Numri π.

π Gentian Zavalani zavalanigentian@hotmail.com 1. Llogaritja e numrit π Njeriu i pare i cili llogariti me shume se 10 shifra te sakta pas presjes dhjetore te numrit π ishte Al-Kashi ne vitin 1429. Ne vitin 1706 saktesia u rrit ne rreth 100 shifra nga Machin, ne 1949 Smith dhe Wrench e permiresuan saktesin ne 1000 shifra te sakta. Gjetja e shifrave te sakta te numrit π eshte nje menyre e mire edhe per te testuar kompjuterat, hardware dhe sftware. Ne pergjithesi, te gjitha keto llogaritje behen ne dy menyra, dhe rezultatet e perftuara krahasohen me njeri tjetrin, dhe me rezultatin e vendosur si rekord me pare. Per nje kohe te gjate rekordi boteror eshte mbajtur nga Yasumasa Kanada dhe ekipi i tij, i cili ne Nentor te 2002, pas me shume se 600 oresh llogaritje, morren 1.2 trilion shifrat e pare te numrit π ne nje superkompjuter Hitachi SR8000/MPP me 144 procesor. Ky rekord qendroi ne fuqi deri ne 17 Gusht 2009, ku Diasuke Takahashi duke perdorur superkompjutera ne Universitetin Tsukuba, llogarit 2.577 trilion shifra te numrit π. Ky rekord qendroi vetem 136 dite, ne 31 Dhjetor 2009 programuesi Francez Fabrice Bellard, llogariti 2.7 trilion shifra te numrit π, rreth 123 bilion shifra me shume se rekordi i meparshem. Ndryshe nga te tjeret, Fabrice Bellard nuk perdori nje superkompjuter, madje ai perdori nje kompjuter te vetem i cili kushtonte me pak se 2000 Euro. Ai perdori ne llogaritje nje formule me te avancuar.1 ! ∞ X 1 3 6k 545140134k + 13591409 k (−1) = √ (2) π 3k, k, k, k 6403203k+1 40020 k=0 Kjo formule e mrekulluesheme e cila prodhon 14 shifra per cdo shumim ishte zbuluar nga vellezrit legjendar Chudnovsky. Vellezrit Chudnovsky jane te famshem, jo vetem per formulen e tyre e cila mund te perdoret per te llogaritur π, por edhe per superkompjuterin e ndertuar ne kushte shtepie, te cilin me pas e perdoren per te llogaritur 1 bilion shifrat e pare te numrit π. Formula Chudnovsky ishte frymezuar me heret nga nje formule e gjeniut Indian Srinivasa Ramanujan e cila ka pamjen √ ∞ ! 4k 2 2X 1 26390k + 1103 = (3) π 9801 k=0 k, k, k, k 3964k Formula te llojit (2),(3) perdoren gjeresisht ne teorin e formave modulare. Llogaritjet e programuesit Francez Fabrice Bellard duke perfshire dhe verifikimet moren 131 dite, prandaj Bellard i ka filluar llogaritjet disa dite pasi rekordi boteror i 17 Gusht-it 2009 ishte bere i ditur. Sigurisht qe gara vazhdoi, rekordi i Francezit qendroi vetem shtate muaj dhe tre dite, ne 2 Gusht 2010, Alexander J.Yee dhe Shigeru Kondo njoftuan llogaritjen e 5 trilion shifrave te π, perseri ne nje kompjuter te vetem. Megjithate, interesi yne nuk eshte vetem ne peshimin e metodave per llogaritjen e numrit π, por per te vertetuar dicka rreth struktures se ketij numri. 1 Koeficienti multinomial ! n n! = k1 , k2 , k3 , k4 k1 !k2 !k3 !k4 ! i cili jep numrin e coptimeve te nje bashkesi me n element ne kater nenbashkesi me madhesi k1 , k2 , k3 , k4 , ku n = k1 + k2 + k3 + k4 Preprint submitted to Elsevier (1) March 20, 2017 2. Numri π Cdo kush bie dakord qe π eshte nje nga numrat me te rendesishem ne matematike, kjo sepse π ka aq shume veti, sa qe kur ky numer shfaqet papritmas ne llogaritje, askush nuk duhet te surprizohet padrejtesisht. Per shembull, me poshte japim nje teorem te njohur nga Euler(Ejler) X 1 π2 = 6 n2 n≥1 (4) Cdo kushe, mund te pyes veten, a ka lidhje π me mbledhjen termave te serise se mesiperme. Per nje matematicien ne princip kjo pyetje nuk eshte shume e jashtezakonsheme. Nje menyre e zakonsheme per te provuar identitete matematikore eshte te tregohet qe dy anet e identitetit jane dy menyra te ndryshme per te vlersuar te njejten madhesi. Ne nje situate te tille ne mund te perdorim nje fakt te thjeshte nga analiza Furie. Nese f : R −→ C eshte nje funksion periodik me period 2π dhe per cdo numer n ∈ Z koeficientin cn Z π 1 f (x) exp(inx)dx (5) cn = 2π −π atehere kemi identitetin e Parevalit. 1 2π Z π −π | f (x)|2 dx = Nese si funksion f pranojme    1, f (x) =   0, ∞ X −∞ |cn |2      nese x ∈ 2n − 12 π, 2n − 12 π per x te tjera (6) (7) Gjejme qe ana e majte e ekuacionit (6) eshte 21 . Lehtesisht mund te tregohet qe ana e djathte eshte  1    (nπ)2 , n − tek |cn | =   1, n − cift 4 2 (8) Duke perdorur identitetin e Parsevalit mund te shkruajme 1 1 1 X 1 = + 2 2 4 π n2 n−tek (9) Ne saje te faktit qe n2 = (−n)2 , ekuacioni (9) mund te shkruhet 1 1 2 X 1 = + 2 2 4 π n2 n−tek (10) Pra, X 1 π2 = 8 n2 n−tek Anen e djathte te (11) mund ta shkruajme ne formen X 1 X 1 X 1 = − 2 n n2 n≥1 (2n)2 n≥1 n−tek (11) (12) Pra, X 1 3X 1 = 2 4 n≥1 n2 n n−tek 2 (13) Ne kete menyre kemi treguar qe X 1 π2 = 2 6 n n≥1 (14) Deri tani kemi dhene nje arsye per shfaqjen e numrit π. Megjithate ky nuk eshte shpjegimi i vetem. Nje funksion periodik, shpesh mendohet si nje funksion i percaktuar ne rrethin njesi. Koeficienti Furie cn eshte ne nje fare menyre nje mesatare e percaktuar ne rreth, prandaj duhet ta pjestojme me gjatesin e rrethit, e cila eshte 2π. Por cfare eshte π. Percaktimi qe ne kemi pare eshte: raporti i perimetrit me diametrin e rrethit. Me poshte po listojme disa nga karakteristikat e numrit π. Percaktojme funksionin sin(x) te barabarte me shumen e seris (i) sin(x) = X (−1)k k≥0 x2k+1 (2k + 1)! (15) (ii) π= Z 1 (iii) π = 2 (iv) Z Z √ 2π = dx √ 1 − x2 1 1 √ −1 (16) 1 − x2 dx (17) ∞ ! x2 dx exp − 2 −∞ (18) (v) ! X 1 4 2 1 1 π= − − − 16k 8k + 1 8k + 2 8k + 5 8k + 6 k≥0 (19) (vi) ku   v √ 1 X 1 d   q p(n) = Ak (n) k · √ dn  2π 2 k=1 n− Ak (n) = X 1 24   s !  π 2  1   exp  n−  k 3 24  eiπ( s(m,k)− 2nm k (20) ) 0≤m<k, (m,k)=1 Formula (ii) dhe (iii) jane shprehje per gjysmen e perimetrit dhe siperfaqes per rrethin njesi. Pra, keto formula percaktojne shprehjet analitike te fakteve gjeometrike,  2  qe nje rreth ka perimeter 2π dhe siperfaqe π. Vetia (iv) na tregon se cfare konstante duhet vendosur para exp − x2 per te perftuar ligjin normal. Funksioni ! 1 x2 (21) √ exp − 2 2π ne konteksin matematikore ndeshet ne shume fusha. Nga teori e probabilitetit te analiza Furie, ne mekaniken kuantike. Funksioni (21) eshte invariant rrotullues. Pra nje funksion i cili varet vetem nga distanca me origjinen. Le te marrim nje shembull, supozojme se hedhim nje shigjete drejt nje tabele, me qellim goditjen e qendres se tabeles. Kete problem mund ta modelojme si shume e dy shperndarjeve normale te pavarura nje per kordinaten x dhe nje per kordinaten y se cila nga keto me ligj normal te normuar, pra N (0, 1). Ne kete menyre funksioni densitar jepet me anen e formules ! ! y2 x2 1 exp − (22) exp − 2π 2 2 3 ose 1 r2 exp − 2π 2 ! (23) ku r eshte distanca e pikes (x, y) nga origjina. Formula (vi) jep numrin e ndarjeve te nje numri te plote. Nje ndarje e nje numri te plote n eshte nje bashkesi numrash te plote pozitive me shume te barabart me n. Per shembull, nje ndarje e 4 eshte thjesht 2 + 1 + 1. Funksioni ndarje, p (n), eshte percaktuar i tille qe te jete numri i ndarjeve te numrit n. Per n = 4, ka 4 ndares: 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, dhe 1 + 1 + 1 + 1. Keshtu p (4) = 4. Natyrisht, vlerat e funksionit p (n) rriten me rritjen e n. Per shembull p (10) = 42 p (20) = 627. Megjithate, per 150 vjet, Matematikanet nuk ishin ne gjendje per te gjetur nje formul te qarte per funksionin p (n). Me pas, ne vitin 1918, Ramanujan gjeti formulen (20). Nje fakt i cili duket paradoksal per shume jo matematicien eshte qe nje numer kaq natyral sa π eshte irracional dhe transhedental. Megjithate, kjo nuk duhet te jete tej mase surprizuese. Megjithese percaktimi i vetive te π eshte i thjeshte, ato nuk na shpien drejt zgjidhjeve te ekuacioneve polinomiale. Prandaj do te ishte e cuditsheme sikur numri π te mos ishte transhedental. Gjithashtu do te ishte suprizuese sikur dikush te gjente nje forme, nje rregull per gjenerimin e shifrave pas presjes dhjetore te numrit π. 3. Numrat irracional dhe transhedental Nje numer irracional eshte nje numer i cili nuk mund te paraqitet ne trajten qp , ku p, q ∈ Z. Me te permendur √ √ jane numrat 2, π. Vertetimi i meposhtem qe 2 eshte numer irracional eshte nje nga argumentat me te njohur ne matematike. √ Supozojme se numrin 2 eshte racional, pra mund ta shkrujme ne trajten √ 2= p , p, q ∈ Z q (24) gjithashtu supozojme se p, q nuk kane faktor te perbashket. Ekuacionin(24) mund te shkruhet ne trajten p2 = 2q2 (25) Pra p eshte numer cift, shenojme p = 2k. Ekuacioni (25), shkruhet 4k2 = 2q2 ⇒ q2 = 2k2 (26) Pra q eshte numer cift, ne kundershtim me supozimin qe numrat p, q nuk kane faktor te perbashket. Ka shume problem ne matematike te cilat kerkojne kur nje numer eshte racional ose jo, per shembull π + e, πe nuk dihen nese jane irracional, gjithashtu edhe konstantja e (Euler) Ejlerit ! 1 1 1 (27) γ = lim 1 + + + . . . + − log n ≈ 0.57721... n−→∞ 2 3 n Gjithashtu, dihet se ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . ., ku ζ(s) eshte funksioni zeta i Rimanit i percaktur per numra kompleks i cili ka disa veti shume te rendesishme rreth shperndarjes se numrave te thjeshte2 Nese s eshte nje numer kompleks ku pjesa reale eshte me e madhe se 1, pra ℜ(s) > 1, atehere percaktojme X ζ(s) = n−s (29) n≥1 2 Nje e dhene pse ky funksion eshte i lidhur me shperndarjen e numrave te thjeshte eshte formula e Ejlerit Y 1 ζ(s) = 1 − p−s p Prodhimi ne anen e djathte merret per numra te thjeshte. 4 (28) kushti ℜ(s) > 1 garanton konvergjencen e seris. Funksioni ζ(s) eshte analitik, ne saje te vazhdueshmeris analitike eshte i percakture ne gjithe planin kompleks. Cfare mund te themi per numrin e? A eshte numri e irracional? Pergjigja eshte po! Me poshte do te paraqesim nje vertetim klasik. Ne vertetim do te perdorim supozimin nga e kunderta, i cili njihet ndryshe si ”reductio ad absurdum”:tregojme qe nje pohim X eshte jo i vertete duke supozuar ne fillim qe X eshte i vertete, dhe duke treguar qe kjo do te na shpier drejt nje kontradiksioni logjik. Vertetimi per te treguar irracionalitetin e numrit e do te behet me ndimen e serive te pafundme. Nese e X1 (30) e= i! i≥0 do te ishte e barabarte me qp , ku p, q ∈ Z, atehere do mund te shkruajme p(q − 1)! = X q! i≥0 i! = X q! i≥q i! + X q! i! i≤q+1 (31) Pra, shkruajme p(q − 1)! = X q! i≥q i! + X q! i! i≤q+1 (32) Ne anen e majte te (32) p(q − 1)! ∈ Z, gjithashtu dhe termat e shumes se pare ne anen e djathte, pra i ≥ q jane te gjithe numra te plote. Prandaj dhe termat e shumes se pare jane te gjithe numra te plote. Vazhdojme me tutje Shqyrtojme shumen X q! 1 1 1 = + + + ... (33) (q (q (q (q i! q + 1 + 1) + 2) + 1) + 2) (q + 3) i≤q+1 Shuma e mesiperme (33) eshte e kufizuar nga seria gjeometrike 1 1 1 1 + + ... = q + 1 (q + 1)2 (q + 1)3 q (34) Pra, ekuacioni (32) mund te shkruhet ne formen 0< X q! i≥q i! − p(q − 1)! < 1 q (35)   Duke ndjekur kete logjike ne gjejme nje numer te plote ne 0, 1q , q ∈ Z. Kontradiksion. Disa numra jane me  √  irracional se disa te tjere. Numri me irracional eshte ς = 12 1 + 5 , prerja e arte, per arsye te perafrimit me te mire racional, raporti i elementeeve te njepasnjeshem i seris se Fibonacit jep nje perafrim te numrit ς. Nje numer transhedental eshte nje numer jo algjebrik, e thene ndryshe eshte nje numer i cili nuk eshte rrenje e asnje √ ekuacioni polinomial me koeficient numra r te plot. Per shembull numri 2 nuk eshte transhedental, meqnese ai eshte q √ 2 zgjidhje e ekuacionit x − 2 = 0, as numri 5 15 115. Pyetjes nese ekzistojne numra transhedental, Liuvil (LIOUVILLE) iu pergjigje ne vitin 1844 i cili tregoi disa numra ishin transhedental, nje shembull i mire njohur eshte X ξ= 10−n! (36) n≥1 Ky numer nuk eshte algjebrik, sepse mund te perafrohet shume here me sakte me nje numer racional se sa me nje 110001 eshte shume afer numrit ξ. Liuvil tregoi qe, nese α eshte rrenje e nje numer algjebrik. Per shembull numri 1000000 polinomi te rendit n, atehere C (α) q > , ∀p, q ∈ Z (37) α− p pn 5 E thene me fjale te tjera α nuk mund te perafrohet shume sakte me numra racional. Me vone Roth vertetoi α− C (α) q > 2+ǫ , ∀p, q ∈ Z, ∀ǫ > 0 p p (38) Kantor ndermori nje rruge tjeter per numrat tanshedental. Ai tregoi qe numrat algjebrik jane te numerueshem, e cila do te thote qe ekziston nje bijeksion nga bashkesia e numrave natyrore N ne bashkesin e numrave algjebrik. Ne pergjithesi eshte shume e veshtire te provohet nese nje numer specifik eshte transhedental. Ne fakte, perdorimi i argumentit qe numrat transhedental jane te mire perafrueshem me numra racional perben vetem nje kusht te mjaftueshem. Numrat π dhe e njihen si numra transhedental, gjithashtu dihet se e− q C (ǫ) > 2+ǫ , ∀p, q ∈ Z, ∀ǫ > 0 p p (39) pra e nuk eshte shume mire i perafruesheme me numra racional. Meqenese ζ (2m) eshte gjithmone nje numer racional shumefish i π2m , atehere numrat ζ(2), ζ(4), ζ(6), . . . jane transhedental. Teoria moderne e numrave transhedental permbane disa rezultate shume te bukura, nje rezultat i hershem eshte teorema Gel’fond-Schneider, e cila thote qe µη √ √2 eshte transhedental nese µ , 0, 1 eshte algjebrik, dhe nese η eshte algjebrik por jo racional. Per shembull 2 eshte numer transhedental. Nje rezultat tjeter eshte teorema e gjashte eksponencialeve, e cila formulohet: nese γ1 , γ2 jane dy numra kompleks linearisht te pavarura, dhe nese ε1 , ε2 , ε3 jane tre numra kompleks linearisht te pavarur, atehere te pakten nje nga gjashte numrat exp(γ1 ε1 ), exp(γ1 ε2 ), exp(γ1 ε3 ), exp(γ2 ε1 ), exp(γ2 ε2 ), exp(γ2 ε3 ) (40) eshte transhedental. Lidhur me teoremen e mesiperme eshte konjektura e kater eksponencialeve (e pazgjidhur) nese γ1 , γ2 jane dy numra kompleks linearisht te pavarura, dhe nese ε1 , ε2 jane dy numra kompleks linearisht te pavarur, atehere te pakten nje nga gjashte numrat exp(γ1 ε1 ), exp(γ1 ε2 ), exp(γ2 ε1 ), exp(γ2 ε2 ) (41) eshte transhedental. √ √ √ Numrat 2 2 , log 2, eπ , dihen se jane numrat transhedental. Me status te pa percaktuar jane numrat, 2e , πe , π 2 , e + P π, e log 2, dhe konstantia e Ejlerit γ = limn→∞ nk=1 1k − log n. Sigurisht qe te gjithe keta numra jane transhedental, por akoma nuk eshte provuar qe secili prej tyre eshte irracional. Principi baze qe duhet te kuptojme eshte qe, numrat mund te provohen qe jane irracional nese ato mund te perafrohen ”shume mire” me numra racional. √ Cdo numer mund te perafrohet arbitrarisht mire me numra racional; duke gjurmuar shifrat dhjetore. Per shembull 2 = 1.41421356..., ne mund ta perafrojme 141421 = 1.41421, 100000 14142135 = 1.4142135 10000000 (42) Duke gjurmuar shifrat dhjetore, ne mund te marrim nje perafrim te mire, me kosto rritjen e emeruesit. Krahasojme perafrimet e mesiperme me perafrimet 99 = 1.41428571, 70 1393 = 1.41421319 985 (43) Ne rastin e dyte kemi marr nje perafrim te mire deri ne gjashte shifra te sakta pas presjes dhjetore duke perdorur nje emerues te vogel, i cili ka tre shifra ne krahasim me tete shifrat e perafrimit (42). Pra perafrimet e gjetura ne rastin (43) jane me te mira se ato te rastit (42), te pakten ne kuptimin e emeruesit. Per te vlersuar ”cilesin e perafrimit te nje numri real α me nje numer racional qp , ne nuk duhet te mendojme qe diferencen absolute p α− q 6 ta zvogelojme, por diference ta zvogelojme ne krahasime me madhesin q1 . Pra duam qe madhesia α− p q 1 q = |qα − p| (44) te jete shume e vogel. √ Shqyrtojme perafrimin e 2. Per shembull nga (42) shkruajme √ 100000 2 − 141421 = 0.35623..., √ 10000000 2 − 14142135 = 0.6237309... (45) 1 1 Rezultatet e perftuar ne (45) nuk jane te vogla krahasuar me 100000 , 10000000 . Nga (43) shkruajme √ 1 70 2 − 99 = 0.005050633..., ∼ = 0.01428571... (46) 70 √ 1 = 0.0010152... (47) 985 2 − 1393 = 0.003589374..., ∼ 985 √ 1393 Pra, perafrimet e 99 2. Ne kete menyre kemi mesuar nje 70 , 985 duhet te gjykohen si perafrime racionale te mira te strategji per te provuar kur numrat jane irracional Theorem 1. Le te jete α ∈ R, nese ekzistojne sekuencat pk , qk ∈ Z te tilla qe αqk − pk , 0 dhe |αqk − pk | → 0 kur k −→ ∞, atehere numri α eshte irracional. Per k shume te medha 0 < |αqk − pk | < 1, pra per keto k ne duhet te kemi qk , 0. Supozojme se α eshte racional, si rezultat mund te shkruajme α = mn , n , 0. Atehere α− pk m pk mqk − npk − = = qk n qk nqk (48) Duke shumezuar me qk , marrim mqk − npk 1 ≥ n n Kontradiksion logjik, pasi kufizuesi i poshtem kundershton faktin qe |αqk − pk | → 0. |αqk − pk | = 7 (49)