Poster - VII Bienal SBM (Maceió)

Autor: Prof. Msc. Vladimir Thiengo (Professor Efetivo do Colégio Pedro II - RJ) Orientadora: Profª. Dra. Miriam Del Milagro Abdón (Universidade Federal Fluminense - RJ) Como parte do meu Trabalho de Conclusão do Curso de Mestrado Profissional em Matemática (ProfMat), intitulado: “Ensino de Exponenciais e Logaritmos no Ensino Médio, via Aplicações” – foi apresentado um tópico sobre crescimento e decrescimento contínuo de funções exponenciais e logarítmicas. As principais aplicações destes tipos de funções se dão nas Ciências Biológicas e em problemas de Matemática Financeira, onde a base de crescimento (ou decrescimento) é o “Número de Euler”. - Funções Exponenciais de base e. Gráfico da função Usando limites, temos que: � = � Uma função que ocorre frequentemente O texto original do qual estes seguintes . + = tópicos foram retirados podem ser em problemas de Matemática Financeira e no →+∞ consultados no endereço eletrônico: campo das Ciências Biológicas é = , http://bit.profmatem que é uma constante irracional Matemáticos e cientistas utilizam, sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/508 (aproximadamente 2,71828...). usualmente, em diversos cálculos, funções �. do tipo exponencial da forma = . , Cabe ressaltar que o nome de tal número Funções desse tipo modelam situações pois essa expressão exibe claramente o valor se deve apenas a uma homenagem ao grande de crescimento ou decrescimento inicial da função f(0)=k e também o matemático Leonhard Euler (1707-1783), exponencial contínuo. O conceito de coeficiente � que está relacionado com a sendo que este valor já era utilizado nos continuidade é um dos principais tópicos nos taxa de crescimento (ou decrescimento) da estudos de John Napier (1550-1617). cursos de Cálculo no Ensino Superior. função f . Autor: Prof. Msc. Vladimir Thiengo (Professor Efetivo do Colégio Pedro II - RJ) Orientadora: Profª. Dra. Miriam Del Milagro Abdón (Universidade Federal Fluminense - RJ) Vamos fazer, aqui, uma breve justificativa O mesmo raciocínio do exemplo anterior é Podemos, também, “quebrar” essas matemática de um modelo de crescimento capitalizações em intervalos de tempos válido para aplicações da forma = contínuo. �. + . � . A equação final do crescimento menores – por exemplo, bimestralmente contínuo desse modelo será: Sabe-se, da Matemática Financeira, que a � = �. + capitalização C de um montante M após um � .� .� acréscimo de i por cento é dado por = = �. �. + →∞ = �. + , ou mensalmente depois de um determinado período. Suponhamos que esse período seja de um Além da Matemática Financeira, outras . + = �. ano. principais aplicações das funções exponenciais de base e ocorrem em: Capitalizaremos esse montante de uma Tomando o número de partições outra forma: faremos uma primeira aplicação (intervalos de tempo) cada vez maiores, (i) Crescimentos populacionais (de insetos, de 6 meses e, após, reinvestiremos esse fazendo tender a infinitas partições, temos por exemplo), em que o número de indivíduos montante por mais 6 meses. Sendo assim, a que: varia com o tempo de acordo com a função equação que nos dará o montante acumulado .� � � = � . , com P sendo a população do após as duas capitalizações será � tempo t, � a população inicial, h é uma = = �. �. + = �. + . � constante que depende do tipo de população �→+∞ que está sendo estudada. Observe que + > + . Daí, a É importante observar que, apesar de a (ii) O decaimento da radioatividade de � capitalização durante dois semestres substâncias também é modelada por funções ser crescente, ela não é sequência + consecutivos é maior do que a capitalização � exponenciais desse tipo, por exemplo, em − .� anual direta. ilimitada, uma vez que seu limite no infinito � = . , em que k é uma constante que tende a . depende da substância radioativa estudada. Autor: Prof. Msc. Vladimir Thiengo (Professor Efetivo do Colégio Pedro II - RJ) Orientadora: Profª. Dra. Miriam Del Milagro Abdón (Universidade Federal Fluminense - RJ) - Funções Logarítmicas de base e. Observe ainda que, de acordo com as Existem, também, Funções Logarítmicas bases, o logaritmo natural cresce quando x em que é a porcentagem de carbono 14 na de base e. Tais logaritmos são chamados de cresce; enquanto o Logaritmo Neperiano amostra comparada com a quantidade em Logaritmos Naturais, cuja nomenclatura é decresce, quando x cresce. tecidos vivos e � é a meia-vida do carbono = �� , ∗ 14 (5700 anos). em que ∈ ℝ+ . As principais aplicações das funções logarítmicas de base e ocorrem em problemas (situações) do tipo: Contato: (i) O Centro Nacional de Estatísticas da Saúde dos Estados Unidos projeta a expectativa de vida de acordo com o modelo matemático = , �� + , . �� em que x é o número de anos, contados a partir do ano de 1900. Gráfico da função � = �n � (ii) Uma função usada para calcular a idade de uma amostra usando a datação por Esse logaritmo, por vezes, é erradamente carbono 14 é chamado de Logaritmo Neperiano. Na verdade, o Logaritmo Neperiano (em �� homenagem a John Napier) é um logaritmo �= .� − ,�� de base � = . Prof. Msc. Vladimir Thiengo ProfMat UFF-RJ E-mail: vladthiengo@gmail.com Tel: (21) 98224-3819