SSLC Mathematics Solutions Chapter 4 Circles-Kannda
SSLC Mathematics Solutions Chapter 4 Circles-Kannda
SSLC Mathematics Solutions Chapter 4 Circles-Kannda
GHS Nada
Belthangady, D.K., CLASS NOTES IN KANNADA
Karnataka 574214
yhokkila@gmail.com
CHAPTER 4
9008983286
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ
C¨sÁå¸À 4.1
1. ªÀÈvÀÛªÀÅ ºÉÆA¢gÀ§ºÀÄzÁzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À ¸ÀASÉå JµÀÄÖ?
iv) MAzÀÄ ªÀÈvÀÛ ¸Àà±ÀðPÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛ ºÉÆA¢gÀĪÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ©AzÀĪÉà ____________
3. 5 cm wædå«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ P ©AzÀÄ«£À°è J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀ PQ. EzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ O ¢AzÀ J¼ÉzÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß
Q ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ. OQ = 12 cm DzÀgÉ PQ GzÀݪÀÅ
a) 12 cm b) 13 cm c) 8.5 cm d) 119 cm
4. ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß gÀa¹. PÉÆnÖgÀĪÀ gÉÃSÉUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀAvÉ ªÀÈvÀÛPÉÌ MAzÀÄ gÉÃSÉAiÀÄÄ ¸Àà±ÀðPÀ
ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ gÉÃSÉAiÀÄÄ bÉÃzÀPÀªÁVgÀĪÀAvÉ JgÀqÀÄ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj.
¥ÀjºÁgÀÀ
1. ªÀÈvÀÛªÀÅ ºÉÆA¢gÀ§ºÀÄzÁzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À ¸ÀASÉå JµÀÄÖ?
GvÀÛgÀ: C¥Àj«ÄvÀ
2. ©lÖ ¸ÀܼÀ vÀÄA©j:
i) ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¸Àà±ÀðPÀªÉÇAzÀÄ bÉâ¸ÀĪÀ ©AzÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå ____________
GvÀÛgÀ: MAzÀÄ
ii) ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÉÄà ____________
GvÀÛgÀ: bÉÃzÀPÀ
iii) MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀÅ ºÉÆA¢gÀ§ºÀÄzÁzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À UÀjµÀÖ ¸ÀASÉå ____________
GvÀÛgÀ: JgÀqÀÄ
iv) MAzÀÄ ªÀÈvÀÛ ¸Àà±ÀðPÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛ ºÉÆ A¢gÀĪÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ©AzÀĪÉà ____________
GvÀÛgÀ: ¸Àà±ð
À ©AzÀÄ
3. 5 cm wædå«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ P ©AzÀÄ«£À°è J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀ PQ. EzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ O ¢AzÀ J¼ÉzÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß Q
©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ. OQ = 12 cm DzÀgÉ PQ GzÀݪÀÅ
a) 12 cm b) 13 cm c) 8.5 cm d) √119 cm
GvÀÛgÀ:
¸Àà±ÀðPÀzÀ ¸Àà±Àð©AzÀÄ«¤AzÀ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæPÉÌ J¼ÉzÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ ¸Àà±ÀðPÀPÉÌ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
⇒OP ⊥ PQ
ΔOPQ £À°è ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¥ÀæPÁgÀ,
OQ2 = OP2 + PQ2
⇒ (12)2 = 52 + PQ2
⇒PQ2 = 144 - 25
⇒PQ2 = 119
⇒PQ = √119 cm
(d) √ cm
4. ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß gÀa¹. PÉÆnÖgÀĪÀ gÉÃSÉUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀAvÉ ªÀÈvÀÛPÉÌ MAzÀÄ gÉÃSÉAiÀÄÄ ¸Àà±ÀðPÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ
gÉÃSÉAiÀÄÄ bÉÃzÀPÀªÁVgÀĪÀAvÉ JgÀqÀÄ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj.
AB – MAzÀÄ gÉÃSÉ
PQ – MAzÀÄ bÉÃzÀPÀ
XY – MAzÀÄ ¸Àà±ÀðPÀ
C¨sÁå¸À 4.2
¥Àæ±Éß 1 jAzÀ 3 gÀªÀgÉUÉ ¸ÀjAiÀiÁzÀ DAiÉÄÌAiÀÄ£ÀÄß Dj¹ ªÀÄvÀÄÛ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄyð¹j.
1. MAzÀÄ ©AzÀÄ Q ¢AzÀ, ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀzÀ GzÀݪÀÅ 24 cm ªÀÄvÀÄÛ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ ºÁUÀÆ Q ©AzÀÄ £ÀqÀÄ«£À
zÀÆgÀ 25 cm DzÀgÉ ªÀÈvÀÛzÀ wædåªÀÅ
A) 7 cm B) 12 cm C) 15 cm D) 24.5 cm
2. avÀæ 4.11 gÀ°è, ∠POQ DVgÀĪÀAvÉ, O PÉÃAzÀæªÀżÀî ªÀÈvÀÛPÉÌ TP ªÀÄvÀÄÛ TQ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÁVªÉ. ºÁUÁzÀgÉ
∠PTQ zÀ C¼ÀvÉAiÀÄÄ
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90
3. `O' ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ«gÀĪÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ P ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÁzÀ PA ªÀÄvÀÄÛ PB UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀ
800 DzÀgÉ ∠POA zÀ C¼ÀvÉAiÀÄÄ
A) 500 B) 600 C) 700 D) 800
4. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ ªÁå¸ÀzÀ CAvÀå ©AzÀÄ«£À°è J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
5. ¸Àà±Àð ©AzÀÄ«£À°è ¸Àà±ÀðPÀPÉÌ K¼ÉzÀ ®A§ªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ PÉÃAzÀæzÀ ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ
¸Á¢ü¹.
6. ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ 5 cm zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ A ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀzÀ GzÀݪÀÅ 4 cm EzÉ. ªÀÈvÀÛzÀ wædåzÀ
GzÀݪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
7. JgÀqÀÄ KPÀPÉÃA¢æAiÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À wædåUÀ¼ÀÄ 5 cm ªÀÄvÀÄÛ 3 cm DVªÉ. aPÀÌ ªÀÈvÀÛPÉÌ ¸Àà²ð¸ÀĪÀAvÉ zÉÆqÀØ
ªÀÈvÀÛzÀ eÁåzÀ GzÀݪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
8. ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è ªÀÈvÀÛªÀÅ CAvÀ¸ÀܪÁVzÉ. (avÀæ 4.12 £ÉÆÃr). AB + CD = AD + BC JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
9. avÀæ 4.13 gÀ°è, `O' ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ ºÉÆA¢gÀĪÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ XY ªÀÄvÀÄÛ X1Y1 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÁVªÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸Àà±Àð ©AzÀÄ C £À°è J¼ÉzÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¸Àà±ÀðPÀ AB AiÀÄÄ XY C£ÀÄß A ©AzÀÄ
«£À°è ªÀÄvÀÄÛ X1Y1 C£ÀÄß B ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ ∠AOB = 900 JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
10. ¨ÁºÀå ©AzÀÄ«¤AzÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ JgÀqÀÄ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀ ºÁUÀÆ ¸Àà±Àð ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß
ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæPÉÌ ¸ÉÃj¸ÀĪÀAvÉ J¼ÉzÀ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
11. MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è ªÀÈvÀÛªÀÅ CAvÀ¸ÀܪÁzÁUÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ ªÀeÁæPÀÈwAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ
¸Á¢ü¹.
12. ¸Àà±Àð ©AzÀÄ D AiÀÄÄ BC ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß BD ªÀÄvÀÄÛ DC AiÀÄ GzÀÝ PÀæªÀĪÁV 8 cm ªÀÄvÀÄÛ
6 cm EgÀĪÀAvÉ 4 cm wædå«gÀĪÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀÅ ∆ABC zÀ°è DªÀÈvÀÛUÉƽ¸À®Ä CAvÀ¸ÀܪÁVgÀĪÀAvÉ
gÀa¸À¯ÁVzÉ. [avÀæ 4.14 £ÉÆÃr]. AB ªÀÄvÀÄÛ AC ¨ÁºÀÄUÀ¼À GzÀݪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
13. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è ªÀÈvÀÛªÀÅ CAvÀ¸ÀܪÁzÁUÀ, ªÀÈvÀÛz À PÉÃAzÀæzÀ°è ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ½AzÀ
GAmÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥Àj¥ÀÆgÀPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ
¥Àæ±Éß 1 jAzÀ 3 gÀªÀgÉUÉ ¸ÀjAiÀiÁzÀ DAiÉÄÌAiÀÄ£ÀÄß Dj¹ ªÀÄvÀÄÛ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄyð¹j.
1. MAzÀÄ ©AzÀÄ Q ¢AzÀ, ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀzÀ GzÀݪÀÅ 24 cm ªÀÄvÀÄÛ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ ºÁUÀÆ Q ©AzÀÄ £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ
25 cm DzÀgÉ ªÀÈvÀÛzÀ wædåªÀÅ
∴ OP ⊥ PQ
ªÀÄvÀÄÛ ΔOPQ MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄd.
OQ = 25 cm ªÀÄvÀÄÛ PQ = 24 cm
ΔOPQ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¥ÀæPÁgÀ,
OQ2 = OP2 + PQ2
⇒ (25)2 = OP2 + (24)2
⇒OP2 = 625 - 576
⇒OP2 = 49
⇒OP = 7 cm
GvÀÛgÀ: (A) 7 cm.
A) 7 cm B) 12 cm C) 15 cm D) 24.5 cm
2. avÀæ 4.11 gÀ°è, ∠POQ DVgÀĪÀAvÉ, O PÉÃAzÀæªÀÅ ¼Àî ªÀÈvÀÛPÉÌ TP ªÀÄvÀÄÛ TQ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÁVªÉ. ºÁUÁzÀgÉ
∠PTQ zÀ C¼ÀvÉAiÀÄÄ
OP ªÀÄvÀÄÛ OQ UÀ¼ÀÄ TP ªÀÄvÀÄÛ TQ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À ¸Àà±Àð©AzÀÄUÀ¼À°è J¼ÉzÀ wædåUÀ¼ÀÄ
∴ OP ⊥ TP ªÀÄvÀÄ,Û OQ ⊥ TQ
∠OPT = ∠OQT = 90°
ZÀvÀĨsÀÄðd POQTAiÀÄ°è,
∠PTQ + ∠OPT + ∠POQ + ∠OQT = 360°
⇒ ∠PTQ + 90° + 110° + 90° = 360°
⇒ ∠PTQ = 70°
⇒GvÀÛgÀ (B) 70°.
A) 60 B) 70 C) 80 D) 90
3. `O' ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ«gÀĪÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ P ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÁzÀ PA ªÀÄvÀÄÛ PB UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀ 800
DzÀgÉ ∠POA zÀ C¼ÀvÉAiÀÄÄ
6. ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ 5 cm zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ A ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀzÀ GzÀݪÀÅ 4 cm EzÉ. ªÀÈvÀÛzÀ wædåzÀ
GzÀݪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
AB AiÀÄÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ A ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀªÁVzÉ.
∴ OB ⊥ AB
OA = 5cm and AB = 4 cm (zÀvÀÛ)
ΔABO £À°è,
OA2 = AB2 + BO2 [¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¥ÀæPÁgÀ]
⇒ 52 = 4 2 + BO2
⇒ BO2 = 25 - 16
⇒ BO2 = 9
⇒ BO = 3
∴ ªÀÈvÀÛzÀ wædå 3 cm.
7. JgÀqÀÄ KPÀPÉÃA¢æAiÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À wædåUÀ¼ÀÄ 5 cm ªÀÄvÀÄÛ 3 cm DVªÉ. aPÀÌ ªÀÈvÀÛPÉÌ ¸Àà²ð¸ÀĪÀAvÉ zÉÆqÀØ ªÀÈvÀÛzÀ
eÁåzÀ GzÀݪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
avÀæzÀ°è vÉÆj¹gÀĪÀAvÉ O ©AzÀÄ«£À°è 5¸ÉA.«Äà ªÀÄvÀÄÛ 3¸ÉA.«ÄÃ
wædåUÀ¼ÀļÀî JgÀqÀÄ KPÀPÉÃA¢æÃAiÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß J¼É¢zÉ.
AB AiÀÄÄ 5¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀżÀî ªÀÈvÀÛzÀ eÁå 3¸ÉA.«ÄÃ.wædåzÀ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß P
©AzÀÄ«£À°è ¸Àà²ð¸ÀÄvÀÛzÉ.
∴ AB AiÀÄÄ aPÀÌ ªÀÈvÀÛPÉÌ P ©AzÀÄ«£À°è J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀªÁVzÉ.
⇒ OP ⊥ AB
DzÀÝjAzÀ AP = PB [PÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁåPÉ̼ÉzÀ ®A§ªÀÅ eÁåªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ]
OA2 = AP2 + OP2 [¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¥ÀæPÁgÀ]
⇒ 52 = AP2 + 3 2
⇒ AP2 = 25 - 9
⇒ AP = 4,
AB = 2AP = 2 × 4 = 8 cm
∴ eÁåzÀ GzÀݪÀÅ 8 cm.
8. ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è ªÀÈvÀÛªÀÅ CAvÀ¸ÀܪÁVzÉ. (avÀæ 4.12 £ÉÆÃr). AB + CD = AD + BC JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
avÀæ¢AzÀ,
DR = DS (¨ÁºÀå©AzÀÄ D ¬ÄAzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ) (1)
AP = AS (¨ÁºÀå©AzÀÄ A ¬ÄAzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ) (2)
BP = BQ (¨ÁºÀå©AzÀÄ B ¬ÄAzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ) (3)
CR = CQ (¨ÁºÀå©AzÀÄ C ¬ÄAzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ) (4)
(1) + (2) + (3) + (4)
DR + AP + BP + CR = DS + AS + BQ + CQ
⇒ (BP + AP) + (DR + CR) = (DS + AS) + (CQ + BQ)
⇒AB + CD = AD + BC
9. avÀæ 4.13 gÀ°è, `O' ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ ºÉÆA¢gÀĪÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ XY ªÀÄvÀÄÛ X1Y1 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÁVªÉ
ªÀÄvÀÄÛ ¸Àà±Àð ©AzÀÄ C £À°è J¼ÉzÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¸Àà±ÀðPÀ AB AiÀÄÄ XY C£ÀÄß A ©AzÀÄ«£À°è ªÀÄvÀÄÛ X1Y1 C£ÀÄß B
©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ ∠AOB = 900 JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.