Time Series Analysis Using Copula Gauss and AR(1)-N.GARCH(1,1)

p-ISSN 1979 – 3693 e-ISSN 2477 – 0647 MEDIA STATISTIKA 9(1) 2016: 01-13 http://ejournal.undip.ac.id/index.php/media_statistika TIME SERIES ANALYSIS USING COPULA GAUSS AND AR(1)-N.GARCH(1,1) Rezzy Eko Caraka1,Hasbi Yasin2,Wawan Sugiarto1,Sugiarto3,Kadi Mey Ismail1 1 Awardee of LPDP Scholarship, Ministry of Finance, Indonesia 2 Department of Statistics, Diponegoro University, Indonesia 3 Senior High School 1 Moro, Riau Islands Province, Indonesia e-mail: rezzyekocaraka@gmail.com DOI: 10.14710/medstat.9.1.1-13 Abstract In this case, the Gaussian Copula is used to connect the data that correlates with the time and with other data sets. Most often, practitioners rely only on the linear correlation to describe the degree of dependence between two or more variables; an approach that can lead to quite misleading conclusions as this measure is only capable of capturing linear relationships. Correlation doesn’t mean causation, prediction using Copula is built on three things that the marginal distribution function, the kernel function, and the function of the Copula. Gaussian Copula involves the covariance matrix are approximated by using kernel functions. Kernel acts as the correlation between the approach of the data values that have the same characteristics. In this case, the characteristics used is the time. The advantage of the kernel function is able to calculate the correlation between random variables that have a realization using data characteristics. The advantage of using the kernel based Copula able to capture the dependencies between data and process data that have the same characteristics with time. Another benefit is that it allows a sequence of random variables have a joint distribution function so that the conditional probability of the prediction can be calculated. Keywords: Binding, Copula, GARCH, Gauss, Time Series 1. PENDAHULUAN Karakteristik umum harga saham adalah memiliki tingkat ketidakpastian. Ketidakpastian ini dalam hal pergerakan harga saham dalam jangka pendek, ataupun dalam jangka panjang. Karakteristik ini tidak disukai oleh para investor karena menimbulkan risiko pada investasi mereka. Ketidakpastian ini juga tidak dapat dihindari dalam investasi. Untuk menghadapi ketidakpastian pergerakan harga, yang dapat dilakukan oleh investor adalah mengurangi ketidakpastian tersebut. Salah satu alat (tools) untuk mengurangi ketidakpastian adalah dengan melakukan prediksi (forecasting) harga saham. Proses prediksi harga saham terbagi menjadi dua kelompok. Kelompok pertama adalah pihak yang mempercayai bahwa terdapat suatu cara untuk memprediksi harga saham. Kelompok kedua adalah pihak yang berkeyakinan bahwa pasar adalah efisien, dan apabila ada informasi baru yang diperoleh, pasar akan menyerapnya dan mengkoreksi dirinya sendiri. Kelompok kedua ini percaya bahwa harga saham tidak dapat diprediksi. Hal inilah yang disebut teori Efficient Market Hypothesis (EMH) seperti yang disebutkan oleh Gryc (2006). Kelompok ini beranggapan bahwa pasar saham mengikuti pola random Media Statistika 9(1) 2016: 1-13 1 walk, yang berarti bahwa prediksi terbaik yang dapat diperoleh tentang harga masa depan suatu saham adalah berdasarkan harga saham saat ini. Penelitian mengenai fluktuasi saham yang dilakukan oleh Caraka dan Yasin (2015) menyimpulkan capital gain dapat dipakai sebagai salah satu acuan dalam melakukan investasi saham dengan melihat besarnya kerugian maupun keuntungan yang mungkin akan dialami oleh seorang investor terutama jika ingin melakukan investasi dalam jangka waktu yang pendek. Harga saham mengalami fluktuasi baik berupa kenaikan maupun penurunan sehingga dengan harga saham yang berfluktuasi memberikan peluang kepada para investor untuk mengalami keuntungan maupun kerugian. Salah satu metode dalam memprediksi harga saham adalah metode time series forecasting. Pada metode ini dicoba dibuat model prediksi linear untuk melihat pola dari data historis harga saham untuk menilai harganya di masa depan. Nilai harga saham di masa depan dianggap sebagai kombinasi linear dari data historisnya. Model linear ini terbagi menjadi dua kategori model, yakni model univariate regression dan model multivariate regression. Beberapa yang digunakan pada metode time series forecasting diantaranya AR (p), GARCH (p,q), dan Copula. Ada banyak model Copula yang bisa digunakan diantaranya Copula Gaussian, Copula-t, Copula Clayton, Copula Frank, dan Copula Gumbel. Copula merupakan salah satu metode statistika yang dapat menggambarkan hubungan antar variabel yang tidak terlalu ketat terhadap asumsi distribusi, serta dapat menunjukkan hubungan dependensi pada titik-titik ekstrim dengan jelas. Metode ini mempunyai kemampuan untuk mendeskripsikan struktur dependensi antar variabel dengan marginal yang berbeda dan memodelkan dependensi tail-nya. Copula adalah suatu fungsi dari dua hubungan distribusi yang masing-masing mempunyai fungsi marginal distribusi (Nelsen, 1998). Beberapa penelitian mengenai Copula telah dilakukan, antara lain penelitian oleh Murteira dan Lourenço (2007) mengenai penggunaan Copula pada kasus kesehatan. Zhu, Ghosh, dan Goodwin (2008) menerapkan Copula untuk memodelkan asuransi. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Korelasi Analisis korelasi adalah metode statistik yang digunakan untuk mengukur besarnya hubungan linier antara dua variabel dengan satu nilai yang dinamakan koefisien korelasi (Walpole, 2007). Nilai korelasi berkisar pada interval 1    1 . Jika korelasi positif, maka hubungan antara dua variabel adalah searah. Jika korelasi bernilai negatif, maka hubungan antara dua variabel adalah berlawanan. Taksiran ρ yang dekat ke satu, berarti adanya korelasi yang kuat/tinggi atau ikatan linier, sedangkan nilai dekat dengan nol menunjukkan korelasi yang lemah atau tidak ada korelasi. Berdasarkan skala pengamatan pada data pengamatan, korelasi dibedakan sebagai berikut: 1. Korelasi Pearson untuk mengetahui hubungan antara dua variabel yang mempunyai skala interval atau rasio (untuk statistik parametrik). 2. Korelasi Tau-Kendall dan korelasi Rank Spearman untuk mengetahui hubungan antara dua variabel yang memiliki skala ordinal (untuk statistik nonparametrik). 2.2 Copula Copula adalah suatu fungsi distribusi bersama dari beberapa fungsi distribusi marjinal. Copula digunakan untuk menganalisis kebergantungan variable-variabel acak dalam struktur yang digambarkan oleh fungsi gabungan tersebut (Nelsen, 1998). 2 Rezzy Eko Caraka (Time Series) 2.2.1 Copula Gauss Berikut adalah Copula Gauss untuk dua variabel, yang dapat dengan mudah diperluas ke multivariabel (Schölzel & Friederichs, 2008).   Bivariat Normal dan  dengan Pdf Gaussian Copula dinyatakan dalam persamaan (1) Misalkan dengan u , , an adalah distribusi kumulatif dan didefinisikan sebagai normal standar. Maka Gaussian Copula dapat didefinisikan sebagai: , , , , , , , Misal , sehingga dapat dinyatakan sebagai: , , , , , : Jika , , ฀ , , , misalkan Sehingga Copula Gauss dapat dinyatakan sebagai berikut. dengan adalah fungsi distribusi kumulatif bersama normal multivariat dengan matriks kovariansi , invers cdf univariat normal baku, dan . Selain itu Probability density function (pdf) dari adalah dinyatakan dalam persamaan (3) yaitu: dengan Media Statistika 9(1) 2016: 1-13 3 Selanjutnya didapat: 2.2.2 Copula Gauss untuk Binding Copula binding dilakukan untuk menggabungkan dua atau lebih Copula. Khusus untuk Copula Gauss Bivariat, pdf dari Copula bisa ditulis dalam persamaan (4) dengan cdf (Cumulative distribution function) dapat dinyatakan sebagai berikut 2.2.3 Prediksi Menggunakan Copula Gauss Dalam melakukan prediksi menggunakan copula gauss dimiliki formula fungsi distribusi bersyarat dari error model AR-N.GARCH untuk Misalkan , maka persamaan (5) dapat didefinisikan menjadi: Karena pdf berdistribusi normal baku, maka persamaan (5) dipastikan bernilai positif. Kemudian, diperoleh formula fungsi distribusi bersyarat dari error model AR-N.GARCH untuk 4 Rezzy Eko Caraka (Time Series) bernilai positif. Hubungan antara sebagai berikut: pdf distribusi normal baku dengan pdf Copula dapat dinyatakan Misalkan diketahui peubah acak ingin mengetahui prediksi nilai fungsi distribusi bersama bersyarat dari Y yaitu: maka Dengan bentuk gk pada persamaan (7) seperti berikut : Media Statistika 9(1) 2016: 1-13 5 dengan Sehingga fungsi distribusi bersyarat dari Y menjadi: Dengan mengubah funsi distribusi menjadi distribusi normal baku dan menggunakan Copula Gaussian maka persamaan menjadi: Fungsi kepadatan peluang bersama dari Y dapat dinyatakan: 6 Rezzy Eko Caraka (Time Series) dengan , j = 1, 2, , n. Fungsi kepadatan peluang bersama dari Y (jika Y saling bebas): 2.3 Uji Kecocokan Data menggunakan PIT dan Uji KS Menurut Probability Integral Transformation (PIT), jika X suatu peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi kumulatif maka Artinya adalah jika transformasi memang sesuai dengan distribusi asli dari data, kumpulan nilainilai fungsi distribusi kumulatif yang bersangkutan akan mendekati distribusi Uniform(0,1). Untuk menguji apakah histogram dari nilai-nilai fungsi distribusi kumulatif berdistribusi Uniform(0,1) atau tidak, dapat digunakan uji KS. 3. METODOLOGI PENELITIAN S&P 100 adalah pasar saham Amerika Serikat yang dikelola oleh Standard & Poor. S&P 100 bagian dari S&P 500 yang termasuk 100 saham AS terkemuka. Konstituen dari S & P 100 yang dipilih untuk keseimbangan sektor dan mewakili sekitar 57% dari kapitalisasi pasar S&P 500 dan hampir 45% dari kapitalisasi pasar dari pasar ekuitas AS. Sedangkan S&P 600 adalah istilah lain untuk indeks S&P small-cap 600 dan merupakan indeks saham yang berpengaruh pada perekonomian Amerika. Indeks saham ini diisi oleh saham-saham dari sekitar 600 perusahaan yang memiliki modal besar di Amerika Serikat. Indeks saham ini dikelola oleh dan di manage oleh Standard and Poor’s, sebuah divisi keuangan dari McGraw-Hill yang merupakan perusahaan peringkat atas saham dan obligasi. Dalam artikel ini, harga saham S&P 100 dan S&P 600 dimodelkan menjadi data time series, yang akan juga melibatkan Copula Gauss Multivariat. Media Statistika 9(1) 2016: 1-13 7 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Fungsi Distribusi Marginal dari Error Model AR(1)-N.GARCH(1,1) Berikut adalah plot error dan yang diperoleh dari model AR(1)-N.GARCH(1,1) (a) Gambar 1. Plot Data (a). (b) AR(1)-N.GARCH(1,1), (b). Selanjutnya dilakukan fitting distribusi pada yang diperoleh dari model AR-N.GARCH. (a) AR(1)-N.GARCH(1,1) untuk mengetahui fungsi marginalnya (b) Gambar 2. Plot Data (a).Fitting Distribusi Marginal Error SP100, (b). Fitting Distribusi Marginal Error SP600 Dapat dilihat bahwa secara grafis distribusi t diduga cukup sesuai dengan parameter sebagai berikut: 8 dengan Rezzy Eko Caraka (Time Series) Tabel 1. Estimasi Parameter Saham Sp100 Sp600 0,327187055631610 1,088556910692113 3,801952514914956 0,385579999524267 1,079919890458092 2,871901167775360 Selanjutnya akan diuji hipotesis bahwa berdistribusi t dengan menggunakan metode KS untuk data berukuran besar. Statistik uji yang digunakan: dengan Dalam hal ini, digunakan 1000 nilai KS untuk membangun selang kepercayaan, yang masing-masingnya dihitung dengan membangkitkan 1000 data dari distribusi taksiran yang telah diperoleh sebelumnya. Dengan menggunakan uji 1 arah, diperoleh selang kepercayaan dan statistik uji. Tabel 2. Selang Kepercayaan dan Statistik Uji Data -4 Data (1,001 x 10 ; 1,1935 x 10 ) (1,360 x 10-4; 1,433 x 10-4) 1,166 x 10-4 4,5032 x 10-4 Nilai ini berada pada daerah selang kepercayaan. Karena itu, hipotesis bahwa distribusi dari berasal dari distribusi t dengan parameter yang bersangkutan tidak ditolak. Selang kepercayaan Statistik uji -4 4.2 Penentuan Parameter Copula Gaussian Diperoleh h yang memaksimumkan fungsi likelihood sebagai berikut. Dalam hal ini, digunakan partisi sebesar 0,001 untuk setiap iterasi pencarian nilai Tabel 3. Parameter Copula Gauss Saham S&P 100 S&P 600 h 0,440 0,425 (a) Gambar 3. Plot Data (a). Media Statistika 9(1) 2016: 1-13 (b) AR(1)-N.GARCH(1,1), (b). AR(1)-N.GARCH(1,1) 9 Misalkan adalah nilai error untuk S&P 100 dan adalah nilai error untuk S&P 600 yang diperoleh dari model GARCH. Dari fitting distribusi yang telah dilakukan menggunakan metode grafis maupun metode K-S diperoleh masing-masing F dan G adalah distribusi student’s t. Selanjutnya akan ditentukan distribusi bersyarat nilai error dari model sebagai berikut. untuk mendapatkan , digunakan h taksiran yang memaksimumkan likelihood yang telah diperoleh sebelumnya. Dengan formula yang sama juga didapatkan . Misalkan dan yang berupa distribusi normal dengan mean dan variansi yang diperbarui untuk dan dan setiap hari ke- , . Berikut adalah scatter plot untuk Gambar 4. Scatter Plot dan Menurut Probability Integral Transformation (PIT), jika transformasi memang sesuai dengan distribusi asli dari data, kumpulan nilai-nilai fungsi distribusi kumulatif yang bersangkutan akan mendekati distribusi Uniform(0,1). 4.3 Copula Gauss untuk Binding dan , diperoleh Koefisien Korelasi Kendall’s Tau Dengan menggunakan data dan memiliki korelasi yang . Ini berarti bahwa data-data cukup kuat. Diperoleh pula koefisien korelasi Pearson ini berarti nilai korelasi yang sangat kuat. 10 Rezzy Eko Caraka (Time Series) Gambar 5. Kontur CDF Gaussian Copula Copula Gauss cukup dapat mewakili nilai-nilai data. Akan tetapi, bagian ekor di nilai yang mendekati (0,0) dan (1,1) tidak dapat terwakili oleh Copula Gauss. Lalu, dihitung pula nilai . Dengan uji yang sama dengan sebelumnya, akan diuji bahwa nilai-nilai dari berdistribusi u . Diperoleh selang kepercayaan 95%: dengan nilai statistik uji . Nilai statistik uji berada di dalam selang kepercayaan. Jadi hipotesis sebelumnya tidak ditolak. Artinya adalah bahwa berdasarkan PIT, data dari dan sesuai dengan Copula ini. 4.4 Prediksi Harga Saham yang dan Dengan membangkitkan sejumlah nilai berdistribusi Copula Gauss dengan seperti yang telah diperoleh, lalu menginverskannya, kemudian menghitung nilai peluang bersama menggunakan Copula Gauss binding dan multivariat, diperoleh scatter berikut: Gambar 5. Scatter Plot Prediksi Media Statistika 9(1) 2016: 1-13 11 dan Melihat adanya pencilan, untuk menentukan prediksi, tidak diambil pasangan nilai yang memaksimumkan nilai . Dengan batas atas dan batas bawah harga saham sebagai berikut: Tabel 4. Batas Bawah dan Batas Atas serta Realisasi Harga Saham Hari ke 1 2 3 4 5 6 7 Harga saham SP100 Batas bawah Batas atas Realisasi prediksi prediksi 818,2400 815,3143 814,1520 816,9508 817,8686 817,9478 819,6914 818,2400 823,1736 826,1092 825,0372 826,3063 827,4406 828,3053 818,2400 819,1815 820,1842 821,0508 821,9435 822,7367 823,6717 Harga saham SP600 Batas bawah Batas atas Realisasi prediksi prediksi 118,9000 118,3883 118,2700 118,6826 118,8427 118,6375 119,2001 118,9000 119,8828 120,3095 120,2398 120,5136 121,0621 120,9984 18,9000 19,1056 19,2714 19,4556 19,6509 19,8699 20,0663 5. KESIMPULAN Prediksi menggunakan Copula ini dibangun atas tiga hal penting yaitu fungsi distribusi marjinal, fungsi kernel, dan fungsi Copula. Dalam hal ini, digunakan Copula Gaussian untuk menghubungkan data yang berkorelasi dengan waktu dan dengan himpunan data lainnya (dalam hal ini data return harga saham SP100 dan SP600). Acknowledgment Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr.Utriweni Mukhaiyar,M.Si, Ayu Shabrina, Sumayyah Roihanah Thoyyibah berkat masukan dan kontribusi. Penelitian ini didukung penuh oleh Lembaga Pengelola Dana Pendidikan (LPDP) Kementerian Keuangan Republik Indonesia. DAFTAR PUSTAKA Annisa,K.N. dan Sutikno. 2015. Analisis Hubungan Curah Hujan dan Indikator El-Nino Southern Oscillation di Sentra Produksi Padi Jawa Timur dengan Pendekatan Copula. Jurnal Sains dan Seni ITS, Vol. 4, No.1, pp 2337-3520. Arshad, M., Rasool, M. T. dan Ahmad, M. 2003. Anderson Darling and Modified Anderson Darling Tests for Generalized Pareto Distribution. Pakistan Journal of Applied Sciences, 3(2), pp 85-88. Berg, D. dan Bakken, H. 2006. Copula Goodness-of-fit Tests: A comparative Study. The Norwegian Computing. Caraka, R.E., Yasin, H. dan Prahutama, A. 2015. Pemodelan General Regression Neural Network (GRNN) Pada Data Return Indeks Harga Saham Euro 50. Journal Gaussian, Universitas Diponegoro, Vol. 4, No. 2, pp 181-192. Caraka, R.E. dan Yasin, H. 2014. Pemodelan General Regression Neural Network (GRNN) Dengan Peubah Input data Return Untuk Peramalan Indeks Hang Seng. Prosiding Seminar Nasional Ilmu Komputer (SNIK), Universitas Negeri Semarang, ISBN: 978-602-71550-0-8, pp 283-288 Embrechts, P., Lindskog, F. dan McNeil, A. 2001. Modelling Dependence with Copulas and Application to Risk Management. Switzerland. Departement of Mathematics, ETHZ CH-8092 Zürich. 12 Rezzy Eko Caraka (Time Series) Genest, C. dan Nešlehová, J. 2010. Copulas: Introduction to the Theory and Implementation in R with Applications in Finance and Insurance. Universite Laval and McGill University. Genest, C. dan Riverst, L. P. 1993. Statistical Inference Procedures for Bivariate Archimedean Copulas. Journal of the American Statistics Association, pp 10341043. Mikosch, T. 2008. Copulas: Tales and Facts. Denmark: Laboratory of Actuarial Mathematics, University of Copenhagen, Universitetsparken 5, DK-2100. Mukhaiyar, U. 2012. Pengenalan Analisis Deret Waktu (Time Series Analysis). Catatan kuliah. ITB Murteira, J. M. dan Lourenço, Ó. D. 2007. Health Care Utilization and Self-Assessed Health: Specification of Bivariate Models Using Copulas. Health, Econometrics and Data Group. Nelsen, R. B. 1998. An Introduction to Copulas Second Edition. USA. Springer. Schölzel, C., dan Friederichs, P. 2008. Multivariate Non-Normally Distributed Random Variables In Climate Research – Introduction to The Copula Approach. Nonlin. Processes Geophys, 15, pp 761–772. Shabrina, A. 2014. Analisis Model Proses Kopula Berdasarkan Kernel dan Aplikasinya. Bandung. ITB. Walpole, R. E. 2007. Probability dan Statistics for Engineers dan Scientists Eighth Edition. London. Pearson Education LTD. Zhu, Y., Ghosh, S. K. dan Goodwin, B. K. 2008. Modeling Dependence in the Design of Whole Insurance Contract -A Copula-Based Model Approach. Media Statistika 9(1) 2016: 1-13 13