Вероятностные и статистические модели управления

Характеристики случайных явлений. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Вероятности исходов и событий. Вероятностное пространство случайного эксперимента. Свойства вероятностей событий. Способы задания вероятностей.

Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Вероятность совместного появления событий (теорема умножения вероятностей независимых событий).

Упорядоченные и неупорядоченные выборки. Выбор с возвращением (упорядоченные и неупорядоченные выборки). Выбор без возвращения (упорядоченные и неупорядоченные выборки). Размещение "дробинок" по "ячейкам". Биномиальное распределение в вероятностной модели, описывающей n-кратное подбрасывание монеты. Случайное блуждание "частицы" (схема Бернулли).

Понятие случайной величины. Распределение вероятностей случайной величины. Дискретное распределение. Непрерывное распределение. Плотность распределения и ее свойства. Функция распределения и ее свойства. Дискретные распределения: вырожденное распределение, распределение Бернулли, биномиальное распределение, геометрическое распределение, распределение Пуассона. Равномерные распределения: равномерное распределение, показательное распределение, нормальное распределение. Свойства нормального распределения. Правило трех сигм. Характеристики распределений: математическое ожидание и его свойства, дисперсия и моменты старших порядков. Свойства дисперсии. Среднеквадратическое отклонение.

Многомерный случайный вектор. Совместное распределение. Свойства функции совместного распределения. Дискретное и непрерывное совместные распределения. Плотность совместного распределения и ее свойства. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Матрица ковариаций. Независимость случайных величин с дискретным и непрерывным совместными распределениями. Ковариация случайных величин и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства.

Номер первого успешного испытания. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях. Независимые испытания с несколькими исходами. Производящая функция вероятностей. Предельная теорема Муавра – Лапласа. Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства. Локальная теорема Муавра – Лапласа. Сходимость по вероятности. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел (Чебышев). Закон больших чисел (Бернулли). Центральная предельная теорема. Условие Ляпунова. Центральная предельная теорема Ляпунова. Устойчивые распределения.

Выборочные характеристики. Выборочное распределение. Таблица выборочного распределения. Функция выборочного распределения. Математическое ожидание. Дисперсия. Момент порядка к. Эмпирическая функция распределения. Вариационный ряд. Гистограмма. Выборочные моменты. Состоятельность выборочных характеристик. Свойства эмпирической функции распределения. Теорема Гливенко – Кантелли. Несмещенная оценка. Асимптотически нормальная оценка. Свойства гистограммы. Свойства выборочных моментов.

Точечные оценки и их свойства. Параметрические семейства распределений. Оценка параметра. Несмещённая оценка. Асимптотически несмещённая оценка параметра. Состоятельная оценка параметра. Две оценки дисперсии. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Сравнение точечных оценок. Среднеквадратичный подход. Класс несмещенных оценок. Эффективная оценка в классе К. Асимптотический подход. Асимптотически нормальная оценка параметра. Регулярность семейства распределений. Носитель параметрического семейства распределений. Условия регулярности. Неравенство Рао–Крамера.

Переменная волатильность с функциональной зависимостью. Хеджирование и страхование рыночного риска. Хеджирующие соотношения. Рыночная цена риска. Риск волатильности.

Понятие случайного процесса. Винеровский случайный процесс. Процессы с ненулевым средним. Лемма Ито. Уравнение Блэка-Шоулза. Дифференциальное уравнение Ито. Ограничения модели Блэка-Шоулза. Приведение уравнение Блэка-Шоулза к каноническому виду. Риск нейтральность.

Доверительный интервал. Асимптотический доверительный интервал. Асимптотически точный доверительный интервал. Квантиль уровня. Алгоритм построения точных интервальных оценок.

Гипотезы и критерии. Простая и сложная гипотезы. Основная и альтернативная гипотезы. Простая основная гипотеза и сложная альтернатива. Сложная основная гипотеза и сложная альтернатива. Выбор из нескольких простых гипотез: простая основная гипотеза и сложная альтернатива; сложная основная гипотеза и сложная альтернатива. Гипотеза однородности. Гипотеза независимости. Критерий гипотезы. Ошибка i-го рода критерия. Вероятность ошибки i-го рода критерия. Сравнение критериев. Критическая область. Критический уровень критерия. Мощность критерия. Минимаксный подход. Область принятия гипотезы. Критические точки. Правосторонняя, левосторонняя и двусторонняя критические области. Идентификация правосторонней критической области. Идентификация левосторонней и двусторонней критических областей. Сравнение двух истинных дисперсий из нормального распределения. Сравнение несмещенной выборочной дисперсии с истинной дисперсий из нормального распределения. Сравнение двух выборочных средних из нормального распределения, дисперсии которых известны (независимые выборки). Сравнение двух выборочных средних из нормального распределения, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки). Критерий согласия Пирсона (гипотеза о нормальном распределении).

Колл-опцион и пут-опцион. Основные меры опционов: цена и период исполнения, стоимость базового актива и опциона. Природа стоимости опциона. Факторы, влияющие на стоимость опциона. Волатильность базового актива. Однопериодная биномиальная модель ценообразования опциона. Двухпериодная биномиальная модель ценообразования опциона. n-периодная биномиальная модель ценообразования опциона.

Проблема оценивания характеристик активов. Модельные предположения однофакторной рыночной модели Шарпа. Вычисление характеристик активов. Бета-коэффициенты рисковых активов. Анализ риска инвестиционного портфеля. Пересмотр портфеля и оценка эффективности управления портфелем. Диверсификация инвестиционного портфеля.

Понятие риска. Классификация рисков. Оценка риска и доходности через вероятностные моменты. Теоретико-вероятностные основы диверсификации. Эффект диверсификации. Влияние масштабов диверсификации на риск композитной финансовой операции. Теоретико-вероятностные основы хеджирования. Страхование и опционы как вид хеджирования. Принятие решений в условиях частичной неопределенности: максимизация среднего ожидаемого дохода; минимизация среднего ожидаемого риска; оптимальная (в смысле Парето) финансовая операция; правило Лапласа равновозможности.

Способы формального представления структуры инвестиционных портфелей. Короткие продажи. Формированию инвестиционного портфеля на основе показателей доходности и риска. Эффекты портфельного инвестирования. Взаимно независимые активы. эффект диверсификации портфеля. Влияние корреляции доходностей активов. Оптимизация структуры портфеля рисковых активов. Эффективные инвестиционные портфели и их свойства. Оптимизация структуры инвестиционного портфеля при возможности безрискового кредитования и заимствования. Характеристики и свойства комбинированного инвестиционного портфеля и оптимизация его структуры. Свойства оптимальных комбинированных портфелей. Задача Марковица – Тобина.

Гамма-распределение. Гамма-функция Эйлера. Распределение хи-квадрат Пирсона. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера. Теорема Фишера.