Int. J. Therm. Sci. (2000) 39, 117–129  2000 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved S1290-0729(99)00108-8/FLA Étude numérique de l’évaporation dans un courant d’air humide laminaire d’un film d’eau ruisselant sur une plaque inclinée El Hacene Mezaache a , Michel Daguenet b * a b Centre universitaire de Skikda, BP 26, Skikda, 21000 Algérie Laboratoire de thermodynamique et énergétique, université de Perpignan, 52, av. de Villeneuve, 66860 Perpignan cedex, France (Reçu le 29 juin 1998, accepté le 2 avril 1999) Abstract — Numerical study of the evaporation in laminar humid air flow of a liquid film flowing over an inclined plate. By using an implicit centered finite differences method with a non-uniform grid, the authors study numerically the evaporation of a thin liquid film flowing over an inclined plate in a forced humid-air flow. They consider the existence of two-dimensional laminar boundary-layers with variable physical properties and show that the term of enthalpy diffusion is always negligible, whether the plate is adiabatic, isothermal or heated by a constant heat flux density. By using in the liquid film transfer equations which are one-dimensional, partially two-dimensional and two-dimensional, the authors additionally show the following features. If the plate is adiabatic, the liquid mass flow rate is without influence on the transfers and the gas–liquid interface behaves like an isotherm surface at rest. In this case, one may use a one-dimensional model in the film whatever liquid mass flow rate is. If the wall is isotherm or heated by a constant heat flux and when the liquid mass flow rate is less than 10−3 kg·m−1 ·s−1 , the one-dimensional model is sufficient; if it is included in the interval [10−3 kg·m−1 ·s−1 , 10−2 kg·m−1 ·s−1 [, the partially two-dimensional model is useful; if it is superior to 10−2 kg·m−1 ·s−1 , it is necessary to use the two-dimensional model. Generally, whatever the thermal conditions on the plate are, heat transfer is dominated by the liquid-vapor transition.  2000 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS evaporation / thin film / heat and mass transfer / inclined plate Résumé — Les auteurs étudient numériquement, à l’aide d’une méthode implicite aux différences finies centrées et à maillage variable, l’évaporation, dans un courant forcé d’air humide, d’un film mince d’eau ruisselant sur une plaque inclinée. Ils considèrent l’existence de couches limites laminaires, permanentes, à propriétés physiques variables et montrent que le terme de diffusion enthalpique est toujours négligeable, que la plaque soit adiabatique, isotherme ou traversée par un flux de chaleur de densité constante. En utilisant, pour le film liquide, des équations de bilan unidimensionnelles, partiellement bidimensionnelles et bidimensionnelles, ils mettent en évidence, en outre, les éléments suivants. Si la paroi est adiabatique, le débit du liquide est sans influence sur les transferts et l’interface se comporte comme une surface isotherme au repos ; dans ce cas, on peut utiliser un modèle unidimensionnel pour le film, quelle que soit la valeur du débit de liquide. Si la paroi est isotherme ou traversée par un flux de chaleur de densité constante et quand le débit du liquide est inférieur à 10−3 kg·m−1 ·s−1 , le modèle unidimensionnel est suffisant ; s’il est compris dans l’intervalle [10−3 kg·m−1 ·s−1 , 10−2 kg·m−1 ·s−1 [, le modèle partiellement bidimensionnel convient ; s’il est supérieur à 10−2 kg·m−1 ·s−1 , il faut utiliser le modèle bidimensionnel. Enfin, que la paroi soit isotherme ou traversée par un flux de chaleur de densité imposée, le transfert de chaleur est dominé par le transfert lié à la transition liquide–vapeur.  2000 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS évaporation / film mince / transfert de masse et de chaleur / plaque inclinée Nomenclature Cp capacité thermique massique à pression constante . . . . . . . . . . . . . . . . . D coefficient de diffusion massique de la vapeur dans l’air . . . . . . . . . . . . . * Correspondance et tirés à part. daguenet@gala.univ-perp.fr g J·kg−1 ·K−1 m2 ·s−1 k L M m Nu P0 accélération de la pesanteur . . . . . . . conductivité thermique . . . . . . . . . . longueur de la plaque . . . . . . . . . . masse molaire . . . . . . . . . . . . . . rapport de la masse d’une substance contenue dans un volume gazeux sur la masse de ce volume (concentration massique) nombre de Nusselt [relation (25)] pression totale . . . . . . . . . . . . . . m2 ·s−1 W·m−1 ·K−1 m kg·mol−1 Pa 117 E.H. Mezaache, M. Daguenet p pression partielle . . . . . . . . . . . . . Pa Pr nombre de Prandtl (Pr = µCp /k) q densité du flux de chaleur [relations (29)] W·m−2 QL,0 débit massique d’entrée du liquide par unité de largeur . . . . . . . . . . . . . . kg·m−1 ·s−1 QV débit massique du liquide évaporé par unité de largeur [relations (31)] . . . . . kg·m−1 ·s−1 R constante des gaz parfaits . . . . . . . . J·mol−1 ·K−1 Re nombre de Reynolds [relations (32)] Sc nombre de Schmidt (Sc = µG /ρG D) Sh nombre de Sherwood local [relation (26)] Stm nombre de Stanton relatif au transfert de masse [relation (24)] Sts nombre de Stanton relatif au transfert de chaleur sensible [relation (23)] T température [relations (30)] . . . . . . . K u vitesse suivant Ox [relations (30)] . . . m·s−1 v vitesse suivant Oy . . . . . . . . . . . . m·s−1 x abscisse dans le sens de l’écoulement [relations (33)] . . . . . . . . . . . . . . m y coordonnée normale à la paroi . . . . . m Symboles grecs δ θ λ ω η µ ρ τ Ψ épaisseur du film liquide [relations (31)] angle d’inclinaison de la plaque par rapport au plan horizontal . . . . . . . . chaleur latente massique de vaporisation densité du flux de vapeur au niveau de l’interface [relations (31)] . . . . . . . . coordonnée normale adimensionnelle [relations (33)] viscosité dynamique . . . . . . . . . . . masse volumique . . . . . . . . . . . . . contrainte tangentielle du frottement [relation (28)] . . . . . . . . . . . . . . . fonction de courant [relation (27)] . . . Indices A G i L l m 0 p s x V ∞ air sec mélange air–vapeur interface liquide–vapeur phase liquide relatif à la chaleur latente relatif au transfert de masse condition d’entrée paroi relatif à la chaleur sensible position suivant Ox vapeur frontière extérieure de la couche limite gazeuse Exposant ∗ grandeur adimensionnelle 118 m ◦ J·kg−1 kg·m−2 ·s−1 kg·m−1 ·s−1 kg·m−3 N·m−2 −1 kg·m ·s−1 1. INTRODUCTION L’évaporation d’un film liquide intervient dans de nombreuses applications industrielles, notamment dans la concentration des effluents, le refroidissement des parois et de l’air, la production de vapeur et de sels, le séchage, la distillation et la combustion. Compte tenu de son importance pratique, l’évaporation d’un film liquide en présence d’un écoulement gazeux a fait l’objet de nombreux travaux numériques [1–12] et expérimentaux [13–15]. Par exemple, Seban et Faghri [14] étudient l’évaporation d’un film liquide en écoulement turbulent ; Baumann et Thiele [3, 4] considèrent l’évaporation d’un film composé de deux liquides s’écoulant à l’intérieur d’une conduite cylindrique ; Yan et Lin [9] examinent l’influence de l’évaporation d’un film liquide sur le transfert de masse et de chaleur par convection naturelle entre deux parois parallèles et verticales. Les travaux sur l’évaporation d’un film liquide au-dessus d’une plaque plane concernent les cas d’une paroi isotherme [1, 7, 9, 10], adiabatique [4–6, 8, 11, 15–17] ou à densité de flux de chaleur imposée [3, 10, 12]. Ils supposent la présence d’un gaz en convections naturelle [9, 18], forcée [1, 5, 6, 8, 11, 16] ou mixte [10, 19]. Les premiers travaux s’intéressent surtout au transfert de masse et de chaleur dans l’écoulement gazeux. Le film liquide est supposé au repos, d’épaisseur uniforme ; les équations gouvernant les transferts en son sein sont réduites à des conditions aux limites pour résoudre les équations dans la phase gazeuse [5, 8, 15, 19, 20]. L’hypothèse d’un film au repos ne permet, ni d’étudier l’influence du débit du liquide et de l’inclinaison de la plaque, ni de prédire la longueur d’assèchement du film. Elle est acceptable pour des films liquides extrêmement minces. Cependant, dans de nombreuses applications, le film s’écoule et son débit massique est relativement important ; les équations de transfert en son sein doivent alors être considérées. Les travaux tenant compte simultanément des transferts dans les phases liquide et gazeuse sont peu nombreux. Étudiant l’évaporation en convection forcée turbulente, Shembharkar et Pai [16], Baumann et Thiele [3, 4] négligent pour le film liquide les termes d’inertie dans l’équation du mouvement et les termes convectifs dans l’équation de la chaleur. La formulation est donc unidimensionnelle. Tsay et al. [17], Yan et Lin [9], Yan [10], Yan et Soong [11, 12] se sont intéressés à l’évaporation d’un film liquide en convection naturelle, forcée et mixte. Ils négligent, au sein du film liquide, les termes d’inertie dans l’équation du mouvement et, dans l’équation de la Étude numérique de l’évaporation dans un courant d’air humide laminaire d’un film d’eau ruisselant sur une plaque inclinée chaleur, le terme de transport convectif suivant la direction perpendiculaire à la paroi devant celui suivant sa direction longitudinale. Dans cette approche partiellement bidimensionnelle, les transferts dans le film sont caractérisés par une équation du mouvement unidimensionnelle et une équation de la chaleur bidimensionnelle. Récemment, Agunaoun et al. [1], Daïf et al. [6], Kaoua et al. [7] ont considéré l’évaporation d’un film liquide dans un écoulement laminaire forcé d’air sur une paroi isotherme ou adiabatique, en utilisant une formulation bidimensionnelle pour l’ensemble des équations de transfert dans le film. Les travaux cités précédemment ont permis d’étudier d’une manière détaillée l’influence, sur le transfert de masse et de chaleur, des conditions d’entrée de l’écoulement gazeux (vitesse, température et humidité), qui peut être laminaire ou turbulent. Cependant, l’influence des grandeurs caractérisant le film liquide, notamment son débit massique et son inclinaison, a été peu étudiée. En outre, les approches unidimensionnelle et partiellement bidimensionnelle pour un film liquide en écoulement n’étant pas toujours satisfaisantes, leurs conditions d’applicabilité doivent être spécifiées. Dans ce travail, nous résolvons numériquement les équations de transport bidimensionnelles, permanentes et laminaires qui gouvernent l’évaporation d’un film d’eau ruisselant sur une plaque inclinée soumise à différentes conditions thermiques (plaque adiabatique, isotherme et à densité de flux de chaleur imposée) en présence d’un écoulement co-courant d’air humide. Nous étudions notamment l’influence du débit du liquide sur le comportement dynamique et thermique de ce dernier ainsi que sur les grandeurs physiques caractérisant les transferts de masse et de chaleur. Nous comparons les résultats ainsi obtenus avec ceux issus des modèles unidimensionnel [3, 4, 16] ou partiellement bidimensionnel [9–12, 17] utilisés pour décrire les transferts dans le film, afin de savoir dans quelles conditions ces deux derniers peuvent être appliqués. 2. DESCRIPTION ET FORMULATION DU PROBLÈME Soit un film liquide mince s’écoulant au-dessus d’une plaque inclinée d’un angle θ par rapport au plan horizontal et soumise à différentes conditions thermiques. La surface supérieure de ce film est en contact direct avec un écoulement d’air. L’échauffement et l’évaporation du liquide produisent un transfert de masse et de Figure 1. Schéma descriptif du problème physique. film liquide ; paroi adiabatique, isotherme ou à densité de flux de chaleur imposée ; couche limite dynamique et couche limite thermique. liquid Figure 1. Schematic diagram of physical problem. adiabatic, isothermal or heated by a constant heat film; momentum boundary layer and heat flux density walls; boundary layer. chaleur au niveau de l’interface vapeur–liquide. L’épaisseur du film varie en fonction de l’écoulement du liquide, de l’inclinaison, de l’évaporation et du frottement à l’interface. Le problème physique est schématisé sur la figure 1. Nous posons les hypothèses simplificatrices suivantes : (i) les écoulements liquide et gazeux, ainsi que les transferts de chaleur et de matière sont laminaires et permanents ; (ii) l’air humide est un mélange idéal de vapeur et d’air sec, considérés comme des fluides parfaits ; (iii) les écoulements liquide et gazeux s’effectuent en couches limites bidimensionnelles et sans glissement l’un sur l’autre au niveau de l’interface ; (iv) la longueur de la plaque est grande devant l’épaisseur du film liquide et celle de la couche limite gazeuse ; (v) l’interface liquide–vapeur est sans onde, en équilibre thermodynamique local, imperméable à l’air sec ; elle ne possède ni propriété matérielle ni tension superficielle ; (vi) la pression totale dans la phase gazeuse est uniforme ; (vii) ni la dissipation visqueuse, ni le rayonnement ni, dans la phase gazeuse, les effets Soret et Dufour ne sont pas pris en compte. 2.1. Équations de bilan 2.1.1. Dans le film liquide Équation de continuité : ∂(ρL uL ) ∂(ρL vL ) + =0 ∂x ∂y (1) 119 E.H. Mezaache, M. Daguenet Projection de l’équation du mouvement suivant Ox : ∂uL ∂uL + ρL vL ∂x ∂y   ∂ ∂uL µL = ρL g sin θ + ∂y ∂y ρL uL 2.2. Conditions aux limites À la paroi (y = 0, condition d’adhérence) (2) Équation de la chaleur :     ∂TL ∂ µL CpL ∂TL ∂TL + vL = (3) ρL CpL uL ∂x ∂y ∂y PrL ∂y Dans l’approche unidimensionnelle, il convient d’annuler les premiers membres des équations (2)–(3). Cellesci possèdent alors des solutions analytiques, lorsqu’on néglige la variabilité des propriétés physiques [3, 4, 16]. Dans l’approche partiellement bidimensionnelle, il convient d’annuler le premier membre de (2) et le second terme du premier membre de (3). Ainsi simplifiées, les équations (2)–(3) ont été résolues [9–12, 17] en supposant les propriétés physiques constantes. uL,p = 0 (8) vL,p = 0 (9) TL,p = Tp   ∂T =0 − k ∂y L,p   ∂T = qp − k ∂y L,p (si la paroi est isotherme) (10) (si la paroi est adiabatique) (11) (si la paroi est traversée par un flux de chaleur de densité constante) (12) À l’interface (y = δ), selon Delhaye [21, 22], Ishii [23] et Kocamustafaocullari [24], l’hypothèse de non-glissement des phases liquide et gazeuse l’une sur l’autre permet d’écrire : uL,i = uG,i = ui (13) L’hypothèse selon laquelle l’interface est en équilibre thermodynamique local entraîne : 2.1.2. Dans le gaz Équation de continuité : ∂(ρG uG ) ∂(ρG vG ) + =0 ∂x ∂y TL,i = TG,i = Ti (4) (14) Projection de l’équation du mouvement suivant Ox :   ∂ ∂uG ∂uG ∂uG + ρG vG = µG (5) ρG uG ∂x ∂y ∂y ∂y La faible épaisseur du film liquide et la grande valeur du nombre de Reynolds du liquide conduisent à écrire la condition pour l’impulsion sous la forme simplifiée :     ∂u ∂u = µ = τi (15) µ ∂y L,i ∂y G,i Équation de la chaleur :   ∂TG ∂TG + vG ρG CpG uG ∂x ∂y   ∂ µG CpG ∂TG = ∂y PrG ∂y
∂mV ∂TG µG CpV − CpA + ScG ∂y ∂y L’interface ne possédant ni propriété matérielle ni tension superficielle, étant imperméable à l’air sec et la loi de Fick étant supposée valable dans la phase gazeuse, compte tenu des hypothèses précédentes, la densité du flux de vapeur au niveau de l’interface s’écrit :   ρG D ∂mV = (ρV vV )i (16) ωi = − 1 − mV ∂y i (6) Équation de la diffusion convective de la vapeur :   ∂ µG ∂mV ∂mV ∂mV (7) + ρG vG = ρG uG ∂x ∂y ∂y ScG ∂y Le deuxième terme du second membre de l’équation (6) représente le terme de diffusion enthalpique, compte tenu de l’idéalité de l’air humide posée en hypothèse. 120 La continuité du flux de chaleur donne :     ∂T ∂T =− k + (ωλ)i − k ∂y L,i ∂y G,i (17) L’équation (17) exprime que la densité totale du flux de chaleur qi transféré à travers l’interface du liquide au mélange vapeur–air est la somme des densités qi et ql des flux de chaleur sensible et latente. Étude numérique de l’évaporation dans un courant d’air humide laminaire d’un film d’eau ruisselant sur une plaque inclinée La concentration massique de l’air à l’interface s’exprime par : mA,i = (P0 − pV,i ) (P0 − pV,i ) + (MV /MA )pV,i (18) où la pression partielle pV,i , donnée en annexe, traduit l’état de saturation de la vapeur à l’interface. À la frontière extérieure de la couche limite gazeuse (y → ∞) uL,i = uG,0 = u∞ (19) TL,i = TG,0 = T∞ (20) mA = mA,0 = uA,∞ (21) À ces conditions, il faut ajouter celle exprimant que l’épaisseur du film liquide satisfait l’équation de conservation du débit massique : QL,0 = Z x 0 ωi dx + Z δ ρL uL dy (22) 0 2.3. Grandeurs adimensionnelles Les nombres de Stanton locaux relatifs aux transferts de chaleur sensible Sts et de masse Stm sont définis, selon Schröppel et Thiele [8], par : qs (23) 2 ρG,∞ u∞ (CpG,∞ + CpG,i )(T∞ − Ti ) ω (24) Stm = − ρG,∞ u∞ (mV,∞ − mV,i ) Sts = − 1 Le nombre de Nusselt local correspondant au transfert de la chaleur sensible Nus et le nombre de Sherwood Sh sont déterminés en appliquant les relations suivantes, selon Yan et Soong [12] : xqs kG (Ti − T∞ ) x(∂mV /∂y)i Sh = (mV,i − mV,∞ ) Nus = (25) (26) La fonction de courant adimensionnelle Ψ ∗ et le coefficient de frottement τ ∗ s’écrivent, selon Cebeci et Bradshaw [25] : Ψ Ψ∗ = √ ρG,∞ µG,∞ u∞ x τ τ∗ = 2 ρG,∞ u2∞ (27) (28) où la fonction de courant Ψ s’écrit ∂Ψ/∂y = ρG uG et ∂Ψ/∂x = −ρG vG . Les densités adimensionnelles des flux des chaleurs sensible qs∗ , latente ql∗ et totale qi∗ sont : qs∗ = qs , qi ql∗ = ql , qi qi∗ = qi qp (29) Les valeurs adimensionnelles de la température T ∗ , des composantes longitudinale u∗ et normale v ∗ de la vitesse, de l’épaisseur δ ∗ du film liquide, de la densité ω∗ du flux de vapeur, de la fraction massique évaporée Q∗v et de la concentration massique m∗V de la vapeur sont données par : T∗ = T − T∞ , Tp − T∞ δ∗ = δ , L Q∗V u∗ = ω∗ = QV = , QL,0 u , u∞ v∗ = v u∞ (30) ω ρG,∞ u∞ m∗V (31) mV − mV,i = mV,∞ − mV,i Les nombres de Reynolds local dans la phase gazeuse Rex et global dans la phase liquide ReL s’expriment comme suit : Rex = ρG,∞ u∞ x , µG,∞ ReL = 4 QL,0 µL (32) Les coordonnées adimensionnelles longitudinale x ∗ et normales η sont, selon Cebeci et Bradshaw [25] : y x ηL = x∗ = , L δ(x) (33) Z y r u∞ ρG dy ηG = ρG,∞ µG,∞ x 0 3. MÉTHODE DE RÉSOLUTION Comme Cebeci et Bradshaw [25], nous utilisons une méthode implicite aux différences finies centrées, à maillage variable suivant la direction longitudinale de la plaque et uniforme suivant la direction transversale. ∗ = K1xn∗ , Plus précisément, nous posons : 1xn+1 K = 1,05, 1x1∗ = 10−3 , N = 101, suivant la direction longitudinale ; 1ηL = 1/(NL − 1), NL = 41, suivant la direction transversale dans le film liquide et 1ηG = η∞ /(NG − 1), NG = 41, η∞ = 8, suivant la direction transversale dans la couche limite gazeuse. 121 E.H. Mezaache, M. Daguenet 4. COMPARAISON AVEC DES TRAVAUX ANTÉRIEURS Afin de comparer des résultats issus de notre code de calcul avec des résultats de la littérature, nous considérons les évaporations de films de benzène et d’eau dans l’air sur des plaques planes adiabatique et isotherme. Figure 2. Organigramme des calculs. Figure 2. Diagram of the calculation. Les nombres N, NL et NG désignent les nombres totaux de nœuds respectivement le long de la plaque, suivant la direction transversale dans le film liquide et la couche limite gazeuse. Les grandeurs 1xn∗ , 1ηL et 1ηG représentent les pas du maillage longitudinal et transversal dans le film liquide et dans la couche limite gazeuse. Les équations de transfert dans les phases liquide et gazeuse sont transformées en deux systèmes algébriques linéaires de la forme AL X L = B L et AG X G = B G . La procédure de résolution est conforme à l’organigramme présenté sur la figure 2. La même procédure de résolution est utilisée lorsque les transferts dans le liquide sont unidimensionnels, mais la résolution de la première équation matricielle est supprimée, puisque des solutions analytiques sont connues pour le film liquide. 122 Figure 3. Comparaison entre nos calculs et ceux de Chow et Chung [5], Schröppel et Thiele [8], Splettstößer [15], pour un film liquide au repos (θ = 0). (a) Variations de la température Ti et de la fonction de courant adimensionnelle Ψi∗ en fonction de la température d’entrée de l’air T∞ . (b) Variations du coefficient de frottement τi∗ , des nombres de Stanton relatifs aux transferts de la chaleur sensible Sts,i et de masse Stm,i , modèle en fonction du nombre de Reynolds local Rex . Chow et Chung, Schröppel et Thiele, bidimensionnel, Splettstößer. Figure 3. Comparison between our numerical results and those of Chow and Chung [5], Schröppel and Thiele [8], Splettstößer [15], for a liquid film at rest (θ = 0). (a) Variations of the temperature Ti and the dimensionless stream function Ψi∗ as function of the free stream temperature T∞ . (b) Variations of the shear stress coefficient τi∗ , Stanton numbers for sensible heat Sts,i and mass transfer Stm,i as function of the lotwo-dimensional model, Chow cal Reynolds number Rex . and Chung, Schröppel and Thiele, Splettstößer. Étude numérique de l’évaporation dans un courant d’air humide laminaire d’un film d’eau ruisselant sur une plaque inclinée de Splettstößer [15], relatives à une paroi adiabatique et à l’eau. Sur la figure 4a, on observe aussi un très bon accord avec les résultats numériques d’Agunaoun et al. [1] concernant une paroi inclinée isotherme et un système eau–air, pour le nombre de Nusselt relatif à la chaleur sensible Nus,i et celui de Sherwood Shi . L’accord est également satisfaisant en ce qui concerne le coefficient de frottement à la paroi τp∗ et la fraction massique évaporée Q∗V (figure 4b). 5. RÉSULTATS ET DISCUSSION 5.1. Influence du débit massique du film liquide Figure 4. Comparaison entre nos calculs et ceux d’Agunaoun et al. [1]. (a) Variations du nombre de Nusselt relatif à la chaleur sensible Nus,i et du nombre de Sherwood Shi , en fonction de Re1/2 x . (b) Variations longitudinales du coefficient de frottement à la paroi τp∗ et de la fraction massique évaporée Q∗V . modèle bidimensionnel, Agunaoun et al. Figure 4. Comparison between our numerical results and those of Agunaoun et al. [1]. (a) Variations of the Nusselt number for sensible heat Nus,i and Sherwood number Shi as a function of Re1/2 x . (b) Longitudinal variations of the wall shear stress coefficient τp∗ and the mass flow rate fraction of vapor Q∗V . two-dimensional model, Agunaoun et al. Pour une paroi adiabatique, les variations de la température Ti et de la fonction de courant adimensionnelle Ψi∗ à l’interface, en fonction de la température d’entrée de l’écoulement d’air T∞ (figure 3a), présentent un bon accord avec les résultats numériques de Chow et Chung [5], relatifs à un système eau–air et ceux de Schröppel et Thiele [8] pour un système benzène–air. Sur la figure 3b, les variations du coefficient de frottement τi∗ ainsi que des nombres de Stanton relatifs aux transferts de chaleur Sts,i et de masse Stm,i à l’interface, en fonction du nombre de Reynolds local Rex , sont aussi en parfait accord avec les prédictions numériques Nos calculs, appliqués au système eau–air, sont effectués dans les conditions suivantes : P0 = 1,013·105 Pa, mA,∞ = 1, u∞ = 10 m·s−1 , L = 1 m, θ = 10◦ , 10−3 ≤ QL,0 ≤ 10−1 kg·m−1·s−1 et T∞ = 500 ◦ C pour une paroi adiabatique ; T∞ = 20 ◦ C et Tp = 80 ◦ C pour une paroi isotherme ; T∞ = 20 ◦ C et qp = 10 kW·m−2 pour une paroi traversée par un flux de chaleur de densité constante. Les conditions fixées correspondent expérimentalement à l’évaporation et à la protection thermique des parois, pour le cas d’une plaque adiabatique ou à flux imposé et à l’évaporation, pour le cas d’une paroi isotherme. 5.1.1. Paroi adiabatique La figure 5a montre que la température de l’interface est constante le long de la plaque, quand le débit varie de 10−3 à 10−1 kg·m−1·s−1 , que l’approche soit bidimensionnelle ou unidimensionnelle. Elle montre aussi que la température de l’interface et la densité du flux de vapeur ωi∗ sont indépendantes du débit. Quant aux profils longitudinaux de et de Ti∗ et de ωi∗ , ils sont identiques à ceux relatifs à un film liquide au repos. La figure 5b montre que la vitesse de l’interface u∗i et l’épaisseur du film δ ∗ croissent avec QL,0 . Les prédictions numériques à l’aide des modèles unidimensionnel et bidimensionnel sont presque identiques, sauf pour les grandes valeurs du débit au voisinage de l’entrée où de faibles écarts sont observés. 5.1.2. Paroi isotherme La figure 6 présente, en fonction du débit, les variations longitudinales de la température de l’interface 123 E.H. Mezaache, M. Daguenet Figure 5. Influence du débit QL,0 sur les grandeurs du film d’une paroi adiabatique. (a) Température de l’interface Ti∗ et densité du flux de vapeur ωi∗ . (b) Épaisseur du film liquide δ ∗ et vitesse de l’interface u∗i . modèle unidimensionnel, modèle bidimensionnel, film liquide au repos. Figure 5. Effect of liquid mass flow rate QL,0 on the film parameters for an adiabatic wall. (a) Interfacial temperature Ti∗ and mass flux of vapor ωi∗ . (b) Liquid film thickness δ ∗ and interfacial velocity u∗i . one-dimensional model, twodimensional model, liquid film at rest. Figure 6. Variations longitudinales en fonction de QL,0 dans le cas d’une paroi isotherme de (a) température d’interface et densité du flux de vapeur, (b) fraction massique évaporée. modèle unidimensionnel, modèle partiellement bidimenmodèle bidimensionnel. sionnel, Figure 6. Longitudinal variations as a function of QL,0 for an isothermal wall of : (a) interfacial temperature and mass flux of one-dimensional vapor, (b) mass flow rate fraction of vapor. partially two-dimensional model, two-dimensional model, model. Tp∗ , de la densité du flux de vapeur ωi∗ et de la fraction massique évaporée Q∗V , respectivement obtenues à l’aide des modèles unidimensionnel, bidimensionnel et partiellement bidimensionnel. L’accroissement de Ti∗ en fonction de x ∗ n’est important qu’au voisinage de l’entrée ; loin de celle-ci, l’interface se comporte comme une surface isotherme, dont la température est plus proche de celle de la paroi Tp que de la température d’entrée de l’air T∞ . La densité du flux de vapeur décroît le long de la paroi et n’est influencée par le débit qu’au niveau de l’entrée. La figure 7a montre que le rapport qi∗ de la densité du flux de chaleur totale qi traversant l’interface sur la densité du flux de chaleur qp traversant la plaque croît avec x ∗ et diminue avec QL,0 . Pour les positions proches de l’entrée et pour les valeurs élevées du débit, une grande partie du flux de chaleur traversant la paroi sert à chauffer le liquide ; la chaleur qp est essentiellement transférée par conduction longitudinale et par convection au sein du film. Loin de l’entrée, même pour les grandes valeurs du débit, par exemple QL,0 = 10−1 kg·m−1·s−1 , la quasi-totalité de qp sert à l’évaporation. Le rapport qs∗ de la densité de flux de chaleur sensible qs sur la densité du flux de chaleur totale qi traversant l’interface décroît longitudinalement de façon monotone ; il n’est significatif qu’au voisinage de l’entrée et pour des débits importants (figure 7b). Contrairement à qs∗ , le rapport ql∗ de la densité du flux de chaleur latente ql sur la 124 Étude numérique de l’évaporation dans un courant d’air humide laminaire d’un film d’eau ruisselant sur une plaque inclinée Figure 7. Variations longitudinales en fonction de QL,0 dans le cas d’une paroi isotherme de densité adimensionnelle (a) du flux de chaleur totale qi∗ , (b) des densités adimensionnelles du flux de chaleur sensible qs∗ et du flux de chaleur latente ql∗ . modèle unidimensionnel, modèle partiellement bidimensionnel, modèle bidimensionnel. Figure 7. Longitudinal variations as function of QL,0 for an isothermal wall of (a) interfacial dimensionless heat flux qi∗ , (b) dimensionless sensible heat flux qs∗ and dimensionless one-dimensional model, partially twolatent heat flux ql∗ . two-dimensional model. dimensional model, densité du flux de chaleur totale qi traversant l’interface croît avec x ∗ et décroît avec QL,0 . Les variations de ql∗ montrent que le transfert de chaleur à l’interface s’effectue principalement sous forme latente et que les faibles valeurs de ql∗ se situent à l’entrée pour les grands débits ; pour QL,0 = 10−1 kg·m−1·s−1 , la valeur est de 87 %. Aux valeurs relativement faibles du débit (QL,0 ≤ 10−2 kg·m−1·s−1 ) ou pour les positions suffisamment éloignées de l’entrée, nos prédictions des températures de l’interface basées sur les trois modèles (unidimensionnel, bidimensionnel et partiellement bidimensionnel) s’accor- Figure 8. Variations longitudinales en fonction de QL,0 pour une paroi à flux de chaleur de densité constante de (a) température d’interface Ti∗ , (b) densité du flux de vapeur ωi∗ et modèle unidimensionnel, fraction massique évaporée Q∗V . modèle partiellement bidimensionnel, modèle bidimensionnel. Figure 8. Longitudinal variations as function of QL,0 for a heated wall by a constant heat flux density of (a) the interfacial temperature, (b) the mass flux and mass flow rate fraction of one-dimensional model, partially two-dimensional vapor. two-dimensional model. model, dent (figure 6a). Ce n’est qu’au niveau de l’entrée ou pour les grandes valeurs de QL,0 qu’on distingue entre elles des écarts pouvant être importants (plusieurs dizaines de pour-cent, selon le domaine), entraînant aussi des écarts dans les prédictions des autres grandeurs caractéristiques de l’interface (ωi∗ , Q∗V , qi∗ , qs∗ et ql∗ ). 5.1.3. Paroi traversée par un flux de chaleur de densité imposée La figure 8 montre que l’augmentation de QL,0 réduit la température de l’interface, la densité du flux de vapeur, ainsi que la fraction massique évaporée et agit d’une 125 E.H. Mezaache, M. Daguenet qp sont transférés à travers le film liquide pour assurer l’évaporation et l’échauffement du gaz. Simultanément, le rapport qp∗ croît longitudinalement, jusqu’à une valeur d’environ 15 %, pour une abscisse qui est fonction de QL,0 , puis diminue aux abscisses supérieures (figure 9b). Aux grandes valeurs du débit, par exemple, QL,0 = 10−1 kg·m−1·s−1 , même pour des positions assez éloignées, la valeur de qs∗ reste importante (environ 13 %). En dehors de sa zone de décroissance longitudinale, le rapport ql∗ croît avec x ∗ et diminue avec le débit. Nos prédictions basées sur les modèles bidimensionnel et partiellement bidimensionnel s’accordent parfaitement dans un grand domaine du débit (QL,0 ≤ 5·10−2 kg·m−1·s−1 ). Ce n’est qu’à partir des grandes valeurs de QL,0 qu’on distingue une très faible différence entre elles. Plus précisément, le modèle partiellement bidimensionnel prévoit une température de l’interface légèrement inférieure ; cette différence influe sur les rapports des densités de flux de chaleur sensible qs∗ et latente ql∗ ; elle reste sans incidence remarquable sur les grandeurs d’interface (ωi∗ , Q∗V , qi∗ ). Les prédictions numériques issues du modèle unidimensionnel sont presque indépendantes du débit, puisque les transferts longitudinaux de chaleur au sein du film liquide ne sont pas pris en considération. Figure 9. Variations longitudinales en fonction de QL,0 pour une paroi à densité de flux de chaleur constante de (a) densité adimensionnelle du flux de chaleur totale qi∗ , (b) densités adimensionnelles du flux de chaleur sensible qs∗ et du flux modèle unidimensionnel, modèle de chaleur latente ql∗ . partiellement bidimensionnel, modèle bidimensionnel. Figure 9. Longitudinal variations as function of QL,0 for a heated wall by a constant heat flux density of (a) the interfacial dimensionless heat flux qi∗ , (b) the dimensionless sensible oneheat flux qs∗ and dimensionless latent heat flux ql∗ . dimensional model, partially two-dimensional model, twodimensional model. manière significative tout le long de la paroi sur ces grandeurs. Par exemple, lorsque x ∗ = 1, quand le débit varie de 10−2 à 10−1 kg·m−1·s−1 , la température de l’interface résultant de l’approche bidimensionnelle varie d’environ 13 %. Elle croît le long de la plaque, à partir d’une valeur proche de T∞ (figure 8a). Il en résulte un accroissement suivant x ∗ de Q∗V (figure 8b) et, à partir d’une certaine valeur de l’abscisse, de ωi∗ . À partir d’une valeur de l’abscisse croissant avec la valeur du débit initial, le rapport qi∗ diminue avec le débit (figure 9a) et croît avec x ∗ ; pour QL,0 = 10−1 kg·m−1·s−1 , seulement moins de 20 % de la valeur de 126 5.2. Influence du terme de diffusion enthalpique Étudiant l’évaporation dans un écoulement forcé d’air, certains auteurs tiennent compte du terme de diffusion enthalpique, que le régime soit laminaire [5, 15], ou turbulent [3, 4, 8, 16], mais d’autres le négligent aussi bien en régime laminaire [1, 6, 7] que turbulent [11, 12]. Les conditions de calcul sont celles du § 4.1, avec QL,0 ≤ 5·10−2 kg·m−1·s−1 . La figure 10 présente les prédictions numériques des températures de l’interface et des densités du flux de vapeur en fonction de x ∗ , obtenues à l’aide du modèle bidimensionnel, en tenant compte ou non du terme de diffusion enthalpique dans l’équation (6). Elle montre que celui-ci n’influe pas sur ces températures. Par conséquent, il n’affecte pas non plus les grandeurs qui en dépendent, par exemple la densité du flux de vapeur, quelles que soient les conditions thermiques imposées à la paroi. Étude numérique de l’évaporation dans un courant d’air humide laminaire d’un film d’eau ruisselant sur une plaque inclinée RÉFÉRENCES Figure 10. Influence du terme de diffusion enthalpique sur les variations longitudinales des températures d’interface issues paroi adiabatique, paroi du modèle bidimensionnel. isotherme, paroi traversée par un flux de chaleur de densité avec le terme de diffusion enthalpique, sans le constante, terme de diffusion enthalpique. Figure 10. Effect of enthalpy diffusion term on longitudinal variations of interfacial temperatures obtained by the twoadiabatic wall, isothermal wall, dimensional model : imposed heat flux density wall, with enthalpy diffusion term, without enthalpy diffusion term. 6. CONCLUSION De cette étude numérique de l’évaporation, dans un courant d’air humide, d’un film mince d’eau ruisselant sur une plaque inclinée, à l’aide d’une méthode aux différences finies centrées à maillage variable, se dégagent les conclusions pratiques suivantes. (1) Que la paroi soit adiabatique, isotherme ou traversée par un flux de chaleur de densité constante, le terme de diffusion enthalpique est toujours négligeable. (2) Si la paroi est adiabatique, le débit du liquide est sans influence sur les transferts et l’interface se comporte comme une surface isotherme au repos. Dans ce cas, on peut utiliser un modèle unidimensionnel dans le film, quelle que soit la valeur du débit du liquide. (3) Si la paroi est isotherme ou traversée par un flux de chaleur de densité constante et quand le débit du liquide est : (i) inférieur à 10−3 kg·m−1·s−1 , le modèle unidimensionnel est suffisant ; (ii) compris dans l’intervalle [10−3 kg·m−1·s−1 ; −2 10 kg·m−1·s−1 [, le modèle partiellement bidimensionnel est utilisable ; (iii) supérieur à 10−2 kg·m−1 ·s−1 , il faut utiliser le modèle bidimensionnel. (4) Le transfert de chaleur est dominé par le terme relatif à la transformation liquide–vapeur. [1] Agunaoun A., Daïf A., Barriol R., Daguenet M., Évaporation en convection forcée d’un film mince s’écoulant en régime permanent, laminaire et sans onde, sur une surface plane inclinée, Int. J. Heat Mass Tran. 37 (1994) 2947– 2956. [2] Ali Chérif A., Rakotomala M., Daïf A., Daguenet M., Contrôle hydrodynamique en convection mixte de l’épaisseur de dépôts en phase gazeuse de semi-conducteurs sur des corps de révolution, Can. J. Chem. Engrg. 73 (1995) 908–917. [3] Baumann W.W., Thiele F., Heat and mass transfer in two-components film evaporation in a vertical tube, in : Proc. 8th Int. Heat Trans. Conf., Vol. 4, 1986, pp. 1843– 1848. [4] Baumann W.W., Thiele F., Heat and mass transfer in evaporating two components liquid film flow, Int. J. Heat Mass Tran. 33 (1990) 267–273. [5] Chow L.C., Chung J.N., Evaporation of water into a laminar stream of air and superheated steam, Int. J. Heat Mass Tran. 26 (1983) 373–380. [6] Daïf A., Agunaoun A., Grisenti M., Daguenet M., Étude de la protection d’une paroi plane inclinée soumise à un courant d’air chaud par un film mince ruisselant, in : Cancam 95, Victoria, Canada, 1995, pp. 472–473. [7] Kaoua M., Ali Chérif A., Daïf A., Daguenet M., Contrôle hydrodynamique de l’évaporation d’un film liquide ruisselant sur une paroi isotherme à symétrie de révolution dans un courant d’air humide, Can. J. Chem. Engrg. 74 (1996) 883–889. [8] Schröppel J., Thiele F., On the calculation of momentum, heat and mass transfer in laminar and turbulent boundary layer flows along a vaporizing liquid film, Numer. Heat Tran. B 6 (1983) 475–496. [9] Yan W.M., Lin T.F., Combined heat and mass transfer in natural convection between vertical parallel plates with film evaporation, Int. J. Heat Mass Tran. 33 (1990) 529–541. [10] Yan W.M., Effects of film vaporization in turbulent mixed convection heat and mass transfer in a vertical channel, Int. J. Heat Mass Tran. 38 (1995) 713–722. [11] Yan W.M., Soong C.Y., Numerical study of liquid film cooling in a turbulent gas stream, Int. J. Heat Mass Tran. 36 (1993) 3877–3885. [12] Yan W.M., Soong C.Y., Convective heat and mass transfer along an inclined heated plate with film evaporation, Int. J. Heat Mass Tran. 38 (1995) 1261–1269. [13] Chun K.R., Seban R.A., Heat transfer to evaporating liquid film, J. Heat Trans.–T. ASME 93 (1971) 391–396. [14] Seban R.A., Faghri A., Evaporation and heating with turbulent falling liquid films, ASME J. Heat Tran. 98 (1976) 315–318. [15] Splettstößer W., Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschichtströmung längs eines verdunstenden Flüssigkeitsfilms, Wärme-Stoffübertrag 8 (1975) 71–86. [16] Shembharkar T.R., Pai B.R., Prediction of film cooling with a liquid coolant, Int. J. Heat Mass Tran. 29 (1986) 899–908. [17] Tsay Y.L., Lin T.F., Yan W.M., Cooling of a falling liquid film through interfacial heat and mass transfer, Int. J. Multiphas. Flow 16 (1990) 853–865. 127 E.H. Mezaache, M. Daguenet [18] Hasan M., Mujumdar A.S., Effect of finite normal interfacial velocity on free convection heat and mass transfer rates from an inclined plate, Int. Comm. Heat Mass Tran. 10 (1983) 477–490. [19] Yeh Y.M., Tsai S.W., Yang C.C., Heat and mass transfer in mixed convection over a horizontal plate, Numer. Heat Tran. B 12 (1987) 229–242. [20] Sakakibara M., Heat and mass transfer with a boundary layer flow past a flat plate of finite thickness, Int. J. Heat Mass Tran. 34 (1991) 2899–2909. [21] Delhaye J.M., Équations fondamentales des écoulements diphasiques, Rapport CEA-R-3429, 1968. [22] Delhaye J.M., Conditions d’interface et sources d’entropie dans les systèmes diphasiques, Rapport CEA-R4562, 1974. [23] Ishii M., Thermo-Fluid Dynamic Theory of TwoPhase Flow, Eyrolles, Paris, 1971. [24] Kocamustafaocullari G., Thermo-fluid dynamics of separated two-phase flow, Thèse, Georgia Institute of Technology, 1971. [25] Cebeci T., Bradshaw P., Physical and Computational Aspects of Convective Heat Transfer, Springer Verlag, New York, 1984. [26] Habil J., Properties of water, Db7, VD-Verlag, GmbH, Dusselford, Db2–Db15, 1993. Détermination des propriétés physiques Les propriétés de l’air, de la vapeur de benzène et du mélange air sec–vapeur de benzène considérées sont empruntées à Schröppel et Thiele [8], celles de l’eau et de la vapeur d’eau à Habil [26]. Pour le mélange air sec–vapeur d’eau, nous utilisons les relations suivantes, données par Agunaoun et al. [1] et par Schröppel et Thiele [8] : MG P0 , RT MG = D= pV = µG = 1,81  2,26·10−5 T P0 273,15 P0 mV MV /MA + (1 − MV /MA )mV µV XV MA xA + XV + XA αV,A XA + XV αA,V kG = qk1 + (1 − q)k2 avec : MG MG , XV = mV MA MV √ √ (1 + µV /µA 4 MA /MV )2 αV,A = √ √ 8 1 + MV /MA √ √ (1 + µA /µV 4 MV /MA )2 αA,V = √ √ 8 1 + MA /MV XA = mA k1 = XV kV + xA kA , ANNEXE ρG = CpG = mV CpV + mA CpA 1 mV /MV + mA /MA k2 = 1 XV /kV + XA /kA 2 q = 0,320545 + 0,169501XA + 0,353371XA 3 4 − 0,519386XA + 0,474109XA (facteur de Brokaw). La pression de la vapeur d’eau saturante pV,i est, selon la relation de Bertrand : log(pV,i ) = 17,443 − 2 795 − 3,868 log Ti Ti Abridged English version Numerical study of the evaporation in laminar humid air flow of a liquid film flowing over an inclined plate The liquid film evaporation occurs in various industrial applications, notably, in heating, air conditioning, wall cooling, combustion, drying, distillation, effluent concentration, vapor and salt productions. Due to its practical importance, numerous works investigated the liquid film evaporation, numerically and experimentally. Works, studying the liquid film evapora- 128 tion over a flat plate, concerned isothermal, adiabatic and imposed heat flux density walls for a gas flow in natural forced and mixed convections. Early studies focused especially on heat and mass transfer in the gas stream; the liquid film is supposed to be at rest with constant thickness, its governing transfer equations are reduced to the boundary equations for the gas flow. The used assump- Étude numérique de l’évaporation dans un courant d’air humide laminaire d’un film d’eau ruisselant sur une plaque inclinée tion of liquid film at rest allows neither the study of the influence of the liquid mass flow rate nor the prediction of the draining length. This assumption is acceptable for an extremely thin film. However, for numerous applications, the liquid mass flow rate is relatively important; the film transfer equations must then be considered. Few numerical works have taken into account simultaneously the transfer in the liquid and gas phases; they used three different approaches, which are one-dimensional, partially two-dimensional and two-dimensional. The physical process consists of a thin liquid film flowing on an inclined flat plate submitted to different thermal conditions. The liquid film is exposed to a cocourant forced air stream. Heating and evaporation of the liquid produce heat and mass transfers on the liquid– stream interface. A variation of the film thickness along the plate results from the effects of liquid flow, inclination, interfacial evaporation and shear stress. The following simplifying assumptions are made: (i) the operating regime is laminar and permanent; (ii) the gas (air + vapor) exhibits a perfect gas law; (iii) there are twodimensional liquid and gaseous boundary layers with noslip of one phase on the other at the interface; (iv) the film thickness and the gas boundary layer thickness are small compared with the length of the plate; (v) the surface of the film, in local thermodynamic equilibrium, is without wave, without material properties, without surface tension and impermeable to the dried-air; (vi) the total pressure is uniform; (vii) radiance, viscous dissipation of heat, Soret and Dufour effects are not taken into account. Although the published works studied numerically the influences of the free stream conditions (temperature, velocity and humidity) on the heat and mass transfer in laminar and turbulent flows, the influence of the liquid film parameters, notably the liquid mass flow rate and the inclined angle was less considered. However, the one-dimensional and two-dimensional approaches for the liquid film are not always satisfactory so that their conditions of applicability must be specified. In the present study, we solve numerically by using an implicit centered finite differences method with nonuniform grid, the two-dimensional laminar permanent transfer equations for a forced humid-air flow over a vaporizing liquid film flowing on an inclined flat plate submitted to different thermal conditions (adiabatic, isothermal and imposed heat flux density walls). Then, our two-dimensional model is used in order to study the influence of the liquid mass flow rate on the interfacial heat and mass transfer. Additionally, we compare our results with those obtained with one-dimensional and partially two-dimensional models in order to know if the latter could be convenient. In order to compare some results of our calculation code with some literature results, we consider the evaporation of benzene and water films in a forced humid-air flow over an adiabatic and isothermal plate. Our numerical results agree well with those of some previous works. From numerical study on the evaporation, in a forced humid-air flow, of a thin liquid water film flowing over an inclined plate, submitted to different thermal conditions, the following practical conclusions can be drawn. 1. The term of enthalpy diffusion is always negligible whether the plate is adiabatic, isothermal or heated by a constant heat flux density. 2. By using in the liquid film transfer equations, which are one-dimensional, partially two-dimensional and two-dimensional, the authors additionally show that: – if the plate is adiabatic, the liquid mass flow rate is without influence on the transfers and the gas–liquid interface behaves like an isotherm surface at rest; in this case, one may use a one-dimensional model in the film whatever liquid mass flow rate is. – if the wall is isotherm or heated by a constant heat flux and when the liquid mass flow rate is less than 10−3 kg·m−1·s−1 , the one-dimensional model is sufficient; if it is included in the interval [10−3 kg·m−1·s−1 , 10−2 kg·m−1·s−1 [, the partially two-dimensional model is useful; if it is superior to 10−2 kg·m−1·s−1 , it is necessary to use the two-dimensional model. 3. For the lower QL,0 , the concordance between the numerical predictions of the velocity and the film thickness obtained with the one-dimensional, partially two-dimensional and two-dimensional models, justifies the hypothesis often used of the neglected inertia terms in the liquid momentum equation. This hypothesis is valid if the liquid mass flow rate is not too important, QL,0 < 10−2 kg·m−1·s−1 . 129