SAB2223 Mechanics of 

Materials and Structures 

TOPIC 4 
STRESS TRANSFORMATION 

Lecturer: 
Dr. Shek Poi Ngian 
 TOPIC 4 
STRESS TRANSFORMATION 
 Analysis of Stress 
• For this topic, the stresses to be considered 
are not on the perpendicular and parallel 
planes only but also on other inclined planes. 

a b y

P P
x
z
a b

(A body subjected to load P)

 Analysis of Stress 
- On plane a-a, normal force, N produces
normal stress.
N P
 
A A

- On plane b-b, normal force, N produces normal

stress and shear force, V produces shearing
stress.
Luas = A/cos

N=Pcos

P  P
V=Psin
 Analysis of Stress 
P cos  P
N   cos 2    x cos 2 
 A  A
 
 cos  

P sin  P 1
  sin  cos    x sin 2
 A  A 2
 
 cos  
 Analysis of Stress 
- On an element, there are 6 components of
stress :
x , y , z , xy , yz , and zx

x
z

- If the z axis is not considered or the stresses

are independent with the z axis, then there
exist only stresses in the x and y directions.
 Analysis of Stress 
- This state of 2 dimensional stress is known as
plane stress.
z = zx = yz = 0

y

y a xy
y’ x’
 x  x
x

a
All directions shown (axes
and on element) are taken y
as positive.
 Stress Transformation 
‐  Stresses on an element can be transformed using 2 
methods: 
  i)   Equations 
  ii)  Mohr circle 

i) EQUATIONS
- Consider an element rotated an amount of 
about the z axis.
 Stress Transformation 
- Stresses on an inclined plane  will be yielded and
can be expressed in term of x , y , xy and .

y’ x’

x’y’ x’
Sign Convention:
x  x
 Positive if counter-clockwise and A
usually taken from the vertical surface A cos xy A sin
(x plane) to the intended plane
xy (A sin) cos
 Positive if tension or in the direction of
positive axis y
 Positive if in the direction of positive
axis
 Stress Transformation 
Normal Stress: 
 x' 
 x  y 

 x  y 
cos 2   xy sin 2
2 2

 y' 
 x  y 

 x  y 
cos 2   xy sin 2
2 2

Shear Stress: 
 
  
sin 2  
x y
cos 2
x' y' xy
2
 Stress Transformation 
In‐Plane Principle Stress: 

2 xy
tan 2 p 
 x  y 

 max and  min 

 x  y    x  y 

  
2

  xy
2

2 
 2 
 Stress Transformation 
Maximum In‐Plane Shear Stress: 

tan 2 s 
 x  y 
2 xy

2
  x  y 
 max       xy 2
 2 
 Stress Transformation 
Average Normal Stress: 
When substituting the values for 2θs into the
equation for normal stress (σx’), there is also a
normal stress on the plane of maximum in-plane
shear stress, which can be determined by:

 avg 
 x  y 
2
 Stress Transformation 
ii) Mohr circle

- In this method, stresses on a plane are drawn

as one point on a Mohr circle.

- From the equations, it can be shown that:

  x   y 
2 2
   x   y 
 x '    
   x ' y '  
2
 
   xy
2

  2   2 

Centre of Circle R2 = max2

 Stress Transformation 
X(+x, +xy)
xy

x x
xy
Y
max
y
min 2p(min)
max
(1) (2) yx
o 
(x+y)/2 2p(max)
(+ve)
2s(max)
X yx

Y(+y, -yx)
(+ve) y
 Example 1 
The state of plane stress at a point on a body is shown 
on the element in the Figure. Represent this stress 
state in terms of the principal stresses. 

90MPa

60MPa

x 20MPa

xy

y
 Example 1 (cont.) 
Solution 

90MPa

60MPa
x = – 20MPa (Compression)
y = 90MPa (Tension) 20MPa
τxy = 60MPa (Clockwise)
xy

y
 Example 1 (cont.) 
Principal Stresses 

 max and  min 

 x  y    x  y 

  
2

  xy
2

2 
 2 

 max and  min 

 20  90 

  20  90 
2

 2
  60
2  2 
 max and  min  35  81.4
 max  35  81.4  116MPa
 min  35  81.4  46.4 MPa
 Example 1 (cont.) 
Orientation of Element 
2 xy
tan 2 p 
 x   y 
2  60
tan 2 p 
 20  90
2 p 2  47.49
 p 2  23.7
2 p1  47.49  180  132.51
 p1  66.3
 Example 1 (cont.) 
The principal plane on which each normal stress acts 
can be determined by applying: 

 x' 
 x  y 

 x  y 
cos 2   xy sin 2
2 2
 x' 
 20  90  20  90
 cos(47.49)  60 sin(47.49)
2 2
 x '  46.4MPa

Hence, σmin = ‐46.4MPa acts on the 
plane defined by θp2 = ‐23.7°, 
whereas σmax = 116MPa acts on 
the plane defined by θp1 = 66.3°. 
 Example 1 (cont.) 
By replacing the θp1 and θp2 into the equation for shear 
stress:  

 x' y' 
 x  y 
sin 2   xy cos 2
2
 x' y' 
 20  90
sin( 47.49)  60 cos(47.49)
2
 x' y' 0

No shear stress acts on this element. 
 Example 2 
The state of plane stress at a point on a body is 
represented on the element shown in the Figure. 
Represent this stress state in terms of the maximum in‐
plane shear stress and associated average normal 
stress.  90MPa

60MPa

x 20MPa

xy

y
 Example 2 (cont.) 
Maximum In‐Plane Shear Stresses 
2
  x  y 
 max       xy 2
 2 
2
  20  90 
 max     60
2

 2 
 max  81.4 MPa
 Example 2 (cont.) 
Orientation of Element 

tan 2 s 
 x  y 
2 xy

tan 2 s  
 20  90 
2  60
2 s 2  42.5
 s 2  21.3
2 s1  180  42.5  222.5
 s1  111.3
 Worked Example 
The proper direction of τmax on the element can be
determined by applying the equation: 

 x' y' 
 x  y 
sin 2   xy cos 2
2
 x' y' 
 20  90
sin 42.5  60 cos 42.5
2
 x' y'  81.4 MPa
 Example 2 (cont.) 
Average Normal Stress. Besides the maximum shear 
stress, as calculated above, the element is also 
subjected to an average normal stress determined 
from the equation: 

 avg 
 x  y 
2
 avg 
 20  90 
2
 avg  35MPa
 Example 3 
The state of plane stress at a point on a body is 
represented on the element shown in the Figure. 
Determine the stress components acting on the inclined 
plane a‐a. 
90MPa

60MPa a

x 20MPa
20°
xy
a
y
 Example 3 (cont.) 
Solution 
Normal Stress: 

 x' 
 20  90   20  90
 cos(70)  60 sin(70)
2 2
 x '  2.57 MPa (Compressive Stress)  70°
20°
Shear Stress: 

 x' y' 
 20  90
sin(70)  60 cos(70) 110°
2
 x' y'  31.16 MPa (Opposite Direction) 
Example 3 (cont.) 

70°
x 20° 20MPa

60MPa
y
110°
90MPa
 Example 4 
The state of plane stress at a point on a body is 
represented on the element shown in the Figure. 
Determine the principal stresses acting at this point. 

90MPa

60MPa

x 20MPa

xy

y
 Example 4 (cont.) 
Construction of the Circle. 
x = – 20MPa (Compression) 
y = 90MPa (Tension) 
τxy = 60MPa (Clockwise) 

The Centre of Circle is at 

 avg 
 x  y 

 20  90 
 35MPa
2 2
The Radius of the Circle is 

  x   y    20  90  
2 2

R 
2
   xy   2
 
2   60 2
 81.4 MPa
   
 Example 4 (cont.) 

σmin = - 46.4MPa σmax = 116.4MPa



2θpmax = 132.6°
60MPa
35MPa

20MPa
tan 2θp2 = 60 / 55
(-20, 60) 2θp2 = tan-1 1.09
2θp2 = 47.49°
 θp2 = 23.74 °
 Ψ = 80° – 33.69°
Example 4 (cont.) 
Ψ = 46.31 ° (20, - 30)
At Point A,
A
2θsmax =
x’ = 20 – 36.06sin46.31° Ψ= 33.69°
x’ = - 6.07MPa 46.31° - 30MPa
x’y’ = 36.06cos46.31° σmin = - 2θpmax =
16.06MPa 56.31°
x’y’ = 24.91MPa

σmax = 56.06MPa

20MPa 20MPa

tan 2θs1 = 20 / - 30
tan 2θp2 = - 30 / 20
2θs1 = tan-1 0.67
2θp2 = tan-1 - 1.5
2θs1 = - 33.69°
2θp2 = - 56.31°
θs1 = - 16.85 °  θp2 = - 28.15 °
 Ψ = 80° – 33.69°
Example 4 (cont.) 
Ψ = 46.31 ° (20, - 30)
At Point A,
A (-6.07, -24.91)
2θsmax =
x’ = 20 – 36.06sin46.31° Ψ= 33.69°
x’ = - 6.07MPa 46.31° - 30MPa
x’y’ = 36.06cos46.31° σmin = - 2θpmax =
16.06MPa 56.31°
x’y’ = 24.91MPa

tan 2θp2 = - 30 / 20
σmax = 56.06MPa
2θp2 = tan-1 - 1.5
2θp2 = - 56.31°
20MPa 20MPa
θp2 = - 28.15 °

tan 2θs1 = 20 / - 30
2θs1 = tan-1 0.67
2θs1 = - 33.69° B (46.06, 24.91)
θs1 = - 16.85 ° 
 Example 5 
The state of plane stress at a point on a body is 
represented on the element shown in the Figure. 
Determine the maximum in‐plane shear stresses and 
the orientation of the element upon which they act. 
90MPa

60MPa

x 20MPa

xy

y
 Example 5 (cont.) 
tan 2θs1 = 55 / 60
2θs1 = tan-1 1.09
2θs1 = 42.5°
τmax = - 81.4MPa
θs1 = 21.3 °

2θs1 = 42.5°

35MPa

20MPa
(-20, 60) τmax = 81.4MPa


 Example 6 
The state of plane stress at a point on a body is 
represented on the element shown in the Figure. 
Represent this state of stress on an element oriented 
30° counterclockwise from the position shown. 
90MPa

60MPa

x 20MPa

xy

y
 Example 6 (cont.) 
tan 2θ = 55 / 60
2θ = tan-1 1.09 B
2θ = 42.5°
θ = 21.3 °

Ψ = 60° – 42.5°
Ψ = 17.5 °

At Point A, 
x’ = 35 + 81.4sin17.5°
x’ = 59.48MPa
42.5°
x’y’ = 81.4cos17.5° x’y’
Ψ = 17.5°
x’y’ = 77.63MPa (-20, 60)
x’
A
20MPa  35MPa
 Example 6 (cont.) 
B x’
At Point B,
x’ = 81.4sin17.5° - 35
Ψ = 17.5°
x’ = -10.52MPa x’y’
x’y’ = - 81.4cos17.5°

x’y’ = - 77.63MPa

42.5°
x’y’
Ψ = 17.5°
(-20, 60)
x’
A
20MPa  35MPa
Example 6 (cont.) 

30°
 References 

1. Hibbeler, R.C., Mechanics Of Materials, 8th Edition in SI 
units, Prentice Hall, 2011. 
2. Gere dan Timoshenko, Mechanics of Materials, 3rd Edition, 
Chapman & Hall. 
3. Yusof Ahmad, ‘Mekanik Bahan dan Struktur’ Penerbit UTM 
2001