Mecanique

BANQUE D’ÉPREUVES DUT-BTS — SESSION 2011 — ÉPREUVE DE MÉCANIQUE CODE ÉPREUVE : BE-MÉCA CALCULATRICE INTERDITE DURÉE : 2H30 Exercice 1 (A) Le laiton est un alliage de cuivre et de zinc. (B) L’acier désigné par 35NiCrMo16 (35NCD16) est fortement allié. (C) En réalisant une trempe suivie d’un revenu, le module d’Young d’un acier est modifié. (D) Le coefficient de frottement statique, à sec, entre deux surfaces en acier est compris entre 0,01 et 0,02. (E) En général, le coefficient de frottement dynamique est supérieur au coefficient de frottement statique. Exercice 2 Lors de la conception d’un engrenage, notamment au niveau de l’avant-projet, il est fréquent de faire appel à un modèle qui consiste à représenter la dent comme une poutre encastrée en O soumise à un chargement ponctuel en I. La Figure 1 représente la modélisation d’une des dents du pignon inférieur par une poutre de longueur L (environ égale à la demi-hauteur de la dent) et de section constante S = s0 ×b (où s0 est l’épaisseur curviligne de taille et b la largeur de la denture). Cette poutre est encastrée en O est soumise à un glisseur ~F en I dont la norme est notée F = k~Fk. Classiquement, dans le cadre de la théorie des poutres, on prendra comme convention que le torseur de cohésion à l’abscisse x représente les actions mécaniques intérieures exercées par la partie avale (> x) sur la partie amont (< x). y α x G b s0 S z I x F α I L G x s0 y z O L Figure 1 – Modélisation d’une dent d’un pignon. (A) L’effort normal dans la poutre est : N(x) = −F cos α 1 (1) (B) Le moment fléchissant selon~z dans la poutre est : M(x) = F cos α(L − x) (2) (C) Le moment quadratique de la section S par rapport à l’axe (G,~z), est : I= s 0 b3 12 (D) La contrainte normale maximale dans la poutre est telle que :   L F cos α + sin α |σmax | = s0 b s0 (E) Le déplacement de l’extrémité I sous l’action du glisseur ~F est :   F 1 L3 ~ U(I) = − sin α ~x + cos α ~y E S 3I Exercice 3 Dans cet exercice, on s’intéresse aux spécifications de la Figure 2. 0,08 A-B A 5 B 5 0,02 A-B 0,02 A-B Figure 2 – Spécifications d’une pièce. (A) Le symbole ⊚ dénote une spécification de cylindricité. (B) Pour chacune des spécifications ⊚, l’élément tolérancé est une droite. (C) La spécification avec une tolérance ∅0, 08 est surabondante car automatiquement assurée si les spécifications avec une tolérance ∅0, 02 sont vérifiées. (D) La référence commune A-B est une droite comprise dans deux cylindres de diamètres ∅0, 02. (E) La référence commune A-B aurait été différente si l’on avait spécifié B-A. 2 2 1 Figure 3 – Montage de roulements. Exercice 4 Dans cet exercice, on se propose d’étudier le montage de roulements de la Figure 3. Celui-ci permet de guider en rotation un moyeu 1, supportant une des roues, par rapport à un essieu 2. (A) Ce type de montage est à réserver à des situations où les charges axiales à transmettre sont faibles. (B) Le rotulage admissible par ce type de roulements est inférieur à 20’ d’angle. (C) L’écrou permet de régler la précharge dans le montage. (D) La durée de vie de tels roulements peut être calculée en utilisant la formule L = (C/P)α où L est la durée de vie nominale (en millions de tours), C la charge dynamique de base (en kN), P la charge dynamique équivalente (en kN), et α = 3. (E) La durée de vie nominale d’un roulement est associée à un niveau de fiabilité de 99 %. Exercice 5 La Figure 4 schématise le fonctionnement cinématique d’un variateur de vitesse à bille. Il est composé d’un bâti 0, d’un arbre d’entrée 1, d’un arbre de sortie 2 et d’une bille 3. Le repère R0 = (O,~x0 ,~y0 ,~z0 ), lié au bâti 0, est fixe. Les deux arbres présentent une surface conique (paramétré par l’angle α) et sont en liaison pivot d’axes (O1 ,~x0 ) et (O2 ,~x0 ) avec le bâti. On note ω1 et ω2 leurs vitesses de rotation par rapport au bâti. La bille 3, de rayon r, roule sans glisser sur les surfaces coniques (points de contact A et B) et un dispositif non représenté sur la figure permet à son centre I de rester immobile par rapport à R0 , sauf lors de la phase de réglage du variateur où l’utilisateur influe sur la distance e. En dehors de cette phase de réglage, le torseur cinématique de 3 dans son mouvement par rapport à 0 est un glisseur d’axe (I,~u) et de résultante ω~u. −−→ (A) Le vecteur O1 A s’exprime : 1 −−→ O1 A = − (r sin α + L − e)~u cos α (B) En exploitant le roulement sans glissement en A de 3 par rapport à 1, on peut montrer que : rω = (L − e + r sin α)ω1 3 y0 1 O1 3 u B α L v I A z0 e x0 O2 2 0 Figure 4 – Variateur à bille. −−→ (C) Le vecteur O2 B s’exprime : −−→ O2 B = 1 (r sin α + L + e)~u cos α (D) En exploitant le roulement sans glissement en B de 3 par rapport à 2, on peut montrer que : rω = (L + e + r sin α)ω2 (E) Le rapport de réduction entre ω2 et ω1 est : ω2 L − e + r sin α = ω1 L + e + r sin α Exercice 6 On reprend le mécanisme de l’exercice précédent (Figure 4), toujours sans prendre en compte le dispositif de réglage qui permet d’influer sur la position du centre I de la bille. (A) On peut trouver des variateurs à bille(s) dans les mobylettes. (B) On aurait pu envisager de concevoir un variateur à galet, le galet étant placé de façon à ce que son axe soit (I,~u). (C) La vitesse de rotation de la bille est la moyenne des vitesses de rotation des arbres d’entrée et de sortie. (D) La liaison équivalente entre l’arbre d’entrée 1 et l’arbre de sortie 2 est une sphère-cylindre d’axe (I,~u). (E) La liaison équivalente entre l’arbre d’entrée 1 et l’arbre de sortie 2 est une cylindre-plan de ligne (I,~u) et de normale ~v. 4 Exercice 7 On s’intéresse au serre-joint schématisé sur la Figure 5, composé de deux pièces notées 1 et 2. L’effort de serrage génère sur la mâchoire 2 un effort −P ~y exercé au point C. À cause du jeu interne entre les deux pièces et de cet effort, la mâchoire 2 effectue une rotation d’angle α, résultant en deux contacts ponctuels aux points A et B. Pour les besoins de cet exercice, on supposera α ≃ 0. Le point O est le milieu de AB. On note de plus d la largeur du manche de la pièce 1, D la largeur correspondante dans la pièce 2, L la longueur du guidage entre 1 et 2, H la distance horizontale entre C et O, et K la distance verticale entre C et O. On suppose qu’en A (respectivement en B) les actions mécaniques exercées par 1 sur 2 sont représentées par un glisseur de résultante ~FA = XA ~x + YA ~y (respectivement ~FB = XB ~x + YB ~y). On précise de plus que ces efforts respectent les conditions d’adhérence de Coulomb, le système étant en équilibre statique. On note ϕ l’angle d’adhérence. d 1 2 C H A K L O B -P y y D x α Figure 5 – Serre-joint. (A) Le principe fondamental de la statique, écrit par exemple au point O, permet de déterminer complètement chacune des composantes XA , YA , XB , YB en fonction de certains des paramètres P, d, D, H, K, ϕ. (B) On peut montrer que pour pouvoir équilibrer l’effort P, il faut : YA > 0 et YB > 0. (C) Les composantes XA , YA , XB , YB sont toutes indépendantes de la distance K. (D) On peut montrer que la valeur absolue de YA est strictement inférieure à la valeur absolue de YB . (E) On peut établir que si la limite du glissement est atteinte, elle l’est d’abord au point A. 5 Exercice 8 On s’intéresse à la torsion d’un arbre supportant deux roues dentées de diamètres primitifs D1 et D2 représenté sur la Figure 6. L’arbre est guidé en liaison pivot parfaite par rapport au bâti et la longueur entre les roues dentées est notée L. Du fait des efforts qui transitent dans les engrenages, il est soumis à deux moments de torsion de la part de l’extérieur : en x = 0, le moment C1 ~x ; en x = L le moment C2 ~x = −C1 ~x. On note M(x) le moment de torsion dans l’arbre à l’abscisse x et α(x) la rotation de la section correspondante. L’arbre a une section circulaire pleine de diamètre D. On note G le module de cisaillement de l’arbre. On se place en statique pour effectuer cette étude. On choisit comme convention d’origine des rotations l’origine du repère : α(x = 0) = 0. Classiquement, dans le cadre de la théorie des poutres, on prendra comme convention que le torseur de cohésion à l’abscisse x représente les actions mécaniques intérieures exercées par la partie avale (> x) sur la partie amont (< x). y D1 x O D2 x L Figure 6 – Arbre supportant deux roues dentées. (A) L’inertie géométrique (aussi appelé moment quadratique polaire) de la section autour de l’axe 4 (O,~x) est égale à : Ix = πD 64 . (B) Les diamètres primitifs des roues dentées étant différents, on peut en déduire que les forces de contact exercées par l’extérieur sur chacun des pignons 1 et 2 sont d’intensités différentes. (C) La rotation de la section α(x) est proportionnelle à x. (D) Le moment de torsion M(x) est proportionnel à x. (E) Pour un couple d’entrée C1 donné, la rotation différentielle θ2 − θ1 = θ(L) − θ(0) augmente si on augmente le module de cisaillement G. Exercice 9 Le sujet de cet exercice est le freinage d’un véhicule de masse M lancé à la vitesse v0 . Le véhicule possède quatre roues de rayon R. On note C f le couple de freinage exercé sur chacune des quatre roues au niveau des disques de frein, avec C f < 0 ; on le supposera constant au cours du temps. L’effort tangentiel exercé par la chaussée sur le pneumatique est noté T . On fera l’hypothèse de roulement sans glissement au contact entre la roue et le sol. Dans un premier temps, on néglige l’inertie correspondant à la rotation des roues et des organes de la transmission. On suggère d’utiliser une méthode énergétique pour accéder rapidement au résultat. 6 (A) La distance de freinage du véhicule, notée x f , est égale à : xf = −M R v20 8 Cf (B) Le temps de freinage nécessaire pour stopper le véhicule, noté t f , vaut : tf = −M R v0 π Cf Pour un calcul plus précis, on décide maintenant de prendre en compte l’inertie liée à la rotation des roues, ainsi que des organes de la transmission. Au total, cela revient à affecter à chacune des quatre roues une inertie équivalente autour de son axe notée Jeq . (C) En prenant en compte l’inertie de rotation, la distance de freinage du véhicule, notée x f , est égale à :
− 12 M R2 + 2 Jeq v20 xf = 4 Cf R (D) Le temps de freinage est alors égal à :
− M R2 + 4 Jeq v0 tf = 4 Cf R (E) Lors du freinage, l’essentiel de la puissance est dissipée par le contact entre la route et les pneumatiques. Exercice 10 Un système de préhension virtuelle est constituée d’un « bras » dont le fonctionnement est schématisé sur la Figure 7. Les liaisons sont toutes considérées comme des pivots parfaites. On note respectivement L1 , L2 , L3 les longueurs AB, BC, CD (les longueurs Li sont toutes prises positives). Le paramétrage angulaire choisi est le suivant : le corps 1 est en rotation d’angle α par rapport au bâti 0 autour de l’axe (A, ~z0 ) = (A, ~z1 ), la pièce 2 effectue une rotation d’angle β autour de l’axe (B, ~z1 ) = (B, ~z2 ), la pièce 3 effectue la rotation d’angle θ autour de l’axe (C, ~y2 ) = (C, ~y3 ). On −→ prendra garde au fait que CD = −L3 ~z3 , conformément à la figure. (A) Le vecteur vitesse de rotation de la pièce 3 par rapport à 0 vaut : ~Ω(3/0) = θ̇~y2 + (α̇ − β̇)~z2 (B) Le vecteur vitesse du solide 2 par rapport à 0, exprimé au point C, vaut : ~V (C, 2/0) = (L1 α̇ + L2 (α̇ + β̇))~y2 (C) Le vecteur vitesse du solide 3 par rapport à 0, exprimé au point D, vaut : ~V (D, 3/0) = [L1 α̇ sin β − L3 θ̇ cos θ]~x2 + [L1 α̇ cos β + L2 (α̇ + β̇) − L3 (α̇ + β̇) sin θ]~y2 + [L3 θ̇ sin θ]~z2 7 z0 = z1 0 y1 A y0 z1 = z2 y2 x1 x0 α B z2 z3 y1 1 y2 = y3 x2 x1 β x3 2 C θ x2 3 D Figure 7 – Bras de préhension virtuelle. (D) Le vecteur accélération du solide 3 par rapport à 0, exprimé au point C peut s’écrire : ~Γ(C, 3/0) = −L1 α̇2 ~x1 + L1 α̈~y1 − L2 β̇ (α̇ + β̇)~x2 + L2 (α̈ + β̈)~y2 (E) La liaison équivalente à l’association des liaisons pivots d’axe (A, ~z0 ) entre 1 et 0 (paramétrée par l’angle α) d’une part et d’axe (B, ~z1 ) entre 2 et 1 (paramétrée par l’angle β) d’autre part, est une liaison pivot (A, ~z1 ) et d’angle (α + β). Exercice 11 Le système de levage représenté sur la Figure 8 est étudié en statique dans le plan (~x, ~y) et sous l’hypothèse que le poids des pièces est négligeable devant l’effort −P~y dû à la charge à soulever. Les liaisons sont toutes des pivots parfaites, exceptées les liaisons entre 2 et 2’ d’une part, et entre 3 et 3’ d’autre part, qui représentent des vérins commandables modélisés dans le plan par des glissières non parfaites. Le point C représente le centre de deux liaisons pivot concentriques d’axe (C, ~z) entre 0 et 3 d’une part, et entre 0 et 2’ d’autre part. On notera ~Fi j = Xi j ~x + Yi j ~y l’effort exercé par la pièce i sur la pièce j. De plus, on étudie la configuration particulière dans laquelle les points D et E sont à la verticale l’un de l’autre. (A) (B) (C) (D) On peut établir que |X3′ 4 | = |X14 |. On peut établir que |Y3′ 4 | = |Y14 |. À cause de la glissière entre 3 et 3’, il est impossible de déterminer complètement ~F3′ 4 . La liaison en B étant soumise à trois efforts dont aucun n’est connu, il est impossible de déterminer la direction de chacun d’eux. (E) On peut montrer cependant que ~F12 + ~F02′ = ~0. 8 3’ E 0 C 3 y G 2’ 4 1 2 x D B -P y A Figure 8 – Système de levage. Exercice 12 (A) L’utilisation de chicanes permet de réaliser une étanchéité statique uniquement. (B) Lors de la réalisation d’une étanchéité statique par contact direct (par exemple entre deux pièces d’un carter), le nombre de vis et leur pression de serrage sont à choisir précautionneusement pour assurer la meilleure étanchéité possible. (C) Un système lubrifié par graissage est forcément lubrifié « à vie ». (D) Dans une bonne conception, les deux roues dentées d’un engrenage droit possèdent le même module. (E) Dans une bonne conception, lors de l’assemblage de deux pièces par vis, les vis assurent à la fois la fonction « maintenir les deux pièces en position » et la fonction « mettre les deux pièces en position ». 9