ALFERES VESTIBULARES 2.

Derive as funções em relação a x:

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO a) f (x ) = x 2 b) f (x ) = x 3 + x 2

Prof. FABRÍCIO 21.SET.2010 c) f (x ) = 3x 2 + 1 d) f (x ) =

e) f (x ) = 5x 4 − 4x 3 + x + 2 f) f (x ) = x + 2

1 √
g) f (x ) = h) f (x ) = x
ANOTAÇÕES x

i) f (x ) = 1 + 0, 5x 2 j) f (x ) = 3ax 2 + 5b

1
k) f (x ) = 4x 3 − l) f (x ) = (x + 1)2
x

m) f (x ) = (x + 1)3 n) f (x ) = (x 2 + 1)4
√ √3
o) f (x ) = x2 + 1 p) f (x ) = x

1
q) f (x ) = ax 2 + bx + c r) f (x ) = ax 2
2
√3
s) f (x ) = x + x 2 + x 3 + x 4 t) f (x ) = 7x
1. Determine os limites: 1 a
u) f (x ) = v) f (x ) =
x 3 + 2x 2 − 1 x2 x
a) lim (2x 2 − 3x + 4) b) lim √
x →5 x →−2 5 − 3x w) f (x ) = x (x + 3) x) f (x ) = x (2 − x )
2 2
x −1 x −1
c) lim d) lim x3 + 1
x →3 x −1 x →1 x −1 y) f (x ) = z) f (x ) = 1 + 2x + 3x 2
x2
√
t2 + 9 − 3 x2 − 1
e) lim f) lim
t →0 x2 x →1 x −1
3. Integre as funções:
x 2 − x + 12 x 2 − x − 12 Z Z
g) lim h) lim
x →−3 x +3 x →−3 x +3 a) x 2 dx b) (x 3 + x ) dx

x +2 x2 + x − 2 Z Z
i) lim j) lim 1
x →−2 x 2 −x −6 x →1 x 2 − 3x + 2 c) dx d) (x 5 + x 2 ) dx
x2
(h − 5)2 − 25 (2 + h )3 − 8 Z Z
k) lim l) lim
h →0 h h →0 h e) (3x 4 − 2x 3 + 2) dx f) (x + 2) dx

(1 + h )4 − 1 x3 − 1
√
Z Z
m) lim n) lim 3
h →0 h x →1 x 2 −1 g) − dx h) x dx
5x 2
9−t t2 + t − 6 Z Z
o) lim √ p) lim
t →9 3− t t →2 t2 − 4 i) (1 + 0, 5x 2 ) dx j) (3ax 2 + 5b) dx
√ √
2−t− 2 x 4 − 16 Z Z
√3
q) lim r) lim k) 4x dx3
l) x dx
t →0 t x →2 x −2
√
x 2 − 81 x −1 Z Z
s) lim √ t) lim m) (1 + x + x 2 ) dx n) dx
x →9 x −3 x →1 x −1

(1 + h )2 − 1 (1 + h )−2 − 1
Z Z
u) lim v) lim o) 2(x + 3x ) dx
4
p) x −3 dx
h →0 h h →0 h

x2 − x − 2
Z Z
2 1
w) lim x) lim q) (ax 2 + bx + c ) dx r) ax 2 dx
x →−1 x 2 + 3x + 2 x →6 (x − 6)2 2
√ √ Z Z
4− s 1+h−1
y) lim z) lim s) k dx t) 1 dx
s→16 s − 16 h →0 h

1 Aprofundamento - Matemática
 4. Calcule as integrais definidas: 7. Determine a área entre as curvas:
1 1
f (x ) = x 2 g(x ) = x 3
Z Z
a) e x ∈ [0; 1]
a) x 2 dx b) x 3 dx
0 0 √
b) f (x ) = x 2 e g(x ) = x x ∈ [0; 1]
Z 1 Z 1
c) x 2 dx d) x 3 dx
x3
−1 −1 c) f (x ) = e g(x ) = 2x x ∈ [0; 2]
2
1
Z 2 Z
2
e) x 3 dx f) x 2 dx d) f (x ) = x 4 e g(x ) = x 2 x ∈ [−1; 1]
0 0

1 2
√ √
Z Z
g) x dx h) x dx
0 0 F F F
Z 3 Z 2
i) (1 + 2x ) dx j) x 4 dx FORMULÁRIO
1 0

Z 1 Z 1
√ (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2
k) (x − 2x + 1) dx
2
l) x x dx (a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3
0 0

Z 2 Z 5 (a − b)2 = a 2 − 2ab + b2
m) 2
(2 − x ) dx l) (2 + 3x ) dx (a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab2 − b3
0 −1

a 2 − b2 = (a − b)(a + b)
a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b2 )
5. Determine a equação da reta tangente às curvas nos a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b2 )
pontos indicados:
Ponto médio
a) f (x ) = x 2
P(1;1) x + x y + y 
A B A B
MAB = ;
b) f (x ) = x 3 P(1;1) 2 2

c) f (x ) = x 4 P(1;1) Distância entre 2 pontos

d) f (x ) = x 2 + 1 P(1;2) p
dAB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
e) f (x ) = x 2 − 1 P(1;0)
√ Área de triângulo
f) f (x ) = x P(1;1)  
 xA yA 1
1 
g) f (x ) = 2x − 3 P(1;-1) A= ·|D| D =  xB yB 1 
2  
xC yC 1
h) f (x ) = x 2 P(-1;1)

Equação da reta
i) f (x ) = −x 2 + 4 P(0;4)
 
j) f (x ) = x 3 P(0;0)  x y 1 
 xA yA 1  = 0
 
xB yB 1
6. Calcular os pontos crı́ticos das funções a seguir:

a) f (x ) = x 2 Equação da reta

b) f (x ) = x 3 y − yo = m · ( x − xo )

c) f (x ) = x 2 − 6x + 7
ax + by + c = 0 equação geral da reta
d) f (x ) = x 3 + x y = mx + h equação reduzida da reta

1
e) f (x ) = x +
x Derivada de uma curva (inclinação)

f) f (x ) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6
f (x + h ) − f (x )
m = f 0 (x ) = lim
h →0 h
g) f (x ) = −x 2 + 8

2 Aprofundamento - Matemática