Cálculo estadístico de correlación entre épocas a través de respuestas múltiples y su representación fractal para el espacio de trayectorias mesoamericano.

A partir de la hipótesis sobre Mesoamérica como un atractor, un sistema complejo, con altos componentes de autosimilitud entre lo local y lo global, propuesta por los autores en 1995, se propuso que los factores que determinaban la complejidad del sistema mesoamericano eran el desarrollo vertical, en extensión y en intensidad. Su parametrización para trazar las trayectorias norte centro y sur generó una gráfica que permite comparar esta visión, fluctuante e inestable de la historia prehispánica con la forma en que se ha observado la flecha del tiempo de la historia antigua de México. Desde un estudio estadístico de múltiples respuestas y la combinación de los resultados con el fractal Kamtorus, representan de forma gráfica las fases de estabilidad e inestabilidad de las trayectorias mesoamericanas.

Antropologı́a Fractal Fernando López Aguilar, Fernando Brambila Paz Editores Matemática Aplicada y su Enseñanza –Licenciatura– Editores: Dr. Fernando Brambila Paz Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias. UNAM. Dr. Alejandro J. Dı́az Barriga Casales Instituto de Matemáticas, UNAM. GN34 .3 L864 López Aguilar, Fernando Antropologı́a Fractal / Fernando López Aguilar y Brambila Paz, Fernando. Editores – México : CIMAT, 2007. iv + 179 p. ; 23 cm. – (Matemática Aplicada y su Enseñanza, Nivel Licenciatura) ISBN 968-5733-08-2 1. Antropologı́a Matemática MSC: 91D10. c D.R. Centro de Investigación en Matemáticas, A.C. Jalisco s/n, Mineral de Valenciana, 36240 Guanajuato, Gto., México c D.R. Sociedad Matemática Mexicana Circuito exterior s/n, área de la investigación cientı́fica, Ciudad Universitaria. C.P. 04510 MEXICO D.F. Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente, por ningún medio electrónico o de otro tipo, sin autorización escrita del editor. This book may not be reproduced, whole or in part, by any means, without written permission from the publisher. Cuidado de edición: Hernán González Aguilar Diseño de portada: Odalmira Soto Alvarado Diseño de la imagen de la portada: Fernando López Impreso por: S y G Editores, S.A. de C.V. Cuapinol 52, Santo Domingo de los Reyes, Coyoacán 04369 - México, D.F. ISBN 968-5733-08-2 90009 9 789685 733083 Índice general Presentación de la Serie “Matemática Aplicada y su Enseñanza” III Introducción General 1 Fernando López Aguilar, Fernando Brambila Paz El Problema de una Teorı́a General de la Complejidad de Fractales 9 Carlos Eduardo Maldonado Notas Sobre la Complejidad en las Ciencias Sociales: de la Formalización a las Metáforas 25 Raymundo Mier Perspectivas en el Uso de Herramientas Fractales en Arqueologı́a 45 Gustavo Sandoval Garcı́a, Rodrigo Vilanova de Allende Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas a través de Respuestas Múltiples y su Representación Fractal para el Espacio de Trayectorias Mesoamericano 73 Fernando López Aguilar, Guillermo Bali La Dimensión Fractal como Indicador Arqueológico en los Estudios de Territorio Rosa Brambila Paz, Fernando Brambila Paz, Flor de Marı́a Aceff Sánchez 93 El Altépetl. En Busca de Una Definición 111 Blanca Vilchis Flores i ÍNDICE GENERAL ii El Colapso de un Altépetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Después de la Conquista Fernando López Aguilar, Tatiana Márquez Lago 137 Re-Configuraciones Fractales y Manifestaciones Rupestres Aline Lara Galicia 159 Apéndice Bibliográfico. Arqueologı́a, Antropologı́a y Fractales Gustavo Sandoval Garcı́a Matemática Aplicada y su Enseñanza 173 Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas a través de Respuestas Múltiples y su Representación Fractal para el Espacio de Trayectorias Mesoamericano Fernando López Aguilar1 , Guillermo Bali2 En el siglo XIX, los investigadores de las antigüedades mexicanas se percataron de un hecho inquietante. Diversas ruinas de antiguas ciudades y templos emergieron de las selvas del sur. Estos descubrimientos, que comenzaron con los vestigios de Palenque en 1784 (Blom, 227) y continuaron con los realizados por los distintos viajeros como Stephen y Catherwood (1844) y el mismo Charnay (1857), fracturaron la preconcepción que tenı́an los habitantes de la Nueva España y México, que asumı́a a los aztecas y a los toltecas como los únicos habitantes ancestrales del territorio. Algo antiguo, ignoto, habı́a emergido. Un pueblo habı́a construido grandes edificios y, por razones misteriosas, habı́a desaparecido. Con la nueva terminologı́a evolucionista, se pensó en un proceso civilizador y, con ello, la existencia de su opuesto, la barbarie predecesora del apogeo (López Aguilar 2001) y el colapso como consecuencia de factores que no se podı́an entender ni resolver en ese momento. Una trayectoria especı́fica se construyó y desarrolló desde las investigaciones arqueológicas de esa época que, lejos de modificarse, se introyectó como una verdad indiscutible y las diferentes escuelas de pensamiento, ya fueran marxistas, neoevolucionistas o histórico-culturales, sólo se interrogaron sobre las causas que pudieron haber existido para la emergencia de las civilizaciones o para su colapso. Se buscaron explicaciones y enunciados tipo ley para el “origen de la agricultura”, la “revolución neolı́tica”, “el origen del estado”, “el origen de las clases sociales”, “la revolución urbana” o bien para “la caı́da del clásico maya”, “el abandono de Teotihuacán” o el colapso de las civilizaciones (López Aguilar 2006). 1 2 Posgrado en Arqueologı́a, Escuela Nacional de Antropologı́a e Historia Comisión Nacional para el Desarrollo de los Pueblos Indı́genas 73 74 Fernando López Aguilar, Guillermo Bali TRAYECTORIA DE MESOAMÉRICA 1800 ane 1000 Preclásico Inferior Preclásico Medio Barbarie 300 300 dne 600 Preclásico SuperiorProtoclásico Clásico Epiclásico Origen del Estado Civilización 900 Postclásico Colapso Figura 1. Trayectoria Mesoamericana por periodos. Esta mirada al pasado se desarrolló y consolidó en más de cien años de práctica cientı́fica, pero sólo hasta fechas recientes, se han construido visiones alternativas a esta concepción lineal y monótona de la historia prehispánica que critican ideas que hoy se perciben como insostenibles: la existencia de el estado maya del clásico, que los mayas fueran un grupo unificado, que los teotihuacanos fueran un sistema uniforme y monótono en el que cada asentamiento sólo hacı́a eco a las dinámicas de la gran ciudad, hasta la idea simplificadora de la existencia de un sólo auge, un sólo apogeo y un sólo colapso. Joyce Marcus ha propuesto desde sus investigaciones sobre la arqueologı́a y la epigrafı́a maya que habı́a un equı́voco en la concepción de la historia y que habı́a evidencias de que los surgimientos y los colapsos eran procesos recurrentes en lugar de fenómenos únicos: “Los principales estados mayas surgieron y se colapsaron en épocas diferentes, e incluso, en un mismo Estado, las comunidades individuales surgieron y se colapsaron en épocas diferentes. La trayectoria especı́fica de cada ciudad es distinta y, por lo tanto, no puede extrapolarse a las tierras bajas en su conjunto” (Marcus 310). La curva en forma de campana, réplica de la trayectoria mesoamericana, que habı́a acompañado a las visiones canónicas de la arqueologı́a maya, se transformaba en un paisaje pleno de crestas y valles. Matemática Aplicada y su Enseñanza 75 Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas ... Figura 2. Trayectoria de los estados mayas. (Tomado de Marcus, 311) Unos años antes del trabajo de Joyce Marcus (1995), habı́amos propuesto que Mesoamérica deberı́a considerarse como un espacio discontinuo y singular con tres trayectorias entrelazadas en el espacio y en el tiempo: una estable, otra semiestable y una más inestable, todas enmarcadas dentro de un sistema global. Las diferentes formas de expresar la estabilidad dentro del sistema, hacen ver el problema del colapso como un fenómeno no determinista y no lineal, que recorre estructuras de complejidad distintas, fundamentadas en una unidad básica de generación, el altépetl (López Aguilar y Bali, 88-90). El altépetl (pl. altepeme), tuvo como propiedades el ser una estructura jerárquica centralizada, con tendencias al monopolio del poder, lo que dio lugar a organizaciones de distinto nivel de jerarquización, monopólicas o policéntricas, centralizadas o fragmentadas, en un patrón que se repite en distintos niveles a lo largo del tiempo en que existió el espacio mesoamericano. SMM-CIMAT 76 Fernando López Aguilar, Guillermo Bali Para esta primera aproximación a la configuración de Mesoamérica, tomamos como elementos para la parametrización de las tendencias al monopolio del poder y a la jerarquización, y empleamos tres variables que pueden ser constatadas en la documentación arqueológica: la verticalidad (V), la extensión (E) y la intensidad (I). El desarrollo vertical considera los niveles jerárquicos de los altepeme, es decir, cuántos niveles inferiores incluye, en términos de unidades equivalentes subordinadas. El altépetl, como unidad generadora, tiene en ese sentido un valor de 1, mientras que el nivel más alto reconocido, Teotihuacán, tiene un valor de 6. El desarrollo en extensión toma en cuenta el territorio controlado por el sistema. Nuevamente, la unidad mı́nima es 1 para el altépetl y el más alto corresponde al llamado Imperio Mexica, que controló prácticamente, desde la frontera septentrional de Mesoamérica, hasta el Soconusco, con un nivel de 6. Finalmente, la intensidad estará representada por la extensión territorial de la capital del sistema. Nuevamente, el 1 corresponde a la unidad generadora y la ciudad más grande conocida en Mesoamérica es Teotihuacán, con 22 kilómetros cuadrados, con un valor de 5. Con ello, es factible elaborar los valores para los principales momentos de la trayectoria del Centro, desde antes del sistema Cuicuilco, el desarrollo del sistema teotihuacano, su colapso en el llamado Epiclásico, el surgimiento de Tula, su colapso, y el desarrollo del sistema Azteca. El valor promedio de estos parámetros se encuentra en la última columna de la tabla. Altépetl Cuicuilco Epiclásico Tula Aztecas Teotihuacán Vertical 1 2 3 4 5 6 Extensión 1 2 3 4 6 5 Intensidad 1 1 2 3 4 5 Valor 1 1.66666667 2.66666667 3.66666667 5 5.33333333 Tabla 1. Parámetros mesoamericanos Para la lı́nea del tiempo, en esta primera aproximación, se tomó como base la periodificación desarrollada por Duverger (2000), quien divide la cronologı́a en cinco épocas que discurren entre el año 1200 ane hasta el 1500 dne, distinguiendo dos momentos adicionales: la época 3a, que se corresponderı́a con el llamado Epiclásico y la época 4a, que darı́a cuenta de los pequeños colapsos narrados por las fuentes etnohistóricas entre el desarrollo de los sistemas Toteca y el surgimiento del sistema Azteca. Con ello, fue posible trazar la siguiente gráfica cuyo Matemática Aplicada y su Enseñanza 77 Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas ... escalamiento permitió la generación de las otras dos trayectorias, la del sur y la del norte (López Aguilar 2004). TRAYECTORIAS DEL CENTRO 7 6 Intensidad Centro 5 Vertical Extension 4 3 2 1 0 EPOCA 0 EPOCA 1 EPOCA 2 EPOCA 3 EPOCA 3a EPOCA 4 EPOCA 4a EPOCA 5 Figura 2. Trayectorias del centro de Mesoamérica EPOCA 0 1 2 3 3a 4 4 5 Vertical 1 1 3 3 3 3 2 1 1 Extensión 1 1 4 3 3 4 2 Intensidad 1 1 3 2 2 3 1 1 NORTE 1 1 3.33333333 2.66666667 2.66666667 3.33333333 1.66666667 1 Vertical 1 4 2 5 3 4 3 3 Extensión 1 5 2 5 3 3 3 4 Intensidad 1 3 1 4 2 3 2 3 SUR 1 4 1.66666667 4.66666667 2.66666667 3.33333333 2.66666667 3.33333333 Vertical 1 1 2 6 3 4 3 5 Extensión 1 1 2 5 3 4 3 6 Intensidad 1 1 1 5 2 3 2 5 CENTRO 1 1 1.66666667 5.33333333 2.66666667 3.66666667 2.66666667 5.33333333 Centro 1 1 1.67 5.34 2.67 3.67 2.67 5.34 Sur 1 4 1.67 4.67 2.67 3.33 2.67 3.33 Norte 1 1 3.33 2.67 2.67 3.33 1.67 1 MESOAMERICA 1 2 2.22333333 4.22666667 2.67 3.44333333 2.33666667 3.22333333 Tabla 2. Parámetros de las trayectorias mesoamericanas SMM-CIMAT 78 Fernando López Aguilar, Guillermo Bali Para la trayectoria sur, se tomó en cuenta el apogeo en la época 2 del sistema Olmeca; para la 3, Tikal, Palenque y Calakmul; para la 4 Chichén Itzá y para la 4a llamada Liga de Mazapán. Por su parte, para la trayectoria norte, en la época 2 se tomó en consideración la posible expansión de Chupı́cuaro y para la 4, el sistema de La Quemada. Los resultados aportan una correlación estadı́stica positiva y se muestran en las siguientes gráficas. Centro Centro Sur Norte Mesoamérica Vertical Sur Norte Mesoamérica 1 0.61994239 1 0.21849 0.0465945 1 0.89837147 0.77480132 0.49472107 1 Vertical Extensión Intensidad Norte 1 Extensión 0.95456596 1 Intensidad 0.85377141 0.95896675 1 0.9632297 0.99781438 0.9601487 1 Vertical Extensión Intensidad Sur Norte Vertical 1 Extensión 0.88721106 1 Intensidad 0.93200703 0.89711799 1 Sur 0.96961478 0.96375447 0.96993009 1 Vertical Extensión Intensidad Centro Vertical Extensión 1 0.95628415 1 Intensidad 0.95842539 0.95842539 1 Centro 0.98586075 0.98586075 0.98566753 1 Tabla 3. Correlaciones estadı́sticas de las trayectorias mesoamericanas Matemática Aplicada y su Enseñanza 79 Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas ... TRAYECTORIA DEL SUR 6 5 Intensidad 4 Sur Vertical 3 Extension 2 1 0 EPOCA 0 EPOCA 1 EPOCA 2 EPOCA 3 EPOCA 3a EPOCA 4 EPOCA 4a EPOCA 5 Figura 5. Trayectoria del sur mesoamericano TRAYECTORIA DEL NORTE 6 5 Intensidad 4 Norte Vertical 3 Extension 2 1 0 EPOCA 0 EPOCA 1 EPOCA 2 EPOCA 3 EPOCA 3a EPOCA 4 EPOCA 4a EPOCA 5 Figura 6. Trayectoria del norte mesoamericano SMM-CIMAT 80 Fernando López Aguilar, Guillermo Bali Al integrar las tres trayectorias, la historia de Mesoamérica se muestra sorprendentemente compleja, bastante alejada de la curva en forma de campana, que expresa momentos de acoplamiento estructural, entrecruzamientos, convergencias y divergencias. TRAYECTORIAS MESOAMERICANAS 6 5 Centro 4 Sur Norte 3 Mesoamerica 2 1 0 EPOCA 0 EPOCA 1 EPOCA 2 EPOCA 3 EPOCA 3a EPOCA 4 EPOCA 4a EPOCA 5 Figura 7. Trayectorias mesoamericanas Otro modo de representación para los datos ofrecidos en los puntos anteriores consiste en establecer los estadı́sticos de correlación entre épocas, pero considerando las tres dimensiones establecidas que fueron la verticalidad (V), la extensión (E) y la intensidad (I). Para cada una de las dimensiones se genera una variable aleatoria de 23 incidencias (en este trabajo se maneja un máximo de 23 asentamientos por trayectoria) donde 1 es presencia de la caracterı́stica y 0 es ausencia, basadas en las probabilidades siguientes 0.1667 [rango 1], 0.3333 [rango 2], 0.5 [rango 3], 0.6667 [rango 4], 0.83333 [rango 5]. En el caso del rango 6, la probabilidad es 1, por lo que la variable está totalmente determinada y contiene solamente valores de 1. Estas probabilidades fueron construidas a partir de las definiciones introducidas por López Aguilar (2004) y tienen una cota superior que descansa en 1. Matemática Aplicada y su Enseñanza 81 Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas ... La Tabla 4 presenta los resultados generales para todas las épocas, trayectorias y dimensiones. NORTE 1200 500 200 650 800 1100 1300 1521 E0 E1 E2 E3 E3A E4 E4A E5 Vertical Extension Intensidad CENTRO Vertical Extension 6 Grado 1 2 3 4 5 6 Intensidad SUR Vertical Extension Intensidad Tabla 4. Resultados generales, épocas, trayectorias y dimensiones En total se obtienen 7 estadı́sticos de correlación con los siguientes esquemas para cada una de las trayectorias: Esquema 1 = [Época 0, Época 1] Esquema 2 = [Época 1, Época 2] Esquema 3 = [Época 2, Época 3] Esquema 4 = [Época 3, Época 3a] Esquema 5 = [Época 3a, Época 4] Esquema 6 = [Época 4, Época 4a] Esquema 7 = [Época 4a, Época 5] A continuación se presentan los esquemas completos para las tres trayectorias, norte, centro y sur, ası́ como los resultados que se derivan de este tipo de diseño. Las tablas que son desplegadas indican cómo se van moviendo de manera transversal los patrones de asentamiento, pero cabe mencionar que también puede hacerse una lectura al conjuntar todos los patrones asociados a una trayectoria. SMM-CIMAT 82 Fernando López Aguilar, Guillermo Bali Como ejemplo, en la Tabla 1 se pueden observar en el recuadro marcado para las Épocas 2 y 3 los patrones que están involucrados. Uno debe imaginar que este recuadro se mueve desde un inicio hasta el final, siempre en pares de épocas pues se trata de una correlación. El algoritmo se repite para cada una de las trayectorias, y, en cada caso, fueron generados los esquemas aleatorios de asentamiento para todas las épocas. Los esquemas están ordenados en la misma dirección del tiempo cronológico. A continuación se muestra este desplazamiento para los siete esquemas donde (N) es norte, (C) es centro y (S) es sur: Esquema 1 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S S V E I Matemática Aplicada y su Enseñanza S S S S S S S S S S S S S 83 Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas ... Esquema 2 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S V E I Esquema 3 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S V E I SMM-CIMAT 84 Fernando López Aguilar, Guillermo Bali Esquema 4 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S V E I Esquema 5 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S S V E I Matemática Aplicada y su Enseñanza S S S S S S S S S S S S S 85 Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas ... Esquema 6 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S V E I Esquema 7 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S V E I SMM-CIMAT 86 Fernando López Aguilar, Guillermo Bali Cabe señalar que es posible hacer, tanto un cambio de escala, como una redistribución de probabilidades, sin embargo, esto no tendrı́a impacto en un cambio de estructura circunstancial; más bien producirı́a un efecto de homotecia con clases de equivalencia. Si se perfecciona el registro histórico, o si se toman nuevos supuestos de asentamientos, entonces sı́ existirı́a la posibilidad de que se modificaran los arquetipos y se podrı́an construir “nuevas capas” de un mayor alcance, aunque aquı́ nos interesa dar una primera aproximación de este “espacio fractal” que sirva como base para futuras estructuras de complejidad. En trabajos recientes se ha mostrado este tipo de caracterı́sticas aplicadas a los procesos arqueológicos e históricos que confluyen dentro del Valle de Mezquital (López Aguilar 2005) Una vez aplicado el algoritmo de generación de variables aleatoria descritas anteriormente, se obtienen para las Épocas 0, 1, 2, 3, 3a, 4, 4a, y 5, 8 matrices de 23 filas por 3 columnas con valores que sólo pueden ser cero o uno para cada una de las trayectorias. A partir de estas matrices se obtienen 7 coeficientes de estadı́sticos de correlación basados en algoritmos de respuestas múltiples para diseños matriciales 3 × 3 . En la matriz de la Tabla 2 podemos constatar las relaciones conjuntas para dos variables de respuesta múltiple de dimensión 3 (Verticalidad, Extensión, Intensidad), donde una variable corresponde a la Época I y la otra variable corresponde a la Época J, y temporalmente I es menor que J. Con el fin de entender el contenido de las celdas cabe recordar que un par (X, Y ) significa el número de veces que se obtuvo la presencia de un posible asentamiento en la dimensión X conjuntamente con la dimensión Y. Época I / Época J V E I V (V, V ) (E, V ) (I, V ) E (V, E) (E, E) (I, E) I (V, I) (E, I) (I, I) Tabla 5. Relaciones conjuntas de verticalidad (V), extensión (E) e intensidad (I) Matemática Aplicada y su Enseñanza 87 Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas ... Los estadı́sticos de correlaciones se obtienen gracias a un esquema exhaustivo marginal con conteo democrático, con “bootstrap” sobre 10,000 tablas (Matuszewski and Trojanowski, 2000, Bali et al., 2003). Por este método se entiende lo siguiente: el valor esperado y la varianza del estadı́stico dependen de todas las posibles combinaciones que aparecen para cada una de las épocas, por filas, para los 23 registros. En la matriz de 3 × 3 se considera la siguiente lista de combinaciones (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) como simples, (1,1,0), (0,1,1) y (1,0,1) como dobles y (1,1,1) como triple para ambas variables. El conteo democrático se refiere a que cada combinación tiene la misma contribución en las celdas de respuesta con los siguientes puntajes: 1 para dos simples [1,1], un medio para una simple y una doble ([1,2] o [2,1]), un tercio para las triples ([3,1] o [1,3]), un cuarto para dos dobles [2,2], y un sexto para una triple y una doble ([2,3] o [3,2]). Las probabilidades marginales de cada combinación juegan aquı́ un papel importante. El nivel de correlación entonces dependerá de la diferencia entre lo esperado, dado por el tipo de probabilidad marginal, y lo observado, dado por el grado de los asentamientos. Por ejemplo, la tabla de contingencia de incidencia de la correlación de la Época 2 con la Época 3, en la trayectoria norte, estarı́a dada por la tabla 3. La mayor presencia de asentamientos, (12), se da en estás épocas en los cruces de existencia de verticalidad y extensión dentro de los asentamientos simulados ó 10, que se refiere sólo a la variable extensión. En la Época 2, en general, predomina la extensión y en la 3 predomina la verticalidad. Esquema 3 V E I V 9 12 10 31 47.0 % E 4 10 7 21 31.8 % I 3 6 5 14 21.2 % 16 28 22 66 24.2 % 42.4 % 33.3 % Tabla 6. Tabla de contingencia para respuestas múltiple entre las épocas 2 y 3 SMM-CIMAT 88 Fernando López Aguilar, Guillermo Bali Si se toma en cuenta el cálculo de los estadı́sticos de correlación sobre respuestas múltiples (nótese por ejemplo que las incidencias en la columna 1 son 31, que es mayor que 23) mediante el programa de Exohdus, (del cual una versión experimental está disponible en la página web http://www.ipipan.waw.pl/amat/multiresponse/pl/) para cada una de las trayectorias, norte, centro y sur, se obtienen los resultados de la tabla 4. Épocas/Estadı́stico Época 0-Época 1 Época 1-Época 2 Época 2-Época 3 Época 3-Época 3 Época 3a-Época 4 Época 4-Época 4 Época 4a-Época 5 Norte 0.79 2.01 1.47 0.77 0.51 0.69 1.33 Centro 0.7 0.98 0.09 0.18 1.22 1.22 0.17 Sur 0.62 0.30 0.40 0.15 2.31 2.31 0.99 Tabla 7. Resultados de correlaciones de respuesta múltiple entre épocas Con los resultados de la tabla 2 podemos calcular la representación fractal a través del Kamtorus y obtener una visualización de los niveles de compactación de las trayectorias, donde la cercanı́a de una correlación a cero, evidencia la presencia de colapsos de algún tipo, y la cercanı́a a un valor 2, patrones de dispersión de los asentamientos. El Kamtorus es absolutamente diferente al conjunto de Mandelbrot fijado en términos del cálculo de la imagen. Este conjunto se puede generar iterando las ecuaciones siguientes: x(0) = y(0) = órbita/3; x(n + 1) = x(n) ∗ cos(a) + (x(n) ∗ x(n)y(n)) ∗ sin(a) y(n + 1) = x(n) ∗ sin(a) − (x(n) ∗ x(n)y(n)) ∗ cos(a) donde a es un parámetro angular constante (y en nuestras trayectorias el estadı́stico de correlación obtenido), y órbita varı́a entre un valor inicial y final en incrementos especificados de antemano. Matemática Aplicada y su Enseñanza Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas ... 89 Esta clase de “fractal” fluye sobre una rejilla graduada de “pixels”. Si un “pı́xel” necesita ser recolocado en una trayectoria, el color del “pı́xel” se modifica, lo que implica que el número de veces que el “pı́xel” fue visitado en la trayectoria puede ser calculado. Este fractal es el producto de varios esfuerzos para encontrar una respuesta a la pregunta de si nuestro Sistema Solar es estable o no. El Kamtorus se nombra a partir de los trabajos de investigación del matemático ruso A.N. Kolmogorov, quien desarrolló una teorı́a que predecı́a la forma y la estabilidad de las órbitas de los planetas. La teorı́a fue confirmada de manera independiente por el estudiante de Kolmogorov, V.I. Arnold y por el matemático alemán J. Moser (por lo tanto el nombre: Kolmogorov, Arnold, y Moser, KAM). Kolomogorov también jugó un papel destacado en el desarrollo de la teorı́a de las probabilidades, y muchos de sus descubrimientos tienen gran aplicación hoy en dı́a en diversas teorı́as de tipo estocástico, numérico y computacional, incluido el método de “bootstrap” al que nos hemos referido. La gráfica 1 es un ejemplo del tipo de soluciones y la dinámica de este sistema iterativo de ecuaciones a partir de una órbita. Figura 8. Soluciones del Kamtorus SMM-CIMAT 90 Fernando López Aguilar, Guillermo Bali La visualización conjunta de las trayectorias norte, centro y sur se puede observar en la gráfica 2. Estás gráficas fueron calculadas mediante el programa de fractint, en su versión de ms-dos. En la dinámica global se observan claramente los diferentes comportamientos a través del tiempo con concentración de asentamientos, colapsos y fragmentación, fenómenos que reafirman el concepto dinámico del espacio mesoamericano y su compleja estructura de interacción. SUR CENTRO NORTE EPOCA 1 (1200-500 ane) EPOCA 2 (500 ane-200 dne) EPOCA 3 (200 -650) EPOCA 3 (650-900) EPOCA 4 (900-1150) EPOCA 4A (1150-300) EPOCA 5 (1300-525) Figura 9. Visualización conjunta de trayectorias Mesoamericanas en sentido vertical Matemática Aplicada y su Enseñanza Cálculo del Estadı́stico de Correlación entre Epocas ... 91 El modelo es semejante al de los sistemas complejos estudiados en otros ámbitos del conocimiento, que han encontrado que las inestabilidades locales producen, en un espacio global, trayectorias estables e inestables que muestran autosimilitud entre ellas, y que están determinadas por lo que, en la matemática, se conoce como atractores extraños con propiedades fractales (López Aguilar y Bali 88-89) Los colapsos y los “apogeos” se muestran como un fenómeno de repetición que sólo ocurre en un espacio de posibilidades históricas, que aquı́ se han parametrizado entre el 1 y el 6, y que circunscribe la continuidad estructural del sistema y acota los lı́mites posibles de las transformaciones en el marco de las fluctuaciones de las trayectorias estable, inestable y semiestable. Más allá de esa franja, Mesoamérica desaparece y se transforma en otro fenómeno. Bibliografı́a Bali, Guillermo, A. Matuszewski y M. A. Klopotek, “Dependence of two multiresponse variables –importance of the counting method” in: M. A. Klopotek, M. Michalewicz, S. T. Wierzchon (ed.), Intelligent Information Systems 2003, Physica-Verlag (Springer) 2003. Blom, Frans, Tribus y templos. Clásicos de la Antropologı́a 16, INI, México, 1986. Duverger, Christian, Mesoamérica. Arte y antropologı́a. CONACULTA-Americo Arte Editores, México, 2000. López Aguilar, Fernando, “Dos opuestos: civilización y barbarie, vistos desde la antropologı́a de la complejidad” Anales de Antropologı́a 35, IIA/UNAM, México, 2001, pp. 79-89. López Aguilar, Fernando, “Fondaments théoriques d’une nouvelle définition de la Mésoamerique”. Ecole des Hautes Etudes en Sciences Sociales, Paris. 13 de mayo de 2004. López Aguilar, Fernando, Sı́mbolos del Tiempo. 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