε) ≥ 1 −
ε2

1
X ∈ Bi (n, p) unde n = 105 , p = (probabilitatea de apariţie a feţei 5)
6
asasu@unitbv.ro Curs 8 10 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

105
M(X ) = np =
6
5 · 105
D 2 (X ) = npq =
36
105 
   
 X 1  1 5
 3 3
 105 − 6  < 100 | · 10 =⇒ X − 6  < 10 =⇒ ε = 10
 

Aplicăm inegalitatea lui Cebâşev =⇒

105 5 · 105 1
P(|X − | < 103 ) ≥ 1 − · 6 =⇒
6 36 10
105 1 71
P(|X − | < 103 ) ≥ 1 − =
6 72 72

asasu@unitbv.ro Curs 8 11 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

Exemplul 2: Să se determine constanta k şi să se calculeze media şi

dispersia pentru variabila aleatoare

 
 n 
X  (ln θ)n 
k
n! θ>1,n∈N∗

Precizaţi ce fel de repartiţie are X.

Rezolvare:
(ln θ)n (ln θ)n
= 1 ⇐⇒ ke ln θ = 1 ⇐⇒
P P
n∈N∗ k = 1 ⇐⇒ k n∈N∗
n! n!
1
kθ = 1 ⇐⇒ k =
θ
asasu@unitbv.ro Curs 8 12 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

X 1 (ln θ)n ln θ X (ln θ)n−1 ln θ ln θ ln θ

M(X ) = n = n = e = θ = ln θ
θ n! θ (n − 1)! θ θ
n∈N∗ ∗ n∈N

=⇒ M(X ) = ln θ
D 2 (X ) = M(X 2 ) − (M(X ))2

X 1 (ln θ)n 1 X (ln θ)n

M(X 2 ) = n2 = [n(n − 1) + n] =
θ n! θ n!
n∈N∗ ∗
n∈N

" #
1 X (ln θ)n X (ln θ)n
= n(n − 1) + n
θ ∗
n! ∗
n!
n∈N n∈N

asasu@unitbv.ro Curs 8 13 / 14
Repartiţii unidimensionale discrete

∞
" #
1 X (ln θ)n−2 X (ln θ)n−1
= (ln θ)2 + ln θ =
θ (n − 2)! ∗
(n − 1)!
n=2 n∈N

1
(ln θ)2 θ + ln θ · θ = ln2 θ + ln θ

=
θ

=⇒ D 2 (X ) = ln2 θ + ln θ − ln2 θ =⇒ D 2 (X ) = ln θ

Deci, X are o repartiţie Poisson de parametru ln θ.

asasu@unitbv.ro Curs 8 14 / 14