Algebra y trigonometria con geometria analitica swokowski 12th

DÉCIMO SEGUNDA EDICIÓN ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA E A R L W. S W O K O W S K I JEFFERY A. COLE Anoka-Ramsey Community College Traducción: Jorge Humberto Romo Muñoz Traductor profesional Revisión técnica: Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Instituto Politécnico Nacional Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Décimo Segunda edición Earl W. Swokowski; Jeffery A. Cole Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Javier Arellano Gutiérrez Director editorial Latinoamérica: José Tomás Pérez Bonilla Editor: Sergio R. Cervantes González Director de producción: Raúl D. Zendejas Espejel Editor de producción: Timoteo Eliosa García Ilustrador: Andrew Ogus / Rokusek Diseño de portada: Ansialab Composición tipográfica: Imagen Editorial © D.R. 2009 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 12th Edition Publicado en inglés por Brooks & Cole/ Thomson © 2008 ISBN: 0-495-10826-X Datos para catalogación bibliográfica Swokowski, Earl W. y Jeffery A. Cole Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Décimo Segunda edición ISBN-13: 978-607-481-186-5 ISBN-10: 607-481-186-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Este libro se terminó de imprimir en el mes de febrero del 2009, en los talleres de Edamsa Impresiones, S.A. de C.V. con domicilio en Av. Hidalgo No. 111 Col. Fracc. San Nicolás Tolentino, C.P. 09850, México, D.F. A la memoria de Earl W. Swokowski CONTENIDO Lista de temas para calculadora graficadora Prefacio CAPÍTULO CAPÍTULO Números reales 2 Exponentes y radicales 19 Expresiones algebraicas 31 Expresiones fraccionarias 45 Capítulo 1 Ejercicios de repaso Capítulo 1 Ejercicios de análisis 2 Ecuaciones y desigualdades 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 CAPÍTULO x 1 Conceptos fundamentales de álgebra 1.1 1.2 1.3 1.4 1 56 58 59 Ecuaciones 60 Problemas aplicados 69 Ecuaciones cuadráticas 80 Números complejos 95 Otros tipos de ecuaciones 103 Desigualdades 112 Más sobre desigualdades 121 Capítulo 2 Ejercicios de repaso Capítulo 2 Ejercicios de análisis 3 Funciones y gráficas 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 viii 129 132 133 Sistemas de coordenadas rectangulares Gráficas de ecuaciones 143 Rectas 159 Definición de función 178 Gráficas de funciones 196 Funciones cuadráticas 213 134 Contenido 3.7 CAPÍTULO 4 Polinomios y funciones racionales 4.1 4.2 4.3 4.4 247 248 5 Funciones inversas, exponenciales y logarítmicas 319 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 CAPÍTULO 239 245 Funciones polinomiales de grado mayor a 2 Propiedades de la división 259 Ceros de polinomios 267 Ceros complejos y racionales de polinomios 281 Funciones racionales 289 Variación 307 Capítulo 4 Ejercicios de repaso 315 Capítulo 4 Ejercicios de análisis 317 4.5 4.6 CAPÍTULO Operaciones en funciones 229 Capítulo 3 Ejercicios de repaso Capítulo 3 Ejercicios de análisis Funciones inversas 320 Funciones exponenciales 331 La función exponencial natural 344 Funciones logarítmicas 355 Propiedades de logaritmos 370 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Capítulo 5 Ejercicios de repaso 392 Capítulo 5 Ejercicios de análisis 395 6 Las funciones trigonométricas 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 378 399 Ángulos 400 Funciones trigonométricas de ángulos 411 Funciones trigonométricas de números reales 429 Valores de las funciones trigonométricas 448 Gráficas trigonométricas 456 Gráficas trigonométricas adicionales 471 Problemas aplicados 479 Capítulo 6 Ejercicios de repaso 492 Capítulo 6 Ejercicios de análisis 499 v vi CONTENIDO CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 CAPÍTULO Verificación de identidades trigonométricas 502 Ecuaciones trigonométricas 508 Fórmulas de la adición y sustracción 523 Fórmulas de ángulos múltiples 534 Fórmulas de producto a suma y suma a producto 544 Funciones trigonométricas inversas 549 Capítulo 7 Ejercicios de repaso 565 Capítulo 7 Ejercicios de análisis 568 8 Aplicaciones de trigonometría 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 CAPÍTULO 501 569 La ley de los senos 570 La ley de los cosenos 580 Vectores 590 Producto punto 605 Forma trigonométrica para números complejos 616 Teorema de De Moivre y las raíces n-ésimas de números complejos 623 Capítulo 8 Ejercicios de repaso 629 Capítulo 8 Ejercicios de análisis 633 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 635 Sistemas de ecuaciones 636 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables Sistemas de desigualdades 654 Programación lineal 664 Sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables 672 9.6 El álgebra de matrices 688 9.7 La inversa de una matriz 698 9.8 Determinantes 704 9.9 Propiedades de determinantes 711 9.10 Fracciones parciales 719 Capítulo 9 Ejercicios de repaso 725 Capítulo 9 Ejercicios de análisis 728 646 Contenido CAPÍTULO 10 Sucesiones, series y probabilidad 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 CAPÍTULO IV 895 Gráficas comunes y sus ecuaciones 896 Un resumen de transformaciones de gráficas 898 Gráficas de funciones trigonométricas y sus inversas 900 Valores de las funciones trigonométricas de ángulos especiales en una circunferencia unitaria 902 Respuestas a ejercicios seleccionados Índice de aplicaciones Índice 815 Parábolas 816 Elipses 826 Hipérbolas 840 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 852 Coordenadas polares 867 Ecuaciones polares de cónicas 884 Capítulo 11 Ejercicios de repaso 890 Capítulo 11 Ejercicios de análisis 893 Apéndices I II III 731 Sucesiones infinitas y notación de suma 732 Sucesiones aritméticas 748 Sucesiones geométricas 755 Inducción matemática 764 El teorema del binomio 771 Permutaciones 780 Permutaciones y combinaciones distinguibles 787 Probabilidad 796 Capítulo 10 Ejercicios de repaso 810 Capítulo 10 Ejercicios de análisis 813 11 Temas de geometría analítica 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 vii A95 A90 A1 LISTA DE TEMAS SOBRE LA CALCULADORA GRAFICADORA Hay muchos otros sitios en los que se usa calculadora graficadora. A continuación se muestra los que incluyen secuencias específicas de tecleo. CAPÍTULO 1 Conceptos fundamentales de álgebra Guardar valores y evaluar expresiones 5 Recíprocos 7 Sustracción y negativos 7 Prueba de desigualdades y la ley de tricotomía 10 Valor absoluto 12 Forma científica 15 Notación exponencial 19 Raíz n principal 23 Exponentes racionales 27 Comprobación de un resultado de factorización 40 Para hallar el mcm 48 Sumamos fracciones 48 Formule una tabla 49 CAPÍTULO 2 Ecuaciones y desigualdades Prueba de ecuaciones 62 Operaciones con números complejos 98 Operaciones con números complejos 100 CAPÍTULO 3 Funciones y gráficas Graficación de puntos en una calculadora graficadora 139 Trazar la gráfica de una ecuación y hallar cruces con los ejes x y y 146 Estimar puntos de intersección de gráficas 153 Estimar puntos de intersección de gráficas 154 Hallar una recta de mejor ajuste (recta de regresión lineal) 170 Analizar la gráfica de una función 189 Trazar la gráfica de una función definida por tramos 203 Hallar un valor máximo (o mínimo) 218 CAPÍTULO 4 Polinomios y funciones racionales Uso de la función TI-86 POLY 255 CAPÍTULO 5 Funciones inversas, exponenciales y logarítmicas Graficar la inversa de una función 327 CAPÍTULO 6 Las funciones trigonométricas Conversión de radianes a grados 405 Conversión de radianes a grados 406 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica Calcular las soluciones de una ecuación trigonométrica 515 Lista de temas sobre la calculadora graf icadora CAPÍTULO 8 Aplicaciones de trigonometría Suma de dos vectores 597 Hallar un producto punto 606 Operaciones con números complejos 619 Hallar una raíz de un número complejo 626 Usando la función Poly de la TI-86 628 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Graficar una desigualdad 659 Introducir tamaño y elementos de una matriz 680 Encontrar la forma escalonada reducida por renglones 680 Multiplicar matrices 693 Hallar la inversa de una matriz 700 Encontrar el determinante de una matriz 708 C A P Í T U L O 10 Sucesiones, series y probabilidad Generar la sucesión 734 Graficando una sucesión 735 Generar una sucesión definida en forma repetitiva 737 Encontrar la suma de sucesión 738 Hallar los términos de la sucesión de sumas parciales 740 Uso del modo de sucesión de la TI-83/4 Plus 743 Calculando factoriales 773 Calculando permutaciones 785 Calcular combinaciones 792 C A P Í T U L O 11 Temas de geometría analítica Graficar semielipses 832 Trazar gráficas en modo paramétrico 855 Conversión de polar a rectangular 869 Conversión rectangular a polar 871 Graficar una ecuación polar 874 ix PREFACIO La décimo segunda edición de Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica incluye más de 100 ejemplos y ejercicios nuevos y revisados, muchos de los cuales resultaron de sugerencias de usuarios y revisores de la edición anterior. Todos se han incorporado sin sacrificar exactitud matemática, lo que ha sido de capital importancia para el éxito de este texto. La inclusión de ejemplos e insertos para calculadora graficadora, con secuencias específicas de tecleo y pantallas en color para la TI-83/4 Plus y la TI86, ha dado valor agregado al texto para estudiantes, en especial para quienes trabajan por primera vez con una calculadora graficadora. También da a los profesores más flexibilidad en términos de la forma en que se aproximan a una solución. El diseño del texto hace que los insertos de tecnología se identifiquen fácilmente y se citan en una tabla de contenido especial de tecnología para que se puedan buscar con más facilidad. A continuación veamos un breve repaso de los capítulos, seguido por una pequeña descripción del curso de Álgebra Universitaria que imparto en el Anoka-Ramsey Community College y luego una lista de características generales del texto. Repaso Capítulo 1 Este capítulo contiene un resumen de algunos temas de álgebra básica. El estudiante debe estar familiarizado con gran parte de este material, pero también es un desafío para él por los ejercicios que lo preparan para el cálculo. Se introducen y usan operaciones con calculadora graficadora para verificar operaciones algebraicas. Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades se resuelven algebraica y numéricamente en este capítulo con apoyo de tecnología; se resuelven gráficamente en capítulos subsecuentes. El estudiante ampliará sus conocimientos de estos temas; por ejemplo, ha trabajado con la fórmula cuadrática pero se le pedirá que la relacione con factorización y trabajo con coeficientes que no son números reales (vea ejemplos 10 y 11 de la sección 2.3). Capítulo 3 Gráficas y funciones en dos dimensiones se introducen en este capítulo. Se dan instrucciones específicas para calculadoras graficadoras para casi todas las funciones básicas de gráficas, por ejemplo hallar ceros y puntos de intersección, así como algunos de los temas más difíciles como es hallar un modelo de regresión y graficar una función definida por partes. Vea en el ejemplo 10 actualizado de la sección 3.5 una aplicación del tema (impuestos) que relaciona tablas, fórmulas y gráficas. Prefacio xi Capítulo 4 Este capítulo se inicia con una exposición de funciones con polinomios y alguna teoría de polinomios. En la sección 4.5 se da un tratamiento completo de funciones racionales, que es seguida por una sección sobre variaciones que incluye gráficas de funciones racionales simples y con polinomios. Capítulo 5 Las funciones inversas es el primer tema de análisis, seguido de varias secciones que se refieren a funciones exponenciales y logarítmicas. El modelado de una función exponencial recibe atención adicional en este capítulo (vea el ejemplo 8 de la sección 5.2) así como también en el capítulo 9. Capítulo 6 El primer tema de este capítulo se refiere a ángulos. A continuación, se introducen funciones trigonométricas usando un método de triángulo rectángulo y luego se definen en términos de un círculo unitario. Aparecen identidades trigonométricas básicas en todo el capítulo, que concluye con secciones sobre gráficas trigonométricas y problemas aplicados. Capítulo 7 Este capítulo contiene principalmente identidades trigonométricas, fórmulas y ecuaciones. La última sección contiene definiciones, propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas inversas. Capítulo 8 La ley de senos y la ley de cosenos se usan para resolver triángulos oblicuos. A continuación se introducen y se usan vectores en aplicaciones. Las últimas dos secciones se relacionan con funciones trigonométricas y números complejos. Capítulo 9 Los sistemas de desigualdades y programación lineal siguen inmediatamente a la solución de sistemas por sustitución y eliminación. A continuación, se introducen matrices que se emplean para resolver sistemas. Este capítulo concluye con una exposición de determinantes y fracciones parciales. Capítulo 10 Este capítulo se inicia con una exposición de sucesiones y se ha incluido un importante apoyo tecnológico. La inducción matemática y el teorema del binomio aparecen a continuación, seguidos por temas de conteo (vea en el ejemplo 3 de la sección 10.7 un ejemplo que contiene combinaciones y permutaciones). La última sección es acerca de probabilidad e incluye temas como son las probabilidades y el valor esperado. Capítulo 11 Con secciones sobre la parábola, elipse e hipérbola se inicia este capítulo. Dos formas diferentes de representar funciones se dan en las siguientes secciones sobre ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Mi curso En el Anoka-Ramsey Community College en Coon Rapids, Minnesota, Álgebra Universitaria I es un curso de 3 créditos que se imparte en un semestre. Para estudiantes que tratan de tomar cálculo, este curso es seguido por un curso de 4 créditos en un semestre, Álgebra Universitaria II y Trigonometría. Este curso también sirve como curso terminal de matemáticas para numerosos estudiantes. xii PREFACIO Las secciones cubiertas en Álgebra Universitaria I son 3.1-3.7, 4.1, 4.5 (parte), 4.6, 5.1-5.6, 9.1-9.4, 10.1-10.3 y 10.5-10.8. Los capítulos 1 y 2 se usan como material de repaso en algunas clases y las secciones restantes se imparten en el siguiente curso. Se requiere calculadora graficadora en algunas secciones y es opcional en otras. Características Una lista separada de temas para calculadora graficadora En las páginas viii y ix, hay una lista de temas para calculadora graficadora para rápida consulta. Ilustraciones Se dan breves demostraciones del uso de definiciones, leyes y teoremas en la forma de ilustraciones. Tablas Las tablas dan a los estudiantes fácil acceso a resúmenes de propiedades, leyes, gráficas, relaciones y definiciones. Estas tablas contienen con frecuencia ilustraciones sencillas de los conceptos que se introducen. Ejemplos Titulados para fácil referencia, todos los ejemplos dan soluciones detalladas a problemas semejantes a los que aparecen en conjuntos de ejercicios. Muchos ejemplos incluyen gráficas o tablas para ayudar al estudiante a entender procedimientos y soluciones. Casi todos los ejemplos tienen material didáctico en línea asociado con ellos. Explicaciones paso a paso Para ayudar a estudiantes a seguirlos con más facilidad, muchas de las soluciones en ejemplos contienen explicaciones paso a paso. Ejercicios de análisis Cada uno de los capítulos termina con varios ejercicios que son apropiados para comentarse en grupos pequeños. Estos ejercicios van de fáciles a difíciles y de teóricos a orientados a aplicaciones. Demostraciones Las soluciones a algunos ejemplos se demuestran de manera explícita, para recordarles a estudiantes que deben comprobar que sus soluciones satisfagan las condiciones de los problemas. Ejemplos para calculadora graficadora Siempre que es apropiado, ejemplos que requieren el uso de una calculadora graficadora se incluyen en el texto. Estos ejemplos están designados con un icono de calculadora (mostrado a la izquierda) e ilustrados con una figura reproducida de una pantalla de calculadora graficadora. Insertos para calculadora graficadora Además de los ejemplos para calculadora graficadora, estos insertos se incluyen para destacar algunas de las opciones de calculadoras graficadoras y/o ilustrar su uso para realizar las operaciones bajo discusión. Vea, por ejemplo, en la sección 4.1 y en la sección 10.1. Ejercicios con calculadora graficadora En secciones apropiadas se incluyen ejercicios específicamente diseñados para ser resueltos con una calculadora graficadora. Estos ejercicios también están designados con un icono de calculadora (mostrado a la izquierda). Prefacio xiii Aplicaciones Para aumentar el interés del estudiante y ayudarlo a relacionar los ejercicios con situaciones actuales de la vida real, se han titulado ejercicios aplicados. Una mirada al Índice de aplicaciones, en la parte final del libro, deja ver la amplia variedad de temas. Muchos profesores han indicado que las aplicaciones constituyen una de las mejores características del texto. Ejercicios Cientos de ejercicios han sido actualizados con nuevos datos y nuevas aplicaciones para aumentar su relevancia. Los conjuntos de ejercicios empiezan con problemas de práctica de rutina y de manera gradual aumentan a problemas más difíciles. Un amplio número de ejercicios contiene gráficas y datos tabulados; otros, requieren que los estudiantes encuentren un modelo matemático para la información dada. Los problemas aplicados aparecen por lo general hacia el final de un conjunto de ejercicios, para que el estudiante adquiera confianza al trabajar con las nuevas ideas que se le han presentado, antes que trate problemas que requieren mayor análisis y síntesis de estas ideas. Los ejercicios de repaso del final de cada uno de los capítulos se pueden usar para prepararse para exámenes. Directrices Las directrices que se presentan en cajas, enumeran los pasos en un procedimiento o técnica para ayudar al estudiante a resolver problemas en una forma sistemática. Advertencias En todo el libro se ven avisos de atención para alertar a estudiantes sobre errores comunes. Figuras Formando un paquete de figuras que no tiene igual, figuras y gráficas aquí han sido generadas en computadora para máxima precisión, usando para ello lo último en tecnología. Se emplean colores para distinguir entre partes diferentes de figuras. Por ejemplo, la gráfica de una función se puede mostrar en azul y la de una segunda función en rojo. Las leyendas son del mismo color que las partes de la figura que identifican. Diseño del texto El texto ha sido diseñado para asegurar que todas las exposiciones sean fáciles de seguir y se han resaltado conceptos importantes. Se usa color en forma pedagógica para aclarar gráficas complejas y ayudar al estudiante a visualizar problemas aplicados. Quienes ya antes adoptaron este texto han confirmado que el texto constituye un equilibrio muy atractivo en términos del uso del color. Tablas Al final del texto se incluyen tablas muy útiles de álgebra, geometría y trigonometría. Apéndices El apéndice I, “Gráficas comunes y sus ecuaciones”, es un resumen ilustrado de gráficas y ecuaciones que los estudiantes por lo general encuentran en matemáticas de precálculo. El apéndice II, “Un resumen de transformaciones de gráficas”, es una sinopsis ilustrativa de las transformaciones básicas de gráficas que se examinan en el texto: desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión. El apéndice III, “Gráficas de funciones trigonométricas y sus inversas”, contienen gráficas, dominios e imágenes de las seis funciones trigonométricas y sus inversas. El apéndice IV, “Valores de las funciones trigonométricas de ángulos especiales en una circunferencia unitaria”, es una referencia a página entera para los ángulos más comunes en xiv PREFACIO una circunferencia unitaria, valiosa para estudiantes que están tratando de aprender los valores de funciones trigonométricas básicas. Sección de respuestas La sección de respuestas al final del texto da respuestas para casi todos los ejercicios de número impar, así como respuestas para todos los ejercicios de repaso del capítulo. Dedicamos un considerable esfuerzo para hacer de esta sección un método de aprendizaje para estudiantes en lugar de sólo verificar respuestas. Por ejemplo, se dan demostraciones para problemas de inducción matemática. Las respuestas numéricas para gran cantidad de ejercicios están expresadas tanto en forma exacta como aproximada. Siempre que es posible se incluyen gráficas, demostraciones y sugerencias. Las soluciones y respuestas elaboradas por el autor aseguran un alto grado de consistencia entre el texto, los manuales de soluciones y las respuestas. Herramientas de enseñanza para el profesor Material de apoyo Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor, los cuales están disponibles en inglés y sólo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para direcciones de correo electrónico: Cengage Learning México y Centroamérica clientes.mexico@cengage.com Cengage Learning Caribe clientes.caribe@cengage.com Cengage Learning Cono Sur clientes.conosur@cengage.com Paraninfo clientes.paraninfo@cengage.com Colombia clientes.pactoandino@cengage.com Además encontrará más apoyos en el sitio Web de este libro: http://latinoamerica.cengage.com/swokowski Las direcciones de los sitios Web referidas a lo largo del texto no son administradas por Cengage Learning Latinoamérica, por lo que ésta no es responsable de los cambios para mantenerse al tanto de cualquier actualización. Manual de soluciones para el profesor Por Jeffery A. Cole (ISBN 0-49538232-9). Este manual elaborado por el autor incluye respuestas a todos los ejercicios del texto y soluciones detalladas a casi todos los ejercicios. El manual ha sido revisado totalmente para mayor precisión. Banco de exámenes (ISBN 0-495-38233-7). El Banco de exámenes incluye seis exámenes por capítulo así como tres exámenes finales, todos ellos formados por una combinación de preguntas de opción múltiple, respuesta libre, verdadero/falso y llenar espacio en blanco. ExamView® (ISBN 0-495-38234-5). Cree, entregue y personalice exámenes y guías de estudio (en forma impresa y en línea) en minutos con este sistema fácil de usar en la evaluación y de material didáctico, que contiene todas las preguntas provenientes del Banco de exámenes en formato electrónico. Prefacio xv DVD específico del texto (ISBN 0-495-38289-2). Este DVD apoya el aprendizaje y ahorra tiempo al estudiante al ofrecerle ayuda fuera de clase. Presenta el material en cada uno de los capítulos del texto, desglosado en lecciones de 10 a 20 minutos para la solución de problemas y abarca cada una de las secciones. JoinInTM en TurningPoint® (ISBN 0-495-38236-1). El contenido del JoinInTM para sistemas de respuesta del estudiante en clase, personalizado para este texto, permite al profesor transformar su salón de clases y evaluar el avance del estudiante con preguntas y encuestas instantáneas en clase. Plantee preguntas específicas del libro y muestre fácilmente respuestas de estudiantes dentro de las transparencias del Microsoft® PowerPoint® de su propia clase, en coordinación con el equipo periférico (hardware) “clicker” de su preferencia. Página Web La página Web del Book Companion incluye sugerencias de estudio, material de repaso, instrucciones para usar diversas calculadoras graficadoras, así como un cuestionario didáctico para cada capítulo del texto y otros materiales para estudiantes y profesores. Herramientas de aprendizaje para el estudiante Página Web La página Web del Book Companion contiene sugerencias de estudio, material de repaso, instrucciones para usar diversas calculadoras graficadoras, un cuestionario didáctico para cada capítulo del texto y otros materiales para estudiantes y profesores. Reconocimientos Agradecemos a los revisores de esta edición: Brenda Burns-Williams, North Carolina State University; Gregory Cripe, Spokane Falls Community College; George DeRise, Thomas Nelson Community College; Ronald Dotzel, University of Missouri, St. Louis; Hamidullah Farhat, Hampton University; Sherry Gale, University of Cincinnati; Carole Krueger, University of Texas, Arlington; Sheila Ledford, Coastal Georgia Community College; Christopher Reisch, Jamestown Community College; Beverly Shryock, University of North Carolina, Chapel Hill; Hanson Umoh, Delaware State University; Beverly Vredevelt, Spokane Falls Community College; y Limin Zhang, Columbia Basin Community College. También damos las gracias a revisores de ediciones anteriores, que han ayudado a aumentar la utilidad del texto para los estudiantes durante años: Jean H. Bevis, Georgia State University; David Boliver, University of Central Oklahoma; Randall Dorman, Cochise College; Karen Hinz, Anoka-Ramsey Community College; Sudhir Goel, Valdosta State University; John W. Horton, Sr., St. Petersburg College; Robert Jajcay, Indiana State University; Conrad D. Krueger, San Antonio College; Susan McLoughlin, Union County College; Lakshmi Nigam, Quinnipiac University; Wesley J. Orser, Clark College; Don E. Soash, Hillsborough Community College; Thomas A. Tredon, Lord Fairfax Community College; y Fred Worth, Henderson State University. Además, doy las gracias a Marv Riedesel y Mary Johnson por su revisión precisa de ejemplos nuevos y revisados y de ejercicios. xvi PREFACIO Estoy agradecido por la excelente cooperación del personal de Brooks/Cole, en especial al grupo editorial de Charlie Van Wagner, Gary Whalen y Kari Hopperstead. Donna Kelley y Dianna Muhammad manejaron el excelente paquete auxiliar que acompaña al texto. Gracias especiales a Leslie Lahr por el tiempo y energía que puso en la investigación y por otras aportaciones al proyecto. Sally Lifland y Peggy Flanagan, de Lifland y otros, Bookmakers, vio el libro en todas las etapas de producción, tuvo excepcional cuidado para ver que no hubiera inconsistencias y ofreció muchas y útiles sugerencias. El ya desaparecido George Morris, de Scientific Illustrators, creó el matemáticamente preciso paquete de figuras y actualizó todas las figuras de varias ediciones. Esta tradición de excelencia es continuada por su hijo Brian. Además de todas las personas nombradas aquí, me gustaría expresar mi sincera gratitud a numerosos estudiantes y profesores que han ayudado a dar forma a mis puntos de vista sobre educación en matemáticas. Por favor siéntanse en entera libertad de escribirme sobre cualquier aspecto de este texto que yo valoro sus opiniones. Jeffery A. Cole 1 Conceptos fundamentales de álgebra 1.1 Números reales 1.2 Exponentes y radicales 1.3 Expresiones algebraicas 1.4 Expresiones fraccionarias La palabra álgebra proviene de ilm al-jabr w’al muqabala, título de un libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe Al-Juarismi. El título se ha traducido como la ciencia de la restauración y la reducción, lo cual significa transponer y combinar términos semejantes (de una ecuación). La traducción latina de al-jabr llevó al nombre de la rama de las matemáticas que ahora llamamos álgebra. En álgebra usamos símbolos o letras, por ejemplo a, b, c, d, x, y, para denotar números arbitrarios. Esta naturaleza general del álgebra está ilustrada por las numerosas fórmulas empleadas en ciencias y la industria. A medida que el lector avance en este texto y pase a cursos más avanzados en matemáticas o a campos de actividad donde se utilizan matemáticas, estará cada vez más consciente de la importancia y poder de las técnicas algebraicas. 2 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA 1.1 Números reales Los números reales se usan en toda la matemática y el estudiante debe estar familiarizado con símbolos que los representan, por ejemplo 1, 73, 49 12 , 5, 22, 3 2 85, 0, 0.33333 . . . , 596.25, y otros. Los enteros positivos o números naturales, son 1, 2, 3, 4, .... Los números enteros (no negativos) son los números naturales combinados con el número 0. Los enteros se escriben a veces como sigue ..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... En todo este texto, las letras minúsculas a, b, c, x, y,… representan números reales arbitrarios (también llamados variables). Si a y b denotan el mismo número real, escribimos a = b, que se lee “a es igual a b” y se denomina igualdad. La notación a ≠ b se lee “a no es igual a b.” Si a, b, y c son enteros y c = ab, entonces a y b son factores o divisores de c. Por ejemplo, como 6  2  3  23  1  6  16, sabemos que 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6 y 6 son factores de 6. Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus únicos factores positivos son 1 y p. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. El Teorema Fundamental de Aritmética expresa que todo entero positivo diferente de 1 se puede expresar como producto de números primos en una forma y sólo una (excepto por orden de factores). Algunos ejemplos son 12  2  2  3, 126  2  3  3  7, 540  2  2  3  3  3  5. Un número racional es un número real que se puede expresar en la forma a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0. Nótese que todo entero a es un número racional, dado que se puede expresar en la forma a/1. Todo número real se puede expresar como un decimal y las representaciones decimales para números racionales son finitas o no finitas y periódicas. Por ejemplo podemos demostrar, con el uso del proceso aritmético de la división, que 5 4  1.25 y 177 55  3.2181818 . . . , donde los dígitos 1 y 8 en la representación de 177 55 se repiten indefinidamente (a veces se escribe como 3.218). 1.1 N ú m e r o s r e a l e s En escritura técnica es conveniente usar el símbolo ⬟ para “aproximadamente igual”. 3 Los números reales que no son racionales son números irracionales. Las representaciones decimales para números irracionales son siempre no finitas y no periódicas. Un número irracional común, denotado por , es la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. A veces usamos la notación   3.1416 para indicar que  es aproximadamente igual a 3.1416. No hay número racional b tal que b2  2, donde b2 denota b  b, pero hay un número irracional denotado por 22 (la raíz cuadrada de 2), tal que  22 2  2. El sistema de números reales está formado por todos los números racionales e irracionales. Las relaciones entre los tipos de números empleados en álgebra están ilustradas en el diagrama de la figura 1, donde una línea que enlaza dos rectángulos significa que los números mencionados en el rectángulo más alto incluyen los del rectángulo más bajo. Los números complejos, que se estudian en la sección 2.4, contienen a todos los números reales. Figura 1 Tipos de números empleados en álgebra Números complejos Números reales Números racionales Números irracionales Enteros Enteros negativos 0 Enteros positivos Los números reales son cerrados con respecto a la operación de adición (denotada por ); esto es, a todo par a, b de números reales corresponde exactamente un número real a  b llamado suma de a y b. Los números reales son también cerrados con respecto a la multiplicación (denotada por ); esto es, a todo par a, b de números reales corresponde exactamente un número real a  b (también denotado por ab) llamado producto de a y b. Importantes propiedades de la adición y multiplicación de números reales aparecen en la tabla siguiente. 4 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Propiedades de números reales Terminología Caso general (1) La adición es conmutativa. abba (2) La adición es asociativa. a  b  c  a  b  c (3) 0 es el neutro aditivo. a0a (4) a es el inverso aditivo a  a  0 o negativo, de a. (5) La multiplicación es conmutativa. ab  ba (6) La multiplicación es asociativa. abc  abc (7) 1 es el neutro multiplicativo. a1a 1 es el a inverso multiplicativo o recíproco, de a. (9) La multiplicación es distributiva sobre la adición. (8) Si a 苷 0, a  1 a Significado El orden es indistinto cuando se suman dos números. La agrupación es indistinta cuando se suman tres números. La suma de 0 con cualquier número da el mismo número. La suma de un número y su negativo da 0. El orden es indistinto cuando se multiplican dos números. La agrupación es indistinta cuando se multiplican tres números. La multiplicación de cualquier número por 1 da el mismo número. La multiplicación de un número diferente de cero por su recíproco da 1. 1 ab  c  ab  ac y a  bc  ac  bc La multiplicación de un número y una suma de dos números es equivalente a multiplicar cada uno de los dos números por el número y luego sumar los productos. Como a  b  c y a  b  c son siempre iguales, podemos usar a  b  c para denotar este número real. Usamos abc por abc o abc. Del mismo modo, si cuatro o más números reales a, b, c, d se suman o multiplican, podemos escribir a  b  c  d para su suma y abcd para su producto, cualquiera que sea la forma en que los números se agrupen o intercambien. Las propiedades distributivas son útiles para hallar productos de muchos tipos de expresiones que comprendan sumas. El siguiente ejemplo lo ilustra. EJEMPLO 1 Uso de propiedades distributivas Si p, q, r y s denotan números reales, demuestre que  p  qr  s  pr  ps  qr  qs. SOLUCIÓN Usamos las dos propiedades distributivas que aparecen en (9) de la tabla precedente:  p  qr  s  pr  s  qr  s segunda propiedad distributiva, con c  r  s   pr  ps  qr  qs primera propiedad distributiva  pr  ps  qr  qs eliminar paréntesis L 5 1.1 N ú m e r o s r e a l e s EJEMPLO 2 Guardar valores y evaluar expresiones Evalúe el lado izquierdo y el lado derecho de la igualdad del ejemplo 1 para p  5, q  3, y r  6, s  7. SOLUCIÓN TI-83/4 Plus Guarda valores en P, Q, R y S. TI-86 5 STO 䉯 ALPHA P ALPHA : 3 STO 䉯 ALPHA Q ALPHA : () 6 STO 䉯 7 STO 䉯 Evalúa el lado izquierdo (LS). R ALPHA ALPHA ALPHA S ENTER P ALPHA 3 STO 䉯 : ALPHA : 2nd Q 2nd () 6 STO 䉯 ALPHA 7 STO 䉯 R : 2nd S ENTER : ( ALPHA P  ALPHA Q ) ( ALPHA P  ALPHA Q ) ( ALPHA R  ALPHA S ) ( ALPHA R  ALPHA S ) ENTER Evalúa el lado derecho (RS). 5 STO 䉯 ENTER ALPHA P ALPHA R  ALPHA P  ALPHA R  ALPHA P ALPHA S  ALPHA P  ALPHA S  ALPHA Q ALPHA R  ALPHA Q  ALPHA R  ALPHA Q ALPHA S ALPHA Q  ALPHA S ENTER ENTER Ambos lados son iguales a 8, lo cual da credibilidad a nuestro resultado pero no demuestra que es correcto. L Las siguientes son propiedades básicas de la igualdad. Propiedades de la igualdad Si a  b y c es cualquier número real, entonces (1) a  c  b  c (2) ac  bc Las propiedades 1 y 2 expresan que el mismo número puede sumarse a ambos lados de una igualdad y ambos lados de una igualdad pueden multipli- 6 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA carse por el mismo número. Haremos amplio uso de estas propiedades en todo el texto para ayudar a hallar soluciones de ecuaciones. El siguiente resultado se puede demostrar. (1) a  0  0 para todo número real a. (2) Si ab  0, entonces a  0 o b  0. Productos que involucran el 0. Cuando usamos la palabra o como hicimos en (2), queremos decir que al menos uno de los factores a y b es 0. Nos referiremos a (2) como el teorema del factor cero en un trabajo futuro. Algunas propiedades de los negativos aparecen en la tabla siguiente. Propiedades de negativos Propiedad (1) (2) (3) (4) Ejemplos 3  3 a  a ab  ab  ab ab  ab 1a  a 23  2  3  23 23  2  3 13  3 1 de un número real a diferente de cero a veces se denota a como a1, como en la tabla siguiente. El recíproco Notación para recíprocos Definición Si a 苷 0, entonces a1  Ejemplos 1 . a 21   3 4 Nótese que si a 苷 0, entonces  a  a1  a 1 a  1. 1 2 1  4 1  34 3 1.1 N ú m e r o s r e a l e s TI-83/4 Plus Recíprocos 2 x STO 䉯 1 TI-86 ALPHA A 2 ENTER ENTER 2nd A ALPHA x 1 ENTER A STO 䉯 x 1 ENTER ENTER A ALPHA 2nd x 1 ENTER Para cualquiera de las dos figuras, vemos dos formas de calcular el recíproco: (1) Con sólo presionar x 1 , obtenemos el recíproco de la última respuesta, que se guarda en ANS . (2) Podemos introducir una variable (o sólo un número) y luego hallar su recíproco.  Las operaciones de sustracción  y división  se definen como sigue. Sustracción y división Definición a  b  a  b aba  1 b  a  b1; b 苷 0 TI-83/4 Plus Sustracción y negativos 5  5  3 ENTER Ejemplos Para restar un número de otro, sume el negativo. 3  7  3  7 Para dividir un número entre un número diferente de cero, multiplique por el recíproco. 373  1 7  3  71 TI-86 ENTER () 3 5 () 3 Significado ENTER 5  5  3 ENTER () 3 5 () 3 ENTER ENTER (continúa) 7 8 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA La ejecución del último enunciado produce un error SYNTAX en la TI-83/4 Plus y un producto en la TI-86. Use la tecla de signo menos  para la operación de sustracción y la tecla () (negación) para números negativos. Con frecuencia omitiremos la tecla de negación de aquí en adelante y simplemente escribiremos 3. a por a  b y nos referimos a ab como el cociente de a b y b o la fracción a sobre b. Los números a y b son el numerador y denominador, respectivamente, de ab. Como 0 no tiene inverso multiplicativo, ab no está definido si b  0; esto es, la división entre cero no está definida. Es por esta razón que los números reales no son cerrados con respecto a la división. Nótese que Usamos ab o 1b 1  b1 si b b 苷 0. Las siguientes propiedades de cocientes son verdaderas, siempre que todos los denominadores sean números reales diferentes de cero. Propiedades de cocientes (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Propiedad Ejemplos a c  si ad  bc b d ad a  bd b a a a   b b b a c ac   b b b a c ad  bc   b d bd a c ac   b d bd 2 6  porque 2  15  5  6 5 15 23 2  53 5 2 2 2   5 5 5 2 9 29 11    5 5 5 5 2 4 2354 26    5 3 53 15 27 14 2 7    5 3 53 15 a c a d ad     b d b c bc 7 2 3 6 2     5 3 5 7 35 Los números reales pueden estar representados por puntos en una recta l tal que cada número real a ahí corresponde exactamente a un punto en l y a cada punto P en l corresponde un número real. Esto se llama correspondencia uno a uno (o biunívoca). Primero escogemos un punto arbitrario O, llamado el origen y lo asociamos con el número 0. Los puntos asociados con los 9 1.1 N ú m e r o s r e a l e s enteros se determinan entonces al trazar segmentos de recta sucesivos de igual longitud a ambos lados de O, como se ve en la figura 2. El punto correspondiente a un número racional, por ejemplo 23 5 , se obtiene al subdividir estos segmentos de recta. Los puntos asociados con ciertos números irracionales, por ejemplo 22, se pueden hallar por construcción (vea el ejercicio 45). Figura 2 O 3 2 1 0 1 2 q 1.5 Números reales negativos 2 2.33 3 4 5 B A b a l H p Números reales positivos El número a que está asociado con un punto A en l es la coordenada de A. Nos referimos a estas coordenadas como un sistema de coordenadas y a l la llamamos recta de coordenadas o recta real. Se puede asignar una dirección a l al tomar la dirección positiva a la derecha y la dirección negativa a la izquierda. La dirección positiva se denota al colocar una punta de flecha en l, como se ve en la figura 2. Los números que corresponden a puntos a la derecha de O en la figura 2 son números reales positivos. Los números que corresponden a puntos a la izquierda de O son números reales negativos. El número real 0 no es ni positivo ni negativo. Nótese la diferencia entre un número real negativo y el negativo de un número real. En particular, el negativo de un número real a puede ser positivo. Por ejemplo, si a es negativo, digamos a  3, entonces el negativo de a  3  3, que es positivo. En general, tenemos las siguientes relaciones. (1) Si a es positiva, entonces a es negativa. (2) Si a es negativa, entonces a es positiva. Relaciones entre a y ⴚa En la tabla siguiente definimos las nociones de mayor que y menor que para números reales a y b. Los símbolos y son signos de desigualdad y las expresiones a b y a b se llaman desigualdades. Mayor que o menor que Notación a a b b Definición Terminología a  b es positivo a  b es negativo a es mayor que b a es menor que b Si los puntos A y B en una recta de coordenadas tienen coordenadas a y b, respectivamente, entonces a b es equivalente al enunciado “A está a la derecha de B,” mientras que a b es equivalente a “A está a la izquierda de B.” 10 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA ILUSTRACIÓN Mayor que (>) y menor que (<) 5 3, porque 5  3  2 es positivo. 2, porque 6  2  6  2  4 es negativo. 6 1 3 33 1 0.33, porque 13  0.33  13  100  300 es positivo. 7 0, porque 7  0  7 es positivo. 0, porque 4  0  4 es negativo. 4 La siguiente ley hace posible comparar u ordenar, dos números reales cualesquiera. Si a y b son números reales, entonces exactamente uno de lo siguiente es verdadero: Ley de tricotomía a  b, TI-83/4 Plus Prueba de desigualdades y la ley de tricotomía a b, o a b TI-86 5 2nd TEST 3 3 ENTER 5 2nd TEST > (F3) 3 ENTER 5 2nd TEST 5 3 ENTER 5 2nd TEST < (F2) 3 ENTER 5 2nd TEST 1 3 ENTER 5 2nd TEST == (F1) 3 ENTER Los resultados indican que “1” representa verdadero y “0” representa falso. Sólo uno de los enunciados arriba citados puede ser verdadero por la ley de tricotomía. Como se ilustra líneas antes, usaremos la notación n para opciones de menú en la TI-83/4 Plus y symbol (Fn) en la TI-86. Nótese que la TI-86 usa == para un operador relacional (que prueba igualdad) porque usa = para un operador de asignación (guardar valores). Nos referimos al signo de un número real como positivo si el número es positivo o negativo si el número es negativo. Dos números reales tienen el mismo signo si ambos son positivos o ambos son negativos. Los números tienen signos contrarios si uno es positivo y el otro es negativo. Se pueden probar los siguientes resultados acerca de los signos de productos y cocientes de dos números reales a y b, usando propiedades de negativos y cocientes. 1.1 N ú m e r o s r e a l e s 11 a son positivos. b a (2) Si a y b tienen signos contrarios, entonces ab y son negativos. b Ley de signos (1) Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y Los recíprocos* de las leyes de signos también son verdaderos. Por ejemplo, si un cociente es negativo, entonces el numerador y el denominador tienen signos contrarios. La notación a b se lee “a es mayor que o igual a b,” significa que a b o que a  b (pero no ambos). Por ejemplo, a2 0 para todo número real a. El símbolo a b, que se lee “a es menor que o igual a b,” significa que a b o que a  b. Expresiones de la forma a b y a b se denominan desigualdades no estrictas, porque a puede ser igual a b. Al igual que con el símbolo de igualdad, podemos negar cualquier símbolo de desigualdad al poner una raya diagonal sobre ella, es decir, significa no mayor que. Una expresión de la forma a b c se denomina desigualdad continua y significa que a b y b c; decimos “b está entre a y c.” Del mismo modo, la expresión c b a significa que c b y b a. ILUSTRACIÓN Orden de tres números reales 1 5 11 2 4 2 3 22 3 6 10 Hay otros tipos de desigualdades. Por ejemplo a b c significa que a b and b c. Del mismo modo, a b c significa que a b y b c. Por último, a b c significa que a b y b c. EJEMPLO 3 x y  . y x SOLUCIÓN Como x es un número positivo y y es un número negativo, x y y tienen signos contrarios. Entonces, xy y yx son negativos. La suma de dos números negativos es un número negativo, de modo que x y el signo de  es negativo. y x Si a es un entero, entonces es la coordenada de algún punto A en una recta coordenada y el símbolo a denota el número de unidades entre A y el origen, cualquiera que sea la dirección. El número no negativo a se llama valor absoluto de a. Con referencia a la figura 3, vemos que para el punto con coordenada 4 tenemos 4  4. Análogamente, 4  4. En general, si a es negativo, cambiamos su signo para hallar a ; si a es no negativo, entonces a  a. La siguiente definición extiende este concepto a todo número real. Si x 0yy 0, determine el signo de L Figura 3 4  4 4 Determinación del signo de un número real 4 4 0 4 *Si un teorema se escribe en la forma “si P, entonces Q,” donde P y Q son enunciados matemáticos llamados la hipótesis y conclusión, respectivamente, entonces el recíproco del teorema tiene la forma “si Q, entonces P.” Si el teorema y su recíproco son verdaderos, con frecuencia escribimos “P si y sólo si Q”. 12 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Definición de valor absoluto El valor absoluto de un número real a, denotado por a , se define como sigue. (1) Si a (2) Si a 0, entonces a  a. 0, entonces a  a. Como a es negativo en la parte (2) de la definición, a representa un número real positivo. Algunos casos especiales de esta definición se dan en la siguiente ilustración. ILUSTRACIÓN La notación de valor absoluto a 3  3, porque 3 0. 3  3, porque 3 0. Entonces, 3  3. 2  2 苷 2  2, porque 2  2 0. 2  2 苷  2  2 , porque 2  2 0. Entonces, 2  2 苷 2  2. En la ilustración precedente, 3 苷 3 y 2  2 苷 2  2 . En general, tenemos lo siguiente: a 苷 a , para todo número real a TI-83/4 Plus Valor absoluto MATH 䉯 TI-86 1 ) 3 ENTER 2nd MATH NUM(F1) abs(F5) 3 ENTER 576 STO 䉯 ALPHA A ALPHA 927 STO 䉯 ALPHA B ENTER 1 ALPHA MATH A 䉯  ALPHA B : ALPHA A ALPHA  576 2nd ALPHA B ALPHA  927 ENTER 2nd ) ENTER ALPHA MATH A NUM(F1)  ALPHA ( abs(F5) B : ) ENTER En la TI-86, nótese que ALPHA A ALPHA  576 y 576 STO 䉯 A son equivalentes. 1.1 N ú m e r o s r e a l e s EJEMPLO 4 Si x 13 Remoción del símbolo de valor absoluto 1, reescriba x  1 sin usar el símbolo de valor absoluto. SOLUCIÓN Si x 1, entonces x  1 0; esto es, x  1 es negativo. En consecuencia, por la parte (2) de la definición de valor absoluto, x  1  x  1  x  1  1  x. Figura 4 5 7 2  27 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Definición de la distancia entre puntos en una recta de coordenadas L Usaremos el concepto de valor absoluto para definir la distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una recta de coordenadas. Primero observamos que la distancia entre los puntos con coordenadas 2 y 7, que se ve en la figura 4, es igual a 5 unidades. Esta distancia es la diferencia obtenida al restar la coordenada menor (extrema izquierda) de la coordenada mayor (extrema derecha) 7  2  5. Si usamos valores absolutos, entonces, como 7  2  2  7 , no es necesario preocuparse del orden de la sustracción. Este hecho motiva la siguiente definición. Sean a y b las coordenadas de dos puntos A y B, respectivamente, en una recta de coordenadas. La distancia entre A y B, denotada por dA, B, está definida por dA, B  b  a . El número dA, B es la longitud del segmento de recta AB. Como dB, A  a  b y b  a  a  b , vemos que dA, B  dB, A. Nótese que la distancia entre el origen O y el punto A es dO, A  a  0  a , que concuerda con la interpretación geométrica de valor absoluto ilustrado en la figura 4. La fórmula dA, B  b  a es verdadera cualquiera que sean los signos de a y b, como se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5 Figura 5 B O C D 5 3 A 0 1 6 Hallar distancias entre puntos A, B, C y D tienen coordenadas 5, 3, 1, y 6, respectivamente, en una recta de coordenadas, como se ve en la figura 5. Encuentre dA, B, dC, B, dO, A, y dC, D. SOLUCIÓN Usando la definición de la distancia entre puntos en una recta de coordenadas, obtenemos las distancias: dA, B  dC, B  dO, A  dC, D  3  5  3  5  2  2 3  1  4  4 5  0  5  5 61  5 5 L 14 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA El concepto de valor absoluto tiene otros usos diferentes a hallar distancias entre puntos; se utiliza siempre que nos interese la magnitud o valor numérico de un número real sin que importe su signo. En la siguiente sección discutiremos la notación exponencial an, donde a es un número real (llamado la base) y n es un entero (llamado un exponente). En particular, para base 10 tenemos 100  1, 101  10, 102  10  10  100, 103  10  10  10  1000, y así sucesivamente. Para exponentes negativos usamos el recíproco del exponente positivo correspondiente, como sigue: 101  1 1 , 1  10 10 102  1 1 1 1 , 103  3  2  10 100 10 1000 Podemos usar esta notación para escribir cualquier representación decimal finita de un número real como suma del siguiente tipo: 1 437.56  4100  310  71  5 10   6 1001   4102  3101  7100  5101  6102 En las ciencias es frecuente trabajar con números muy grandes o muy pequeños y para comparar las magnitudes relativas de cantidades muy grandes o muy pequeñas. Por lo general representamos un número positivo a grande o pequeño en forma científica, usando el símbolo  para denotar multiplicación. Forma científica a  c  10n, donde 1 c 10 y n es un entero La distancia que un rayo de luz recorre en un año es aproximadamente 5,900,000,000,000 millas. Este número se puede escribir en forma científica como 5.9  1012. El exponente positivo 12 indica que el punto decimal debe moverse 12 lugares a la derecha. La notación funciona igualmente bien para números pequeños. El peso de una molécula de oxígeno se estima que es 0.000 000 000 000 000 000 000 053 gramos, o sea, en forma científica, 5.3  1023 gramos. El exponente negativo indica que el punto decimal debe moverse 23 lugares a la izquierda. ILUSTRACIÓN Forma científica 513  5.13  102 93,000,000  9.3  107 0.000 000 000 43  4.3  1010 7.3  7.3  100 20,700  2.07  104 0.000 648  6.48  104 1.1 N ú m e r o s r e a l e s 15 o Muchas calculadoras usan forma científica en sus pantallas. Para el número c  10n, el 10 se suprime y el exponente se muestra precedido por la letra E. Por ejemplo, para hallar 4,500,0002 en una calculadora científica, podríamos introducir el entero 4,500,000 y presionar la tecla x 2 (o elevar al cuadrado), obteniendo una pantalla semejante a la de la figura 6. Traduciríamos esto como 2.025  1013. Entonces, o 4,500,0002  20,250,000,000,000. Figura 6 Las calculadoras también usan forma científica en la entrada de números. El manual del usuario de su calculadora debe dar detalles específicos. TI-83/4 Plus Forma científica 57 000 000 000 .000 000 057 TI-86 5 700 000 000 000 ENTER .000 000 000 57 ENTER  9.3 2nd EE 4 6.7 2nd EE 11 9.3 EE 4  ENTER ENTER 6.7 EE 11 ENTER ENTER Antes que concluyamos esta sección, debemos considerar brevemente el problema de redondear resultados. Algunos problemas aplicados incluyen con frecuencia números que se obtienen mediante varios tipos de mediciones y, en consecuencia, son aproximaciones a valores exactos. Esas respuestas deben redondearse, porque el resultado final de un cálculo no puede ser más preciso que los datos que hemos estado usando. Por ejemplo, si la longitud y ancho de un rectángulo se miden a precisión de dos lugares decimales, no podemos esperar una precisión de más de dos lugares decimales en el valor calculado del área del rectángulo. Para un trabajo puramente matemático, si se dan los valores de la longitud y ancho de un rectángulo, suponemos que las dimensiones son exactas y no se requiere redondeo. Si un número a se escribe en forma científica como a  c  10n para 1 c 10 y si c se redondea a k lugares decimales, entonces decimos que a es precisa (o se ha redondeado) a k  1 cifras significativas, o dígitos. Por ejemplo, 37.2638 redondeado a 5 cifras significativas es 3.7264  101, o 37.264; a 3 cifras significativas, 3.73  101, o 37.3; y a 1 cifra significativa, 4  101, o 40. 16 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA 1.1 Ejercicios Ejer. 1-2: Si x < 0 y y > 0, determine el signo del número real. 1 (a) xy (b) x 2y (c) x x y (d) y  x x y (b) xy 2 (c) xy xy (d) y y  x 2 (a) Ejer. 3-6: Sustituya el símbolo 䊐 con <, > o ⴝ para que el enunciado resultante sea verdadero. 3 (a) 7 䊐 4  (b) 䊐 1.57 2 4 (a) 3 䊐 5 (b)  䊐 0.8 4 (c) 2289 䊐 17 (c) 2225 䊐 15 5 (a) 1 11 䊐 0.09 (b) 2 3 䊐 0.6666 (c) 22 7 6 (a) 1 7 䊐 0.143 (b) 5 6 䊐 0.833 (c) 22 䊐 1.4 䊐 Ejer. 7-8: Exprese el enunciado como una desigualdad. 7 (a) x es negativo. (b) y es no negativo. (c) q es menor o igual a . 1 1 (d) c está entre 5 y 3 . (e) p es no mayor a 2. (f ) El negativo de m no es menor a 2. (g) El cociente de r y s es al menos 51 . (h) El recíproco de f es a lo más 14. ( i ) El valor absoluto de x es menor a 4. Ejer. 9-14: Reescriba el número sin usar el símbolo de valor absoluto y simplifique el resultado. 9 (a) 3  2 (b) 5  2 (c) 7  4 10 (a) 11  1 (b) 6  3 (c) 8  9 11 (a) 5 3  6 (b) 6 2 (c) 7  4 12 (a) 4 6  7 (b) 5 2 (c) 1  9 13 (a) 4   (b)   4 (c) 22  1.5 (b) 1.7  23 (c) 1 5 14 (a) 23  1.7  13 (d) d es entre 4 y 2. Ejer. 15-18: Los números dados son coordenadas de los puntos A, B, y C, respectivamente, en una recta de coordenadas. Encuentre la distancia. (e) t no es menor a 5. (a) d(A, B) (b) d(B, C ) (f ) El negativo de z no es mayor a 3. (c) d(C, B) (d) d(A, C ) (g) El cociente de p y q es a lo más 7. 15 3, 7, 5 16 6, 2, 4 (h) El recíproco de w es al menos 9. 17 9, 1, 10 18 8, 4, 1 (i) El valor absoluto de x es mayor a 7. Ejer. 19-24: Los dos números dados son coordenadas de los puntos A y B, respectivamente, en una recta de coordenadas. Exprese el enunciado indicado como desigualdad que involucre el símbolo de valor absoluto. 8 (a) b es positivo. (b) s es no positivo. (c) w es mayor o igual a 4. 19 x, 7; dA, B es menor a 5 20 x, 22; dA, B es mayor a 1 1.1 N ú m e r o s r e a l e s 21 x, 3; dA, B es al menos 8 22 x, 4; dA, B es a lo más 2 23 4, x; dA, B no es mayor a 3 24 2, x; dA, B no es menor a 2 (b) 1.23  104  24.5  10 3 44 (a) 2 3.45  1.2  10 4  10 5 (b) 1.791  10 2  9.84  10 3 Ejer. 25-32: Reescriba la expresión sin usar el símbolo de valor absoluto y simplifique el resultado. 25 3  x si x 3 26 5  x si x 5 27 2  x si x 2 28 7  x si x 7 29 a  b si a b 30 a  b si a b 31 x 2  4 45 El punto en una recta de coordenadas correspondiente a 22 puede ser determinado si se construye un triángulo rectángulo con lados de longitud 1, como se ve en la figura. Determine los puntos que corresponden a 23 y 25, respectivamente. (Sugerencia: Use el teorema de Pitágoras.) Ejercicio 45 2 33 ab  ac 䊐 b  ac a 34 ab  ac 䊐bc a 35 bc b c 䊐  a a a 36 ac a c 䊐  bd b d 1 2 0 2 3 46 Un círculo de radio 1 rueda a lo largo de una recta de coordenadas en la dirección positiva, como se muestra en la figura. Si el punto P está inicialmente en el origen, encuentre la coordenada de P después de una, dos y diez revoluciones completas. Ejercicio 46 P 1 37 a  b  c 䊐 a  b  c P 38 a  b  c 䊐 a  b  c ab 䊐 1 ba 1 32 x 2  1 Ejer. 33-40: Sustituya el símbolo 䊐 con ⴝ o con ⴝ para que el enunciado resultante sea verdadero para todos los números reales a, b, c y d, siempre que las expresiones estén definidas. 39 17 0 40 a  b 䊐 a  b Ejer. 41-42: Aproxime la expresión del número real a cuatro lugares decimales. 41 (a) 3.22  23.15 (b) 215.6  1.52  4.3  5.42 1 2 3 4 5 6 7 8 47 Las pruebas geométricas de propiedades de números reales fueron dadas primero por los antiguos griegos. Para establecer la propiedad distributiva ab  c  ab  ac para los números reales positivos a, b y c, encuentre el área del rectángulo que se ilustra en la figura en dos formas. Ejercicio 47 a 3.42  1.29 42 (a) 5.83  2.64 b (b) 3 Ejer. 43-44: Aproxime la expresión del número real. Exprese la respuesta en notación científica precisa a cuatro cifras significativas. 43 (a) 1.2  10 3 3.1  10 2  1.52  10 3 c 48 Las aproximaciones racionales a raíces cuadradas se pueden hallar usando una fórmula descubierta por los antiguos babilonios. Sea x 1 la primera aproximación racional para 2n. Si hacemos x2  1 2  x1   n , x1 18 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA entonces x 2 será una mejor aproximación para 2n y podemos repetir el cálculo con x 2 sustituyendo a x 1. Comenzando con x 1  32, encuentre las siguientes dos aproximaciones racionales para 22. Ejer. 49-50: Exprese el número en forma científica. 49 (a) 427,000 (b) 0.000 000 098 (c) 810,000,000 50 (a) 85,200 (b) 0.000 005 5 (c) 24,900,000 Ejer. 51-52: Exprese el número en forma decimal. 51 (a) 8.3  10 5 (b) 2.9  1012 (c) 5.63  10 8 52 (a) 2.3  107 (b) 7.01  109 (c) 1.23  1010 53 Masa de un átomo de hidrógeno La masa de un átomo de hidrógeno es aproximadamente 0.000 000 000 000 000 000 000 001 7 gramos Exprese este número en forma científica. 54 Masa de un electrón La masa de un electrón es aproximadamente 9.1  1031 kilogramos. Exprese este número en forma decimal. 55 Años luz En astronomía, las distancias entre las estrellas se miden en años luz. Un año luz es la distancia que un rayo de luz recorre en un año. Si la velocidad de la luz es aproximadamente 186,000 millas por segundo, estime el número de millas en un año luz. 56 Galaxia de la Vía Láctea (a) Los astrónomos han estimado que la galaxia de la Vía Láctea contiene 100,000 millones de estrellas. Exprese este número en forma científica. (b) El diámetro d de la galaxia de la Vía Láctea se estima en 100,000 años luz. Exprese d en millas. (Consulte el ejercicio 55.) 57 Número de Avogadro El número de átomos de hidrógeno en un mol es el número de Avogadro, 6.02  1023. Si un mol del gas tiene una masa de 1.01 gramos, estime la masa de un átomo de hidrógeno. 58 Población de peces Las dinámicas poblacionales de muchos peces se caracterizan por porcentajes de fertilidad ex- tremadamente altos entre adultos y porcentajes de supervivencia muy bajos entre los jóvenes. Un lenguado maduro puede poner hasta 2.5 millones de huevos, pero sólo 0.00035% de la prole sobrevive a la edad de 3 años. Use la forma científica para aproximar el número de descendientes que viven hasta la edad de 3 años. 59 Cuadros de una película de cine Una de las películas más largas jamás hechas es una película inglesa de 1970 que corre durante 48 horas. Suponiendo que la velocidad de la película es de 24 cuadros por segundo, aproxime el número total de cuadros de esta película. Exprese su respuesta en forma científica. 60 Números primos grandes El número 244,497  1 es primo. En el tiempo en el que este número se determinó que era primo, una de las computadoras más rápidas del mundo tomó unos 60 días para verificar que era primo. Esta computadora era capaz de efectuar 2  1011 cálculos por segundo. Use la forma científica para estimar el número de cálculos necesarios para efectuar este cálculo. (Más recientemente, en 2005, 230,402,457  1, un número que contiene 9,152,052 dígitos, resultó ser primo.) 61 Presión de un tornado Cuando un tornado pasa cerca de un edificio, hay un rápido descenso en la presión exterior y la presión interior no tiene tiempo de cambiar. La diferencia resultante es capaz de causar una presión hacia fuera de 1.4 lbin2 en las paredes y cielo raso del edificio. (a) Calcule la fuerza en libras ejercida en 1 pie cuadrado de una pared. (b) Estime las toneladas de fuerza ejercida en una pared que mide 8 pies de alto y 40 pies de ancho. 62 Población de ganado Un ranchero tiene 750 cabezas de ganado formado por 400 adultos (de 2 años o más), 150 de un año y 200 becerros. La siguiente información se conoce acerca de esta especie particular. Cada primavera, una hembra adulta tiene un solo becerro y 75% de estos becerros sobrevivirá el primer año. Los porcentajes anuales de sobrevivientes de animales de un año y de adultos es 80% y 90%, respectivamente. La proporción macho-hembra es uno en todas las clases de edad. Estime la población de cada clase de edad. (a) siguiente primavera (b) última primavera 1.2 Exponentes y radicales 1.2 19 Si n es un entero positivo, la notación exponencial an, definida en la tabla siguiente, representa el producto del número real a consigo mismo n veces. Nos referimos a an como a a la n potencia o, simplemente, a a la n. El entero positivo n se denomina exponente y el número real a se llama base. Exponentes y radicales Notación exponencial Caso general (n es cualquier entero positivo) Casos especiales ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ an 苷 a  a  a    a n factores de a a1 苷 a2 苷 a3 苷 a6 苷 a aa aaa aaaaaa La siguiente ilustración contiene varios ejemplos numéricos de notación exponencial. ILUSTRACIÓN La notación exponencial an 54  5  5  5  5  625  12 5  12  21  12  21  21  321 33  333  27  31 4   31  31  31  31    19  19   811 Es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa 3an, no 3an. El número real 3 es el coeficiente de an en la expresión 3an. Del mismo modo, 3an significa 3an, no 3an. ILUSTRACIÓN La notación can 5  23  5  8  40 5  23  5  8  40 24  24  16 323  3222  38  24 TI-83/4 Plus y TI-86 Notación exponencial ( ) 3 3 x2 ( 1 x2 ENTER ) 5 ENTER  2 ENTER q 5 Nótese que la expresión del segundo renglón, 32, es equivalente a 1  32. C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA A continuación extendemos la definición de an a exponentes no positivos. Exponentes cero y negativos (no positivos) Definición (a ⴝ 0) a0  1 an  Ejemplos   22 0  1 30  1, 1 an 53  1 , 53 35  1 35 Si m y n son enteros positivos, entonces m factores de a ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ aman  a  a  a      a  a  a  a      a. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ n factores de a Como el número total de factores de a a la derecha es m  n, esta expresión es igual a amn; esto es, aman  amn. Podemos extender esta fórmula a m 0 o n 0 si usamos las definiciones del exponente cero y exponentes negativos. Esto nos da la ley 1, que se expresa en la tabla siguiente. Para demostrar la ley 2, podemos escribir, para m y n positivos, amn  am  am  am      am ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 20 n factores de am y contamos el número de veces que a aparece como factor en el lado derecho. Como am  a  a  a      a, con a como factor m veces, y como el número de esos grupos de m factores es n, el número total de factores de a es m  n. Entonces, amn  amn. Los casos m 0 y n 0 se pueden demostrar usando la definición de exponentes no positivos. Las tres leyes restantes se pueden establecer de modo semejante al contar factores. En las leyes 4 y 5 suponemos que los denominadores no son 0. Leyes de exponentes para números reales a y b y enteros m y n Ley (1) aman  amn (2) amn  amn (3) abn  anbn a n an  n (4) b b m a (5) (a) n  amn a 1 am (b) n  nm a a  Ejemplos 23  24  234  27  128 234  234  212  4096 203  2  103  23  103  8  1000  8000 2 3 23 8  3 5 5 125 25  253  22  4 23 1 1 1 23    25 253 22 4  1.2 Exponentes y radicales 21 Por lo general usamos 5(a) si m n y 5(b) si m n. Podemos extender leyes de exponentes para obtener reglas como abcn  anbncn y amanap  amnp. Algunos otros ejemplos de las leyes de exponentes se dan en la siguiente ilustración. ILUSTRACIÓN Leyes de exponentes  y 57  y 57  y 35 x5x6x2  x562  x13 3st4  34s4t 4  81s4t 4  c8  c83  c5 c3 1 1 u3  83  5 8 u u u p 2 5  p5 p5  25 32 Simplificar una expresión que comprenda potencias de números reales significa cambiarla a una expresión en la que cada número real aparezca sólo una vez y todos los exponentes sean positivos. Supondremos que los denominadores siempre representan números reales diferentes de cero. EJEMPLO 1 Simplificación de expresiones que contienen exponentes Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las expresiones: 2r 3 2 s 3 (a) 3x3y44xy5 (b) 2a2b3c4 (c) (d) u2v33 s r3    SOLUCIÓN (a) 3x3y44xy5  34x 3xy 4y 5  12x4y9 2 3 4 (b) 2a b c  24a24b34c4  16a8b12c4 (c)    2r 3 s 2 s r3 reacomodar factores ley 1 ley 3 ley 2  2r 32 s 3  33 s2 r  ley 4  22r 32 s 3  33 s2 r  ley 3 3        4r 6 s2 s3 r9 ley 2 4 r6 r9 s3 s2 reacomodar factores 4 1 s r3   4s r3 leyes 5(b) y 5(a) reacomodar factores (continúa) 22 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA u2v33  u23v33 (d) 6 9 uv ley 3 ley 2 6 u v9  definición de an L El siguiente teorema es útil para problemas que contienen exponentes negativos. Teorema sobre exponentes negativos (1) am bn  bn am (2)   a b n  b a n DEMOSTRACIONES Con el uso de las propiedades de exponentes negativos y cocientes, obtenemos (1) (2) am 1am 1 bn bn   m  m n n b 1b a 1 a  a b n  an bn   bn an  b a n L Simplificación de expresiones que contienen exponentes negativos EJEMPLO 2 Simplifique: 8x 3y5 (a) 1 2 4x y (b)  u2 2v 3 Aplicamos el teorema sobre exponentes negativos y las leyes SOLUCIÓN de exponentes. (a) (b) 8x3y5 8x3 y5   4x1y2 4y2 x1  8x3 x1  4y2 y5 teorema sobre exponentes negativos (1)  2x4 y7 ley 1 de exponentes   u2 2v 3 reacomodar cocientes para que los exponentes negativos queden en una fracción 2v u2 3 3 2v  23 u  8v3  6 u  3 teorema sobre exponentes negativos (2) leyes 4 y 3 de exponentes ley 2 de exponentes L 1.2 Exponentes y radicales 23 n En seguida definimos la n-ésima raíz principal 2a de un número real a. Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un número real. n (1) Si a  0, entonces 2a  0 . n (2) Si a 0, entonces 2a es el número real b positivo tal que bn  a. n (3) (a) Si a 0 y n es impar, entonces 2a es el número real b negativo n tal que b  a. n (b) Si a 0 y n es par, entonces 2a no es un número real. n Definición de 2a Los números complejos, que se estudian en la sección 2.4, son necesarios n para definir 2a si a 0 y n es un entero positivo par, porque para todos los números reales b, bn 0 siempre que n sea par. 2 Si n  2, escribimos 2a en lugar de 2a y a 2a la llamamos raíz cuadrada principal de a o, simplemente, la raíz cuadrada de a. El número 3 2a es la raíz cúbica (principal) de a. n La raíz n principal 2a ILUSTRACIÓN  4, porque 42  16. 1 1 5 1 3 32  2, porque  2   323. 28  2, porque 2  8. 4 216 no es un número real. 216 5 1 Nótese que 216 苷 4 porque, por definición, las raíces de números reales positivos son positivas. El símbolo  se lee “más menos.” TI-83/4 Plus Raíz n principal 2nd 5 2 2 ) 16 ENTER ( 5 MATH 2nd TI-86 16 1 )  2nd 32 ENTER ) ENTER 5 2 ENTER MATH 2nd 2 (F4) ( 2nd 2 x 16 1 MISC(F5)  16 32 ) MORE ENTER ENTER Cuando la última línea se ejecuta en la TI-83/4 Plus, se da el mensaje de error NONREAL ANS porque esta expresión representa un número complejo, no un número real (que se expone en la sección 2.4). La respuesta en la TI-86, (0, 4), representa 0  4i. 24 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA n Para completar nuestra terminología, la expresión 2 a es un radical, el número a es el radicando y n es el índice del radical. El símbolo 2 se denomina signo de radical. 3 Si 2a  b, entonces b2  a; esto es,  2a2  a. Si 2 a  b, entonces 3 3 b3  a, o  2 a   a. Generalizando este patrón nos da la propiedad 1 de la tabla siguiente n Propiedades de 2a (n es un entero positivo) Propiedad (1) (2) (3) (4) Ejemplos  2n a n  a si 2n a es un número real  252  5,  23 8 3  8 2 an  a si a 3 3 2 2 2 n 0 n n 2 a  a si a 0 y n es impar n 2 an  a si a 0 y n es par 2 52  5, 3 223  2, 2 25  2 232  3  3, 2 24  2  2 5 4 Si a 0, entonces la propiedad 4 se reduce a la propiedad 2. También vemos de la propiedad 4 que 2x 2  x para todo número real x. En particular, si x 0, entonces 2x2  x , pero, si x 0, entonces 2x2  x , que es positiva. Las tres leyes que aparecen en la tabla siguiente son verdaderas para enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas, es decir, siempre que las raíces sean números reales. Leyes de radicales Ley Ejemplos n n n (1) 2 ab  2 a 2 b 250  225  2  225 22  5 22 2 108  2 274  2 27 2 4  3 2 4 3 n (2) a 2a  n b 2b n m mn n (3)   a 苷 a 3 3 3 3 3 3 3 25 25 5  3  8 2 28 3 64  2 23 6 264  2 26  2 Los radicandos de las leyes 1 y 2 comprenden productos y cocientes. Debe tenerse cuidado si hay sumas o diferencias en el radicando. La tabla siguiente contiene dos advertencias particulares referentes a errores que se cometen con frecuencia. Y ¡Atención! Y Si a ⴝ 0 y b ⴝ 0 Ejemplos (1) 2a2  b2 苷 a  b (2) 2a  b 苷 2a  2b 232  42  225  5 苷 3  4  7 24  9  213 苷 24  29  5 1.2 Exponentes y radicales 25 Si c es un número real y c n es un factor en un radical de índice n, entonces podemos eliminar c del radical si el signo de c se toma en cuenta. Por ejemplo, si c 0 o si c 0 y n es impar, entonces n n n n 2c nd  2c n 2 d  c 2d, n siempre que 2d exista. Si c n 0 y n es par, entonces n n n 2c d  2c n 2d  c 2d, n n siempre que 2 d exista. ILUSTRACIÓN n Remoción de potencias n de 2 5 5 5 5 5 2 x7  2 x 5  x 2  2 x 5 2 x 2  x 2 x 2 2 x7  2 x 6  x  2 x 23x  2 x 23 2 x  x 2 2 x 3 3 3 3 3 3 2x 2y  2x 2 2y  x 2y 2x 6  2x 32  x 3 4 4 4 4 4 2 x 6y 3  2 x 4  x 2y 3  2 x 4 2 x 2y 3  x 2 x 2y 3 Nota: Para evitar considerar valores absolutos, en ejemplos y ejercicios que contengan radicales en este capítulo, supondremos que todas las letras —a, b, c, d, x, y y otras— que aparecen en radicandos representan números reales positivos, a menos que se especifique otra cosa. Como se muestra en la ilustración precedente y en los siguientes ejemplos, si el índice de un radical es n, entonces reacomodamos el radicando, aislando un factor de la forma pn, donde p puede estar formado por varias letras. n n A continuación eliminamos 2 p  p del radical como se indicó previamente. Entonces, en el ejemplo 3(b) el índice del radical es 3 y reacomodamos el radicando en cubos, obteniendo un factor p3, con p  2xy2z. En la parte (c) el índice del radical es 2 y reacomodamos el radicando en cuadrados, obteniendo un factor p2, con p  3a3b2. Simplificar un radical significa eliminar factores del radical hasta que ningún factor del radicando tenga un exponente mayor que o igual al índice del radical y el índice sea tan bajo como sea posible. EJEMPLO 3 Remoción de factores de radicales Simplifique cada radical (todas las letras denotan números reales positivos): 3 3 (a) 2 320 (b) 2 16x 3y 8z 4 (c) 23a2b3 26a5b SOLUCIÓN 3 3 (a) 2 320  2 64  5 3 3 3  2 4 25 3  42 5 factorice el cubo más grande en 320 ley 1 de radicales n propiedad 2 de 2 (continúa) 26 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA 216x 3y 8z 4  2 23x 3y 6z 32y2z 3 (b) 3  2 2xy z 2y z 3 3 2 2xy 2z3 2 2y 2z 3  2xy2z 2 2y2z 2 3 5 (c) 23a b 26a b  23a2b3  2  3a5b  232a6b42a  23a3b222a  23a3b22 22a  3a3b2 22a 3 2 3 2 reacomode radicando en cubos leyes 2 y 3 de exponentes ley 1 de radicales n propiedad 2 de 2 ley 1 de radicales reacomodar radicando en cuadrados leyes 2 y 3 de exponentes ley 1 de radicales n L propiedad 2 de 2 n k Si el denominador de un cociente contiene un factor de la forma 2 a , con n nk k n y a 0, entonces multiplicar el numerador y denominador por 2 a eliminará el radical del denominador, porque n n n n 2 ak 2 ank  2aknk  2an  a. Este proceso se denomina racionalizar un denominador. Algunos casos especiales aparecen en la tabla siguiente. Racionalizar denominadores de cocientes (a > 0) Factor en denominador Multiplicar numerador y denominador por Factor resultante 2a 2a 2 a 2 a  2 a2  a 3 2a 7 2 a3 3 3 2 3 3 2 a 2 a2  2 a3  a 2a 7 7 2 a4 7 7 2 a3 2 a4  2 a7  a El siguiente ejemplo ilustra esta técnica. EJEMPLO 4 Racionalización de denominadores Racionalice cada denominador: 1 1 2 (a) (b) 3 (c) 3 25 2x (d) 5 x y2 SOLUCIÓN (a) (b) 1 5 1 3 x  1 5 5 5 苷 苷 2 5 5 5 5 苷 3 2 3 2 3 2 1  x x x   苷 苷 3 3 2 3 3 x x x x 2 2 2 3 2  3 6 苷 苷 苷 苷 3 3 3 3 3 32 (c) (d) 苷 5 5 3 5 5 5 5 x x x  y xy 3  xy 3    苷 苷 苷 苷 5 2 5 2 5 3 5 5 y2  y y y y y   L 1.2 Exponentes y radicales 27 Si usamos una calculadora para hallar aproximaciones decimales de radicales, no hay ventaja al racionalizar denominadores, tales como 1 25  255 o 223  263, como hicimos en el ejemplo 4(a) y (c). No obstante, para simplificaciones algebraicas, cambiar expresiones a esas formas es a veces deseable. Del mismo modo, en cursos de matemáticas avan3 3 2 zadas como por ejemplo en cálculo, cambiar 1 2 x a2 x x, como en el ejemplo 4(b), podría hacer un problema más complicado. En esos cursos es 3 más sencillo trabajar con la expresión 1 2 x que con su forma racionalizada. A continuación usamos radicales para definir exponentes racionales. Definición de exponentes racionales Sea mn un número racional, donde n es un entero positivo mayor a 1. Si a n es un número real tal que 2 a existe, entonces n (1) a1/n  2 a m n n m m/n (2) a   2 a   2 a m/n 1/n m m 1/n (3) a  a   a  n Al evaluar am/n en (2), por lo general usamos  2 a  ; es decir, tomamos la n raíz de a primero y luego elevamos ese resultado a la m potencia, como se muestra en la siguiente ilustración. m La notación exponencial a m/n ILUSTRACIÓN 5 5 3 x  2 x x3/5   2 3 3 x1/3  2 x 3 3 3 2 1252/3  2 125 2  2 5   52  25 32 3/5 32 3 243   5 243   5 23 53  23 3  278 TI-83/4 Plus Exponentes racionales ( 8 ( 5 32  1 ( 8 TI-86  1 243  3 ) ) MATH ) 3 ) 3 (  5 1 ENTER  1 ( 8 ENTER ( ( 8 ENTER 32  1 243 ) 3  3 ENTER ) ) ( ) 2nd MORE MATH Frac(F1) ENTER MISC(F5) ENTER El comando Frac cambia una representación decimal a una fraccionaria. 3  28 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Las leyes de los exponentes son verdaderas para exponentes racionales y también para exponentes irracionales, por ejemplo 322 o 5, considerados en el capítulo 5. Para simplificar una expresión que contenga potencias racionales de letras que representen números reales, la cambiamos a una expresión en que cada letra aparezca sólo una vez y todos los exponentes sean positivos. Como lo hicimos con radicales, supondremos que todas las letras representan números reales positivos a menos que se indique otra cosa. EJEMPLO 5 Simplificación de potencias racionales Simplificar: (a) 272/345/2 (b) r 2s61/3 (c)    2x 2/3 y 1/2 2 3x5/6 y1/3 SOLUCIÓN 3 272/345/2   2 272 24 5 (a) r s  2 6 1/3 (b) (c) tomar raíces  r  s  ley 3 de exponentes 2/3 2 ley 2 de exponentes 2 1/3 5 6 1/3 r s 3x5/6 4x 4/3 3x5/6  y1/3 y y1/3 4/35/6 4  3x  y 11/3 12x 8/65/6  y 4/3 12x 1/2  4/3 y        2x 2/3 y1/2 2 definición de exponentes racionales  3 2 32  25 9  32 2 definición de exponentes negativos tomar potencias leyes de exponentes ley 1 de exponentes denominador común simplificar L Los exponentes racionales son útiles para problemas que contengan radicales que no tienen el mismo índice, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 6 Combinación de radicales n m Cambie a una expresión que contenga un radical de la forma 2 a . 4 3 (a) 2 a 2a (b) 2a 3 2 a2 Si introducimos exponentes racionales, obtenemos 6 5 (a) 2 a 2a  a1/3a1/2  a1/31/2  a5/6  2 a SOLUCIÓN 3 4 (b) 2a 3 2 a2  a1/4 1 1 1/42/3  a5/12  5/12  12 5 2/3  a a a 2a L 1.2 Exponentes y radicales 29 En los ejercicios 1.2, siempre que un índice de un radical sea par (o se emplee un exponente racional mn con n par), suponga que las letras que aparecen en el radicando denotan números reales positivos a menos que se indique otra cosa. 1.2 Ejercicios Ejer. 1-10: Exprese el número en la forma ab, donde a y b son enteros. 4 1   32  2 33 23 3 2 3 20  02 4 20 5 24  31 6   23 4  24 7 163/4 8 95/2 9 0.0082/3 10 0.0082/3 12 3x24x 4 13 2x 33x 2 x 23 14 15  16 a5 3a24a7 1 16 4b3 6 b2 9b4 3y 2y    y 30 18  y 43 19 3u7v34u4v5 20 x 2yz32xz 2x 3y2 23   3      5a2b 2b4 4a2b a3b2 x7 24 2xy  8y 3 27 2r 4s32 1 28 2x 2y56x3y 3 x1y 3  29 5x 2y34x5y 4 30 2r 2s53r1s32 3x 5y4 x0y3 2 39 8x2/3x1/6 40 3x1/22x 5/2     2/3 8x 3 y6 x6 9y4 42 1/2 x6y31/3 x4y21/2 44     y3/2 y1/3 3 c4 16d 8 3/4 46 a4/3a3/2a1/6 4 3 x 47 2 3 5 x 48 2 3 a  b2 49 2 50 a  2b 51 2x 2  y2 3 3 r  s3 52 2 Ejer. 53-56: Reescriba la expresión usando un radical. 53 (a) 4x 3/2 (b) 4x3/2 54 (a) 4  x 3/2 (b) 4  x3/2 55 (a) 8  y1/3 (b) 8  y1/3 56 (a) 8y1/3 (b) 8y1/3 2 5 26 3a2b53   38 25z43/2 2 2 25 3y344y23 31 37 27a62/3 Ejer. 47-52: Reescriba la expresión usando exponentes racionales. 2x 23 4x 4 6x   3x 20 17 2x 23 1 4 3 2 3x y 36 8r1/32r1/2 45  12 x 4 16x 5 22 35 3x 5/68x 2/3 43 11 1 21 8x 4y3 2 x5y 2  34 6x7/52x8/5 41 Ejer. 11-46: Simplifique. 3 2 33 4a3/22a1/2   32 4a2b4 a3 2b Ejer. 57-80: Simplifique la expresión y racionalice el denominador cuando sea apropiado. 57 281 3 125 58 2 5 64 59 2 4 256 60 2 2 61 1 3 22 62 1 7 30 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA 63 29x4y6 64 216a8b2 3 65 2 8a6b3 4 66 2 81r 5s 8 67 3x 2y3 68 1 3x 3y 69 3 2x y 9x 70 3 3x y 4x 71 4 5x 8y3 27x 2 72 4 x 7y12 125x 5 5x7y2 8x 3 74 5 3x11y3 9x 2 73 4 4 4 3x 5y24 75 2 77 5 8x 3 y4 4x 4 y2 5 3 3 3t 4v 2 2 9t1v 4 79 2 2 5 6 2u3v46 76 2 78 25xy7 210x 3y 3 3 2r  s3 80 2 Ejer. 81-84: Simplifique la expresión, suponiendo que x y y pueden ser negativos. 81 2x 6y 4 82 2x4y10 4 8 x  y  112 83 2 4 x  212y4 84 2 Ejer. 85-90: Sustituya el símbolo 䊐 con ⴝ o con ⴝ para que el enunciado resultante sea verdadero, siempre que la expresión tenga significado. Dé una razón para su respuesta. 85 ar2 䊐 a(r ) 86 a2  11/2 䊐 a  1 87 axb y 䊐 abxy 88 2ar 䊐  2a r 2 89 n 1 c 䊐 1 n 2c 90 a1/k 䊐 1 ak Ejer. 91-92: Al evaluar números negativos elevados a potencias fraccionarias, puede ser necesario evaluar por separado la raíz y potencias enteras. Por ejemplo, (ⴚ3)2/5 se puede evaluar bien como [(ⴚ3)1/5]2 o [(ⴚ3)2]1/5, donde de otro modo podría aparecer un mensaje de error. Aproxime la expresión de número real a cuatro lugares decimales. 91 (a) 32/5 (b) 54/3 92 (a) 1.23/7 (b) 5.087/3 Ejer. 93-94: Aproxime la expresión del número real a cuatro lugares decimales. 93 (a) 2  1 3 15.1  51/4 (b) 2 94 (a) 2.6  1.92 (b) 527 95 Cuenta de ahorros Uno de los bancos más antiguos de Estados Unidos es el Bank of America, fundado en 1812. Si $200 se depositaron en aquel tiempo en una cuenta que pagaba 4% de interés anual, entonces 180 años después la cantidad habría crecido a 2001.04180 dólares. Aproxime esta cantidad al centavo más próximo. 96 Distancia de visibilidad En un día claro, la distancia d (en millas) que se puede ver desde lo alto de un elevado edificio de altura h (en pies) se puede aproximar con d  1.2 2h. Calcule la distancia que se puede ver desde lo alto de la Torre Sears de Chicago, que mide 1454 pies de altura. 97 Longitud de un lenguado La relación longitud/peso para un lenguado del Pacífico se puede aproximar con la fórmu3 la L  0.46 2 W , donde W es en kilogramos y L es en metros. El lenguado más grande que se ha documentado pesaba 230 kilogramos. Estime su longitud. 98 Peso de una ballena La relación longitud-peso para la ballena rorcual se puede aproximar con W  0.0016L2.43, donde W es en toneladas y L es en pies. Estime el peso de una ballena que mide 25 pies de largo. 99 Handicaps de los levantadores de pesas La fórmula de O’Carroll se usa para poner obstáculos a levantadores de pesas. Si un levantador que pesa b kilogramos levanta w kilogramos de peso, entonces el handicap en peso está dado por W w 3 2 b  35 . Suponga que dos levantadores que pesan 75 y 120 kilogramos levantan pesas de 180 y 250 kilogramos, respectivamente. Use la fórmula de O’Carroll para determinar el mejor levantador de pesas. 100 Área de superficie corporal El área de superficie corporal S de una persona (en pies cuadrados) se puede aproximar con S  0.1091w0.425h0.725, donde la estatura h es en pulgadas y el peso w es en libras. (a) Estime S para una persona que mide 6 pies de alto y pesa 175 libras. (b) Si una persona mide 5 pies 6 pulgadas de estatura, ¿qué efecto tiene sobre S un aumento de 10% en el peso? 1.3 Expresiones algebraicas 101 Peso en hombres El promedio de peso W (en libras) para hombres con estatura h entre 64 y 79 pulgadas se puede aproximar con el uso de la fórmula W  0.1166h1.7. Construya una tabla para W con h  64, 65, ... 79. Redondee todos los pesos a la libra más cercana. Estatura Peso Estatura Peso 102 Peso en mujeres El promedio de peso W (en libras) para mujeres con estatura h entre 60 y 75 pulgadas se puede aproximar con el uso de la fórmula W  0.1049h1.7. Construya una tabla para W con h  60, 61, ... 75. Redondee todos los pesos a la libra más cercana. Estatura Peso Estatura 64 72 60 68 65 73 61 69 66 74 62 70 67 75 63 71 68 76 64 72 69 77 65 73 70 78 66 74 71 79 67 75 1.3 Expresiones algebraicas 31 Peso A veces usamos la notación y terminología de conjuntos para describir relaciones matemáticas. Un conjunto es una colección de objetos de algún tipo y los objetos se denominan elementos del conjunto. Es frecuente que se usen las letras mayúsculas R, S, T, . . . para denotar conjuntos y las letras minúsculas a, b, x, y, . . . representan elementos de conjuntos. En todo este libro, ⺢ denota el conjunto de números reales y ⺪ denota el conjunto de enteros. Dos conjuntos S y T son iguales, denotados por S  T , si S y T contienen exactamente los mismos elementos. Escribimos S 苷 T si S y T no son iguales. En la tabla siguiente se indican notación y terminología adicionales. Notación o terminología a僆S a僆S S es un subconjunto de T Constante Variable Significado a es un elemento de S a no es un elemento de S Todo elemento de S es un elemento de T Una letra o símbolo que representa un elemento específico de un conjunto Una letra o símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto Ejemplos 3僆⺪ 3 5 僆⺪ ⺪ es un subconjunto de ⺢ 5,  22,  Que x denote cualquier número real 32 x x C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA 3 es una notación equivalente Por lo general usamos letras cercanas al final del alfabeto, como x, y, y z, para variables y letras cercanas al principio del alfabeto, como a, b, y c para constantes. En todo este texto, a menos que se especifique otra cosa, las variables representan números reales. Si los elementos de un conjunto S tienen cierta propiedad, a veces escribimos S  x: y expresamos la propiedad describiendo la variable x en el espacio después de los dos puntos. La expresión encerrada por las llaves y los dos puntos se lee “el conjunto de toda x tal que . . . ,” donde completamos la frase al expresar la propiedad deseada. Por ejemplo, x: x 3 se lee “el conjunto de toda x tal que x es mayor a 3.” Para conjuntos finitos, a veces encerramos todos los elementos del conjunto dentro de llaves. Así, si el conjunto T está formado por los primeros cinco enteros positivos, podemos escribir T  1, 2, 3, 4, 5 . Cuando describimos conjuntos en esta forma, el orden empleado en hacer una lista de los elementos es irrelevante, de modo que podríamos también escribir T  1, 3, 2, 4, 5 , T  4, 3, 2, 5, 1 , etcétera. Si empezamos con cualquier colección de variables y números reales, entonces una expresión algebraica es el resultado obtenido al aplicar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencia o tomar raíces de esta colección. Si números específicos se sustituyen por las variables en una expresión algebraica, el número resultante se denomina valor de la expresión para estos números. El dominio de una expresión algebraica está formado por todos los números reales que pueden representar las variables. Entonces, a menos que se especifique otra cosa, suponemos que el dominio está formado por los números reales que, cuando se sustituyan por las variables, no hacen que la expresión carezca de sentido cuando los denominadores no pueden ser iguales a cero y las raíces siempre existen. En la siguiente tabla se dan dos expresiones. Expresiones algebraicas Expresión x3  5x  Dominio 6 2x toda x 0 Valor típico En x  4: 43  54  2xy  3x  2 3 2y  1 toda x 苷 0 y toda y 苷 1 6 24  64  20  3  47 En x  1 y y  9: 219  312 3 29  1  18  3 3 28  21 2 Si x es variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma ax n, donde a es un número real y n es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres monomios. Un polinomio en x es una suma de cualquier número de monomios en x. Otra forma de expresar esto es como sigue. 1.3 Expresiones algebraicas Definición de polinomio 33 Un polinomio en x es una suma de la forma an x n  an1x n1      a1 x  a0, donde n es un entero no negativo y cada coeficiente ak es un número real. Si an 苷 0, entonces se dice que el polinomio tiene grado n. Cada expresión ak x k de la suma es un término del polinomio. Si un coeficiente ak es cero, por lo general borramos el término ak x k. El coeficiente ak de la máxima potencia de x se denomina coeficiente principal del polinomio. La tabla siguiente contiene ilustraciones específicas de polinomios. Polinomios Ejemplo Coeficiente principal Grado 3x 4  5x 3  7x  4 x 8  9x 2  2x 5x2  1 7x  2 8 3 1 5 7 8 4 8 2 1 0 Por definición, dos polinomios son iguales si y sólo si tienen el mismo grado y los coeficientes de potencias semejantes de x son iguales. Si todos los coeficientes de un polinomio son cero, recibe el nombre de polinomio cero y se denota por 0 pero, por convención, el grado del polinomio cero no es cero sino que es indefinido. Si c es un número real diferente de cero, entonces c es un polinomio de grado 0. Tales polinomios (junto con el polinomio cero) son polinomios constantes. Si un coeficiente de un polinomio es negativo, por lo general usamos un signo menos entre términos apropiados. Para ilustrar, 3x 2  5x  7  3x 2  5x  7. También podemos considerar polinomios con variables que no sean x. Por ejemplo, 25 z 2  3z7  8  2 5 z 4 es un polinomio en z de grado 7. Con frecuencia acomodamos los términos de un polinomio en orden de potencias decrecientes de la variable; así, 2 2 5z  3z7  8  25 z 4  3z7  25 z4  25 z2  8. Podemos considerar un polinomio en x como una expresión algebraica obtenida al emplear un número finito de adiciones, sustracciones y multiplicaciones que contengan x. Si una expresión algebraica contiene divisiones o raíces que contienen una variable x, entonces no es un polinomio en x. 34 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA ILUSTRACIÓN No polinomios 1  3x x x5 x2  2 3x 2  2x  2 Como los polinomios representan números reales, podemos usar las propiedades descritas en la sección 1.1. En particular, si se realizan adiciones, sustracciones y multiplicaciones con polinomios, podemos simplificar los resultados usando propiedades de números reales, como se demuestra en los siguientes ejemplos. EJEMPLO 1 Adición y sustracción de polinomios (a) Encuentre la suma: x 3  2x 2  5x  7  4x 3  5x 2  3 (b) Encuentre la diferencia: x 3  2x 2  5x  7  4x 3  5x 2  3 SOLUCIÓN (a) Para obtener la suma de dos polinomios cualesquiera en x, podemos sumar coeficientes de potencias semejantes de x. x 3  2x 2  5x  7  4x 3  5x 2  3  x 3  2x 2  5x  7  4x 3  5x 2  3  1  4x 3  2  5x 2  5x  7  3  5x 3  3x 2  5x  10 eliminar paréntesis sumar coeficientes de potencias semejantes de x simplificar En el primer paso, la agrupación se muestra por completo, pero el estudiante puede omitir este paso después de adquirir experiencia con esas manipulaciones. (b) Cuando se restan polinomios, primero eliminamos paréntesis, observando que el signo menos que precede al segundo par de paréntesis cambia el signo de cada término de ese polinomio. x 3  2x 2  5x  7  4x 3  5x 2  3  x 3  2x 2  5x  7  4x 3  5x 2  3  1  4x 3  2  5x 2  5x  7  3  3x 3  7x 2  5x  4 EJEMPLO 2 eliminar paréntesis sumar coeficientes de potencias semejantes de x simplificar L Multiplicación de binomios Encuentre el producto: 4x  53x  2 SOLUCIÓN Como 3x  2  3x  2, podemos proseguir como en el ejemplo 1 de la sección 1.1: Prueba de calculadora para el ejemplo 2: guarde 17 en X y demuestre que la expresión original y la expresión final son ambas iguales a 3577. 4x  53x  2 苷 4x3x  4x2  53x  52 苷 12x 2  8x  15x  10 苷 12x 2  7x  10 propiedades distributivas multiplicar simplificar L 1.3 Expresiones algebraicas 35 Después de adquirir suficiente experiencia trabajando problemas del tipo del ejemplo 2, el lector puede efectuar los primeros dos pasos mentalmente y continuar directamente a la forma final. En el siguiente ejemplo ilustramos métodos diferentes para hallar el producto de dos polinomios. EJEMPLO 3 Multiplicación de polinomios Encuentre el producto: x 2  5x  42x 3  3x  1 SOLUCIÓN Método 1 Empezamos por usar una propiedad distributiva, tratando el polinomio 2x 3  3x  1 como un solo número real: x 2  5x  42x 3  3x  1 苷 x 22x 3  3x  1  5x2x 3  3x  1  42x 3  3x  1 A continuación usamos otra propiedad distributiva tres veces y simplificamos el resultado, obteniendo x 2  5x  42x 3  3x  1 苷 2x 5  3x 3  x 2  10x 4  15x 2  5x  8x 3  12x  4 苷 2x 5  10x 4  5x 3  14x 2  17x  4. Nótese que los tres monomios del primer polinomio fueron multiplicados por cada uno de los tres monomios del segundo polinomio, dándonos un total de nueve términos. Método 2 Ponemos en lista los polinomios verticalmente y multiplicamos, dejando espacios para potencias de x que tengan coeficientes cero, como sigue: 2x 3  3x  1 x2  5x  4 2x 5  3x 3  x 2  x 22x 3  3x  1 4 2 10x  15x  5x  5x2x 3  3x  1  8x 3  12x  4  42x 3  3x  1 2x 5  10x 4  5x 3  14x 2  17x  4  suma de arriba En la práctica, omitiríamos las razones (igualdades) que aparecen en lista a la derecha de las últimas cuatro líneas. L Podemos considerar polinomios con más de una variable. Por ejemplo, un polinomio con dos variables, x y y, es una suma finita de términos, cada uno de la forma ax my k para algún número real a y enteros m y k no negativos. Un ejemplo es 3x 4y  2x 3y 5  7x 2  4xy  8y  5. 36 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Otros polinomios pueden tener tres variables, por ejemplo x, y, z o bien, para el caso, cualquier número de variables. La adición, sustracción y multiplicación se realizan usando propiedades de números reales, igual que para polinomios con una variable. El siguiente ejemplo ilustra la división de un polinomio entre un monomio. EJEMPLO 4 División de un polinomio entre un monomio Exprese como un polinomio en x y y: 6x 2y 3  4x 3y 2  10xy 2xy SOLUCIÓN 6x 2y 3  4x 3y 2  10xy 6x 2y 3 4x 3y 2 10xy    divida cada término entre 2xy 2xy 2xy 2xy 2xy  3xy 2  2x 2y  5 simplifique L Los productos que se listan en la siguiente tabla se presentan con tal frecuencia que merecen especial atención. El lector puede comprobar la validez de cada fórmula por multiplicación. En (2) y (3), usamos ya sea el signo superior en ambos lados o el signo inferior en ambos lados. Así, (2) es en realidad dos fórmulas: x  y2  x 2  2xy  y 2 x  y2  x 2  2xy  y 2 y Del mismo modo, (3) representa dos fórmulas Fórmulas de productos Fórmula Ejemplos (1) x  yx  y  x  y (2) x  y2  x 2  2xy  y 2 2a  32a  3  2a2  32  4a2  9 2a  32  2a2  22a3  32  4a2  12a  9 (3) x  y3  x 3  3x 2y  3xy 2  y 3 2a  33  2a3  32a23  32a32  33 2 2  8a3  36a2  54a  27 Otras ilustraciones de las fórmulas del producto se dan en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5 Uso de fórmulas del producto Encuentre el producto: (a)  2r 2  2s  2r 2  2s  (b)  2c  1  2c 2 (c) 2a  5b3 1.3 Expresiones algebraicas 37 SOLUCIÓN (a) Usamos la fórmula 1 del producto, con x  2r 2 y y  2s: 2r 2  2s2r 2  2s  2r 22   2s2  4r 4  s (b) Usamos la fórmula 2 del producto, con x  2c y y   2c  1  2 2c   2c 2  2  2c  c2 1 2c  1 2c :   1 2 2c 1 c Nótese que la última expresión no es un polinomio. (c) Usamos la fórmula 3 del producto, con x  2a y y  5b: 2a  5b3  2a3  32a25b  32a5b2  5b3  8a3  60a2b  150ab2  125b3 L Si un polinomio es un producto de otros polinomios, entonces cada polinomio del producto es un factor del polinomio original. Factorizar es el proceso de expresar una suma de términos como producto. Por ejemplo, como x 2  9  x  3x  3, los polinomios x  3 y x  3 son factores de x 2  9. La factorización es un proceso importante en matemáticas, puesto que se puede usar para reducir el estudio de una expresión complicada al estudio de varias expresiones más sencillas. Por ejemplo, las propiedades del polinomio x 2  9 se pueden determinar al examinar los factores x  3 y x  3. Como veremos en el capítulo 2, otro importante uso de la factorización está en hallar soluciones de ecuaciones. Vamos a estar interesados principalmente en factores no triviales de polinomios, es decir, factores que contengan polinomios de grado positivo. No obstante, si los coeficientes se restringen a enteros, entonces por lo general eliminaremos un factor común entero de cada término del polinomio. Por ejemplo, 4x 2y  8z 3  4x 2y  2z 3. Un polinomio con coeficientes en algún conjunto S de números es primo o irreducible sobre S, si no se puede escribir como producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes en S. Un polinomio puede ser irreducible sobre un conjunto S pero no sobre otro. Por ejemplo, x 2  2 es irreducible sobre los números racionales, puesto que no se puede expresar como producto de dos polinomios de grado positivo que tengan coeficientes racionales. Sin embargo, x 2  2 no es irreducible sobre los números reales, ya que podemos escribir x 2  2   x  22 x  22. 38 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Del mismo modo, x 2  1 es irreducible sobre los números reales, pero, como veremos en la sección 2.4, no sobre los números complejos. Todo polinomio ax  b de grado 1 es irreducible. Antes que factoricemos un polinomio, debemos especificar el sistema numérico (o conjunto) del cual se han de escoger los coeficientes de los factores. En este capítulo usaremos la regla de que si un polinomio tiene coeficientes enteros, entonces los factores serán polinomios con coeficientes enteros. Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto de polinomios irreducibles. El máximo factor común (mfc) de una expresión es el producto de los factores que aparecen en cada término, con cada uno de estos factores elevado al mínimo exponente diferente de cero que aparezca en cualquier término. Al factorizar polinomios, es aconsejable factorizar primero el mfc, como se ve en la siguiente ilustración. ILUSTRACIÓN Polinomios factorizados 8x 2  4xy  4x2x  y 25x 2  25x  150  25x 2  x  6  25x  3x  2 4x 5y  9x 3y 3  x 3y4x 2  9y 2  x 3y2x  3y2x  3y Suele ser difícil factorizar polinomios de grado mayor a 2. En casos sencillos, pueden ser útiles las siguientes fórmulas para factorizar. Cada fórmula se puede verificar al multiplicar los factores del lado derecho del signo igual. Se puede demostrar que los factores x 2  xy  y 2 y x 2  xy  y 2 en la diferencia y suma de dos cubos, respectivamente, son irreducibles sobre los números reales. Fórmulas de factorización Fórmula (1) Diferencia de dos cuadrados: x 2  y 2  x  yx  y (2) Diferencia de dos cubos: x 3  y 3  x  yx 2  xy  y 2 (3) Suma de dos cubos x 3  y 3  x  yx 2  xy  y 2 Ejemplos 9a2  16  3a2  42  3a  43a  4 8a3  27  2a3  33  2a  32a2  2a3  32  2a  34a2  6a  9 125a3  1  5a3  13  5a  15a2  5a1  12  5a  125a2  5a  1 Otras ilustraciones del uso de fórmulas de factorización se dan en los dos ejemplos siguientes. 1.3 Expresiones algebraicas EJEMPLO 6 39 Diferencia de dos cuadrados Factorice cada polinomio: (a) 25r 2  49s 2 (b) 81x 4  y 4 (c) 16x 4   y  2z2 SOLUCIÓN (a) Aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, con x  5r y y  7s 25r 2  49s 2  5r2  7s2  5r  7s5r  7s (b) Escribimos 81x 4  9x 22 y y 4   y 22 y aplicamos dos veces la fórmula de la diferencia de dos cuadrados: 81x 4  y 4  9x 22   y 22  9x 2  y 29x 2  y 2  9x 2  y 23x2   y2  9x 2  y 23x  y3x  y (c) Escribimos 16x 4  4x 22 y aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados: 16x 4   y  2z2  4x 22   y  2z2  4x 2   y  2z4x 2   y  2z  4x 2  y  2z4x 2  y  2z EJEMPLO 7 L Suma y diferencia de dos cubos Factorice cada polinomio: (a) a3  64b3 (b) 8c6  27d 9 SOLUCIÓN (a) Aplicamos la fórmula de la suma de dos cubos, con x  a y y  4b: a3  64b3  a3  4b3  a  4ba2  a4b  4b2  a  4ba2  4ab  16b2 (b) Aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cubos, con x  2c2 y y  3d 3: 8c6  27d 9  2c23  3d 33  2c2  3d 32c22  2c23d 3  3d 32  2c2  3d 34c4  6c2d 3  9d 6 L 40 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Comprobación de un resultado de factorización TI-83/4 Plus TI-86 Podemos comprobar un resultado de factorización al multiplicar la respuesta propuesta y compararla con la expresión original. Aquí sustituiremos valores para las variables y evaluaremos la expresión original y la respuesta propuesta. 4 STO 䉯 ALPHA A ALPHA 7 STO 䉯 ALPHA B ENTER ALPHA A 64 ALPHA ALPHA A  ( ALPHA A x2 4 ALPHA 16 ALPHA A B 3 MATH ( ALPHA ENTER B B ) : 2nd B STO 䉯 A 64 ALPHA  ) A STO 䉯 ALPHA 7 4 ALPHA ALPHA x2 4  3 MATH B : ENTER  3* B 3 ( ALPHA A  ( ALPHA A x2  4 ALPHA ENTER 16 ALPHA A B  x2 ENTER 4 ALPHA B )  ALPHA B ) ENTER  *No hay función especial de cubo para la TI-86. No escoja valores como son 0, 1, o 2 para A y B ⎯es demasiado fácil obtener el mismo valor para la expresión original y la respuesta propuesta. Por ejemplo, si sustituimos 1 por A y 0 por B e incorrectamente factorizamos A3  64B3 como A  4BA2  16B2, ambas expresiones serían igual a 1 y nos confundiríamos al pensar que correctamente habíamos factorizado A3  64B3. Una factorización de un trinomio px 2  qx  r, donde p, q y r son enteros, debe ser de la forma px 2  qx  r  ax  bcx  d, donde a, b, c y d son enteros. Se deduce que ac  p, bd  r, y ad  bc  q. Sólo un número limitado de opciones para a, b, c y d satisfacen estas condiciones. Si ninguna de las opciones funciona, entonces px 2  qx  r es irreducible. Tratar las diversas posibilidades, como se describe en el ejemplo siguiente, recibe el nombre de método de prueba y error. Este método también es aplicable a trinomios de la forma px 2  qxy  ry 2, en cuyo caso la factorización debe ser de la forma ax  bycx  dy. 1.3 Expresiones algebraicas EJEMPLO 8 41 Factorización de un trinomio por prueba y error Factorice 6x 2  7x  3. S O L U C I Ó N Si escribimos 6x 2  7x  3  ax  bcx  d, entonces las siguientes relaciones deben ser verdaderas: ac  6, y bd  3, ad  bc  7 Si suponemos que a y c son ambas positivas, entonces todos los posibles valores se dan en la tabla siguiente: a 1 6 2 3 c 6 1 3 2 Por tanto, si 6x 2  7x  3 es factorizable, entonces una de las siguientes igualdades es verdadera: 6x 2  6x 2  6x 2  6x 2  7x  7x  7x  7x  3 3 3 3 x  b6x  d 6x  bx  d 2x  b3x  d 3x  b2x  d A continuación consideramos todos los valores posibles para b y d. Como bd  3, éstos son como sigue: b d 1 1 3 3 3 3 1 1 Al intentar varios (posiblemente todos) valores, llegamos a b  3 y d  1; esto es, 6x 2  7x  3  2x  33x  1. Como prueba, el lector debe multiplicar la factorización final para ver si se obtuvo el polinomio original. L El método de prueba y error que se ilustra en el ejemplo 8 puede ser largo y tedioso si los coeficientes de los polinomios son grandes y tienen muchos factores primos. En la sección 2.3 demostraremos un método de factorización que se puede usar para factorizar cualquier trinomio de la forma parecida a la del ejemplo 8, cualquiera que sea el tamaño de los coeficientes. Para casos sencillos, con frecuencia es posible llegar rápidamente a la selección correcta. EJEMPLO 9 Factorización de polinomios Factorice: (a) 12x 2  36xy  27y2 (b) 4x 4y  11x 3y 2  6x 2y 3 42 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA SOLUCIÓN (a) Como cada uno de los términos tiene 3 como factor, empezamos por escribir 12x 2  36xy  27y 2  34x 2  12xy  9y 2. Una factorización de 4x 2  12xy  9y 2 como producto de dos polinomios de primer grado debe ser de la forma 4x 2  12xy  9y 2  ax  bycx  dy, con ac  4, bd  9, y ad  bc  12. Si usamos el método de prueba y error, como en el Ejemplo 8, obtenemos 4x 2  12xy  9y 2  2x  3y 2x  3y  2x  3y2. Entonces, 12x 2  36xy  27y 2  34x 2  12xy  9y 2  32x  3y2. (b) Como cada uno de los términos tiene x2y como factor, empezamos por escribir 4x 4y  11x 3y 2  6x 2y 3  x 2y4x 2  11xy  6y 2. Por prueba y error, obtenemos la factorización 4x 4y  11x 3y 2  6x 2y 3  x 2y4x  3yx  2y. L Si una suma contiene cuatro o más términos, puede ser posible agrupar los términos en una forma apropiada y luego hallar una factorización mediante el uso de propiedades distributivas. Esta técnica, llamada factorización por agrupación, se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 10 Factorización por agrupación Factorice: (a) 4ac  2bc  2ad  bd (c) x 2  16y 2  10x  25 (b) 3x 3  2x 2  12x  8 SOLUCIÓN (a) Agrupamos los primeros dos y los últimos dos términos y luego procedemos como sigue: 4ac  2bc  2ad  bd  4ac  2bc  2ad  bd  2c2a  b  d2a  b En esta etapa no hemos factorizado la expresión dada porque el lado derecho tiene la forma 2ck  dk con k  2a  b. No obstante, si factorizamos k, entonces 2ck  dk  2c  dk  2c  d2a  b. 1.3 Expresiones algebraicas 43 Por lo tanto, 4ac  2bc  2ad  bd  2c2a  b  d2a  b  2c  d2a  b. Nótese que si factorizamos 2ck  dk como k2c  d, entonces la última expresión es 2a  b2c  d. (b) Agrupamos los primeros dos y los últimos dos términos y luego procedemos como sigue: 3x 3  2x 2  12x  8  3x 3  2x 2  12x  8  x 23x  2  43x  2  x 2  43x  2 Por último, usando la fórmula de la diferencia de dos cuadrados para x2  4, obtenemos la factorización: 3x 3  2x 2  12x  8  x  2x  23x  2 (c) Primero reacomodamos y agrupamos términos, luego aplicamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, como sigue x 2  16y 2  10x  25  x 2  10x  25  16y 2  x  52  4y2  x  5  4yx  5  4y  x  4y  5x  4y  5 1.3 Ejercicios Ejer. 1-44: Exprese como polinomio. 12 7x  4x 3  x 2  6 1 3x  4x  7x  1  9x  4x  6x 3 2 3 2 2 7x 3  2x 2  11x  3x 3  2x 2  5x  3 3 4x 3  5x  3  3x 3  2x 2  5x  7 4 6x 3  2x 2  x  2  8x 2  x  2 5 2x  53x  7 6 3x  42x  9 7 5x  7y3x  2y 8 4x  3yx  5y 9 2u  3u  4  4uu  2 10 3u  1u  2  7uu  1 11 3x  52x 2  9x  5 13 t 2  2t  53t 2  t  2 14 r 2  8r  2r 2  3r  1 15 x  12x 2  2x 3  5 16 2x  1x 2  5x 3  1 17 8x 2y 3  10x 3y 2x 2y 18 6a3b3  9a2b2  3ab4 3ab2 19 3u3v4  2u5v2  u2v22 u3v2 20 6x2yz3  xy2z xyz 21 2x  3y2x  3y 22 5x  4y5x  4y L 44 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA 23 x 2  2yx 2  2y 24 3x  y 33x  y 3 67 36r 2  25t 2 68 81r 2  16t 2 25 x 2  9x 2  4 26 x 2  1x 2  16 69 z4  64w 2 70 9y4  121x 2 27 3x  2y2 28 5x  4y2 71 x 4  4x 2 72 x 3  25x 29 x 2  3y 22 30 2x 2  5y 22 73 x 2  25 74 4x 2  9 31 x  22x  22 32 x  y2x  y2 75 75x 2  48y 2 76 64x 2  36y 2 77 64x 3  27 78 125x 3  8 34  2x  2y 2 2x  2y 2 79 64x 3  y6 80 216x9  125y3 35 x1/3  y1/3x 2/3  x1/3y1/3  y 2/3 81 343x 3  y9 82 x 6  27y 3 83 125  27x 3 84 x 3  64 33  2x  2y  2x  2y  36 x1/3  y1/3x 2/3  x1/3y1/3  y 2/3 37 x  2y3 38 x  3y3 39 2x  3y3 40 3x  4y3 41 a  b  c2 42 x 2  x  12 43 2x  y  3z2 44 x  2y  3z2 85 2ax  6bx  ay  3by Ejer. 45-102: Factorice el polinomio. 45 rs  4st 46 4u2  2uv 47 3a2b2  6a2b 48 10xy  15xy2 49 3x 2y 3  9x 3y 2 50 16x 5y 2  8x 3y 3 51 15x 3y 5  25x 4y 2  10x 6y 4 52 121r 3s4  77r 2s4  55r 4s3 53 8x 2  53x  21 54 7x 2  10x  8 55 x 2  3x  4 56 3x 2  4x  2 57 6x 2  7x  20 58 12x 2  x  6 59 12x 2  29x  15 60 21x 2  41x  10 61 4x 2  20x  25 62 9x 2  24x  16 63 25z2  30z  9 64 16z2  56z  49 65 45x 2  38xy  8y 2 66 50x 2  45xy  18y 2 86 2ay2  axy  6xy  3x 2 87 3x 3  3x 2  27x  27 88 5x 3  10x 2  20x  40 89 x 4  2x 3  x  2 90 x 4  3x 3  8x  24 91 a3  a2b  ab2  b3 92 6w8  17w4  12 93 a6  b6 94 x 8  16 95 x 2  4x  4  9y2 96 x 2  4y 2  6x  9 97 y 2  x 2  8y  16 98 y 2  9  6y  4x 2 99 y 6  7y 3  8 101 x16  1 100 8c6  19c3  27 102 4x 3  4x 2  x Ejer. 103-104: Los antiguos griegos dieron pruebas geométricas de las fórmulas de factorización para la diferencia de dos cuadrados y la diferencia de dos cubos. Establezca la fórmula para el caso especial descrito. 103 Encuentre las áreas de las regiones I y II de la figura para establecer la fórmula de la diferencia de dos cuadrados para el caso especial x y. 1.4 Expresiones fraccionar ias Ejercicio 103 45 105 Requerimientos de calorías El requerimiento de energía x A  x2  y2 I II basal para una persona indica el número mínimo de calorías necesarias para mantener procesos esenciales de sostenimiento de la vida, como son circulación, regulación de la temperatura corporal y respiración. Dado el sexo, peso w (en kilogramos), estatura h (en centímetros) y edad y (en años) de una persona, podemos estimar el requerimiento de energía basal en calorías usando las fórmulas siguientes, donde Cm y Ch son las calorías necesarias para mujeres y hombres, respectivamente: I II y 104 Encuentre los volúmenes de las cajas I, II y III de la figura para establecer la fórmula de la diferencia de dos cubos para el caso especial x y. Ejercicio 104 x I ? ? y Cm  66.5  13.8w  5h  6.8y Ch  655  9.6w  1.9h  4.7y (a) Determine los requerimientos de energía basal primero para una mujer de 25 años de edad que pesa 59 kilogramos, que mide 163 centímetros de estatura y luego para un hombre de 55 años de edad que pesa 75 kilogramos y mide 178 centímetros de estatura. (b) Explique por qué, en ambas fórmulas, el coeficiente para y es negativo pero los otros coeficientes son positivos. II V  x3  y3 III ? 1.4 Expresiones fraccionarias Una expresión fraccionaria es un cociente de dos expresiones algebraicas. Como caso especial, una expresión racional es un cociente p/q de dos polinomios p y q. Como la división entre cero no está permitida, el dominio de p/q está formado por todos los números reales excepto los que hagan que el denominador sea cero. Dos ilustraciones se dan en la tabla siguiente. Expresiones racionales Cociente 6x 2  5x  4 x2  9 3 x  3x 2y  4y2 y  x3 El denominador es cero si Dominio x  3 Toda x 苷 3 y  x3 Toda x y y tales que y 苷 x 3 46 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA En casi todo nuestro trabajo nos ocuparemos de expresiones racionales en las que tanto el numerador como el denominador son polinomios con sólo una variable. Como las variables de una expresión racional representan números reales, podemos usar las propiedades de cocientes de la Sección 1.1, sustituyendo las letras a, b, c, y d con polinomios. La siguiente propiedad es de particular importancia, donde bd 苷 0: ad a d a a    1 bd b d b b A veces describimos este proceso de simplificación al decir que un factor común diferente de cero en el numerador y denominador de un cociente se puede cancelar. En la práctica, por lo general mostramos esta cancelación por medio de una diagonal sobre el factor común, como en la siguiente ilustración, donde todos los denominadores se supone que son diferentes de cero. ILUSTRACIÓN Factores comunes cancelados ad a  bd b pqr q  rpv v mn m  npq pq Una expresión racional se simplifica o se reduce a su mínima expresión, si el numerador y denominador no tienen como factores comunes polinomios de grado positivo y no hay factores comunes enteros mayores a 1. Para simplificar una expresión racional, factorizamos numerador y denominador entre factores primos y luego, suponiendo que los factores del denominador no son cero, cancelamos factores comunes como en la ilustración siguiente. ILUSTRACIÓN Expresiones racionales simplificadas si x 苷 2 3x  5x  2 3x  1x  2 b 3x  1   si x 苷 23 x2  4 x  2x  2 x2 2 2 2  x  3x 3x  x  2 3x  2x  1 b x1    2 2 6x  x  2 6x  x  2 3x  22x  1 2x  1 2 si x 苷 5, x 苷 4 1 22 b x4 x  8x  16x  5 x   4) 4 (x x 5) 5 (x   2 2 x  5xx  16 xx  4 x(x  5)(x  4)(x  4) 2 Como se ve en el ejemplo siguiente, cuando se simplifica un producto o cociente de expresiones racionales, con frecuencia usamos propiedades de cocientes para obtener una expresión racional. A continuación factorizamos el numerador y denominador y cancelamos factores comunes, como hicimos en la ilustración precedente. 1.4 Expresiones fraccionar ias EJEMPLO 1 47 Productos y cocientes de expresiones racionales Efectúe la operación indicada y simplifique: (a) x 2  6x  9 2x  2  x2  1 x3 (b) x2 x2  4  2 2x  3 2x  3x SOLUCIÓN (a) x 2  6x  9 2x  2 x 2  6x  92x  2   x2  1 x3 x 2  1x  3 propiedad de cocientes 1 (x  3 3)22  2(x x 2x  1) 1  x  1)(x 1x  1)(x 1x  3 (x 3) factorizar todos los polinomios si x 苷 3, x 苷 1 b 2x  3  x1 2 x 4 x  2 2x 2  3x x2 (b)  2   2x  3 2x  3x 2x  3 x 2  4  x  2x2x  3 2x  3x  2x  2 si x 苷 2, x 苷 32 b  x x2 cancelar factores comunes propiedad de cocientes propiedad de cocientes; factorice todos los polinomios cancele factores comunes L Para sumar o restar dos expresiones racionales, por lo general encontramos un denominador común y usamos las siguientes propiedades de cocientes: a c ac a c ac   y   d d d d d d Si los denominadores de las expresiones no son iguales, podemos obtener un común denominador al multiplicar el numerador y denominador de cada fracción por una expresión apropiada. Generalmente empleamos el mínimo común denominador (mcd) de los dos cocientes. Para hallar el mcd, factorizamos cada denominador en primos y luego formamos el producto de los factores primos diferentes, usando el máximo exponente que aparezca con cada factor primo. Empecemos con un ejemplo numérico de esta técnica. EJEMPLO 2 Suma de fracciones usando el mcd Exprese como número racional simplificado: 7 5  24 18 48 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA SOLUCIÓN Las factorizaciones en primos de los denominadores 24 y 18 son 24  23  3 y 18  2  32. Para hallar el mcd, formamos el producto de los factores primos diferentes, usando el máximo exponente asociado con cada factor. Esto nos da 23  32. Ahora cambiamos cada fracción a una fracción equivalente con denominador 23  32 y sumamos: 7 5 7 5   3  24 18 2  3 2  32 TI-83/4 Plus  7 3 5 22    2 2 2 3 3 23 2  21 20  23  32 23  32  41 2  32  41 72 3 3 L TI-86 Las calculadoras graficadoras pueden darnos el mínimo común múltiplo (mcm) de dos números, así como sumas exactas de fracciones. Ilustraremos estas funciones usando los números del ejemplo 2. MATH Para hallar el mcm 8 䉯 24 , 18 ) 2nd ENTER Sumamos fracciones  7 1 MATH lcm(F4) 24  ENTER 5  18 MATH 7  24 䉯Frac(F1) 24  MISC(F5) , 18 ) 5  18 ENTER MORE ENTER El método para hallar el mcd para expresiones racionales es análogo al proceso ilustrado en el ejemplo 2. La única diferencia es que usamos factorizaciones de polinomios en lugar de enteros. 49 1.4 Expresiones fraccionar ias Sumas y diferencias de expresiones racionales EJEMPLO 3 Efectúe las operaciones y simplifique: 6 5 2   2 x3x  2 3x  2 x Los denominadores ya están en forma factorizada. El mcd es x 23x  2. Para obtener tres cocientes que tengan el denominador x 23x  2, multiplicamos por x el numerador y denominador del primer cociente, los del segundo por x 2 y los del tercero por 3x  2, lo cual nos da SOLUCIÓN 6 5 2 6 x 5 x2 2 3x  2   2    2 2 x3x  2 3x  2 x x3x  2 x 3x  2 x x 3x  2 Formule una tabla Haga asignaciones Y.  6x 5x 2 23x  2  2  2 x 3x  2 x 3x  2 x 3x  2  6x  5x 2  23x  2 x 23x  2  5x 2  4 . x 3x  2 2 2 L TI-83/4 Plus TI-86 Comprobemos la simplificación del ejemplo 3 al crear y comparar tablas de valores para la expresión original y la expresión final. Asignaremos estas expresiones a Y1 y Y2 (más adelante llamadas funciones) y comparamos sus valores para x  1, 2, 3, …. Y 6  3 X,T,u,n 5  2  ( 4 (  ( ( X,T,u,n ) 2 )  3 X,T,u,n X,T,u,n x2 ENTER 5 X,T,u,n x2  ) 3 X,T,u,n (   )  ) 2  3 x-VAR 5  2  ( X,T,u,n 2 GRAPH ( 4 ENTER 3 x2 )  ( 5 ) x-VAR ) 2 (  y(x)(F1) 6 ) x-VAR  x-VAR x2 ENTER x-VAR x2  3 (   x-VAR 2 )  ) 2 x2 ) ( x-VAR  ( ENTER (continúa) 50 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Formule una tabla. 2nd TBLSET 1 Vista de la tabla. 2nd TABLE 䉮 1 ENTER TABLE TBLST(F2) 1 䉮 1 ENTER TABLE(F1) La tabla apoya nuestra simplificación. EJEMPLO 4 Simplificación de sumas de expresiones racionales Efectúe las operaciones y simplifique: 2x  5 x 1  2  x  6x  9 x  9 x  3 2 SOLUCIÓN Empezamos por factorizar denominadores: 2x  5 x 1 2x  5 x 1  2     2 x  6x  9 x  9 x  3 x  3 x  3x  3 x  3 2 Como el mcd es x  32x  3, multiplicamos el numerador y denominador del primer cociente por x  3, los del segundo por x  3, y los del tercero por x  32 y luego sumamos: 2x  5x  3 xx  3 x  32   x  32x  3 x  32x  3 x  32x  3  2x 2  x  15  x 2  3x  x 2  6x  9 x  32x  3  4x 2  8x  6 22x 2  4x  3  x  32x  3 x  32x  3 L Una fracción compleja es un cociente en el que el numerador y/o el denominador es una expresión fraccionaria. Ciertos problemas en cálculo requieren simplificar fracciones complejas del tipo dado en el siguiente ejemplo. 1.4 Expresiones fraccionar ias EJEMPLO 5 51 Simplificación de una fracción compleja Simplifique la fracción compleja: 2 2  x3 a3 xa SOLUCIÓN Cambiamos el numerador de la expresión dada en un solo cociente y luego usamos una propiedad para simplificar cocientes: 2 2 2a  3  2x  3  x3 a3 x  3a  3  xa xa 2a  2x 1   x  3a  3 x  a  2a  x x  3a  3x  a combine fracciones en el numerador simplifique; propiedad de cocientes factorice 2a  2x; propiedad de cocientes si x 苷 a b  2 x  3a  3 sustituya ax con 1 xa Un método alternativo es multiplicar por x  3a  3 el numerador y denominador de la expresión dada, el mcd del numerador y denominador y luego simplificar el resultado. Algunos cocientes que no son expresiones racionales contienen denominadores de la forma a  2b o 2a  2b; como en el siguiente ejemplo, estos cocientes se pueden simplificar al multiplicar el numerador y denominador por el conjugado a  2b o 2a  2b, respectivamente. Desde luego, si aparece a  2b, multiplique entonces por a  2b. EJEMPLO 6 Racionalización de un denominador Racionalice el denominador: SOLUCIÓN 1 2x  2y 1 2x  2y multiplique numerador y denominador 1   2x  2y 2x  2y 2x  2y por el conjugado de 2x  2y 2x  2y propiedad de cocientes y diferencia de  cuadrados  2x 2   2y 2 2x  2y ley de radicales  xy L En cálculo, a veces es necesario racionalizar el numerador de un cociente, como se muestra en el ejemplo siguiente. 52 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA EJEMPLO 7 Racionalización de un numerador Si h 苷 0, racionalice el numerador de 2x  h  2x . h SOLUCIÓN 2x  h  2x h     2x  h  2x h  2x  h  2x 2x  h  2x  2x  h 2   2x 2 h 2x  h  2x  multiplique numerador y denominador por el conjugado de 2x  h  2x propiedad de cocientes y diferencia de cuadrados x  h  x ley de radicales h 2x  h  2x  h simplifique h 2x  h  2x  1  2x  h  2x cancele h 苷 0 Puede parecer como si hubiéramos hecho muy poco, porque hay radicales en el denominador. En cálculo, no obstante, es de interés determinar lo que es verdadero si h es muy cercana a cero. Nótese que si usamos la expresión dada obtenemos lo siguiente: Si h  0, entonces 2x  h  2x h  2x  0  2x 0  0 , 0 que es una expresión sin sentido, pero si usamos la forma racionalizada obtenemos la siguiente información: Si h  0, entonces 2x  h  2x h   1 2x  h  2x 1 2x  2x  1 2 2x . L Ciertos problemas en cálculo requieren simplificar expresiones del tipo que se da en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 8 Simplificación de una expresión fraccionaria Simplifique, si h 苷 0: 1 1  x  h2 x 2 h 1.4 Expresiones fraccionar ias 53 SOLUCIÓN 1 1 x 2  x  h2  2 2 x  h x x  h2x 2  h h x 2  x 2  2xh  h2 1   x  h2x 2 h 2 2 2 x  x  2xh  h  x  h2x 2h h2x  h  x  h2x 2h 2x  h  x  h2x 2 combine cocientes en el numerador elevar al cuadrado x  h; propiedad de cocientes eliminar paréntesis simplificar; factorizar h cancelar h 苷 0 L Problemas del tipo que se da en el siguiente ejemplo también se presentan en cálculo. EJEMPLO 9 Simplifique : Simplificación de una expresión fraccionaria 1 3x 22x  51/2  x 3 2 2x  51/22 2x  51/22 Una forma de simplificar la expresión es como sigue: SOLUCIÓN 1 3x 2x  5  x 3 2 2x  51/22 2x  51/22 x3 3x 22x  51/2  2x  51/2  2x  5 3x 22x  5  x 3 2x  51/2  2x  5 3 6x  15x 2  x 3 1   2x  51/2 2x  5 5x 3  15x 2  2x  53/2 5x 2x  3  2x  53/2 2 1/2 definición de exponentes negativos combinar términos en el numerador propiedad de cocientes simplificar factorizar el numerador Una simplificación alternativa es para eliminar la potencia negativa, 21, en la expresión dada, como sigue: 1 3x 22x  51/2  x 3 2 2x  51/22 2x  51/2  2x  51/22 2x  51/2 2 3 3x 2x  5  x  2x  52x  51/2 multiplicar numerador y denominador por 2x  51/2 propiedad de cocientes y ley de exponentes (continúa) 54 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA El resto de la simplificación es similar. Un tercer método de simplificación es factorizar primero el máximo factor común. En este caso, los factores comunes son x y (2x  5), y los expo1 nentes mínimos son 2 y 2 , respectivamente. Entonces, el máximo factor común es x 22x  51/2, factorizamos el numerador y simplificamos como sigue: x 22x  51/232x  51  x x 25x  15 5x 2x  3   2x  51 2x  53/2 2x  53/2 Uno de los problemas en cálculo es determinar los valores de x que hacen que el numerador sea igual a cero. La forma simplificada nos ayuda a responder esta pregunta con relativa facilidad: los valores son 0 y 3. L 1.4 Ejercicios Ejer. 1-4: Escriba la expresión como un número racional simplificado. 3 7  50 30 5 3  3 24 20 1 5 4  63 42 11 7  4 54 72 2 Ejer. 5-48: Simplifique la expresión. 5 7 9 11 12 13 14 15 2x 2  9x  5 2x 2  7x  3 6 2 2x  7x  4 3x 2  17x  10 2 y  25 y2  9 8 3 3 y  125 y  27 12  r  r 2 10  3r  r 2 10 r 3  3r 2 r 4  2r 3 2 4 3 2 9x  4 9x  6x  4x  3x 2  5x  2 27x 4  8x 2 4 4x  6x 3  9x 2 4x  9  2 2x  7x  6 8x 7  27x 4 5a2  12a  4 25a2  20a  4  a4  16 a2  2a 3 a a 8  a2  4 a3  8 6 3x 15 5x 16 2   x2  4 x2  4 x  9 x2  9 2 9  3s  1 3s  12 2 3x  1 x  2 19   x x2 x3 5t 40 3t 21   t  2 t  2 t2  4 17 4 s  5s  22 5s  2 2x  1 x5 5 20   x x2 x3 18 22 23 24 25 27 29 31 32 33 35 37 39 4t 18 t   t  3 t  3 t2  9 8 2 4x   3x  4 3x 2  4x x 3 5 12x   2x  1 2x 2  x x 2x 8 3   x  2 x 2  2x x p4  3p3  8p  24 p3  2p2  9p  18 5 2u 3  u 3u  1 6 2 5x   2x  3 2x 2  3x x 2ac  bc  6ad  3bd 28 6ac  2ad  3bc  bd 3u 2 30 4   u u5 26 6x 3 2x  1   x 2  4x  4 x 2  4 x  2 2x  6 5x 7   x 2  6x  9 x 2  9 x  3 b a 1  3 a b x2 34 1 1 4  x a b x x y r s   y2 x2 s r 36 2 1 1 r s2   2 2 2 2 y x s r y1  x1 y2  x2 38 2 xy1 y  x2 5 2x 6 3   x1 x3 w 2w  1 40 x 7 5 8   x1 x3 w 2w  1 1.4 Expresiones fraccionar ias 3 3  x1 a1 41 xa 43 x2 a2  x a 42 xa x  h2  3x  h  x 2  3x h x  h3  5x  h  x 3  5x h 1 1 1 1   x  h3 x 3 xh x 45 46 h h 4 4  3x  3h  1 3x  1 47 h 5 5  2x  2h  3 2x  3 48 h 44 2t  5 50 2t  5 81x  16y 3 2x  2 2y 2 51 53 54 2 1 3 2t  4 16x  y 2 2 2x  2y (Sugerencia: Multiplique numerador y 3 2 3 3 2 denominador por 2 a 2 ab  2 b .) 3 2a  2b 57 58 59 63 x 2  22 x5 64 x 2  4x  6 2x  2x  3 2 x3 Ejer. 65-68: Exprese como un cociente. 65 x3  x 2 66 x4  x 67 x1/2  x3/2 68 x2/3  x7/3 Ejer. 69-82: Simplifique la expresión. 69 2x 2  3x  143x  233  3x  244x  3 1 71 x 2  41/232x  122  2x  13 2 x 2  41/22x 1 72 3x  21/324x  54  4x  52 3 3x  22/33 3 2a  2b 56 a2  b2 2b  2c b2  c2 1 74 x 2  94  3 x  64/3  x  61/34x 2  932x 75 6x  1327x 2  2  9x 3  2x36x  126 6x  16 76 x 2  142x  x 24x 2  132x x 2  18 77 x 2  232x  x 23x 2  222x x 2  232 78 x 2  543x 2  x 34x 2  532x x 2  542 79 1 x 2  41/33  3x 3 x 2  42/32x 2 x  41/32 22x  h  1  22x  1 h 2x  2x  h h 2x 2x  h 21  x  h  21  x h 3 60 62 2x  2y Ejer. 55-60: Racionalice el numerador. 55 4x 2  x  5 x 2/3 1 73 3x  16 2 2x  51/22  2x  51/263x  153 1 3 61 2t  4 2 52 Ejer. 61-64: Exprese como suma de términos de la forma axr, donde r es un número racional. 70 6x  532x 2  42x  x 2  4236x  526 Ejer. 49-54: Racionalice el denominador. 49 55 3 2x  h  2x h (Sugerencia: Compare con ejercicio 53.) 56 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA 1 1  x 21/22x  x 2 2 1  x 21/22x 1  x 21/22 1 2 1/2 4x  9 2  2x  3 2 4x 2  91/28x 81 2 1/2 2 4x  9  Ejer. 83-84: Evalúe el par de expresiones para x  1, 2, 3, 4 y 5 construyendo una tabla de valores. Discuta si las dos expresiones podrían ser o no ser iguales. 80 82 1 1 1/2 3x  21/2 3 2x  32/32  2x  31/3 2 3x  2 3 1/2 2 3x  2  83 113x 3  280x 2  150x , 22x 3  77x 2  100x  350 3x 4x 2  2x  7 1.1x 2  5 84 20x 2  41x  31 , 10x 3  10x 2 1 1 3.2   2 x x1 x C APÍTULO 1 EJERCICIOS DE REPASO 1 Exprese como un número racional simplificado: (a)  23   58  (b) 3 4  56 2 Sustituya el símbolo 䊐 con , ciado resultante sea verdadero. (a) 0.1 䊐 0.001 (c) 1 6 (c) 5 8  76 7 Exprese el número en forma científica. (d) 3 4 (a) 93,700,000,000  56 , o 苷 para que el enun- (b) 0.000 004 02 8 Exprese el número en forma decimal. (a) 6.8  107 (b) 29 䊐 3 䊐 0.166 3 Exprese el enunciado como una desigualdad. (a) x es negativa. (b) 7.3  104 Ejer. 9-10: Reescriba la expresión sin usar el símbolo de valor absoluto y simplifique el resultado. 9 x  3 si x 3 10 x  2x  3 si 2 x 3 (b) a es entre 2 y 31 . Ejer. 11–12: Exprese el número en la forma ab, donde a y b son enteros. (c) El valor absoluto de x no es mayor a 4. 11 32  20  272/3 1 4 Reescriba sin usar el símbolo de valor absoluto y simplifique: 5 (a) 7 (b) (c) 31  21 5 5 Si los puntos A, B y C en una recta de coordenadas tienen coordenadas 8, 4, y 3, respectivamente, encuentre la distancia: (a) dA, C (b) dC, A (c) dB, C 6 Determine si la expresión es verdadera para todos los valores de las variables, cada vez que la expresión se defina. 1 1 1 (a) x  y2  x 2  y 2 (b)   2x  y 2x 2y 1 2c  2d (c)  cd 2c  2d 12  12 0  12  163/4 Ejer. 13-38: Simplifique la expresión y racionalice el denominador cuando sea apropiado. 13 3a2b22ab3 14 3x 2y32 x5y 16 15       17 2p2q3 19 xy1 2z p 4q 2 4  21 a2/3b231 6r 3y 2 2r 5y   a2/3b3/2 a2b 6 2 x1/3y2 z 18 c4/3c3/2c1/6 3 20 22   64x3 z6y9 2/3 3u2v 5w43 2uv3w 24 Capítulo 1 Ejercicios de repaso 23 r1  s1 rs1 24 u  v3u  v2 26 x2  y1 27 2 x 4y16 3 33 2t  1 2t 5 2  37 212x y 3 2 1 2 2 38 3 x2 9y Ejer. 39-42: Racionalice el denominador. 39 41 1  2x 40 1  2x 81x 2  y 2 42 3 2x  2y 64 2c3  12c2  3c  18 65 8x 3  64y3 66 u3v4  u6v 67 p8  q8 68 x 4  8x 3  16x 2 69 w6  1 70 3x  6 71 x 2  36 72 x 2  49y2  14x  49 73 x 5  4x 3  8x 2  32 74 4x 4  12x 3  20x 2 1 2a  2a  2 Ejer. 75-86: Simplifique la expresión. 3  2x 75 6x 2  7x  5 4x 2  4x  1 76 r 3  t3 r 2  t2 77 6x 2  5x  6 2x 2  3x  x2  4 x2 78 2 5  4x  5 10x  1 79 7 3x 5   x  2 x  22 x 80 81 1 2 3  2  x x x x3 82 a1  b11 3  2x Ejer. 43-58: Exprese como polinomio. 43 3x  4x  x  7  x  2x  3x  5 3 63 2wy  3yx  8wz  12zx 2 3 36 2 a  2b3 23x 2y5 3 62 16a4  24a2b2  9b4 3 34  2 c3d 64 1 4 35 61 28x 2  4x  9 32 2 4a b c 4 31 2 4x y 2 2x y 1 a2b3 c 30 3 3 60 2r 4s3  8r 2s5 28 2 8x 5y3z4 24 2 59 60xw  70w 3 1 3 2 4 3 2 44 4z 4  3z2  1  zz3  4z2  4 45 x  4x  3  2x  1x  5 46 4x  52x 2  3x  7 3 x4 83 1 x  x4 x4 47 3y 3  2y 2  y  4 y 2  3 x2 48 3x  2x  55x  4 49 a  ba3  a2b  ab2  b3 50 4 x  x2 x2 84 6 x3 x2 4  x 2 3 6x  12/36  6x  11/32x 4  x 22 1 86 51 3a  5b2a  7b 52 4r 2  3s2 53 13a  4b13a  4b 54 a  a  55 2a  b3 56 c2  d 23 2 x  x2 1  x2 3 85 x 2  13/24x  53  x  54 2 x 2  11/22x 9p4q3  6p2q4  5p3q2 3p2q2 2 58 a  b  c  d2 Ejer. 59-74: Factorice el polinomio. 25 s 5/2s4/3s1/6 29 57 3x  2y23x  2y2 57 3 2 2 87 Células sanguíneas rojas en un cuerpo El cuerpo de una persona promedio contiene 5.5 litros de sangre y unos 5 millones de células sanguíneas rojas por milímetro cúbico de sangre. Dado que 1 L  106 mm3, estime el número de células sanguíneas rojas en el cuerpo de una persona promedio. 58 C APÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA 88 Pulsaciones en toda una vida Un corazón sano pulsa de 70 a 90 veces por minuto. Estime el número de pulsaciones en toda la vida de una persona que llega a los 80 años. 89 Área superficial corporal A la edad de 2 años, un niño típico mide 91.2 centímetros de estatura y pesa 13.7 kilogramos. Use la fórmula de DuBois y DuBois, S  0.007184w0.425h0.725 , donde w es el peso y h es la estatura, para hallar el área superficial corporal S (en metros cuadrados). 90 Expansión adiabática Se dice que un gas se expande en forma adiabática si no hay pérdida ni ganancia de calor. La fórmula para la expansión adiabática del aire es pv1.4  c, donde p es la presión, v es el volumen y c es una constante. Si, en cierto instante, la presión es 40 dinas/cm2 y el volumen es 60 cm3, encuentre el valor de c (1 dina es la unidad de fuerza en el sistema cgs). CAPÍTULO 1 EJERCICIOS DE ANÁLISIS 1 Área superficial de un tanque El lector sabe que un tanque esférico contiene 10,000 galones de agua. ¿Qué necesita conocer para determinar el área superficial del tanque? Estime el área superficial del tanque. 2 Determine las condiciones bajo las cuales 2a  b  a  b. 2 2 3 Demuestre que la suma de cuadrados x 2  25 se puede factorizar al sumar y restar un término particular y seguir el método mostrado en el ejemplo 10(c) de la sección 1.3. 4 ¿Cuál es la diferencia entre las expresiones x1 ? x2  1 1 y x1 5 Escriba el cociente de dos polinomios de segundo grado arbitrarios en x y evalúe el cociente con diversos valores grandes de x. ¿A qué conclusión general puede llegar el lector acerca de estos cocientes? 3x 2  5x  2 . Ahora evalúe amx2  4 bas expresiones con un valor de x x 苷 2. Explique lo que demuestra (o no demuestra) esta evaluación y lo que demuestra (o no demuestra) su simplificación. 6 Simplifique la expresión 7 Treta de una fiesta Para adivinar la edad y estatura de su pareja, haga que él/ella haga lo siguiente: 1 Escriba la edad (de él/ella). 2 Multiplíquela por 2. 3 Sume 5. 4 Multiplique la suma por 50. 5 Reste 365. 6 Sume la estatura (de él/ella) (en pulgadas). 7 Sume 115. Los primeros dos dígitos del resultado son iguales a su edad (de él/ella) y los últimos dos dígitos son iguales a su estatura (de él/ella). Explique por qué esto es verdadero. 8 Problema de circuitos En un problema particular de circuitos, el voltaje de salida está definido por  Vsal  Ient   RXi , R  Xi Vent R 2  X 2  3RXi y Zent  . Encuentre una Zent R  Xi fórmula para Vsal en términos de Vent cuando R es igual a X. donde Ient  9 Relacionar récords de beisbol Con base en el número de carreras anotadas (S) y carreras permitidas (A), el porcentaje ganador de Pitágoras estima cuál debe ser el porcentaje ganador de un equipo de beisbol. Esta fórmula, desarrollada por el experto en estadísticas del beisbol Bill James, tiene la forma Sx . S  Ax x James determinó que x  1.83 da los resultados más precisos. El equipo de los Yanquis de Nueva York de 1927 es considerado generalmente como uno de los mejores equipos de beisbol de la historia. Tuvieron un récord de 110 victorias contra 44 derrotas. Anotaron 975 carreras mientras que permitieron sólo 599. (a) Encuentre el récord de ganados-perdidos de Pitágoras. (b) Estime el valor de x (al 0.01 más cercano) que mejor predice el récord real de ganados y perdidos de los Yanquis de 1927. 2 Ecuaciones y desigualdades 2.1 Ecuaciones 2.2 Problemas aplicados 2.3 Ecuaciones cuadráticas 2.4 Números complejos 2.5 Otros tipos de ecuaciones mismo nivel de importancia que las ecuaciones y se usan extensamente en 2.6 Desigualdades dos para resolver ecuaciones y desigualdades básicas. 2.7 Más sobre desigualdades Han existido métodos para resolver ecuaciones desde los tiempos de los babilonios (2000 a.C.), que describieron ecuaciones en palabras en lugar de variables —x, y, y otras— que usamos hoy en día. Los avances para hallar soluciones de ecuaciones tuvieron lugar en Italia, en el siglo XVI y continuaron por el mundo hasta bien entrado el siglo XIX. En nuestro tiempo, se emplean computadoras para aproximar soluciones de ecuaciones muy complicadas. Las desigualdades que contienen variables han alcanzado ahora el aplicaciones de matemáticas. En este capítulo examinaremos varios méto- 60 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 2.1 Ecuaciones Una ecuación (o igualdad) expresa que dos cantidades o expresiones son iguales. Se utilizan ecuaciones en todos los campos que emplean números reales; como ilustración, la ecuación d  rt, o distancia  (rapidez)(tiempo), se usa para resolver problemas que comprenden un cuerpo que se mueve con rapidez constante. Si la rapidez r es 45 mi/h (millas por hora), entonces la distancia d (en millas) recorrida después del tiempo t (en horas) está dada por d  45t. Por ejemplo, si t  2 h, entonces d  45  2  90 mi. Si deseamos hallar cuánto tarda el cuerpo en recorrer 75 millas, hacemos d  75 y resolvemos la ecuación 75  45t o bien, lo que es equivalente, 45t  75. Si dividimos entre 45 ambos lados de la última ecuación, obtenemos 5 t  75 45  3 . Por lo tanto, si r  45 mi/h, entonces el tiempo necesario para recorrer 75 millas es 1 32 horas o sea 1 hora y 40 minutos. Nótese que la ecuación d  rt contiene tres variables: d, r y t. En gran parte de nuestro trabajo en este capítulo consideraremos ecuaciones que contienen sólo una variable. La siguiente tabla aplica a una variable x, pero se puede considerar cualquier otra variable. Las abreviaturas LI y LD de la segunda ilustración representan el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación respectivamente. Terminología Definición Ejemplos Ecuación en x Enunciado de igualdad que x  5  4x contiene una variable, x Solución o raíz, de una ecuación en x Número b que da un enunciado verdadero al sustituirlo por x 2 5 es una solución de x 2  5  4x, porque la sustitución nos da LI: 52  5  25  5  20 y LD: 4  5  20, y 20  20 es un enunciado verdadero. Un número b satisface b es una solución una ecuación en x de la ecuación 5 satisface a x 2  5  4x. Ecuaciones equivalentes Ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones 2x  1  7 2x  7  1 2x  6 x3 Resolver una ecuación en x Encontrar todas las soluciones de la ecuación Para resolver x  3x  5  0, iguale a cero cada factor: x  3  0, x  5  0, obteniendo las soluciones 3 y 5. 2 .1 E c u a c i o n e s 61 Una ecuación algebraica en x contiene sólo expresiones algebraicas tales como polinomios, expresiones racionales, radicales y otros. Una ecuación de este tipo se denomina ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones. Por ejemplo, la ecuación x2  9 es condicional porque el número x  4 (y otros) no es una solución. Si cada número en el dominio de las expresiones en una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se denomina identidad. A veces es difícil determinar si una ecuación es condicional o una identidad. Una identidad con frecuencia estará indicada cuando, después de aplicar las propiedades de números reales, se obtiene una ecuación de la forma p  p, donde p es alguna expresión. Para ilustrar, si multiplicamos ambos lados de la ecuación x x  x 2  4 x  2x  2 por x2  4, obtenemos x  x. Esto nos pone en alerta sobre el hecho de que podemos tener una identidad entre manos, pero no demuestra nada. Un método estándar para verificar que una ecuación es una identidad es demostrar, usando propiedades de números reales, que la expresión que aparece en un lado de la ecuación dada se puede transformar en la expresión que aparece en el otro lado de la misma ecuación. Esto es fácil de hacer en la ilustración precedente, puesto que sabemos que x2  4  (x  2)(x  2). Desde luego que para demostrar que una ecuación no es una identidad, sólo necesitamos hallar un número real en el dominio de la variable que no satisface la ecuación original. La ecuación más básica en álgebra es la ecuación lineal, definida en la tabla siguiente, donde a y b denotan números reales. Terminología Ecuación lineal en x Definición Ejemplo Una ecuación que se puede escribir de la forma ax  b  0, donde a 苷 0 4x  5  0 4x  5 5 x  4 La ilustración de la tabla precedente indica un método típico de resolver una ecuación lineal. Siguiendo el mismo procedimiento, vemos que si ax  b  0, entonces x b , a siempre que a 苷 0. Entonces, una ecuación lineal tiene exactamente una solución. A veces resolvemos una ecuación al hacer una lista de ecuaciones equivalentes, cada una en algún sentido más sencilla que la precedente, terminando la lista con una ecuación de la cual las soluciones se pueden obtener fácilmente. A veces simplificamos una ecuación al sumar la misma expresión a ambos lados o sustrayendo la misma expresión de ambos lados. También podemos multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una expresión que representa un número real diferente de cero. En los ejemplos siguientes, las frases en color indican la forma en que se obtuvo una ecuación equivalente a partir de la ecuación precedente. Para acortar estas frases, al igual que en el ejemplo 1, hemos usado “sumar 7” en lugar de la más precisa pero larga sumar 7 a ambos lados. Del mismo modo, “restar 2x” se usa en lugar de restar 2x de ambos lados y “dividir entre 4” significa dividir ambos lados entre 4. 62 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES EJEMPLO 1 Resolver una ecuación lineal Resolver la ecuación 6x  7  2x  5. SOLUCIÓN Las ecuaciones de la lista siguiente son equivalentes: 6x  7  2x  5 6x  7  7  2x  5  7 6x  2x  12 6x  2x  2x  12  2x 4x  12 4x 12  4 4 x3 ⻬ Prueba x  3 enunciado sumar 7 simplificar restar 2x simplificar dividir entre 4 simplificar LI: 63  7  18  7  11 LD: 23  5  6  5  11 Como 11  11 es un enunciado verdadero, x  3 es prueba de solución. L Como se indica en el ejemplo anterior, con frecuencia comprobamos una solución al sustituirla en la ecuación dada. Estas pruebas pueden detectar errores introducidos por manipulaciones incorrectas o errores en aritmética. Decimos que la ecuación dada en el ejemplo 1 tiene la solución x  3. Del mismo modo. Diríamos que la ecuación x2  4 tiene soluciones x  2 y x  2. TI-83/4 Plus Prueba de ecuaciones TI-86 Para probar la solución del ejemplo 1, guardaremos 3 en X y hallaremos el valor del lado izquierdo de la ecuación y el valor del lado derecho de la ecuación 3 STO 䉯 X,T,,n 6 X,T,,n  7 2 X,T,,n  5 ENTER 3 STO 䉯 x-VAR ENTER ENTER 6 x-VAR  7 ENTER ENTER 2 x-VAR  5 ENTER A medida que se haga más difícil el nivel de ecuaciones, la prueba de una calculadora de gráficas se hace de gran valor. 2 .1 E c u a c i o n e s 63 El siguiente ejemplo ilustra que una ecuación aparentemente complicada puede simplificarse a una ecuación lineal. EJEMPLO 2 Resolución de una ecuación Resuelva la ecuación 8x  23x  4  4x  36x  1. SOLUCIÓN Las ecuaciones de la lista siguiente son equivalentes: 8x  23x  4  4x  36x  1 24x 2  26x  8  24x 2  14x  3 26x  8  14x  3 12x  8  3 12x  5 5 x  12 enunciado multiplicar factores restar 24x 2 restar 14x sumar 8 dividir entre 12 5 Por tanto, la solución de la ecuación dada es 12 . L No probamos la solución precedente porque cada paso da una ecuación equivalente; no obstante, cuando el lector trabaje ejercicios o tome un examen, siempre es buena idea comprobar respuestas para evitar errores. Si una ecuación contiene expresiones racionales, a veces eliminamos denominadores al multiplicar ambos lados por el mínimo común denominador de estas expresiones. Si multiplicamos ambos lados por una expresión que sea igual a cero para algún valor de x, entonces la ecuación resultante puede no ser equivalente a la ecuación original, como se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3 Una ecuación sin soluciones Resuelva la ecuación 3x 6 1 . x2 x2 SOLUCIÓN   3x 6 1 x2 x2   enunciado 3x 6 x  2  1x  2  x  2 multiplicar por x  2 x2 x2 simplificar 3x  x  2  6 3x  x  4 simplificar 2x  4 restar x x2 dividir entre 2 ⻬ Prueba x  2 LI: 32 6  2  2 0 Como la división entre 0 no es permisible, x  2 no es una solución. Por lo tanto, la ecuación dada no tiene soluciones. L 64 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES En el proceso de resolver una ecuación se puede obtener, como posible solución, un número que no es una solución de la ecuación dada. Ese número se denomina solución extraña o raíz extraña de la ecuación dada. En el ejemplo 3, x  2 es una solución (o raíz) extraña de la ecuación dada. Las siguientes directrices también se pueden usar para resolver la ecuación del ejemplo 3. En ese caso, observando la directriz 2 haría innecesario comprobar la solución extraña x  2. Directrices para resolver una ecuación que contenga expresiones racionales 1 Determinar el mínimo común denominador (mcd) de las expresiones racionales. 2 Encontrar los valores de variable que hagan cero al mcd. Estas no son soluciones, porque dan al menos un denominador cero cuando se sustituye en la ecuación dada. 3 Multiplicar cada término de la ecuación por el mcd y simplificar, con lo cual se eliminan todos los denominadores. 4 Resolver la ecuación obtenida en la directriz 3. 5 Las soluciones de la ecuación dada son las soluciones halladas en la directriz 4, con la exclusión de los valores hallados en la directriz 2. Seguiremos estas directrices en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 4 Una ecuación que contiene expresiones racionales Resuelva la ecuación 3 5 2   . 2x  4 x  3 x  2 SOLUCIÓN Directriz 1 Al reescribir el denominador 2x  4 como 2(x  2), vemos que el mcd de las tres expresiones racionales es 2(x  2)(x  3). Directriz 2 Los valores de x que hacen cero al mcd 2(x  2)(x  3) son 2 y 3, de modo que estos números no pueden ser soluciones de la ecuación. Directriz 3 Multiplicando cada término de la ecuación por el mcd y simplificando nos da lo siguiente: 3 5 2x  2x  3  2x  2x  3 2x  2 x3 2  2x  2x  3 x2 3x  3  10x  2  4x  3 cancelar factores semejantes 3x  9  10x  20  4x  12 multiplicar factores 2 .1 E c u a c i o n e s Figura 1 65 Directriz 4 Resolvemos la última ecuación obtenida en la directriz 3. 3x  10x  4x  12  9  20 11x  17 17 x  11 restar 4x, 9, y 20 combinar términos semejantes dividir entre 11 17 11 Directriz 5 Como no está incluido entre los valores (2 y 3) que hacen cero al mcd (directriz 2), vemos que x  17 11 es una solución de la ecuación dada. No comprobaremos la solución x  17 11 por sustitución, porque la aritmética necesaria es complicada. Es más sencillo comprobar con cuidado las manipulaciones algebraicas que se emplean en cada paso, pero se recomienda una prueba de calculadora como se ve en la figura 1. L Figura 2 Escala Celsius 100 C Escala Fahrenheit Las fórmulas que comprenden diversas variables se presentan en muchas aplicaciones de matemáticas. A veces es necesario despejar una variable específica en términos de las variables restantes que aparecen en la fórmula, como lo ilustran los dos ejemplos siguientes. 212 EJEMPLO 5 Relación entre escalas de temperatura Las escalas Celsius y Fahrenheit de temperatura se muestran en el termómetro de la figura 2. La relación entre las lecturas C y F de temperatura está dada por 5 C  9 F  32. Despeje F. F Para despejar F debemos obtener una fórmula que tenga a F en un lado de los signos igual y no tenga F en el otro lado. Podemos hacer esto como sigue: SOLUCIÓN 0 32 C  59 F  32 9 5C 9 5C  F  32  32  F F 100 enunciado multiplicar por 9 5 sumar 32 9 5C  32 ecuación equivalente L Hagamos una prueba sencilla de nuestro resultado del ejemplo 5 como sigue. Empiece con C  95 (F  32) y sustituya 212 (una opción arbitraria) por F para obtener 100 por C. Ahora sea C  100 en F  95 C  32 para obtener F  212. De nuevo, esta prueba no demuestra que estamos bien, pero ciertamente da credibilidad a nuestro resultado. 148 EJEMPLO 6 Figura 3 Resistores conectados en paralelo En teoría eléctrica, la fórmula R1 R2 1 1 1   R R1 R2 se emplea para hallar la resistencia total R cuando dos resistores R1 y R2 están conectados en paralelo, como se ilustra en la figura 3. Despeje R1. 66 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES SOLUCIÓN Primero multiplicamos ambos lados de la ecuación dada por el mcd de las tres fracciones y luego despejamos R1, como sigue: 1 1 1   R R1 R2 1 1 1  RR1R2   RR1R2   RR1R2 R R1 R2 R1R2  RR2  RR1 R1R2  RR1  RR2 R1R2  R  RR2 RR2 R1  R2  R enunciado multiplicar por el mcd RR1R2 cancelar factores comunes reunir términos con R1 en un lado factorizar R1 dividir entre R2  R Un método alternativo de solución es primero despejar 1 R 1 1  R1 R2 1 R1 1 R1 1 1  R1 R2 1  R 1 1   R R2 R2  R  RR2 1 : R1 enunciado  ecuación equivalente restar 1 R2 combinar fracciones Si dos números diferentes de cero son iguales, entonces también son cero sus recíprocos. Por lo tanto, R1  2.1 RR2 . R2  R L Ejercicios Ejer. 1-44: Resolver la ecuación. 1 3x  4  1 5 3 2 2x  2  9 9 0.33  2x  1.2x  3.2 23 18 10 1.5x  0.7  0.43  5x 19 35 4 5x  4  2x  2 0 3 4x  3  5x  6 1 5 42y  5  35y  2  27 26 7 11 3  5x 4  x 401  5 7 12 2x  9 x 2 4 12 51 5 13 13  2x 3  4x  1 4 14 3 9  7x  2 3x  1 7 18 11 6 62y  3  3 y  5  0  3 7 15 x  2  3  27 x 35 17 8 53 x  1  4  23 x 5 49 4 2 .1 E c u a c i o n e s 15 8  3 5 2 x x 4 3 6 1 3    11 y y y 16 8 11 24 17 3x  22  x  59x  4  29 41 3 2x  7 2 No solution   2x  1 2x  1 4x 2  1 42 4 14x  3 3 No solution   2x  5 2x  5 4x 2  25 43 5 4 14x  3 No solution   2 2x  3 2x  3 4x  9 44 7 5x  4 3 No solution   2 x4 x4 x  16 12 18 x  52  3  x  22  7 19 5x  72x  1  10xx  4  0 20 2x  94x  3  8x2  12 21 3x  1 2x  5 3  6x  2 4x  13 61 2 4 7 23   5 10x  5 2x  1 29 4 25 3 5 3   2x  4 3x  6 5 31 18 27 2  5 2 3x  7 1 2 22 5x  2 x8  10x  3 2x  3 3 17 5 4 5 24   3x  9 x  3 6 29 5 26 9 7 2   2x  6 5x  15 3 Ejer. 45-50: Demuestre que la ecuación es una identidad. 45 4x  32  16x 2  9  24x 16x 2  24x  9  16x 2  9  24x 46 3x  42x  1  5x  6x 2  4 6x 2  5x  4  5x  6x 2  4 33 20 28 No solution 1 4 29  2x  1 8x  4 7 31 67 6 55 2x  11 47 x2  9 x3 x3 48 x3  8  x 2  2x  4 x2 4 12  0 5x  2 15x  6 2 49 3x 2  8 8   3x x x 50 49x 2  25  7x  5 7x  5 No solution 30 1 All real numbers except 2 7 4 5 31 2   y 4 y2 y2 All real numbers except  5 5 9 4 10 1    25 32 6 2u  3 4u2  9 2u  3 33 x  33  3x  12  x 3  4  32 Ejer. 51-52: ¿Para qué valor de c es el número a una solución de la ecuación? 51 4x  1  2c  5c  3x  6; a  2  19 3 52 3x  2  6c  2c  5x  1; a  4  29 4 34 x  13  x  13  6x 2 No solution 9x 3 35 2 3x  1 3x  1 No solution 6 2x 36  5 2x  3 4x  6 No solution 1 3 3x  8 37   2 0 x4 x4 x  16 2 4 5x  6 38   0 2x  3 2x  3 4x 2  9 39 4 1 5x  6   2 All real numbers except 2 x2 x2 x 4 40 2 3 10x  5   All real numbers except  25 2x  5 2x  5 4x 2  25 Ejer. 53-54: Determine si las dos ecuaciones son equivalentes. 53 (a) 7x 42  , x5 x5 x  6 Yes (b) 7x 35  , x5 x5 x5 No, 5 is not a solution of the first equation. 54 (a) 8x 72  , x7 x7 x  9 Yes (b) 8x 56  , x7 x7 x7 68 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ejer. 55-56: Determine valores para a y b tales que 35 es una solución de la ecuación. 56 ax 2  bx  0 Choose 55 ax  b  0 Choose any a and b such that b   35 a. any a and b such that b   35 a. Ejer. 57-58: Determine cuál ecuación no es equivalente a la ecuación que la precede. 57 58 x x2x 4 x  1x  2  x  2x  2 x1x2 12 2 69 P  2l  2w despeje w 70 A  P  Prt despeje r r v0  x1x2 DL ET N C DP1 q   despeje a   1 1 64 C  2r despeje r r  74 S  2lw  hw  hl despeje h h 75 65 A  1 2 bh 2A despeje h h  b 66 V  31 r 2h despeje h h  3V r 2 mM Fd 2 67 F  g 2 despeje m m  gM d 68 R  V V despeje I I  R I S  2lw 2w  l 1 1 1   despeje q f p q q 76 (área superficial de una caja rectangular) (ecuación de una lente) fp pf 1 1 1 1 despeje R 2    R R1 R2 R3 (tres resistores conectados en paralelo) RR 1 R 3 R 1 R 3  RR 3  RR 1 Ejer. 77-78: Escoja la ecuación que mejor describe la tabla de datos. (Sugerencia: Haga asignaciones a Y1 ⴚ Y4 y examine la tabla de sus valores.) 77 (interés simple) C 2 (ley de Amdahl para supercomputadoras) p1  S S1  p R2  Ejer. 63-76: La fórmula se presenta en la aplicación indicada. Despeje la variable especificada. I 63 I  Prt despeje P P  rt 2s  gt 2t 2 p despeje q q  p1  q 73 S  59 EK  L  D  TK despeje K K  62   (distancia que cae un objeto) 72 s  21 gt 2  v 0 t despeje v 0 Ejer. 59-62: De la fórmula, despeje la variable especificada. Q1 1 despeje Q Q  M1 Q (área de un trapecio) 2A  hb 2 b1  h 5x  6  4x  3 x 2  5x  6  x 2  4x  3 x  2x  3  x  1x  3 x2x1 21 x2x1 61 M  (principal más interés) AP Pt 71 A  12 b 1  b 2 h despeje b 1 2 60 CD  C  PC  N despeje C (perímetro de un rectángulo) P  2l 2 w (circunferencia de un círculo) (área de un triángulo) (volumen de un cono) 78 (1) (1) y  1.2x  2 x y 1 0.8 2 0.4 3 1.6 4 2.8 5 4.0 x y 1 9 (2) y  x 2  2x  8 (3) y  4 2x  13 2 4 (ley de Newton de gravitación) 3 11 4 42 (ley de Ohm en teoría eléctrica) 5 95 (2) y  1.2x 2  2 (3) y  0.8 2x (4) y  x 3/4  0.2 (4) (1) y  13x  22 (4) y  x 3  x 2  x  10 2.2 Problemas aplicados 2.2 Problemas aplicados Directrices para resolver problemas aplicados 69 Con frecuencia se usan ecuaciones para resolver problemas aplicados, es decir, problemas que comprenden aplicaciones de matemáticas en otros campos de actividad. Debido a la ilimitada variedad de problemas aplicados, es difícil expresar reglas específicas para hallar soluciones. Las siguientes directrices pueden ser útiles, siempre que el problema se pueda formular en términos de una ecuación con una variable. 1 Si el problema se expresa por escrito, léalo cuidadosamente varias veces y piense en el enunciado junto con la cantidad desconocida que ha de hallarse. 2 Introduzca una letra para denotar la cantidad desconocida. Éste es uno de los pasos más importantes en la solución. Frases que contengan palabras como qué, encuentre, cuánto, a qué distancia o cuándo deben poner en alerta al lector acerca de la cantidad desconocida. 3 Si es apropiado, haga un dibujo y póngale leyendas. 4 Haga una lista de los datos conocidos, junto con cualesquiera relaciones que contengan la cantidad desconocida. Una relación puede ser descrita por una ecuación en la que enunciados por escrito, en lugar de letras o números, aparecen en uno o ambos lados del signo igual. 5 Después de analizar la lista de la directriz 4, formule una ecuación que describa en forma precisa lo que se expresa con palabras. 6 Resuelva la ecuación formulada en la directriz 5. 7 Compruebe las soluciones obtenidas en la directriz 6 consultando el enunciado original del problema. Verifique que la solución esté acorde con las condiciones expresadas. El uso de estas directrices se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 1 Promedio de examen Un estudiante en un curso de álgebra tiene calificaciones de examen de 64 y 78. ¿Qué calificación en un tercer examen dará al estudiante un promedio de 80? SOLUCIÓN Directriz 1 Lea el problema al menos una vez más. Directriz 2 La cantidad desconocida es la calificación del tercer examen, de modo que hacemos x  calificación del tercer examen. Directriz 3 Una figura o diagrama no es necesario para este problema. Directriz 4 Los datos conocidos son 64 y 78 en los dos primeros exámenes. Una relación que abarca a x es la calificación promedio de 64, 78 y x. Entonces, calificación promedio  64  78  x . 3 (continúa) 70 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Directriz 5 Como la calificación promedio de la directriz 4 debe ser 80, consideramos la ecuación 64  78  x  80. 3 Directriz 6 Resolvemos la ecuación formulada en la directriz 5: 64  78  x  80  3 142  x  240 x  98 multiplique por 3 simplifique reste 142 Directriz 7 P r u e b a Si las tres calificaciones de examen son 64, 78 y 98, entonces el promedio es 64  78  98 240   80, 3 3 como se desea. L En los ejemplos restantes, trate de identificar las directrices que se usan en las soluciones. EJEMPLO 2 Cálculo del precio en una preventa Una tienda de ropa que realiza una venta de liquidación anuncia que todos los precios tienen un descuento de 20%. Si una camisa está a la venta en $28, ¿cuál es su precio de preventa? SOLUCIÓN Como la cantidad desconocida es el precio de preventa, hace- mos x  precio de preventa. A continuación tomamos nota de lo siguiente: 0.20x  descuento de 20% en precio de preventa 28  precio de venta El precio de venta se determina como sigue: (precio de preventa)  (descuento)  precio de venta Traduciendo la última ecuación a símbolos y luego resolviendo tendremos x  0.20x  28 0.80x  28 28 x  35. 0.80 formule una ecuación reste 0.20x de 1x divida entre 0.80 El precio de preventa fue $35. ⻬ Prueba Si una camisa de $35 tiene 20% de descuento, entonces el descuento (en dólares) es (0.20)(35)  7 y el precio de venta es 35  7, o sea $28. L 2.2 Problemas aplicados 71 Los bancos y otras instituciones financieras pagan intereses sobre inversiones. Por lo general este interés es compuesto (como se describe en la sección 5.2) pero, si el dinero se invierte o presta durante un tiempo corto, puede pagarse interés simple usando la fórmula siguiente. Fórmula de interés simple Si una suma de dinero C (capital inicial) se invierte a una tasa de interés simple i (expresado como decimal), entonces el interés simple I al final de t años es I = Cit. La tabla siguiente ilustra el interés simple para tres casos. Capital inicial Tasa de interés i Número de años t Interés I ⴝ Cit $1000 $2000 $3200 8%  0.08 6%  0.06 1 5 2 %  0.055 1 1 21 $10000.081  $80 $20000.061.5  $180 $32000.0552  $352 EJEMPLO 3 2 Inversión de dinero en dos acciones Una empresa de inversiones tiene $100,000 de un cliente para invertir y decide invertirlos en dos acciones, A y B. La tasa anual de interés esperada o interés simple, para la acción A es 15%, pero hay un riesgo implicado y el cliente no desea invertir más de $50,000 en esta acción. Se anticipa que la tasa anual de interés en la acción B más estable es 10%. Determine si hay una forma de invertir el dinero para que el interés anual sea (a) $12,000 (b) $13,000 S O L U C I Ó N La tasa de interés anual está dada por I  Ci, que proviene de la fórmula de interés simple I  Cit con t  1. Si con x denotamos la cantidad invertida en la acción A, entonces 100,000  x se invertirá en la acción B. Esto lleva a las siguientes igualdades: x  cantidad invertida en la acción A al 15% 100,000  x  cantidad invertida en la acción B al 10% 0.15x  interés anual de la acción A 0.10(100,000  x)  interés anual de la acción B Sumando el interés de ambas acciones, obtenemos interés anual total  0.15x  0.10(100,000  x) (continúa) 72 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Simplificando el lado derecho, tendremos interés anual total  10,000  0.05x. (*) (a) El interés anual total es $12,000 si 10,000  0.05x  12,000 de (*) 0.05x  2000 reste 10,000 2000 x  40,000. divida entre 0.05 0.05 Entonces, $40,000 deben invertirse en la acción A y los $60,000 restantes deben invertirse en la acción B. Como la cantidad invertida en la acción A no es más de $50,000, esta forma de invertir el dinero satisface el requisito del cliente. ⻬ P r u e b a Si $40,000 se invierten en la acción A y $60,000 en la acción B, entonces el interés anual total es 40,0000.15  60,0000.10  6000  6000  12,000. (b) El interés anual total es $13,000 si 10,000  0.05x  13,000 0.05x  3000 3000 x  60,000. 0.05 de (*) reste 10,000 divida entre 0.05 Entonces, $60,000 deben invertirse en la acción A y los restantes $40,000 en la acción B. Este plan no satisface el requisito del cliente de que no más de $50,000 deben invertirse en la acción A. En consecuencia, la empresa no puede invertir el dinero del cliente en las acciones A y B de modo que el interés total anual sea $13,000. L En ciertas aplicaciones, es necesario combinar dos sustancias para obtener una mezcla prescrita, como se ilustra en los siguientes dos ejemplos. EJEMPLO 4 Mezcla de productos químicos Un químico tiene 10 mililitros de una solución que contiene una concentración al 30% de ácido. ¿Cuántos mililitros de ácido puro deben agregarse para aumentar la concentración al 50%? S O L U C I Ó N Como la cantidad desconocida es la cantidad de ácido puro que se va a agregar, hacemos x  número de mL de ácido puro a agregar. Para ayudar a visualizar el problema, tracemos una figura, como en la figura 1 y apliquemos leyendas apropiadas. 2.2 Problemas aplicados Figura 1 Mezcla original al 30% Ácido puro  Cantidad total de solución: Cantidad de ácido puro: 10 mL 0.30(10)  3 mL 73 Nueva mezcla al 50%  x mL 1.00(x)  x mL 10  x mL 0.50(10  x) mL Como podemos expresar la cantidad de ácido puro en la solución final ya sea como 3  x (de los primeros dos vasos de precipitados) o 0.50(10  x), obtenemos la ecuación 3  x  0.5010  x. Ahora despejamos x: 3  x  5  0.5x 0.5x  2 2 x 4 0.5 multiplicar factores restar 0.5x y 3 dividir entre 0.5 Por lo tanto, 4 mililitros de ácido puro deben agregarse a la solución original. ⻬ P r u e b a Si 4 mililitros de ácido se agregan a la solución original, entonces la nueva solución contiene 14 mililitros, 7 mililitros de los cuales es ácido puro. Ésta es la concentración deseada al 50%. L EJEMPLO 5 Cambio de anticongelante Un radiador contiene 8 “cuartos” de una mezcla de agua y anticongelante. Si 40% de la mezcla es anticongelante, ¿cuánto de la mezcla debe drenarse y cambiarse por anticongelante puro para que la mezcla resultante contenga 60% de anticongelante? SOLUCIÓN Sea x  número de “cuartos” (qt) de mezcla a drenar. Como había 8 qt en la mezcla original al 40%, podemos describir el problema como en la figura 2. (continúa) 74 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Figura 2 Mezcla original al 40%, menos la cantidad drenada Anticongelante puro  Cantidad total: Cantidad de anticongelante puro: (8  x) qt 0.40(8  x) qt Nueva mezcla al 60%  x qt 1.00(x)  x qt 8 qt 0.60(8)  4.8 qt Como el número de cuartos de anticongelante puro de la mezcla final se puede expresar ya sea como 0.40(8  x)  x o 4.8, obtenemos la ecuación 0.408  x  x  4.8. Ahora despejamos x: 3.2  0.4x  x  4.8 0.6x  1.6 1.6 16 8 x   0.6 6 3 multiplicar factores combinar términos en x y restar 3.2 dividir entre 0.6 Por lo tanto, 83 deben drenarse de la mezcla original. ⻬ P r u e b a Primero observemos que la cantidad de anticongelante en la mezcla original de 8 qt era 0.4(8) o 3.2 qt. Al drenar 83 qt de la mezcla original al 40%, perdemos 0.4 83  qt de anticongelante, de modo que 3.2  0.4 83  qt de anticongelante quedan después de drenar. Si entonces agregamos 38 qt de anticongelante puro, la cantidad de anticongelante en la mezcla final es 3.2  0.4 83   38  4.8 qt. Este número, 4.8, es 60% de 8. EJEMPLO 6 L Comparación de tiempos recorridos por autos Dos ciudades están comunicadas por una carretera. Un auto sale de la ciudad B a la 1:00 p.m. y avanza a una velocidad constante de 40 mi/h hacia la ciudad C. Treinta minutos después, otro auto sale de la ciudad B y avanza hacia C a una velocidad constante de 55 millas/h. Si no consideramos las longitudes de los autos, ¿a qué hora el segundo auto alcanzará al primero? SOLUCIÓN Denotemos con t el número de horas después de la 1:00 p.m. que viaja el primer auto. Como el segundo auto sale de B a la 1:30 p.m., ha viajado 12 hora menos que el primero. Esto nos lleva a la siguiente tabla. 75 2.2 Problemas aplicados Auto Velocidad (mih) Horas de viaje Primer auto Segundo auto 40 55 t t Millas recorridas 1 2 40t 55 t  1 2  El dibujo de la figura 3 ilustra posibles posiciones de los autos t horas después de la 1:00 p.m. El segundo auto alcanza al primero cuando el número de millas recorridas por los dos autos es igual, es decir, cuando 55 t  12   40t. Figura 3 40 t B C ( ) 55 t  q B C Ahora despejamos t: 55t  55 2  40t 15t  Figura 4 t 2 multiplicar factores restar 40t y sumar 55 2  11 6 dividir entre 15 Entonces, t es 1 65 horas o bien, 1 hora 50 minutos después de la 1:00 p.m. En consecuencia, el segundo auto alcanza al primero a las 2:50 p.m. ⻬ h 55 2 55 30 A las 2:50 p.m. el primer auto ha viajado 1 65 horas y su dista220 cia de B es 40 11 6   3 millas. A las 2:50 p.m., el segundo auto ha viajado 1 durante 1 3 horas y está a 55 43   220 3 millas de B. Por lo tanto, están juntos a las 2:50 p.m. Prueba L qh EJEMPLO 7 Construcción de una tolva de elevador de granos Una tolva de elevador de granos ha de construirse como se indica en la figura 4, con un cilindro circular recto de 2 pies de radio y altitud h pies sobre un cono circular recto cuya altitud es la mitad de la del cilindro. ¿Qué valor de h hará que el volumen total V de la tolva sea 500 ft3? 76 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Si Vcilindro y Vcono denotan los volúmenes (en ft3) y hcilindro y hcono denotan las alturas (en pies) del cilindro y cono, respectivamente, entonces, usando las fórmulas para volumen que aparecen en la primera y segunda de forros de este texto, obtenemos lo siguiente: SOLUCIÓN Vcilindro  r 2hcilindro   22h  4h 1 1 1 2 Vcono  3 r 2hcono  3  22 2 h   3 h Como el volumen total V de la tolva ha de ser 500 ft3, debemos tener 4h  32 h  500 Vcilindro  Vcono  Vtotal 12h  2h  1500 multiplicar por 3 14h  1500 combinar términos 1500 h  34.1 ft. dividir entre 14 14 EJEMPLO 8 L Tiempo requerido para realizar un trabajo Se cuenta con dos bombas para llenar un tanque de almacenamiento de combustible. La bomba A, empleada sola, puede llenar el tanque en 3 horas y la bomba B, empleada sola, puede llenarlo en 4 horas. Si ambas bombas se usan simultáneamente, ¿cuánto tardará en llenarse el tanque? SOLUCIÓN Denotemos con t el número de horas necesario para que A y B llenen el tanque si se usan simultáneamente. Es conveniente introducir la parte del tanque llenado en 1 hora como sigue: 1 3 1 4  parte del tanque llenado por A en 1 h  parte del tanque llenado por B en 1 h 1  parte del tanque llenado por A y B En 1 h t Con el uso de       parte llenada por parte llenada por parte llenada por   , A en 1 h B en 1 h A y B en 1 h obtenemos 1 1 1   , 3 4 t o 7 1  . 12 t Tomando el recíproco de cada lado de la última ecuación tendremos t  12 7. Por lo tanto, si las bombas A y B se usan simultáneamente, el tanque estará lleno en 1 75 , o alrededor de 1 hora 43 minutos. L 2.2 Problemas aplicados 2.2 77 Ejercicios 1 Calificaciones de examen Un estudiante en un curso de álgebra tiene calificaciones de examen de 75, 82, 71 y 84. ¿Qué calificación en el siguiente examen subirá el promedio del estudiante a 80? 2 Promedio final de clase Antes del examen final, un estudiante tiene calificaciones de examen de 72, 80, 65, 78 y 60. Si el examen final cuenta como 1/3 de la calificación final, ¿qué calificación debe recibir el estudiante para tener un promedio final de 76? $50,000. La segunda cuenta paga 6.4% de interés simple y los depósitos se aseguran hasta $100,000. Determine si el dinero se puede depositar para que quede completamente asegurado y gane un interés anual de $7500. 3 Salario bruto El salario bruto que un trabajador lleva a su casa es $492 después de restar deducciones que totalizan 40% del mismo. ¿Cuál es el salario bruto? 10 Inversión municipal El gobierno de una ciudad ha aprobado la construcción de un campo deportivo de $800 millones. Hasta $480 millones se recaudarán por venta de bonos que pagan interés simple a razón de 6% anualmente. La cantidad restante (hasta $640 millones) se obtendrán por préstamos de una compañía de seguros a una tasa de interés simple de 5%. Determine si el campo se puede financiar para que el interés anual sea de $42 millones. 4 Costo de comer fuera Una pareja no desea gastar más de $70 por comer en un restaurante. Si se agrega un impuesto de venta de 6% a la cuenta y piensan dar una propina de 15% después de agregar el impuesto, ¿cuánto es lo más que pueden gastar por la comida? 11 Asistencia al cine Seiscientas personas asistieron al estreno de una película. Los boletos para adultos costaron $9 y la admisión de niños $6. Si los recibos de la taquilla totalizaron $4800, ¿cuántos niños asistieron al estreno? 5 Cociente de inteligencia El cociente de inteligencia (IQ) de una persona se determina al multiplicar por 100 el cociente de su edad mental y su edad cronológica. (a) Encuentre el IQ de un niño de 12 años de edad cuya edad mental es de 15. (b) Encuentre la edad mental de una persona de 15 años de edad cuyo IQ es 140. 21 6 Área superficial de la Tierra El agua cubre 70.8% o sea 361  106 km2 de la superficie de la Tierra. Aproxime el área superficial total de la Tierra. 7 Costo de aislamiento El costo de instalar aislamiento en una casa particular de dos recámaras es $2400. Los costos mensuales de calefacción actuales promedian $200, pero se espera que el aislamiento reduzca los costos en 10%. ¿Cuántos meses tardará en recuperarse el costo del aislamiento? 8 Pago de tiempo extra El sueldo base por hora de un trabajador es $10, pero él recibe una y media veces su sueldo por cualesquiera horas trabajadas de más de 40 por semana. Si su cheque de salario para la semana es $595, ¿cuántas horas de tiempo extra trabajó? 9 Cuentas de ahorros Un estudiante de álgebra ha ganado $100,000 en una lotería y desea depositarlos en cuentas de ahorros en dos instituciones financieras. Una cuenta paga 8% de interés simple, pero los depósitos se aseguran sólo a 200 niños 12 Paga por hora El tiempo de una ingeniera consultora se factura a $60 por hora y el de su asistente se factura a $20 por hora. Un cliente recibe una cuenta por $580 por cierto trabajo. Si la asistente trabajó 5 horas menos que la ingeniera, ¿cuánto tiempo facturó cada una en el trabajo? engineer, 8.5 hr; assistant, 3.5 hr 13 Preparación de una solución de glucosa En cierto examen médico diseñado para medir tolerancia a los carbohidratos, un adulto bebe 7 onzas de una solución de glucosa al 30%. Cuando el examen se administra a un niño, la concentración de glucosa debe reducirse al 20%. ¿Cuánta solución de glucosa al 30% y cuánta agua debe usarse para preparar 7 onzas de solución de glucosa al 20%? 14 3 7 oz of 30% glucose solution and 3 oz of water 14 Preparación de gotas para los ojos Un farmacéutico debe elaborar 15 mililitros de gotas especiales para los ojos para un paciente con glaucoma. La solución de gotas para los ojos debe tener un ingrediente activo al 2%, pero el farmacéutico tiene sólo solución al 10% y solución al 1% en existencia. ¿Cuánto de cada tipo de solución debe usarse para llenar la receta? 40 3 mL of 1% solution and 53 mL of 10% solution 15 Preparación de una aleación La plata de ley inglesa es una aleación de cobre y plata que es 7.5% cobre por peso. ¿Cuántos gramos de cobre puro y cuántos gramos de plata de ley inglesa deben usarse para preparar 200 gramos de aleación de cobre-plata que sea 10% de cobre por peso? 194.6 g of British sterling silver and 5.4 g of copper 78 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 16 Concentración de droga La teofilina, medicamento para el asma, se ha de preparar de un elíxir con una concentración de droga de 5 mg/mL y un jarabe con sabor a cereza que se ha de agregar para ocultar el sabor del medicamento. ¿Cuánto de cada uno debe usarse para elaborar 100 mililitros de solución con una concentración de droga de 2 mg/mL? Ejercicio 21 5 millas/h Velocidad neta corriente arriba  5  x millas/h x millas/h 17 Rapidez de caminata Dos niños, que están a 224 metros entre sí, empiezan a caminar uno hacia el otro en el mismo instante a un ritmo de 1.5 m/s y 2 m/s, respectivamente (vea la figura). 96 m and 128 m, respectively 5 millas/h (a) ¿Cuándo se encontrarán? After 64 sec Velocidad neta corriente abajo  5  x millas/h x millas/h (b) ¿Cuánto habrá caminado cada uno? Ejercicio 17 (a) Encuentre la rapidez de la corriente. 1.5 m/s 2 m/s 224 m 18 Rapidez de carrera Un corredor arranca al principio de una pista para corredores y corre a un ritmo constante de 6 millas/h. Cinco minutos después, un segundo corredor arranca en el mismo punto, corriendo a un ritmo de 8 millas/h y siguiendo el mismo curso. ¿Cuánto tiempo tardará el segundo corredor en alcanzar al primero? 19 Velocidad de una quitanieves A las 6 a.m. una máquina quitanieves, que avanza a velocidad constante, empieza a limpiar una carretera que sale de una ciudad. A las 8 a.m. un automóvil empieza a avanzar por la carretera a una velocidad de 30 millas/h y alcanza a la quitanieves 30 minutos después. Encuentre la velocidad de la máquina. 6 millas/h 5 9 mihr (b) Encuentre la distancia total recorrida. 2 92 mi 22 Rendimiento de combustible Un vendedor compró un automóvil que estaba anunciado para promediar 25 millas/galón en la ciudad y 40 millas/galón en carretera. Un reciente viaje de ventas que cubría 1800 millas requirió de 51 galones de gasolina. Suponiendo que las estimaciones anunciadas de rendimiento fueran correctas, ¿cuántas millas recorrió en la ciudad? 400 23 Distancia a un blanco Una bala es disparada horizontalmente a un blanco y el sonido de su impacto se escucha 1.5 segundos después. Si la velocidad de la bala es 3300 pies/s y la velocidad del sonido es 1100 pies/s, ¿a qué distancia está el blanco? 24 Rapidez para trotar Una mujer empieza a trotar a las 3:00 p.m., corriendo al norte a un paso de 6 minutos por milla. Después, invierte la dirección y corre al sur a un paso de 7 minutos por milla. Si regresa al punto de partida a las 3:45 12 p.m., encuentre el número total de millas recorridas. 6 13 20 Alcance de un radio de comunicación Dos niños tienen radios de comunicación que tienen un alcance máximo de 2 millas. Uno de ellos sale de cierto punto a la 1:00 p.m. y camina al norte a razón de 4 millas/h. El otro sale del mismo punto a la 1:15 p.m. y camina al sur a 6 millas/h. ¿Cuándo no podrán comunicarse entre sí? After 1:21 P.M. 25 Instalación de una cerca Un agricultor piensa usar 180 pies de cerca para encerrar una región rectangular, usando parte de una margen recta de un río en lugar de cerca como uno de los lados del rectángulo, como se ve en la figura. Encuentre el área de la región si la longitud del lado paralelo a la margen mide 21 Rapidez para remar Un niño puede remar en un bote a un ritmo constante de 5 millas/h en aguas en calma, como se indica en la figura. Él rema corriente arriba durante 15 minutos y luego corriente abajo y regresa a su punto de partida en otros 12 minutos. (a) el doble de la longitud de un lado adyacente. 4050 ft2 (b) la mitad de la longitud de un lado adyacente. 2592 ft2 (c) igual que la longitud de un lado adyacente. 3600 ft2 2.2 Problemas aplicados 79 28 Dimensiones de una zanja La sección transversal de una zanja es un trapecio isósceles con una pequeña base de 3 pies y una altura de 1 pie, como se ve en la figura. Determine el ancho de la base más grande que daría a la zanja un área de sección transversal de 5 ft2. 7 ft Ejercicio 25 Ejercicio 28 3 1 26 Dimensiones de una casa En la figura se ilustra una sección transversal de un diseño para una casa de dos pisos. La altura central h del segundo piso todavía no se ha determinado. Encuentre h tal que el segundo piso tendrá la misma área de sección transversal que el primer piso. 13 ft h 3 8 30 SECCIÓN TRANSVERSAL -AA Ejercicio 26 27 Dimensiones de ventana Una ventana de vidrio de color se está diseñando en forma de un rectángulo rematado por un semicírculo, como se ve en la figura. El ancho de la ventana debe ser 3 pies, pero la altura h todavía no se determina. Si se han de usar 24 ft2 de vidrio, encuentre la altura h. 19 3   8.32 ft 2 8 Ejercicio 27 29 Construcción de un silo Se ha de construir un silo grande para granos, en forma de cilindro circular con una semiesfera en la parte superior (vea la figura). El diámetro del silo debe ser 30 pies, pero la altura no se ha determinado. Encuentre la altura h del silo que resultará en una capacidad de 11,250p ft3. 55 ft Ejercicio 29 h 30 30 Dimensiones de un cono El cono del barquillo de la figura debe contener 8 pulg3 de helado cuando se llene hasta el fondo. El diámetro del cono es 2 pulgadas y la parte superior del helado tiene forma de una semiesfera. Encuentre la 24 altura h del cono.   2 in. Ejercicio 30 2 h 3 h 31 Rapidez para podar pasto Un niño tarda 90 minutos en podar un prado, pero su hermana puede podarlo en 60 minutos. ¿Cuánto tardarían en podar el pasto si trabajaran juntos, usando dos podadoras? 36 min 80 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 32 Llenado de una piscina Con agua de una manguera, una piscina se puede llenar en 8 horas. Si se usa una segunda manguera sola, más grande, puede llenarse la piscina en 5 horas. ¿Cuánto tardaría en llenarse si ambas mangueras se 40 usaran simultáneamente? 13 hr 33 Entrega de periódicos Una niña tarda 45 minutos en repartir los periódicos de su ruta, pero, si su hermano la ayuda, a ambos les lleva sólo 20 minutos. ¿Cuánto tardaría su hermano en repartir los periódicos por sí solo? 36 min 34 Vaciado de un tanque Un tanque de agua se puede vaciar usando una bomba durante 5 horas. Una segunda bomba más pequeña puede vaciar el tanque en 8 horas. Si la bomba más grande se arranca a la 1:00 p.m., ¿en cuánto tiempo debe arrancarse la bomba más pequeña para que el tanque se vacíe a las 5:00 p.m.? 3:24 P.M 35 Promedio de calificaciones (GPA) Una estudiante universitaria ha terminado 48 horas de créditos con un promedio GPA de 2.75. Para entrar al programa en que ella desea estar, debe tener un GPA de 3.2. ¿Cuántas horas de créditos adicionales de trabajo de 4.0 subirán su GPA a 3.2? 27 36 Ley de Ohm En teoría eléctrica, la ley de Ohm expresa que I  V/R, donde I es la corriente en amperes, V es la fuerza electromotriz en volts y R es la resistencia en ohms. En cierto circuito V  110 y R  50. Si V y R han de cambiarse para tener la misma cantidad numérica, ¿qué cambio en ellos hará que I se duplique? Decrease both V and R by 550 17 37 Temperatura del aire Debajo de la base de una nube, la temperatura del aire T (en F) a una altura h (en pies) se 5.5 puede aproximar con la ecuación T  T 0   1000 h, donde T 0 es la temperatura al nivel del suelo. (a) Determine la temperatura del aire a una altura de 1 milla si la temperatura del suelo es 70F. 40.96F (b) ¿A qué altura se alcanza la temperatura de congelación? 6909 ft 2.3 Ecuaciones cuadráticas 38 Altura de una nube La altura h (en pies) de la base de una nube se puede estimar usando h  227(T  D), donde T es la temperatura del suelo y D es el punto de rocío. (a) Si la temperatura es 70F y el punto de rocío es 55F, encuentre la altura de la base de la nube. 3405 ft (b) Si el punto de rocío es 65F y la base de la nube está a 3500 pies, estime la temperatura del suelo. 39 Temperatura de una nube La temperatura T dentro de una nube a una altura h (en pies) sobre la base de la nube se 3 puede aproximar usando la ecuación T  B   1000 h, donde B es la temperatura de la nube en su base. Determine la temperatura a 10,000 pies en una nube con una temperatura de su base de 55F y una altura de base de 4000 pies. Nota: Para una aplicación interesante que abarca los tres ejercicios precedentes, vea el ejercicio 6 de los ejercicios de repaso al final del capítulo. 37F 40 Relación huesos-estatura Los arqueólogos pueden determinar la estatura de un ser humano sin tener un esqueleto completo. Si un arqueólogo encuentra sólo un húmero, entonces la estatura del individuo se puede determinar usando una relación lineal sencilla. (El húmero es el hueso entre el hombro y el codo.) Para una mujer, si x es la longitud del húmero (en centímetros), entonces su estatura h (en centímetros) se puede determinar usando la fórmula h  65  3.14x. Para un hombre, debe usarse h  73.6  3.0x. (a) Se encuentra un esqueleto femenino que tiene un húmero de 30 centímetros. Encuentre la altura de la mujer cuando murió. 159.2 cm (b) La estatura de una persona disminuirá típicamente en 0.06 centímetros por año después de los 30 años. Se encuentra el esqueleto completo de un hombre. El húmero mide 34 centímetros y la estatura del hombre era de 174 centímetros. Determine su edad aproximada cuando murió. 57 y Un cohete de juguete se lanza verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, como se ilustra en la figura 1. Si su velocidad inicial es 120 ft/s y la única fuerza que actúa sobre él es la gravedad, entonces la altura h del cohete (en pies) sobre el suelo después de t segundos está dada por h  16t 2  120t. Algunos valores de h para los primeros 7 segundos de vuelo aparecen en la tabla siguiente. t (s) 0 h (ft) 0 1 2 104 176 3 4 216 224 5 6 7 200 144 56 2.3 Ecuaciones cuadráticas 81 Vemos de la tabla que, cuando ascendía, el cohete estaba 180 pies sobre el suelo en algún momento entre t 2 y t  3. Cuando descendía, el cohete estaba 180 pies sobre el suelo en algún momento entre t  5 y t  6. Para hallar los valores exactos de t para los cuales h  180 pies, debemos resolver la ecuación Figura 1 180  16t 2  120t, o bien h 16t 2  120t  180  0. Como se indica en la tabla siguiente, una ecuación de este tipo se denomina ecuación cuadrática en t. Después de desarrollar una fórmula para resolver ecuaciones como ésta, regresaremos a este problema en el ejemplo 13 y hallaremos los tiempos exactos en los cuales el cohete estaba 180 pies sobre el suelo. Terminología Definición Ejemplos Ecuación cuadrática en x Una ecuación que puede escribirse en la forma ax2  bx  c  0, donde a 苷 0 4x 2  8  11x x3  x  5 4x  x 2 Para que podamos resolver muchos tipos de ecuaciones, haremos uso del siguiente teorema. Teorema del factor cero Si p y q son expresiones algebraicas, entonces pq  0 si y sólo si p0 o q  0. El teorema del factor cero se puede extender a cualquier número de expresiones algebraicas, es decir, pqr  0 si y sólo si p0 o q0 o r  0, y así sucesivamente. Se deduce que si ax2  bx  c se pueden escribir como un producto de dos polinomios de primer grado, entonces se pueden hallar soluciones al igualar a 0 cada uno de los factores, como se ilustra en los siguientes dos ejemplos. Esta técnica se conoce como método de factorización. EJEMPLO 1 Resolución de una ecuación por factorización Resuelva la ecuación 3x2  10  x. 82 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Para usar el método de factorización, es esencial que sólo el número 0 aparezca en un lado de la ecuación. Así, procedemos como sigue: SOLUCIÓN 3x 2  10  x 3x 2  x  10  0 3x  5x  2  0 3x  5  0, x  2  0 x  35 , x  2 enunciado sumar x  10 factorizar teorema del factor cero despejar x Por lo tanto, las soluciones de la ecuación dada son 35 y 2. EJEMPLO 2 L Resolución de una ecuación por factorización Resuelva la ecuación x2  16  8x. SOLUCIÓN Procedemos como en el ejemplo 1: x 2  16  8x x  8x  16  0 2 x  4x  4  0 x  4  0, x  4  0 x  4, x4 enunciado restar 8x factorizar teorema del factor cero despejar x Por tanto, la ecuación cuadrática dada tiene una solución, 4. L Como x  4 aparece como factor dos veces en la solución previa, a 4 lo llamamos raíz doble o raíz de multiplicidad 2 de la ecuación x2  16  8x. Si una ecuación cuadrática tiene la forma x2  d para algún número d 0, entonces x2  d  0 o, lo que es equivalente,  x  2d  x  2d   0. Al igualar a cero cada factor nos da las soluciones  2d y 2d. Con frecuencia usamos el símbolo 2d (más o menos 2d) para representar 2d y  2d. Entonces, para d 0, hemos demostrado el siguiente resultado. (El caso d 0 requiere el sistema de números complejos que se estudia en la Sección 2.4.) Una ecuación cuadrática especial Si x 2  d, entonces x  2d. Comentario sobre la notación: Es práctica común que una variable represente más de un valor, como en x  3. Una notación más descriptiva es x1,2  3, lo que implica que x1  3 y x2  3. El proceso de resolver x 2  d como se indica en la caja precedente se conoce como tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Nótese que 2.3 Ecuaciones cuadráticas 83 si d > 0 obtenemos una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada negativa, no sólo la raíz cuadrada principal definida en la sección 1.2. EJEMPLO 3 Resolución de ecuación de la forma x 2  d Resuelva las ecuaciones: (a) x 2  5 (b) x  32  5 SOLUCIÓN (a) x2  5 x  25 enunciado tome la raíz cuadrada Entonces, las soluciones son 25 y  25. x  32  5 x  3  25 x  3  25 (b) enunciado tome la raíz cuadrada reste 3 Entonces, las soluciones son 3  25 y 3  25 . L En el trabajo que sigue sustituiremos una expresión de la forma x2  kx por (x  d)2, donde k y d son números reales. Este procedimiento, llamado completar el cuadrado para x2  kx, exige sumar k22, como se describe en la caja siguiente. (El mismo procedimiento se usa para x2  kx.) Completar el cuadrado Para completar el cuadrado para x 2  kx o x 2  kx, sumamos es, sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. (1) x 2  kx  (2) x 2  kx  EJEMPLO 4  k 2 ; esto 2       k 2 2 k 2 2 k 2 2  x k 2 2  x Completar el cuadrado Determine el valor o valores de d que completen el cuadrado para cada expresión. Escriba el trinomio y el cuadrado del binomio que representa. (a) x 2  3x  d (b) x 2  dx  64 SOLUCIÓN (a) El cuadrado de la mitad del coeficiente de x es   23   49. Así, d  49 y 2 x 2  3x  94   x  23  . 2 (continúa) 84 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES (b) Si x  c2  x 2  dx  64, entonces x 2  2cx  c 2  x 2  dx  64, de modo que c2 debe ser igual a 64 y 2c debe ser igual a d. Por tanto, c debe ser igual a 8 o 8 y, como d  2c, d podría ser 16 o 16. Entonces tenemos x 2  16x  64  x  82 o x 2  16x  64  x  82. L En el siguiente ejemplo resolvemos una ecuación cuadrática completando cuadrados. EJEMPLO 5 Resolución de una ecuación cuadrática al completar el cuadrado Resuelva la ecuación x 2  5x  3  0. S O L U C I Ó N Es conveniente primero reescribir la ecuación para que los únicos términos que contengan x se encuentren en el lado izquierdo, como sigue: x 2  5x  3  0 x 2  5x  3 2 x 2  5x   52   3  enunciado reste 3  5 2 2 completar el cuadrado, 5 2 sumando  2  a ambos lados  x  25 2  134 ecuación equivalente x  52  13 4 x tome la raíz cuadrada 5 213 5  213   2 2 2 5 sumar 2 Entonces, las soluciones de la ecuación son  5  213 2  0.7. 5   213 2  4.3 y L En el ejemplo 5, resolvimos una ecuación cuadrática de la forma ax 2  bx  c  0 con a  1. Si a 苷 1, podemos resolver la ecuación cuadrática al sumar un paso al procedimiento empleado en el ejemplo precedente. Después de reescribir la ecuación para que sólo términos con x se encuentren en el lado izquierdo, ax 2  bx  c, dividimos ambos lados entre a, obteniendo x2  b c x . a a  b 2 a ambos lados. Esta téc2a nica se usa en la prueba de la siguiente e importante fórmula. Entonces completamos el cuadrado al sumar Fórmula cuadrática Si a 苷 0, las raíces de ax 2  bx  c  0 están dadas por x b  2b2  4ac . 2a 2.3 Ecuaciones cuadráticas La fórmula cuadrática nos da dos soluciones de la ecuación ax 2  bx  c  0. Supondremos que b2  4ac 0 de modo que 2b  4ac es un número real. (El caso en que b2  4ac < 0 se estudiará en la siguiente sección.) continuemos como sigue: DEMOSTRACIÓN 2 ax 2  bx  c  0 ax 2  bx  c b c x2  x   a a Que son x  x1, x2, donde b  2b2  4ac x1  2a y b  2b2  4ac x2  . 2a 85 x2  enunciado reste c divida entre a     b b x a 2a 2 b 2a 2 x x   b 2a 2  c a complete el cuadrado b2  4ac 4a2 b2  4ac 4a2 b  2a x ecuación equivalente b  2a b2  4ac 4a2 tome la raíz cuadrada reste b 2a Podemos escribir el radical de la última ecuación como  b2  4ac 2b2  4ac 2b2  4ac     . 4a2 2a 22a2 Como 2a  2a si a casos x 0 o 2a  2a si a 0, vemos que en todos los b 2b2  4ac b  2b2  4ac   . 2a 2a 2a L Nótese que si la fórmula cuadrática se ejecuta en forma apropiada, no es necesario comprobar las soluciones. El número b2  4ac bajo el signo del radical de la fórmula cuadrática se llama discriminante de la ecuación cuadrática. El discriminante se puede usar para determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación, como en la tabla siguiente. Valor del discriminante b2 ⴚ 4ac Valor positivo 0 Valor negativo Naturaleza de las raíces de ax 2 ⴙ bx ⴙ c ⴝ 0 Dos raíces reales y desiguales Una raíz de multiplicidad 2 No hay raíz real El discriminante en los dos ejemplos siguientes es positivo. En el ejemplo 8 el discriminante es 0. 86 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Uso de la fórmula cuadrática EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación 4x 2  x  3  0 Sea a  4, b  1, y c  3 en la fórmula cuadrática: SOLUCIÓN x 1  212  443 24 1  249 8 1  7  8 x b  2b2  4ac 2a simplifique el discriminante  249  7 Por lo tanto, las soluciones son x 1  7 3  8 4 y x 1  7  1. 8 L El ejemplo 6 también se puede resolver por factorización. Si escribimos (4x  3)(x  1)  0 e igualamos a cero cada factor tendremos x  34 y x  1. EJEMPLO 7 Uso de la fórmula cuadrática Resuelva la ecuación 2x(3  x)  3. S O L U C I Ó N Para usar la fórmula cuadrática, debemos escribir la ecuación en la forma ax2  bx  c  0. Las siguientes ecuaciones son equivalentes: 2x3  x  3 6x  2x 2  3 2 2x  6x  3  0 2x 2  6x  3  0 enunciado multiplique factores reste 3 multiplique por 1 Ahora sea a  2, b  6, y c  3 en la fórmula cuadrática, obteniendo x 6  262  423 6  212 6  2 23   . 22 4 4 Nótese que 3  23 3 苷  23. 2 2 El 2 del denominador debe dividirse entre ambos términos del numerador, de modo que 3  23 3 1   23. 2 2 2 Como 2 es un factor del numerador y del denominador, podemos simplificar la última fracción como sigue: 2 3  23  3  23  22 2 Por lo tanto, las soluciones son 3  23  2.37 2 y 3  23  0.63. 2 L 2.3 Ecuaciones cuadráticas 87 El siguiente ejemplo ilustra el caso de una doble raíz. EJEMPLO 8 Uso de la fórmula cuadrática Resuelva la ecuación 9x2  30x  25  0. Sean a  9, b  30, y c  25 en la fórmula cuadrática: SOLUCIÓN x 30  2302  4925 29 30  2900  900 18 30  0 5   18 3 x b  2b2  4ac 2a simplifique  En consecuencia, la ecuación tiene una (doble) raíz: 35 . EJEMPLO 9 L Eliminando las fracciones de una ecuación Resuelva la ecuación 5 36 2x   2 x3 x3 x 9 S O L U C I Ó N Usando las directrices expresadas en la sección 2.1 para resolver una ecuación que contenga expresiones racionales, multiplicamos por el mcd, (x  3)(x  3), recordando que, por la directriz 2, los números (3 y 3) que hacen que el mcd sea cero no pueden ser soluciones. Entonces, procedemos como sigue: 5 36 2x   x  3 x  3 x2  9 2xx  3  5x  3  36 2x 2  6x  5x  15  36  0 2x 2  11x  51  0 2x  17x  3  0 2x  17  0, x30 x   17 2 , x3 enunciado multiplique por el mcd x  3x  3 multiplique factores y reste 36 simplifique factorice teorema del factor cero despeje x 17 Como x  3 no puede ser una solución, vemos que x   2 es la única solución de la ecuación dada. L El siguiente ejemplo muestra cómo se puede usar la fórmula cuadrática para ayudar a factorizar trinomios 88 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES EJEMPLO 10 Factorizar con la fórmula cuadrática Factorice el polinomio 21x2  13x  20. Resolvemos la ecuación cuadrática asociada, SOLUCIÓN 21x 2  13x  20  0, usando la fórmula cuadrática: x  Como (13)  2(13)2  4(21)(20) 2(21) 13  2169  1680 13  21849  42 42 x 13  43 42 x 13  43 5 13  43 4  ; x  42 3 42 7 Ahora escribimos la ecuación como producto de factores lineales, ambos de la forma (x  solución): x  43x   57   0 Elimine los denominadores al multiplicar ambos lados por 3  7: 3  7 x  34  x  75   0  3  7 3 x  34   7 x  75   0 (3x  4)(7x  5)  0 El lado izquierdo es la factorización deseada, es decir, 21x 2  13x  20  (3x  4)(7x  5). L En el ejemplo siguiente, usamos la fórmula cuadrática para resolver una ecuación que contiene más de una variable. E J E M P L O 11 Uso de la fórmula cuadrática De la ecuación y  x2  6x  5 despeje x, donde x SOLUCIÓN 3. La ecuación se puede escribir en la forma x 2  6x  5  y  0, de modo que es una ecuación cuadrática en x con coeficientes a  1, b  6, y c  5  y. Nótese que y es considerada como una constante puesto que estamos despejando la variable x. Ahora usamos la fórmula cuadrática: 2.3 Ecuaciones cuadráticas x 89 6  262  415  y b  2b2  4ac x 2a 21  6  216  4y 2 simplifique b2  4ac  6  24 24  y 2 factorice 24  6  2 24  y 2 24  2  3  24  y divida 2 en ambos términos Como 24  y es no negativa, 3  24  y es mayor o igual a 3 y 3  24  y es menor o igual a 3. Como la restricción dada es x 3, tenemos x  3  24  y. L Muchos problemas aplicados llevan a ecuaciones cuadráticas. Una se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 12 Una caja con base cuadrada y sin tapa ha de construirse a partir de una pieza cuadrada de hojalata cortando un cuadrado de 3 pulgadas en cada esquina y doblando los lados. Si la caja debe contener 48 pulg3, ¿de qué tamaño debe ser la pieza de hojalata a usarse? Figura 2 x 3 x6 Construcción de una caja rectangular 3 S O L U C I Ó N Empezamos por trazar la imagen de la figura 2, denotando con x la longitud desconocida del lado de la pieza de hojalata. A continuación, cada lado de la base de la caja tendrá una longitud x  3  3  x  6. Como el área de la base de la caja es (x  6)2 y la altura es 3, obtenemos 3 x6 3 x volumen de caja  3x  62. Como la caja debe contener 48 pulg3, 3x  62  48. Ahora despejamos x: x  62  16 3 x  6  4 x6 x6 x64 divida entre 3 tome la raíz cuadrada sume 6 (continúa) 90 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES En consecuencia, x  10 ⻬ o x  2. Si consultamos la figura 2, vemos que x  2 es inaceptable porque no hay caja posible en este caso, pero si empezamos con un cuadrado de 10 pulgadas de hojalata, cortamos esquinas de 3 pulgadas y doblamos, obtenemos una caja que tiene dimensiones de 4 pulgadas, 4 pulgadas y 3 pulgadas. La caja tiene el volumen deseado de 48 pulg3. Entonces, un cuadrado de 10 pulgadas es la respuesta al problema. Prueba L Como se ilustra en el ejemplo 12, aun cuando una ecuación se formule correctamente, es posible llegar a soluciones que no tienen sentido por la naturaleza física de un problema determinado. Estas soluciones deben desecharse. Por ejemplo, no aceptaríamos la respuesta 7 años para la edad de una persona o 250 por el número de automóviles en un lote de estacionamiento. En el siguiente ejemplo resolvemos el problema que vimos al principio de esta sección. EJEMPLO 13 Hallar la altura de un cohete de juguete La altura h sobre el suelo (en pies) de un cohete de juguete, t segundos después que es lanzado, está dada por h  16t 2  120t. ¿Cuándo estará el cohete a 180 pies sobre el suelo? SOLUCIÓN Usando h  16t 2  120t, obtenemos lo siguiente: 180  16t 2  120t 16t 2  120t  180  0 4t2  30t  45  0 Nótese que la ecuación es cuadrática en t, de modo que de la fórmula cuadrática se despeja t. sea h  180 sume 16t 2  120t divida entre 4 Aplicando la fórmula cuadrática con a  4, b  30 y c  45 nos da t  30  2302  4445 24 30  2180 30  6 25 15  3 25   . 8 8 4 Por lo tanto, el cohete está a 180 pies sobre el suelo en los tiempos siguientes: t 15  3 25  2.07 s 4 t 15  3 25  5.43 s 4 L 91 2.3 Ecuaciones cuadráticas 2.3 Ejercicios Ejer. 1-14: Resuelva la ecuación por factorización. 1 6x 2  x  12  0  23 , 2 4x 2  x  14  0 4 3 2 2, 169 4 26 (a) x 2  13x  d (b) x 2  6x  d 9 (c) x 2  dx  25 10 (d) x 2  dx  81 4 9 7 4 2 3 15x  12  8x  56 , 23 4 15x  14  29x  52 , 73 5 2x4x  15  27  29 , 6 x3x  10  77 7, 113 Ejer. 27-30: Resuelva completando el cuadrado. (Nota: Vea la exposición después del ejemplo 5 como ayuda para resolver los ejercicios 29 y 30.) 8 48x 2  12x  90  0 27 x 2  6x  7  0 28 x 2  8x  11  0 29 4x 2  12x  11  0 30 4x 2  20x  13  0 3 4 7 75x 2  35x  10  0  23 ,  32 , 15 5 4 9 12x 2  60x  75  0  25 10 4x 2  72x  324  0 9 3 2 2x 5 18 11 1  4 2 x3 x x  3x 2 5x 3 6 12  2 2 x2 x x  2x  25  23  25 1 31 6x 2  x  2  2 , 2 3 34 x 2  6x  3  0 35 2x2  3x  4  0 36 3x 2  5x  1  0 3 4 37 Ejer. 15-16: Determine si las dos ecuaciones son equivalentes. (b) x  29, x  3 Yes No, 4 is not a solution of x  4. (b) x  264, x  8 Yes No, 5 is not a solution of x  5. Ejer. 17-24: Resuelva la ecuación usando la ecuación cuadrática especial de la página 82. 2 32 5x 2  13x  6 3, 5 33 x 2  4x  2  0 2  22 3x 1 4 14   2 1 x2 x2 x 4 3 16 (a) x 2  25, x  5 4  25 Ejer. 31-44: Resuelva usando la fórmula cuadrática. 1 7 5x 4 90 13   2  34 5 x3 x3 x 9 15 (a) x 2  16, x  4 3  22  41 241 3 2 2z 4 3 3  2 23  4z  1  0 1 3  222 5 10 20 39 2  w w 5 2  21 215 41 4x  81  36x 2 9 2 5x  1 43 2 x 9 No real solutions  65  61 213 5 38 3 s2  3s  1  0 1 109  10 221 40 x2 x1  3x  2 2x  3 3 2  21 213 42 24x  9  16x 2  43 1 4 44 7 x 2  1  7 x No real solutions 17 x 2  169 13 18 x 2  361 19 Ejer. 45-48: Use la fórmula cuadrática para factorizar las expresiones. 19 25x 2  9  53 20 16x 2  49  47 45 x 2  x  30 46 x 2  7x 21 x  3  17 22 x  4  31 47 12x 2  16x  3 48 15x 2  34x  16 2 2 3  217 4  231 23 4x  22  11 24 9x  12  7 1  31 27 2  12 211 Ejer. 25-26: Determine el valor o valores de d que completen el cuadrado para la expresión. 25 (a) x 2  9x  d 81 4 (c) x 2  dx  36 12 (b) x 2  8x  d 16 (d) x 2  dx  49 4 7 (x  6)(x  5) (2x  3)(6x  1) x(x  7) (5x  2)(3x  8) Ejer. 49-50: Use la fórmula cuadrática para despejar (a) x en términos de y y (b) y en términos de x. 49 4x 2  4xy  1  y 2  0 50 2x 2  xy  3y 2  1 Ejer. 51-54: Despeje la variable especificada. 1 51 K  2 mv 2 despeje v (energía cinétrica) v  2K m 92 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 52 F  g d mM despeje d d2 (ley de Newton de gravitación) gmM F 53 A  2rr  h despeje r (área superficial de un cilindro cerrado) h  2 2h2  2A r 2 54 s  21 gt 2  v 0 t despeje t (distancia que cae un objeto) 58 Construcción de una caja rectangular Consulte el ejemplo 12. Una caja sin tapa ha de construirse al cortar cuadrados de 3 pulgadas de las esquinas de una lámina rectangular de hojalata cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Una lámina de qué medidas producirá una caja que tenga un volumen de 60 pulg3? 8 in. by 16 in. 59 Tiro de una pelota de beisbol Una pelota de beisbol es lanzada directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 64 ft/s. El número de pies s sobre el suelo después de t segundos está dado por la ecuación s  16t2 64t. (a) ¿Cuándo estará la pelota a 48 pies sobre el suelo? After 1 sec and after 3 sec v 0  2v20  2gs t g 55 Velocidad de un gas Cuando un gas caliente sale de una chimenea cilíndrica, su velocidad varía en toda una sección circular de la chimenea, con el gas cerca del centro de la sección transversal teniendo una mayor velocidad que el gas cerca del perímetro. Este fenómeno puede ser descrito por la fórmula    V  V máx 1  r r0 2 , (b) ¿Cuándo regresará al suelo? After 4 sec 60 Distancia de frenado La distancia que un auto recorre entre el momento en que el conductor toma la decisión de pisar el freno y el tiempo en que el auto en realidad se detiene es la distancia de frenado. Para un cierto auto que corre a v mi/h, la distancia de frenado d (en pies) está dada por d  v  (v2/20). (a) Encuentre la distancia de frenado cuando v es 55 mi/h. donde Vmáx es la velocidad máxima del gas, r0 es el radio de la chimenea y V es la velocidad del gas a una distancia r del centro de la sección transversal circular. De esta fórmula, despeje r. r  r 0 21  VV max  (b) Si un conductor decide frenar a 120 pies de un señalamiento de parada, ¿qué tan rápido puede ir el auto y todavía detenerse en el momento en que llegue al señalamiento? 56 Densidad de la atmósfera Para altitudes h de hasta 10,000 metros, la densidad D de la atmósfera de la Tierra (en kg/m3) se puede aproximar con la fórmula 61 Temperatura de agua hirviendo La temperatura T (en C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación h (en metros sobre el nivel del mar) por la fórmula D  1.225  1.12  104h  3.24  109h2. h  1000100  T  580100  T2 Aproxime la altitud si la densidad de la atmósfera es 0.74 kg/m3. 5076 m 57 Dimensiones de una lata Un fabricante de latas desea construir una lata cilíndrica circular recta de altura 20 centímetros y capacidad 3000 cm3 (vea la figura). Encuentre el radio interior r de la lata. 2150  6.9 cm Ejercicio 57 para 95 T 100. (a) ¿A qué elevación hierve el agua a una temperatura de 98C? (b) La altura del Monte Everest es aproximadamente 8840 metros. Estime la temperatura a la que el agua hierve en la cima de esta montaña. (Sugerencia: Use la fórmula cuadrática con x  100  T.) 62 Ley de Coulomb Una partícula de carga 1 está colocada en una recta de coordenadas en x  2 y una partícula de carga 2 está colocada en x  2, como se ve en la figura. Si una partícula de carga 1 está colocada en una posición x entre 2 y 2, la ley de Coulomb en teoría eléctrica expresa 20 cm r 2.3 Ecuaciones cuadráticas que la fuerza neta F que actúa sobre esta partícula está dada por F 93 Ejercicio 67 k 2k  x  22 2  x2 A P para alguna constante k 0. Determine la posición en la que la fuerza neta es cero. B Ejercicio 62 5 mi 1 1 2 2 x 2 63 Dimensiones de una banqueta Un terreno rectangular que tiene dimensiones de 26 por 30 pies está rodeado por una banqueta de ancho uniforme. Si el área de la banqueta es de 240 ft2, ¿cuál es su ancho? 64 Diseño de un cartel Una hoja de papel de 24 por 36 pulgadas se va a usar para un cartel, con el lado más corto en la parte inferior. Los márgenes de los lados y la parte superior van a tener el mismo ancho y el margen inferior va a tener el doble de ancho que los otros márgenes. Encuentre el ancho de los márgenes si el área impresa va a ser de 661.5 pulg2. 68 Expansión de una ciudad Los límites de una ciudad son de forma circular con un diámetro de 10 millas. En la última década, la ciudad ha crecido en superficie en aproximadamente 16p millas cuadradas (unas 50 mi2). Suponiendo que la ciudad siempre tiene forma circular, encuentre el cambio correspondiente en distancia del centro de la ciudad a su límite. 69 Distancia entre aviones Un avión que vuela al norte a 200 mi/h pasó sobre un punto en tierra a las 2:00 p.m. Otro avión a la misma altitud pasó sobre el punto a las 2:30 p.m., volando al este a 400 mi/h (vea la figura). (a) Si t denota el tiempo en horas después de las 2:30 p.m., exprese la distancia d entre los aviones en términos de t. (b) ¿A qué hora después de las 2:30 p.m. estaban los aviones a 500 millas entre sí? Ejercicio 69 65 Instalación de una cerca en un jardín Un jardín cuadrado se va a cultivar y luego a cerrar con una cerca. Si ésta cuesta $1 por pie y el costo de preparar el suelo es de $0.50 por ft2, determine el tamaño del jardín que pueda encerrarse a un costo de $120. 66 Instalación de una cerca en un lugar Un agricultor piensa poner cerca a un lugar rectangular, usando parte de su granero en un lado y cerca para los otros tres lados. Si el lado paralelo al granero va a tener el doble de largo que un lado adyacente y el área del lugar va a ser de 128 ft2, ¿cuántos pies de cerca debe comprar? 67 Planeación de una autopista Los límites de una ciudad son de forma circular de 5 millas de diámetro. Como se ve en la figura, una carretera recta pasa por el centro de la ciudad de A a B. El departamento de carreteras está pensando construir una autopista de 6 millas de largo del punto A al P en las afueras y luego al B. Encuentre la distancia de A a P. (Sugerencia: APB es un triángulo recto.) 70 Alcance de un radio de comunicaciones Dos topógrafos con radios de comunicación salen del mismo punto a las 9:00 a.m., uno de ellos camina al sur a 4 mi/h y el otro al oeste a 3 mi/h. ¿Cuánto tiempo se pueden comunicar entre sí si cada radio tiene un alcance máximo de 2 millas? 94 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 71 Construcción de una caja para pizza Una caja para pizza, con base cuadrada, se va a construir a partir de una hoja rectangular de cartón al cortar seis cuadrados de 1 pulgada de las esquinas y las secciones medias y doblando los lados (vea la figura). Si el área de la base debe ser de 144 pulg2, ¿de qué tamaño debe ser la pieza de cartón a usarse? Ejercicio 71 1 1 1 1 78 Dimensiones de una pastilla de vitaminas La rapidez a la que una pastilla de vitamina C empieza a disolverse depende de su área superficial. Una marca de pastillas mide 2 centímetros de largo y tiene forma de cilindro con una semiesfera de 0.5 cm de diámetro unida en cada uno de sus extremos, como se ve en la figura. Una segunda marca de pastilla se va a fabricar en forma de cilindro circular recto de 0.5 cm de altura. (a) Encuentre el diámetro de la segunda pastilla para que su área superficial sea igual a la de la primera pastilla. (b) Encuentre el volumen de cada pastilla. 1 1 Ejercicio 78 2 cm 1 1 0.5 cm 1 1 72 Construcción de marcos de alambre Dos marcos cuadrados se van a construir de un alambre de 100 pulgadas de largo. Si el área encerrada por un marco debe ser de la mitad del área encerrada por el otro, encuentre las dimensiones de cada marco. (No considere el grueso del alambre.) 73 Rapidez de navegar en canoa La rapidez de la corriente en un arroyo es de 5 mi/h. A un hombre que viaja en canoa le lleva 30 minutos más remar 1.2 millas corriente arriba que remar la misma distancia corriente abajo. ¿Cuál es la rapidez del hombre en aguas en calma? 74 Altura de un acantilado Cuando una piedra se tira desde un acantilado hacia el mar, recorre aproximadamente 16t2 pies en t segundos. Si su caída en el agua se escucha 4 segundos más tarde y la velocidad del sonido es de 1100 pies/s, aproxime la altura del acantilado. 75 Descuento por cantidad Una compañía vende zapatos para correr a un distribuidor en $40 el par si éste pide menos de 50 pares; si pide 50 pares o más (hasta 600), el precio por par se reduce a un ritmo de $0.04 veces el número pedido. ¿Cuántos pares puede comprar el distribuidor por $8400? 76 Precio de un reproductor de CD Cuando una popular marca de reproductores de CD tiene un precio de $300 por unidad, una tienda vende 15 unidades por semana. No obstante, cada vez que el precio se reduce en $10 las ventas aumentan en 2 por semana. ¿Qué precio de venta resultará en ingresos semanales de $7000? 77 Dimensiones de un barril de petróleo Se va a fabricar un barril de petróleo, con forma de un cilindro circular recto cerrado de 4 pies de altura, de modo que el área superficial total sea de 10p ft2. Encuentre el diámetro del barril. Ejer. 79-80: Durante una explosión nuclear se produce una bola de fuego con volumen máximo V 0. Para temperaturas abajo de 2000 K y dada una fuerza explosiva, el volumen V de la bola de fuego t segundos después de la explosión se puede estimar usando la fórmula dada. (Nótese que el kelvin se abrevia como K, no K.) Aproxime t cuando V sea 95% de V 0. 79 VV 0  0.8197  0.007752t  0.0000281t 2 15.89 sec (explosión de 20 kilotones) 80 VV 0  0.831  0.00598t  0.0000919t 2 15.98 sec (explosión de 10 megatones) Ejer. 81-82: Cuando se realizan cálculos en una calculadora, la fórmula cuadrática no siempre dará resultados precisos si b2 es grande en comparación con ac, porque una de las raíces será cercana a cero y difícil de aproximar. (a) Use la fórmula cuadrática para aproximar las raíces de la ecuación dada. (b) Para obtener una mejor aproximación para la raíz cercana a cero, racionalice el numerador para cambiar xⴝ ⴚb ⴞ 2b2 ⴚ 4ac 2a a xⴝ 2c ⴚb ⴟ 2b2 ⴚ 4ac y use la segunda fórmula. 81 x 2  4,500,000x  0.96  0 0; 4,500,000 82 x 2  73,000,000x  2.01  0 2.13  107 , 2.4 Números complejos 83 Relaciones temperatura-latitud La tabla siguiente contiene promedios de temperaturas anuales para los hemisferios norte y sur a varias latitudes. Latitud Hemisf. N. Hemisf. S. 85° 8°F 5°F 75° 13°F 10°F 65° 30°F 27°F 55° 41°F 42°F 45° 57°F 53°F 35° 68°F 65°F 25° 78°F 73°F 15° 80°F 78°F 5° 79°F 79°F 2.4 Números complejos 95 (a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones predice en forma más precisa el promedio de temperatura anual en el Hemisferio Sur a una latitud L? (1) T 1  1.09L  96.01 (2) T 2  0.011L2  0.126L  81.45 (b) Aproxime el promedio de temperatura anual en el Hemisferio Sur a 50° grados de latitud. Se requiere de números complejos para hallar soluciones de ecuaciones que no se pueden resolver usando sólo el conjunto ⺢ de números reales. La tabla siguiente ilustra varias ecuaciones cuadráticas sencillas y los tipos de números necesarios para soluciones. Ecuación 2 x x2 x2 x2 9  94 5  9 Soluciones 3, 3 3 3 2 , 2 25,  25 ? Tipo de números requeridos Enteros Números racionales Números irracionales Números complejos Las soluciones de las primeras tres ecuaciones de la tabla están en ⺢, pero, como los cuadrados de números reales nunca son negativos, ⺢ no contiene las soluciones de x 2  9. Para resolver esta ecuación, necesitamos el sistema de números complejos ⺓, que contiene tanto a ⺢ como números cuyos cuadrados sean negativos. Empecemos por introducir la unidad imaginaria, denotada por i, que tiene las siguientes propiedades. Propiedades de i i  21, i 2  1 96 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Debido a que su cuadrado es negativo, la letra i no representa un número real. Es una nueva entidad matemática que hará posible que obtengamos ⺓. Puesto que i, junto con ⺢, debe estar contenida en ⺓, debemos considerar productos de la forma bi para un número real b y también expresiones de la forma a  bi para números reales a y b. La tabla siguiente da definiciones que usaremos. Terminología Definición Número complejo Número imaginario Número imaginario puro Igualdad a  bi, donde a y b son números reales e i2  1 a  bi con b 苷 0 bi con b 苷 0 a  bi  c  di si y sólo si a  c y b  d Suma Producto a  bi  c  di  a  c  b  di a  bi c  di  ac  bd   ad  bci Ejemplo(s) 3, 2  i, 2i 3  2i, 4i 4i, 23 i, i x  yi  3  4i si y sólo si x3yy4 vea ejemplo 1(a) vea ejemplo 1(b) Nótese que los números imaginarios puros son un subconjunto de los números imaginarios y los números imaginarios son un subconjunto de los números complejos. Usamos la frase número complejo no real indistintamente con número imaginario. No es necesario aprender de memoria las definiciones de adición y multiplicación de números complejos dadas en la tabla precedente. En lugar de eso, podemos tratar todos los símbolos como que tienen propiedades de números reales, con exactamente una excepción: Sustituimos i2 por 1. Así, para el producto a  bic  di simplemente usamos las leyes distributivas y el hecho de que bidi  bdi 2  bd1  bd. EJEMPLO 1 Adición y multiplicación de números complejos Exprese en la forma a  bi, donde a y b son números reales: (a) 3  4i  2  5i (b) 3  4i2  5i SOLUCIÓN (a) 3  4i  2  5i  3  2  4  5i  5  9i (b) 3  4i2  5i  3  4i2  3  4i5i  6  8i  15i  20i2  6  23i  201  14  23i L El conjunto ⺢ de números reales puede identificarse con el conjunto de números complejos de la forma a  0i. También es cómodo para denotar el número complejo 0  i por bi. Así, a  0i  0  bi  a  0  0  bi  a  bi. En consecuencia, podemos considerar a  bi como la suma de dos números complejos a y bi (es decir, a  0i y 0  bi). Para el número complejo a  bi, decimos que a es la parte real y b es la parte imaginaria. 2.4 Números complejos EJEMPLO 2 97 Igualdad de números complejos Encuentre los valores de x y y, donde x y y son números reales: 2x  4  9i  8  3yi SOLUCIÓN Empezamos por igualar las partes reales y las partes imaginarias de cada lado de la ecuación: 2x  4  8 y 9  3y Como 2x  4  8, 2x  12 y x  6. Como 9  3y, y  3. Los valores de x y y que hacen iguales los números complejos son x6 y y  3. L Con números complejos, ahora podemos resolver una ecuación como x 2  9. Específicamente, como 3i3i  32i 2  91  9, vemos que una solución es 3i y otra es 3i. En la tabla siguiente definimos la diferencia de números complejos y multiplicación de un número complejo por un número real. Terminología Definición Diferencia a  bi  c  di  a  c  b  d i Multiplicación por un número real k ka  bi  ka  kbi Si nos piden escribir una expresión de la forma a  bi, la forma a  di es aceptable, porque a  di  a  di. EJEMPLO 3 Operaciones con números complejos Exprese en la forma a  bi, donde a y b son números reales: (a) 42  5i  3  4i (b) 4  3i2  i (c) i3  2i2 (d) i 51 (e) i13 SOLUCIÓN (a) (b) (c) (d) 42  5i  3  4i  8  20i  3  4i  5  24i 4  3i2  i  8  6i  4i  3i 2  11  2i i3  2i2  i9  12i  4i 2  i5  12i  5i  12i 2  12  5i Tomando potencias sucesivas de i, obtenemos i 1  i, i 2  1, i 3  i, i 4  1, y entonces el ciclo se inicia otra vez i5  i, i6  i2  1, y así sucesivamente. En particular, i 51  i 48i 3  i 412i 3  112i 3  1i  i. (continúa) 98 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES (e) En general, multiplique ia por i b, donde a b a  3 y b es un múltiplo de 4 (para que i b  1). Para i13, escoja b  16. i13  i16  i 3  i L El siguiente concepto tiene importantes usos al trabajar con números complejos. Si z  a  bi es un número complejo, entonces su conjugado, denotado por z, es a  bi. Definición del conjugado de un número complejo Como a  bi  a  bi, se deduce que el conjugado de a  bi es a  bi  a  bi. Por lo tanto, a  bi y a  bi son conjugados uno del otro. Algunas propiedades de conjugados se dan en los ejercicios 57-62. ILUSTRACIÓN Conjugados Número complejo Conjugado 5  7i 5  7i 4i 3 5  7i 5  7i 4i 3 TI-83/4 Plus Operaciones con números complejos TI-86 Primero, cambie al modo complejo. 䉮 (6 veces) MODE ENTER 䉯 La i está en la tecla del punto decimal. ( 4 (  3 2nd 5  2 i 5 2nd i 4 2nd i 51 MATH 䉯  7 2nd 䉯 i ) )  ENTER Se introducen números complejos en la forma (real, imaginaria). ( 4 ) ( ENTER 1 2 ENTER ( (  3 ENTER 0 2nd ) ) 5 , , 1 5 , ) 51 conj(F1) CPLX 7 ) ENTER ENTER , 4 2.4 Números complejos 99 0i En la TI-83/4 Plus, nótese que la segunda respuesta es equivalente a 0  i. Sabemos esto del ejemplo 3(d), donde vimos que la parte real de una potencia de i debe ser 0, 1 o 1. El lector debe estar alerta de estas pequeñas inconsistencias. Las siguientes dos propiedades son consecuencias de las definiciones de la suma y producto de números complejos. Propiedades de conjugados Ejemplos a  bi  a  bi  2a a  bi a  bi  a2  b2 4  3i  4  3i  4  4  2  4 4  3i 4  3i  42  3i2  42  32i 2  42  32 Nótese que la suma y el producto de un número complejo y su conjugado son números reales. Los conjugados son útiles para hallar el inverso multiplicativo de a  bi, 1a  bi o para simplificar el cociente de dos números complejos. Como se ilustra en el ejemplo siguiente, podemos considerar estos tipos de simplificaciones simplemente como racionalizar el denominador, puesto que estamos multiplicando el cociente por el conjugado del denominador dividido por sí mismo. EJEMPLO 4 Cocientes de números complejos Exprese en la forma a + bi, donde a y b son números reales: (a) 1 9  2i (b) 7i 3  5i SOLUCIÓN (a) 1 1 9  2i 9  2i 9 2      i 9  2i 9  2i 9  2i 81  4 85 85 (b) 7i 7  i 3  5i 21  35i  3i  5i2    3  5i 3  5i 3  5i 9  25  26  32i 13 16   i 34 17 17 L 100 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Si p es un número real positivo, entonces la ecuación x2  p tiene soluciones en ⺓. Una solución es 2p i, porque  2p i 2  2p 2i2  p1  p. Del mismo modo,  2p i también es una solución. La definición de 2r de la tabla siguiente está motivada por  2r i 2  r para r 0. Cuando use esta definición, tenga cuidado de no escribir 2ri cuando 2r i sea lo que se pretende. Terminología Raíz cuadrada principal 2 r por r 0 Definición Ejemplos 2r  2r i 29  29 i  3i 25  25 i 21  21 i  i TI-83/4 Plus Operaciones con números complejos TI-86 No olvide cambiar al modo complejo. ( ( 7 3 MATH 2nd 2  2nd  i 5 2nd 1 9 )  i ) ENTER ENTER ) ( 7 , ( 3 , 2nd ENTER )  5 ) ENTER MATH MORE 2nd 1 2 MISC(F5) Frac(F1) 9 ENTER ENTER El signo de radical debe usarse con precaución cuando el radicando sea negativo. Por ejemplo, la fórmula 2a 2b  2ab, que se cumple para números reales positivos, no es verdadera cuando a y b son negativos los dos, como se ve en seguida:  23 23  23 i  23 i    23 2i 2  31  3 Pero 233  29  3. Por tanto, 23 23 苷 233. 2.4 Números complejos 101 Si sólo uno de a o b es negativo, entonces 2a 2b  2ab. En general, no aplicaremos leyes de radicales si los radicandos son negativos. En lugar de ello, cambiaremos la forma de radicales antes de efectuar alguna operación, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 5 Trabajo con raíces cuadradas de números negativos Exprese en la forma a  bi, donde a y b son números reales:  5  29  1  24  SOLUCIÓN Primero usamos la definición 2r  2r i, y luego simplifi- camos:  5  29  1  24    5  29 i  1  24 i   5  3i1  2i  5  10i  3i  6i 2  5  13i  6  1  13i L En la sección 2.3 indicamos que si el discriminante b2  4ac de la ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0 es negativo, entonces no hay raíces reales de la ecuación. De hecho, las soluciones de la ecuación son dos números imaginarios. Además, las soluciones son conjugadas entre sí, como se ve en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 6 Una ecuación cuadrática con soluciones complejas Resuelva la ecuación 5x 2  2x  1  0. SOLUCIÓN Si aplicamos la fórmula cuadrática con a  5, b  2, y c  1, vemos que x  2  222  451 25 2  216 2  4i 1  2i 1 2      i. 10 10 5 5 5 Por tanto, las soluciones de la ecuación son  51  52 i y  51  52 i. EJEMPLO 7 L Una ecuación con soluciones complejas Resuelva la ecuación x 3  1  0. Diferencia de dos cubos: a  b  a  ba  ab  b  3 3 2 2 SOLUCIÓN Usando la fórmula de factorización de la diferencia de dos cubos con a  x y b  1, escribimos x 3  1  0 como x  1x 2  x  1  0. (continúa) 102 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Igualando a cero cada factor y resolviendo las ecuaciones resultantes, obtenemos las soluciones 1, 1  21  4 1  23 i  2 2 o bien, lo que es equivalente, 1,  1 23  i, 2 2  1 23  i. 2 2 Como el número 1 se denomina número real unitario y la ecuación dada puede escribirse como x 3  1, a estas tres soluciones se les llama raíces cúbicas de la unidad. L En la sección 1.3 mencionamos que x 2  1 es irreducible sobre los números reales pero, si factorizamos sobre los números complejos, entonces x 2  1 se puede factorizar como sigue: x 2  1  x  ix  i 2.4 Ejercicios Ejer. 1-34: Escriba la expresión en la forma a ⴙ bi, donde a y b son números reales. 1 5  2i  3  6i 2 5  7i  4  9i 3 7  6i  11  3i 4 3  8i  2  3i 5 3  5i2  7i 6 2  6i8  i 7 1  3i2  5i 8 8  2i7  3i 9 5  2i2 10 6  7i2 11 i3  4i2 12 i2  7i2 13 3  4i3  4i 14 4  9i4  9i 15 (a) i43 (b) i20 16 (a) i 92 (b) i33 17 (a) i73 (b) i46 18 (a) i66 (b) i55 19 3 2  4i 20 5 2  7i 21 1  7i 6  2i 22 2  9i 3  i 23 4  6i 2  7i 24 3  2i 5  2i 25 4  2i 5i 26 2  6i 3i 27 2  5i3 28 3  2i3 29  2  24  3  216  30  3  225  8  236  31 33 4  281 7  264 236 249 216 32 34 5  2121 1  225 225 216 281 Ejer. 35-38: Encuentre los valores de x y y, donde x y y son números reales. 35 4  x  2yi  x  2i 37 2x  y  16i  10  4yi 38 8  3x  yi  2x  4i 36 x  y  3i  7  yi 2.5 Otros tipos de ecuaciones Ejer. 39-56: Encuentre las soluciones de la ecuación. 53 4x 4  25x 2  36  0 54 27x 4  21x 2  4  0 39 x  6x  13  0 40 x  2x  26  0 41 x  4x  13  0 42 x  8x  17  0 43 x  5x  20  0 44 x  3x  6  0 45 4x  x  3  0 46 3x  x  5  0 57 z  w  z  w 58 z  w  z  w 47 x 3  125  0 48 x 3  27  0 59 z  w  z  w 60 zw  zw 2 2 2 2 2 55 x 3  3x 2  4x  0 2 56 8x 3  12x 2  2x  3  0 2 Ejer. 57-62: Verifique la propiedad. 2 49 27x 3  x  53 61 z  z si y sólo si z es real. 50 16x 4  x  44 62 z 2   z 2 51 x 4  256 103 52 x 4  81 2.5 Otros tipos de ecuaciones Las ecuaciones consideradas en secciones previas son inadecuadas para muchos problemas. Por ejemplo, en aplicaciones a veces es necesario considerar potencias x k con k 2. Algunas ecuaciones comprenden valores absolutos o radicales. En esta sección damos ejemplos de ecuaciones de estos tipos que se pueden resolver usando métodos elementales. EJEMPLO 1 Resolver una ecuación que contenga un valor absoluto Resuelva la ecuación x  5  3. SOLUCIÓN Si a y b son números reales con b 0, entonces a  b si y sólo si a  b o a  b. Por tanto, si x  5  3, entonces x53 o bien x  5  3. Despejar la x nos da x538 o bien x  5  3  2. Entonces, la ecuación dada tiene dos soluciones, 8 y 2. L Para una ecuación como 2 x  5  3  11, primero aislamos la expresión de valor absoluto al restar 3 y dividir entre 2 para obtener x5  11  3  4, 2 y luego continuamos como en el ejemplo 1. 104 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Si una ecuación está en forma factorizada con cero en un lado, entonces podemos obtener soluciones al igualar a cero cada factor. Por ejemplo, si p, q y r son expresiones en x y si pqr  0, entonces o bien p  0, q  0, o r  0. En el siguiente ejemplo factorizamos al agrupar términos. EJEMPLO 2 Resolver una ecuación usando agrupación Resuelva la ecuación x 3  2x 2  x  2  0. x 3  2x 2  x  2  0 x x  2  1x  2  0 x 2  1x  2  0 x  1x  1x  2  0 x  1  0, x  1  0, x  2  0 x  1, x  1, x  2 SOLUCIÓN 2 EJEMPLO 3 enunciado agrupar términos factorizar x  2 factorizar x 2  1 teorema del factor cero despejar x L Resolver una ecuación que contenga exponentes racionales Resuelva la ecuación x 3/2  x 1/2. SOLUCIÓN x 3/2  x 1/2 x  x 1/2  0 x 1/2x  1  0 x 1/2  0, x  1  0 x  0, x1 3/2 enunciado restar x1/2 factorizar x1/2 teorema del factor cero despejar x L En el ejemplo 3 hubiera sido incorrecto dividir ambos lados de la ecuación x 3/2  x1/2 por x1/2, obteniendo x  1, porque la solución x  0 se perdería. En general, evite dividir ambos lados de una ecuación entre una expresión que contenga variables; en cambio, siempre factorice. Si una ecuación contiene radicales o exponentes fraccionarios, con frecuencia elevamos ambos lados a una potencia positiva. Las soluciones de la nueva ecuación siempre contienen las soluciones de la ecuación dada. Por ejemplo, las soluciones de 2x  3  2x  6 son también soluciones de 2x  32   2x  6 2. Elevar ambos lados de una ecuación a una potencia impar puede introducir soluciones imaginarias. Por ejemplo, elevar al cubo ambos lados de x  1 nos da x 3  1, que es equivalente a x 3  1  0. Esta ecuación tiene tres soluciones, de las cuales dos son imaginarias (vea el ejemplo 7 de la sección 2.4). En algunos casos la nueva ecuación tiene más soluciones que la ecuación dada. Para ilustrar, si nos dan la ecuación x  3 y elevamos al cuadrado ambos lados, obtenemos x 2  9. Nótese que la ecuación dada x  3 tiene sólo una solución, 3, pero la nueva ecuación x 2  9 tiene dos soluciones, 3 y 3. Cualquier solución de la nueva ecuación que no sea una solución de la ecuación dada es una solución extraña. En vista que pueden presentarse soluciones extrañas, es absolutamente esencial comprobar todas las soluciones obtenidas después de elevar ambos lados de una ecuación a una potencia par. Estas comprobaciones no son necesarias si ambos lados se elevan a una potencia impar, porque en este caso las soluciones extrañas (números reales) no se introducen. 2.5 Otros tipos de ecuaciones EJEMPLO 4 105 Resolver una ecuación que contenga un radical 3 2 Resuelva la ecuación 2 x  1  2. SOLUCIÓN 3 2x 2  1  2  2x 3  1  2 x2  1  8 x2  9 x  3 3 2 3 enunciado elevar al cubo ambos lados n propiedad de 2 sumar 1 tomar la raíz cuadrada Entonces, la ecuación dada tiene dos soluciones, 3 y 3. Excepto para detectar errores algebraicos, una prueba es innecesaria porque elevamos ambos lados a una potencia impar. L En la última solución empleamos la frase elevar al cubo ambos lados de 3 2 x 2  1  2. En general, para la ecuación x m/n  a, donde x es un número real, elevamos ambos lados de la potencia nm (el recíproco de mn) para despejar x. Si m es impar, obtenemos x  an/m, pero si m es par, tenemos x  a n/m. Si n es par, pueden presentarse soluciones extrañas, por ejemplo si 2 3 x 3/2  8, entonces x  82/3   2 8   22  4. No obstante, 4 no 3/2 3/2 es una solución de x  8 porque 4  8, no 8. ILUSTRACIÓN Resolviendo x m/n ⴝ a, m impar, x real Ecuación x 3/1  64 x 3/2  64 ILUSTRACIÓN Solución x  64 1/3 3 2 64  4 3 64 2  42  16 x  642/3  2 Resolviendo x m/n ⴝ a, m par, x real Ecuación Solución x 4/1  16 x 2/3  16 4 x  161/4   2 16  2 3/2 x  16   216 3  43  64 En los siguientes dos ejemplos, antes que elevemos ambos lados de la ecuación a una potencia, aislamos un radical, es decir, consideramos una ecuación equivalente en la que sólo aparece el radical en un lado. EJEMPLO 5 Resolviendo una ecuación que contiene un radical Resuelva la ecuación 3  23x  1  x. SOLUCIÓN 3  23x  1  x 23x  1  x  3  23x  1 2  x  32 3x  1  x 2  6x  9 x  9x  8  0 x  1x  8  0 x  1  0, x  8  0 2 x  1, x8 enunciado aísle el radical eleve al cuadrado ambos lados simplifique reste 3x  1 factorice teorema del factor cero despeje x (continúa) 106 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Elevamos ambos lados a una potencia par, de modo que se requieren pruebas. ⻬ Prueba x  1 Lado izquierdo: 3  231  1  3  24  3  2  5 Lado derecho: 1 Como 5 苷 1, x  1 no es una solución. ⻬ Prueba x  8 Lado izquierdo: 3  238  1  3  225  3  5  8 Lado derecho: 8 Como 8  8 es un enunciado verdadero, x  8 es una solución. Por lo tanto, la ecuación dada tiene una solución, x  8 L Para resolver una ecuación que contenga varios radicales, puede ser necesario elevar ambos lados a potencias dos veces o más, como en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 6 Resolviendo una ecuación que contenga radicales Resuelva la ecuación 22x  3  2x  7  2  0. SOLUCIÓN 22x  3  2x  7  2  0 22x  3  2x  7  2 enunciado aísle 22x  3 2x  3  x  7  4 2x  7  4 eleve al cuadrado ambos lados x  14  4 2x  7 aísle el término radical x 2  28x  196  16x  7 x 2  28x  196  16x  112 x 2  44x  84  0 x  42x  2  0 x  42  0, x  2  0 x  42, x2 eleve al cuadrado ambos lados multiplique factores reste 16x  112 factorice teorema del factor cero despeje x Se requiere prueba, porque ambos lados se elevaron a una potencia par. ⻬ P r u e b a x  42 Lado izquierdo: 284  3  242  7  2  9  7  2  4 Lado derecho: 0 Como 4 苷 0, x  42 no es una solución. ⻬ Prueba x  2 Lado izquierdo: 24  3  22  7  2  1  3  2  0 Lado derecho: 0 Como 0  0 es un enunciado verdadero, x  2 es una solución. Por lo tanto, la ecuación dada tiene una solución, x  2. L 2.5 Otros tipos de ecuaciones 107 Una ecuación es de tipo cuadrático si se puede escribir en la forma au2  bu  c  0, donde a 苷 0 y u es una expresión con alguna variable. Si encontramos las soluciones en términos de u, entonces las soluciones de la ecuación dada se pueden obtener al consultar la forma específica de u. EJEMPLO 7 Resolviendo una ecuación de tipo cuadrático Resuelva la ecuación x 2/3  x 1/3  6  0. Como x2/3  x1/32, la forma de la ecuación sugiere que hagamos u  x , como en la segunda línea que sigue: SOLUCIÓN 1/3 x 2/3  x 1/3  6  0 u2  u  6  0 u  3u  2  0 u  3  0, u  2  0 u  3, u2 x 1/3  3, x 1/3  2 x  27, x8 enunciado sea u  x1/3 factorice teorema del factor cero despeje u u  x1/3 eleve al cubo ambos lados Una prueba es innecesaria porque no elevamos ambos lados a una potencia par. Por tanto, la ecuación dada tiene dos soluciones, 27 y 8. Un método alternativo es factorizar el lado izquierdo de la ecuación dada como sigue: x 2/3  x 1/3  6  x 1/3  3x 1/3  2 Al igualar a cero cada factor, obtenemos las soluciones. EJEMPLO 8 L Resolviendo una ecuación de tipo cuadrático Resuelva la ecuación x 4  3x 2  1  0. Como x 4  x 22, la forma de la ecuación sugiere que hagamos u  x , como en la segunda línea que sigue: SOLUCIÓN 2 x 4  3x 2  1  0 u2  3u  1  0 3  29  4 3  25 u  2 2 3  2 5 x2  2 3  25 x 2 enunciado sea u  x 2 fórmula cuadrática u  x2 tome la raíz cuadrada Entonces, hay cuatro soluciones: 3  25 , 2  3  25 , 2 3  25 , 2  3  25 2 Con el uso de una calculadora, obtenemos las aproximaciones 1.62 y 0.62. Una prueba es innecesaria porque no elevamos ambos lados de una ecuación a una potencia par. L 108 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Figura 1 Determinando la ruta de un transbordador (ferry) EJEMPLO 9 Un transbordador de pasajeros hace viajes de una ciudad a una comunidad isleña que está a 7 millas playa abajo desde la ciudad y a 3 millas en línea recta desde la orilla. Como se ve en la figura 1, el transbordador navega a lo largo de la línea de la costa hasta algún punto y luego avanza directamente a la isla. Si el ferry navega a 12 mih a lo largo de la línea de la costa y a 10 mih cuando está mar afuera, determine las rutas que tengan un tiempo de viaje de 45 minutos. 3 mi 7 mi Denotemos con x la distancia recorrida a lo largo de la línea de la costa. Esto nos lleva al dibujo de la figura 2, donde d es la distancia de un punto en la línea de la costa a la isla. Consulte el triángulo recto indicado: SOLUCIÓN d 2  7  x2  32  49  14x  x 2  9  x 2  14x  58 teorema de Pitágoras eleve al cuadrado los términos simplifique Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y observando que d Figura 2 0, obtenemos d  2x  14x  58. 2 d 3 Usando distancia  (velocidad)(tiempo) o bien, lo que es equivalente, tiempo  (distancia)(velocidad) tendremos la tabla siguiente. 7x x A lo largo de la costa Alejándose de la costa Distancia (mi) Velocidad mih x 12 2x 2  14x  58 Tiempo (h) x 12 2x 2  14x  58 7 10 10 El tiempo para el viaje completo es la suma de las dos expresiones de la última fila de la tabla. Como la rapidez es en mi/h, debemos, por consistencia, expresar este tiempo (45 minutos) como 43 de hora. Entonces, tenemos lo siguiente: x 2x 2  14x  58 3   12 10 4 2x 2  14x  58 10  tiempo total de viaje 3 x  4 12 reste 6 2x  14x  58  45  5x 2 x 12 multiplique por el mcd, 60 6 2x 2  14x  58  59  x factorice 36x  14x  58  259  x 2 2 eleve al cuadrado ambos lados 36x 2  504x  2088  2025  450x  25x 2 11x  54x  63  0 2 multiplique términos simplifique 2.5 Otros tipos de ecuaciones x  311x  21  0 x  3  0, x  3, 109 factorice 11x  21  0 21 x 11 teorema del factor cero despeje x Una prueba verifica que estos números son también soluciones de la ecuación original. Por tanto, hay dos posibles rutas con un tiempo de viaje de 45 minutos: el ferry puede navegar a lo largo de la orilla ya sea 3 millas o 21 11  1.9 millas antes de avanzar a la isla. L 2.5 Ejercicios Ejer. 1-50: Resuelva la ecuación. 28 4 21  3x  26x  3  26x  1 1 x  4  11 2 x5 2 3 3x  2  3  7 4 2 5x  2  1  5 30 2 2x  2x  3  25  x 5 3 x  1  2  11 6 x2 55 31 2 2x  1  23x  5 32 5 2x  22x  3 33 1  4 2x  2x  1 34 2x  1  2x  1 35 x 4  25x 2  144  0 36 2x4  10x2  8  0 37 5y 4  7y 2  1  0 38 3y 4  5y 2  1  0 39 36x4  13x2  1  0 40 x2  2x1  35  0 41 3x 2/3  4x 1/3  4  0 42 2y1/3  3y1/6  1  0 43 6w  7w1/2  20  0 44 8t  22t1/2  21  0 29 211  8x  1  29  4x 7 9x 3  18x 2  4x  8  0 8 3x 3  4x 2  27x  36  0 9 4x  10x  6x  15x 4 3 2 10 15x  20x  6x  8x 5 11 y 3/2 4 3 2  5y 13 27  5x  8 3 15 2  2 1  5t  0 5 12 y 4/3  3y 14 22x  9  3 1 3 16 2 6  s  5  0 4 2 17 2 2x  1  2  0 18 2 2x  1  x 19 27  x  x  5 20 23  x  x  3 2 45 2x2/3  7x1/3  15  0 2 21 3 22x  3  2 27  x  11 22 22x  15  2  26x  1 46 6u1/2  13u1/4  6  0 47 48 23 x  4  24x  19 24 x  3  25x  9 25 x  25x  19  1 26 x  27x  24  2 27 27  2x  25  x  24  3x     t t1 2 x x2 2  2t 80 t1  2x  15  0 x2 3 4 49 2 x  22 x (Sugerencia: Eleve ambos lados al mínimo común múltiplo de 3 y 4.) 4 50 2x  3  2 2x  6 110 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ejerc. 51-52: Encuentre las soluciones reales de la ecuación. 51 (a) x 5/3  32 (b) x 4/3  16 (c) x 2/3  36 (d) x 3/4  125 (e) x 3/2  27 52 (a) x 3/5  27 (b) x 2/3  25 (c) x 4/3  49 (d) x 3/2  27 (e) x 3/4  8 Ejer. 53-56: Despeje la variable especificada. 53 T  2 l despeje l g (periodo de un péndulo) 54 d  21 24R 2  C 2 despeje C (segmentos de círculos) 55 S  r 2r 2  h2 despeje h (área superficial de un cono) 56   1 2LC despeje C (circuitos de corriente alterna) 57 Altura de escalera La distancia recomendada d a la que una escalera debe colocarse de una pared vertical es 25% de su longitud L. Aproxime la altura h a la que se pueda llegar al relacionar h como un porcentaje de L. Ejercicio 57 L h d 58 Experimentos nucleares Experimentos nucleares realizados en el océano vaporizan grandes cantidades de agua salada. La sal hierve y se convierte en vapor a 1738 K. Después de ser vaporizada por una fuerza de 10 megatones, la sal tarda al menos de 8 a 10 segundos para enfriarse lo suficiente para cristalizarse. La cantidad de sal A, que se ha cristalizado t segundos después de un experimento, se calcula a veces usando A  k 2tT , donde k y T son constantes. De esta ecuación despeje t. 59 Potencia de un molino de viento La potencia P (en watts) generada por un molino de viento que tiene una eficiencia E está dada por la fórmula P  0.31ED 2V 3, donde D es el diámetro (en pies) de las palas del molino de viento y V es la velocidad del viento (en ft/s). Aproxime la velocidad del viento necesaria para generar 10,000 watts si E  42% y D  10. 60 Resistencia al arranque de clavos La resistencia al arranque de un clavo indica su resistencia de retención en madera. Una fórmula que se usa para clavos comunes brillantes es P  15,700S 5/2RD, donde P es la máxima resistencia al arranque (en libras), S es la gravedad específica de la madera al 12% de contenido de humedad, R es el radio del clavo (en pulgadas) y D es la profundidad (en pulgadas) que el clavo ha penetrado en la madera. Un clavo común 6d (6 centavos), brillante, de 2 pulgadas y diámetro de 0.113 pulgada se introduce por completo en una pieza de abeto Douglas. Si requiere una fuerza máxima de 380 libras para sacar el clavo, aproxime la gravedad específica del abeto Douglas. 61 El efecto del precio según demanda La demanda de una mercancía por lo general depende de su precio. Si otros factores no afectan la demanda, entonces la cantidad Q comprada a un precio P (en centavos) está dada por Q  kPc, donde k y c son constantes positivas. Si k  105 y c  21, encuentre el precio que resultará en una compra de 5000 artículos. 62 La isla de calor urbano Las zonas urbanas tienen promedios más altos de temperatura del aire que las rurales, como resultado de la presencia de edificios, asfalto y concreto. Este fenómeno se ha conocido como isla de calor urbano. La diferencia de temperatura T (en °C) entre zonas urbanas y rurales cerca de Montreal, con una población P entre 1000 y 1,000,000, se puede describir con la fórmula T  0.25P 1/4 2v, donde v es el promedio de velocidad del viento (en mi/h) y v 1. Si T  3 y v  5, encuentre P. 63 Dimensiones de una pila de arena Cuando se fuga arena de cierto recipiente, forma una pila que tiene la forma de un cono circular recto cuya altitud es siempre la mitad del diámetro d de la base. ¿Cuál es d en el instante en que 144 cm3 de arena se han fugado? 2.5 Otros tipos de ecuaciones Ejercicio 63 111 Ejercicio 67 1 x 5 qd d 64 Inflar un globo meteorológico El volumen de un globo meteorológico esférico es de 10 32 ft3. Para levantar un transmisor y equipo meteorológico, el globo se infla con otros 1 25 3 ft3 más de helio. ¿Cuánto aumenta su diámetro? 65 La regla del cubo en ciencias políticas La regla cúbica en ciencias políticas es una fórmula empírica que, se dice, pronostica el porcentaje de asientos y en la cámara de representantes de Estados Unidos que serán ganados por un partido político, a partir del voto popular para el candidato presidencial del partido. Si x denota el porcentaje del voto popular para el candidato presidencial del partido, entonces la regla del cubo dice que 68 Cálculo de crecimiento humano Adolphe Quetelet (17961874), director del Observatorio de Bruselas de 1832 a 1874, fue el primero en tratar de ajustar una expresión matemática a información sobre crecimiento humano. Si h denota la estatura en metros y t es la edad en años, la fórmula de Quetelet para hombres en Bruselas se puede expresar como h h hM  h ¿Qué porcentaje del voto popular necesitará el candidato presidencial para que el partido del candidato gane 60% de los asientos de la cámara? 66 Dimensiones de una taza cónica Una taza cónica de papel ha de tener una altura de 3 pulgadas. Encuentre el radio del cono que resultará en un área superficial de 6 pulg2. 67 Instalación de una línea de energía eléctrica Se va a instalar una línea de energía eléctrica que cruce un río de 1 milla de ancho hasta una ciudad que está 5 millas corriente abajo (vea la figura). Cuesta $7500 por milla tender un cable bajo el agua y $6000 por milla tenderlo en tierra. Determine cómo debe instalarse el cable si se han asignado $35,000 para este proyecto. h0  t 1  43 t , con h 0  0.5, la estatura al nacimiento; h M  1.684, la estatura final de un hombre adulto; y a  0.545. (a) Encuentre la estatura esperada de un niño de 12 años de edad. (b) ¿A qué edad se alcanza el 50% de la estatura adulta? 69 Relaciones (luz diurna)/latitud La tabla siguiente da los números de minutos de luz diurna que hay en diversas latitudes, en el Hemisferio Norte, en los solsticios de verano e invierno. Latitud x3 y 3 . x  1  x3  at  Verano Invierno 0° 720 720 10° 755 685 20° 792 648 30° 836 604 40° 892 548 50° 978 462 60° 1107 333 (a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones predice con más precisión la duración del día en el solsticio de verano en la latitud L? (1) D 1  6.096L  685.7 (2) D 2  0.00178L3  0.072L2  4.37L  719 (b) Aproxime la duración de luz diurna a 35° de latitud en el solsticio de verano. 112 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 70 Volumen de una caja De una pieza rectangular metálica, que tiene dimensiones de 24  36 pulgadas, se ha de hacer una caja abierta al cortar un cuadrado idéntico de área x 2 de cada esquina y doblar los lados hacia arriba. (a) Determine una ecuación para hallar el volumen V de la caja en términos de x. 71 Construcción de una caja Una caja de cartón sin tapa y fondo cuadrado ha de tener un volumen de 25 pies3. Use una tabla de valores para determinar las dimensiones de la caja al 0.1 pie más cercano que minimizará la cantidad de cartón empleado para construir la caja. (b) Use una tabla de valores para aproximar el valor de x con tolerancia 0.1 pulg que producirá un volumen máximo. 2.6 Desigualdades Una desigualdad es un enunciado de que dos cantidades o expresiones no son iguales. Puede ser el caso que una cantidad sea menor que  , menor que o igual a  , mayor que   o mayor que o igual a   otra cantidad. Considere la desigualdad 2x  3 11, donde x es una variable. Como se ilustra en la tabla siguiente, ciertos números dan enunciados verdaderos cuando se sustituyen por x y otros dan enunciados falsos. x 3 4 5 6 2x ⴙ 3 > 11 9 11 11 13 15 11 11 11 Conclusión Enunciado falso Enunciado falso Enunciado verdadero Enunciado verdadero Si se obtiene un enunciado verdadero cuando un número b es sustituido por x, entonces b es una solución de la desigualdad. Así, x  5 es una solución de 2x  3 11 porque 13 11 es verdadero, pero x  3 no es una solución porque 9 11 es falso. Resolver una desigualdad significa hallar todas las soluciones. Dos desigualdades son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Casi todas las desigualdades tienen un número infinito de soluciones. Para ilustrar esto, las soluciones de la desigualdad 2 x 5 están formadas por todo número real x entre 2 y 5. A este conjunto de números se le denomina intervalo abierto y se denota por (2, 5). La gráfica del in- 2.6 Desigualdades Figura 1 0 ( 2 ) 5 Figura 2 0 [ 2 ] 5 113 tervalo abierto (2, 5) es el conjunto de todos los puntos de una recta de coordenadas que se encuentre, pero no incluye, los puntos correspondientes a x  2 y x  5. La gráfica está representada al sombrear una parte apropiada del eje, como se ve en la figura 1. A este proceso lo conocemos como trazar la gráfica del intervalo. Los números 2 y 5 se denominan puntos extremos del intervalo (2, 5). Los paréntesis en la notación (2, 5) y en la figura 1 se usan para indicar que los puntos extremos del intervalo no están incluidos. Si se desea incluir un punto extremo, se usa un corchete en lugar de paréntesis; por ejemplo, las soluciones de la desigualdad 2 x 5 se denotan por [2, 5] y éste se conoce como intervalo cerrado. La gráfica [2, 5] está trazada en la figura 2, donde los corchetes indican que los puntos extremos están incluidos. También consideramos intervalos semiabiertos a, b y a, b así como intervalos infinitos, como se describe en la tabla siguiente. El símbolo  (léase infinito) que se usa para intervalos infinitos es sólo una notación y no representa un número real. Intervalos Notación (1) a, b (2) a, b (3) a, b (4) a, b (5) a,  Desigualdad a a a a x x b x b x b x b a Gráfica ( ) a b [ ] a b [ ) a b ( ] a b ( a (6) a,  x a [ a (7) , b x b ) b (8) , b x b ] b (9) ,   x  Los métodos para resolver desigualdades en x son semejantes a los que se emplean para resolver ecuaciones. En particular, con frecuencia usamos propiedades de desigualdades para sustituir una desigualdad dada con una lista de desigualdades equivalentes, terminando con una desigualdad de la que fácilmente se obtienen soluciones. Las propiedades de la tabla siguiente se pueden demostrar para números reales a, b, c y d. 114 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Propiedades de desigualdades Invierta la desigualdad cuando multiplique o divida por un número negativo. Propiedad Ejemplos byb c, entonces a c. (1) Si a b , entonces (2) Si a a  c b  c y a  c b  c. byc 0, entonces (3) Si a a b ac bc y . c c b y c 0, entonces (4) Si a b a . ac bc y c c 2 5y5 9 , así 2 9. 2 7, así 23 73y23 7  3. 2 5y3 0, así 2 5 23 53y . 3 3 2 5 y 3 0, así 2 5 23 53 y . 3 3 Es importante recordar que al multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por un número real negativo el signo de desigualdad se invierte (vea la propiedad 4). Las propiedades semejantes a las citadas líneas antes son verdaderas para otras desigualdades y para y . Por tanto, si a b, entonces a  c b  c; si a b y c 0, entonces ac bc; y así sucesivamente. Si x representa un número real, entonces, por la propiedad 2, sumar o restar la misma expresión que contenga x en ambos lados de una desigualdad dará una desigualdad equivalente. Por la propiedad 3, podemos multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por una expresión que contenga x si estamos seguros que la expresión es positiva para todos los valores de x bajo consideración. Como ilustración, la multiplicación o división por x 4  3x 2  5 sería permisible puesto que esta expresión es siempre positiva. Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una desigualdad por una expresión que siempre sea negativa, como 7  x 2, entonces, por la propiedad 4, la desigualdad se invierte. En ejemplos describiremos soluciones de desigualdades por medio de intervalos y también los representaremos gráficamente. EJEMPLO 1 Resolver una desigualdad Resuelva la desigualdad 3x  4 SOLUCIÓN Figura 3 ( g 0 11. 3x  4 3x  4  4 3x 11 11  4 7 reste 4 3x 3 7 3 divida por 3; invierta el signo de desigualdad x  37 simplifique enunciado simplifique Entonces, las soluciones de 3x  4 11 están formadas por todos los números reales x tales que x  37. Éste es el intervalo  37 ,   trazado en la figura 3. L 2.6 Desigualdades EJEMPLO 2 115 Resolución de una desigualdad Resuelva la desigualdad 4x  3 2x  5. SOLUCIÓN 4x  3 4x  3  3 4x 4x  2x 2x 2x 2 x Figura 4 0 ) 4 2x  5 2x  5  3 2x  8 2x  8  2x 8 8 2 4 enunciado sume 3 simplifique reste 2x simplifique divida entre 2 simplifique Por lo tanto, las soluciones de la desigualdad dada están formadas por todos los números reales x tales que x 4. Éste es el intervalo , 4 que se ve en la figura 4. L EJEMPLO 3 Resolución de una desigualdad Resuelva la desigualdad 6 2x  4 2. SOLUCIÓN Un número real x es una solución de la desigualdad dada si y sólo si es una solución de las dos desigualdades 6 2x  4 y 2x  4 2. Esta primera desigualdad se resuelve como sigue: 6 6  4 2 2 2 1 x 2x  4 2x  4  4 2x 2x 2 x 1 enunciado sumar 4 simplificar dividir entre 2 simplificar desigualdad equivalente La segunda desigualdad se resuelve entonces: 2x  4 2x x 2 6 3 enunciado sumar 4 dividir entre 2 Así, x es una solución de la desigualdad dada si y sólo si ambas x 1 y x x 3. 3; es decir, 1 (continúa) 116 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Figura 5 ( 1 ) 0 3 En consecuencia, las soluciones son todos los números del intervalo abierto 1, 3 trazados en la figura 5. Un método alternativo (y más corto) es resolver ambas desigualdades simultáneamente, es decir, resolver la desigualdad continua: 6 6  4 2 1 EJEMPLO 4 2x  4 2x 2x x 2 24 6 3 sume 4 simplifique divida entre 2 L Resolución de una desigualdad continua 4  3x 2 Resuelva la desigualdad continua 5 SOLUCIÓN enunciado 1. Un número x es una solución de la desigualdad dada si y sólo si 5 4  3x 2 y 4  3x 2 1. Podemos trabajar con cada desigualdad por separado o resolver ambas desigualdades simultáneamente, como sigue (recuerde que nuestra meta es aislar x): 5 10 10  4 14 14 3 14 3 2 3 Figura 6 ( ] 0 s ; ( 2 enunciado 2 24 2 2 3 multiplique por 2 2 3 14 3 x reste 4 simplifique divida entre 3; invierta los signos de desigualdad simplifique desigualdad equivalente L Resolución de una desigualdad racional Resuelva la desigualdad 0 1 Así, las soluciones de la desigualdad son todos los números del intervalo semiabierto  23 , 14 3  que se ve en la figura 6. EJEMPLO 5 Figura 7 4  3x 2 4  3x 3x 3x 3x 3 x 1 x2 0. SOLUCIÓN Como el numerador es positivo, la fracción es positiva si y sólo si el denominador, x  2, es también positivo. Así, x  2 0 o, lo que es equivalente, x 2 y las soluciones son todos los números del intervalo infinito 2,  que se ve en la figura 7. L 2.6 Desigualdades Figura 8 EJEMPLO 6 Objeto Imagen f Uso de la fórmula de una lente Como se ilustra en la figura 8, si una lente convexa tiene longitud focal de f centímetros y si un objeto se coloca a una distancia de p centímetros de la lente con p f , entonces la distancia q desde la lente a la imagen está relacionada a p y f mediante la fórmula 1 1 1   . p q f f p 117 Si f  5 cm, ¿qué tan cerca debe estar el objeto desde la lente para que la imagen esté a más de 12 centímetros de la lente? q Como f  5, la fórmula dada puede escribirse como SOLUCIÓN 1 1 1   . p q 5 Deseamos determinar los valores de q tales que q q de la ecuación: 5q  5p  pq q5  p  5p 5p 5p q  5p p5 Para resolver la desigualdad q 5p p5 5p 7p Figura 9 p x O 3 2 1 0 2 3 x multiplique por el mcd, 5pq reúna los términos q en un lado y factorice divida entre 5  p 12, proseguimos como sigue: 5p p5 12 q 12 p  5 60 permisible, porque p 60 7 divida entre 7; invierta la desigualdad f implica que p  5 multiplique factores y reúna términos p en un lado 4 5 p 60 7 . L x X O 3 2 1 x 0 1 2 3 0 Combinando la última desigualdad con el hecho de que p es mayor que 5, llegamos a la solución X 1 12. Primero despejamos 4 Si un punto X en una recta de coordenadas tiene coordenada x, como se ve en la figura 9, entonces X está a la derecha del origen O si x 0 y a la izquierda de O si x 0. De la sección 1.1, la distancia dO, X entre O y X es el número real no negativo dado por dO, X  x  0  x . Figura 10 ( 3 0 ) 3 Se deduce que las soluciones de una desigualdad tal como x 3 están formadas por las coordenadas de todos los puntos cuya distancia desde O es menor a 3. Éste es el intervalo abierto 3, 3 que se ve en la figura 10. Así, x 3 es equivalente a 3 x 3. 118 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Del mismo modo, para x denada x es mayor a 3; esto es, x Figura 11 ( 3 ) 0 3 3, la distancia entre O y un punto con coor- es equivalente a x 3 o x 3. La gráfica de las soluciones a x 3 está en la figura 11. Con frecuencia usamos el símbolo de unión 傼 y escribimos 3 , 3 傼 3,  para denotar todos los números reales que están ya sea en , 3 o 3, . La notación , 2 傼 2,  representa el conjunto de todos los números reales excepto 2. El símbolo de intersección 傽 se usa para denotar los elementos que son comunes a dos conjuntos. Por ejemplo, , 3 傽 3,   3, 3, porque la intersección de , 3 y 3,  está formada por todos los números reales x tales que x 3 y además x 3. La exposición precedente puede generalizarse para obtener las siguientes propiedades de valores absolutos. Propiedades de valores absolutos (b > 0) (1) a (2) a b es equivalente a b es equivalente a b a b. a b o a b. En el siguiente ejemplo usamos la propiedad 1 con a  x  3 y b  0.5. EJEMPLO 7 Resolución de una desigualdad que contiene un valor absoluto Resuelva la desigualdad x  3 0.5. SOLUCIÓN x3 0.5 0.5  3 2.5 Figura 12 0 1 ( ) 2 2.5 3 3.5 0.5 x  3 0.5 x  3  3 x 3.5 enunciado propiedad 1 0.5  3 aísle x al sumar 3 simplifique De este modo, las soluciones son los números reales del intervalo abierto 2.5, 3.5. La gráfica se traza en la figura 12. L En el siguiente ejemplo usamos la propiedad 2 con a  2x  3 y b  9. 2.6 Desigualdades EJEMPLO 8 Resolución de una desigualdad que contiene un valor absoluto Resuelva la desigualdad 2x  3 2x  3 2x x ) 0 6 9. 2x  3 9 o 12 o 6 o SOLUCIÓN Figura 13 119 9 2x  3 2x x enunciado 9 6 3 propiedad 2 reste 3 divida entre 2 9 están forEn consecuencia, las soluciones de la desigualdad 2x  3 madas por los números en , 6 傼 3, . La gráfica se traza en la figura 13. ( 3 L La ley de tricotomía de la sección 1.1 indica que para cualesquier números reales a y b exactamente uno de lo siguiente es verdadero: a b, a b, o ab Así, después de resolver 2x  3 9 en el ejemplo 8, fácilmente obtenemos las soluciones para 2x  3 9 y 2x  3  9, es decir, 6, 3 y 6, 3 , respectivamente. Nótese que la unión de estos tres conjuntos de soluciones es necesariamente el conjunto ⺢ de números reales. Cuando usemos la notación a x b, debemos tener a b. De este modo, es incorrecto escribir las soluciones x 6 o x 3 (en el ejemplo 8) como 3 x 6. Otro error de notación de desigualdad es escribir a x b, porque cuando se usan varios símbolos de desigualdad en una expresión, deben apuntar en la misma dirección. 2.6 Ejercicios 1 Dados 7 3, determine la desigualdad obtenida si (a) se suma 5 a ambos lados (d) ambos lados se dividen entre 6 (b) se resta 4 de ambos lados (c) ambos lados se multiplican por 31 (d) ambos lados se multiplican por 2 Dados 4 1 3 5, determine la desigualdad obtenida si (a) se suma 7 a ambos lados (b) se resta 5 de ambos lados (c) ambos lados se dividen entre 6 Ejer. 3-12: Exprese la desigualdad como intervalo y trace su gráfica. 3 x 2 4 x 5 5 x 4 6 x 3 7 2 4 x 8 3 x 5 9 3 x 7 10 3 x 1 11 5 x 2 12 3 x 5 120 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Ejer. 13-20: Exprese el intervalo como desigualdad en la variable x. 51 x  3 13 5, 8 14 0, 4 53 x  2  0.1 15 4, 1 16 3, 7 17 4,  18 3,  57  31 6  5x  2 19 , 5 20 , 2 58 2 11  7x  2 55 2x  5 Ejer. 21-70: Resuelva la desigualdad y exprese las soluciones en términos de intervalos siempre que sea posible. 21 3x  2 14 23 2  3x 2 25 2x  5 3x  7 1 3x 1 2x 27 9  29 3 4 2x  5 22 2x  5 7 24 3  5x 11 26 x  8 28 1 4x 31 3 2x  3 5 7 32 2 33 4 2  3x 7 2 34 5 35 0 1 3x 4 37 2x  34x  5 38 x  3x  3 39 x  42 6  5x 3 3 1 4x 8x  1x  7 5 56 3x  7 5 1 10 2 60 6x  5 2 61 3x  9 0 62 5x  2 0 63 2  3x 5 2 64 2x  5 3 1 65 3 5  2x 2 66 2 2x  3 5 67 2 x x2 4 4 0.1 68 1 x 70 2 2x  1 5 3 Ejer. 71-72: Resuelva la parte (a) y use esa respuesta para determinar las respuestas a las partes (b) y (c). (c) x  5 3 72 (a) x  3 2 (c) x  3 2 (b) x  5 3 (b) x  3  2 73 El peso w de un luchador debe ser no más de 2 libras más de 148 libras. 3x  24x  1 4 3x  2 0 42 3 2x  5 43 2 4  3x 0 44 3 2x 0 4 71 (a) x  5  3 2 54 x  3  0.3 0.2 59 7x  2 69 1 0 0.03 Ejer. 73-76: Exprese el enunciado en términos de una desigualdad que contiene un valor absoluto. x  52 41 2 45 1  x2 1 4x  1 3 xx  12 40 2x6x  5 2 3x  5 36 2 2 1 3x 7 30 4 7 5x  3 52 x  4 0.01 0 0 4 46 2 x 4 47 x 3 48 x 49 x 5 50 x 0 7 2 74 El radio r de un cojinete debe ser no más de 0.01 centímetros más de 1 centímetro. 75 La diferencia de dos temperaturas T1 y T2 en una mezcla química debe estar entre 5°C y 10°C. 76 El tiempo de llegada t del tren B debe ser al menos 5 minutos diferente de las 4:00 p.m., tiempo de llegada del tren A. 77 Escalas de temperatura Las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit y Celsius están relacionadas por la fórmula C  95 F  32. ¿Qué valores de F corresponden a los valores de C tales que 30 C 40? 2.7 Más sobre desigualdades 78 Ley de Hooke De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F (en libras) necesaria para estirar un cierto resorte x pulgadas más de su longitud natural está dada por F  4.5x (vea la figura). Si 10 F 18, ¿cuáles son los valores correspondientes para x? 121 Ejercicio 81 Imagen Objeto Ejercicio 78 p f Longitud natural Estirado x pulgadas x 79 Ley de Ohm La ley de Ohm en teoría eléctrica expresa que si R denota la resistencia de un objeto (en ohms), V la diferencia de potencial entre las terminales del objeto (en volts) e I es la corriente que circula por él (en amperes), entonces R  VI . Si el voltaje es 110, ¿qué valores de la resistencia resultarán en una corriente que no pase de 10 amperes? 80 Resistencia eléctrica Si dos resistores R1 y R2 se conectan en paralelo en un circuito eléctrico, la resistencia neta R está dada por 1 1 1   . R R1 R2 Si R1  10 ohms, ¿qué valores de R2 resultarán en una resistencia neta de menos de 5 ohms? 81 Amplificación lineal En la figura se muestra una lente de aumento simple formada por una lente convexa. El objeto a amplificarse está colocado de modo que la distancia p desde la lente es menor que la longitud focal f. La amplificación lineal M es la razón entre el tamaño de la imagen y el tamaño del objeto. Se demuestra en física que M  f f  p. Si f  6 cm, ¿a qué distancia debe colocarse el objeto desde la lente para que su imagen aparezca al menos tres veces mayor? (Compare con el ejemplo 6.). 2.7 Más sobre desigualdades 82 Concentración de medicamento Para tratar la arritmia (pulsación irregular del corazón), por una vena se introduce un medicamento en el torrente sanguíneo. Suponga que la concentración c del medicamento después de t horas está dada por c  3.5tt  1 mgL. Si el nivel terapéutico mínimo es 1.5 mg/L, determine cuándo se rebasa este nivel. 83 Gastos en un negocio Una empresa constructora está tratando de decidir cuál de dos modelos de grúa comprar. El modelo A cuesta $100,000 y requiere $8000 por año en su mantenimiento. El modelo B tiene un costo inicial de $80,000 y su mantenimiento cuesta $11,000 por año. ¿Durante cuántos años debe usarse el modelo A antes que sea más económico que el B? 84 Compra de un auto Un consumidor está tratando de decidir si comprar el auto A o el B. El auto A cuesta $20,000 y tiene un rendimiento de combustible de 30 millas por galón, y el seguro cuesta $1000 por año. El auto B cuesta $24,000 y tiene un rendimiento de 50 millas por galón y el seguro cuesta $1200 por año. Suponga que el consumidor recorre 15,000 millas por año y que el precio del combustible permanece constante en $3 por galón. Con base sólo en estos datos, determine cuánto tiempo transcurrirá para que el costo total del auto B sea menor que el del auto A. 85 Estatura decreciente La estatura de una persona típicamente disminuirá en 0.024 pulgadas por año después de los 30 años. (a) Si una mujer medía 5 pies 9 pulgadas cuando tenía 30 años, prediga su estatura a la edad de 70 años. (b) Un hombre de 50 años mide 5 pies 6 pulgadas. Determine una desigualdad para el rango de sus estaturas (en pulgadas) que este hombre tendrá entre las edades de 30 y 70. Para resolver una desigualdad que contenga polinomios de grado mayor a 1, expresaremos cada polinomio como un producto de factores lineales ax  b y/o factores cuadráticos irreducibles ax 2  bx  c. Si cualquiera de estos factores no es cero en un intervalo, entonces es positivo en todo el intervalo o negativo en todo el intervalo. En consecuencia, si escogemos cualquier k del intervalo y si el factor es positivo (o negativo) para x  k, entonces es positivo 122 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES (o negativo) en todo el intervalo. El valor del factor en x  k se denomina valor de prueba del factor en el número de prueba k. Este concepto se exhibe en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 1 Resolución de una desigualdad cuadrática Resuelva la desigualdad 2x 2  x 3. SOLUCIÓN Para usar valores de prueba, es esencial tener 0 en un lado del signo de desigualdad. Así, procedemos como sigue: 2x 2  x 2x 2  x  3 x  12x  3 Figura 1 1 0 w 3 0 0 enunciado iguale a 0 un lado factorice Los factores x  1 y 2x  3 son cero en 1 y 32 , respectivamente. Los puntos correspondientes en una recta de coordenadas (vea la figura 1) determinan los intervalos que no se cruzan. , 1,  1, 23  y  32 ,  . Podemos hallar los signos de x  1 y 2x  3 en cada intervalo si usamos un valor de prueba tomado de cada intervalo. Para ilustrar, si escogemos k  10 en , 1, los valores de x  1 y 2x  3 son negativos y por lo tanto son negativos en todo , 1. Un procedimiento similar para los restantes dos intervalos nos da la siguiente tabla de signos, donde el término signo resultante de la última fila se refiere al signo obtenido al aplicar leyes de signos al producto de los factores. Nótese que el signo resultante es positivo o negativo según si el número de signos negativos de factores es par o impar, respectivamente. Intervalo Signo de x  1 Signo de 2x  3 Signo resultante (ⴚⴥ, ⴚ1)  ⴚ1, 32   32 , ⴥ           En ocasiones es conveniente representar los signos de x  1 y 2x  3 al usar una recta de coordenadas y un diagrama de signos, del tipo que se ilustra en la figura 2. Las líneas verticales indican dónde son cero los factores y los signos de factores se muestran arriba de la recta de coordenadas. Los signos resultantes se indican en rojo. Figura 2 Signo resultante  Signo de 2x  3  Signo de x  1  1    0    w 2.7 Más sobre desigualdades 123 Las soluciones de x  12x  3 0 son los valores de x para los cuales el producto de los factores es negativo, es decir, donde el signo resultante es negativo. Esto corresponde al intervalo abierto  1, 32 . L En la página 81 estudiamos el teorema del factor cero, que hablaba de igualdades. Es un error común extender este teorema a desigualdades. La siguiente advertencia muestra esta extensión incorrecta aplicada a la desigualdad del ejemplo 1. Y ¡Advertencia! Y x  12x  3 0 no es equivalente a 0 o 2x  3 0 En futuros ejemplos usaremos ya sea una tabla de signos o un diagrama de signos, pero no ambos. Cuando trabaje con ejercicios, el lector debe escoger el método de solución con el que se sienta más cómodo. EJEMPLO 2 Resolución de una desigualdad cuadrática Resuelva la desigualdad 3x 2 3x 2 3x 2  21x  30 x 2  7x  10 SOLUCIÓN x  2x  5 21x  30. 21x  30 0 0 iguale a 0 un lado 0 factorice enunciado divida entre el factor común 3 ; invierta la desigualdad Los factores son cero en 2 y 5. Los puntos correspondientes en una recta de coordenadas (vea la figura 3) determinan los intervalos que no se cruzan. Figura 3 0 x1 2 , 2, 5 2, 5 y 5, . Al igual que en el ejemplo 1, podemos usar valores de prueba de cada intervalo para obtener la siguiente tabla de signos. Intervalo (ⴚⴥ, 2) (2, 5) (5, ⴥ) Signo de x  2 Signo de x  5 Signo resultante          Las soluciones de x  2x  5 0 son los valores de x para los cuales el signo resultante es positivo. Así, la solución de la desigualdad dada es la unión , 2 傼 5,  . L EJEMPLO 3 Uso de un diagrama de signos para resolver una desigualdad Resuelva la desigualdad x  23  x x  1x 2  1 0. 124 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES SOLUCIÓN Como 0 ya está en el lado derecho de la desigualdad y el lado izquierdo está factorizado, podemos ir directamente al diagrama de signos de la figura 4, donde las líneas verticales indican los ceros (2, 1, y 3) de los factores Figura 4 Signo resultante Signo de 3  x Signo de x  1 Signo de x  2             2 1     3 0 El cuadro alrededor de 1 indica que 1 hace que un factor del denominador de la desigualdad original sea igual a 0. Como el factor cuadrático x 2  1 es siempre positivo, no tiene efecto en el signo del cociente y por tanto puede omitirse del diagrama. Los diversos signos de los factores se pueden hallar usando valores de prueba. Alternativamente, sólo necesitamos recordar que cuando x aumenta, el signo de un factor lineal ax  b cambia de negativo a positivo si el coeficiente a de x es positivo y el signo cambia de positivo a negativo si a es negativo. Para determinar dónde es que el cociente es menor o igual a 0, primero vemos del diagrama de signos que es negativo para números en 2, 1 傼 3, . Como el cociente es 0 en x  2 y x  3, los números 2 y 3 también son soluciones y deben estar incluidos en nuestra solución. Por último, el cociente es indefinido en x  1, de modo que 1 debe ser excluido de nuestra solución. Así, las soluciones de la desigualdad dada están dadas por 2, 1 傼 3, . EJEMPLO 4 Uso de un diagrama de signos para resolver una desigualdad Resuelva la desigualdad SOLUCIÓN L 2x  12x  1 xx 2  1 0. Si reescribimos la desigualdad como 2x  12x  1 xx  1x  1 0, vemos que x  1 es un factor del numerador y del denominador. Así, suponiendo que x  1 苷 0 (esto es, x 苷 1), podemos cancelar este factor y reducir nuestra búsqueda de soluciones al caso de 2x  12 xx  1 0 y x 苷 1. A continuación vemos que este cociente es 0 si 2x  1  0 (esto es, si x   21 . Por lo tanto,  21 es una solución. Para hallar las soluciones restantes, construimos el diagrama de signos de la figura 5. No incluimos 2x  12 2.7 Más sobre desigualdades Figura 5 Signo resultante  Signo de x  Signo de x  1  1       0 125 en el diagrama de signos, porque esta expresión siempre es positiva si x 苷  21 y entonces no tiene efecto en el signo del cociente. Consultando el signo resultante y recordando que  21 es una solución pero 1 no es una solución, vemos que las soluciones de la desigualdad dada están dadas por , 1 傼  21 傼 0, 1 傼 1, . L EJEMPLO 5 Uso de un diagrama de signos para resolver una desigualdad Resuelva la desigualdad x1 x3 2. SOLUCIÓN Un error común al resolver este tipo de desigualdades es multiplicar primero ambos lados por x  3. Si lo hacemos así, tendríamos que considerar dos casos, porque x  3 puede ser positivo o negativo (suponiendo x  3 苷 0) y podríamos invertir la desigualdad. Un método más sencillo es obtener primero una desigualdad equivalente que tenga 0 en el lado derecho y continuar desde ahí: x1 x3 x1 2 x3 x  1  2x  3 x3 x  5 x3 x5 x3 2 enunciado 0 iguale a 0 un lado 0 combine en una fracción 0 simplifique 0 multiplique por 1 Nótese que la dirección de la desigualdad se cambia en el último paso, porque multiplicamos por un número negativo. Esta multiplicación fue realizada por comodidad, para que todos los factores tengan coeficientes positivos de x. Los factores x  5 y x  3 son 0 en x  5 y x  3, respectivamente. Esto lleva al diagrama de signos de la Figura 6, donde los signos están determinados como en ejemplos previos. Vemos del diagrama que el signo resultante y por tanto el signo del cociente, es positivo en , 5 傼 3, . El cociente es 0 en x  5 (incluye 5) y no definido en x  3 (excluye 3). En consecuencia, la solución de x  5x  3 0 es , 5 傼 3, . Figura 6 Signo resultante  Signo de x  3  Signo de x  5     5    3 0 (continúa) 126 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES Un método alternativo de solución es empezar por multiplicar ambos lados de la desigualdad dada por x  32, suponiendo que x 苷 3. En este caso, x  32 0 y la multiplicación es permisible; no obstante, después de resolver la desigualdad resultante, el valor de x  3 debe excluirse. L Determinación de niveles terapéuticos mínimos EJEMPLO 6 Para que un medicamento tenga un efecto benéfico, su concentración en el torrente sanguíneo debe exceder de cierto valor, que se denomina nivel terapéutico mínimo. Suponga que la concentración c (en mgL) de un medicamento particular t horas después de tomarlo oralmente está dada por c 20t . t 4 2 Si el nivel terapéutico mínimo es 4 mg/L, determine cuándo este nivel se rebasa. SOLUCIÓN El nivel terapéutico mínimo, 4 mgL, se rebasa si c debemos resolver la desigualdad 20t t 4 2 4. Así, 4. Como t 2  4 0 para toda t, podemos multiplicar ambos lados por t 2  4 y continuar como sigue: 20t 4t 2  16 permisible, porque t 2  4 4t 2  20t  16 0 iguale a 0 un lado t  5t  4 0 divida entre el factor común 4 t  1t  4 0 factorice 2 0 Los factores de la última desigualdad son 0 cuando t  1 y t  4. Éstos son los tiempos en los que c es igual a 4. Al igual que en ejemplos previos, podemos usar una tabla de signos o diagrama de signos (con t 0) para demostrar que t  1t  4 0 para toda t en el intervalo 1, 4. Por lo tanto, el nivel terapéutico mínimo se rebasa si 1 t 4. L Debido a que las gráficas en un plano de coordenadas se introducen en el siguiente capítulo, sería prematuro demostrar aquí el uso de una calculadora graficadora o software para resolver desigualdades en x. Estos métodos se van a considerar en el texto más adelante. Algunas propiedades básicas de desigualdades se expusieron al principio de la última sección. Las siguientes propiedades adicionales son útiles para resolver ciertas desigualdades. Las pruebas de las propiedades se dan después de la gráfica. 127 2.7 Más sobre desigualdades Propiedades adicionales de desigualdades Propiedades 1 a (1) Si 0 a b, entonces (2) Si 0 a b, entonces 0 a b, entonces 0 (3) Si 0 Ejemplos 1 . b b 2. a2 2a 2b. Si 0 1 x Si 0 2x Si 0 2 x 1 1x 4, entonces  2x 2 4, entonces 0 4, entonces 0 1 . 4 1 ,ox 4 2x 4 2, o 0 24, o 0 2 16. x 2. x PRUEBAS (1) Si 0 a a b, entonces multiplicar por 1ab da 1 ab b 1 , ab o 1 b 1 ; esto es, a 1 a 1 . b (2) Si 0 a b, entonces multiplicar por a da a  a a  b y multiplicar por b da b  a b  b, de modo que a2 ab b2 y por lo tanto a2 b2. (3) Si 0 a b, entonces b  a 0, o bien, lo que es equivalente, 2b  2a 2b  2a  0. Dividir ambos lados de la última desigualdad entre 2b  2 a, para obtener 2b  2a 0; es decir, 2b 2a . L 2.7 Ejercicios Ejer. 1-40: Resuelva la desigualdad, y exprese las soluciones en términos de intervalos siempre que sea posible. 1 3x  15  10x   31 , 12  0 3 x  2x  14  x 4 x  5x  32  x 5 x2  x  6 0 2, 3 2 2  3x4x  7 0  32 , 47  0 2, 1 傼 4,  3 , 2 傼 4,  9 x2x  3  , 25 11 6x  8 5  傼 1,  2 x 2, 4 6 x 2  4x  3 0 4 3, 7 4 16 4, 4 14 x 2 16 25x 2  9x 18 16x 2 9x 0  0, 259  9  ,  43  傼  34 ,   9 , 0 傼  16 ,  20 x 4  15x 2 36  1, 34  2 x 22 2x 3  3x 2  2x  3 23 16 1, 1 9 , 3 傼 3,  x 2x  2 x  2x  1 0 2 傼 2,  3 0 , 1 傼  1, 2  24 0 , 2 傼 2, 1 傼 0 x2  x 25 2 x  2x 27 x2 x 2  3x  10 2, 2 傼 5,  x 2  1x  3 x2  9 0 3, 3 傼 3,  26 0 2, 0 傼 0, 1 , 3 傼 4,  13 x 2   53 , 35  21 x 3  2x 2  4x  8 8 x 2  4x  17 10 x3x  1 0 , 2 傼 2,  0 3, 2 傼 5,  12 x  12 17 16x2 19 x 4  5x 2 , 3 傼 1,  7 x 2  2x  5 15 25x 2  9 x  322  x x  4x 2  4 0 , 4 傼 3 傼 2, 2 傼 2,  0 28 x5 x 2  7x  12 , 5 傼 3, 4 0 128 29 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 3x x2  9 30 0 , 3 傼 0, 3 31 x1 2x  3 1 33 x2 2  32 , 37  4, 0 傼 4,  32 3 x1 3 5x  1 1 x3 x 2x  1 3 x2  8,  23  傼 5,  2 x1 36 x 3x  5 2 x1 38  1, 53  傼 2, 5 39 x 4 2 x5 4 3x  2 3 x2 3x  5 2 34 2x  3 , 5 傼   51 , 3   1, 32  傼 4,  37 0 , 2 傼   35 ,   , 1 傼  2, 72  35 2x 16  x 2 x 1, 0 傼 1,  , 2 傼  12 , 1  傼 3,  40 x 4 47 Propagación de salmón Para una población particular de salmón, la relación entre el número S de peces hembra y el número R de descendientes, que sobreviven hasta la edad adulta, está dada por la fórmula R  4500SS  500. ¿Bajo qué condiciones es R S? 48 Densidad de población La densidad D de población (en habitantes/mi2) en una gran ciudad está relacionada con la distancia x desde el centro de la ciudad por D  5000xx 2  36. ¿En qué partes de la ciudad es que la densidad de población rebasa las 400 personas/mi2? 49 Peso en el espacio Después de que un astronauta es lanzado al espacio, su peso disminuye hasta alcanzar un estado de ingravidez. El peso de una astronauta de 125 libras a una altitud de x kilómetros sobre el nivel del mar está dado por W  125 , 1 傼 0 傼 1,  Ejer. 41-42: Cuando una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria recta, su velocidad v (en cm/s) en el tiempo t (en segundos), está dada por la ecuación. ¿Para qué subintervalos del intervalo dado [a, b] su velocidad será al menos k cm/s? 41 v  t 3  3t 2  4t  20; [0, 5]; k  8 0, 2 傼 3, 5 42 v  t 4  4t 2  10; k  10 2, 6 [1, 6]; 43 Récord de salto vertical El Libro Guiness de Records Mundiales informa que los perros pastores alemanes pueden dar saltos verticales de más de 10 pies cuando escalan paredes. Si la distancia s (en pies) desde el suelo después de t segundos está dada por la ecuación s  16t 2  24t  1, ¿durante cuántos segundos está el perro a más de 9 pies del 1 suelo? 2 sec 44 Altura de un objeto lanzado Si un objeto se proyecta verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 ft/s, entonces su distancia s sobre el suelo después de t segundos está dada por s  16t 2  320t. ¿Para qué valores de t estará el objeto a más de 1536 pies sobre el suelo? 45 Distancia de frenado La distancia d de frenado (en pies) de cierto automóvil que corre a v mi/h está dada por la ecuación d  v  v 220. Determine las velocidades que resulten en distancias de frenado de menos de 75 pies. 46 Rendimiento de combustible El número de millas M, que cierto auto compacto puede viajar con 1 galón de gasolina, está relacionado con su velocidad v (en mi/h) por M  301 v 2  52 v para 0 v 70. ¿Para qué velocidades será M al menos de 45?   x2 6400 2 . 6400  x ¿A qué altitudes el peso de la astronauta es menor a 5 libras? 50 Fórmula de contracción de Lorentz La fórmula de contracción de Lorentz, en teoría de la relatividad, relaciona la longitud L de un objeto que se mueve a una velocidad de v mi/s con respecto a un observador y su longitud L0 en reposo. Si c es la velocidad de la luz, entonces   L2  L 20 1  v2 . c2 ¿Para qué velocidades L será menor a 12 L 0? Exprese la respuesta en términos de c. 51 Velocidad de aterrizaje de aviones En el diseño de cierto avión pequeño de turbohélice, la velocidad V de aterrizaje (en ft/s) está determinada por la fórmula W  0.00334V 2S, donde W es el peso bruto (en libras) de la nave y S es el área superficial (en ft2) de las alas. Si el peso bruto de la nave es entre 7500 y 10,000 libras y S  210 ft2, determine el rango de las velocidades de aterrizaje en millas por hora. Ejer. 52-53: Use una tabla de valores para ayudar en la solución de la desigualdad en el intervalo dado. 52 2  x3x  9 1  xx  1 0, 2, 3.5 2, 1 傼 1, 2 傼 3, 3.5 53 x 4  x 3  16x 2  4x  48 3, 2 傼 2, 4 0, 3.5, 5 Capítulo 2 Ejercicios de repaso 129 C APÍTULO 2 EJERCICIOS DE REPASO Ejer. 1-24: Resuelva la ecuación. 1 3x  1 6x  11 5  5x  7 10x  3 6 3 2 3 5 32   x  5 2x  1 6x  3 2 2 4 1 1 x x 31 5 1 2 2x Every x 1  2 2x 35 16  3x 9 x  2x  1  3 1 2   221 5 2 ,  22 11 x 2/3  2x 1/3  15  0 27, 125 2 1 5 15 6x  29x  28  0 2 3  214i,  23i 3 17 4x  1  7  2 , 2 19 5 1 6 x 2x 38 xx  3 6 40 x 1 1 4,9 3 20 2 4x  5  2  0 13 4 21 27x  2  x  6 2 4 22 2x  4  2 6x  19 23 23x  1  2x  4  1 24 x 4/3  16 8 3, 1 5 Ejer. 25-26: Resuelva la ecuación completando el cuadrado. 25 3x 2  12x  3  0 42  傼 2, 9 x1 x 2  25 0 , 5 傼 1, 5 1,  0 0, 1 傼 2, 3 45 P  N  46 A  B 3 C2 2 despeje C C  PN1 C C CB3  E despeje D D  (A  E)3 D 47 V  43 r 3 despeje r r  48 F  3 3V (volumen de una esfera) 4 (ley de Poiseuille para fluidos) PR 4 despeje R 8VL 49 c  24h2R  h despeje h 5  213i (base de un segmento circular) h  R  21 24R 2  c 2 Ejer. 27-44: Resuelva la desigualdad, y exprese las soluciones en términos de intervalos siempre que sea posible 1 29  2 0 Ejer. 45-50: Despeje la variable especificada. 26 x 2  10x  38  0 2  23 27 x  32 x2  x  2 x 2  4x  3 3, 1 傼 1, 2 1 x2 2 10 2, 5 0 44 x 2  xx 2  5x  6 16 x 4  3x 2  1  0  21 6  2 25 18 2 2x  1  1  19 2 1 2 27, 3 4  61  61 271i  15 214i 4  ,  23 x6 52 14 x 2  31 x  2  0 13 5x 2  2x  3 3 41 2x  3 43 x  12 12 20x  8x  35x  14  0 3 x 23  x x2 5 2, 4 傼 8, 10 , 2 傼 0 傼 3,  10 4x 4  33x 2  50  0 1 2 36 2  ,  23  傼  25 ,   39  7, 72  0, 6 5 37 10x2  11x 21 34 2 x  3  1 5  , 113  傼 7,  x x1 8  3x  1 2x  3 7 x3x  4  5 32 4x  7 , 1 傼 5,  6 2x 2  5x  12  0 2x 0  , 103  0 33 2 3  x  1 7 6 3 4   No solution x  2 x 2  4 2x  4 5 6 10x  3 28 10  7x 0 3 2x  3 5 30 3x  110x  4 3 2   9  11 4 ,4 2 3,  4  2x r hR  212hV  3 h R 2h Ejer. 51-56: Exprese en la forma a ⴙ bi, donde a y b son números reales.  6x  55x  7 50 V  13 hr 2  R 2  rR despeje r (volumen del tronco de un cono) 2 2 2  1323 ,   51 7  5i  8  3i 15  2i 52 4  2i5  4i 28  6i 130 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 53 3  8i2 55  48i 54 6  3i  9  48 i 2  7i 53 53 56 55 1 9  24 9 85 2  85 i 20  8i 2  5i 4i 57 Regla del 90 En un sindicato particular de profesores, un profesor se puede retirar cuando la edad del profesor más sus años de servicio sean al menos 90. Si un profesor de 37 años de edad tiene 15 años de servicio, ¿a qué edad será elegible para retirarse? Haga suposiciones razonables. 58 Resistencia eléctrica Cuando dos resistores R1 y R2 se conectan en paralelo, la resistencia neta R está dada por 1R  1R1   1R2 . Si R1  5 ohms, ¿qué valor de R2 hará que la resistencia neta sea de 2 ohms? 59 Ingreso por inversiones Un inversionista tiene una opción de dos inversiones: un capital en bonos y un capital en acciones. El capital en bonos da 7.186% de interés anualmente, que no paga impuestos a niveles federal y estatal. Suponga que el inversionista paga impuestos federales a una tasa de 28% e impuestos estatales a una tasa de 7%. Determine cuál rendimiento anual debe ser en el capital pagable de acciones para que los dos capitales paguen la misma cantidad de ingreso de interés neto al inversionista. 60 Mezcla de oro y plata Un anillo que pesa 80 gramos está hecho de oro y plata. Al medir el desplazamiento del anillo en agua, se ha determinado que el anillo tiene un volumen de 5 cm3. El oro pesa 19.3 g/cm3 y la plata pesa 10.5 g/cm3. ¿Cuántos gramos de oro contiene el anillo? 61 Preparación de alimentos en un hospital La dietista de un hospital desea preparar un platillo de 10 onzas de carne y verduras que dará 7 gramos de proteína. Si una onza de la 1 porción de verduras da 2 gramo de proteína y una onza de carne da 1 gramo de proteína, ¿cuánto debe usar de cada una? 62 Preparación de un bactericida Una solución de alcohol etílico que es 75% de alcohol por peso, se ha de usar como bactericida. La solución se va a preparar agregando agua a una solución de alcohol etílico al 95%. ¿Cuántos gramos de cada uno deben usarse para preparar 400 gramos del bactericida? 63 Calentamiento solar Un panel solar de calefacción requiere 120 galones de un fluido que es 30% anticongelante. Este fluido viene en solución al 50% o en solución al 20%. ¿Cuántos galones de cada uno deben usarse para preparar una solución de 120 galones? 64 Consumo de combustible Un bote tiene un tanque de 10 galones de gasolina y navega a 20 mi/h con un consumo de combustible de 16 mi/gal cuando opera a toda velocidad en aguas en calma. El bote se mueve corriente arriba en una co- rriente de 5 mi/h. ¿A qué distancia corriente arriba puede navegar el bote y regresar gastando 10 galones de gasolina si se opera a toda velocidad durante todo el viaje? 65 Viaje en tren Un tren de alta velocidad hace un viaje de 400 1 millas sin escala entre dos ciudades importantes en 52 horas. El tren corre a 100 mi/h en el campo, pero los reglamentos de seguridad exigen que corra a sólo 25 mi/h cuando pase por ciudades intermedias más pequeñas. ¿Cuántas horas transcurren viajando por las ciudades más pequeñas? 66 Velocidad del viento Un avión voló a favor del viento durante 30 minutos y regresó la misma distancia en 45 minutos. Si la velocidad de crucero del avión fue de 320 mi/h, ¿cuál fue la velocidad del viento? 67 Velocidad de rebase Un automóvil de 20 pies de largo rebasa a un camión de 40 pies de largo que corre a 50 mi/h (vea la figura). ¿A qué velocidad constante debe correr el auto para pasar al camión en 5 segundos? Ejercicio 67 50 mi/h r mi/h 68 Llenado de una tolva Una máquina de moldeo puede llenar una tolva vacía en 2 horas y el personal de empacado puede vaciar una tolva llena en 5 horas. Si una tolva está llena a la mitad cuando una máquina de moldeo empieza a llenarla y el personal de empacado empieza a vaciarla, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse la tolva? 69 Rendimiento de combustible Una representante de ventas de una empresa estima que el consumo de gasolina de su automóvil promedia 28 millas por galón en carretera y 22 mpg en la ciudad. En un viaje reciente recorrió 627 millas y consumió 24 galones de gasolina. ¿Cuánto del viaje se hizo en la ciudad? 70 Expansión de una ciudad El recorrido más largo al centro de una ciudad de forma cuadrada desde las afueras es de 10 millas. Dentro de la última década, la ciudad se ha expandido en un área de 50 mi2. Suponiendo que la ciudad siempre ha tenido forma cuadrada, encuentre el cambio correspondiente en el viaje más largo al centro de la ciudad. Capítulo 2 Ejercicios de repaso 71 Dimensiones de la membrana de una célula La membrana de una célula es una esfera de radio de 6 micrones. ¿Qué cambio en el radio aumentará el área superficial de la membrana en un 25%? 72 Viaje en carretera Una carretera en sentido norte-sur cruza otra carretera en sentido este-oeste en un punto P. Un automóvil cruza P a las 10 a.m., viajando al este a una velocidad constante de 20 mi/h. En el mismo instante, otro automóvil está a 2 millas al norte de P, viajando al sur a 50 mi/h. (a) Encuentre una fórmula para la distancia d entre los automóviles t horas después de las 10:00 a.m. (b) ¿Aproximadamente a qué hora estarán los autos a 104 millas entre sí? 73 Cercado de una perrera El dueño de una perrera tiene 270 pies de material para cercar y dividir un área rectangular en 10 jaulas iguales, como se ve en la figura. Encuentre dimensiones que permitan 100 ft2 para cada una de las jaulas. Ejercicio 73 74 Dimensiones de un acuario Un acuario sin tapa se va a construir con costados de 6 pies de largo y extremos cuadrados, como se ve en la figura. (a) Encuentre la altura del acuario si el volumen ha de ser de 48 ft3. (b) Encuentre la altura si se van a usar 44 ft2 de vidrio. Ejercicio 74 131 75 Dimensiones de una piscina La longitud de una piscina rectangular debe medir cuatro veces su ancho y una banqueta de 6 pies de ancho ha de rodear la piscina. Si un área total de 1440 ft2 se ha reservado para la construcción, ¿cuáles son las dimensiones de la piscina? 76 Dimensiones de un baño Un contratista desea diseñar un baño hundido rectangular con 40 ft2 de área de baño. Un pasillo de teja de 1 pie de ancho rodeará el área de baño. La longitud total del área con teja debe ser el doble del ancho. Encuentre las dimensiones del área de baño. 77 Crecimiento poblacional La población P (en miles) de un pequeño poblado se espera que aumente de acuerdo con la fórmula P  15  23t  2, donde t es el tiempo en años. ¿Cuándo será de 20,000 la población? 78 Ley de Boyle La ley de Boyle para cierto gas expresa que si la temperatura es constante, entonces pv  200, donde p es la presión (en lb/in2) y v es el volumen (en in3). Si 25 v 50, ¿cuál es el correspondiente intervalo para p? 79 Comisión de ventas Un estudiante recién graduado de universidad tiene ofertas de trabajo para una posición de vendedor en dos empresas de computadoras. El trabajo A paga $50,000 por año más 10% de comisión. El trabajo B paga sólo $40,000 al año, pero el porcentaje de comisión es 20%. ¿Cuántas ventas al año debe hacer el vendedor para que el segundo trabajo sea más lucrativo? 80 Velocidad del sonido La velocidad del sonido en el aire a 0°C (o 273 K) es 1087 ft/s, pero su velocidad aumenta a medida que la temperatura sube. La velocidad v del sonido a una temperatura T en K está dada por v  1087 2T273. ¿A qué temperaturas es que la velocidad del sonido rebasa los 1100 ft/s? 81 Periodo de un péndulo Si la longitud del péndulo en un reloj del abuelo es l centímetros, entonces su periodo T (en segundos) está dado por T  2 2lg, donde g es una constante gravitacional. Si, durante ciertas condiciones, g  980 y 98 l 100, ¿cuál es el correspondiente intervalo para T? 6 82 Órbita de un satélite Para que un satélite mantenga una órbita de h kilómetros de altitud, su velocidad (en km/s) debe ser igual a 626.4 2h  R, donde R  6372 km es el radio de la Tierra. ¿Qué velocidades resultarán en órbitas con una altitud de más de 100 kilómetros desde la superficie terrestre? 132 CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 83 Instalar una cerca de un terreno Hay 100 pies de cerca para encerrar un terreno. ¿Para qué anchos el terreno cercado contendrá al menos 600 ft2? 84 Plantar una huerta de manzanas El propietario de una huerta de manzanas estima que si se plantan 24 árboles por acre, entonces cada árbol maduro dará 600 manzanas por año. Por cada árbol adicional plantado por acre, el número de manzanas producidas por cada árbol disminuye en 12 por año. ¿Cuántos árboles debe plantar por acre para obtener al menos 16,416 manzanas por año? 85 Rentas de departamentos Una empresa de bienes raíces posee 218 departamentos en edificios, que están ocupados por completo cuando la renta es $940 al mes. La empresa estima que por cada $25 de aumento en renta, 5 departamentos se desocuparán. ¿Qué renta debe cobrarse para pagar las facturas mensuales, que totalizan $205,920? 86 Escoja la ecuación que mejor describa la tabla de datos. (3) (1) y  1.5529x  0.5684 x y 1 2.1213 2 3.6742 3 4.7434 4 5.6125 5 6.3640 (2) y  3  x2  1 x (3) y  3 2x  0.5 (4) y  3x1/3  1.1213 CAPÍTULO 2 EJERCICIOS DE ANÁLISIS 1 Cuando factorizamos la suma o diferencia de cubos, x 3  y 3, ¿el factor x 2  xy  y 2 es siempre factorizable en los números reales? No 2 Cuál es el promedio de las dos soluciones de la ecuación cuadrática arbitraria ax 2  bx  c  0? Analice cómo es que este conocimiento puede ayudarlo a probar fácilmente las soluciones de una ecuación cuadrática. b 2a 3 (a) Encuentre una expresión de la forma p  qi para el inverso multiplicativo de a  bi , donde a, b, c y d c  di son números reales. ac  bd a2  b2  ad  bc i a2  b2 (b) ¿La expresión encontrada se aplica a números reales de la forma ac? Yes (c) las soluciones de la desigualdad de acuerdo con los signos de a y D. 6 Nivel de congelación en una nube Consulte los ejercicios 37-39 de la sección 2.2. (a) Aproxime la altura del nivel de congelación en una nube si la temperatura del suelo es de 80°F y el punto de rocío o condensación es 68°F. 11,006 ft (b) Encuentre una fórmula para la altura h del nivel de congelación en una nube con una temperatura del suelo G y punto de rocío D. h  16 2497D  497G  64,000 7 Explique por qué no se debe tratar de resolver una de estas ecuaciones. 22x  3  2x  5  0 ¿Hay alguna restricción en su respuesta a la parte (a)? a and b cannot both be 0 x1 4 Al resolver la desigualdad 3, ¿qué está mal al x2 emplear x  1 3x  2 como primer paso? 5 Considere la desigualdad ax2  bx  c 0, donde a, b, y c son números reales con a 苷 0. Suponga que la igualdad asociada ax2  bx  c  0 tiene discriminante D. Clasifique 3 3 2 2x  3  2 x  5  0 8 De la ecuación 2x  cx  2/c despeje x, donde c  2  10500. Analice por qué una de sus soluciones positivas es extraña. 1 ; cx  2c must be nonnegative 101000 3 Funciones y gráficas 3.1 Sistemas de coordenadas rectangulares El término matemático función (o su equivalente latino) data del siglo XVII, cuando el cálculo estaba en las primeras etapas de desarrollo. Este importante concepto es ahora la espina dorsal de cursos avanzados en matemáti- 3.2 Gráficas de ecuaciones cas y es indispensable en todos los campos de las ciencias. 3.3 Rectas determinación de simetrías y cambios horizontales y verticales. Estas téc- 3.4 Definición de función 3.5 Gráficas de funciones 3.6 Funciones cuadráticas 3.7 Operaciones en funciones En este capítulo estudiamos propiedades de funciones con el empleo de métodos algebraicos y gráficos que incluyen la localización de puntos, nicas son adecuadas para obtener bosquejos aproximados de gráficas que nos ayudan a entender propiedades de las funciones; los métodos de nuestro tiempo utilizan programas avanzados de computadoras y matemáticas avanzadas para generar representaciones gráficas de funciones sumamente precisas. 134 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 3.1 En la sección 1.1 estudiamos la forma de asignar un número real (coordenada) a cada punto sobre una recta. Ahora mostraremos cómo asignar un par ordenado a, b de números reales a cada punto en un plano. Aun cuando también hemos empleado la notación a, b para denotar un intervalo abierto, hay poca probabilidad de confusión puesto que en nuestra exposición siempre debe estar claro si a, b representa un punto o un intervalo. Introducimos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas,∗ en un plano por medio de dos rectas perpendiculares coordenadas, llamadas ejes de coordenadas, que se cruzan en el origen O, como se ve en la figura 1. Muchas veces nos referimos a la recta horizontal como eje x y a la vertical como eje y y los marcamos como x y y, respectivamente. El plano es entonces un plano coordenado o plano xy. Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro partes denominadas primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes, marcados como I, II, III y IV, respectivamente (vea la figura 1). Los puntos sobre los ejes no pertenecen a cuadrante alguno. A cada punto P en un plano xy se asigna un par ordenado a, b, como se ve en la figura 1. A a le damos el nombre de coordenada x (o abscisa) de P, y b es la coordenada y (u ordenada). Decimos que P tiene coordenadas a, b y nos referimos al punto a, b o punto Pa, b. Recíprocamente, todo par ordenado a, b determina un punto P con coordenadas a y b. Se traza un punto mediante un punto, como se ilustra en la figura 2. Sistemas de coordenadas rectangulares Figura 1 Figura 2 y y (0, 5) II III b P(a, b) I 1 O (4, 3) 1 a IV (5, 2) 1 x (4, 0) (5, 3) (0, 0) O x 1 (0, 3) (5, 3) Para hallar la distancia entre dos puntos de un plano coordenado se usa la fórmula siguiente. Fórmula de la distancia La distancia dP1, P2 entre cualesquier dos puntos P1x1, y1 y P2x2, y2 en un plano coordenado es dP1, P2  2x2  x12   y2  y12. * El término cartesianas se usa en honor al matemático y filósofo René Descartes (1596-1650), que fue uno de los primeros en emplear estos sistemas de coordenadas. 3 .1 S i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s Figura 3 135 PRUEBA Si x1 苷 x2 y y1 苷 y2, entonces, como se ilustra en la figura 3, los puntos P1, P2 y P3x2, y1 son vértices de un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras, y P2 (x 2, y 2 ) dP1, P22  dP1, P32  dP3, P22. De la figura vemos que y2  y1 dP1, P3  x2  x1 x P1(x 1, y 1 ) x 2  x1 y dP3, P2  y2  y1 . Como a 2  a2 para todo número real a, podemos escribir P3 (x 2, y 1 ) dP1, P22  x2  x12   y2  y12. Tomando la raíz cuadrada de cada lado de la última ecuación y usando el hecho de que dP1, P2 0 tendremos la fórmula de la distancia. Si y1  y2, los puntos P1 y P2 se encuentran en la misma recta horizontal y dP1, P2  x2  x1  2x2  x12. Del mismo modo, si x1  x2, los puntos están en la misma recta vertical y dP1, P2  y2  y1  2 y2  y12. Éstos son casos especiales de la fórmula de la distancia. Aun cuando nos referimos a los puntos mostrados en la figura 3, nuestra prueba es independiente de las posiciones de P1 y P2. L Cuando aplique la fórmula de la distancia, observe que dP1, P2  dP2, P1 y, por tanto, el orden en el que restemos las coordenadas x y las coordenadas y de los puntos es intrascendente. Podemos considerar la distancia entre dos puntos como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Figura 4 y A(3, 6) EJEMPLO 1 Hallar la distancia entre puntos Localice los puntos A3, 6 y B5, 1 y encuentre la distancia dA, B. d (A, B ) SOLUCIÓN Los puntos están trazados en la figura 4. Por la fórmula de la distancia, dA, B  25  32  1  62  282  52  264  25  289  9.43. B(5, 1) x EJEMPLO 2 L Demostrar que un triángulo es un triángulo rectángulo (a) Localice A1, 3, B6, 1 y C2, 5 y demuestre que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo. (b) Encuentre el área del triángulo ABC. 136 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Figura 5 SOLUCIÓN (a) Los puntos están trazados en la figura 5. Geométricamente, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo si la suma de los cuadrados de dos de sus lados es igual al cuadrado del lado restante. Por la fórmula de la distancia, y dA, B  26  12  1  32  249  16  265 dB, C  22  62  5  12  216  36  252 dA, C  22  12  5  32  29  4  213. B(6, 1) x A(1, 3) Como dA, B  265 es el mayor de los tres valores, la condición a satisfacer es dA, B2  dB, C2  dA, C2. Sustituyendo los valores hallados usando la fórmula de la distancia, obtenemos C(2, 5) dA, B2   265 2  65 y dB, C2  dA, C2   252 2   213 2  52  13  65. Por tanto, el triángulo es un triángulo rectángulo con hipotenusa AB. (b) El área de un triángulo con base b y altura h es 12 bh. Consultando la figura 5, hacemos Área de un triángulo A  12 bh b  dB, C  252 y h  dA, C  213. En consecuencia, el área del triángulo ABC es 1 2 bh EJEMPLO 3  12 252 213  12  2 213 213  13. L Aplicación de la fórmula de la distancia Dados A1, 7, B3, 2 y C 4, 12 , demuestre que C está en la mediatriz del segmento AB. Los puntos A, B, C y la mediatriz l se ilustran en la figura 6. De geometría plana, l puede caracterizarse por cualquiera de las siguientes condiciones: (1) l es la recta perpendicular al segmento AB en su punto medio. (2) l es el conjunto de todos los puntos equidistantes de los puntos extremos del segmento AB. Usaremos la condición 2 para demostrar que C está en l al verificar que SOLUCIÓN Figura 6 y l B(3, 2) A(1, 7) dA, C  dB, C. ( ) C 4, q x Aplicamos la fórmula de la distancia: 1 13 2 169 205 dA, C  4  12   2  7 2  32    2   9  4   4 3 2 1 2 9 205 dB, C  4  32   2  2   72   2   49  4   4 Por lo tanto, C es equidistante de A y B y la verificación está completa. L 3 .1 S i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s EJEMPLO 4 137 Hallar una fórmula que describa una mediatriz Dados A1, 7 y B3, 2, encuentre una fórmula que exprese el hecho de que un punto arbitrario Px, y está en la mediatriz l del segmento AB. Por la condición 2 del ejemplo 3, Px, y está en l si y sólo si dA, P  dB, P; esto es, SOLUCIÓN 2x  12   y  72  2x  32   y  22. Para obtener una fórmula más sencilla, elevemos al cuadrado ambos lados y simplifiquemos términos de la ecuación resultante, como sigue: x  12   y  72  x  32   y  22 x  2x  1  y 2  14y  49  x 2  6x  9  y 2  4y  4 2x  1  14y  49  6x  9  4y  4 8x  10y  37 8x  10y  37 2 Nótese que, en particular, la última fórmula es verdadera para las coordenadas 1 del punto C 4, 12  en el ejemplo 3, porque si x  4 y y  2, la sustitución en 8x  10y nos da 8  4  10  21  37. En el ejemplo 9 de la sección 3.3, encontraremos una fórmula para la mediatriz de un segmento usando la condición 1 del ejemplo 3. L Podemos hallar el punto medio de un segmento de recta al usar la fórmula siguiente. Fórmula del punto medio El punto medio M del segmento de recta de P1x1, y1 a P2x2, y2 es   x1  x2 y1  y2 , . 2 2 Las rectas que pasan por P1 y P2 paralelamente al eje y se cruzan con el eje x en A1x1, 0 y A2x2, 0. De geometría plana, la recta que pasa por el punto medio M, paralela al eje y, corta al segmento A1A2 en el punto M1 (vea la figura 7). Si x1 x2, entonces x2  x1 0 y por tanto dA1, A2  x2  x1. Como M1 está a la mitad de A1 a A2, la coordenada x de M1 es igual a la coordenada x de A1 más la mitad de la distancia de A1 a A2, esto es, DEMOSTRAC IÓN coordenada x de M1  x1  21 x2  x1. (continúa) 138 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Figura 7 La expresión del lado derecho de la última ecuación se simplifica a y x1  x2 . 2 P2 (x2, y2 ) Este cociente es el promedio de los números x1 y x2. Se deduce que la coordenada x de M es también x1  x22. Del mismo modo, la coordenada y de M es  y1  y22. Estas fórmulas se cumplen para todas las posiciones de P1 y P2. M P1(x1, y1 ) Para aplicar la fórmula del punto medio, puede ser suficiente recordar que A1(x1, 0) M1 x A2 (x2, 0) la coordenada x del punto medio 苷 el promedio de las coordenadas x, y que la coordenada y del punto medio 苷 el promedio de las coordenadas y. EJEMPLO 5 Hallar un punto medio Encuentre el punto medio M del segmento de recta de P12, 3 a P24, 2, y verifique que dP1, M  dP2, M. Figura 8 SOLUCIÓN y Por la fórmula del punto medio, las coordenadas de M son     2  4 3  2 , , 2 2 P1(2, 3) ( ) M 1, q x P2 (4, 2) o 1, 1 . 2 Los tres puntos P1, P2 y M se grafican en la figura 8. Por la fórmula de la distancia, 1 2 25 dP1, M  1  22   2  3   9  4 1 2 25 dP2, M  1  42   2  2   9  4 . Por lo tanto, dP1, M  dP2, M . L El término dispositivo de gráficas se refiere a una calculadora o computadora equipada con paquetes de software apropiados. El rectángulo de observación del dispositivo de gráficas es simplemente la porción del plano xy mostrado en la pantalla. Las fronteras (lados) del rectángulo de observación se pueden ajustar manualmente si asignamos un valor mínimo x (Xmín), un valor máximo x (Xmáx), la diferencia entre las contraseñas sobre el eje x (Xscl), un valor mínimo y (Ymín), un valor máximo y (Ymáx) y la diferencia entre las contraseñas sobre el eje y (Yscl). En ejemplos, muchas veces usamos los valores estándar (o por defecto) para el rectángulo de observación. Estos valores dependen de las dimensiones (medidas en píxeles) de la pantalla del dispositivo de gráficas. Si deseamos una vista diferente de la gráfica, usamos la frase “usando Xmín, Xmáx, Xscl por Ymín, Ymáx, Yscl” para indicar el cambio en el rectángulo de observación. Si Xscl y/o Yscl se omiten, el valor “por defecto” es 1. 3 .1 S i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s 139 Graficación de puntos en una calculadora graficadora EJEMPLO 6 Las estimaciones de la población de Estados Unidos, para el 1 de julio de varios años, aparecen en la tabla. Año Población (a) Grafique los datos 2001 285,107,923 (b) Use la fórmula del punto medio para estimar la población en 2003. 2002 287,984,799 (c) Encuentre el aumento porcentual en población de 2004 a 2004 293,656,842 2005. 2005 SOLUCIÓN Entran los datos. TI-83/4 Plus TI-86 (a) Ponga años en L1 (lista 1), poblaciones en L2. Ponga años en xStat, poblaciones en yStat. STAT 2002 Encienda la STAT PLOT. Grafique los datos. 296,410,404 1 ENTER 2001 ENTER 2004 ENTER 䉭 (4 veces) 䉯 287 984 799 ENTER 296 410 404 ENTER 2nd STAT PLOT 285 107 923 2005 293 656 842 1 ENTER ENTER ENTER ENTER 2nd STAT 2002 ENTER EDIT(F2) 2004 䉭 (4 veces) 䉯 287 984 799 ENTER 296 410 404 ENTER 2nd STAT 2001 ENTER 2005 285 107 923 ENTER ENTER 293 656 842 PLOT(F3) ENTER ENTER PLOT1(F1) ENTER Asegúrese de apagar o borrar todas las asignaciones Y. Si usa ZOOM STAT o ZDATA, la calculadora automáticamente seleccionará el rectángulo de observación para que todos los datos se exhiban. ZOOM 9 GRAPH ZDATA(F5) ZOOM(F3) MORE CLEAR (continúa) 140 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Compruebe los valores en pantalla. WINDOW WIND(F2) GRAPH (b) Para estimar la población en 2003, hallaremos el promedio de las estimaciones de población de 2002 y 2004. 2nd QUIT 2nd ( 2nd ( L2 ) 2  2nd ) 3 (  ENTER L2 2 ENTER QUIT yStat(F3) 2nd NAMES(F3) LIST ( 2 ) 2 ENTER  yStat(F3) ) 3  ENTER El valor hallado, 290,820,820.5, es una buena aproximación a la estimación real de 2003, que fue 290,850,005. (c) Para hallar el aumento porcentual de población de 2004 a 2005, necesitamos dividir la diferencia en las poblaciones entre la población de 2004. CLEAR 2nd ( L2 4 ) CLEAR 2nd NAMES(F3) LIST  2nd L2 ( 3 ) ENTER yStat(F3)  2nd L2 ( 3 ) ENTER  yStat(F3) ( 3 ) ENTER  yStat(F3) ( 3 ) ENTER Hubo un aumento de alrededor de 0.94% de 2004 a 2005. ( ) 4 L 3 .1 S i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s 3.1 141 Ejercicios 1 Grafique los puntos A5, 2, B5, 2, C5, 2, D5, 2, E3, 0, y F0, 3 en un plano de coordenadas. Ejer. 7-8: Describa el conjunto de todos los puntos P(x, y) de un plano de coordenadas que satisfaga la condición dada. 7 (a) x  2 2 Grafique los puntos A3, 1, B3, 1, C2, 3, D0, 3, y E2, 3 en un plano de coordenadas. Trace los segmentos de recta AB, BC, CD, DE y EA. 3 Grafique los puntos A0, 0, B1, 1, C3, 3, D1, 1, y E2, 2. Describa el conjunto de todos los puntos de la forma a, a, donde a es un número real. (d) xy 8 (a) y  2 4 Grafique los puntos A0, 0, B1, 1, C3, 3, D1, 1, y E3, 3. Describa el conjunto de todos los puntos de la forma a, a, donde a es un número real. Ejer. 5-6: Encuentre las coordenadas de los puntos A-F. 5 y 0 (d) xy  0 F A (c) x (e) y (f ) x  0 0 0 (b) x  4 (c) xy (e) y (f ) y  0 1 0 Ejer. 9-14: (a) Encuentre la distancia d(A, B) entre A y B. (b) Encuentre el punto medio del segmento AB. 9 A4, 3, B (b) y  3 B6, 2 10 A2, 5, B4, 6 11 A5, 0, B2, 2 12 A6, 2, B6, 2 13 A7, 3, B3, 3 14 A4, 7, B0, 8 E x C D Ejer. 15-16: Demuestre que el triángulo con vértices A, B y C es un triángulo rectángulo y encuentre su área. 6 15 y y A A C E B D F C x x B 142 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 16 28 Encuentre todos los puntos sobre el eje x que estén a una distancia 5 de P2, 4. y C 29 Encuentre el punto con coordenadas de la forma 2a, a que esté en el tercer cuadrante y se sitúa a una distancia 5 de P1, 3. A x 30 Encuentre todos los puntos con coordenadas de la forma a, a que esté a una distancia 3 de P2, 1. 31 ¿Para qué valores de a la distancia entre Pa, 3 y Q5, 2a es mayor que 226? B 17 Demuestre que A4, 2, B1, 4, C3, 1, y D2, 3 son vértices de un cuadrado. 18 Demuestre que A4, 1, B0, 2, C6, 1, y D2, 2 son vértices de un paralelogramo. 19 Dado A3, 8, encuentre las coordenadas del punto B tal que C5, 10 es el punto medio del segmento AB. 20 Dados A5, 8 y B6, 2, encuentre el punto en el seg3 mento AB que esté a 4 de la distancia de A a B.   134 ,  12  Ejer. 21-22: Demuestre que C está en la mediatriz del segmento AB. 32 Dados A2, 0 y B2, 0, encuentre una fórmula que no contenga radicales y que exprese el hecho de que la suma de las distancias de Px, y a A y B, respectivamente, sea 5. 33 Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es equidistante de los vértices. (Sugerencia: Marque los vértices del triángulo O0, 0, Aa, 0, y B0, b.) 34 Demuestre que las diagonales de cualquier paralelogramo se bisecan entre sí. (Sugerencia: Marque tres de los vértices del paralelogramo O0, 0, Aa, b, y C0, c.) Ejer. 35-36: Trace la gráfica de los puntos en el rectángulo de observación dado. 21 A4, 3, B6, 1, C5, 11 35 A5, 3.5, B2, 2, C1, 0.5, D4, 1, y E7, 2.5 en 10, 10 por 10, 10 22 A3, 2, B5, 4, C7, 7 36 A10, 4, B7, 1.1, C0, 6, E9, 2.1 en 12, 12 por 8, 8 Ejer. 23-24: Encuentre una fórmula que exprese el hecho de que un punto arbitrario P(x, y) está en la mediatriz l del segmento AB. 23 A4, 3, B6, 1 24 A3, 2, B5, 4 25 Encuentre una fórmula que exprese el hecho de que Px, y está a una distancia 5 del origen. Describa el conjunto de todos esos puntos. 26 Encuentre una fórmula que exprese que Px, y está a una distancia r 0 de un punto fijo Ch, k. Describa el conjunto de todos esos puntos. 27 Encuentre todos los puntos sobre el eje y que estén a una distancia 6 de P5, 3. D3, 5.1, y 37 Familias con una computadora La tabla siguiente indica el número de familias con computadora para los años seleccionados, en Estados Unidos. Año Familias 1997 36,600,000 1998 42,100,000 2000 51,000,000 2001 56,300,000 2003 61,800,000 (a) Grafique los datos en la pantalla 1996, 2004 por 35  106, 63  106, 1  106. (b) Examine la forma en que está cambiando el número de familias. 3.2 Gráficas de ecuaciones 38 Periódicos publicados La tabla siguiente indica el número de periódicos publicados en Estados Unidos durante varios años. (a) Grafique los datos en la pantalla 1895, 2005, 10 por 0, 3000, 1000. (b) Use la fórmula del punto medio para estimar el número de periódicos en 1930. Compare su respuesta con el verdadero valor, que es 1942. 3.2 Gráficas de ecuaciones Año Periódicos 1900 2226 1920 2042 1940 1878 1960 1763 1980 1745 2000 1480 143 Con frecuencia se usan gráficas para ilustrar cambios en cantidades. Una gráfica en la sección financiera de un periódico puede mostrar la fluctuación del promedio Dow-Jones durante un mes determinado; un meteorólogo podría usar una gráfica para indicar la forma en que varió la temperatura en todo un día; un cardiólogo emplea gráficas (electrocardiogramas) para analizar irregularidades en el corazón; un ingeniero o físico puede recurrir a una gráfica para ilustrar la forma en que la presión de un gas confinado aumenta cuando se calienta el gas. Estas ayudas visuales por lo general revelan el comportamiento de cantidades con más facilidad que una larga tabla de valores numéricos. Dos cantidades se relacionan a veces por medio de una ecuación o fórmula que contiene dos variables. En esta sección examinamos cómo representar geométricamente una de esas ecuaciones, por una gráfica en un plano de coordenadas. La gráfica puede entonces usarse para descubrir propiedades de las cantidades que no son evidentes sólo de la ecuación. La tabla siguiente introduce el concepto básico de la gráfica de una ecuación con dos variables x y y. Desde luego, otras letras también se pueden usar por variables. Terminología Definición Ejemplo Solución de una ecuación en x y y Un par ordenado (a, b) que hace verdadero un enunciado si xayyb (2, 3) es una solución de y2  5x  1, porque sustituir x  2 y y  3 nos da LIzq: 32  9 LDer: 52  1  10  1  9. Para cada solución a, b de una ecuación en x y y hay un punto Pa, b en un plano de coordenadas. El conjunto de todos estos puntos se denomina gráfica de la ecuación. Para trazar la gráfica de una ecuación, ilustramos las características significativas de la gráfica en un plano de coordenadas. En casos sencillos, una gráfica se puede trazar al localizar algunos puntos, si acaso. Para una ecuación complicada, localizar los puntos puede dar muy poca información acerca de la gráfica. En estos casos, con frecuencia se emplean métodos de cálculo o de gráficas de computadoras. Empecemos con un ejemplo sencillo. EJEMPLO 1 Trazar una gráfica sencilla localizando los puntos Trace la gráfica de la ecuación y  2x  1. 144 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Figura 1 SOLUCIÓN Deseamos hallar los puntos x, y en un plano de coordenadas que corresponde a las soluciones de la ecuación. Es conveniente hacer una lista de coordenadas de varios puntos en una tabla, donde para cada x obtenemos el valor para y a partir de y  2x  1: y (3, 5) (2, 3) (1, 1) x 3 2 1 y 7 5 3 0 1 2 3 1 1 3 5 x (0, 1) Los puntos con estas coordenadas parecen estar en una recta y podemos trazar la gráfica de la figura 1. Por lo general, los puntos que hemos localizado no serían suficientes para ilustrar la gráfica de una ecuación, pero en este caso elemental podemos estar razonablemente seguros que la gráfica es una recta. En la siguiente sección estableceremos este hecho. (1, 3) (2, 5) (3, 7) L Es imposible trazar toda la gráfica del ejemplo 1 porque podemos asignar valores a x que son numéricamente tan grandes como se desee. No obstante, al dibujo de la Figura 1 lo denominamos gráfica de la ecuación o trazo de la gráfica. En general, el trazo de una gráfica debería ilustrar sus características esenciales para que las partes restantes (no dibujadas) sean evidentes por sí mismas. Por ejemplo, en la figura 1, el comportamiento final ⎯la forma de la gráfica cuando x toma grandes valores positivos y negativos (es decir, la forma de los extremos derecho e izquierdo)⎯ es evidente para el lector. Si una gráfica termina en algún punto (como sería el caso para una semirecta o segmento de recta), ponemos un punto en el punto extremo apropiado de la gráfica. Como observación general final, si las marcas en los ejes coordenados no tienen leyenda (como en la figura 1), entonces cada marca representa una unidad. Aplicaremos leyenda sólo cuando se usen diferentes unidades en los ejes. Para gráficas arbitrarias, donde las unidades de medida son irrelevantes, omitimos por completo las marcas (vea, por ejemplo las Figuras 5 y 6). Figura 2 EJEMPLO 2 y Trace la gráfica de la ecuación y  x 2  3. (3, 6) (2, 1) SOLUCIÓN Sustituyendo valores por x y encontrando los correspondientes valores de y usando y  x 2  3, obtenemos una tabla de coordenadas de varios puntos en la gráfica: (3, 6) (2, 1) x x (1, 2) Trazar la gráfica de una ecuación (1, 2) y 3 2 1 6 1 2 0 1 2 3 3 2 1 6 (0, 3) Valores más grandes de x producen valores más grandes de y. Por ejemplo, los puntos 4, 13, 5, 22, y 6, 33 están en la gráfica, al igual que 4, 13, 5, 22, y 6, 33. Localizar los puntos dados por la tabla y dibujar una curva suave que pase por estos puntos (en orden de valores crecientes de x) nos da el trazo de la figura 2. L La gráfica de la figura 2 es una parábola y el eje y es el eje de la parábola. El punto más bajo 0, 3 es el vértice de la parábola y decimos que la 3.2 Gráficas de ecuaciones 145 parábola abre hacia arriba. Si invertimos la gráfica, entonces la parábola abre hacia abajo y el vértice es el punto más alto en la gráfica. En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma y  ax 2  c con a 苷 0 es una parábola con vértice 0, c, que abre hacia arriba si a 0 o hacia abajo si a 0. Si c  0, la ecuación se reduce a y  ax2 y el vértice está en el origen, 0, 0. Las parábolas también pueden abrir a la derecha o a la izquierda (vea el ejemplo 5) o en otras direcciones. Usaremos la siguiente terminología para describir el lugar donde la gráfica de una ecuación en x y y interseca el eje x o el eje y. Puntos de intersección de la gráfica de una ecuación en x y y Terminología Intersecciones con eje x Definición Interpretación gráfica y Las coordenadas x de puntos donde la gráfica corta al eje x a Intersecciones con eje y Las coordenadas y de puntos donde la gráfica corta al eje y Cómo hallar Sea y  0 y despeje x. Aquí, a y c son intersecciones con el eje x. c x y Sea x  0 y despeje y. Aquí, b es la intersección con el eje y. b x Una intersección con el eje x a veces se conoce como cero de la gráfica de una ecuación o como raíz de una ecuación. Cuando se use un dispositivo de gráficas para hallar un cruce con el eje x, diremos que estamos usando una raíz funcional. EJEMPLO 3 Hallar intersecciones con el eje x y con el eje y Encuentre intersecciones con los ejes x y y de la gráfica y  x 2  3. SOLUCIÓN La gráfica está trazada en la figura 2 (ejemplo 2). Encontramos las intersecciones como se indica en la tabla precedente. (1) intersecciones con el eje x: y  x2  3 enunciado sea y  0 0  x2  3 ecuación equivalente x2  3 x   23  1.73 tome la raíz cuadrada (continúa) 146 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Así, las intersecciones con el eje x son  23 y 23. Los puntos en los que la gráfica cruza el eje x son 23, 0  y 23, 0 . (2) intersecciones con el eje y: y  x2  3 enunciado y  0  3  3 sea x  0 Así, la intersección con el eje y es 3 y el punto en el que la gráfica cruza el eje y es 0, 3 . L EJEMPLO 4 Trazar la gráfica de una ecuación y hallar intersecciones con los ejes x y y Trace la gráfica de y  x 2  3 y encuentre (o estime) sus intersecciones con los ejes x y y. SOLUCIÓN TI-83/4 Plus TI-86 Apague la función STAT PLOT 1 antes de continuar. Aparece “Done” en la pantalla inicial al terminar la ejecución. 2nd STAT PLOT Haga asignaciones Y. Y X,T,,n Grafique en una pantalla estándar. ZOOM Encuentre la intersección con el eje y. 2nd 4 ENTER 2nd STAT PLOT(F3) PlOff(F5) ENTER  x2 3 6 CALC GRAPH 2nd 1 0 ENTER MORE y(x)(F1) x-VAR ZOOM(M3) ZSTD(F4) MORE EVAL(F1) x2 0  ENTER 3 3.2 Gráficas de ecuaciones Estime las intersecciones con el eje x. 2nd CALC 2 GRAPH MORE MATH(F1) 147 ROOT(F1) Hallaremos la intersección con el eje x positivo. En respuesta a “Left Bound?” mueva el cursor a la derecha para que la coordenada y sea un número negativo pequeño y luego pulse ENTER . En respuesta a “Right Bound?” mueva el cursor a la derecha para que la coordenada y sea un número positivo pequeño y luego pulse ENTER . En respuesta a “Guess?” sólo pulse el eje x. ENTER , porque estamos muy cerca de la intersección con Del ejemplo previo, sabemos que las intersecciones con el eje x son aproximadamente 1.73. Nota de calculadora: Si el lector conoce una aproximación de la intersección con el eje x, entonces puede introducir valores de x para sus respuestas. Las siguientes respuestas producen el mismo resultado que el de líneas antes. ¿A la izquierda? 1 ENTER ¿A la derecha? 2 ENTER ¿Adivinar? 1.5 ENTER L 148 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Si el plano de coordenadas de la figura 2 se dobla a lo largo del eje y, la gráfica que se encuentra en la mitad izquierda del plano coincide con la de la mitad derecha decimos que la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Una gráfica es simétrica con respecto al eje y siempre que el punto x, y esté en la gráfica cuando x, y está en la gráfica. La gráfica de y  x 2  3 del ejemplo 2 tiene esta propiedad, puesto que la sustitución de x por x da la misma ecuación: y  x2  3  x 2  3 Esta sustitución es una aplicación de la prueba 1 de simetría en la tabla siguiente. Otros dos tipos de simetría y las pruebas apropiadas también se muestran aquí. Las gráficas de x  y 2 y 4y  x 3 de la columna de ilustración se examinan en los ejemplos 5 y 6, respectivamente. Simetrías de gráficas de ecuaciones en x y y Terminología Prueba de simetría Interpretación gráfica La gráfica es simétrica con respecto al eje y. (1) La sustitución de y Ejemplo y x por x (x, y) lleva a la misma ecuación. (x, y) x x La gráfica es simétrica con respecto al eje x. y  x2  3 (2) La sustitución de y y y por y x  y2 lleva a la misma ecuación. (x, y) x (x, y) x y La gráfica es simétrica con respecto al origen. (3) La sustitución simultánea de x por x (x, y) 4y  x 3 y de y por y x (x, y) y lleva a la misma ecuación. x 3.2 Gráficas de ecuaciones 149 Si la gráfica es simétrica con respecto a un eje, es suficiente determinar la gráfica en la mitad del plano de coordenadas, puesto que podemos trazar el resto de la gráfica al tomar una imagen espejo o reflexión, por el eje apropiado. EJEMPLO 5 Una gráfica que es simétrica con respecto al eje x Trace la gráfica de la ecuación y 2  x. Como la sustitución de y por y no cambia la ecuación, la gráfica es simétrica con respecto al eje x (vea prueba de simetría 2). En consecuencia, si el punto x, y está en la gráfica, entonces el punto x, y está en la gráfica. Por tanto, es suficiente hallar puntos con coordenadas y no negativas y luego reflejarlas por el eje x. La ecuación y 2  x es equivalente a y  2x. Las coordenadas y de puntos arriba del eje x (y es positiva) están dadas por y  2x, mientras que las coordenadas y de puntos abajo del eje x (y es negativa) están dadas por y   2x. Las coordenadas de algunos puntos sobre la gráfica aparecen a continuación. La gráfica se traza en la figura 3. SOLUCIÓN Figura 3 y (2, 2)  (1, 1) (4, 2) (3, 3)  (9, 3) x (0, 0) x 0 1 2 3 4 9 y 0 1 2 2  1.4 2 3  1.7 2 3 y2  x La gráfica es una parábola que abre a la derecha, con su vértice en el origen. En este caso, el eje x es el eje de la parábola. L EJEMPLO 6 Una gráfica que es simétrica con respecto al origen Trace la gráfica de la ecuación 4y  x 3. SOLUCIÓN Figura 4 4y  x3 y (1, ~) (0, 0) 4y  Si simultáneamente sustituimos x por x y y por y, entonces x3 4y  x 3. Multiplicando ambos lados por 1, vemos que la última ecuación tiene las mismas soluciones que la ecuación 4y  x 3. Por lo tanto, de simetría de la prueba 3, la gráfica es simétrica con respecto al origen y el punto x, y está en la gráfica, entonces el punto x, y está en la gráfica. La tabla siguiente contiene coordenadas de algunos puntos en la gráfica. (2, 2) (w, 3227 ) (q, 321 ) o bien, lo que es equivalente, x x 0 1 2 1 3 2 2 5 2 y 0 1 32 1 4 27 32 2 125 32 Debido a la simetría, podemos ver que los puntos  1,  41 , 2, 2 y así sucesivamente, también están en la gráfica. La gráfica aparece en la figura 4. L 150 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Figura 5 Si Ch, k es un punto en un plano de coordenadas, entonces una circunferencia con centro C y radio r 0 está formada por todos los puntos del plano que estén a r unidades de C. Como se ve en la figura 5, un punto Px, y está en la circunferencia siempre y cuando dC, P  r o bien, por la fórmula de la distancia, y P(x, y) r C(h, k) 2x  h2   y  k2  r. x Esta ecuación es equivalente a la siguiente, a la que llamaremos ecuación estándar de una circunferencia. (x  h)2  ( y  k)2  r 2 Ecuación estándar de una circunferencia con centro (h, k) y radio r Figura 6 x  h2   y  k2  r 2 Si h  0 y k  0, esta ecuación se reduce a x 2  y 2  r 2, que es la ecuación de una circunferencia de radio r con centro en el origen (vea figura 6). Si r  1, a la gráfica la llamamos circunferencia unitaria. y (0, r) EJEMPLO 7 (r, 0) Encuentre una ecuación de la circunferencia que tiene centro C2, 3 y contiene el punto D4, 5. (r, 0) x (0, r) Hallar la ecuación de una circunferencia La circunferencia se muestra en la figura 7. Como D está en la circunferencia, el radio r es dC, D. Por la fórmula de la distancia, SOLUCIÓN x2  y2  r 2 r  24  22  5  32  236  4  240. Usando la ecuación estándar de una circunferencia con h  2, k  3, y r  240, obtenemos x  22   y  32  40. Si elevamos al cuadrado términos y simplificamos la última ecuación, podemos escribirla como Figura 7 x 2  y 2  4x  6y  27  0. y L Al igual que en la solución del ejemplo 7, elevar al cuadrado términos de una ecuación de la forma x  h2   y  k2  r2 y simplificar lleva a una ecuación de la forma D(4, 5) C(2, 3) x x 2  y 2  ax  by  c  0, donde a, b y c son números reales. Recíprocamente, si empezamos con esta ecuación, siempre es posible, al completar cuadrados, obtener una ecuación de la forma x  h2   y  k2  d. Este método se ilustrará en el ejemplo 8. Si d 0, la gráfica es una circunferencia con centro h, k y radio r  2d. Si d  0, la gráfica consta de sólo el punto h, k. Por último, si d 0, la ecuación no tiene soluciones reales y por lo tanto no hay gráfica. 3.2 Gráficas de ecuaciones EJEMPLO 8 151 Hallar el centro y radio de una circunferencia Encuentre el centro y radio de la circunferencia con ecuación Figura 8 3x 2  3y 2  12x  18y  9. y Como es más fácil completar el cuadrado si los coeficientes de x 2 y y 2 son 1, empezamos por dividir entre 3 la ecuación dada, obteniendo SOLUCIÓN x 2  y 2  4x  6y  3. (2, 3  4)  (2, 1) (2  4, 3)  (2, 3) 4 4 C(2, 3) Ahora, reescribimos la ecuación como sigue, donde los espacios subrayados representan números a determinar: x 4 (2  4, 3)  (6, 3) 4 (2, 3  4)  (2, 7) Recuerde que una recta tangente a una circunferencia es una recta que contiene exactamente un punto de la circunferencia. Toda circunferencia tiene cuatro puntos de tangencia asociados con rectas horizontales y verticales. Es útil localizar estos puntos cuando se trace la gráfica de una circunferencia. x 2  4x     y 2  6y  3  Entonces completamos los cuadrados para las expresiones dentro de paréntesis, teniendo cuidado de sumar los números apropiados a ambos lados de la ecuación. Para completar el cuadrado para una expresión de la forma x 2  ax, sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x (esto es, a22) a ambos lados de la ecuación. Del mismo modo, para y 2  by, sumamos b22 a ambos lados. En este ejemplo, a  4, b  6, a22  22  4, y b22  32  9. Estas sumas llevan a x 2  4x  4    y 2  6y  9   3  4  9 x  22   y  32  16. completando los cuadrados ecuación equivalente Comparando la última ecuación con la ecuación estándar de una circunferencia, vemos que h  2 y k  3 y concluimos que la circunferencia tiene centro 2, 3 y radio 216  4. Un dibujo de esta circunferencia se ve en la figura 8. L En algunas aplicaciones es necesario trabajar con sólo la mitad de una circunferencia, es decir, una semicircunferencia. El siguiente ejemplo indica cómo hallar ecuaciones de semicircunferencia con centros en el origen. Figura 9 y EJEMPLO 9 Encuentre ecuaciones para la mitad superior, mitad inferior, mitad derecha y mitad izquierda de la circunferencia x 2  y 2  81. (0, 9) x x 2  y2  81 (0, 9) La gráfica de x 2  y 2  81 es una circunferencia de radio 9 con centro en el origen (vea figura 9). Para hallar ecuaciones para las mitades superior e inferior, despejamos y en términos de x: SOLUCIÓN (9, 0) (9, 0) Hallar ecuaciones de semicircunferencia x 2  y 2  81 y 2  81  x 2 y  281  x 2 enunciado reste x 2 tome la raíz cuadrada Como 281  x 2 0, se deduce que la mitad superior de la circunferencia tiene la ecuación y  281  x 2 (y es positiva) y la mitad inferior está dada por y   281  x 2 (y es negativa), como se ilustra en la figura 10(a) y (b). (continúa) 152 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Figura 10 (a) y  281  x 2 (b) y   281  x 2 y y 2 2 2 x (c) x  281  y 2 2 x 2 x (d) x   281  y 2 y y 2 2 2 x Del mismo modo, para hallar ecuaciones para las mitades derecha e izquierda, de la ecuación x 2  y 2  81 despejamos x en términos de y, obteniendo x  281  y 2. Como 281  y2 0, se deduce que la mitad derecha de la circunferencia tiene la ecuación x  281  y 2 (x es positiva) y la mitad izquierda está dada por la ecuación x   281  y 2 (x es negativa), como se ilustra en la figura 10(c) y (d). L En muchas aplicaciones es esencial hallar los puntos en los que las gráficas de dos ecuaciones en x y y se intersectan. Para aproximar esos puntos de intersección con un dispositivo de gráficas, con frecuencia es necesario despejar y de cada ecuación en términos de x. Por ejemplo, suponga que una ecuación es 4x 2  3x  2y  6  0. 3.2 Gráficas de ecuaciones 153 Si despejamos y tendremos y 3 4x 2  3x  6  2x 2  x  3. 2 2 La gráfica de la ecuación se encuentra entonces al hacer la asignación Y1  2x 2  23 x  3 en el dispositivo de gráficas. (El símbolo Y1 indica la primera ecuación, o el primer valor y.) También despejamos y de la segunda ecuación en términos de x y hacemos la asignación Y2  una expresión en x. Al pulsar las teclas apropiadas tendremos dibujos de las gráficas, que llamaremos gráficas de Y1 y Y2. A continuación usamos una función de la calculadora graficadora, por ejemplo intersect, para estimar las coordenadas de los puntos de intersección. En el siguiente ejemplo demostramos esta técnica para las gráficas expuestas en los ejemplos 1 y 2. Estimar puntos de intersección de gráficas EJEMPLO 10 Use una calculadora graficadora para estimar los puntos de intersección de las gráficas de y  x 2  3 y y  2x  1. SOLUCIÓN TI-83/4 Plus Hacer asignaciones Y. Y X,T,,n  2 X,T,,n Gráfica en una pantalla estándar. ZOOM 6 TI-86 x2  1 ENTER 3 ENTER GRAPH y(x)(F1) ENTER 2 2nd x-VAR ZOOM(M3) x-VAR  1 x2  3 ENTER ZSTD(F4) Vemos de las gráficas de Y1 y Y2 que hay dos puntos de intersección: P1 en el primer cuadrante y P2 en el tercer cuadrante. Encontraremos P1 . (continúa) 154 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Encuentre un punto de intersección. 2nd CALC 5 MORE En respuesta a “First Curve?” sólo pulse ENTER En respuesta a “Second Curve?” sólo pulse MATH(F1) ISECT(F3) MORE para indicar que Y1 es la primera curva. ENTER para indicar que Y2 es la segunda curva. En respuesta a “Guess?” mueva el cursor cerca de P1 y luego pulse ENTER . Estimamos las coordenadas de P1 como (2.73, 4.46). Luego usamos de nuevo la función intersect para obtener 0.73, 2.46 como coordenadas aproximadas de P2 . Nota de calculadora: Una respuesta alternativa a “Guess?” es introducir una estimación del valor de x del punto de intersección. La siguiente respuesta produce el mismo resultado que el de líneas antes: Guess? E J E M P L O 11 3 ENTER L Estimar puntos de intersección de gráficas Use una calculadora graficadora para estimar los puntos de intersección de las circunferencias x 2  y 2  25 y x 2  y 2  4y  12. 155 3.2 Gráficas de ecuaciones Al igual que en el ejemplo 9, de x 2  y 2  25 despejamos x para obtener SOLUCIÓN y   225  x 2, y hacemos las siguientes asignaciones: Y1  225  x 2 y Y2  Y1 (Muchas veces asignamos Y2 en términos de Y1 para evitar tecleo repetitivo.) Podemos considerar la ecuación de la segunda circunferencia como una ecuación cuadrática de la forma ay2  by  c  0 en y al reacomodar términos como sigue: y 2  4y  x 2  12  0 La aplicación de la fórmula cuadrática con a  1, b  4, y c  x 2  12 x 2  12 se considera como el término constante, puesto que no contiene una variable y) nos da 4  242  41x 2  12 21 4  216  4x 2  12 4  2 24  x 2  12    2  216  x 2. 2 2 y (No es necesario simplificar la ecuación más de lo que ya hemos hecho, pero la forma simplificada es más fácil de introducir en una calculadora graficadora.) Ahora hacemos las asignaciones Y3  216  x 2, Y4  2  Y3 , y TI-83/4 Plus Hacer asignaciones Y. Y 2nd ) 䉮 Apagar Y3. TI-86 2 25 () 2nd 2 X,T,,n VARS  16  X,T,,n x2  VARS 䉯 1 3 2  VARS 䉯 1 3 䉰 ENTER x2 1 䉯 2 䉭 (3 veces) Y5  2  Y3 . 1 ) 2 ( ) 䉮 () y(F2) 16  x-VAR y(x)(F1) x-VAR x2 䉮 䉮 2nd GRAPH 2nd 2 䉮 2 䉮 2  ( y(F2)  y(F2) 䉭 (2 veces) 3 25 x2  1 䉮 ) 䉮 3 SELCT(F5) Usaremos una pantalla cuadrada para que las circunferencias se vean como tales y no como óvalos. (continúa) 156 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Graficar en pantalla cuadrada. ZOOM 5 2nd ZOOM(M3) MORE ZSQR(F2) Vemos de las gráficas de las circunferencias que hay dos puntos de intersección: P1 en el primer cuadrante y P2 en el segundo. De nuevo, hallaremos P1 . Hallar un punto de intersección. 2nd CALC 5 GRAPH MORE MATH(F1) MORE ISECT(F3) En respuesta a “First Curve?” sólo pulse ENTER para indicar que Y1 es la primera curva. En respuesta a “Second Curve?” presione 䉮 para saltarse Y2 como la selección para la segunda curva, puesto que no se cruza con Y1 . Ahora pulse ENTER para seleccionar Y4 como la segunda curva. En respuesta a “Guess?” mueva el cursor cerca de P1 y luego pulse ENTER o sólo escriba 3.5 para un cálculo y pulse ENTER . Así, estimamos las coordenadas de P1 como (3.8, 3.25). Como ambas circunferencias son simétricas con respecto al eje y, P2 es aproximadamente 3.8, 3.25. L Debe observarse que las soluciones aproximadas halladas en los ejemplos 10 y 11 no satisfacen las ecuaciones dadas debido a la imprecisión de las estimaciones hechas a partir de la gráfica. En un capítulo más adelante explicaremos la forma de hallar los valores exactos para los puntos de intersección. 3.2 Ejercicios Ejer. 1-20: Trace la gráfica de la ecuación y marque las intersecciones con los ejes x y y. 1 y  2x  3 2 y  3x  2 3 y  x  1 4 y  2x  3 5 y  4x 2 1 6 y  3x2 7 y  2x 2  1 8 y  x 2  2 1 9 x  4 y2 10 x  2y 2 3.2 Gráficas de ecuaciones 11 x  y 2  3 13 y  12 x  2y 2  4  12 x 3 14 y  45 Puntos extremos de un diámetro A4, 3 y B2, 7 x  12   y  22  34 1 3 2x 15 y  x 3  8 16 y  x 3  1 17 y  2x 18 y  2x 19 y  2x  4 20 y  2x  4 157 46 Puntos extremos de un diámetro A5, 2 y B3, 6 x  12   y  42  20 Ejer. 47-56: Encuentre el centro y radio de la circunferencia con la ecuación dada. 47 x 2  y 2  4x  6y  36  0 C2, 3; r  7 Ejer. 21-22: Use pruebas de simetría para determinar cuáles gráficas de los ejercicios indicados son simétricas con respecto a (a) el eje y, (b) el eje x y (c) el origen. 21 Los ejercicios de número impar en 1-20 48 x 2  y 2  8x  10y  37  0 C4, 5; r  2 49 x 2  y 2  4y  117  0 C0, 2; r  11 22 Los ejercicios de número par en 1-20 50 x 2  y 2  10x  18  0 C5, 0; r  Ejer. 23-34: Trace la gráfica de la circunferencia o semicircunferencia. 51 2x 2  2y 2  12x  4y  15  0 C3, 1; r  21 270 23 x 2  y 2  11 27 2 1 52 9x 2  9y 2  12x  6y  4  0 C  3 , 3 ; r  13 24 x 2  y 2  7 25 x  32   y  22  9 53 x 2  y 2  4x  2y  5  0 C2, 1; r  0 (a point) 26 x  4   y  2  4 2 2 27 x  32  y 2  16 28 x 2   y  22  25 29 4x 2  4y 2  25 30 9x 2  9y 2  1 31 y   216  x 2 32 y  24  x 2 33 x  29  y 34 x   225  y 2 54 x 2  y 2  6x  4y  13  0 C3, 2; r  0 (a point) 55 x 2  y 2  2x  8y  19  0 Not a circle, since r 2 cannot equal 2 56 x 2  y 2  4x  6y  16  0 Not a circle, since r 2 cannot equal 3 2 Ejer. 35-46: Encuentre una ecuación de la circunferencia que satisfaga las condiciones expresadas. Ejer. 57-60: Encuentre ecuaciones para la mitad superior, mitad inferior, mitad derecha y mitad izquierda de la circunferencia. 35 Centro C2, 3, radio 5 x  22   y  32  25 57 x 2  y 2  36 36 Centro C4, 1, radio 3 x  42   y  12  9 37 Centro C  14 , 0 , radio 25 38 Centro C  3 4,  32 59 x  22   y  12  49 y  1  249  x  22; x  2  249   y  12  x  14 2  y2  5 , radio 3 22  x   3 2 4 y 58 x  32  y2  64  2 2 3 60 x  32   y  52  4 y  5  24  x  32; x  3  24   y  52  18 39 Centro C4, 6, pasando por el punto P1, 2 Ejer. 61-64: Encuentre una ecuación para la circunferencia o semicircunferencia. 40 Centro en el origen, pasando por el punto P4, 7 61 x  42   y  62  41 x 2  y 2  65 62 y y 41 Centro C3, 6, tangente al eje y x  32   y  62  9 42 Centro C4, 1, tangente al eje x x  42   y  12  1 x 43 Tangente a ambos ejes, centro en el segundo cuadrante, radio 4 x  42   y  42  16 x 44 Tangente a ambos ejes, centro en el cuarto cuadrante, radio 3 x  32   y  32  9 (x  3)2  ( y  2)2  42 (x  1)2  ( y  2)2  32 158 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS y 63 y 64 Ejer. 73-76: Exprese, en forma de intervalo, los valores x tales que y 1 < y 2. Suponga que todos los puntos de la intersección se muestran en el intervalo (ⴚⴥ, ⴥ). 73 x 74 y y y2 x y1 (8, 6) y2 y1 2 (2, 0) y  24  x 2 x  23  y 2 2 2 x (8, 6) x 2 (3, 5) Ejer. 65-66: Determine si el punto P está dentro, fuera o sobre la circunferencia con centro C y radio r. 65 (a) P2, 3, C4, 6, r  4 Inside (b) P4, 2, C1, 2, r  5 On (c) P3, 5, C2, 1, r  6 Outside C2, 4, r  13 On (b) P2, 5, C3, 7 r  6 Inside (c) P1, 2, C6, 7, r  7 Outside 66 (a) P3, 8, Ejer. 67-68: Para la circunferencia dada, encuentre (a) los puntos de intersección con el eje x y (b) los puntos de intersección con el eje y. 67 x 2  y 2  4x  6y  4  0 2; 3  25 68 x 2  y 2  10x  4y  13  0 5  2 23; none (, 3) 傼 (2, ) 75 Yes 71 Una circunferencia C 1 de radio 5 tiene su centro en el origen. Dentro de esta circunferencia hay una circunferencia C 2 de radio 2 en el primer cuadrante que es tangente a C 1. La coordenada y del centro de C 2 es 2. Encuentre la coordenada x del centro de C 2. 25 72 Una circunferencia C 1 de radio 5 tiene su centro en el origen. Fuera de esta circunferencia está una circunferencia C 2 de radio 2 en el primer cuadrante, que es tangente a C 1. La coordenada y del centro de C 2 es 3. Encuentre la coordenada x del centro de C 2. 240 76 y y2 (1, 1) y1 10 (1, 1) (1, 1) x (1, 0 傼 0, 1) y (1, 1) y2 (8, 2) (8, 2) 10 x y1 (, 8) 傼 1, 1 傼 8,  77 Grafique la circunferencia unitaria x2  y2  1 usando las ecuaciones Y 1  21  x 2 y Y 2  Y 1 en la pantalla dada. A continuación explique cómo es que la pantalla afecta la gráfica y determine la pantalla que resulte en una gráfica que más se parezca a una circunferencia. (2) 69 Encuentre una ecuación de la circunferencia que es concéntrica (tiene el mismo centro) con x2  v2  4x  6y  4  0 y pasa por P2, 6. x  22   y  32  25 70 Alcances de transmisores de radio La señal de una estación de radio tiene un alcance circular de 50 millas. Una segunda estación de radio, situada a 100 millas al este y 80 millas al norte de la primera estación, tiene un alcance de 80 millas. ¿Hay lugares donde las señales se puedan recibir de ambas estaciones de radio? Explique su respuesta. (8, 8) (1) 2, 2 por 2, 2 (2) 3, 3 por 2, 2 (3) 2, 2 por 5, 5 (4) 5, 5 por 2, 2 78 Grafique la ecuación x  y  5, usando las ecuaciones Y 1  5  x y Y 2  Y 1 en la pantalla 5, 5 por 5, 5. (a) Encuentre el número de intersecciones con x y y. Two of each (b) Use la gráfica para determinar la región donde x  y 5. Inside the diamond shape Ejer. 79-80: Grafique la ecuación, y estime las intersecciones con el eje x. 9 2 24 79 y  x 3  10 x  43 25 x  25 1.2, 0.5, 1.6 80 y  x 4  0.85x 3  2.46x 2  1.07x  0.51 1.8, 0.7, 0.3 and 1.35 3.3 Rectas Ejer. 81-84: Grafique las dos ecuaciones en el mismo plano de coordenadas, y estime las coordenadas de sus puntos de intersección. 81 y  x 3  x; x2  y2  1 82 y  3x 4  32 ; x2  y2  1 83 x 2   y  12  1;  x  54 2  y 2  1 84 x  12   y  12  14 ;  x  12 2   y  21 2  1 0.6, 0.8, 0.6, 0.8 0.79, 1.46, 1.46, 0.79 85 Distancia entre autos La distancia D (en millas) entre dos autos que se encuentran en la misma carretera, en el tiempo t (en minutos), está descrita por la ecuación D  2t  4 en el intervalo 0, 4. Grafique D y describa el movimiento de los autos. 86 Agua en una piscina La cantidad de agua A en una piscina en el día x está dada por A  12,000x  2000x2, donde A es en galones y x  0 corresponde al mediodía de un domingo. Grafique A en el intervalo 0, 6 y describa la cantidad de agua en la piscina. 3.3 Rectas 87 Velocidad del sonido La velocidad del sonido v en el aire varía con la temperatura. Se puede calcular en ft/s usando la T  273 ecuación v  1087 , donde T es la temperatura 273 (en °C). (a) Aproxime v cuando T  20C. 1126 ft/sec 0.9, 0.4, 0.7, 0.7 0.999, 0.968, 0.251, 0.032 159 (b) Determine la temperatura al grado más cercano, tanto algebraica como gráficamente, cuando la velocidad del sonido sea 1000 ft/s. 42C 88 El área A de un triángulo equilátero con un lado de longitud 23 2 s es A  s . Suponga que A debe ser igual a 100 ft2 con 4 un error de a lo más 1 ft2. Determine gráficamente con qué precisión debe medirse s para satisfacer este requisito de error. (Sugerencia: Grafique y  A, y  99, y y  101.) 15.12 s 15.27 Uno de los conceptos básicos en geometría es el de una recta. En esta sección restringiremos nuestro análisis a rectas que se encuentran en un plano de coordenadas, lo que nos permitirá usar métodos algebraicos para estudiar sus propiedades. Dos de nuestros principales objetivos pueden expresarse como sigue: (1) Dada una recta l en un plano de coordenadas, encontrar una ecuación cuya gráfica corresponda a l. (2) Dada una ecuación de la recta l en un plano de coordenadas, trazar la gráfica de la ecuación. El siguiente concepto es fundamental para el estudio de las rectas. Definición de la pendiente de una recta Sea l una recta que no es paralela al eje y y sean P1x1, y1 y P2x2, y2  puntos distintos en l. La pendiente m de l es m y2  y1 . x2  x1 Si l es paralela al eje y, entonces la pendiente de l no está definida. 160 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS La letra griega  se usa en matemáticas para denotar “cambio en”. Así, podemos pensar en la pendiente m como m y cambio en y  . x cambio en x Figura 1 (a) Pendiente positiva (la recta sube) Los puntos típicos P1 y P2 sobre la recta l se muestran en la figura 1. El numerador y2  y1 en la fórmula para m es el cambio vertical en dirección de P1 a P2 y puede ser positivo, negativo o cero. El denominador x2  x1 es el cambio horizontal de P1 a P2, y puede ser positivo o negativo, pero nunca cero, porque l no es paralela al eje y si existe una pendiente. En la figura 1(a) la pendiente es positiva y decimos que la recta sube. En la figura 1(b) la pendiente es negativa y la recta cae. En el proceso de hallar la pendiente de una recta, no importa cuál punto marquemos como P1 y cuál como P2, porque y y2  y1 y2  y1 1 y1  y2    . x2  x1 x2  x1 1 x1  x2 l P2(x 2, y 2) y 2  y1 P1(x 1, y 1) x 2  x1 P3(x 2, y 1) x Si los puntos se marcan de modo que x1 x2, como en la figura 1, entonces x2  x1 0 y por lo tanto la pendiente es positiva, negativa o cero, en caso de que y2 y1, y2 y1, o y2  y1, respectivamente. La definición de pendiente no depende de los dos puntos que se escojan en l. Si se usan otros puntos P1x1, y1 y P2x2, y2, entonces, como en la figura 2, el triángulo con vértices P1 , P2 , y P3x2, y1 es semejante al triángulo con vértices P1, P2 y P3x2, y1. Como las razones entre lados correspondientes de triángulos semejantes son iguales, y2  y1 y2  y1  . x2  x1 x2  x1 (b) Pendiente negativa (la recta cae) y Figura 2 y P1(x 1, y 1) P(x, 2 2 y) 2 P2(x2, y2) P(x, 1 1 y) 1 P2(x 2, y 2) x P(x, 3 2 y) 1 P1(x1, y1) l P3(x2, y1) x EJEMPLO 1 Hallar pendientes Trace la recta que pasa por cada par de puntos y encuentre su pendiente m: (a) A1, 4 y B3, 2 (b) A2, 5 y B2, 1 (c) A4, 3 y B2, 3 (d) A4, 1 y B4, 4 SOLUCIÓN Las rectas se trazan en la figura 3. Usamos la definición de pendiente para hallar la pendiente de cada recta. 3.3 Rectas 161 Figura 3 1 (a) m   2 (b) m  3 2 y y A(2, 5) A(1, 4) B(3, 2) x (c) m  0 x B(2, 1) (d) m no definida y B(2, 3) y A(4, 3) B(4, 4) x (a) m  24 2 1   3  1 4 2 (b) m  5  1 6 3   2  2 4 2 (c) m  33 0  0 2  4 6 A(4, 1) x (d) La pendiente no está definida porque la recta es paralela al eje y. Nótese que si se usa la fórmula para m, el denominador es cero. L EJEMPLO 2 Trazar una recta con una pendiente determinada Trace la recta que pasa por P2, 1 que tiene 5 (a) pendiente 3 (b) pendiente  35 SOLUCIÓN Si la pendiente de una recta es ab y b es positiva, entonces por cada cambio de b unidades en la dirección horizontal, la recta sube o cae a unidades, dependiendo de si a es positiva o negativa, respectivamente. (a) Si P2, 1 está en la recta y m  53 , podemos obtener otro punto sobre la recta al iniciar en P y moviéndonos 3 unidades a la derecha y 5 unidades hacia arriba. Esto nos da el punto Q5, 6 y la recta está determinada como en la figura 4(a). (continúa) 162 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 5 (b) Si P2, 1 está en la recta y m   3 , nos movemos 3 unidades a la derecha y 5 unidades hacia abajo, obteniendo la recta que pasa por Q5, 4, como en la figura 4(b). L Figura 4 (a) m  5 3 5 (b) m   3 y y Q (5, 6) P(2, 1) P(2, 1) x x Q(5, 4) El diagrama de la figura 5 indica las pendientes de varias rectas que pasan por el origen. La recta que se encuentra en el eje x tiene pendiente m  0. Si esta recta se hace girar alrededor de O en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj (como se indica con la flecha azul), la pendiente es positiva y aumenta, llegando al valor 1 cuando la recta biseca al primer cuadrante y continúa aumentando a medida que la recta se acerca al eje y. Si hacemos girar la recta de pendiente m  0 en el sentido de las manecillas de un reloj (como se indica con la flecha roja), la pendiente es negativa, llegando al valor 1 cuando la recta biseca al segundo cuadrante y se hace grande y negativa a medida que la recta se acerca al eje y. Figura 5 m  5 m  2 m  1 m  q m  Q y m5 m2 m1 mq mQ m0 x 3.3 Rectas 163 Las rectas que son horizontales o verticales tienen ecuaciones sencillas, como se indica en la tabla siguiente. Terminología Recta horizontal Definición Gráfica Una recta paralela al eje x Ecuación y (0, b) Pendiente yb la intersección con el eje y es b La pendiente es 0 xa la intersección con el eje x es a La pendiente no está definida x Recta vertical Una recta paralela al eje y y (a, 0) x Figura 6 Un error común es considerar la gráfica de y  b como si sólo consistiera de un solo punto 0, b. Si expresamos la ecuación en la forma 0  x  y  b, vemos que el valor de x es indiferente; así, la gráfica de y  b está formada por los puntos x, b para toda x y por tanto es una recta horizontal. Del mismo modo, la gráfica de x  a es la recta vertical formada por todos los puntos a, y, donde y es un número real. y A(3, 4) y4 x x  3 EJEMPLO 3 Hallar ecuaciones de rectas horizontales y verticales Encuentre una ecuación de la recta que pasa por A3, 4 que sea paralela a (a) el eje x (b) el eje y SOLUCIÓN Las dos rectas están trazadas en la figura 6. Como se indica en la tabla precedente, las ecuaciones son y  4 para la parte (a) y x  3 para la parte (b). L Figura 7 y l A continuación busquemos la ecuación de una recta l que pasa por un punto P1x1, y1 con pendiente m. Si Px, y es cualquier punto con x 苷 x1 (vea figura 7), entonces P está en l si y sólo si la pendiente de la recta que pasa por P1 y P es m, es decir, si P(x, y) P1 (x1, y1) x y  y1  m. x  x1 Esta ecuación se puede escribir en la forma y  y1  mx  x1. 164 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Nótese que x1, y1 es una solución de la última ecuación y por tanto los puntos en l son precisamente los puntos que corresponden a las soluciones. Esta ecuación para l se conoce como forma de punto pendiente. Forma de punto pendiente para la ecuación de una recta Una ecuación para la recta que pasa por el punto x1, y1 con pendiente m es y  y1  mx  x1. La forma de punto pendiente es sólo una posibilidad para una ecuación de una recta. Hay numerosas ecuaciones equivalentes. A veces simplificamos la ecuación obtenida usando la forma de punto pendiente para ax  by  c o ax  by  d  0, donde a, b y c son enteros sin factor común, a EJEMPLO 4 0, y d  c. Hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos Encuentre la ecuación de la recta que pasa por A1, 7 y B3, 2. Figura 8 SOLUCIÓN La recta está trazada en la figura 8. La fórmula para la pendiente m nos da 72 5 m  . 1  3 4 y A(1, 7) Podemos usar las coordenadas de A o de B para x1, y1 en la forma de punto pendiente. Con el uso de A1, 7 tenemos B(3, 2) x y  7  45 x  1 4 y  7  5x  1 4y  28  5x  5 5x  4y  23 5x  4y  23 forma de punto pendiente multiplique por 4 multiplique factores reste 5x y sume 28 multiplique por 1 La última ecuación es una de las formas deseadas para la ecuación de una recta. Otra es 5x  4y  23  0 . Figura 9 L y y  mx  b La forma de punto pendiente para la ecuación de una recta se puede reescribir como y  mx  mx1  y1, que es de la forma (0, b) y  mx  b x con b  mx1  y1. El número real b es la intersección con el eje y de la gráfica, como se indica en la figura 9. Como la ecuación y  mx  b muestra la 3.3 Rectas 165 pendiente m y el cruce b con el eje y de l, se denomina forma de ordenada en el origen para la ecuación de una recta. Recíprocamente, si comenzamos con y  mx  b, podemos escribir y  b  mx  0. Comparando esta ecuación con la forma de punto pendiente, vemos que la gráfica es una recta con pendiente m y que pasa por el punto 0, b. Hemos demostrado el siguiente resultado. Forma de ordenada en el origen para la ecuación de una recta La gráfica de y  mx  b es una recta que tiene pendiente m y cruce b con el eje y. EJEMPLO 5 Expresar una ecuación en forma de ordenada en el origen Exprese la ecuación 2x  5y  8 en forma de ordenada en el origen. SOLUCIÓN Nuestra meta es despejar y de la ecuación dada para obtener la forma y  mx  b. Podemos proceder como sigue: 2x  5y  8 5y  2x  8 2 8 y x 5 5 2 8 y  5 x   5      enunciado reste 2x divida entre 5 ecuación equivalente La última ecuación es la forma de ordenada en el origen y  mx  b con pendiente m  25 y cruce con el eje y de b   58 . L De la forma de punto pendiente se deduce que toda recta es una gráfica de una ecuación ax  by  c, donde a, b y c son números reales y a y b no son cero ambas. A esta ecuación se le llama ecuación lineal en x y y. Demostremos, recíprocamente, que la gráfica de ax  by  c, con a y b sin que sean cero ambas, es siempre una recta. Si b 苷 0, podemos despejar y y obtener   y  a c x , b b que, por la forma de ordenada en el origen, es una ecuación de una recta con pendiente ab y cb de cruce con el eje y. Si b  0 pero a 苷 0, podemos despejar x, obteniendo x  ca, que es la ecuación de una recta vertical con intersección ca con el eje x. Esta discusión establece el siguiente resultado. 166 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Forma general para la ecuación de una recta La gráfica de una ecuación lineal ax  by  c es una recta y, recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. Para mayor sencillez, usamos la terminología la recta ax  by  c más que la recta con ecuación ax  by  c. EJEMPLO 6 Trazar la gráfica de una ecuación lineal Trace la gráfica de 2x  5y  8. SOLUCIÓN Sabemos, de la exposición precedente, que la gráfica es una recta y que es suficiente hallar dos puntos en la gráfica. Encontremos los puntos de intersección con los ejes x y y al sustituir y  0 y x  0, respectivamente, en la ecuación dada 2x  5y  8. Figura 10 y (4, 0) cruce con el eje x: Si y  0, entonces 2x  8, o x  4. cruce con el eje y: Si x  0, entonces 5y  8, o y   58 . x (0, U) Localizando los puntos 4, 0 y  0,  58  y trazando la recta que pase por ellos nos da la gráfica de la figura 10. L 2x  5y  8 El siguiente teorema especifica la relación entre rectas paralelas (rectas en un plano que no se cruzan) y pendiente. Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. Teorema de pendientes de rectas paralelas PRUEBA Sean l1 y l2 rectas distintas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Si los puntos de intersección con el eje y son b1 y b2 (vea la figura 11), entonces, por la forma de ordenada en el origen, las rectas tienen ecuaciones Figura 11 y (0, b2 ) y  m 2x  b 2 l2 y  m1x  b1 l1 y  m1 x  b1 y y  m2 x  b2. Las rectas se cruzan en algún punto x, y si y sólo si los valores de y son iguales para alguna x, es decir, si (0, b1 ) m1 x  b1  m2 x  b2, x o bien, m1  m2x  b2  b1. De la última ecuación se puede despejar x si y sólo si m1  m2 苷 0. Hemos demostrado que las rectas l1 y l2 se cruzan si y sólo si m1 苷 m2. Por lo tanto, no se cruzan (son paralelas) si y sólo si m1  m2. L 3.3 Rectas EJEMPLO 7 167 Hallar una ecuación de una recta paralela a una recta determinada Encuentre la ecuación de la recta que pasa por P5, 7 que es paralela a la recta 6x  3y  4. SOLUCIÓN Primero expresamos la ecuación dada en forma de ordenada en el origen: 6x  3y  4 3y  6x  4 y  2x  34 enunciado reste 6x divida entre 3 La última ecuación está en la forma de ordenada en el origen, y  mx  b, 4 con pendiente m  2 y cruce de 3 con el eje y. Como las rectas paralelas tienen la misma pendiente, la recta requerida también tiene pendiente 2. Usando el punto P5, 7 nos da lo siguiente: Figura 12 y y  7  2x  5 y  7  2x  10 y  2x  3 y  2x  3 x forma de ordenada en el origen simplifique reste 7 La última ecuación está en la forma de ordenada en el origen y muestra que la recta paralela que hemos encontrado tiene cruce 3 con el eje y. Esta recta y la recta dada se trazan en la figura 12. Como solución alternativa, podríamos usar el hecho de que las rectas de la forma 6x  3y  k tienen la misma pendiente que la recta dada y por tanto son paralelas a ella. Sustituyendo x  5 y y  7 en la ecuación 6x  3y  k nos da 65  37  k o bien, lo que es equivalente, k  9. La ecuación 6x  3y  9 es equivalente a y  2x  3. 6x  3y  4 P L Si las pendientes de dos rectas no verticales no son iguales, entonces las rectas no son paralelas y se cruzan en exactamente un punto. El siguiente teorema nos da información acerca de rectas perpendiculares (rectas que se cruzan a un ángulo recto). Dos rectas con pendiente m1 y m2 son perpendiculares si y sólo si Teorema de pendientes de rectas perpendiculares m1 m2  1. PRUEBA Para mayor sencillez, consideremos el caso especial de dos rectas que se cruzan en el origen O, como se ilustra en la figura 13. Las ecuaciones de estas rectas son y  m1 x y y  m2 x. Si, como en la figura, escogemos los puntos Ax1, m1 x1 y Bx2, m2 x2 diferentes de O en las rectas, entonces las rectas son perpendiculares si y sólo si el ángulo AOB es un ángulo recto. Aplicando el teorema de Pitágoras, sabemos que el ángulo AOB es un ángulo recto si y sólo si Figura 13 y y  m2 x y  m 1x B(x 2, m 2 x 2) A(x 1, m 1x 1) O x dA, B2  dO, B2  dO, A2 o bien, por la fórmula de la distancia, x2  x12  m2 x2  m1 x12  x 22  m2 x22  x 21  m1 x12. (continúa) 168 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Figura 14 Elevar al cuadrado los términos, simplificar y factorizar nos da y 2m1 m2 x1 x2  2x1 x2  0 y b m1  x  a 2x1 x2m1 m2  1  0. Como x1 y x2 no son cero, podemos dividir ambos lados entre 2x1 x2, obteniendo m1 m2  1  0. Así, las rectas son perpendiculares si y sólo si m1 m2  1. El mismo tipo de prueba se puede dar si las rectas se cruzan en cualquier punto a, b . (a, b) x L Una forma cómoda de recordar las condiciones sobre pendientes de rectas perpendiculares es notar que m1 y m2 deben ser recíprocos negativos entre sí, es decir, m1  1m2 y m2  1m1. Podemos visualizar el resultado del último teorema como sigue. Trace un triángulo como en la figura 14; la recta que contiene su hipotenusa tiene pendiente m1  ba. Ahora haga girar el triángulo 90° como en la figura 15. La recta ahora tiene pendiente m2  a(b), que es el recíproco negativo de m1. Figura 15 y (b, a) EJEMPLO 8 Hallar una ecuación de una recta perpendicular a una recta determinada Encuentre la forma ordenada en el origen para la recta que pasa por P5, 7 que es perpendicular a la recta 6x  3y  4. x y a a m2  x   b b SOLUCIÓN Consideramos la recta 6x  3y  4 en el ejemplo 7 y encontramos que su pendiente es 2. En consecuencia, la pendiente de la recta requerida es el recíproco negativo 12, o sea 21 . El uso de P5, 7 nos da lo siguiente: Figura 16 y y  7  12 x  5 y  7  12 x  25 6x  3y  4 y  qx  p y  21 x  19 2 x forma de punto pendiente simplifique poner en forma de ordenada en el origen La última ecuación está en la forma de ordenada en el origen y muestra que 19 la recta perpendicular tiene intersección  2 con el eje y. Esta recta y la recta dada se trazan en la figura 16. L P(5, 7) EJEMPLO 9 Hallar una ecuación de una mediatriz Dados A3, 1 y B5, 4, encuentre la forma general de la mediatriz l del segmento de recta AB. 3.3 Rectas Figura 17 169 El segmento de recta AB y su mediatriz l se muestran en la figura 17. Calculamos lo siguiente, donde M es el punto medio de AB: SOLUCIÓN y Coordenadas de M: Pendiente de AB: B(5, 4) Pendiente de l: A(3, 1) x l     3  5 1  4 5 ,  1, 2 2 2 41 3  5  3 8 1 8 3  3 8 fórmula del punto medio fórmula de pendiente recíproco negativo de 38 Usando el punto M 1, 52  y pendiente  38 nos da las siguientes ecuaciones equivalentes de l: 8 forma de punto pendiente y  25   3 x  1 6y  15  16x  1 6y  15  16x  16 16x  6y  31 multiplique por el mcd, 6 multiplique ponga en forma general L Dos variables x y y están linealmente relacionadas si y  ax  b, donde a y b son números reales y a 苷 0. Las relaciones lineales entre variables se presentan con frecuencia en problemas aplicados. El siguiente ejemplo da una ilustración. EJEMPLO 10 Relacionar temperatura del aire con altitud La relación entre la temperatura del aire T (en °F) y la altitud h (en pies sobre el nivel del mar) es aproximadamente lineal para 0 h 20,000. Si la temperatura al nivel del mar es 60°F, un aumento de 5000 pies en altitud baja la temperatura del aire en alrededor de 18°. (a) Exprese T en términos de h y trace la gráfica en un sistema de coordenadas hT. (b) Aproxime la temperatura del aire a una altitud de 15,000 pies. (c) Aproxime la altitud a la que la temperatura sea 0°. SOLUCIÓN (a) Si T está linealmente relacionada con h, entonces T  ah  b para algunas constantes a y b (a representa la pendiente y b la intersección en T). Como T  60° cuando h  0 ft (nivel del mar), el punto de cruce T es 60, y la temperatura T para 0 h 20,000 está dada por T  ah  60. De los datos dados, observamos que cuando la altitud h  5000 ft, la temperatura T  60°  18°  42°. En consecuencia, podemos hallar a como sigue: 42  a5000  60 42  60 9 a  5000 2500 sea T  42 y h  5000 despeje a (continúa) 170 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Sustituyendo por a en T  ah  60 nos da la fórmula siguiente para T: Figura 18 9 T   2500 h  60 T (temperatura en F) La gráfica aparece en la figura 18, con diferentes escalas en los ejes. (b) Usando la última fórmula para T obtenida en la parte (a), encontramos que la temperatura (en °F) cuando h  15,000 es 60 9 T   2500 15,000  60  54  60  6. (c) Para hallar la altitud h que corresponde a T  0°, procedemos como sigue: 9 T   2500 h  60 10 0 1000 h 5000 (altitud en ft) 9 2500 h 9  2500 h  60  60 h  60  2500 9 h 50,000  16,667 ft 3 de la parte (a) sea T  0 9 sume 2500 h multiplique por 2500 9 simplifique y aproxime L Un modelo matemático es una descripción matemática de un problema. Para nuestros fines, estas descripciones serán gráficas y ecuaciones. En el úl9 timo ejemplo, la ecuación T   2500 h  60 modela la relación entre temperatura del aire y altitud. En el siguiente ejemplo, encontramos un modelo de la forma y  mx  b, llamada la recta de regresión lineal. Podemos considerar esta recta como la recta de mejor ajuste, es decir, la única recta que mejor describe el comportamiento de los datos. E J E M P L O 11 Hallar una recta de mejor ajuste (a) Encuentre la recta de mejor ajuste que aproxime los datos siguientes en tiempos de récord mundial para carrera de 100 metros planos para mujeres. Año (x) Corredora Tiempo en segundos (y) 1952 Marjorie Jackson 11.4 1960 Wilma Rudolph 11.3 1972 Renate Stecher 11.07 1984 Evelyn Ashford 10.76 (b) Grafique los datos y la recta de regresión. (c) Wyomia Tyus tenía el récord en 1968 en 11.08 segundos. ¿Qué tiempo pronostica el modelo para 1968? Esta pregunta se llama interpolación, puesto que debemos estimar un valor entre valores conocidos. ¿Qué tiempo predice el modelo para 1988? Esta pregunta requiere de extrapolación, porque debemos estimar un valor fuera de valores conocidos. (d) Interprete la pendiente de la recta. 3.3 Rectas 171 SOLUCIÓN Introduzca los datos. TI-83/4 Plus (a) Ponga años en L1, tiempos en L2. TI-86 Ponga años en xStat, tiempos en yStat. Borre todas las asignaciones y listas Y en este momento. Una lista se puede borrar al poner el cursor en el nombre de la lista y pulsar CLEAR y 䉮 . STAT 1 1952 ENTER 2nd EDIT(F2) STAT 1952 ENTER 1960 ENTER 1972 ENTER 1984 ENTER 1960 ENTER 1972 ENTER 1984 ENTER 䉭 (4 veces) 䉭 (4 veces) 11.4 ENTER 䉯 11.3 ENTER 11.07 ENTER 10.76 ENTER 11.4 ENTER 䉯 11.3 ENTER 11.07 ENTER 10.76 ENTER Llene la lista de frecuencia, fStat, con unos. E Encuentre la recta de mejor ajuste (la ecuación de regresión) y guárdela en Y1. STAT 䉯 4 VARS 䉯 1 EXIT 1 ENTER 2nd 2nd alpha STAT Y CALC(F1) LinR(F3) 1 ENTER De la pantalla, vemos que la recta de mejor ajuste tiene la ecuación (aproximada) y  0.02x  50.71. En la TI-83/4 Plus, para ver valores r 2 y r encienda DiagnosticOn del CATALOG. (b) Encienda STAT PLOT 1. 2nd STAT PLOT 1 ENTER 2nd STAT PLOT(F3) PLOT1(F1) ENTER (continúa) 172 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Grafique los datos en la recta de regresión. ZOOM 9 GRAPH ZOOM(F3) ZDATA(F5) MORE CLEAR (c) Encuentre Y1 (1968). 2nd QUIT VARS CLEAR 1 䉯 1 ( 1968 ) ENTER Encuentre Y1 (1988). 2nd 2nd QUIT 2nd alpha 2nd ENTRY CLEAR Y 1 ( 1968 ) ENTER 䉰 (3 veces) 8 ENTER 䉰 (3 veces) 8 ENTER ENTRY Del modelo, obtenemos una estimación de 11.11 segundos para 1968; el tiempo real fue 11.08 segundos. Para x  1988, obtenemos y  10.71. En 1988, Florence Griffith-Joyner destrozó el récord mundial con un tiempo de 10.49 segundos disminuyendo por mucho, esa predicción. (d) La pendiente de la recta de regresión es alrededor de 0.02, lo cual indica que el tiempo de récord mundial está decreciendo en 0.02 segundos/año. L 3.3 Ejercicios Ejer. 1-6: Trace la recta que pasa por A y B, y encuentre su pendiente m. 1 A3, 2, B5, 4 3 A2, 5, B7, 5 5 A3, 2, B3, 5 m  43 m0 2 A4, 1, B6, 3 4 A5, 1, B5, 6 6 A4, 2, B3, 2 m m is undefined 1 5 m is undefined m0 Ejer. 7-10: Use pendientes para demostrar que los puntos son vértices del polígono especificado. 7 A3, 1, B5, 3, C3, 0, D5, 2; paralelogramo 8 A2, 3, B5, 1, C0, 6, D6, 2; Slopes of one pair of opposite sides are equal. trapecio 9 A6, 15, B11, 12, C1, 8, D6, 5; rectángulo 10 A1, 4, B6, 4, C15, 6; triángulo rectángulo Adjacent sides are perpendicular. 11 Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1, 3), B4, 2 , y C7, 5 , encuentre el cuarto vértice. 12, 0 12 Los Ax 1 , y 1 , Bx 2 , y 2 , Cx 3 , y 3 , y Dx 4 , y 4  denotan los vértices de un cuadrilátero arbitrario. Demuestre que los segmentos de recta que unen los puntos medios de lados adyacentes forman un paralelogramo. See ISM. 3.3 Rectas Ejer. 13-14: Trace la gráfica de y ⴝ mx para los valores dados de m. 2 1 13 m  3, 2, 3 ,  4 1 1 14 m  5, 3, 2 ,  3 Ejer. 15-16: Trace la gráfica de la recta que pasa por P para cada valor de m. 15 P3, 1; 1 1 m  2 , 1,  5 16 P2, 4; m  1, 2,  21 Ejer. 21-32: Encuentre una forma general de una ecuación de la recta que pasa por el punto A que satisfaga la condición dada. 21 A5, 2 (a) paralelo al eje y x  5 (b) perpendicular al eje y y  2 22 A4, 2 (a) paralelo al eje x y  2 Ejer. 17-18: Escriba ecuaciones de las rectas. y 17 173 (b) perpendicular al eje x x  4 23 A5, 3; pendiente 4 24 A1, 4; pendiente 23 25 A4, 0; pendiente 3 26 A0, 2; pendiente 5 27 A4, 5; que pase por B3, 6 11x  7y  9 28 A1, 6; cruce con el eje x en 5 x  y  5 29 A2, 4; paralelo a la recta 5x  2y  4 30 A3, 5; paralelo a la recta x  3y  1 x  3y  12 31 A7, 3; perpendicular a la recta 2x  5y  8 32 A4, 5; perpendicular a la recta 3x  2y  7 4x  y  17 3x  y  12 5 x 4 (2, 3) 2x  3y  14 5x  y  2 5x  2y  18 y  3   54 (x  2) 5x  2y  29 y 18 2x  3y  7 Ejer. 33-36: Encuentre la forma de ordenada en el origen de la recta que satisface las condiciones dadas. 3 33 Intersección con el eje x en 4, 3 intersección con el eje y en 3 y  4 x  3 (1, 2) 4 x 34 Intersección con el eje x en 5, 1 intersección con el eje y en 1 y   5 x  1 1 11 35 Que pase por los puntos A5, 2 y B1, 4 y   3 x  3 y  2   34 (x  1) 6 17 36 Que pase por los puntos A2, 1 y B3, 7 y  5 x  5 Ejer. 19-20: Trace las gráficas de las rectas en el mismo plano de coordenadas. 19 y  x  3, 20 y  2x  1, y  x  1, y  2x  3, y  x  1 y  21 x  3 Ejer. 37-38: Encuentre la forma general de una ecuación para la mediatriz del segmento AB. 37 A3, 1, B2, 6 5x  7y  15 38 A4, 2, B2, 10 3x  4y  21 Ejer. 39-40: Encuentre una ecuación para la recta que biseca los cuadrantes dados. 39 II y IV y  x 40 I y III y  x 174 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Ejer. 41-44: Use la forma de ordenada en el origen para hallar la pendiente y cruce con el eje y de la recta dada y trace su gráfica. 41 2x  15  3y 42 7x  4y  8 43 4x  3y  9 44 x  5y  15 m  32 , b  5 (d) y y m3 m  47 , b  2 m  43 , b  3 m  15 , b  3 Ejer. 45-46: Encuentre la ecuación de la recta mostrada en la figura. 45 (a) (c) (b) y x x ma (2, 5) y  31 x  2 y y  5  3x  2 Ejer. 47-48: Si una recta l tiene puntos de intersección a y b con los ejes x y y, respectivamente, entonces su forma canónica o simétrica (puntos de intersección) es m  q x y x ⴙ ⴝ 1. a b x Encuentre la forma canónica o simétrica para la recta dada. 47 4x  2y  6 y3 (c) y  21 x (d) y m  w x y  1 32 3 48 x  3y  2 x y  1 2 23 49 Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene centro C3, 2 y es tangente a la recta y  5. y 50 Encuentre la ecuación de la recta que es tangente a la circunferencia x 2  y 2  25 en el punto P3, 4. m  1 x (3, 2) x 51 Crecimiento fetal El crecimiento de un feto de más de 12 semanas de edad se puede aproximar con la fórmula L  1.53t  6.7, donde L es la longitud (en centímetros) y t es la edad (en semanas). La longitud prenatal se puede determinar por ultrasonido. Aproxime la edad de un feto cuya longitud es 28 centímetros. Approximately 23 weeks y  32 x  1 52 Estimación de salinidad La salinidad del océano se refiere a la cantidad de material disuelto encontrado en una muestra de agua de mar. La salinidad S se puede estimar a partir de la cantidad C de cloruro en agua de mar usando S  0.03  1.805C, donde S y C son medidos por peso en partes por mil. Aproxime C si S es 0.35. 0.177 y  2  x  3 46 (a) (b) y y md x x 53 Peso de una ballena jorobada El peso esperado E (en toneladas) de una ballena jorobada se puede aproximar por su longitud L (en pies) con la fórmula W  1.70L  42.8 para 30 L 50. (a) Estime el peso de una ballena jorobada de 40 pies. 25.2 tons x  2 y  43 x (b) Si el error al estimar la longitud pudiera ser de hasta 2 pies, ¿cuál es el error correspondiente para el peso estimado? As large as 3.4 tons 3.3 Rectas 54 Crecimiento de una ballena azul Las ballenas azules recién nacidas miden aproximadamente 24 pies de largo y pesan 3 toneladas. Las ballenas jóvenes son amamantadas durante 7 meses y, llegado el tiempo de destete, con frecuencia miden 53 pies de largo y pesan 23 toneladas. Denotemos con L y W la longitud (en pies) y el peso (en toneladas), respectivamente, de una ballena que tiene t meses de edad. (a) Si F y t están relacionadas linealmente exprese L en términos de t. L  29 7 t  24 (b) ¿Cuál es el incremento diario en el tamaño de un balle29 nato? (Considere un mes  30 días.) 210 ftday (c) Si W y t están relacionadas linealmente, exprese W en términos de t. W  20 7 t  3 (d) Cuál es el incremento diario en el peso del ballenato? 175 (a) Exprese la cantidad P (en dólares) pendiente de pago en términos del tiempo t (en meses). P  125t  8250 (b) ¿Después de cuántos meses el estudiante deberá $5,000? 26 (c) Trace, en un plano tP, una gráfica que muestre la relación entre P y t para la duración del préstamo. 59 Vaporizar agua La cantidad de calor H (en joules) necesaria para convertir un gramo de agua en vapor está linealmente relacionada con la temperatura T (en °C) de la atmósfera. A 10°C esta conversión requiere 2480 joules y cada aumento en temperatura de 15°C baja la cantidad de calor necesaria en 40 joules. Exprese H en términos de T. H  83 T  7520 3 55 Estadísticas de beisbol Suponga que un jugador de beisbol de las ligas mayores ha conectado 15 cuadrangulares en los primeros 14 juegos y mantiene este paso en toda la temporada de 162 juegos. 60 Potencia aeróbica En fisiología del ejercicio, la potencia aeróbica P se define en términos de máxima inhalación de oxígeno. Para altitudes de hasta 1800 metros, la potencia aeróbica es óptima, es decir, 100%. A más de 1800 metros, P disminuye linealmente desde el máximo de 100% a un valor cercano al 40% a 5000 metros. (a) Exprese el número y de cuadrangulares en términos del 5 número x de juegos jugados. y  14 x (a) Exprese la potencia aeróbica P en términos de la altitud 3 535 h (en metros) para 1800 h 5000. P  160 h  4 (b) ¿Cuántos cuadrangulares conectará el jugador en la temporada? (b) Estime la potencia aeróbica en la Ciudad de México (altitud 2400 metros), sede de los Juegos Olímpicos de Verano de 1968. 2 21 tonday 58 56 Producción de queso Un fabricante de queso produce 18,000 libras de queso del 1 de enero al 24 de marzo. Suponga que este ritmo de producción continúa para el resto del año. (a) Exprese el número y de libras de queso producidas en términos del número x del día en un año de 365 días. y 18,000 83 x (b) Prediga, a la libra más cercana, el número de libras producidas para el año. 79,157 57 Peso en la infancia Un bebé pesa 10 libras al nacer y tres años más tarde el peso del niño es 30 libras. Suponga que el peso W (en libras) en la infancia está linealmente relacionado con la edad t (en años). 20 (a) Exprese W en términos de t. W  3 t  10 88.75% 61 Isla de calor urbano El fenómeno de una isla de calor urbano se ha observado en Tokio. El promedio de temperatura fue de 13.5°C en 1915 y desde entonces ha subido 0.032°C por año. (a) Suponiendo que la temperatura T (en °C) está linealmente relacionada con el tiempo t (en años) y que t  0 corresponde a 1915, exprese T en términos de t. T  0.032t  13.5 (b) Prediga el promedio de temperatura en el año 2010. 16.54C 62 Aumento de temperatura del suelo En 1870, el promedio de temperatura del suelo en París fue de 11.8°C. Desde entonces, ha subido a un ritmo casi constante, llegando a 13.5°C en 1969. (c) ¿A qué edad el niño pesará 70 libras? 9 yr (a) Exprese la temperatura T (en °C) del tiempo t (en años), donde t  0 corresponde al año 1870 y 13.5  11.8 0 t 99. T  1969  1870 t  1969  13.5 (d) Trace, en un plano tW, una gráfica que muestre la relación entre W y t para 0 t 12. (b) ¿Durante qué año fue de 12.5°C el promedio de temperatura del suelo? 1910 58 Pago de préstamo Un estudiante universitario recibe un préstamo sin intereses de $8250 de un familiar. El estudiante pagará $125 al mes hasta pagar el préstamo. 63 Gastos en un negocio El propietario de una franquicia de helados debe pagar a la casa matriz $1000 por mes más 5% de los ingresos mensuales R. El costo de operación de la (b) ¿Cuál es W en el sexto cumpleaños del niño? 50 lb 176 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS franquicia incluye un costo fijo de $2600 por mes por conceptos como utilidades y mano de obra. El costo de helados y abastecimientos es del 50% del ingreso. 66 Escalas de temperatura La relación entre la lectura de temperatura F en la escala Fahrenheit y la lectura de temperatura C en la escala Celsius, está dada por C  95 F  32. (a) Exprese el gasto mensual E del propietario en términos de R. (a) Encuentre la temperatura a la que la lectura sea igual en ambas escalas. 40 (b) Exprese la utilidad mensual P en términos de R. (b) ¿Cuándo es la lectura Fahrenheit el doble de la lectura Celsius? C  160 and F  320 E  0.55R  3600 P  0.45R  3600 (c) Determine el ingreso mensual necesario para no perder ni ganar. 64 Dosis de medicamento Los productos farmacéuticos deben especificar dosis recomendada para adultos y niños. Dos fórmulas para modificar los niveles de medicamento para adulto y para jovencitos, son y Regla de Cowling: 1 y  24 t  1a Regla de Friend: 2 y  25 ta, 67 Cortante de viento vertical Una cortante de viento vertical se presenta cuando la velocidad del viento varía a alturas diferentes sobre el suelo. La cortante de viento es de gran importancia para pilotos durante despegues y aterrizajes. Si la velocidad del viento es v 1 a una altura h 1 y v 2 a una altura h 2, entonces el promedio de la cortante de viento s está dado por la fórmula de pendiente donde a denota dosis de adulto (en miligramos) y t denota la edad del niño (en años). (a) Si a  100, grafique las dos ecuaciones lineales en el mismo plano de coordenadas para 0 t 12. (b) ¿Para qué edad las dos fórmulas especifican la misma 25 dosis? 23 yr 65 Juego de video En el juego de video que se muestra en la figura, un avión vuela de izquierda a derecha a lo largo de la trayectoria dada por y  1  1x y dispara balas en la dirección tangente a criaturas colocadas sobre el eje x en x  1, 2, 3, 4. Ejercicio 65 y s v2  v1 . h2  h1 Si la velocidad del viento al nivel del suelo es 22 mi/h y s se ha determinado que es 0.07, encuentre la velocidad del viento a 185 pies sobre el suelo. 34.95 mihr 68 Cortante de viento vertical En el estudio de la cortante de viento vertical, a veces se usa la fórmula  v1 h1  v2 h2 P donde P es una variable que depende del terreno y estructuras cerca del nivel del suelo. En Montreal, el promedio de valor diurno para P con vientos del norte sobre 29 mi/h se determinó que es 0.13. Si un viento del norte de 32 mi/h se mide a 20 pies sobre el suelo, aproxime el promedio de la cortante de viento (vea ejercicio 67) entre 20 y 200 pies. 0.062 mihrft 3 Ejer. 69-70 Los puntos dados se encontraron usando métodos empíricos. Determine si se encuentran en la misma recta y ⴝ ax ⴙ b y, si es así, encuentre los valores de a y de b. P 2 Q 1 69 A1.3, 1.3598, C1.2, 0.5573, B0.55, 1.11905, D3.25, 0.10075 70 A0.22, 1.6968, C1.3, 1.028 B0.12, 1.6528, D1.45, 0.862 No a  0.321; b  0.9425 x 1 2 3 4 Mediante un cálculo, la pendiente de la recta tangente a la trayectoria en P1, 2 es m  1 y en Q  32 , 35  es m   94 . Determine si una criatura será blanco de balas cuando el avión esté en Ejer. 71-72: Grafique las rectas en el mismo plano de coordenadas y encuentre las coordenadas de los puntos de intersección (las coordenadas son enteros.) 71 x  3y  58; 3x  y  70 19, 13 72 x  10y  123; 2x  y  6 3, 12 (a) P (b) Q No Yes; the creature at x  3 ■ Available for online testing and homework. 3.3 Rectas Ejer. 73-74: Grafique las rectas en el mismo plano de coordenadas y estime las coordenadas de los puntos de intersección. Identifique el polígono determinado por las rectas. 73 2x  y  1; 78 Tiempos récord en la milla Los tiempos récord mundiales (en segundos) para la carrera de una milla aparecen en la tabla. x  2y  2; 3x  y  11 0.8, 0.6, 4.8, 3.4, 2, 5; right isosceles triangle 74 10x  42y  7.14; 0.5x  2.1y  2.73; 8.4x  2y  3.8; 16.8x  4y  14 Ejer. 75-76: Para la tabla de datos, determine una recta en la forma y ⴝ ax ⴙ b que modele los datos aproximadamente. Trace la recta junto con los datos sobre los mismos ejes de coordenadas. Nota: Para ejercicios que requieran un modelo aproximado, las respuestas pueden variar dependiendo de los puntos de datos seleccionados. 75 x 76 y x Año Tiempo 1913 254.4 1934 246.8 1954 238.0 1975 229.4 1999 223.1 (a) Grafique los datos. y 7 25 0.4 2.88 5.8 21 1.2 2.45 5 18.5 2.2 1.88 4 15.4 3.6 1.12 0.6 0.58 4.4 0.68 1.8 3.26 6.2 0.30 3 7.1 4.6 177 (b) Encuentre una recta de la forma T  aY  b que aproxime estos datos, donde T es el tiempo y Y es el año. Grafique esta recta junto con los datos en los mismos ejes de coordenadas. T  0.3640Y  950.64 (c) Use la recta para pronosticar el tiempo récord en 1985 y compárela con el récord actual de 226.3 segundos. 228.2 sec (d) Interprete la pendiente de esta recta. Record time has decreased by approximately 0.4 secyr. 12.2 y  3.2x  2.6 77 Costos de TV del Super Tazón La tabla siguiente da el costo (en miles de dólares) para un anuncio de 30 segundos en televisión durante el Super Tazón para varios años. Año Costo 1986 550 1996 1085 2001 2100 2005 2400 (a) Grafique los datos en el plano xy. (b) Determine una recta de la forma y  ax  b, donde x es el año y y es el costo que modele los datos. Grafique esta recta junto con los datos en los mismos ejes de coordenadas. Las respuestas pueden variar y  97.4x  192,824 (c) Use esta recta para predecir el costo de un comercial de 30 segundos en 2002 y 2003. Compare sus respuestas con los valores reales de $2,200,000 y $2,150,000, respectivamente. $2,107,895; $2,205,263 178 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 3.4 Definición de función ILUSTRACIÓN La noción de correspondencia se presenta con frecuencia en nuestra vida diaria. Algunos ejemplos se dan en la ilustración siguiente. Correspondencia A cada libro de una biblioteca le corresponde el número de páginas en el libro. A cada ser humano corresponde una fecha de nacimiento. Si la temperatura del aire se registra durante todo el día, entonces a cada instante corresponde una temperatura. Figura 1 x D y E Definición de función Para muchos casos, simplemente recordemos que el dominio es el conjunto de valores x y el rango es el conjunto de valores y. Cada correspondencia de la ilustración previa comprende dos conjuntos, D y E. En la primera ilustración, D denota el conjunto de libros de una biblioteca y E es el conjunto de enteros positivos. A cada libro x en D corresponde un entero positivo y en E, es decir, el número de páginas del libro. A veces describimos correspondencias por diagramas del tipo que se muestra en la figura 1, donde los conjuntos D y E están representados por puntos dentro de las regiones en un plano. La flecha curvada indica que el elemento y de E corresponde al elemento x de D. Los dos conjuntos pueden tener elementos en común. En realidad, con frecuencia tenemos D  E. Es importante observar que a cada x en D corresponde exactamente una y en E, pero el mismo elemento de E puede corresponder a elementos diferentes de D. Por ejemplo, dos libros pueden tener el mismo número de páginas, dos personas pueden tener el mismo cumpleaños y la temperatura puede ser igual a diferentes horas. En casi todo nuestro trabajo, D y E serán conjuntos de números. Para ilustrar, con D y E denotemos al conjunto ⺢ de números reales y a cada número real x asignemos su cuadrado x 2. Esto nos da una correspondencia de ⺢ a ⺢. Cada una de nuestras ilustraciones de una correspondencia es una función, que definimos como sigue: Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento x de D exactamente un elemento y de E. El elemento x de D es el argumento de f. El conjunto D es el dominio de la función. El elemento y de E es el valor de f en x (o la imagen de x bajo f) y está denotado por fx, léase “f de x.” El rango de f es el subconjunto R de E formado por todos los posibles valores f x para x en D. Nótese que puede haber elementos en el conjunto E que no están en el rango R de f. 3.4 Def inición de función Figura 2 w z f (w) f (z) x a D f (a) 179 Considere el diagrama de la figura 2. Las flechas curvadas indican que los elementos f w, f z, f x y f a de E corresponden a los elementos w, z, x y a de D. A cada elemento de D hay asignado exactamente un valor de función en E; no obstante, diferentes elementos de D, como por ejemplo w y z en la figura 2, pueden tener el mismo valor en E. Los símbolos f (x) f f D l E, E f : D l E, y D E significan que f es una función de D a E y decimos que f mapea (relaciona) D en E. Inicialmente, las notaciones f y f x pueden ser confusas. Recuerde que f se usa para representar la función; no está en D ni en E pero f x es un elemento del rango R, el elemento que la función f asigna al elemento x, que está en el dominio D. Dos funciones f y g de D a E son iguales y escribimos f  g siempre que Por ejemplo, si gx  g  f. EJEMPLO 1 1 2 2 2x f x  gx para toda x en D.  6  3 y f x  x 2 para toda x en ⺢, entonces Hallar valores de función Sea f la función con dominio ⺢ tal que f x  x 2 para toda x en ⺢. (a) Encuentre f 6, f  23 , f a  b, y f a  f b, donde a y b son números reales. (b) ¿Cuál es el rango de f ? SOLUCIÓN (a) Encontramos valores de f al sustituir por x en la ecuación f x  x 2: f 6  62  36 f  23    2 3 2  3 Nótese que, en general, f a  b 苷 f a  f b. f a  b  a  b2  a2  2ab  b2 f a  fb  a2  b2 (b) Por definición, el rango de f está formado por todos los números de la forma f x  x 2 para x en ⺢. Como el cuadrado de todo número real es no negativo, el rango está contenido en el conjunto de todos los números reales no negativos. Además, todo número real no negativo c es un valor de f, porque f  2c    2c 2  c. En consecuencia, el rango de f es el conjunto de todos los números reales no negativos. L 180 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Si una función está definida como en el ejemplo 1, los símbolos empleados para la función y variable no importan; es decir, expresiones como f x  x 2, fs  s2, gt  t 2, y kr  r 2 definen todas ellas la misma función. Esto es cierto porque si a es cualquier número del dominio, entonces el mismo valor a2 se obtiene cualquiera que sea la expresión que se use. En el resto de nuestro trabajo, la frase f es una función quiere decir que el dominio y rango son conjuntos de números reales. Si una función está definida por medio de una expresión, como en el ejemplo 1 y el dominio D no se expresa, entonces consideraremos que D es la totalidad de números reales x tales que f x es real. Esto a veces recibe el nombre de dominio implicado de f. Para ilustrar, si f x  2x  2, entonces el dominio implicado es el conjunto de números reales x tales que 2x  2 es real, esto es, x  2 0, o x 2. Así, el dominio es el intervalo infinito 2, . Si x está en el dominio, decimos que f está definida en x o que f x existe. Si un conjunto S está contenido en el dominio, f está definida sobre S. La terminología f no está definida en x significa que x no está en el dominio de f. EJEMPLO 2 Sea gx  Hallar valores de función 24  x 1x . (a) Hallar el dominio de g. (b) Hallar g5, g2, ga, y ga. SOLUCIÓN (a) La expresión 24  x1  x es un número real si y sólo si el radicando 4  x es no negativo y el denominador 1  x es diferente de 0. Entonces, gx existe si y sólo si 4x 0 y 1x苷0 o bien, lo que es equivalente, x 4 y x 苷 1. Podemos expresar el dominio en términos de intervalos como [4, 1) 傼 (1, ). (b) Para hallar valores de g, sustituimos por x: g5  24  5  29  3 4 15 4 24  2 22 g2   1  2 3 24  a 24  a ga   1  a 1a 24  a 24  a ga    1a a1 L 3.4 Def inición de función Las funciones son comunes en la vida diaria y aparecen en gran variedad de formas. Por ejemplo, el menú en un restaurante (figura 3) se puede considerar que es una función f de un conjunto de artículos y un conjunto de precios. Nótese que f está dado en formato de tabla. Aquí fhamburguesa  1.69, fpapas fritas  0.99 y f refresco  0.79. Un ejemplo de una función dada por una regla se puede hallar en las tablas de impuesto federal (figura 4). Específicamente, en 2006, para un soltero con ingreso gravable de $120,000 el impuesto pagadero estaba dado por la regla Figura 3 MENÚ Hamburguesa $1.69 Papas fritas $0.99 Refresco $0.79 181 $15,107.50 más 28% de la cantidad sobre $74,200. Figura 4 Tarifa de impuesto federal 2006 Tarifa X: Usar si su estatus de presentación es soltero Si el ingreso gravable es más de: Pero no más de: $0 $7,550 - - - - - - - - 10% $0 7,550 30,650 $755.00 + 15% 7,550 30,650 74,200 $4,220.00 + 25% 30,650 74,200 154,800 15,107.50 + 28% 74,200 154,800 336,550 37,675.50 + 33% 154,800 336,550 ------- 97,653.00 + 35% 336,550 El impuesto es: de la cantidad sobre: En este caso, el impuesto sería Figura 5 $15,107.50  0.28$120,000  $74,200  $27,931.50. T (temperatura) 5 t 10 (tiempo) Definición de gráfica de una función Con frecuencia se usan gráficas para describir la variación de cantidades físicas. Por ejemplo, un científico puede usar la gráfica de la figura 5 para indicar la temperatura T de cierta solución en varios tiempos t durante un experimento. El diagrama muestra que la temperatura aumentó gradualmente para el tiempo t  0 al tiempo t  5, no cambió entre t  5 y t  8 y luego disminuyó rápidamente de t  8 a t  9. Del mismo modo, si f es una función, podemos usar una gráfica para indicar el cambio en f x cuando x varía en el dominio de f. Específicamente, tenemos la siguiente definición. La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y  f x para x en el dominio de f. A veces aplicamos la leyenda y  f x a un diagrama de la gráfica. Si Pa, b es un punto en la gráfica, entonces la coordenada b de y es el valor f a de la función, como se ilustra en la figura 6 en la página siguiente. La figura muestra el dominio de f (el conjunto de posibles valores de x) y el rango de f (los valores correspondientes de y). Aun cuando hemos descrito el dominio y rango de intervalos cerrados, pueden ser intervalos infinitos u otros conjuntos de números reales. 182 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Como hay exactamente un valor f a para cada a en el dominio de f, sólo un punto de la gráfica de f tiene coordenada a de x. En general, podemos usar la siguiente prueba para determinar si una gráfica es la gráfica de una función. La gráfica de un conjunto de puntos en un plano de coordenadas es la gráfica de una función si toda recta vertical la cruza en un punto a lo más. Prueba de recta vertical Así, toda recta vertical cruza la gráfica de una función en un punto a lo más. En consecuencia, la gráfica de una función no puede ser una figura como por ejemplo una circunferencia, en la que una recta vertical puede cruzar la gráfica en más de un punto. Las intersecciones con el eje x de la gráfica de una función f son las soluciones de la ecuación f x  0. Estos números se denominan ceros de la función. La intersección con el eje y de la gráfica es f 0, si ésta existe. Figura 6 y y  f (x) Rango de f P(a, b) f (a) EJEMPLO 3 a x Dominio de f Figura 7 Sea f x  2x  1. (a) Trace la gráfica de f. (b) Encuentre el dominio y rango de f. SOLUCIÓN (a) Por definición, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y  2x  1. La tabla siguiente es una lista de coordenadas de varios puntos sobre la gráfica. y Rango de: [0, ) Trazar la gráfica de una función y  x  1 x Dominio: [1, ) x 1 2 y ⴝ f (x) 0 1 3 4 2 2  1.4 2 3  1.7 5 6 2 2 5  2.2 Al localizar puntos, obtenemos el diagrama que se ve en la figura 7. Nótese que el cruce con el eje x es 1 y no hay cruce con el eje y. (b) Por consulta de la figura 7, nótese que el dominio de f está formado por todos los números reales x tales que x 1 o bien, lo que es equivalente, el intervalo [1, ). El rango de f es el conjunto de todos los números reales y tales que y 0 o, lo que es equivalente, [0, ). L La función raíz cuadrada, definida por f x  2x, tiene una gráfica semejante a la de la figura 7, pero el punto extremo está en (0, 0). El valor y de un punto sobre esta gráfica es el número que se ve en la pantalla de una calculadora cuando se le pide una raíz cuadrada. Esta relación gráfica puede ayudar a recordar que 29 es 3 y que 29 no es 3. Del mismo modo, f x  x 2, 3 f x  x 3, y f x  2 x se conocen a veces como la función de elevar al cua- 3.4 Def inición de función 183 drado, la función de elevar al cubo y la función de raíz cúbica, respectivamente. En el Ejemplo 3, cuando x aumenta, el valor f x de la función también aumenta y decimos que la gráfica de f sube (vea figura 7). Una función de este tipo se dice que es creciente. Para ciertas funciones, f x disminuye cuando x aumenta. En este caso la gráfica cae y f es una función decreciente. En general, consideraremos funciones que aumentan o disminuyen en un intervalo I, como se describe en la tabla siguiente, donde x1 y x2 denotan números en I. Funciones crecientes, decrecientes y constantes Terminología f es creciente en un intervalo I Definición f x1 f x2 siempre que x1 Interpretación gráfica y x2 f (x 2) f (x 1) x1 f es decreciente en un intervalo I f x1 f x2 siempre que x1 x2 x x2 x x2 x y x2 f (x 1) f (x 2) x1 f es constante en un intervalo I f x1  f x2 para toda x1 y x2 y f (x 2) f (x 1) x1 Un ejemplo de una función creciente es la función identidad, cuya ecuación es fx  x y cuya gráfica es la recta que pasa por el origen con pendiente 1. Un ejemplo de una función decreciente es fx  x, una ecuación de la recta que pasa por el origen con pendiente 1. Si fx  c para todo número real x, entonces f se denomina función constante. 184 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Usaremos las frases f es creciente y fx es creciente indistintamente. Haremos lo mismo con los términos decreciente y constante. Uso de una gráfica para hallar el dominio, rango y donde una función aumenta o disminuye EJEMPLO 4 Sea fx  29  x 2. (a) Trace la gráfica de f. (b) Encuentre el dominio y rango de f. (c) Encuentre los intervalos en los que f es creciente o es decreciente. SOLUCIÓN Figura 8 y y  9  x2 Rango: [0, 3] x Dominio: [3, 3] (a) Por definición, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y  29  x 2. Sabemos de nuestro trabajo con circunferencias en la sección 3.2, que la gráfica de x 2  y 2  9 es una circunferencia de radio 3 con centro en el origen. Si de la ecuación x 2  y 2  9 despejamos y tendremos y  29  x 2. Se deduce que la gráfica de f es la mitad superior de la circunferencia, como se ilustra en la figura 8. (b) Por consulta de la figura 8, vemos que el dominio de f es el intervalo cerrado 3, 3, y el rango de f es el intervalo 0, 3. (c) La gráfica sube cuando x aumenta de 3 a 0, de modo que f es creciente en el intervalo cerrado 3, 0. Por lo tanto, como se muestra en la gráfica precedente, si x1 x2 en 3, 0, entonces fx1 fx2 (nótese que posiblemente x1  3 o x2  0). Como x se incrementa de 0 a 3 la gráfica baja, además f decrece en el intervalo cerrado 0, 3. En este caso el diagrama muestra que si x1 x2 en 0, 3 entonces fx1 fx2 (considere la posibilidad de que x1  0 o x2  3). Un problema del siguiente tipo es de especial interés en cálculo. Problema: Encuentre la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q que se muestran en la figura 9. Figura 9 y Q(a  h, f (a  h)) recta secante y  f (x) y  f (a  h)  f (a) P(a, f (a)) x  h a ah x 3.4 Def inición de función 185 La pendiente mPQ está dada por mPQ  fa  h  fa y  . x h La última expresión (con h 苷 0) por lo común se denomina cociente de diferencias. Echemos una mirada al álgebra que aparece en la simplificación de un cociente de diferencias. (Vea en el ejercicio de análisis 5, al final del capítulo, un problema relacionado.) EJEMPLO 5 Simplificar un cociente de diferencias Simplifique el cociente de diferencias f x  h  fx h usando la función f x  x 2  6x  4. SOLUCIÓN f x  h  fx x  h2  6x  h  4  x 2  6x  4  h h definición de f x  2xh  h  6x  6h  4  x 2  6x  4 h 2  2 expandir numerador  x 2  2xh  h2  6x  6h  4  x 2  6x  4 h restar términos 2xh  h2  6h  h h2x  h  6  h  2x  h  6 simplificar factorizar h cancelar h 苷 0 L El siguiente tipo de función es uno de los más elementales en álgebra. Definición de función lineal Una función f es una función lineal si f x  ax  b, donde x es cualquier número real y a y b son constantes. La gráfica de f de la definición precedente es la gráfica de y  ax  b, que, por la forma de ordenada en el origen, es una recta con pendiente a y cruce b con el eje y. Así, la gráfica de una función lineal es una recta. Como 186 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS f x existe para toda x, el dominio de f es ⺢. Como se ilustra en el ejemplo siguiente, si a 苷 0, entonces el rango de f también es ⺢. EJEMPLO 6 Figura 10 Trazar la gráfica de una función lineal Sea fx  2x  3. (a) Trace la gráfica de f. (b) Encuentre el dominio y rango de f. (c) Determine dónde f es creciente o es decreciente. y y  2x  3 SOLUCIÓN x (a) Como f x tiene la forma ax  b, con a  2 y b  3, f es una función lineal. La gráfica de y  2x  3 es la recta con pendiente 2 y punto de cruce 3 con el eje y, ilustrado en la figura 10. (b) Vemos de la gráfica que x y y pueden ser cualesquier números reales, de modo que el dominio y el rango de f son ⺢. (c) Como la pendiente de a es positiva, la gráfica de f sube cuando x aumenta; esto es, f x1 f x2 siempre que x1 x2. Así, f es creciente en todo su dominio. L En aplicaciones, a veces es necesario determinar una función lineal específica a partir de los datos dados, como en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 7 Hallar una función lineal Si f es una función lineal tal que f 2  5 y f 6  3, encuentre f x, donde x es cualquier número real. SOLUCIÓN Por la definición de función lineal, f x  ax  b, donde a y b son constantes. Además, los valores de la función dada nos dicen que los puntos 2, 5 y 6, 3 están en la gráfica de f, es decir, sobre la recta y  ax  b ilustrada en la figura 11. La pendiente a de esta recta es Figura 11 y (2, 5) a 53 2 1   , 2  6 8 4 y en consecuencia f x tiene la forma y  ax  b f x   41 x  b. (6, 3) Para hallar el valor de b, podemos usar el hecho de que f 6  3, como sigue: x f 6   41 6  b 3   23  b b  3  32  29 sea x  6 en f x   14 x  b f6  3 despeje b 3.4 Def inición de función 187 Por lo tanto, la función lineal que satisface f 2  5 y f 6  3 es f x   41 x  29 . L Numerosas fórmulas que se presentan en matemáticas y ciencias determinan funciones. Por ejemplo, la fórmula A  r 2 para el área A de una circunferencia de radio r asigna a cada número real positivo r exactamente un valor de A. Esto determina una función f tal que f r  r 2 y podemos escribir A  f r. La letra r, que representa un número arbitrario del dominio de f, se denomina variable independiente. La letra A, que representa un número del rango de f, es una variable dependiente porque su valor depende del número asignado a r. Si dos variables r y A están relacionadas de este modo, decimos que A es una función de r. En aplicaciones, la variable independiente y la variable dependiente a veces se conocen como la variable de entrada y la variable de salida, respectivamente. Como otro ejemplo, si un automóvil viaja a una velocidad uniforme de 50 mih, entonces la distancia d (millas) recorrida en un tiempo t (horas) está dada por d  50t y por lo tanto la distancia d es una función del tiempo t. EJEMPLO 8 Expresar el volumen de un tanque como función de su radio Un tanque de acero para gas propano se va a construir en forma de cilindro circular recto de 10 pies de altura, con una semiesfera unida a cada extremo. El radio r está por determinarse. Exprese el volumen V (en pies) del tanque como función de r (en pies). Figura 12 r SOLUCIÓN El tanque se ilustra en la figura 12. Podemos hallar el volumen de la parte cilíndrica del tanque al multiplicar su altura 10 por el área r 2 de la base del cilindro. Esto nos da volumen del cilindro  10r 2  10r 2. 10 Los dos extremos semiesféricos, tomados juntos, forman una esfera de radio r. Usando la fórmula para el volumen de una esfera, obtenemos volumen de los dos extremos  34 r 3. Por lo tanto, el volumen V del tanque es V  34 r 3  10r 2. Esta fórmula expresa V como función de r. En forma factorizada, Vr  31 r 24r  30  32 r 22r  15. EJEMPLO 9 L Expresar una distancia como función del tiempo Dos barcos salen de puerto al mismo tiempo, uno de ellos navegando al oeste a razón de 17 mih y el otro al sur a 12 mih. Si t es el tiempo (en horas) después de su salida, exprese la distancia d entre los barcos como función de t. 188 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Figura 13 SOLUCIÓN Para ayudar a visualizar el problema, empezamos por hacer un dibujo y marcarlo como se ve en la figura 13. Por el teorema de Pitágoras, d 2  a2  b2, a Puerto b d N o d  2a2  b2. Como distancia  (velocidad)(tiempo) y las velocidades son 17 y 12, respectivamente, a  17t y b  12t. La sustitución en d  2a2  b2 nos da d  2(17t)2  (12t)2  2289t 2  144t 2  2433t 2  (20.8)t. L Es posible usar pares ordenados para obtener un método alternativo a funciones. Primero observamos que una función f de D a E determina el siguiente conjunto W de pares ordenados: W  x, f x: x está en D Por lo tanto, W está formado por todos los pares ordenados tales que el primer número x está en D y el segundo número es el valor f x de la función. En el ejemplo 1, donde f x  x 2, W es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma x, x 2. Es importante observar que, para cada x, hay exactamente un par ordenado x, y en W que tiene x en la primera posición. En forma recíproca, si empezamos con un conjunto W de pares ordenados tales que cada x en D aparece exactamente una vez en la primera posición de un par ordenado, entonces W determina una función. De manera específica, para cada x en D hay exactamente un par x, y en W y al hacer que y corresponda a x, obtenemos una función con dominio D. El rango está formado por todos los números reales y que aparecen en la segunda posición de los pares ordenados. Del análisis precedente se deduce que el siguiente enunciado también podría usarse como definición de función. Definición alternativa de función Una función con dominio D es un conjunto W de pares ordenados tales que, para cada x en D, hay exactamente un par ordenado x, y en W que tiene a x en la primera posición. En términos de la definición anterior, los pares ordenados  x, 2x  1  determinan la función del ejemplo 3 dada por fx  2x  1. Nótese, sin embargo, que si W  x, y: x 2  y 2 , entonces W no es una función, puesto que para una x determinada puede haber más de un par en W con x en la primera posición. Por ejemplo, si x  2, entonces 2, 2 y 2, 2 están en W. 3.4 Def inición de función 189 En el siguiente ejemplo ilustramos la forma en que algunos de los conceptos presentados en esta sección se pueden estudiar con ayuda de una calculadora graficadora. En adelante, cuando hagamos asignaciones en una calculadora graficadora, con frecuencia nos referiremos a variables como Y1 y Y2 como las funciones Y1 y Y2. Analizar la gráfica de una función EJEMPLO 10 Sea f x  x 2/3  3. (a) Encuentre f 2. (b) Trace la gráfica de f. (c) Exprese el dominio y rango de f. (d) Exprese los intervalos en los que f es creciente o es decreciente. (e) Estime los puntos de cruce con el eje x de la gráfica a una precisión de un lugar decimal. SOLUCIÓN TI-83/4 Plus TI-86 (a) Abajo aparecen cuatro representaciones de f, todas ellas válidas en la TI-83/4 Plus y la TI-86. En algunos otros modelos anteriores de calculadoras graficadoras se puede obtener sólo el lado derecho de la gráfica de la figura 14, que aparece en la página siguiente. Si eso ocurre, cambie su representación de f. A continuación se muestran dos métodos de hallar un valor de función. En el primero, simplemente encontramos el valor de Y1 2. En el segundo, guardamos 2 en X y luego hallamos el valor de Y1 . VARS 䉯 1 1 ( 2 ) 2nd alpha Y 1 ( 2 ) ENTER ENTER (b) El uso de la pantalla 15, 15 por 10, 10 para graficar Y1 nos da una pantalla semejante a la de la figura 14. La parte en forma de v de la gráfica de f en x  0 se llama cúspide. (c) El dominio de f es ⺢, porque podemos introducir cualquier valor para x. La figura indica que y 3, de modo que concluimos que el rango de f es [3, . (continúa) 190 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS (d) De la figura, vemos que f es decreciente en , 0 y creciente en 0, . (e) Con el uso de la función de raíz, encontramos que el punto de cruce con el eje x positivo de la figura 14 es aproximadamente 5.2. Como f es simétrica con respecto al eje y, el punto de cruce con el eje x negativo es alrededor de 5.2. Figura 14 [15, 15] por [10, 10] L Como ayuda de referencia, algunas gráficas comunes y sus ecuaciones aparecen en el apéndice I. Muchas de éstas son gráficas de funciones. 3.4 Ejercicios 2 Si f x  x 3  x 2  3, encuentre f 3, f 0, y f 2. Ejer. 11-14: Si a es un número real positivo, encuentre 1 1 (a) g (b) (c) g 2a  (d) 2g(a) a g(a) 3 Si f x  2x  4  3x, encuentre f 4, f 8, y f 13. 11 gx  4x 2 1 Si f x  x 2  x  4, encuentre f 2, f 0, y f 4. 6, 4, 24 21, 3, 9  12, 22, 36 4 Si f x  2 5, x , encuentre f 2, f 0, y f 3. x3 13 gx  12 gx  2x  5 2x x 1 14 gx  2 x2 x1 0, undefined Ejer. 15-16: Explique por qué la gráfica es o no es la gráfica de una función. Ejer. 5-10: Si a y h son números reales, encuentre (a) f (a) (b) f (ⴚa) (c) ⴚf (a) (d) f (a ⴙ h) (e) f (a) ⴙ f (h) (f) 6 f x  3  4x 7 f x  x  4 8 f x  3  x 9 f x  x 2  x  3 y 16 y f (a ⴙ h) ⴚ f (a) , si h ⴝ 0 h 5 f x  5x  2 2 15 2 10 f x  2x 2  3x  7 x x 3.4 Def inición de función Ejer. 17-18: Determine el dominio D y el rango R de la función que se muestra en la figura. 17 18 y (1, 2)  y x (2, 1) x (2, 1) (4, 3) 22x  3 x 2  5x  4 28 f x  4  傼 4,  2,  (2, 1) (4, 3) 3 2, 29 f x  (4, 3) (4, 3) 27 f x   x4 3 4 24x  3 x2  4 , 2  傼 2,  30 f x  2x  2 191 1 x  3 2x  3 3, 3 傼 3,  31 f x  2x  2  22  x 2, 2 32 f x  2x  2x  6 , 2 傼 6,  Ejer. 33-34: (a) Encuentre el dominio D y rango R de f. (b) Encuentre los intervalos en los que f sea creciente, sea decreciente o sea constante. Ejer. 19-20: Para la gráfica de la función f trazada en la figura, determine (a) el dominio (b) el rango (c) f (1) (d) toda x tal que f (x) ⴝ 1 (e) toda x tal que f (x) > 1 (5, 3) (3, 1) y 19 (4, 4) (2, 2) (3, 0) (4, 1) (q, 1) (1, 3) (4, 2) (1, 1) y 33 34 (2, 1) x (1, 0) (1, 3) (1, 4) (2, 4) (3, 3) (3, 2) y 20 (5, 3) (1, 1) (2, 2) (3, 1) (4, 2) (3, 1) (5, 1) (5, 1) (1, 1) (7, 1) x 21 f x  22x  7 22 f x  28  3x 23 f x  29  x 2 24 f x  2x 2  25 3, 3 25 f x  x1 x 3  4x  , 38  , 5 傼 5,  26 f x  y (0, 3) (4, 1) (5, 1) (3, 2) (2, 3) x 35 Trace la gráfica de una función que sea creciente en , 3 y 2,  y sea decreciente en 3, 2. Ejer. 21-32: Encuentre el dominio de f.   72 ,   x 4x 6x 2  13x  5 36 Trace la gráfica de una función que sea decreciente en , 2 y 1, 4 y sea creciente en 2, 1 y 4, . Ejer. 37-46: (a) Trace la gráfica de f. (b) Encuentre el dominio D y rango de R de f. (c) Encuentre los intervalos en los que f sea creciente, sea decreciente o sea constante. 37 f x  3x  2 38 f x  2x  3 39 f x  4  x 2 40 f x  x 2  1 41 f x  2x  4 42 f x  24  x 192 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 43 f x  2 44 f x  3 45 f x   236  x 2 46 f x  216  x 2 idéntico de área x 2 de cada esquina y voltear hacia arriba los lados (vea la figura). Exprese el volumen V de la caja como función de x. Vx  4x15  x10  x Ejer. 47-48: Simplifique el cociente de diferencias f (2 ⴙ h) ⴚ f (2) si h ⴝ 0. h 47 f x  x 2  3x h  1 Ejercicio 65 x 48 f x  2x 2  3 20 ? x 2h  8 x Ejer. 49-50: Simplifique el cociente de diferencias f (x ⴙ h) ⴚ f (x) si h ⴝ 0. h 49 f x  x  5 2x  h 2 50 f x  1x x ? ? 30 2 Ejer. 51-52: Simplifique el cociente de diferencias si x ⴝ a. ? f (x) ⴚ f (a) xⴚa 51 f x  2x  3 (Sugerencia: Racionalice el numerador.) 52 f x  x 3  2 x 2  ax  a2 Ejer. 53-54: Si una función lineal f satisface las condiciones dadas, encuentre f (x). 1 3 53 f 3  1 y f 3  2 f x  6 x  2 x 66 Construcción de un tanque de almacenamiento Consulte el ejemplo 8. Un tanque de acero, para almacenamiento de gas propano, se ha de construir en forma de cilindro circular recto de 10 pies de altura con una semiesfera unida en cada extremo. El radio r está por determinarse. Exprese el área superficial S del tanque como función de r. 67 Dimensiones de un edificio Una pequeña unidad para oficinas debe contener 500 pies de espacio de piso. Un modelo simplificado se ilustra en la figura. 3 54 f 2  7 y f 4  2 f x   2 x  4 Ejer. 55-64: Determine si el conjunto W de pares ordenados es una función en el sentido de la definición alternativa de función de la página 188. 55 W  x, y: 2y  x 2  5 Yes 56 W  x, y: x  3y  2 Yes (a) Exprese la longitud y del edificio como función del ancho x. (b) Si las paredes cuestan $100 por pie del piso, exprese el costo C de las paredes como función del ancho x. (No considere el espacio de pared arriba de las puertas ni el grosor de las paredes.) 57 W  x, y: x 2  y 2  4 No Ejercicio 67 58 W  x, y: y 2  x 2  1 No 59 W  x, y: y  3 Yes 60 W  x, y: x  3 No 61 W  x, y: xy  0 62 W  x, y: x  y  0 63 W  x, y: y  x 64 W  x, y: y No No 3 Yes x No 65 Construcción de una caja De una pieza rectangular de cartón que tiene dimensiones de 20 pulgadas  30 pulgadas, una caja abierta se ha de construir al cortar un cuadrado 3 OFICINA SALA DE ESPERA y x 3.4 Def inición de función 68 Dimensiones de un acuario Un acuario de 1.5 pies de altura debe tener un volumen de 6 pies. Con x denote la longitud de la base y y el ancho (vea la figura). (a) Exprese y como función de x. yx  4x (b) Exprese el número total S de pie cuadrado de vidrio necesario como función de x. Sx  4  3x  12x 193 71 Crecimiento en la infancia Para niños entre 6 y 10 años, la estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función lineal de la edad t (en años). La estatura de cierto niño es de 48 pulgadas a los 6 años de edad y 50.5 pulgadas a los 7. (a) Exprese y como función de t. yt  2.5t  33 (b) Trace la recta de la parte (a) e interprete la pendiente. The yearly increase in height Ejercicio 68 (c) Prediga la estatura del niño a la edad de 10 años. 58 in. 1.5 x 72 Contaminación radiactiva Se ha estimado que 1000 curies de sustancia radiactiva, introducida en un punto en la superficie del mar abierto, se extendería sobre un área de 40,000 km2 en 40 días. Suponiendo que el área cubierta por la sustancia radiactiva sea una función lineal del tiempo t y es siempre de forma circular, exprese el radio r de la contaminación como función de t. y 69 Reglamento de construcción El ayuntamiento de una ciudad está proponiendo un nuevo reglamento de construcción, el cual requiere que el rebajo S para cualquier edificio desde una residencia sea un mínimo de 100 pies, más otros 6 pies por cada pie de altura arriba de 25 pies. Encuentre una función lineal para S en términos de h. Sh  6h  50 73 Distancia a un globo de aire caliente Un globo de aire caliente se lanza a la 1:00 p.m. y sube verticalmente a razón de 2 m/s. Un punto de observación está situado a 100 metros de un punto en el suelo, directamente abajo del globo (vea la figura). Si t denota el tiempo (en segundos) después de la 1:00 p.m., exprese la distancia d entre el globo y el punto de observación como función de t. Ejercicio 69 Ejercicio 73 h Rebajo d 70 Impuesto de energía Un impuesto T propuesto de energía a la gasolina, que afectaría el costo de conducir un vehículo, se ha de calcular al multiplicar el número x de galones de gasolina que una persona compra por 125,000 (el número de las BTU por galón de gasolina) y luego multiplicar el total de las BTU por el impuesto, 34.2 centavos por millón de las BTU. Encuentre una función lineal para T en términos de x. Punto de observación 100 m Tx  0.04275x ■ Available for online testing and homework. 194 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 74 El triángulo ABC está inscrito en una semicircunferencia de diámetro 15 (vea la figura). (a) Si x denota la longitud del lado AC, exprese la longitud y del lado BC como función de x. (Sugerencia: El ángulo ACB es un ángulo recto.) yx  2225  x 2 (b) Exprese el área Ꮽ del triángulo ABC como función de x, y exprese el dominio de esta función. Ꮽx  21 x 2225  x 2; 15 will form triangles) 15 (only 0 x x 15 Ejercicio 74 C x A 76 Longitud de una cuerda floja La figura ilustra el aparato para un equilibrista. Dos postes se colocan a 50 pies uno del otro, pero el punto de unión P para la cuerda no se ha determinado. (a) Exprese la longitud L de la cuerda como función de la distancia x de P al suelo. Lx  22500  x  22 (b) Si la caminata total debe ser de 75 pies, determine la distancia de P al suelo. 25 25  2 ft Ejercicio 76 P y B 15 x 75 Distancia a la Tierra De un punto exterior P que está h unidades de una circunferencia de radio r, una recta tangente se traza a la circunferencia (vea la figura). Denote con y la distancia desde el punto P al punto de tangencia T. Cuerda L (a) Exprese y como función de h. (Sugerencia: Si C es el centro de la circunferencia, entonces PT es perpendicular a CT.) 2 50 yh  2h2  2hr (b) Si r es el radio de la Tierra y h es la altitud de un transbordador espacial, entonces y es la distancia máxima a la Tierra que un astronauta puede ver desde el transbordador. En particular, si h  200 mi y r  4000 mi, aproxime y. 1280.6 mi Ejercicio 75 77 Pista de un aeropuerto Las posiciones relativas de una pista para aviones y una torre de control de 20 pies de altura se ven en la figura. El principio de la pista está a una distancia perpendicular de 300 pies de la base de la torre. Si x denota la distancia que un avión se ha movido por la pista, exprese la distancia d entre el avión y la parte superior de la torre de control como función de x. dx  290,400  x 2 Ejercicio 77 T 20 y C P h r 300 d x 3.4 Def inición de función 78 Tiempo de llegada a un destino Un hombre en un bote de remos que está a 2 millas del punto A más cercano a una orilla recta, desea llegar a casa situada en un punto B que está 6 millas más abajo sobre la orilla (vea la figura). Él planea remar a un punto P que está entre A y B y a x millas de la casa y luego caminará el resto de la distancia. Suponga que puede remar a 3 mi/h y puede caminar a 5 mi/h. Si T es el tiempo total necesario para llegar a la casa, exprese T como función de x. Ejercicio 78 A P Ejer. 79-82: (a) Trace la gráfica de f en el intervalo dado [a, b]. (b) Estime el rango de f en [a, b]. (c) Estime los intervalos en los que f es creciente o es decreciente. 1/3 x ; 1  x4 2, 2 80 f x  x 4  0.4x 3  0.8x 2  0.2x  0.1; 1, 1 81 f x  x 5  3x 2  1; 0.7, 1.4 1x 82 f x  ; 1  x4 4, 4 3 Ejer. 83-84: En los ejercicios 51-52 de la sección 2.5, se usaron métodos algebraicos para hallar soluciones a cada una de las siguientes ecuaciones. Ahora resuelva la ecuación gráficamente, al asignar la expresión del lado izquierdo a Y1 y el número en el lado derecho a Y2 , y luego encuentre las coordenadas x de todos los puntos de intersección de las dos gráficas. 83 (a) x 5/3  32 8 (d) x (b) x 4/3  16 8 3/4 625  125 (e) x 3/2  27 125 (d) x 3/2  27 (e) x 3/4  8 9 (c) x 4/3  49 No real solutions No real solutions 85 Pantalla de calculadora La pantalla de una calculadora graficadora particular mide 95 píxeles de ancho y 63 píxeles de alto. (a) Encuentre el número total de píxeles en la pantalla. 86 Distancias de parada La tabla siguiente es una lista de distancias de parada prácticas D (en pies) para autos a velocidades S (en millas por hora) en superficies a nivel, como la usa la American Association of State Highway and Transportation Officials. x B 79 f x  (b) x 2/3  25 243 (b) Si una función se grafica en el modo de puntos, determine el número máximo de píxeles que típicamente se oscurecerían en la pantalla de la calculadora para mostrar la función. At most 95 6 mi 2 mi 84 (a) x 3/5  27 195 No real solutions (c) x 2/3  36 No real solutions S 20 30 40 50 60 70 D 33 86 167 278 414 593 (a) Localice los datos. (b) Determine si la distancia de parada es una función lineal de la velocidad. No (c) Examine las implicaciones prácticas de estos datos para conducir con seguridad un auto. Doubling the speed requires almost five times the stopping distance. 87 Precios de autos nuevos En 1993 y 2000, los precios promedio pagados por un auto nuevo fueron $16,871 y $20,356 respectivamente. Suponga que el precio promedio aumentó linealmente. (a) Encuentre una función f que modele el precio promedio pagado por un auto nuevo. Grafique f junto con los dos puntos de datos. 6,827,508 f x  3485 7 x  7 (b) Interprete la pendiente de la gráfica de f. Average annual increase in price paid (c) Gráficamente aproxime el año cuando el promedio de precio pagado sería $25,000. 2009 ■ Available for online testing and homework. 196 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 3.5 Gráficas de funciones En esta sección estudiamos ayudas para trazar gráficas de ciertos tipos de funciones. En particular, una función f se llama par si f x  f x para toda x en su dominio. En este caso, la ecuación y  fx no se cambia si –x es sustituida por x y, por lo tanto, por la prueba de simetría de la sección 3.2, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y. Una función f se denomina impar si f x  fx para toda x en su dominio. Si aplicamos la prueba de simetría 3 de la sección 3.2 a la ecuación y  f x, vemos que la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Estos datos se resumen en las primeras dos columnas de la tabla siguiente. Funciones pares e impares Terminología Definición Tipo de simetría de gráfica Ejemplo f es una función par. f x  f x para toda x en el dominio. y  f x  x2 con respecto al eje y f es una función impar. f x  f x para toda x en el dominio. y  f x  x 3 con respecto al origen EJEMPLO 1 Determinar si una función es par o impar Determine si f es par, impar o ninguna de éstas. (a) fx  3x 4  2x 2  5 (b) fx  2x 5  7x 3  4x 3 2 (c) fx  x  x SOLUCIÓN En cada caso el dominio de f es ⺢. Para determinar si f es par o impar, empezamos por examinar fx donde x es cualquier número real. (a) fx  3x4  2x2  5 sustituir x por x en f x  3x 4  2x 2  5 simplificar  fx definición de f Como fx  fx, f es una función par. (b) fx  2x5  7x3  4x sustituir x por x en f x  2x 5  7x 3  4x simplificar  2x 5  7x 3  4x factorizar 1  fx definición de f Como fx  fx, f es una función impar. 3.5 Gráficas de funciones (c) fx  x3  x2 3  x  x 197 sustituir x por x en f x 2 simplificar Como fx 苷 fx, y fx 苷 fx (nótese que fx  x 3  x 2), la función f no es ni par ni impar. L En el siguiente ejemplo consideramos la función de valor absoluto f, definida por fx  x . EJEMPLO 2 Trazar la gráfica de la función de valor absoluto Sea fx  x . (a) Determine si f es par o impar. (b) Trace la gráfica de f. (c) Encuentre los intervalos en los que f es creciente o es decreciente. SOLUCIÓN (a) El dominio de f es ⺢, porque el valor absoluto de x existe para todo número real x. Si x está en ⺢, entonces fx  x  x  fx. Figura 1 Por lo tanto, f es una función par porque fx  fx. y (b) Como f es par, su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Si x 0, entonces x  x, y por lo tanto la parte del primer cuadrante de la gráfica coincide con la recta y  x. Trazar esta semirrecta y usar simetría nos da la figura 1. y x x (c) Por consulta de la gráfica, vemos que f es decreciente en , 0 y es creciente en 0, . L Si conocemos la gráfica de y  fx, es fácil trazar las gráficas de y  f x  c y y  fx  c para cualquier número real positivo c. Al igual que en la siguiente gráfica, para y  fx  c, sumamos c a la coordenada y de cada punto en la gráfica de y  fx. Esto desplaza la gráfica de f hacia arriba una distancia c. Para y  fx  c con c 0, restamos c de cada coordenada y, por lo tanto la gráfica de f se desplaza una distancia c hacia abajo. Éstos se denominan desplazamientos verticales de gráficas. 198 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Desplazamiento vertical de la gráfica de y ⴝ f(x) Ecuación y  f x  c con c Efecto en gráfica La gráfica de f se desplaza verticalmente hacia arriba una distancia c. Interpretación gráfica y  f x  c con c 0 0 La gráfica de f se desplaza verticalmente hacia abajo una distancia c. y y y  f(x)  c (a, b  c) c 0 (a, b) (a, b) c 0 y  f(x) y  f(x) (a, b  c) x x y  f (x)  c Figura 2 EJEMPLO 3 y Desplazamiento vertical de una gráfica Trace la gráfica de: (a) fx  x 2 (b) fx  x 2  4 y  x2  4 SOLUCIÓN nadas. (a) Como y  x2 y  x2  4 x (c) fx  x 2  4 Trazaremos todas las gráficas en el mismo plano de coorde- fx  x2  x 2  fx, la función f es par y por lo tanto su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Varios puntos en la gráfica de y  x 2 son 0, 0, 1, 1, 2, 4, y (3. 9). Trazando una curva suave que pase por estos puntos y que se reflejan por el eje y nos da el trazo de la figura 2. La gráfica es una parábola con vértice en el origen y que abre hacia arriba. (b) Para trazar la gráfica de y  x 2  4, sumamos 4 a la coordenada y de cada punto en la gráfica de y  x 2; esto es, desplazamos la gráfica de la parte (a) hacia arriba 4 unidades, como se ve en la figura. (c) Para trazar la gráfica de y  x 2  4, disminuimos las coordenadas y de y  x 2 en 4; esto es, desplazamos la gráfica de la parte (a) hacia abajo 4 unidades. L También consideramos desplazamientos horizontales de gráficas. Específicamente, si c 0, considere las gráficas de y  fx y y  gx  fx  c trazadas en el mismo plano de coordenadas, como se ilustra en la tabla siguiente. Como ga  c  fa  c  c  fa, vemos que el punto con coordenada a de x en la gráfica de y  fx tiene la misma coordenada y que el punto con coordenada a  c de x en la gráfica de y  gx  fx  c. Esto implica que la gráfica de y  gx  fx  c se 3.5 Gráficas de funciones 199 puede obtener al desplazar la gráfica de y  fx a la derecha una distancia c. Análogamente, la gráfica de y  hx  fx  c se puede obtener al desplazar la gráfica de f a la izquierda una distancia c, como se muestra en la tabla. Desplazamiento horizontal de la gráfica de y ⴝ f(x) Ecuación y  gx  f x  c con c 0 Efecto en gráfica Interpretación gráfica La gráfica de f se desplaza horizontalmente a la derecha una distancia c. y y  f(x) (a, b) y  g(x)  f (x  c) (a  c, b) f (a) g(a  c) ac a c y  hx  f x  c con c 0 La gráfica de f se desplaza horizontalmente a la izquierda una distancia c. y y  f (x) y  h(x)  f (x  c) (a  c, b) (a, b) h (a  c) f(a) a ac c x 0 Los desplazamientos horizontales y verticales también se conocen como traslaciones. Figura 3 y y  (x  2)2 x 0 y  x2 y  (x  4)2 EJEMPLO 4 Desplazamiento horizontal de una gráfica Trace la gráfica de f: (a) fx  x  42 (b) fx  x  22 La gráfica de y  x 2 se traza en la figura 3. (a) Desplazar la gráfica de y  x 2 a la derecha 4 unidades nos da la gráfica de y  x  42, mostrada en la figura. (b) Desplazar la gráfica de y  x 2 a la izquierda 2 unidades nos lleva a la gráfica de y  x  22, mostrada en la figura. SOLUCIÓN x L 200 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Para obtener la gráfica de y  cfx para algún número real c, podemos multiplicar las coordenadas y de puntos sobre la gráfica de y  fx por c. Por ejemplo, si y  2 fx, duplicamos las coordenadas y; o si y  12 f x, multiplicamos cada coordenada y por 12 . Este procedimiento se conoce como elongación vertical de la gráfica de f (si c 1) o compresión vertical de la gráfica (si 0 c 1) y se resume en la tabla siguiente. Elongación o compresión vertical de la gráfica de y ⴝ f(x) Ecuación y  cf x con c Efecto en la gráfica La gráfica de f se alarga verticalmente en un factor c. Interpretación gráfica y  cf x con 0 1 1 c La gráfica de f se comprime verticalmente en un factor 1c. y y (a, cb) y  c f (x) con c 1 (a, b) (a, b) y  c f (x) con 0 c 1 x x (a, cb) y  f (x) y  f(x) EJEMPLO 5 Alargar o comprimir verticalmente una gráfica Trace la gráfica de la ecuación: 1 (a) y  4x 2 (b) y  4 x 2 Figura 4 y y  x2 SOLUCIÓN y (a) Para trazar la gráfica de y  4x 2, podemos consultar la gráfica de y  x 2 de la figura 4 y multiplicar la coordenada y de cada punto por 4. Esto alarga la gráfica de y  x 2 verticalmente en un factor 4 y nos da una parábola más angosta que es más aguda en el vértice, como se ilustra en la figura. 4x 2 y  ~x 2 x La sustitución de y con y refleja la gráfica de y  fx por el eje x. 1 (b) La gráfica de y  4 x 2 se puede trazar al multiplicar las coordenadas y de 1 puntos en la gráfica de y  x 2 por 4 . Esto comprime la gráfica de y  x 2 ver1 ticalmente en un factor 14  4 y nos da una parábola más ancha y más plana en el vértice, como se ve en la figura 4. L Podemos obtener la gráfica de y  fx al multiplicar la coordenada y de cada punto sobre la gráfica de y  fx por 1. Así, todo punto a, b sobre la gráfica de y  fx que se encuentre arriba del eje x determina un punto a, b sobre la gráfica de y  fx que se encuentra abajo del eje x. Del mismo 201 3.5 Gráficas de funciones modo, si c, d está abajo del eje x (esto es, d 0), entonces c, d se encuentra arriba del eje x. La gráfica de y  fx es una reflexión de la gráfica de y  fx por el eje x. Figura 5 y EJEMPLO 6 Trace la gráfica de y  x 2. y  x2 x y Reflejar una gráfica que pase por el eje x SOLUCIÓN La gráfica puede hallarse al localizar puntos, pero, como la gráfica de y  x 2 nos es conocida, la trazamos como en la figura 5 y luego multiplicamos las coordenadas y de puntos por 1. Este procedimiento nos da la reflexión por el eje x indicada en la figura. L x 2 A veces es útil comparar las gráficas de y  fx y y  fcx si c 苷 0. En este caso los valores de función fx para a x b son los mismos que los valores de la función fcx para a cx b a c o bien, lo que es equivalente, x b . c Esto implica que la gráfica de f se comprime horizontalmente (si c 1) o se alarga horizontalmente (si 0 c 1), como se resume en la tabla siguiente. Compresión o elongación horizontales de la gráfica de y ⴝ f (x) Ecuación y  f cx con c 1 Efecto en gráfica Interpretación gráfica La gráfica de f se comprime horizontalmente en un factor c. y y  f(cx) con c 1 y  f(x) x ac , b y  f cx con 0 c 1 La gráfica de f se elonga horizontalmente en un factor 1c. (a, b) y y  f(x) y  f (cx) con 0 c 1 x (a, b) ac , b 202 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS La sustitución de x con x refleja la gráfica de y  fx por el eje y. Si c 0, entonces la gráfica de y  fcx puede obtenerse por reflexión de la gráfica de y  f  c x por el eje y. Por ejemplo, para trazar la gráfica de y  f2x, reflejamos la gráfica de y  f2x por el eje y. Como caso especial, la gráfica de y  fx es una reflexión de la gráfica de y  fx por el eje y. EJEMPLO 7 Elongación o compresión horizontales de una gráfica Si fx  x 3  4x 2, trace las gráficas de y  fx, y  f2x, y y  f  12 x. SOLUCIÓN Tenemos lo siguiente: y  fx  x 3  4x 2  x 2x  4 y  f2x  2x3  42x2  8x 3  16x 2  8x 2x  2 y  f  12 x   12 x3  4 12 x2  18 x 3  x 2  18 x 2x  8 Figura 6 6, 15 por 10, 4 Nótese que los puntos de cruce con el eje x de la gráfica de y  f2x son 0 y 2, que son 21 de los puntos de cruce con el eje x de 0 y 4 para y  fx. Esto indica una compresión horizontal por un factor 2. 1 Los puntos de cruce con el eje x de la gráfica de y  f  2 x son 0 y 8, que son 2 veces los puntos de cruce con el eje x para y  fx. Esto indica una elon1 gación horizontal en un factor 12  2. Las gráficas, obtenidas con el uso de una calculadora graficadora con pantalla 6, 15 por 10, 4, se muestran en la figura 6. L Las funciones se describen a veces con más de una expresión, como en los ejemplos siguientes. A estas funciones se les llama funciones definidas por tramos. EJEMPLO 8 Trazar la gráfica de una función definida por tramos Trace la gráfica de la función f si  Figura 7 2x  5 si x si x f x  x 2 2 si x y x 1 1 1 SOLUCIÓN Si x 1, entonces fx  2x  5 y la gráfica de f coincide con la recta y  2x  5 y está representada por la parte de la gráfica a la izquierda de la recta x  1 de la figura 7. El pequeño punto indica que el punto (1, 3) está en la gráfica. Si x 1 (o bien, lo que es equivalente, 1 x 1), usamos x 2 para hallar valores de f y por lo tanto esta parte de la gráfica de f coincide con la parábola y  x 2, como se indica en la figura. Nótese que los puntos 1, 1 y 1, 1 no están en la gráfica. Por último, si x 1, los valores de f son siempre 2. Así, la gráfica de f para x 1 es la semirrecta horizontal de la figura 7. Nota: Cuando el lector termine de trazar la gráfica de una función definida por tramos, verifique que pase la prueba de la recta vertical. L 3.5 Gráficas de funciones 203 El siguiente ejemplo muestra la forma en que podemos graficar la función definida por tramos en el último ejemplo de una calculadora de gráficas. EJEMPLO 9 Trazar la gráfica de una función definida por tramos Trace la gráfica de la función f si  2x  5 si x f x  x 2 si x 2 si x Empezamos por hacer la asignación 1  x 2absx primera parte TI-83/4 Plus Haga asignaciones Y. Y CLEAR ( 2 X,T,,n segunda parte tercera parte  X,T,,n 2nd X,T,,n x2 ( MATH 䉯 2nd TEST 5 ) 5 TEST 2 6 ) 1 1 ) X,T,,n ) ) 2nd TEST 4 1 ) 1 ) ) 1  y(F2) ENTER  2nd x-VAR (F2) TEST x-VAR ENTER 2 x-VAR NUM(F1) 2nd ( 2 (F5) ) MATH x-VAR ENTER ( 1 2nd abs(F5) ( CLEAR 5 (F4) ( x2 1  x-VAR TEST 2 X,T,,n y(x)=(F1) GRAPH ( ( 1. TI-86   1  2x ⎧⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Y1  2x  5x ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ SOLUCIÓN 1 1 1 2nd TEST y(F2) EXIT y(F2) 1 3 Vea la nota de la página 205 respecto a apagar y1, y2 y y3. Podríamos teclear toda la función en Y1, como se ve en la figura de la TI-83/4 Plus a la izquierda. Cuando la variable x tome valores de Xmín a Xmáx, la desigualdad x 1 en la primera parte tendrá un valor de 1 (si x 1) o 0 (si x 1). Este valor se multiplica por el valor de 2x  5 y se asigna a Y1 . En la segunda parte, nótese que tanto 1 x como x 1 (equivalente a x 1) deben ser verdaderos para el valor de x2 a asignar a Y1 (y2 para la TI-86). La idea general es que cada parte está “puesta” sólo cuando x toma los valores del dominio asociado. (continúa) 204 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Ajustar la pantalla. WINDOW 3 䉮 5 6 䉮 6 䉮 1 䉮 䉮 1 䉮 WIND(M2) 6 2nd 3 5 䉮 䉮 䉮 6 䉮 1 䉮 1 Graficar la función en el modo conectado estándar nos permite ver las características más importantes de la gráfica. En modo conectado, la calculadora incluye rectas entre los puntos extremos de las partes. Presione GRAPH o GRAPH(F5) . Para eliminar estas rectas, podemos cambiar a modo de punto y rehacer la gráfica. Nótese que la calculadora graficadora no hace distinción entre incluir y excluir un punto extremo (algunos paquetes de software sí lo hacen). Cambiar a modo de punto. MODE GRAPH 䉮 (4 veces) 䉯 ENTER MORE 䉮 FORMT(F3) 䉮 䉯 ENTER GRAPH(F5) 3.5 Gráficas de funciones 205 Nota: Como se muestra para la TI-86, un método alternativo para representar la función f es asignar cada parte a un valor Y como sigue: Y1  2x  5x 1, Y2  x 2absx 1, Y3  2x 1 Graficar las tres pantallas es un proceso más bien lento. La rapidez se puede mejorar al graficar Y4  Y1  Y2  Y3 para obtener la gráfica de f (asegúrese de apagar Y1 , Y2 y Y3 ). Para apagar Y1 en la TI-83/4 Plus, ponga el cursor en el signo 苷 a la derecha de Y1 y presione ENTER . En la TI-86, ponga el cursor en cualquier parte sobre la recta para y1 y presione SELCT(F5) . Otro método para representar la función f es asignar cada parte a un valor Y usando división, como sigue Y1  2x  5x 1, Y2  x 2absx 1, Y3  2x 1 Graficar los tres valores Y nos da la gráfica de f una vez más. La ventaja de este método es aparente cuando se una el modo conectado. ¡Inténtelo! Nota de calculadora: Recuerde que x 1, o bien, 1 x 1 también se puede escribir como “1 x y x 1.” Los operadores “and” y “or” se encuentran bajo el menú TEST LOGIC en la TI-83/4 Plus y bajo el menú BASE BOOL en la TI-86. Podemos usar “and” para hacer una asignación alternativa para la función del ejemplo 9, como se ve en la figura. L Es común y una mala idea pensar que si se mueve a un grupo más alto de impuesto, todo su ingreso es gravado a una tasa más alta. El siguiente ejemplo de una gráfica de una función definida por tramos ayuda a disipar esa noción. EJEMPLO 10 Aplicación usando una función definida por tramos Trace una gráfica de la tarifa X de tasa de impuesto federal 2006, mostrada en la figura 8. Represente con x el ingreso gravable y con T represente la cantidad de impuesto. (Suponga que el dominio es el conjunto de números reales no negativos.) 206 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Figura 8 Tarifa de impuesto federal 2006 SOLUCIÓN La tabla de impuesto puede ser representada por una función definida por tramos como sigue: Tarifa X – Usar si su estatus de presentación es soltero Si el ingreso gravable es Pero no más de: más de: El impuesto es: de la cantidad sobre: $0 $7,550 - - - - - - - - 10% $0 7,550 30,650 $755.00 + 15% 7,550 30,650 74,200 $4,220.00 + 25% 30,650 74,200 154,800 15,107.50 + 28% 74,200 154,800 336,550 37,675.50 + 33% 154,800 336,550 ------- 97,653.00 + 35% 336,550 T(x)   0 0.10x 755.00  0.15(x  7550) 4220.00  0.25(x  30,650) 15,107.50  0.28(x  74,200) 37,675.50  0.33(x  154,800) 97,653.00  0.35(x  336,550) si si 0 si 7550 si 30,650 si 74,200 si 154,800 si 0 7550 30,650 74,200 154,800 336,550 336,550 x x x x x x x Nótese que la asignación para el grupo de 15% de impuestos no es 0.15x, sino 10% de los primeros $7550 en ingreso gravable más 15% de la cantidad sobre $7550; esto es, 0.10(7550)  0.15(x  7550)  755.00  0.15(x  7550). Las otras partes se pueden establecer de un modo semejante. La gráfica de T se ilustra en la figura 9; nótese que la pendiente de cada parte representa la tasa de impuesto. Figura 9 T(x) 97,653.00 10% 15% 25% 28% 33% 35% 37,675.50 15,107.50 4220.00 755.00 7550 30,650 74,200 154,800 336,550 x L Si x es un número real, definimos el símbolo x como sigue: x  n, donde n es el máximo entero tal que n x Si identificamos ⺢ con puntos en una recta de coordenadas, entonces n es el primer entero a la izquierda de (o igual a) x. 3.5 Gráficas de funciones ilustración Para graficar y  x, grafique Y1  intX en el modo de punto. En la TI-83/4 Plus y la TI-86, int está bajo MATH, NUM. 207 El símbolo x 0.5  0 1.8  1  5  苷 2 3  3 3  3 2.7  3  3  苷 2 0.5  1 La función de entero máximo f está definida por f x  x. Figura 10 E J E M P L O 11 y Trazar la gráfica de la función de entero máximo Trace la gráfica de la función de entero máximo. SOLUCIÓN Las coordenadas x y y de algunos puntos en la gráfica se pueden listar como sigue: Valores de x    2 x 1 1 x 0 0 x 1 1 x 2 2 x 3    x Figura 11 (a) y f(x) ⴝ x    2 1 0 1 2    Siempre que x se encuentre entre enteros sucesivos, la parte correspondiente de la gráfica es un segmento de una recta horizontal. Parte de la gráfica se traza en la figura 10. La gráfica continúa indefinidamente a la derecha y a la izquierda. y  x2  4 L x El siguiente ejemplo contiene valores absolutos. EJEMPLO 12 Trazar la gráfica de una ecuación que contiene un valor absoluto Trace la gráfica de y  x 2  4 . (b) y La gráfica de y  x2  4 se trazó en la figura 2 y se vuelve a trazar en la figura 11(a). Observamos lo siguiente: SOLUCIÓN (1) Si x 2 o x 2, entonces x 2  4 0 y por tanto x 2  4  x 2  4. (2) Si 2 x 2, entonces x 2  4 0, y por tanto x 2  4  x 2  4. y  x2  4 x Se deduce de (1) que las gráficas de y  x 2  4 y y  x2  4 coinciden 2. Vemos de (2) que si x 2, entonces la gráfica de para x y  x 2  4 es la reflexión de la gráfica de y  x 2  4 por el eje x. Esto nos da el trazo de la figura 11(b). L 208 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS En general, si la gráfica de y  f x contiene un punto Pc, d con d positiva, entonces la gráfica de y  f x contiene el punto Qc, d, es decir, Q es la reflexión de P por el eje x. Los puntos con valores y no negativos son los mismos para las gráficas de y  f x y y  f x . En el capítulo 2 empleamos métodos algebraicos para resolver desigualdades que contenían valores absolutos de polinomios de grado 1, tales como 2x  5 7 y 5x  2 3. Desigualdades mucho más complicadas se pueden investigar usando una calculadora graficadora, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 13 Resolver gráficamente una desigualdad de valor absoluto Estime las soluciones de 0.14x 2  13.72 SOLUCIÓN Para resolver la desigualdad, hacemos las asignaciones Y1  ABS0.14x 2  13.72 Figura 12 30, 30, 5 por 0, 40, 5 0.58x  11. y Y2  ABS0.58x  11 y estimamos los valores de x para los cuales la gráfica de Y1 está arriba de la gráfica de Y2 (porque deseamos que Y1 sea mayor que Y2). Después quizá de varios intentos, escogemos la pantalla 30, 30, 5 por 0, 40, 5, obteniendo gráficas semejantes a las de la figura 12. Como hay simetría con respecto al eje y, es suficiente hallar las coordenadas x de los puntos de intersección de las gráficas para x 0. Usando la función de intersección, obtenemos x  2.80 y x  15.52. Por consulta de la figura 12, obtenemos la solución (aproximada) , 15.52 傼 2.80, 2.80 傼 15.52, . Graficación de y  f  x  L Más adelante en este texto y en cálculo, el lector encontrará funciones tales como gx  ln x y hx  sen x . Ambas funciones son de la forma y  f  x . El efecto de sustituir x por x se puede describir como sigue: Si la gráfica de y  f x contiene un punto Pc, d con c positiva, entonces la gráfica de y  f  x  contiene el punto Qc, d, es decir, Q es el reflejo de P por el eje y. Los puntos sobre el eje y (x = 0) son los mismos para las gráficas de y  fx y y  f  x . Los puntos con valores x negativos sobre la gráfica de y  f x no están en la gráfica de y  f  x , porque el resultado del valor absoluto es siempre no negativo. Los procesos de desplazamiento, elongación, compresión y reflexión de una gráfica se pueden llamar de manera colectiva transformación de una gráfica y la gráfica resultante recibe el nombre de transformación de la gráfica original. Un resumen gráfico de los tipos de transformaciones que se encuentran en esta sección aparece en el apéndice II. 3.5 Gráficas de funciones 3.5 Ejercicios Ejer. 1-2: Suponga que f es una función par y g es una función impar. Complete la tabla, si es posible. 1 2 209 x 2 2 f(x) 7 7 g(x) 6 6 x 3 3 f(x) 5 5 g(x) 15 15 Ejer. 3-12: Determine si f es par, impar o ninguna de éstas. 3 f x  5x 3  2x Odd 4 f x  x  3 Even 5 f x  3x 4  2x 2  5 6 f x  7x 5  4x 3 7 f x  8x 3  3x 2 Neither 8 f x  12 Even Even 9 f x  2x 2  4 Even 3 3 11 f x  2 x  x Odd Odd 10 f x  3x 2  5x  1 Neither 12 f x  x 3  1 Odd x Ejer. 13-26: Trace, en el mismo plano de coordenadas, las gráficas de f para los valores dados de c. (Haga uso de simetría, desplazamiento, elongación, compresión o reflexión.) 13 f x  x  c; c  3, 1, 3 14 f x  x  c ; c  3, 1, 3 15 f x  x 2  c; c  4, 2, 4 1 20 f x  2 x  c2; c  2, 0, 3 21 f x  c 24  x 2; c  2, 1, 3 22 f x  x  c3; c  2, 1, 2 23 f x  cx 3; c   31 , 1, 2 24 f x  cx3  1; c  1, 1, 4 25 f x  2cx  1; c  1, 91 , 4 1 26 f x   216  cx2; c  1, 2 , 4 Ejer. 27-32: Si el punto P está sobre la gráfica de una función f, encuentre el punto correspondiente sobre la gráfica de la función dada. 27 P0, 5; y  f x  2  1 2, 4 28 P3, 1; y  2 f x  4 3, 2 29 P3, 2; y  2 f x  4  1 7, 3 30 P2, 4; y  12 f x  3  3 1, 5 31 P3, 9; y  13 f  12 x   1 6, 2 32 P2, 1; y  3 f 2x  5 1, 8 Ejer. 33-40: Explique la forma en que la gráfica de la función se compara con la gráfica de y ⴝ f (x). Por ejemplo, para la ecuación y ⴝ 2 f (x ⴙ 3), la gráfica de f está desplazada 3 unidades a la izquierda y elongada verticalmente en un factor de 2. 33 y  f x  2  3 Shifted 2 units to right, 3 units up 34 y  3 f x  1 Shifted 1 unit to right, stretched vertically by factor of 3 16 f x  2x 2  c; c  4, 2, 4 17 f x  2 2x  c; c  3, 0, 2 Reflected about y-axis, shifted 2 units down Shifted 4 units to left, reflected about x-axis 18 f x  29  x 2  c; c  3, 0, 2 37 y   21 f x 38 y  f  12 x   3 39 y  2 f  13 x  40 y  13 f x 1 19 f x  2 2x  c; c  2, 0, 3 35 y  f x  2 Compressed vertically by factor of 2, reflected about x-axis Stretched horizontally by factor of 3, vertically by factor of 2, reflected about x-axis 36 y  f x  4 Stretched horizontally by factor of 2, shifted 3 units down Part below x-axis reflected about x-axis, compressed vertically by factor of 3 210 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Ejer. 41-42: La gráfica de una función f con dominio [0, 4] se muestra en la figura. Trace la gráfica de la ecuación dada 41 y Ejer. 43-46: La gráfica de una función f se muestra, junto con gráficas de otras tres funciones (a), (b) y (c). Use propiedades de simetría, desplazamientos y reflexiones para hallar ecuaciones para las gráficas (a), (b) y (c) en términos de f. 43 y (a) y  f (x) x x (a) y  f x  3 (b) y  f x  3 (c) y  f x  3 (d) y  f x  3 13 (e) y  3 f x (f ) y  (g) y  f  (h) y  f 2x 12 x  f x (i) y  f x  2  3 ( j) y  f x  2  3 (k) y  f x (l) y  f  x y  f x  9  1; y  f x; y  f x  7  1 y 44  (b) 42 (b) (c) y  f (x) y x (a) x (c) y  f x  1  1; y  f x or y  f x; y  f x  2 y 45 (a) y  f x  2 (b) y  f x  2 (c) y  f x  2 (d) y  f x  2 (e) y  2f x (f ) y  12 f x (g) y  f 2x (h) y  f  12 x  (i) y  f x  4  2 ( j) y  f x  4  2 (k) y  f x (l) y  f  x  (b) (c) y  f (x) x (a) y  f x  4; y  f x  1; y  f x 3.5 Gráficas de funciones 46 211 Ejer. 57-58: Para la gráfica de y ⴝ f (x) mostrada en la figura, trace la gráfica de y ⴝ f (x) . y (c) y 57 (a) x y  f (x) (b) x y  f x  2  2; y  f x; y  f x  4  2 Ejer. 47-52: Trace la gráfica de f. 47 f x  48 f x    3 2 si x si x 1 2 si x es un entero si x no es un entero     3 49 f x  x  1 3 2x 50 f x  x 2 2 1 1 si x si x si x 2 2 2 si x 1 si 1 x si x 1 1 x2 51 f x  x 3 x  3 si x si x si x x3 52 f x  x 2 x  4 si x 2 si 2 x si x 1 x 1 1 1 1 Ejer. 53-54: El símbolo x denota valores de la función de entero máximo. Trace la gráfica de f. 53 (a) f x  x  3 (c) f x  2x (c) f x  1 2 x 60 y  x 3  1 (b) f x  x  3 61 y  2x  1 62 y  (d) f x  2x 63 Sea y  f x una función con dominio D  2, 6 y rango R  4, 8. Encuentre el dominio D y rango R para cada función. Suponga que f 2  8 y f 6  4. (b) f x  x  2 1 (d) f x   2 x  (e) f x  x Ejer. 55-56: Explique por qué la gráfica de la ecuación no es la gráfica de una función. 55 x  y 2 If x 0, two different points have x-coordinate x. Ejer. 59-62: Trace la gráfica de la ecuación. 59 y  9  x 2 (e) f x  x 54 (a) f x  x  2 y 58 56 x   y If x 0, two different points have x-coordinate x. (a) y  2f x D  2, 6, R  16, 8 x 1 (b) y  f  12 x  D  4, 12, R  4, 8 (c) y  f x  3  1 (d) y  f x  2  3 (e) y  f x (f ) y  f x (g) y  f  x (h) y  f x D  1, 9, R  3, 9 D  6, 2, R  4, 8  D  6, 6, R  4, 8 D  4, 4, R  7, 5 D  2, 6, R  8, 4 D  2, 6, R  0, 8 212 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 64 Sea y  f x una función con dominio D  6, 2 y rango R  10, 4. Encuentre el dominio D y rango R para cada función. (a) y  21 f x (b) y  f 2x (c) y  f x  2  5 (d) y  f x  4  1 Verifique su predicción al graficar g en la misma pantalla. 73 f x  0.5x 3  4x  5; 74 f x  0.25x 3  2x  1; gx  0.25x 3  2x  1 75 f x  x 2  5; gx  41 x 2  5 76 f x  x  2 ; gx  x  3  3 77 f x  x  5x; gx  x 3  5x 78 f x  0.5x 2  2x  5; gx  0.5x 2  2x  5 3 (e) y  f x (f ) y  f x (g) y  f  x (h) y  f x  65 Tasas de impuestos Cierto país grava los primeros $20,000 del ingreso de una persona a razón del 15% y todo el ingreso de más de $20,000 se grava al 20%. Encuentre una función T definida por tramos que especifique el impuesto total sobre un ingreso de x dólares. 66 Tasas de impuesto a la propiedad Cierto estado grava los primeros $500,000 en valor de propiedad a una tasa del 1%; todo el valor sobre $500,000 se grava al 1.25%. Encuentre una función T definida por tramos que especifique el impuesto total sobre la propiedad valuada en x dólares. 67 Tasas a regalías Cierta obra en rústica se vende en $12. Al autor se le pagan regalías del 10% en los primeros 10,000 ejemplares vendidos, 12.5% en los siguientes 5000 ejemplares, y 15% en cualquier ejemplar adicional. Encuentre una función R definida por tramos que especifique las regalías totales si se venden x ejemplares. gx  0.5x 3  4x  1 79 Cargo por renta de autos Hay dos opciones de renta de autos disponible para un viaje de cuatro días. La opción I es $45 por día, con 200 millas gratis y $0.40 por milla por cada milla adicional. La opción II es de $58.75 por día, con un cargo de $0.25 por milla. (a) Determine el costo de un viaje de 500 millas para ambas opciones. (b) Modele los datos con una función de costo para cada opción de cuatro días. (c) Haga una tabla que contenga una lista del recorrido en millas y el cargo para cada opción para viajes entre 100 y 1200 millas, usando incrementos de 100 millas. (d) Use la tabla para determinar el recorrido en millas al cual cada opción es preferible. 80 Flujo de tránsito Unos automóviles cruzan un puente que mide 1 milla de largo. Cada auto mide 12 pies de largo y se requiere que conserve una distancia de al menos d pies del auto que esté delante (vea figura). 68 Tarifas de electricidad Una compañía generadora de electricidad cobra a sus clientes $0.0577 por kilowatt-hora (kWh) por los primeros 1000 kWh consumidos, $0.0532 por los siguientes 4000 kWh y $0.0511 por cualquier kWh arriba de 5000. Encuentre una función C definida por tramos para la cuenta de x kWh de un cliente. (a) Demuestre que el número más grande de autos que puede estar en el puente en un tiempo es 528012  d, donde   denota la función de entero máximo. Ejer. 69-72: Estime las soluciones de la desigualdad. Ejercicio 80 69 1.3x  2.8 1.2x  5 70 0.3x  2 2.2  0.63x 2 71 1.2x 2  10.8 72 216  x 2  3 1.36x  4.08 0.12x 2  0.3 Ejer. 73-78: Grafique f en la pantalla [12, 12] por [8, 8]. Use la gráfica de f para predecir la gráfica de g. (b) Si la velocidad de cada auto es v mi/h, demuestre que el ritmo máximo de flujo de tránsito F (en autos/h) está dado por F  5280v12  d. 12 pies d 3.6 Funciones cuadráticas 3.6 Funciones cuadráticas 213 Si a 苷 0, entonces la gráfica de y  ax 2 es una parábola con vértice en el origen 0, 0, un eje vertical, que abre hacia arriba si a 0 o hacia abajo si a 0 (vea, por ejemplo, las figuras 4 y 5 de la Sección 3.5). En esta sección demostramos que la gráfica de una ecuación de la forma Figura 1 y  ax 2  bx  c se puede obtener por desplazamientos vertical y/u horizontal de la gráfica de y  ax 2 y por tanto también es una parábola. Una aplicación importante de estas ecuaciones es describir la trayectoria o recorrido, de un objeto cerca de la superficie de la Tierra cuando la única fuerza que actúa sobre el objeto es la atracción gravitacional. Para ilustrar, si un “jardinero” de un equipo de beisbol lanza una pelota hacia el cuadro, como se ilustra en la figura 1 y si la resistencia del aire y otras fuerzas externas son insignificantes, entonces la trayectoria de la pelota es una parábola. Si se introducen ejes de coordenadas apropiados, entonces la trayectoria coincide con la gráfica de la ecuación y  ax 2  bx  c para alguna a, b y c. A la función determinada por esta ecuación se le denomina función cuadrática. Una función f es función cuadrática si Definición de función cuadrática fx  ax 2  bx  c, donde a, b, y c son números reales con a 苷 0. Si b  c  0 en la definición precedente, entonces f x  ax 2, y la gráfica es una parábola con vértice en el origen. Si b  0 y c 苷 0, entonces Figura 2 y (0, 0)  1, q f x  ax 2  c,  x (2, 2) y  q x 2 3, t y, de nuestra discusión de desplazamientos verticales de la sección 3.5, la gráfica es una parábola con vértice en el punto 0, c sobre el eje y. El siguiente ejemplo contiene ilustraciones específicas. EJEMPLO 1 Trazar la gráfica de una función cuadrática Trace la gráfica de f si (a) f x   21 x 2 (b) f x   21 x 2  4 Figura 3 y SOLUCIÓN y  q x 2  4 x (a) Como f es par, la gráfica de f  es decir, de y   21 x 2  es simétrica con respecto al eje y. Es semejante en forma pero más ancha que la parábola y  x 2, trazada en la figura 5 de la sección 3.5. Varios puntos sobre la gráfica son 0, 0,  1,  21 , 2, 2 y  3,  29 . Localizando los puntos y usando simetría, obtenemos el trazo de la figura 2. 1 (b) Para hallar la gráfica de y   2 x 2  4, desplazamos la gráfica de 1 2 y   2 x hacia arriba una distancia 4, obteniendo el trazo de la figura 3. L 214 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Si f x  ax 2  bx  c y b 苷 0, entonces, al completar el cuadrado, podemos cambiar la forma a f x  ax  h2  k para algunos números reales h y k. Esta técnica se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 2 Expresar una función cuadrática como f x ⴝ ax ⴚ h2 ⴙ k Si fx  3x 2  24x  50, exprese fx en la forma ax  h2  k. SOLUCIÓN 1 Antes de completar el cuadrado, es esencial que factoricemos el coeficiente de x 2 de los dos primeros términos de fx, como sigue: fx  3x 2  24x  50  3x 2  8x    50 enunciado factorizar 3 de 3x 2  24x Ahora completamos el cuadrado para la expresión x 2  8x dentro de los paréntesis al sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, es decir,  82 2 o sea 16. No obstante, si sumamos 16 a la expresión dentro de los paréntesis, entonces, debido al factor 3, estamos en realidad sumando 48 a f x. Por lo tanto, debemos compensar al restar 48: f x  3x 2  8x    50  3x 2  8x  16  50  48  3x  42  2 enunciado complete el cuadrado para x 2  8x ecuación equivalente La última expresión tiene la forma ax  h  k con a  3, h  4, y k  2 2 SOLUCIÓN 2 Empezamos por dividir ambos lados entre el coeficiente de x 2.   1 8 2 f x  3x 2  24x  50 f x 50  x 2  8x  3 3 2  16 l  x 2  8x  16   x  42  2 3 f x  3x  42  2 enunciado divida entre 3 50 16 3 sume y reste 16, el número que completa el cuadrado para x 2  8x ecuación equivalente multiplique por 3 L Si f x  ax 2  bx  c, entonces, al completar el cuadrado como en el ejemplo 2, vemos que la gráfica de f es la misma que la gráfica de una ecuación de la forma y  ax  h2  k. La gráfica de esta ecuación se puede obtener de la gráfica de y  ax 2 que se ve en la figura 4(a) por medio de un desplazamiento horizontal y uno vertical, como sigue. Primero, como en la figura 4(b), obtenemos la gráfica de y  ax  h2 3.6 Funciones cuadráticas 215 al desplazar la gráfica de y  ax 2 ya sea a la izquierda o a la derecha, dependiendo del signo de h (la figura ilustra el caso con h 0). A continuación, como en la figura 4(c), desplazamos la gráfica en (b) verticalmente una distancia k (la figura ilustra el caso con k 0). Se deduce que la gráfica de una función cuadrática es una parábola con un eje vertical. Figura 4 (a) (b) y (c) y y y  a(x  y  ax 2 y  ax 2 h)2 k y  a(x  h)2 y  a(x  h)2 x x (h, 0) (h, k) (h, 0) x El trazo en la figura 4(c) ilustra una posible gráfica de la ecuación y  ax2  bx  c. Si a 0, el punto h, k es el punto más bajo en la parábola y la función f tiene un valor mínimo fh  k. Si a 0, la parábola abre hacia abajo y el punto h, k es el punto más alto en la parábola. En este caso, la función f tiene un valor máximo f h  k. Hemos obtenido el resultado siguiente. Ecuación estándar de una parábola con eje vertical La gráfica de la ecuación y  ax  h2  k para a 苷 0 es una parábola que tiene vértice Vh, k y un eje vertical. La parábola abre hacia arriba si a 0 o hacia abajo si a 0. Por comodidad, con frecuencia nos referimos a la parábola y  ax2  bx  c cuando consideramos la gráfica de esta ecuación. EJEMPLO 3 Hallar una ecuación estándar de una parábola Exprese y  2x 2  6x  4 como ecuación estándar de una parábola con eje vertical. Encuentre el vértice y trace la gráfica. 216 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS SOLUCIÓN Figura 5 y y  2x2  6x  4 y  2x 2  6x  4  2x 2  3x    4  2  2 (0, 4) (2, 0) (1, 0) x  w, q Figura 6 factorice 2 de 2x 2  6x   4   9 2  complete el cuadrado para x 2  3x ecuación equivalente La última ecuación tiene la forma de la ecuación estándar de una parábola con a  2, h  23, y k   12 . En consecuencia, el vértice Vh, k de la parábola es V 32 ,  12 . Como a  2 0, la parábola abre hacia arriba. Para hallar el cruce con el eje y de la gráfica de y  2x 2  6x  4, hacemos x  0 y obtenemos y  4. Para hallar los cruces con el eje x, hacemos y  0 y resolvemos la ecuación 2x 2  6x  4  0 o la ecuación equivalente 2x  1x  2  0, obteniendo x  1 y x  2. Localizar el vértice y usar los puntos de cruce con los ejes x y y dará suficientes puntos para un trazo de forma razonablemente precisa (vea la figura 5). L y EJEMPLO 4 (1, 9) Hallar una ecuación estándar de una parábola Exprese y  x 2  2x  8 como ecuación estándar de una parábola con eje vertical. Encuentre el vértice y trace la gráfica. (0, 8) SOLUCIÓN y  x2  2x  8 (4, 0) x 2  3x  49 x  23 2  12 enunciado (2, 0) x y  x 2  2x  8  x 2  2x    8  x 2  2x  1  8  1  x  1  9 2 enunciado factorice 1 de x 2  2x complete el cuadrado para x 2  2x ecuación equivalente Ésta es la ecuación estándar de una parábola con h  1, k  9, y por tanto el vértice es 1, 9. Como a  1 0, la parábola abre hacia abajo. El punto de cruce con el eje y de la gráfica de y  x 2  2x  8 es el término constante, 8. Para hallar los cruces con el eje x, resolvemos x 2  2x  8  0 o bien, lo que es equivalente, x 2  2x  8  0. La factorización nos da x  4x  2  0 y por tanto los puntos de cruce son x  4 y x  2. Usando esta información nos da el trazo de la figura 6. Figura 7 y L V (h, k) (x1, 0) (x 2, 0) x h x1  x 2 2 y  ax2  bx  c Si una parábola y  ax 2  bx  c tiene cruces x1 y x2 con el eje x, como se ilustra en la figura 7 para el caso a 0, entonces el eje de la parábola es la recta vertical x  x1  x22 que pasa por el punto medio de x1, 0 y x2, 0. Por tanto, la coordenada h sobre el eje x del vértice h, k es h  x1  x22. Algunos casos especiales se ilustran en las figuras 5 y 6. En el siguiente ejemplo encontramos la ecuación de una parábola a partir de los datos dados. EJEMPLO 5 Hallar la ecuación de una parábola con un vértice dado Encuentre la ecuación de una parábola que tiene vértice V2, 3 y un eje vertical y pasa por el punto 5, 1. 3.6 Funciones cuadráticas Figura 8 217 SOLUCIÓN La figura 8 muestra el vértice V, el punto 5, 1, y una posible posición de la parábola. Usando la ecuación estándar y y  ax  h2  k V(2, 3) con h  2 y k  3 tendremos y  ax  22  3. (5, 1) x Para hallar a, usamos el hecho de que 5, 1 está en la parábola y por tanto es una solución de la última ecuación. Así, 1  a5  22  3, a   92 . o En consecuencia, la ecuación para la parábola es 2 y   9 x  22  3. L El siguiente teorema nos da una fórmula sencilla para localizar el vértice de una parábola. Teorema para localizar el vértice de una parábola El vértice de la parábola y  ax2  bx  c tiene coordenada x  PRUEBA b . 2a Empecemos por escribir y  ax 2  bx  c como  y  a x2  Ahora completamos el cuadrado al sumar paréntesis:  y  a x2        b x a  c. 1 b 2 a 2 a la expresión dentro de los b b2 b2 x 2  c a 4a 4a Nótese que si b 24a2 se suma dentro del paréntesis, entonces, debido al factor a del exterior, en realidad hemos sumado b 24a a y. Por tanto, debemos compensar al restar b24a. La última ecuación se puede escribir como     ya x b 2a 2  c b2 . 4a Ésta es la ecuación de una parábola que tiene vértice h, k con h  b2a y k  c  b24a. L 218 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS No es necesario recordar la fórmula para la coordenada y del vértice de la parábola del resultado precedente. Una vez hallada la coordenada x, podemos calcular la coordenada y al sustituir b2a por x en la ecuación de la parábola. EJEMPLO 6 Hallar el vértice de una parábola Encuentre el vértice de la parábola y  2x 2  6x  4. SOLUCIÓN Consideramos esta parábola del ejemplo 3 y hallamos el vértice al completar el cuadrado. Usaremos la fórmula del vértice con a  2 y b  6, obteniendo la coordenada x 6 3 b 6    . 2a 22 4 2 A continuación encontramos la coordenada y al sustituir 32 por x en la ecuación dada: y  2 32 2  6 32   4  12 Entonces, el vértice es  32 , 12  (vea figura 5). L Como la gráfica de f x  ax 2  bx  c para a 苷 0 es una parábola, podemos usar la fórmula del vértice para ayudar a encontrar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática. Específicamente, como la coordenada x del vértice V es b2a, la coordenada y de V es el valor de la función f b2a. Además, como la parábola abre hacia abajo si a 0 y hacia arriba si a 0, el valor de esta función es el valor máximo o mínimo, respectivamente, de f. Podemos resumir estos datos como sigue. Teorema sobre el valor máximo o mínimo de una función cuadrática   Si f x  ax 2  bx  c, donde a 苷 0, entonces f  (1) el valor máximo de f si a (2) el valor mínimo de f si a b es 2a 0 0 Usaremos este teorema en los siguientes dos ejemplos. EJEMPLO 7 Hallar un valor máximo (o mínimo) Encuentre el vértice de la parábola y  f x  2x 2  12x  13. Como el coeficiente de x 2 es 2 y 2 0, la parábola abre hacia abajo y el valor y del vértice es un valor máximo. Asignamos 2x 2  12x  13 a Y1 y graficamos Y1 en una pantalla estándar. SOLUCIÓN 219 3.6 Funciones cuadráticas TI-83/4 Plus Encuentre un valor máximo. 2nd CALC TI-86 4 GRAPH MORE MATH(F1) FMAX(F5) Use la tecla izquierda del cursor para mover el cursor intermitente a la izquierda del vértice y presione ENTER . Ahora mueva el cursor a la derecha del vértice y presione ENTER . Como ensayo, ponga el cursor entre los límites izquierdo y derecho y presione ENTER . Nota de calculadora: Alternativamente, podemos introducir valores de x para nuestras respuestas. Las siguientes respuestas producen un máximo de 5 en x  3. ¿A la izquierda? 4 ENTER ¿A la derecha? 2 ENTER ¿Ensayo? 3 ENTER La calculadora indica que el vértice es alrededor de (3, 5). (Se pueden obtener resultados diferentes dependiendo de las posiciones del cursor.) (continúa) 220 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Podemos hallar un valor máximo desde la pantalla inicial como sigue. (Suponga que hemos visto la gráfica y estimado que la coordenada x del vértice se encuentra entre 3.5 y 2.5.) Primero encontramos el valor x del vértice. Use el operador de máxima función. MATH 7 X,T,,n , VARS 3.5 1 䉯 , 2.5 1 ) , ENTER 2nd CALC alpha , Y 2.5 fMax(F2) MORE 1 x-VAR , ) 2nd , 3.5 ENTER A continuación encontramos el valor y del vértice usando el resultado de fMax (está guardado en ANS). VARS ( 䉯 2nd 1 1 ANS ) 2nd ENTER ( alpha 2nd Y ANS 1 ) ENTER Nótense los resultados “extraños” dados por fMax. (El profesor no se impresiona mucho si el alumno dice que el vértice es 3.000001138, 5).) En este caso una calculadora es útil, pero es fácil calcular que b 12    3 y f 3  5, 2a 22 que nos da un vértice de 3, 5 (y una respuesta que agradará al profesor). L EJEMPLO 8 Una larga hoja rectangular metálica, de 12 pulgadas de ancho, se ha de convertir en canal al doblar hacia arriba cada uno de los lados, de modo que sean perpendiculares a la hoja. ¿Cuántas pulgadas deben ser hacia arriba las que den al canal su mayor capacidad? be ain diup fx the cathe re- Hallar el valor máximo de una función cuadrática Figura 9 SOLUCIÓN El canal se ilustra en la figura 9. Si x denota el número de pulgadas hacia arriba en cada lado, el ancho de la base del canal es 12  2x pulgadas. La capacidad será máxima cuando el área de sección transversal del rectángulo con lados de longitudes x y 12  2x tiene su valor máximo. Si con fx denotamos esta área, tenemos fx  x12  2x  12x  2x 2  2x 2  12x, x x 12  2x que tiene la forma f x  ax 2  bx  c con a  2, b  12, y c  0. Como 3.6 Funciones cuadráticas 221 f es una función cuadrática y a  2 0, se deduce del teorema precedente que el valor máximo de f se presenta en x b 12   3. 2a 22 Por lo tanto, 3 pulgadas deben voltearse hacia arriba en cada lado para lograr máxima capacidad. Como solución alternativa, podemos observar que la gráfica de la función f x  x12  2x tiene cruces con el eje x en x  0 and x  6. En consecuencia, el promedio de los cruces, 06 x  3, 2 es la coordenada x del vértice de la parábola y el valor que da la máxima capacidad. L En el capítulo 2 resolvimos algebraicamente ecuaciones cuadráticas y desigualdades. El siguiente ejemplo indica la forma en que se pueden resolver con ayuda de una calculadora graficadora. EJEMPLO 9 Análisis del vuelo de un proyectil Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde una altura de 600 pies sobre el suelo. Su altura h(t) en pies sobre el suelo después de t segundos está dada por ht  16t 2  803t  600. (a) Determine una pantalla razonable que incluya todas las características pertinentes de la gráfica de h. (b) Estime cuándo será de 5000 pies sobre el suelo la altura del proyectil. (c) Determine cuándo será más de 5000 pies sobre el suelo la altura del proyectil. (d) ¿Cuánto tiempo estará en vuelo el proyectil? SOLUCIÓN (a) La gráfica de h es una parábola que abre hacia abajo. Para estimar Ymáx (nótese que usamos x y y indistintamente con t y h), aproximemos el valor máximo de h. Usando t b 803   25.1, 2a 216 vemos que la altura máxima es aproximadamente h25  10,675. El proyectil sube durante aproximadamente los primeros 25 segundos y debido a que su altura en t  0, 600 pies, es pequeña en comparación con 10,675, tomará sólo ligeramente más que 25 segundos adicionales para caer al suelo. Como h y t son positivas, una pantalla razonable es 0, 60, 5 por 0, 11,000, 1000. (continúa) 222 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Nota de calculadora: Una vez que determinemos los valores Xmín y Xmáx, podemos usar la función ZoomFit (acercamiento) para graficar una función sobre el intervalo [Xmín, Xmáx]. En este ejemplo, asignamos 0 a Xmín y 51 a Xmáx y luego seleccionamos ZoomFit bajo el menú ZOOM. (b) Deseamos estimar dónde la gráfica de h cruza la recta horizontal ht  5000, de modo que hacemos las asignaciones Y1  16x 2  803x  600 Figura 10 [0, 60, 5] por [0, 11,000, 1000] y Y2  5000 y obtenemos una pantalla semejante a la figura 10. Es importante recordar que la gráfica de Y1 muestra sólo la altura en el tiempo t —no es la trayectoria del proyectil, que es vertical. Usando una función de intersección, encontramos que el valor más pequeño de t para el que h(t)  5000 es alrededor de 6.3 segundos. Como el vértice está sobre el eje de la parábola, el otro tiempo en el que h(t) es 5000 es aproximadamente 25.1  6.3, o sea 18.8, segundos después de t  25.1 —es decir, en t  25.1  18.8  43.9 segundos. (c) El proyectil está a más de 5000 pies sobre el suelo cuando la gráfica de la parábola de la figura 10 está arriba de la recta horizontal, es decir, cuando 6.3 t 43.9. (d) El proyectil estará en vuelo hasta ht  0. Esto corresponde al punto de cruce en el eje x en la figura 10. Usando una función de raíz o cero, obtenemos t  50.9 segundos. (Nótese que como el punto de cruce con el eje y no es cero, es incorrecto simplemente duplicar el valor de t del vértice para hallar el tiempo total del vuelo; no obstante, esto sería aceptable para problemas con h0  0.) L Al trabajar con funciones cuadráticas, con frecuencia estamos más interesados en hallar el vértice y los puntos de cruce con el eje x. Típicamente, una función cuadrática determinada se asemeja con mucho a una de las tres formas que se indican en la tabla siguiente. Relación entre formas de función cuadrática y sus vértices y puntos de cruce con el eje x Forma Vértice (h, k) Puntos de intersección con el eje x (si los hay) (1) y  f x  ax  h2  k h y k como en la forma x  h  2ka (2) y  f x  ax  x1 x  x2 x1  x2 h , 2 k  f h x  x1, x2 2 (3) y  f x  ax  bx  c h k  f h x b , 2a (vea abajo) 2b 2  4ac b  2a 2a (vea abajo) Si los radicandos en (1) o (3) son negativos, entonces no hay puntos de intersección con el eje x. Para hallar éstos con la forma (1), use la ecuación cuadrática especial que aparece en la página 82. Si el lector tiene una función 3.6 Funciones cuadráticas 223 cuadrática de la forma (3) y desea hallar el vértice y puntos de cruce con el eje x, puede ser mejor primero hallar los puntos de intersección con el eje x con el uso de la fórmula cuadrática. A continuación puede fácilmente obtener la coordenada x del vértice, h, porque b 2 b 2  4ac 2 b 2  4ac   h . 2a 2a 2a Desde luego, si la función de la forma (3) es fácilmente factorizable, no es necesario usar la fórmula cuadrática. Estudiaremos parábolas más adelante en un capítulo posterior. 3.6 Ejercicios Ejer. 1-4: Encuentre la ecuación estándar de cualquier parábola que tenga vértice V. 1 V3, 1 2 V4, 2 3 V0, 3 4 V2, 0 y  ax  32  1 y  ax 2  3 y  ax  42  2 Ejer. 23-26: Encuentre la ecuación estándar de la parábola que se muestra en la figura. 23 y y  ax  22 Ejer. 5-12: Exprese f(x) en la forma a(x ⴚ h)2 ⴙ k 5 f x  x 2  4x  8 6 f x  x 2  6x  11 7 f x  2x 2  12x  22 8 f x  5x 2  20x  17 f x  x  22  4 f x  2x  32  4 (0, 1) f x  x  32  2 V(4, 1) f x  5x  22  3 9 f x  3x 2  6x  5 f x  3x  12  2 x 10 f x  4x 2  16x  13 f x  4x  22  3 11 f x   43 x 2  9x  34 f x  43 x  62  7 23 12 f x  52 x 2  12 5 x  5 f x  25 x  32  1 Ejer. 13-22: (a) Use la fórmula cuadrática para hallar los ceros de f. (b) Encuentre el valor máximo o mínimo de f(x). (c) Trace la gráfica de f. 13 f x  x 2  4x y  18 x  42  1 24 y V(2, 4) 14 f x  x 2  6x 15 f x  12x 2  11x  15 x 16 f x  6x 2  7x  24 17 f x  9x 2  24x  16 18 f x  4x 2  4x  1 19 f x  x 2  4x  9 20 f x  3x 2  6x  6 21 f x  2x 2  20x  43 22 f x  2x 2  4x  11 y  x  22  4 224 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS y 25 y 28 V(2, 4) x x (4, 4) y  14 (x  4)(x  6) y   94 x  22  4 Ejer. 29-34: Encuentre la ecuación estándar de una parábola que tiene un eje vertical y satisface las condiciones dadas. 29 Vértice 0, 2, que pasa por 3, 25 y  3x  02  2 y 26 30 Vértice 0, 5, que pasa por 2, 3 y  2x 2  5 31 Vértice 3, 5, intersección en 0 con el eje x (2, 3) 32 Vértice 4, 7, intersección en 4 con el eje x x 33 Intersecciones con el eje x en 3 y 5, el punto más alto tiene coordenada y en 4 34 Intersecciones con el eje x en 8 y 0, el punto más bajo tiene coordenada y en 48 V(1, 2) y  3x  42  48 y  59 x  12  2 Ejer. 35-36: Encuentre la máxima distancia vertical d entre la parábola y la recta para la región de color verde. 35 f (x) Ejer. 27-28: Encuentre una ecuación de la forma y ⴝ a(x ⴚ x1)(x ⴚ x2) f (x)  2x 2  4x  3 de la parábola que se muestra en la figura. Vea la tabla de la página 222. 27 y d (2, 4) f (x)  x  2 x x y   12 (x  2)(x  4) 6.125 3.6 Funciones cuadráticas 36 225 (a) Encuentre su máxima distancia sobre el suelo. f (x) (b) Encuentre la altura del edificio. f (x)  2x 2  8x  4 42 Vuelo de un proyectil Un objeto es proyectado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de v0 pies/s y su distancia s(t) en pies sobre el suelo después de t segundos está dada por la fórmula st  16t 2  v 0 t. (a) Si el objeto choca contra el suelo después de 12 segundos, encuentre su velocidad inicial v0. f (x)  x  3 d (b) Encuentre su distancia máxima sobre el suelo. x 43 Encuentre dos números reales positivos cuya suma sea 40 y cuyo producto sea un máximo. 44 Encuentre dos números reales positivos cuya diferencia sea 40 y cuyo producto sea un mínimo. 9.125 Ejer. 37-38: Existe ozono en todos los niveles de la atmósfera terrestre. La densidad del ozono varía en forma estacional y de latitud. En Edmonton, Canadá, la densidad D(h) del ozono (en 10ⴚ3 cm/km) para altitudes h entre 20 kilómetros y 35 kilómetros se determinó experimentalmente. Para cada D(h) y estación, aproxime la altitud a la que la densidad del ozono es máxima. 37 Dh  0.058h2  2.867h  24.239 (otoño) 38 Dh  0.078h2  3.811h  32.433 (primavera) 39 Rapidez de crecimiento infantil La rapidez de crecimiento y (en libras por mes) de un infante está relacionada con el peso actual x (en libras) por la fórmula y  cx21  x, donde c es una constante positiva y 0 x 21. ¿A qué peso se presenta la máxima rapidez de crecimiento? 40 Rendimiento de gasolina El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, a una velocidad de v mi/h, está dado por M 1  30 v 2  5 2v para 0 v 70. (a) Encuentre la velocidad más económica para un viaje. (b) Encuentre el máximo valor de M. 41 Altura de un proyectil Un objeto se proyecta verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio, con una velocidad inicial de 144 ft/s. Su distancia s(t) en pies sobre el suelo después de t segundos está dada por la ecuación st  16t 2  144t  100. 45 Construcción de jaulas Mil pies de cerca de celosía se van a usar para construir seis jaulas para animales, como se ve en la figura. (a) Exprese el ancho y como función de la longitud x. (b) Exprese el área encerrada total A de las jaulas como función de x. (c) Encuentre las dimensiones que maximizan el área encerrada. Ejercicio 45 x y 46 Instalación de una cerca en un campo Un agricultor desea poner una cerca alrededor de un campo rectangular y luego dividir el campo en tres terrenos rectangulares al poner dos cercas paralelas a uno de los lados. Si el agricultor puede comprar sólo 1000 yardas de cerca, ¿qué dimensiones darán el máximo de área rectangular? 47 Animales saltarines Los vuelos de animales saltarines típicamente tienen trayectorias parabólicas. La figura de la página siguiente ilustra el salto de una rana sobrepuesto en un plano de coordenadas. La longitud del salto es de 9 pies y la máxima altura desde el suelo es 3 pies. Encuentre una ecuación estándar para la trayectoria de la rana. 226 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Ejercicio 47 y su punto central está 10 pies sobre la calzada. Suponga que se introducen ejes de coordenadas, como se ve en la figura. y Ejercicio 49 Trayectoria de la rana 400 y 3 90 x x 9 48 La bala de cañón humana En la década de 1940, la exhibición de la bala de cañón humana fue ejecutada regularmente por Emmanuel Zacchini para el circo Ringling Brothers and Barnum & Bailey. La punta del cañón se elevaba 15 pies del suelo y la distancia horizontal total recorrida era de 175 pies. Cuando el cañón se apuntaba a un ángulo de 45°, una ecuación del vuelo parabólico (vea la figura) tenía la forma y  ax 2  x  c. (a) Use la información dada para hallar una ecuación del vuelo. (b) Encuentre la altura máxima alcanzada por la bala de cañón humana. Ejercicio 48 y (a) Encuentre una ecuación para la parábola. (b) Nueve cables verticales igualmente espaciados se usan para sostener el puente (vea la figura). Encuentre la longitud total de estos soportes. 50 Diseño de una carretera Unos ingenieros de tránsito están diseñando un tramo de carretera que conectará una calzada horizontal con una que tiene una pendiente del 20%  es decir, pendiente 15 , como se ilustra en la figura. La transición suave debe tener lugar sobre una distancia horizontal de 800 pies, con una pieza parabólica de carretera empleada para conectar los puntos A y B. Si la ecuación del segmento parabólico es de la forma y  ax 2  bx  c, se puede demostrar que la pendiente de la recta tangente en el punto P(x, y) sobre la parábola está dada por m  2ax  b. (a) Encuentre una ecuación de la parábola que tiene una recta tangente de pendiente 0 en A y 15 en B. (b) Encuentre las coordenadas de B. Ejercicio 50 y 175 x mQ 49 Forma de un puente colgante Una sección de un puente colgante tiene su peso uniformemente distribuido entre torres gemelas que están a 400 pies entre sí y se elevan 90 pies sobre la calzada horizontal (vea la figura). Un cable tendido entre los remates de las torres tiene la forma de una parábola m0 B A x 800 3.6 Funciones cuadráticas 51 Entrada parabólica Una entrada tiene la forma de un arco parabólico y mide 9 pies de alto en el centro y 6 pies de ancho en la base. Si una caja rectangular de 8 pies de alto debe caber por la entrada, ¿cuál es el ancho máximo que la caja puede tener? 52 Rectángulo de alambre Una pieza de alambre de 24 pulgadas de largo se dobla en forma de rectángulo con ancho x y largo y. (a) Exprese y como función de x. (b) Exprese el área A del rectángulo como función de x. (c) Demuestre que el área A es máxima si el rectángulo es un cuadrado. 53 Descuento por cantidad Una compañía vende zapatos deportivos a distribuidores, a razón de $40 el par si su pedido es de menos de 50 pares. Si un distribuidor solicita 50 o más pares (hasta 600), el precio por par se reduce a razón de 4 centavos por el número pedido. ¿De qué cantidad debe ser el pedido para producir la máxima cantidad de dinero para la compañía? 54 Descuento por grupo Una agencia de viajes ofrece viajes en grupo a razón de $60 por persona para los primeros 30 participantes. Para grupos más grandes, de hasta 90, cada persona recibe un descuento de $0.50 por cada participante que pase de 30. Por ejemplo, si 31 personas participan, entonces el costo por persona es $59.50. Determine el tamaño del grupo que producirá la máxima cantidad de dinero para la agencia. 55 Tarifa de TV por cable Una empresa de televisión por cable actualmente presta servicio a 8000 familias y cobra $50 por mes. Una encuesta de marketing indica que cada reducción de $5 en el cobro mensual resultará en 1000 nuevos clientes. Con R(x) denote el ingreso mensual total cuando el cobro mensual sea de x dólares. (a) Determine la función de ingreso R. (b) Trace la gráfica de R y encuentre el valor de x que resulte en máximo ingreso mensual. 56 Renta de un departamento Una empresa de bienes raíces es propietaria de 218 departamentos en edificios, que están ocupados en su totalidad cuando la renta es de $940 al mes. La empresa estima que por cada $25 de aumento en renta, 5 departamentos se desocuparán. ¿Cuál debe ser la renta para que la compañía reciba el máximo de ingreso mensual? 227 Ejer. 57-58: Grafique y ⴝ x3 ⴚ x1/3 y f en el mismo plano de coordenadas, y estime los puntos de intersección. 57 f x  x 2  x  41 0.57, 0.64, 0.02, 0.27, 0.81, 0.41 58 f x  x 2  0.5x  0.4 1.61, 2.99, 0.05, 0.37, 0.98, 0.06 59 Grafique, en el mismo plano de coordenadas, y  ax2  x  1 para a  14 , 21 , 1, 2, y 4, y describa la forma en que el valor de a afecta la gráfica. 60 Grafique, en el mismo plano de coordenadas, y  x2  bx  1 para b  0, 1, 2, y 3, y describa la forma en que el valor de b afecta la gráfica. 61 Precipitación en Seattle El promedio de precipitación mensual (en pulgadas) en Seattle aparece en la tabla siguiente. (Nota: No se da el promedio de abril.) (a) Localice los puntos del promedio de precipitación mensual. (b) Modele los datos con una función cuadrática de la forma f x  ax  h2  k. Grafique f y los datos en los mismos ejes de coordenadas. (c) Use f para pronosticar el promedio de lluvia en abril. Compare su pronóstico con el valor real de 2.55 pulgadas. Mes Precipitación Ene. 5.79 Feb. 4.02 Mar. 3.71 Abr. May. 1.70 Jun. 1.46 Jul. 0.77 Ago. 1.10 Sept. 1.72 Oct. 3.50 Nov. 5.97 Dic. 5.81 228 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 62 Homicidios con pistola Los números anuales de homicidios con pistola (en miles) de 1982 a 1993 aparecen en la tabla siguiente. (Después de este periodo, el número de homicidios con pistola disminuyó y se estabilizó en valores semejantes a los de mediados de la década de 1980.) Año (a) Encuentre una función f definida por tramos que modele la carretera entre los puntos A y E. (b) Grafique f en la pantalla 800, 800, 100 por 100, 200, 100. Homicidios 1982 8.3 1983 8.0 1984 7.6 1985 7.9 1986 8.3 1987 8.0 1988 8.3 1989 9.2 1990 10.0 1991 11.6 1992 12.5 1993 13.3 64 Curvas verticales de pandeo Consulte el ejercicio 63. Los valles o inflexiones en carreteras se conocen como curvas verticales de pandeo, que también se modelan usando parábolas. Dos carreteras con diferentes pendientes que se encuentran en una curva de pandeo necesitan enlazarse. La carretera que pasa por los puntos A 500, 24331 , B0, 110, C750, 10, D1500, 110, y E 2000, 243 13 , como se muestra en la figura. La carretera es lineal entre A y B, parabólica entre B y D y lineal entre D y E. Ejercicio 64 A (a) Grafique los puntos de datos. Discuta cualesquiera tendencias generales en los datos. B C D E (b) Modele estos datos con una función cuadrática de la forma f x  ax  h2  k. (a) Encuentre una función f definida por tramos que modele la carretera entre los puntos A y E. (c) Grafique f junto con los datos. (b) Grafique f en la pantalla 500, 2000, 500 por 0, 800, 100. 63 Curvas verticales de cresta Cuando unos ingenieros diseñan carreteras, deben diseñar cuestas para asegurar una correcta visibilidad para conductores. Las cuestas se conocen como curvas verticales de cresta que cambian la pendiente de una carretera. Los ingenieros usan una forma parabólica para una cuesta de carretera, con el vértice localizado en lo alto de la cresta. Dos carreteras con diferentes pendientes se van a enlazar con una curva de cresta parabólica. La carretera pasa por los puntos A800, 48, B500, 0, C0, 40, D500, 0, y E800, 48, como se ve en la figura. La carretera es lineal entre A y B, parabólica entre B y D, y luego lineal entre D y E. Ejercicio 63 A 65 Trayectoria parabólica Bajo condiciones ideales, un objeto lanzado desde el nivel del suelo seguirá una trayectoria parabólica de la forma f(x) = ax2 + bx, donde a y b son constantes y x representa la distancia horizontal recorrida por el objeto. (a) Determine a y b para que el objeto alcance una altura máxima de 100 pies y recorra una distancia horizontal de 150 pies antes de regresar al suelo. (b) Grafique f x  ax 2  bx en la pantalla 0, 180, 50 por 0, 120, 50. B C D E (c) Grafique y  kax 2  bx, donde k  41 , 12 , 1, 2, 4, en la misma pantalla de 0, 600, 50 por 0, 400, 50. ¿En qué forma la constante k afecta la trayectoria del objeto? 3.7 Operaciones en funciones 229 3.7 Es frecuente que las funciones se definan usando sumas, diferencias, productos y cocientes de varias expresiones. Por ejemplo, si Operaciones en funciones hx  x 2  25x  1, Podemos considerar h(x) como una suma de valores de las funciones f y g dadas por f x  x 2 y gx  25x  1. Llamamos h a la suma de f y g y la denotamos por f + g. Entonces, hx   f  gx  x 2  25x  1. En general, si f y g son cualesquiera funciones, usamos la terminología y notación dadas en la tabla siguiente. Suma, diferencia, producto y cociente de funciones Si bien es cierto que  f  gx  f x  gx, recuerde que, en general, f a  b ⬆ fa  f b. Terminología Valor de función suma f  g diferencia f  g producto fg  f  gx  fx  gx cociente f g  f  gx  f x  gx  fgx  f xgx  f f x x  , gx 苷 0 g gx Los dominios de f  g, f  g y fg son la intersección I de los dominios de f y g, es decir, los números que son comunes a ambos dominios. El dominio de fg es el subconjunto de I formado por toda x en I tal que gx 苷 0. EJEMPLO 1 Hallar valores de función de f ⴙ g, f ⴚ g, fg, and fg Si f x  3x  2 y gx  x 3, encuentre  f  g2,  f  g2,  fg2, y  fg2. SOLUCIÓN Como f2  32  2  4 y g2  23  8, tenemos  f  g2  f 2  g2  4  8  12  f  g2  f 2  g2  4  8  4  fg2  f 2g2  48  32  f f2 4 1 2    . g g2 8 2 EJEMPLO 2 L Hallar ( f ⴙ g)(x), ( f ⴚ g)(x), ( fg)(x), y ( fg)(x) Si f x  24  x 2 y gx  3x  1, encuentre  f  gx,  f  gx,  fgx, y  fgx y exprese los dominios de las funciones respectivas. 230 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS SOLUCIÓN El dominio de f es el intervalo cerrado 2, 2, y el dominio de g es ⺢. La intersección de estos dominios es 2, 2, que es el dominio de f  g, f  g, y fg. Para el dominio fg, excluimos cada número x en 2, 2 tal que gx  3x  1  0  es decir, x   13 . Por lo tanto, tenemos lo siguiente:  f  gx  24  x 2  3x  1, 2 x 2  f  gx  24  x 2  3x  1, 2 x 2  fgx  2 4  x 3x  1, 2 x 2 f 24  x x  , g 3x  1 2 x 2yx苷 2  2 1 3 L Una función f es una función polinomial si f x es un polinomio, es decir, si f x  an x n  an1 x n1      a1x  a0 , donde los coeficientes a0, a1,…,an son números reales y los exponentes son enteros no negativos. Una función polinomial puede ser considerada como una suma de funciones cuyos valores son de la forma cxk, donde c es un número real y k es un entero no negativo. Nótese que las funciones cuadráticas consideradas en la sección previa son funciones polinomiales. Una función algebraica es una función que se puede expresar en términos de sumas finitas, diferencias, productos, cocientes o raíces de funciones polinomiales. ILUSTRACIÓN Función algebraica 3 x f x  5x 4  2 2 xx 2  5 x 3  2x Las funciones que no sean algebraicas son trascendentales. Las funciones exponenciales y logarítmicas consideradas en el capítulo 5 son ejemplos de funciones trascendentales. En el resto de esta sección discutiremos cómo dos funciones f y g se pueden usar para obtener las funciones compuestas f ⴰ g y g ⴰ f (léase “f composición g” y “g composición f,” respectivamente). Las funciones de este tipo son muy importantes en cálculo. La función f ⴰ g se define como sigue. Definición de función compuesta La función compuesta f ⴰ g de dos funciones f y g está definida por  f ⴰ gx  f gx. El dominio de f ⴰ g es el conjunto de toda x en el dominio de g tal que g(x) está en el dominio de f. 3.7 Operaciones en funciones Un número x está en el dominio de  f ⴰ gx si y sólo si gx y f gx están definidas Figura 1 x Dominio de g g f ⴰg g(x) Dominio de f f 231 La figura 1 es un diagrama esquemático que ilustra relaciones entre f, g, y f ⴰ g. Nótese que para x en el dominio de g, primero hallamos gx (que debe estar en el dominio de f ) y luego, en segundo término, encontramos f gx. Para la función compuesta g ⴰ f , invertimos este orden, primero hallamos f x y en segundo término hallamos g fx. El dominio de g ⴰ f es el conjunto de toda x en el dominio de f tal que f x está en el dominio de g. Como la notación gx se lee “g de x,” a veces decimos que g es una función de x. Para la función compuesta f ⴰ g, la notación f gx se lee “f de g de x,” y podríamos considerar f como función de gx. En este sentido, una función compuesta es una función de una función o, en forma más precisa, una función de los valores de otra función. f (g(x)) Hallar funciones compuestas EJEMPLO 3 Sea f x  x  1 y gx  3x  5. (a) Encuentre  f ⴰ gx y el dominio de f ⴰ g. (b) Encuentre g ⴰ f x y el dominio de g ⴰ f . (c) Encuentre f g2 en dos formas diferentes: primero usando las funciones f y g por separado y en segundo término usando la función compuesta f ⴰ g. 2 SOLUCIÓN (a)  f ⴰ gx  fgx  f3x  5  3x  52  1  9x 2  30x  24 definición de f ⴰ g definición de g definición de f simplifique El dominio de f y g es ⺢. Como para cada x en ⺢ (el dominio de g), el valor de la función g(x) está en ⺢ (el dominio de f ), el dominio de f ⴰ g también es ⺢. Nótese que gx y fgx están definidas para todos los números reales. (b) g ⴰ f x  g f x  gx 2  1  3x 2  1  5  3x 2  2 definición de g ⴰ f definición de f definición de g simplifique Como para cada x en ⺢ (el dominio de f), el valor de la función f x está en ⺢ (el dominio de g), el dominio de g ⴰ f es ⺢. Nótese que f x y g fx están definidas para todos los números reales. (c) Para hallar fg2 usando f x  x 2  1 y gx  3x  5 separadamente, podemos continuar como sigue: g2  32  5  11 f g2  f 11  112  1  120 Para hallar f g2 usando f ⴰ g, consultamos la parte (a), donde hallamos  f ⴰ gx  f gx  9x 2  30x  24. (continúa) 232 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Por lo tanto, f g2  922  302  24  36  60  24  120. L Nótese que en el ejemplo 3, f gx y g f x no son siempre iguales; es decir, f ⴰ g 苷 g ⴰ f. Si dos funciones f y g tienen ambas un dominio ⺢, entonces el dominio de f ⴰ g y g ⴰ f también es ⺢. Esto se ilustró en el ejemplo 3. El siguiente ejemplo muestra que el dominio de una función compuesta puede diferir de los de las dos funciones dadas. EJEMPLO 4 Hallar funciones compuestas Sea f x  x 2  16 y gx  2x. (a) Encuentre  f ⴰ gx y el dominio de f ⴰ g. (b) Encuentre g ⴰ f x y el dominio de g ⴰ f . Primero observamos que el dominio de f es ⺢ y el dominio de g es el conjunto de todos los números reales no negativos, es decir, el intervalo 0, . Podemos continuar como sigue. (a)  f ⴰ gx  f gx definición de f ⴰ g  f  2x  definición de g 2   2x   16 definición de f SOLUCIÓN  x  16 simplifique Si consideramos sólo la expresión final, x  16, podríamos ser llevados a pensar que el dominio de f ⴰ g es ⺢, porque x  16 está definido para todo número real x. No obstante, éste no es el caso. Por definición, el dominio de f ⴰ g es el conjunto de toda x en 0,  (el dominio de g) tal que g(x) está en ⺢ (el dominio de f). Como gx  2x está en ⺢ para toda x en 0, , se deduce que el dominio de f ⴰ g es 0, . Nótese que gx y f gx están definidas para x en 0, . (b) g ⴰ f x  g f x definición de g ⴰ f  gx 2  16 definición de f  2x  16 definición de g 2 Por definición, el dominio de g ⴰ f es el conjunto de toda x en ⺢ (el dominio de f) tal que f x  x 2  16 está en 0,  (el dominio de g). El enunciado “x 2  16 está en 0, ” es equivalente a cada una de las desigualdades x 2  16 0, x2 16, x 4. Por lo tanto, el dominio de g ⴰ f es la unión , 4 傼 4, . Nótese que f x y g f x están definidas para x en , 4 傼 4, . También obsérvese que este dominio es diferente de los dominios de f y de g. L El siguiente ejemplo ilustra la forma en que valores especiales de funciones compuestas pueden a veces, obtenerse de tablas. 3.7 Operaciones en funciones EJEMPLO 5 233 Hallar valores de función compuesta apartir de tablas Varios valores de dos funciones f y g aparecen en las tablas siguientes. x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 f (x) 3 4 2 1 g(x) 4 1 3 2 Encuentre  f ⴰ g2, g ⴰ f 2,  f ⴰ f 2, y g ⴰ g2. SOLUCIÓN Con el uso de la definición de función compuesta y por consulta de las tablas anteriores, obtenemos  f ⴰ g2  f g2  f 1  3 g ⴰ f 2  g f2  g4  2  f ⴰ f 2  f  f 2  f 4  1 g ⴰ g2  gg2  g1  4. L En algunos problemas aplicados es necesario expresar una cantidad y como función del tiempo t. El ejemplo siguiente ilustra que a veces es más fácil introducir una tercera variable x, expresar x como función de t (es decir, x  gt, expresar y como función de x (es decir, y  f x y finalmente formar la función compuesta dada por y  fx  f gt. EJEMPLO 6 Uso de una función compuesta para hallar el volumen de un globo Un meteorólogo está inflando un globo esférico con helio. Si el radio del globo está cambiando a razón de 1.5 cm/s, exprese el volumen V del globo como función del tiempo t (en segundos). SOLUCIÓN Denotemos con x el radio del globo. Si suponemos que el radio es 0 inicialmente, entonces después de t segundos x  1.5t. radio del globo después de t segundos Para ilustrar, después de 1 segundo, el radio es 1.5 centímetros; después de 2 segundos, es 3.0 centímetros; después de 3 segundos, es 4.5 centímetros y así sucesivamente. A continuación escribimos V  43  x 3. volumen de una esfera de radio x Esto nos da una relación de función compuesta en la que V es una función de x y x es una función de t. Por sustitución, obtenemos 3 V  34  x 3  34  1.5t3  43   32 t 3  43   27 8 t . Simplificando, obtenemos la fórmula siguiente para V como función de t: Vt  92  t 3 L 234 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Si f y g son funciones tales que y  f u y u  gx, entonces sustituyendo u en y  f u dará y  f gx. Para ciertos problemas en cálculo invertimos este procedimiento; es decir, dada y  hx para alguna función h, encontramos una forma de función compuesta y  f u y u  gx tal que hx  f gx. EJEMPLO 7 Hallar una forma de función compuesta Exprese y  2x  58 como una forma de función compuesta. Suponga, para un número real x, que deseamos evaluar la expresión 2x  58 usando una calculadora. Primero calcularíamos el valor de 2x  5 y luego elevaríamos el resultado a la octava potencia. Esto sugiere que hagamos SOLUCIÓN u  2x  5 y y  u8, que es una forma de función compuesta para y  2x  58. L El método empleado en el ejemplo precedente se puede extender a otras funciones. En general, suponga que nos dan y  hx. Para escoger la expresión interior u  gx en una forma de función compuesta, haga la siguiente pregunta: Si se usa una calculadora, ¿qué parte de la expresión hx se evaluaría primero? Esto con frecuencia nos lleva a una elección apropiada para u  gx. Después de escoger u, consulte hx para determinar y  f u. La siguiente ilustración contiene problemas típicos. ILUSTRACIÓN Formas de función compuesta Valor de función y  x 3  5x  14 y  2x 2  4 2 y 3x  7 Elección para u ⴝ g(x) u  x 3  5x  1 u  x2  4 u  3x  7 Elección para y ⴝ f (u) y  u4 y  2u 2 y u La forma de función compuesta nunca es única. Por ejemplo, considere la primera expresión de la ilustración precedente: y  x 3  5x  14 Si n es cualquier entero diferente de cero, podríamos escoger u  x 3  5x  1n y y  u4/n. Entonces, hay un número ilimitado de formas de función compuesta. Generalmente, nuestro objetivo es escoger una forma tal que la expresión para y sea sencilla, como hicimos en la ilustración. 3.7 Operaciones en funciones 235 El siguiente ejemplo ilustra la forma en que una calculadora graficadora puede ayudar a determinar el dominio de una función compuesta. Usamos las mismas funciones que aparecieron en el ejemplo 4. Analizar gráficamente una función compuesta EJEMPLO 8 Sea f x  x  16 y gx  2x. (a) Encuentre f g3. (b) Trace y   f ⴰ gx y use la gráfica para hallar el dominio de f ⴰ g. 2 SOLUCIÓN (a) Empezamos por hacer las asignaciones Y1  2x Figura 2 10, 50, 5 por 20, 20, 5 y Y2  Y12  16. Nótese que hemos sustituido Y1 por x en f (x) y asignado esta expresión a Y2, en forma muy semejante a como sustituimos g (x) por x en el ejemplo 4. A continuación guardamos el valor 3 en la memoria por x y luego pedimos el valor de Y2. Vemos que el valor de Y2 en 3 es 13; es decir, f (g(3))  13. (b) Para determinar una pantalla para la gráfica de f ⴰ g, primero observamos que f x 16 para toda x y por tanto escogemos Ymín menor a 16; por ejemplo Ymín  20. Si deseamos que la pantalla tenga una dimensión vertical de 40, debemos escoger Ymáx  20. Si la pantalla del estudiante está en proporción 1:1 (horizontal:vertical), entonces una opción razonable para [Xmín, Xmáx] sería [10, 30], una dimensión horizontal de 40. Si su pantalla está en proporción 3:2, escoja [Xmín, Xmáx] sea [10, 50], una dimensión horizontal de 60. Seleccionar Y2 y luego exhibir la gráfica de Y2 usando la pantalla [10, 50, 5] por [20, 20, 5] nos da una gráfica semejante a la de la figura 2. Vemos que la gráfica es una semirrecta con punto final (0, 16). Por tanto, el dominio de Y2 es toda x 0. L El siguiente ejemplo demuestra cómo usar una calculadora graficadora para graficar funciones compuestas de la forma af bx. Usaremos la función del ejemplo 7 de la sección 3.5. EJEMPLO 9 Graficar funciones compuestas Si f x  x 3  4x 2, trace la gráfica de y  12 f  13 x . Figura 3 7, 14 por 3, 11 SOLUCIÓN De nuestra discusión sobre compresión y elongación de gráficas en la sección 3.5, reconocemos que la gráfica de f estará comprimida verticalmente por un factor de 2 y elongada horizontalmente por un factor 3. Para relacionar este problema a funciones compuestas, podemos considerar y  21 f  13 x  como y  12 f gx, donde gx  13 x. La última ecuación para y sugiere las igualdades Y1  13 x, Y2  Y13  4Y12, y Y3  12 Y2. Nótese que Y2  f Y1  f gx. Seleccionamos sólo Y3 a graficar y escogemos una pantalla [7, 14] por [3, 11], para obtener la figura 3. (continúa) 236 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Hay dos ventajas de asignar las funciones en la forma citada líneas antes: Figura 4 1, 3 por 5, 1 (1) No tuvimos en realidad que calcular la función polinomial a graficar, como hicimos en el ejemplo 7 de la sección 3.5. (2) Con sólo cambiar los coeficientes en Y1 y Y3, fácilmente podemos examinar su efecto sobre la gráfica de Y3. Como ilustración del párrafo (2), el lector debe intentar graficar y  21 f 3x cambiando Y1 a 3x, Y3 a 21 Y2 y la pantalla a 1, 3 por 5, 1 y luego graficando Y3, para obtener la figura 4. L 3.7 Ejercicios Ejer. 1-2: Encuentre 10 f x  3x 2, (a) ( f ⴙ g)(3) (b) ( f ⴚ g)(3) (c) ( fg)(3) (d) ( fg)(3) 1 f x  x  3, gx  x 2 15; 3; 54; 23 2 f x  x 2, gx  2x  1 4; 14; 45;  59 gx  x  1 3x 2  6x  3; 3x 2  1; 27x 4; x  2 Ejer. 11-20: Encuentre (a) ( f ⴰ g)(x) (b) ( g ⴰ f )(x) (c) f ( g(ⴚ2)) (d) g( f (3)) 11 f x  2x  5, gx  3x  7 12 f x  5x  2, gx  6x  1 13 f x  3x 2  4, gx  5x 14 f x  3x  1, gx  4x 2 6x  9; 6x  8; 3; 10 Ejer. 3-8: Encuentre (a) ( f ⴙ g)(x), ( f ⴚ g)(x), ( fg)(x), y ( fg)(x) (b) el dominio de f ⴙ g, f ⴚ g, y fg (c) el dominio de fg 30x  3; 30x  11; 63; 101 75x 2  4; 15x 2  20; 304; 155 12x 2  1; 36x 2  24x  4; 47; 256 3 f x  x 2  2, gx  2x 2  1 4 f x  x  x, gx  x  3 15 f x  2x 2  3x  4, gx  2x  1 8x 2  2x  5; 4x 2  6x  9; 31; 45 2 2 16 f x  5x  7, gx  3x 2  x  2 17 f x  4x, gx  2x 3  5x 15x 2  5x  3; 75x 2  215x  156; 73; 186 5 f x  2x  5, gx  2x  5 8x  20x; 128x  20x; 24; 3396 3 6 f x  23  2x, gx  2x  4 2x 7 f x  , x4 8 f x  x , x2 x gx  x5 gx  3x x4 Ejer. 9-10: Encuentre (a) ( f ⴰ g)(x) (b) ( g ⴰ f )(x) (c) ( f ⴰ f )(x) (d) ( g ⴰ g)(x) 9 f x  2x  1, gx  x 2 2x 2  1; 4x 2  4x  1; 4x  3; x 4 3 18 f x  x 3  2x 2, gx  3x 19 f x  x , gx  7 7; 7; 7; 7 20 f x  5, gx  x 2 5; 25; 5; 25 27x 3  18x 2; 3x 3  6x 2; 144; 135 Ejer. 21-34: Encuentre (a) ( f ⴰ g)(x) y el dominio de f ⴰ g y (b) ( g ⴰ f )(x) y el dominio de g ⴰ f . 21 f x  x 2  3x, gx  2x  2 x  2  3 2x  2, 2, ; 2x 2  3x  2, , 1 傼 2,  22 f x  2x  15, gx  x 2  2x 2x 2  2x  15, , 5 傼 3, ; x  15  2 2x  15, 15,  3.7 Operaciones en funciones 23 f x  x 2  4, Si es posible, encuentre gx  23x 3x  4, 0, ; 23x 2  12, , 2 傼 2,  24 f x  x 2  1, gx  2x x  1, 0, ; 2x 2  1, 1, 1 25 f x  2x  2, gx  2x  5  2x  5  2, 1, ;  2x  2  5, 2,  (a)  f ⴰ g6 5 (b) g ⴰ f 6 6 (d) g ⴰ g6 5 (e) f ⴰ g9 Not possible 27 f x  23  x, gx  2x2  16 3  2x 2  16, 5, 4 傼 4, 5; 2x  13, , 13 29 f x  3 x  5 x, ⺢; x, ⺢ gx  2 3x  5 , 2 gx  1 30 f x  , x1 32 f x  x , x2 33 f x  x1 , x2 34 f x  x2 , x1 2x  5 x, ⺢; x, ⺢ 3 t 0 1 2 3 4 T(t) 2 3 1 0 5 x 0 1 2 3 4 S(x) 1 0 3 2 5 Si es posible, encuentre gx  x  1 (a) T ⴰ S1 2 (b) S ⴰ T 1 2 1 2x ,⺢ 2; ,⺢ 1 x2 x1 (d) S ⴰ S1 1 (e) T ⴰ S4 Not possible 1 gx  3 x 31 f x  x 2, (c)  f ⴰ f 6 6 38 Algunos valores de dos funciones T y S aparecen en las tablas siguientes: 26 f x  23  x, gx  2x  2 3  2x  2, 2, 7;  23  x  2, , 3 28 f x  x 3  5, gx  3 x gx  x3 x4 20 2x 2  1 40 Si Sr  4r2 y Dt  2t  5, encuentre S ⴰ Dt. 42t  52 41 Si f es una función impar y g es una función par, ¿es fg par, impar o ninguna de éstas? Odd 1 2x  5 , ⺢  4, 5 ; , ⺢  2, 5x 3x  7 42 Hay una función con dominio ⺢ que es par e impar. Encuentre esa función. f x  0 7 3 x5 x4 Ejer. 35-36: Resuelva la ecuación ( f ⴰ g)(x) ⴝ 0. 35 f x  x 2  2, gx  x  3 3  36 f x  x  x  2, 2 (c) T ⴰ T 1 0 39 Si Dt  2400  t 2 y Rx  20x, encuentre D ⴰ Rx. 1 1 , ⺢  0 ; 6, ⺢  0 x6 x gx  237 gx  2x  1 0, 22 3 2 37 Varios valores de dos funciones f y g aparecen en las tablas siguientes: x 5 6 7 8 9 f(x) 8 7 6 5 4 x 5 6 7 8 9 g(x) 7 8 6 5 4 43 Funciones de nóminas Defina la función SSTAX de impuesto al seguro social como SSTAXx  0.0765x, donde x 0 es el ingreso semanal. Sea ROUND2 la función que redondea un número a dos lugares decimales. Encuentre el valor de ROUND2 ⴰ SSTAX525. 40.16 44 Funciones científicas de computadoras Sea la función CHR definida por CHR65  “A”, CHR66  “B”, . . . , CHR90  “Z”. A continuación, sea la función ORD definida por ORD(“A”)  65, ORD“B”  66, . . . , ORD“Z”  90. Encuentre (a) CHR ⴰ ORD“C” “C” (b) CHRORD“A”  3 “D” 45 Propagación de un incendio Un incendio se ha iniciado en un campo abierto y seco y se extiende en forma de círculo. Si el radio de este círculo aumenta a razón de 6 pies/minuto, exprese el área total A del incendio como función del tiempo t (en minutos). At  36t 2 238 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 46 Dimensiones de un globo Un globo esférico está siendo inflado a razón de 92  pies3min. Exprese este radio r como una función del tiempo t (en minutos), asumiendo que r  0 cuando t  0. 47 Dimensiones de una pila de arena El volumen de una pila cónica de arena está aumentando a razón de 243π pies3/min y la altura de la pila siempre es igual al radio r de la base. Exprese r como función del tiempo t (en minutos), suponiendo que r  0 cuando t  0. 48 Diagonal de un cubo Una diagonal d de un cubo es la distancia entre dos vértices opuestos. Exprese d como función de la arista x del cubo. (Sugerencia: Primero exprese la diagonal y de una cara como función de x.) 49 Altitud de un globo Un globo de aire caliente asciende verticalmente desde el nivel del suelo cuando una cuerda atada a la base del globo se suelta a razón de 5 pies/s (vea la figura). La polea que suelta la cuerda está a 20 pies de la plataforma donde los pasajeros abordan el globo. Exprese la altitud h del globo como función del tiempo t. Ejercicio 49 51 Despegue de un avión Consulte el ejercicio 77 de la sección 3.4. Cuando el avión ha avanzado 500 pies por la pista, ha alcanzado una velocidad de 150 pies/s (o sea 102 mi/h), que mantendrá hasta el despegue. Exprese la distancia d del avión desde la torre de control como función del tiempo t (en segundos). (Sugerencia: En la figura, primero escriba x como función de t.) 52 Corrosión de un cable Un cable de 100 pies de largo y diámetro de 4 pulgadas se sumerge en agua de mar. Debido a la corrosión, el área superficial del cable disminuye a razón de 750 pulgadas cuadradas por año. Exprese el diámetro d del cable como función del tiempo t (en años). (No preste atención a la corrosión de los extremos del cable.) Ejer. 53-60: Encuentre una forma de función compuesta para y. 53 y  x 2  3x1/3 4 4 54 y  2 x  16 4 u u  x 4  16, y  2 u  x  3x, y  u 2 55 y  1/ 3 1 x  34 56 y  4  2x 2  1 u  x  3, y  u4 u  x 2  1, y  4  2u 57 y  x 4  2x 2  55 58 y  u  x 4  2x 2  5, y  u5 59 y  1 x  3x  53 2 u  x 2  3x  5, y  1u3 3 2x  4  2 60 y  2x  4  2 2x 3 x 1 2 3 x, y  u1  u u 2 61 Si f x  2x  1 y gx  x3  1, aproxime  f ⴰ g (0.0001). Para evitar calcular un valor cero para  f ⴰ g (0.0001), reescriba la fórmula para f ⴰ g como 20 5  1013 x3 2x  1  1 3 50 Equilibrista Consulte el ejercicio 76 de la sección 3.4. Comenzando en el punto más bajo, el equilibrista sube por la cuerda a un ritmo constante de 2 pies/s. Si la cuerda está unida a una altura de 30 pies por el poste, exprese la altura h del equilibrista sobre el suelo como función del tiempo t. (Sugerencia: Denote con d la distancia total recorrida a lo largo del alambre. Primero exprese d como función de t, y luego h como función de d.) 62 Si f x  . x3 y gx   23x  x3 3/2, aproxime x x2 2 0.059997  f  g1.12   fg1.12 .  f ⴰ f 5.22 Capítulo 3 Ejercicios de repaso 63 Consulte el ejercicio 63 de la sección 3.5. Haga las asignaciones Y1  x y Y2  3 2Y1  26  Y1   4. Determine asignaciones para Y1 (y Y3 si necesario) que hará posible que el estudiante grafique cada función en (a)  (h) y luego grafique la función. (Compruebe el dominio y rango con la respuesta previamente citada.) (a) y  12 f x (b) y  f  (c) y  f x  3  1 (d) y  f x  2  3 Y1  x  2, graph Y3  Y2  5 (f ) y  f x Y1  x, graph Y2 (h) y  f x No graph Y1  x, graph Y3  2Y 2 Y1  x  3, graph Y3  Y2  1 (e) y  f x Y1  x, graph Y2 (g) y  f  x  64 Consulte el ejercicio 64 de la sección 3.5. Haga las asignaciones Y1  x y Y2  3 2Y1  6Y1  2  10. Determine asignaciones para Y1 y Y3 que harán posible que el estudiante grafique cada función y luego grafique la función. (a) y  2 f x 1 2x Y1  0.5x, graph Y2 Y1  x  2, graph Y3  Y2  3 Y1  x, graph Y3  Y2  Y1  abs x, graph Y2 239 Y1  x, graph Y3  0.5Y2 (b) y  f 2x Y1  2x, graph Y2 (c) y  f x  2  5 (d) y  f x  4  1 (e) y  f x (f) y  f x (g) y  f  x  Y1  x  4, graph Y3  Y2  1 Y1  x, graph Y3  Y2 (h) y  f x Y1  x, graph Y3  abs Y2 Y1  x, graph Y3  abs Y2 C APÍTULO 3 EJERCICIOS DE REPASO 1 Describa el conjunto de todos los puntos x, y en un plano de coordenadas tal que yx 0. The points in quadrants II and IV 2 Demuestre que el triángulo con vértices A3, 1, B5, 3, y C4, 1 es un triángulo rectángulo y encuentre su área. 3 Dados P5, 9 y Q8, 7, encuentre (a) la distancia dP, Q 11 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por A 12 ,  31  que es (a) paralela a la recta 6x  2y  5  0 18x  6y  7 (b) perpendicular a la recta 6x  2y  5  0 2x  6y  3 12 Exprese 8x  3y  24  0 en una forma de ordenada en el origen. 2265 (b) el punto medio del segmento PQ 10 Demuestre que A3, 1, B1, 1, C4, 1, y D3, 5 son vértices de un trapecio.   132 , 1  (c) el punto R tal que Q es el punto medio de PR 11, 23 y   38 x  8 13 Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene centro C5, 1 y es tangente a la recta x  4. 4 Encuentre todos los puntos sobre el eje y que estén a una distancia 13 de P12, 6. 0, 1, 0, 11 14 Encuentre la ecuación de la recta que tiene cruce 3 con el eje x y pasa por el centro de la circunferencia que tiene ecuación x 2  y 2  4x  10y  26  0. x  y  3 5 ¿Para qué valores de a es menor a 3 la distancia entre Pa, 1 y Q2, a? 2 a 1 15 Encuentre la forma general de la ecuación de la recta que pasa por P4, 3 con pendiente 5. 5x  y  23 6 Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene centro C7, 4 y pasa por el punto P3, 3. 16 Dados A1, 2 y B3, 4, encuentre la forma general de la ecuación para la mediatriz del segmento AB. 7 Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene puntos extremos de un diámetro A8, 10 y B2, 14. x  3   y  2  169 2 2 8 Encuentre una ecuación para la mitad izquierda de la circunferencia dada por x  22  y 2  9. 9 Encuentre la pendiente de la recta que pasa por C11, 5 y D8, 6. 11  19 2x  3y  5 Ejer. 17-18: Encuentre el centro y radio de la circunferencia con la ecuación dada. 17 x 2  y 2  12y  31  0 C0, 6; r  25 18 4x 2  4y 2  24x  16y  39  0 C3, 2; r  12 213 240 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 19 Si f x  x 39 y  x  32  2 , encuentre 2x  3 (a) f 1 1 2 (b) f 1 (c) f 0 0 (f) f x  (g)  f x (d) f x 40 y  x 2  2x  3 41 Encuentre el centro de la circunferencia pequeña. Ejercicio 41 (e) f x 2 y 2 r1 Ejer. 20-21: Encuentre el signo de f (4) sin encontrar realmente f (4). 20 f x  32x 2  4 Positive 9  x 25/3 21 f x  2x 2  205  x Positive 6  x 24/3 r3 x yx 22 Encuentre el dominio y rango de f si (a) f x  23x  4 (b) f x   43 ,  ; 0,  Ejer. 23-24: Encuentre 1 x  32 ⺢ 苷 3; 0,  f (a ⴙ h) ⴚ f (a) si h ⴝ 0. h 23 f x  x 2  x  5 2a  h  1 Ejer. 43-52: (a) Trace la gráfica de f. (b) Encuentre el dominio D y rango R de f. (c) Encuentre los intervalos en los que f es creciente, es decreciente, o es constante. 1 1  24 f x  x  2 a  h  2a  2 25 Encuentre una función lineal f tal que f 1  2 y f 3  7. f x  52 x  21 26 Determine si f es par, impar, o ninguna de éstas. 3 3 (a) f x  2 x  4x 3 (b) f x  2 3x 2  x 3 Odd 43 f x  1  3x 2 44 f x  1000 45 f x  x  3 46 f x   210  x 2 47 f x  1  2x  1 48 f x  22  x 49 f x  9  x 2 50 f x  x 2  6x  16 Neither 3 4 (c) f x  2 x  3x 2  5 Even Ejer. 27-40: Trace la gráfica de la ecuación, y marque los puntos de intersección con los ejes x y y. 27 x  5  0 28 2y  7  0 29 2y  5x  8  0 30 x  3y  4 31 9y  2x 2  0 32 3x  7y 2  0 33 y  21  x 34 y  x  13 35 y 2  16  x 2 36 x 2  y 2  4x  16y  64  0 37 x 2  y 2  8x  0 42 Explique cómo se compara la gráfica de y  f x  2 con la gráfica de y  f x. 38 x   29  y 2  x2 51 f x  3x 6 si x si 0 si x 0 x 2 2 52 f x  1  2x 53 Trace las gráficas de las siguientes ecuaciones, haciendo uso de desplazamiento, elongación o reflexión: (a) y  2x (b) y  2x  4 (c) y  2x  4 (d) y  4 2x 1 (e) y  4 2x (f ) y   2x Capítulo 3 Ejercicios de repaso 54 La gráfica de una función f con dominio 3, 3 se muestra en la figura. Trace la gráfica de la ecuación dada. (a) y  f x  2 (b) y  f x  2 (c) y  f x (d) y  f 2x (e) y  f  12 x  (f ) y  f x (g) y  f  x 56 y (7, 1) (3, 1) x  x  22   y  12  25 Ejercicio 54 y 57 y P(2, 4) x x V(2, 4) y  12 x  22  4 Ejer. 55-58: Encuentre una ecuación para la gráfica mostrada en la figura. 55 58 y y x 2x  5y  10 x y x2 1 241 242 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS Ejer. 59-62: Encuentre el valor máximo o mínimo de f (x). 59 f x  5x 2  30x  49 Min: f 3  4 60 f x  3x 2  30x  82 Max: f 5  7 61 f x  12x  12  37 Max: f 1  37 72 Rampa para silla de ruedas La ley para estadunidenses discapacitados de 1990 garantiza a todas las personas el derecho de acceso a lugares públicos. Dar acceso a un edificio con frecuencia requiere la construcción de una rampa para sillas de ruedas. Las rampas deben tener aproximadamente 1 pulgada de ascenso vertical por cada 12-20 pulgadas de distancia horizontal. Si la base de una puerta exterior está situada a 3 pies sobre una banqueta, determine el rango de longitudes apropiadas para una rampa de silla de ruedas. 62 f x  3x  2x  10 Min: f 4  108 63 Exprese la función f x  2x 2  12x  14 en la forma ax  h2  k. f x  2x  32  4 73 Lanzamiento de disco Con base en records olímpicos, la distancia ganadora para el lanzamiento de disco se puede aproximar mediante la ecuación d  181  1.065t, donde d es en pies y t  0 corresponde al año 1948. 64 Encuentre la ecuación estándar de una parábola con un eje vertical que tiene vértice V3, 2 y pasa por 5, 4. (a) Pronostique la distancia ganadora para los Juegos Olímpicos de Verano de 2008. 65 Si f x  24  x 2 y gx  2x, encuentre el dominio de (b) Estime el año olímpico en el que la distancia ganadora será de 265 pies. y  32 x  32  2 (a) fg 0, 2 (b) fg 0, 2 66 Si f x  8x  1 y gx  2x  2, encuentre (a)  f ⴰ g2 (b) g ⴰ f 2 213 1 Ejer. 67-68: Encuentre (a) ( f ⴰ g)(x) y (b) ( g ⴰ f )(x). 67 f x  2x 2  5x  1, gx  3x  2 74 Plusvalía de casas Hace seis años, una casa fue comprada en $179,000. Este año fue valorada en $215,000. Suponga que el valor V de la casa después de su compra es una función lineal del tiempo t (en años). (a) Exprese V en términos de t. 18x 2  9x  1; 6x 2  15x  5 68 f x  23x  2, gx  1x 2 Ejer. 69-70: Encuentre (a) ( f ⴰ g)(x) y el dominio de f ⴰ g y (b) ( g ⴰ f )(x) y el dominio de g ⴰ f . 69 f x  225  x 2, gx  2x  3 228  x, 3, 28;  225  x 2  3, 4, 4 70 f x  x , 3x  2 gx  2 x 1 6x  4 , ⺢  3, 0 ; , ⺢   32 , 0 x3 x 71 Encuentre una forma de función compuesta para 3 2 y 2 x  5x. 3 u  x2  5x, y  2 u (b) ¿Cuántos años después de la fecha de compra la casa valía $193,000? 75 Escalas de temperatura El punto de congelación del agua es 0°C, o 32°F y el punto de ebullición es 100°C o 212°F. (a) Exprese la temperatura Fahrenheit F como función lineal de la temperatura Celsius C. (b) ¿Qué aumento de temperatura en °F corresponde a un aumento en temperatura de 1°C? Capítulo 3 Ejercicios de repaso 76 Rendimiento de gasolina Suponga que el costo de conducir un automóvil es una función lineal del número x de millas recorridas y que la gasolina cuesta $3 por galón. Cierto automóvil actualmente rinde 20 millas por galón y una afinación que mejorará en 10% su rendimiento de gasolina cuesta $120. 243 79 Llenado de una piscina Una sección transversal de una piscina rectangular con dimensiones de 80 pies por 40 pies se muestra en la figura. La piscina se está llenando con agua a razón de 10 pies3/minuto. Ejercicio 79 (a) Exprese el costo C1 de conducir sin una afinación en términos de x. (b) Exprese el costo C2 de conducir con una afinación en términos de x. (c) ¿Cuántas millas debe recorrer el automóvil después de afinarlo para que el costo de la afinación se justifique? 77 Construcción de un cobertizo almacén Un cobertizo almacén rectangular abierto, formado por dos lados verticales de cuatro pies de ancho y un techo plano, se va a construir adjunto a una estructura ya existente, como se ve en la figura. El techo plano está hecho de hojalata y cuesta $5 por pie cuadrado y los dos lados están hechos de madera contrachapada que cuesta $2 por pie cuadrado. (a) Si se dispone de $400 para la construcción, exprese la longitud y como función de la altura x. (b) Exprese el volumen V dentro del cobertizo como función de x. Ejercicio 77 (a) Exprese el volumen V del agua de la piscina como función del tiempo t. (b) Exprese V como función de la profundidad h en el extremo profundo para 0 h 6 y luego para 6 h 9. (c) Exprese h como función de t para 0 para 6 h 9. h 6 y luego 80 Filtración de agua Suponga que 5 pulg3 de agua se vierten en un filtro cónico y que posteriormente se reciben en una taza, como se muestra en la figura. Con x denote la altura del agua en el filtro y con y denote la altura del agua en la taza. (a) Exprese el radio r mostrado en la figura como función de x. (Sugerencia: Use triángulos semejantes.) (b) Exprese la altura y del agua en la taza como función de x. (Sugerencia: ¿Cuál es la suma de los dos volúmenes mostrados en la figura?) Ejercicio 80 78 Construcción de un contenedor cilíndrico Una compañía planea manufacturar un contenedor que tiene forma de cilindro circular recto, abierto en la parte superior y que tiene capacidad de 24 pulgadas cúbicas. Si el costo del material para el fondo del cilindro es $0.30/in2 y el de los costados curvos es $0.10/in2, exprese el costo total C del material como función del radio r de la base del contenedor. 244 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y GRÁFICAS 81 Tronco de un cono La forma de la primera nave espacial del programa Apollo era de un cono circular recto, sólido formado al truncar un cono por un plano paralelo a su base. Para el tronco que se muestra en la figura, los radios a y b ya han sido determinados. Ejercicio 81 83 Dimensiones de una pista de carreras El interior de pista de carreras de media milla está formado por un tángulo con semicírculos en dos extremos opuestos. cuentre las dimensiones que maximicen el área rectángulo. una recEndel 84 Saltos verticales Cuando un jugador de baloncesto salta para “clavar” el balón en la canasta, la distancia del jugador f t (en pies) desde el piso después de t segundos está dada por la fórmula f t   21 gt 2  16t, donde g es la constante gravitacional. b y (a) Si g  32, encuentre el tiempo en que el jugador está colgado, es decir, el número total de segundos que el jugador está en el aire. h (b) Encuentre el salto vertical del jugador, es decir, la máxima distancia entre los pies del jugador y el piso. a (a) Use triángulos semejantes para expresar y como función de h. (b) Deduzca una fórmula para el volumen del tronco como función de h. (c) Si a  6 pies y b  3 pies, ¿para qué valor de h es de 600 ft3 el volumen del tronco? 82 Distancia entre barcos A la 1:00 p.m. el barco A está a 30 millas al sur del barco B y está navegando al norte a razón de 15 mi/h. Si el barco B está navegando al oeste a razón de 10 mi/h, encuentre el tiempo en el que la distancia d entre los barcos sea mínima (vea la figura). (c) En la Luna, g  32 6 . Repita las partes (a) y (b) para el jugador en la Luna. 85 Trayectoria de un cohete Un cohete es disparado hacia una colina, siguiendo una trayectoria dada por y  0.016x2  1.6x. La colina tiene pendiente 15 , como se ilustra en la figura. (a) ¿En dónde cae el cohete? (b) Encuentre la máxima altura del cohete sobre el suelo. Ejercicio 85 y Ejercicio 82 y  Qx Barco B d N x Barco A Capítulo 3 Ejercicios de análisis 245 CAPÍTULO 3 EJERCICIOS DE ANÁLISIS 3 1 Compare las gráficas de y  2 x, y  2x, y  x, y  x 2, 3 y y  x en el intervalo 0 x 2. Escriba una generalización basada en lo que investigue acerca de gráficas de ecuaciones de la forma y  x p/q, donde x 0 y p y q son enteros positivos. 2 Escriba una expresión para gx si la gráfica de g se obtiene de la gráfica de f x  21 x  3 por reflexión de f alrededor de (a) eje x gx   21 x 3 (c) recta y  2 gx   21 x  7 (b) eje y gx   12 x 3 (d) recta x  3 gx   21 x 3 Considere la gráfica de gx  2f x, donde f está dada por f x  ax 2  bx  c. Discuta la forma general de g, incluyendo su dominio y rango. Discuta las ventajas y desventajas de graficar g como una composición de las funciones hx  2x y f x. (Sugerencia: El lector puede usar las siguientes expresiones para f : x 2  2x  8, x 2  2x  8, x 2  2x  2, x 2  2x  2.) 4 Simplifique el cociente de diferencias de los ejercicios 49 y 50 de la sección 3.4 para una función cuadrática arbitraria de la forma f x  ax 2  bx  c. 5 Consulte el ejemplo 5 de la sección 3.4. Geométricamente, ¿qué representa la expresión 2x  h  6 en la gráfica de f ? ¿Qué piensa usted que representa si h  0? 6 La fórmula del punto medio podría considerarse que es la fórmula de “medio camino” porque nos da el punto que es 1 2 de la distancia del punto Px 1 , y 1  al punto Qx 2 , y 2 . Desarrolle una fórmula “m-n” que dé el punto Rx 3 , y 3  que esté a mn de la distancia entre P y Q (suponga que m y n son enteros positivos con m n). 7 Considere las gráficas de ecuaciones de la forma cuadrática y  ax 2  bx  c que tiene dos puntos de cruce con el eje x. Con d denote la distancia del eje de la parábola a cualquiera de los puntos de cruce con el eje x y con h denote el valor de la coordenada y del vértice. Explore la relación entre d y h para varias ecuaciones específicas y luego desarrolle una fórmula para esta relación. 8 Factura por un servicio Un método común de expedir una factura por llamadas de servicio es cobrar una cuota fija más una cuota adicional por cada cuarto de hora empleado en la llamada. Invente una función para una empresa de reparación de lavadoras de ropa que cobra $40 más $20 por cada cuarto de hora o fracción; por ejemplo, una llamada de 30 minutos para una reparación costaría $80, en tanto que una llamada de 31 minutos para una reparación costaría $100. La entrada a su función es cualquier entero positivo. (Sugerencia: Vea el ejercicio 54(e) de la sección 3.5.) 9 Densidad de la capa de ozono La densidad D (en 103 cmkm) de la capa de ozono a altitudes x entre 3 y 15 kilómetros durante el invierno en Edmonton, Canadá, se determinó experimentalmente que era de D  0.0833x 2  0.4996x  3.5491. Exprese x como función de D. 10 Precipitación en Minneapolis El promedio de precipitación mensual en pulgadas en Minneapolis aparece en la tabla. Mes Precipitación Ene. 0.7 Feb. 0.8 Mar. 1.5 Abr. 1.9 May. 3.2 Jun. 4.0 Jul. 3.3 Ago. 3.2 Sept. 2.4 Oct. 1.6 Nov. 1.4 Dic. 0.9 (a) Grafique el promedio de precipitación mensual. (b) Modele estos datos con una función f por tramos que sea primero cuadrática y luego lineal. (c) Grafique f junto con los datos. 4 4 .1 F u n c i o n e s p o l i n o m i a l e s d e gr a d o m a y o r a 2 247 Funciones polinomiales y racionales 4.1 Funciones polinomiales de grado mayor a 2 Las funciones polinomiales son las más elementales en matemáticas por- 4.2 Propiedades de la división aproximar) sus ceros. En la primera parte de este capítulo discutimos re- 4.3 Ceros Ceros de de polinomios polinomios 4.4 Ceros complejos y racionales de polinomios 4.5 Funciones racionales 4.6 Variación que están definidas sólo en términos de adición, sustracción y multiplicación. En aplicaciones, a veces es necesario trazar sus gráficas y hallar (o sultados que son útiles para obtener esta información. A continuación llevamos nuestra atención a cocientes de funciones polinomiales, es decir, funciones racionales. La última sección, sobre variaciones, contiene aplicaciones de funciones sencillas con polinomios y racionales. 248 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 4.1 Si f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n, entonces Funciones polinomiales de grado mayor a 2 f x  an x n  an1x n1      a1x  a0, con an 苷 0. Los casos especiales que se ven en la tabla siguiente ya se discutieron antes. Grado de f 0 1 2 Forma de f(x) Gráfica de f (con cruce a0 en eje y) f x  a0 Una recta horizontal Una recta con pendiente a1 Una parábola con un eje vertical f x  a1 x  a0 f x  a2 x 2  a1 x  a0 En esta sección estudiaremos gráficas de funciones polinomiales de grado mayor a 2. Todas las funciones con polinomios son funciones continuas, es decir, sus gráficas se pueden trazar sin ninguna interrupción. Si f tiene grado n y todos los coeficientes excepto an son cero, entonces Figura 1 y fx  ax n y  qx3 x para alguna a  an 苷 0. En este caso, si n  1, la gráfica de f es una recta que pasa por el origen. Si n  2, la gráfica es una parábola con vértice en el origen. Dos ilustraciones con n  3 (polinomios cúbicos) se dan en el ejemplo siguiente. Trazar gráficas de y ⴝ ax3 EJEMPLO 1 Trace la gráfica de f si (a) f x  21 x 3 (b) f x   21 x 3 SOLUCIÓN Figura 2 (a) La tabla siguiente contiene varios puntos sobre la gráfica de y  12 x 3. y x y  q x 3 x 0 y 0 1 2 1 16  0.06 3 2 1 1 2 27 16  1.7 5 2 2 4 125 16  7.8 Como f es una función impar, la gráfica de f es simétrica con respecto al origen y puntos como   21 ,  161  y  1,  12  están también sobre la gráfica. La gráfica se traza en la figura 1. 1 (b) Si y   2 x 3, la gráfica se puede obtener de la parte (a) al multiplicar todas las coordenadas y por 1 (esto es, reflejando la gráfica de la parte (a) a través del eje x). Esto nos da el dibujo de la figura 2. L Si f x  ax n y n es entero positivo impar, entonces f es una función impar y la gráfica de f es simétrica con respecto al origen, como se ilustra en 4 .1 F u n c i o n e s p o l i n o m i a l e s d e gr a d o m a y o r a 2 249 las figuras 1 y 2. Para a 0, la gráfica es semejante en forma a la de la figura 1, pero, cuando n o a aumentan, la gráfica sube más rápidamente para x 1. Si a 0, reflejamos la gráfica a través del eje x, como en la figura 2. Si f x  ax n y n es un entero positivo par, entonces f es una función par y la gráfica de f es simétrica con respecto al eje y, como se ilustra en la figura 3 para el caso a  1 y n  4. Nótese que cuando aumenta el exponente, la gráfica se hace más plana en el origen. También sube más rápidamente para x 1. Si a 0, reflejamos la gráfica a través del eje x. También nótese que la gráfica corta el eje x en el origen, pero no cruza el eje x (cambia signo). Figura 3 y y y  x4 y  x6 x Figura 4 y P R S x Q Teorema del valor intermedio para funciones con polinomios y y  x8 x x Un análisis completo de gráficas de funciones polinomiales de grado mayor a 2 requiere métodos que se usan en cálculo. A medida que aumenta el grado, las gráficas suelen hacerse más complicadas, aunque tienen un aspecto liso con varios puntos altos y puntos bajos, por ejemplo P, Q, R y S en la figura 4. Esos puntos a veces se denominan puntos extremos para la gráfica. Debe observarse que un polinomio de grado n tiene a lo más n  1 puntos extremos. Cada valor de función (coordenada y) correspondiente a un punto alto o bajo se denomina extremo de una función f. En un extremo, f cambia de una función creciente a una función decreciente, o viceversa. El teorema del valor intermedio especifica otra propiedad importante de funciones polinomiales. Si f es una función polinomial y fa 苷 f b para a cada valor entre fa y fb del intervalo a, b. b, entonces f toma El teorema del valor intermedio para funciones polinomiales expresa que si w es cualquier número entre f a y f b, hay al menos un número c entre a y b tal que f c  w. Si consideramos la gráfica de f como extendiéndose con- 250 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Figura 5 y f(b) y  f(x) yw P w f (a) f (c) a c b x tinuamente del punto a, f a al punto b, fb, como se ilustra en la figura 5, entonces para cualquier número w entre f a y fb, la recta horizontal y  w corta la gráfica en al menos un punto P. La coordenada c de x de P es un número tal que f c  w. Una consecuencia del teorema del valor intermedio es que si f a y fb tienen signos contrarios (uno positivo y uno negativo), hay al menos un número c entre a y b tal que f c  0; esto es, f tiene un cero en c. Así, si el punto a, f a se encuentra abajo del eje x y el punto b, f b está arriba del eje x o viceversa, la gráfica cruza el eje x al menos una vez entre x  a y x  b, como se ilustra en la figura 6. Figura 6 y y (a, f (a)) (b, f (b)) y  f (x) y  f(x) a c b x a b x (b, f(b)) (a, f (a)) EJEMPLO 2 c Uso del teorema del valor intermedio Demuestre que f x  x 5  2x 4  6x 3  2x  3 tiene un cero entre 1 y 2. S O L U C I Ó N Sustituyendo 1 y 2 por x nos da los siguientes valores de función: f 1  1  2  6  2  3  4 f 2  32  32  48  4  3  17 Como f (1) y f(2) tienen signos contrarios (f(1)  4 0 y f (2) 17 vemos que f (c)  0 para al menos un número real c entre 1 y 2. 0), L El ejemplo 2 ilustra un método para localizar ceros reales de polinomios. Con el uso de aproximaciones sucesivas, podemos aproximar cada cero a cualquier grado de precisión al localizarlo en intervalos cada vez menores. Si c y d son sucesivas en ceros reales de f (x), es decir, no hay otros ceros entre c y d, entonces f (x) no cambia signo en el intervalo (c, d). Así, si escogemos cualquier número k tal que c k d y si f(k) es positiva, entonces f (x) es positiva en todo (c, d). Del mismo modo, si f(k) es negativa, entonces f(x) es negativa en todo (c, d). Llamaremos f (k) a un valor de prueba para f(x) en el intervalo (c, d). También se pueden usar valores de prueba en intervalos infinitos de la forma (, a) o (a, ), siempre que f (x) no tenga ceros en estos intervalos. El uso de valores de prueba al graficar es semejante a la técnica empleada para desigualdades en la sección 2.7. 4 .1 F u n c i o n e s p o l i n o m i a l e s d e gr a d o m a y o r a 2 EJEMPLO 3 251 Trazar la gráfica de una función polinomial de grado 3 Sea f (x)   x2  4x  4. Encuentre todos los valores de x tales que f (x) 0 y toda x tal que f(x) 0 y luego trace la gráfica de f. x3 SOLUCIÓN Podemos factorizar f(x) como sigue: f x  x 3  x 2  4x  4  x 3  x 2  4x  4  x 2x  1  4x  1  x 2  4x  1  x  2x  2x  1 Figura 7 enunciado agrupar términos factorizar x 2 y 4 factorizar x  1 diferencia de cuadrados Vemos de la última ecuación que los ceros de f (x) (los puntos de corte del eje x de la gráfica) son 2, 1 y 2. Los puntos correspondientes en la gráfica (vea figura 7) dividen el eje x en cuatro partes y consideramos los intervalos abiertos y , 2, 2, 1, 1, 2, 2, . Al igual que con nuestro trabajo con desigualdades en la sección 2.7, el signo de f (x) en cada uno de estos intervalos se puede determinar usando una tabla de signos. La gráfica de f se encuentra arriba del eje x para valores de x tales que f(x) 0 y abajo del eje x para toda x tal que f(x) 0. x Intervalo Figura 8 y (ⴚⴥ, ⴚ2) (ⴚ2, ⴚ1) (ⴚ1, 2) (2, ⴥ) Signo de x  2     Signo de x  1     Signo de x  2     Signo de f x     Abajo de eje x Arriba de eje x Abajo de eje x Arriba de eje x Posición de gráfica y  x 3  x2  4 x  4 Por consulta del signo de f (x) en la gráfica, concluimos que x y f (x) f (x) 0 si x está en (2, 1) 艛 (2, ) 0 si x está en (, 2) 艛 (1, 2). El uso de esta información lleva al trazo de la figura 8. Para hallar los puntos extremos en la gráfica, sería necesario usar equipo de cómputo (como lo haremos en el ejemplo 6) o métodos desarrollados en cálculo. L La gráfica de toda función polinomial de grado 3 tiene un aspecto semejante al de la figura 8 o tiene una versión invertida de esa gráfica si el coeficiente de x3 es negativo, pero a veces la gráfica puede tener sólo un punto de intersección con el eje x o la forma puede estar elongada, como en las figuras 1 y 2. 252 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Trazar la gráfica de una función polinomial de grado 4 EJEMPLO 4 Sea f(x)   4x3  3x2. Encuentre todos los valores de x tales que f(x) y toda x tal que f(x) 0 y luego trace la figura de f. x4 0 Empezamos por factorizar f(x) SOLUCIÓN fx  x 4  4x 3  3x 2  x 2x 2  4x  3  x 2x  1x  3 enunciado factorizar x 2 factorizar x 2  4x  3 A continuación, construimos el diagrama de signos de la figura 9, donde las rectas verticales indican los ceros 0, 1 y 3 de los factores. Como el factor x2 es siempre positivo si x 苷 0, no tiene efecto en el signo del producto y por tanto se puede omitir del diagrama. Figura 9 Figura 10 Signo de f (x) Signo de x  3 Signo de x  1 y             1 0 3 Por consulta del signo de f (x) del diagrama, vemos que x 0 si x está en (, 0) 艛 (0, 1) 艛 (3,  ) f(x) y  x 4  4x 3  3x 2 y f (x) 0 si x está en (1, 3). Nótese que el signo de fx no cambia en x  0. El uso de estos datos lleva al trazo de la figura 10. L En el siguiente ejemplo construimos una gráfica de un polinomio conociendo sólo su signo. EJEMPLO 5 Trazar la gráfica de un polinomio conociendo su signo Dado el diagrama de signos de la figura 11, trace una posible gráfica del polinomio f. Figura 11 Signo de f (x)  3   1  0  2 4 .1 F u n c i o n e s p o l i n o m i a l e s d e gr a d o m a y o r a 2 Figura 12 253 Como el signo de f (x) es negativo en el intervalo (, 3), la gráfica de f debe estar abajo del eje x, como se ve en la figura 12. En el intervalo (3,1), el signo de f (x) es positivo, de modo que la gráfica de f está arriba del eje x. El signo de f(x) también es positivo en el siguiente intervalo, (1, 0). Por lo tanto, la gráfica de f debe tocar el eje x en el punto de intersección x 1 y luego permanecer arriba del eje x. (La gráfica de f es tangente al eje x en x  1.) En el intervalo (0, 2), el signo de f(x) es negativo, de modo que la gráfica de f está abajo del eje x. Por último, el signo de f (x) es positivo en el intervalo (2, ) y la gráfica de f está arriba del eje x. SOLUCIÓN y 1 1 x L En el último ejemplo usamos la función f x  x  3x  12xx  2. Nótese la forma en que la gráfica de f se relaciona con las soluciones de las siguientes desigualdades. Desigualdad Solución f x f x f x f x 3, 1 傼 1, 0 傼 2,  (1) (2) (3) (4) 0 0 0 0 3, 0 傼 2,  , 3 傼 0, 2 , 3 傼 1 傼 0, 2 Posición de la gráfica en relación al eje x Arriba Abajo o sobre Abajo Abajo o sobre Nótese que todo número real debe estar en la solución ya sea de la desigualdad (1) o la desigualdad (4); lo mismo puede decirse para las desigualdades (2) y (3). En el siguiente ejemplo usamos una calculadora graficadora para estimar coordenadas de puntos importantes en una gráfica. EJEMPLO 6 Estimar ceros y puntos extremos (a) Estime los ceros reales de f(x)  x3  4.6x2  5.72x  0.656 a tres lugares decimales. (b) Estime las coordenadas de los puntos extremos en la gráfica. SOLUCIÓN (a) Asignamos f (x) a Y1 y usamos una pantalla estándar para obtener un trazo semejante al de la figura 13(a). Como todas las raíces reales parecen estar entre 0 y 3, hagamos de nuevo la gráfica usando la pantalla [1, 3] por [1, 3]. Esto nos da una pantalla semejante a la de la figura 13(b), que muestra que hay sólo (continúa) 254 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES un punto de intersección con el eje x y por tanto una sola raíz. Usando un cero o función de raíz, estimamos el cero real como 0.127. Figura 13 (a) 15, 15 por 10, 10 (b) 1, 3 por 1, 3 (b) Con el uso de la función “maximum”, estimamos el punto alto y es (0.867, 1.497) y con la función “minimum”, estimamos el punto bajo y es (2.200,0.312). L En la sección 2.7 resolvimos desigualdades semejantes a la del siguiente ejemplo, pero nos apoyamos en gran medida en el hecho de que podíamos de algún modo factorizar la expresión. Ahora usamos una calculadora graficadora para resolver una desigualdad que contiene una expresión (un polinomio cúbico) que no se factoriza fácilmente. EJEMPLO 7 Resolver gráficamente una desigualdad Estime las soluciones de la desigualdad 6x 2  3x 3 SOLUCIÓN 2. Restemos 2 de ambos lados y consideremos la desigualdad equivalente 6x 2  3x 3  2 Figura 14 2, 3 por 3, 3 0. Asignamos 6x2  3x3  2 a Y1 y usamos la pantalla [2, 3] por [3, 3] para obtener una imagen semejante a la figura 14. Vemos que hay tres puntos de intersección con el eje x. Si los denotamos por x1, x2 y x3 (con x1 x2 x3), entonces las soluciones a la desigualdad están dadas por x1, x2 傼 x3, , porque éstos son los intervalos donde Y1 es menor a 0 (la gráfica está abajo del eje x). Usando una función cero o root para cada punto de cruce con el eje x, encontramos que x1  0.515, x2  0.722, x3  1.793. L 4 .1 F u n c i o n e s p o l i n o m i a l e s d e gr a d o m a y o r a 2 255 Uso de la función TI-86 POLY La TI-86 tiene una función especial POLY que calcula los ceros de un polinomio. Apliquemos esta función al polinomio 6x2  3x3  2 del ejemplo 7, que se puede escribir como 3x3  6x2  0x  2. Introduzca el grado del polinomio. 2nd 3 POLY ENTER Introduzca los coeficientes del polinomio. 3 䌤 6 䌤 0 䌤 2 Calcule los ceros del polinomio. SOLVE(F5) 4.1 Ejercicios Ejer. 1-4: Trace la gráfica de f para el valor indicado de c o a. 5 f x  x 3  4x 2  3x  2; 1 f x  2x 3  c (a) c  3 (b) c  3 (b) c  2 1 (b) a   3 0, f 2  1 0, f 3  5 f 1 2   83 1 (b) a  4 0, f  3 4  b4 a  3, b  2 a  2, b3 a  12, b  43 0 7 f x  x 4  3x 3  2x  1; f 2  5 a  3, 0 6 f x  2x 3  5x 2  3; 0 113 128 0 1 9 f x  x  x  x  x  1; a   2 , 5 19 f   12   32 4 f x  ax 3  3 (a) a  2 0, f 4  10 8 f x  2x 4  3x  2; 3 f x  ax 3  2 (a) a  2 f 3  2 f 3  12 2 f x  2x 3  c (a) c  2 Ejer. 5-10: Use el teorema de valor intermedio para demostrar que f tiene un cero entre a y b. 3 2 0, f 1  1 b  1 0 10 f x  x 5  3x 4  2x 3  3x 2  9x  6; a  3, b4 256 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Ejer. 11-12: Relacione cada gráfica con una ecuación. (A) f (x)  x 2(x  1) 11 (a) (B) f(x)  x(x  2)2 (b) y y (C) f(x)  (x  2)(x  1)(x  3) (D) f(x)  (x  2)2(x  1)(x  1) x (c) x (d) y y Ejer. 13-28: Encuentre todos los valores de x tales que f(x) 0 y toda x tal que f(x) 0, y trace la gráfica de f. 1 13 f x  4 x 3  2 1 14 f x   9 x 3  3 1 15 f x  16 x 4  1 16 f x  x 5  1 17 f x  x 4  4x 2 18 f x  9x  x 3 19 f x  x 3  3x 2  10x 20 f x  x 4  3x 3  4x 2 x x 1 21 f x  6 x  2x  3x  4 1 22 f x   8 x  4x  2x  6 23 f x  x 3  2x 2  4x  8 24 f x  x 3  3x 2  9x  27 (A) f(x)  x(x  2) 25 f x  x 4  6x 2  8 (B) f(x)  x (x  2) 26 f x  x 4  12x 2  27 2 2 (C) f(x)  (x  1)(x  1)(x  2) 27 f x  x 2x  2x  12x  2 (D) f(x)  (x  1)(x  1) (x  2) 28 f x  x 3x  12x  2x  4 2 12 (a) (b) y Ejer. 29-30: Trace la gráfica de un polinomio dado el diagrama de signos. y 29 Signo de f (x)      x x 0 4 1 3 30 (c) (d) y 14 Signo de f (x) y    3 2   0 2 31 (a) Trace una gráfica de x  7 x 7 f x  x  ax  bx  c, donde a 14 0 b c. (b) ¿Cuál es la intersección con el eje y? abc 4 .1 F u n c i o n e s p o l i n o m i a l e s d e gr a d o m a y o r a 2 (c) ¿Cuál es la solución a f x 0? , a 傼 b, c (d) ¿Cuál es la solución a f x 0? a, b 傼 c,  32 (a) Trace la gráfica de f x  x  a2x  bx  c, donde a b 0 c. (b) ¿Cuál es la intersección con el eje y? a2bc (c) ¿Cuál es la solución a f x 0? (d) ¿Cuál es la solución a f x 0? a 傼 b, c , a 傼 a, b 傼 c,  257 42 Construcción de una reja de madera El bastidor para una reja de embarque se va a construir con 24 pies de madera de 2  2 (vea la figura). (a) Si la reja debe tener extremos cuadrados de x pies de lado, exprese el volumen exterior V de la reja como función de x (no considere el grosor de la madera). (b) Trace la gráfica de V para x 0. Ejercicio 42 33 Sea f(x) un polinomio tal que el coeficiente de toda potencia impar de x es 0. Demuestre que f es una función par. x 34 Sea f(x) un polinomio tal que el coeficiente de toda potencia par de x es 0. Demuestre que f es una función impar. See ISM. x 35 Si f x  3x 3  kx 2  x  5k, encuentre un número k tal 4 que la gráfica de f contiene el punto 1, 4.  3 36 Si f x  kx 3  x 2  kx  2, encuentre un número k tal que la gráfica de f contiene el punto 2, 12. 1 37 Si un cero de f x  x 3  2x 2  16x  16k es 2, encuentre los otros dos ceros. 4 38 Si un cero de f x  x 3  3x 2  kx  12 es 2, encuentre los otros dos ceros. 2, 3 39 Un polinomio de Legendre El polinomio P(x)  12 5x 3  3x de tercer grado de Legendre se presenta en la solución de problemas de transferencia de calor en física e ingeniería. Encuentre todos los valores de x tales que P(x) 0 y para toda x tal que P(x) 0, y trace la gráfica de P. 40 Un polinomio de Chebyshev El polinomio f(x)  8x4  8x2  1 de cuarto grado de Chebyshev se presenta en estudios de estadística. Encuentre todos los valores de x tales que f(x) 0. (Sugerencia: Sea z  x2 y use la fórmula cuadrática.) 1 1 f x 0 if x 2 2  22 or x 2 2  22 41 Construcción de una caja De una pieza rectangular de cartón que tiene dimensiones de 20 × 30 pulgadas, se va a fabricar una caja abierta al cortar cuadrados idénticos de área x2 de cada esquina y volteando hacia arriba los lados (vea ejercicio 65 de la sección 3.4). (a) Demuestre que el volumen de la caja está dado por la función Vx  x20  2x30  2x. (b) Encuentre todos los valores positivos de x tales que Vx 0 y trace la gráfica de V para x 0. y 43 Determinación de temperaturas Un meteorólogo determina que la temperatura T (en °F) para cierto periodo de 24 horas en invierno estuvo dada por la fórmula 1 T  20 tt  12t  24 para 0 t 24, donde t es el tiempo en horas y t  0 corresponde a las 6:00 a.m. (a) ¿Cuándo fue T T 0 for 0 t 0 y cuándo fue T 12; T 0 for 12 0? 24 t (b) Trace la gráfica de T. (c) Demuestre que la temperatura fue 32°F en algún momento entre las 12 del mediodía y la 1:00 p.m. (Sugerencia: Use el teorema del valor intermedio). 44 Flexión de trampolines Un clavadista está de pie en el extremo de un trampolín antes de lanzarse al agua. La flexión d del trampolín en una posición a s pies del extremo estacioEjercicio 44 s L d 258 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES nario está dada por d  cs 23L  s para 0 s L, donde L es la longitud de la tabla y c es una constante positiva que depende del peso del clavadista y de las propiedades físicas de la tabla (vea la figura). Suponga que la tabla mide 10 pies de largo. (a) Si la flexión en el extremo de la tabla es 1 pie, encuentre c. 1 2000 (b) Demuestre que la flexión es s  6.6. d6.5  0.4964 1 2, 1 2 pie entre s  6.5 y d6.6  0.5097 1 2 45 Población de venados Un rebaño de 100 venados se introduce en una pequeña isla. Al principio el rebaño aumenta rápidamente, pero al final los recursos se consumen y la población disminuye. Suponga que el número N(t) de venados después de t años está dado por N(t)  t 4  21t 2  100, donde t 0. (a) Determine los valores de t para los cuales N(t) trace la gráfica de N. Nt 0 for 0 t 5 0y (b) ¿La población se extingue? Si es así, ¿cuándo? Yes; after 5 years 46 Población de venados Consulte el ejercicio 45. Se puede demostrar por medio de cálculo que la rapidez R (en venados por año) con la que cambia la población de venados, en el tiempo t, está dada por R  4t 3  42t. (a) ¿Cuándo deja de crecer la población? After 12 242  3.24 yr (b) Determine los valores positivos de t para los cuales R 0.  0, 12 242  47 (a) Construya una tabla que contenga los valores de los polinomios de cuarto grado f x  2x 4, gx  2x 4  5x 2  1, hx  2x 4  5x 2  1, y kx  2x  x  2x, 4 3 cuando x  20, 40, y 60. (b) Cuando x se hace grande, ¿cómo se comparan los valores para cada función? They become similar. (c) ¿Cuál término tiene la mayor influencia sobre el valor de cada función cuando x es grande? 48 (a) Grafique los polinomios cúbicos f x  3x 3, gx  3x 3  x 2  1, hx  3x 3  x 2  1, y kx  3x 3  2x 2  2x en el mismo plano de coordenadas, usando cada una de las siguientes pantallas: (1) (2) (3) (4) 2, 2 por 2, 2 10, 10 por 10, 10 50, 50, 10 por 5000, 5000, 1000 100, 100, 10 por 5  105, 5  105, 105 (b) Cuando la pantalla aumenta de tamaño, ¿cómo se comparan las gráficas de las cuatro funciones? They look alike. (c) ¿Cuál término tiene la mayor influencia sobre el valor de cada función cuando x es grande? 3x 3 49 (a) Grafique cada uno de los siguientes polinomios f cúbicos en la pantalla 9, 9 por 6, 6. (1) (2) (3) (4) f x  x 3  x  1 f x  x 3  4x 2  3x  1 f x  0.1x 3  1 f x  x 3  4x  2 (b) Analice la forma de la gráfica de f cuando x se hace grande. (c) Haga una generalización acerca del comportamiento final de la función f(x)  ax3  bx2  cx  d. 50 (a) Grafique cada uno de los siguientes polinomios f de cuarto grado en la pantalla [9, 9] por [6, 6]. (1) (2) (3) (4) f x  x 4  2x 3  5x 2  6x  3 f x  x 4  2x 3  1 1 f x   2 x 4  2x 2  x  1 1 1 7 7 f x  5 x 4  2 x 3  3 x 2  2 x  3 (b) Analice la forma de la gráfica de f cuando x se hace grande. (c) Haga una generalización acerca del comportamiento final de la función f x  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e. Ejer. 51-54: Grafique f y estime sus ceros. 51 f x  x 3  0.2x 2  2.6x  1.1 1.89, 0.49, 1.20 52 f x  x 4  0.1x 3  4x 2  0.5x  3 1.78, 0.91, 1.11, 1.67 53 f x  x 3  3x  1 1.88, 0.35, 1.53 54 f x  2x 3  4x 2  3x  1 0.77, 0.26, 2.52 4.2 Propiedades de la división Ejer. 55-58: Grafique f y estime todos los valores de x tales que f(x) k. k1 0.56,  56 f x  x  4x  3x  8x  5; k3 57 f x  x  2x  2; k  2 1.10,  58 f x  x 4  2x 3  10x  26; k  1 4 3 2 , 0.27 傼 3.73,  5 2 (a) Grafique f y discuta la forma en que el número de beneficiarios de servicio médico ha cambiado en este periodo. It has increased. (b) Invente un modelo lineal semejante a f que aproxime el número de beneficiarios. ¿Cuál modelo es más realista? y  0.59x  23.5; linear 62 Participantes programa Con Ventaja La función f dada por , 2.24 傼 2.24,  Ejer. 59-60: Grafique f y g sobre el mismo plano de coordenadas y estime los puntos de intersección. f (x)  0.11x 4  46x 3  4000x 2  76,000x  760,000 aproxima el número total de niños en edad preescolar que participan en el programa gubernamental Head Start entre 1966 y 2005, donde x  0 corresponde al año 1966. 59 f x  x 3  2x 2  1.5x  2.8; gx  x 3  1.7x 2  2x  2.5 1.29, 0.77, 0.085, 2.66, 1.36, 0.42 (a) Grafique f en el intervalo [0, 40]. Analice cómo ha cambiado el número de participantes entre 1966 y 2005. 60 f x  x 4  5x 2  4; gx  x 4  3x 3  0.25x 2  3.75x 1, 0, 0.71, 1.72, 1.87, 1.25 Decreased during 1966 to 1976, increased since then. 61 Beneficiarios de servicio médico La función f dada por (b) Aproxime el número de niños inscritos en 1986. f x  0.000 015z 3  0.005z 2  0.75z  23.5, 454,400 (c) Estime gráficamente los años en los que hubo 500,000 niños inscritos en el programa Head Start. donde z  x  1973, aproxima el número total de beneficiarios de servicio médico en millones, de x  1973 a x  2005. Hubo 23,545,363 beneficiarios en 1973 y 42,394,926 en 2005. Propiedades de la división ILUSTRACIÓN En esta sección empleamos f(x), g(x), etcétera, para denotar polinomios en x. Si g(x) es un factor de f (x), entonces f (x) es divisible entre g(x). Por ejemplo, x4  16 es divisible entre x2  4, entre x2  4, entre x  2 y entre x  2. El polinomio x4  16 no es divisible entre x2  3x  1, pero podemos usar el proceso llamado división larga para hallar un cociente y un residuo, como en la siguiente ilustración, donde hemos insertado términos con coeficientes cero. División larga de polinomios cociente ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ 4.2 1970 and 1988 x  3x  8 2 x  3x  1 x  0x  0x 2  0x  16 2 4 3 x 4  3x 3  x 2 3x 3  x 2 3x 3  9x 2  3x 8x 2  3x  16 8x 2  24x  8 21x  24 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 55 f x  x 3  5x  2; 259 residuo x 2x 2  3x  1 reste 3xx 2  3x  1 reste 8x 2  3x  1 reste 260 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES El proceso de división larga termina cuando llegamos a un polinomio (el residuo) que es 0 o tiene un menor grado que el divisor. El resultado de la división larga de la ilustración precedente se puede escribir x 4  16  x 2  3x  8  x 2  3x  1   21x  24 . x 2  3x  1 Multiplicando ambos lados de esta ecuación por x2  3x  1, obtenemos x 4  16  x 2  3x  1x 2  3x  8  21x  24. Este ejemplo ilustra el siguiente teorema. Algoritmo de división para polinomios Si f (x) y p(x) son polinomios y si p(x)  0, entonces existen polinomios únicos q(x) y r(x) tales que f x  px  qx  rx, donde ya sea r(x)  0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). El polinomio q(x) es el cociente y r(x) es el residuo en la división de f (x) entre p(x). Un útil caso especial del algoritmo de división para polinomios se presenta si f(x) se divide entre x  c, donde c es el número real. Si x  c es un factor de f (x), entonces f x  x  cqx para algún cociente q(x) y el residuo r(x) es 0. Si x  c no es un factor de f (x), entonces el grado del residuo r(x) es menor al grado de x  c y por tanto r (x) debe tener grado 0. Esto significa que el residuo es un número diferente de cero. En consecuencia, para toda x  c tenemos f x  x  cqx  d, donde el residuo d es un número real (posiblemente d  0). Si sustituimos c por x, obtenemos f c  c  cqc  d  0  qc  d  0  d  d. Esto demuestra el siguiente teorema. Teorema del residuo Si un polinomio f x se divide entre x  c, entonces el residuo es f c. 4.2 Propiedades de la división EJEMPLO 1 261 Uso del teorema del residuo Si f (x)  x3  3x2  x  5, use el teorema del residuo para hallar f (2). Según el teorema del residuo, f (2) es el residuo cuando f (x) se divide entre x  2. Por división larga, SOLUCIÓN x2  x  1 x  2 x  3x 2  x  5 x 3  2x 2 x 2  x x 2  2x x  5 x  2 3 3 x 2x  2 reste xx  2 reste 1x  2 reste En consecuencia, f(2)  3. Podemos comprobar este hecho por sustitución directa: f 2  23  322  2  5  3 L Usaremos el teorema del residuo para demostrar el siguiente e importante resultado. Teorema del factor Un polinomio f(x) tiene un factor x  c si y sólo si f(c)  0. PRUEBA Por el teorema del residuo, fx  x  cqx  f c para algún cociente q(x). Si f(c)  0, entonces f(x)  (x  c)q(x); esto es, x  c es un factor de f(x). Recíprocamente, si x  c es un factor de f(x), entonces el residuo de la división de f(x) entre x  c debe ser 0 y, por tanto, por el teorema del residuo, f(c)  0. L El teorema del factor es útil para hallar factores de polinomios, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 2 Uso del teorema del factor Demuestre que x  2 es un factor de f x  x 3  4x 2  3x  2. Como f (2)  8  16  6  2  0, vemos del teorema del factor que x  2 es un factor de f (x). Otro método de solución sería dividir f (x) entre x  2 y demostrar que el residuo es 0. El cociente de la división sería otro factor de f (x). SOLUCIÓN L 262 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Hallar un polinomio con ceros prescritos EJEMPLO 3 Encuentre un polinomio f (x) de grado 3 que tenga ceros 2, 1 y 3. Por el teorema del factor, f (x) tiene factores x  2, x  1, y x  3. Por tanto, SOLUCIÓN f x  ax  2x  1x  3, donde cualquier valor diferente de cero puede ser asignado a a. Si hacemos a  1 y multiplicamos, obtenemos fx  x 3  4x 2  x  6. L Para aplicar el teorema del residuo es necesario dividir un polinomio f (x) entre x  c. El método de división sintética se puede usar para simplificar este trabajo. Las directrices siguientes expresan cómo hacerlo. El método puede justificarse por una cuidadosa (y prolongada) comparación con el método de división larga. Directrices para división sintética de an xn ⴙ anⴚ1 xnⴚ1 ⴙ ⴢ ⴢ ⴢ ⴙ a1x ⴙ a0 entre x ⴚ c 1 Empiece con lo siguiente, escribiendo ceros para cualesquier coeficientes faltantes del polinomio dado an1 an2 . . . c an a1 a0 an 2 Multiplique an por c y ponga el producto can bajo an1, como se indica por la flecha en lo que sigue. (Esta flecha, y otras, se usa sólo para aclarar estas directrices y no aparecerá en divisiones sintéticas específicas.) A continuación, encuentre la suma b1  an1  can y póngala bajo la línea como se indica. c an an an1 can b1 an2 cb1 b2 ... cb2 ... ... bn2 a1 a0 cbn2 cbn1 bn1 r 3 Multiplique b1 por c y ponga el producto cb1 bajo an2, como lo indica la segunda flecha. Continuando, en seguida halle la suma b2  an2  cb1 y póngala bajo la línea como se indica. 4 Continúe este proceso, como lo indican las flechas, hasta obtener la suma final r  a0  cbn1. Los números an, b1, b2, . . ., bn2, bn1 son los coeficientes del cociente q(x); esto es, qx  an x n1  b1x n2      bn2 x  bn1, y r es el residuo. 4.2 Propiedades de la división Los ejemplos siguientes ilustran la división sintética para algunos casos especiales. EJEMPLO 4 Uso de división sintética para hallar un cociente y residuo Use división sintética para hallar el cociente q(x) y residuo r si el polinomio 2x4  5x3  2x  8 se divide entre x  3. Como el divisor es x  3  x  (3), el valor de c en la expresión x  c es 3. En consecuencia, la división sintética toma esta forma: SOLUCIÓN 3 2 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2 5 0 2 8 6 3 9 33 1 3 11 25 coeficiente del cociente residuo Como hemos indicado, los primeros cuatro números de la tercera fila son los coeficientes del cociente q(x) y el último número es el residuo r. Así, qx  2x 3  x 2  3x  11 y r  25. L Se puede usar división sintética para hallar valores de funciones polinomiales, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 5 Uso de división sintética para hallar valores de un polinomio Si fx  3x 5  38x 3  5x 2  1, use división sintética para hallar f 4. SOLUCIÓN Por el teorema del residuo, f (4) es el residuo cuando f (x) se divide entre x  4. Dividiendo sintéticamente, obtenemos 4 3 3 0 38 12 48 12 10 5 40 45 0 180 180 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ La división sintética no sustituye a una división larga; simplemente es un método más rápido y es aplicable sólo cuando el divisor es de la forma x  c. 263 coeficientes del cociente 1 720 719 residuo En consecuencia, f 4  719. L Se puede usar división sintética para ayudar a encontrar ceros de polinomios. Por el método ilustrado en el ejemplo anterior, f (c)  0 si y sólo si el residuo en la división sintética entre x  c es 0. EJEMPLO 6 Uso de división sintética para hallar ceros de un polinomio Demuestre que 11 es un cero del polinomio f x  x 3  8x 2  29x  44. 264 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES SOLUCIÓN Dividiendo sintéticamente entre x  (11)  x  11 da 11 1 8 29 33 44 4 0 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 11 1 3 44 coeficientes del cociente residuo Por lo tanto, f (11)  0 y 11 es un cero de f. L El ejemplo 6 muestra que el número 11 es una solución de la ecuación x3  8x2  29x  44  0. En la sección 4.4 usaremos división sintética para hallar soluciones racionales de ecuaciones. En esta etapa el lector debe reconocer que los siguientes tres enunciados son equivalentes para una función polinomial f cuya gráfica es la gráfica de la ecuación y  f (x). (1) El punto (a, b) está en la gráfica de f. enunciados ⎧ ⎪ equivalentes ⎨ (2) El valor de f en x  a es igual a b; esto es, f (a)  b. para f a  b⎪ (3) Si f (x) se divide entre x  a, entonces el residuo es b. ⎩ Además, si b es igual a 0, entonces los siguientes cuatro enunciados también son equivalentes. ⎧ (1) El número a es un cero de la función f. ⎪ (4) ⎩ El binomio x  a es un factor del polinomio f (x). enunciados ⎪ equivalentes (2) El punto (a, 0) está en la gráfica de f; esto es, a es un punto de intersección ⎪ con el eje x. adicionales ⎨ para f a  0⎪ (3) El número a es una solución de la ecuación f(x)  0. El estudiante debe familiarizarse con estos enunciados hasta el punto en que si sabe que uno de ellos es verdadero, puede fácilmente recordar y aplicar cualquier enunciado equivalente apropiado. EJEMPLO 7 Relacionar una gráfica a la división Use la gráfica de Figura 1 10, 10 por 10, 10 f x  0.5x 5  3.5x 4  5.5x 3  7.5x 2  2x  2 para aproximar (a dos lugares decimales) el residuo si f (x) se divide entre x  1.37. SOLUCIÓN Asignamos f (x) a Y1 y graficamos f con una pantalla estándar, como se ve en la figura 1. Del análisis anterior, sabemos que para hallar un residuo b al utilizar una gráfica, debemos hallar el punto (a, b) que corresponde a dividir f(x) entre x  a. En este caso a  1.37 y el punto sobre la gráfica 1.37 con coordenada x es aproximadamente (1.37, 9.24). En consecuencia, el residuo b es aproximadamente 9.24. 4.2 Propiedades de la división 265 La forma más fácil de encontrar el residuo usando una calculadora graficadora es simplemente hallar el valor de función Y1 cuando x  1.37, pero el propósito de este ejemplo era señalar la relación gráfica con el proceso de división. L 4.2 Ejercicios Ejer. 1-8: Encuentre el cociente y residuo si f(x) se divide entre p(x). 1 f x  2x  x  3x  7x  12; px  x  3 2 f x  3x  2x  x  x  6; px  x  1 3 f x  3x 3  2x  4; px  2x 2  1 4 f x  3x 3  5x 2  4x  8; px  2x 2  x 4 3 2 2 2x 2  x  3; 4x  3 4 3 2 3 2x  4 13 4 ;  43 x 19 grado 4; ceros 2, 1, 4 x 4  2x 3  9x 2  2x  8 20 grado 4; ceros 3, 0, 1, 5 x 4  3x 3  13x 2  15x 2 3x 2  2x  4; 3x  2 3 1 2 x; 2 x 18 grado 3; ceros 2, 3 x 3  3x 2  4x  12 8 5 f x  7x  2; px  2x 2  x  4 6 f x  5x 2  3; px  x 3  3x  9 7 f x  9x  4; px  2x  5 0; 7x  2 0; 5x 2  3 9 53 2; 2 8 f x  7x 2  3x  10; px  x 2  x  10 7; 10x  80 Ejer. 21-28: Use división sintética para hallar el cociente y residuo si el primer polinomio se divide entre el segundo. 21 2x 3  3x 2  4x  5; x  2 2x 2  x  6; 7 22 3x 3  4x 2  x  8; x  4 3x 2  16x  63; 244 23 x 3  8x  5; x  3 x 2  3x  1; 8 24 5x 3  6x 2  15; x  4 5x 2  14x  56; 239 25 3x 5  6x 2  7; x2 26 2x 4  10x  3; x3 27 4x 4  5x 2  1; x  21 4x 3  2x 2  4x  2; 0 3x 4  6x 3  12x 2  18x  36; 65 2x 3  6x 2  18x  44; 135 Ejer. 9-12: Use el teorema del residuo para hallar f(c). 9 f x  3x 3  x 2  5x  4; c2 26 10 f x  2x 3  4x 2  3x  1; c  3 80 10 1 28 9x 3  6x 2  3x  4; x  3 9x 2  3x  2;  3 Ejer. 29-34: Use división sintética para hallar f(c). 11 f x  x 4  6x 2  4x  8; c  3 7 29 f x  2x 3  3x 2  4x  4; c3 73 12 f x  x  3x  12; c  2 16 30 f x  x 3  4x 2  x; c  2 22 4 2 Ejer. 13-16: Use el teorema del factor para demostrar que x  c es un factor de f(x). 13 f x  x 3  x 2  2x  12; c  3 f 3  0 14 f x  x 3  x 2  11x  10; c2 15 f x  x12  4096; c  2 f 2  0 16 f x  x 4  3x 3  2x 2  5x  6; c  2 f 2  0 f 2  0 Ejer. 17-20: Encuentre un polinomio f(x) con coeficiente principal 1 y que tenga el grado y ceros dados. 17 grado 3; ceros 2, 0, 5 x 3  3x 2  10x 31 f x  0.3x 3  0.04x  0.034; c  0.2 1 2 0.0444 13 2 32 f x  8x 5  3x 2  7; c 33 f x  x 2  3x  5; c  2  23 8  7 23 34 f x  x 3  3x 2  8; c  1  22 10  22 Ejer. 35-38: Use división sintética para demostrar que c es un cero de f(x). 35 f x  3x 4  8x 3  2x 2  10x  4; c  2 f 2  0 36 f x  4x 3  9x 2  8x  3; c3 f 3  0 266 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 37 f x  4x 3  6x 2  8x  3; 1 c  21 f  2   0 38 f x  27x 4  9x 3  3x 2  6x  1; c  13 f  31 0 Ejer. 39-40: Encuentre todos los valores de k tales que f(x) sea divisible entre el polinomio lineal dado. 39 f x  kx 3  x 2  k 2x  3k 2  11; x  2 3, 5 40 f x  k x  4kx  3; 237  3 4 x  1 1, 3 2 3 f c 42 f x  x 4  3x 2  2 f c 0  0.77 ft Ejercicio 48 Ejer. 41-42: Demuestre que x  c no es un factor de f(x) para ningún número real c. 41 f x  3x 4  x 2  5 48 Resistencia de una viga La resistencia de una viga rectangular es directamente proporcional al producto de su ancho y el cuadrado de la profundidad de una sección transversal (vea la figura). Una viga de 1.5 pies de ancho se ha cortado de un tronco cilíndrico de radio 1 pie. Encuentre el ancho de una segunda viga rectangular de igual resistencia que pueda haberse cortado del tronco. Viga rectangular 0 Profundidad 43 Encuentre el residuo si el polinomio 3x100  5x 85  4x 38  2x 17  6 se divide entre x  1. 14 Ejer. 44-46: Use el teorema del factor para verificar el enunciado. Ancho 44 x  y es un factor de x n  y n para todo entero positivo n. If f x  x n  y n, f  y  y n  y n  0. 45 x  y es un factor de x n  y n para todo entero positivo par n. If f x  x n  y n and n is even, f y  0. 46 x  y es un factor de x n  y n para todo entero positivo impar n. If f x  x n  y n and n is odd, f y  0. 47 Sea Px, y un punto en el primer cuadrante en y  6  x, y considere el segmento de recta vertical PQ que se muestra en la figura. (a) Si PQ se hace girar alrededor del eje y, determine el volumen V del cilindro resultante. V  x 26  x (b) ¿Para qué punto P(x, y) con x  1 es el volumen V del inciso a el mismo que el volumen del cilindro de radio 1 y altitud 5 mostrado en la figura? 49 Arco parabólico Un arco tiene la forma de la parábola y  4  x2. Un rectángulo se ajusta bajo el arco al seleccionar un punto (x, y) en la parábola (vea la figura). (a) Exprese el área A del rectángulo en términos de x. A  8x  2x 3 (b) Si x  1, el rectángulo tiene base 2 y altura 3. Encuentre la base de un segundo rectángulo que tenga la misma área. 213  1  2.61 Ejercicio 49 y  12  5  245 , 12  7  245  (x, y) Ejercicio 47 y y  4  x2 (1, 5) x y6x P(x, y) Q x 50 Dimensiones de una cápsula Una pastilla de aspirina en forma de cilindro circular recto tiene altura de 13 de centímetro y radio de 12 centímetro. El fabricante también desea vender la 4.3 Ceros de polinomios 3 aspirina en forma de cápsula. La cápsula debe medir 2 centímetros de largo, en forma de cilindro circular recto con semiesferas unidas en ambos extremos (vea la figura). (a) Si r denota el radio de una semiesfera, encuentre una fórmula para el volumen de la cápsula. V  r2 32  32 r  (b) Encuentre el radio de la cápsula para que su volumen 1 sea igual al de la pastilla. 4 cm Ejercicio 50 Ejer. 51-52: Use la gráfica de f para aproximar el residuo si f se divide entre x  0.21. 51 f x  x 8  7.9x 5  0.8x 4  x 3  1.2x  9.81 9.55 52 f x  3.33x 6  2.5x 5  6.9x 3  4.1x 2  1.22x  6.78 6.64 Ejer. 53-54: Use la gráfica de f para aproximar todos los valores de k tales que f(x) sea divisible entre el polinomio lineal dado. 53 f x  x 3  k 3x 2  2kx  2k 4; w cm 1 cm 267 0.75, 1.96 x  1.6 54 f x  k 5x 3  2.1x 2  k 3x  1.2k 2; x  0.4 1.98 a cm 4.3 Ceros de polinomios Los ceros de un polinomio f (x) son las soluciones de la ecuación f (x)  0. Cada cero real es un punto de intersección con el eje x de la gráfica de f. En campos aplicados, calculadoras y computadoras se emplean por igual para hallar o aproximar ceros. Antes de usar una calculadora es conveniente conocer qué tipo de ceros esperar. Algunas preguntas que podríamos hacer son (1) (2) (3) (4) ¿Cuántos ceros de f (x) son reales? ¿imaginarios? ¿Cuántos ceros reales de f (x) son positivos? ¿negativos? ¿Cuántos ceros reales de f (x) son racionales? ¿irracionales? ¿Hay ceros reales de f (x) grandes o pequeños en valor? En ésta y la siguiente sección discutiremos resultados que ayudan a contestar algunas de estas preguntas. Estos resultados forman la base de la teoría de ecuaciones. Los teoremas del factor y el residuo se pueden extender al sistema de números complejos. Así, un número complejo c  a  bi es un cero de un polinomio f (x) si y sólo si x  c es un factor de f (x). Excepto en casos especiales, los ceros de polinomios son muy difíciles de hallar. Por ejemplo, no hay ceros obvios de f (x)  x5  3x4  4x3  4x  10. Aun cuando no tenemos fórmula que pueda usarse para hallar los ceros, el siguiente teorema expresa que hay al menos un cero c y, en consecuencia, por el teorema del factor, f (x) tiene un factor de la forma x  c. Teorema fundamental de álgebra Si un polinomio f (x) tiene un grado positivo y coeficientes complejos, entonces f (x) tiene al menos un cero complejo. 268 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES La prueba estándar de este teorema requiere resultados de un campo avanzado de matemáticas llamado funciones de una variable compleja. Un requisito previo para estudiar este campo es un fuerte antecedente en cálculo. La primera prueba del teorema fundamental de álgebra fue dada por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855), considerado por muchos como el más grande matemático de todos los tiempos. Como caso especial del teorema fundamental de álgebra, si todos los coeficientes de f(x) son reales, entonces f (x) tiene al menos un cero complejo. Si a  bi es un cero complejo, puede ocurrir que b  0, en cuyo caso el número a es un cero real. El teorema fundamental de álgebra hace posible que, al menos en teoría, expresemos todo polinomio f (x) de grado positivo como un producto de polinomios de grado 1, como en el siguiente teorema. Teorema de factorización completa para polinomios Si f x es un polinomio de grado n plejos c1,c2,…,cn tales que 0, entonces existen n números com- f x  ax  c1x  c2    x  cn, donde a es el coeficiente principal de f(x). Cada número ck es un cero de f x. PRUEBA Si f x tiene grado n 0, entonces, por el teorema fundamental de álgebra, f x tiene un cero complejo c1. En consecuencia, por el teorema del factor, f x tiene un factor x  c1; esto es, f x  x  c1 f1x, donde f1(x) es un polinomio de grado n  1. Si n  1 0, entonces, por el mismo argumento, f1(x) tiene un cero complejo c2 y por tanto un factor x  c2. Así, f1x  x  c2 f2x, donde f2(x) es un polinomio de grado n  2. En consecuencia, f x  x  c1x  c2 f2x. Continuando con este proceso, después de n pasos llegamos a un polinomio fn(x) de grado 0. Por tanto, fn(x)  a para algún número a diferente de cero y podemos escribir f x  ax  c1x  c2    x  cn, donde cada número complejo ck es un cero de f x. El coeficiente principal del polinomio del lado derecho en la última ecuación es a y por tanto a es el coeficiente principal de fx . L 4.3 Ceros de polinomios 269 Complete el teorema de factorización para polinomios ILUSTRACIÓN Un polinomio f (x) Una forma factorizada de f (x) Ceros de f (x) 3x  12  6ix  24i 3x  4x  2i 4, 2i 6x 3  2x 2  6x  2 6 x   31, i 2 1 3 x  ix  i 5x 3  30x 2  65x 5x  0x  3  2ix  3  2i 0, 3  2i 2 3 3x 2 3 x 12, 1  8x  2 2 3x 8  12x  1x  1 Ahora podemos probar lo siguiente. Teorema sobre el número máximo de ceros de un polinomio Un polinomio de grado n 0 tiene a lo sumo n ceros complejos diferentes. Daremos una prueba indirecta; esto es, supondremos que f (x) tiene más de n ceros complejos diferentes y demostraremos que esta suposición lleva a una contradicción. Escojamos n  1 de los ceros y los marcamos como c1, c2,…,cn, y c. Podemos usar el ck para obtener la factorización indicada en el enunciado del teorema de factorización completa para polinomios. Sustituyendo c por x y usando el hecho de que f(c)  0, obtenemos PRUEBA 0  ac  c1c  c2    c  cn. No obstante, cada factor del lado derecho es diferente de cero porque c  ck para toda k. Como el producto de números diferentes de cero no puede ser igual a cero, tenemos una contradicción. L EJEMPLO 1 Hallar un polinomio con ceros prescritos Encuentre un polinomio f (x) en forma factorizada que tenga grado 3; tenga ceros 2,1 y 2; y satisfaga f (1)  5. Por el teorema del factor, f (x) tiene factores x  2, x  1, y x  3. No existen otros factores de grado 1, porque, por el teorema del factor, otro factor lineal x  c produciría un cuarto cero de f (x), contrario al teorema precedente. Por tanto, f (x) tiene la forma SOLUCIÓN f x  ax  2x  1x  3 para algún número a. Como f (1)  5, vemos que 5  a1  21  11  3 5  a122 a  45 sea x  1 en fx simplifique despeje a (continúa) 270 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES En consecuencia, f x  45 x  2x  1x  3. Si multiplicamos los factores, obtenemos el polinomio f x  45 x 3  5x 2  45 x  15 2 . L Los números c1, c2,…,cn en el teorema de factorización completo no son necesariamente todos diferentes. Para ilustrar, f (x)  x3  x2  5x  3 tiene la factorización f x  x  3x  1x  1. Si un factor x  c se presenta m veces en la factorización, entonces c es un cero de multiplicidad m del polinomio f (x) o una raíz de multiplicidad m de la ecuación f(x)  0. En la exhibición previa, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 3 es un cero de multiplicidad 1. Si c es un cero real de f(x) de multiplicidad m, entonces f (x) tiene el factor (x  c)m y la gráfica de f tiene un punto c de intersección con el eje x. La forma general de la gráfica en (c, 0) depende de si m es entero impar o entero par. Si m es impar, entonces (x  c)m cambia signo cuando x aumenta por medio de c, y por tanto la gráfica de f cruza el eje x en (c, 0), como se indica en la primera fila de la tabla siguiente. Las figuras de la tabla no muestran la gráfica completa de f, pero sólo en forma general cerca de (c, 0). Si m es par, entonces (x  c)m no cambia signo en c y la gráfica de f cerca de (c, 0) tiene el aspecto de una de las dos figuras de la segunda fila. Factor de f (x) x  c , con m impar y m 苷 1 m Forma general de la gráfica de f cerca de (c, 0) y y c x  cm, con m par x y c x y c x c x 4.3 Ceros de polinomios EJEMPLO 2 271 Hallar multiplicidades de ceros 1 Encuentre los ceros del polinomio fx  16 x  2x  43x  12, exprese la multiplicidad de cada uno y luego trace la gráfica de f. Figura 1 y SOLUCIÓN Vemos de la forma factorizada que f(x) tiene tres ceros distintos, 2, 4 y 1. El cero 2 tiene multiplicidad 1, el cero 4 tiene multiplicidad 3 y el cero 1 tiene multiplicidad 2. Nótese que f(x) tiene grado 6. Los puntos de intersección con el eje x de la gráfica de f son los ceros reales 1, 2 y 4. Como la multiplicidad de 1 es un entero par, la gráfica toca, pero no cruza, el eje x en (1, 0). Como las multiplicidades de 2 y 4 son impares, la gráfica cruza el eje x en (2, 0) y (4, 0). (Nótese que la gráfica es “más plana” en 4 que en 2.) El punto de cruce con el eje y es f (0)  1 3 2 16 24 1  8. La gráfica se muestra en la figura 1. L x Teorema del número exacto de ceros de un polinomio Si f x  ax  c1x  c2    x  cn es un polinomio de grado n, entonces los n números complejos c1, c2, . . . , cn son ceros de f (x). Contando un cero de multiplicidad m como m ceros nos dice que f (x) tiene al menos n ceros (no necesariamente todos diferentes). Combinando este hecho con el hecho de que f (x) tiene cuando mucho n ceros nos da el siguiente resultado. Si f(x) es un polinomio de grado n 0 y si un cero de multiplicidad m se cuenta m veces, entonces f(x) tiene precisamente n ceros. Nótese la forma en que el polinomio de grado 6 del Ejemplo 2 se relaciona con el último teorema. Las multiplicidades son 1, 3, y 2, de modo que f tiene precisamente 1  3  2  6 ceros. EJEMPLO 3 Hallar los ceros de un polinomio Exprese f x  x 5  4x 4  13x 3 como producto de factores lineales, y encuentre los cinco ceros de f (x). SOLUCIÓN Empezamos por factorizar x3: f x  x 3x 2  4x  13 Por la fórmula cuadrática, los ceros del polinomio x2  4x  13 son 4  242  4113 4  236 4  6i    2  3i. 21 2 2 En consecuencia, por el teorema del factor, x2  4x  13 tiene factores x  (2  3i) y x  (2  3i) y obtenemos la factorización f x  x  x  x  x  2  3ix  2  3i. Como x  0 se presenta tres veces como un factor, el número 0 es un cero de multiplicidad 3 y los cinco ceros de f (x) son 0, 0, 0, 2  3i, y 2  3i. L CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Nota de la TI-86: La pantalla que se ve a continuación muestra la salida dada por la función POLY para el polinomio del Ejemplo 3. La notación para el quinto cero, (2, 3), representa el cero 2  3i. (Para más información sobre la función POLY, vea la nota de la TI-86 después del ejemplo 7 en la sección 4.1.) A continuación mostramos la forma de usar la regla de signos de Descartes para obtener información acerca de los ceros de un polinomio f (x) con coeficientes reales. En el enunciado de la regla suponemos que los términos de f(x) están dispuestos en potencias de x en orden decreciente y que se borran términos con coeficientes cero. También suponemos que el término constante, es decir, el término que no contiene x, es diferente de 0. Decimos que hay una variación de signo en f (x) si dos coeficientes consecutivos tienen signos contrarios. Para ilustrar, el polinomio f (x) de la siguiente ilustración tiene tres variaciones de signo, como lo indican las llaves, una variación de 2x5 a 7x4, una segunda de 7x4 a 3x2, y la tercera de 6x a 5. Variación de signo en f x ⴝ 2x 5 ⴚ 7x 4 ⴙ 3x 2 ⴙ 6x ⴚ 5 f x  2x 5 sin variación  7x 4  3x 2 a ⎫ ⎬ ⎭ a ⎫ ⎬ ⎭ a ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ILUSTRACIÓN ⎫ ⎬ ⎭  6x 5 La regla de Descartes también se refiere a las variaciones de signo en f(x). Usando la ilustración previa, nótese que f x  2x5  7x4  3x2  6x  5  2x 5  7x 4  3x 2  6x  5. Por lo tanto, como se indica en la ilustración siguiente, hay dos variaciones de signo en f (x), una de 7x4 a 3x2 y una segunda de 3x2 a 6x. Variaciones de signo en f ⴚx si f x ⴝ 2x 5 ⴚ 7x 4 ⴙ 3x 2 ⴙ 6x ⴚ 5 f x  2x 5 a  7x 4 sin variación  3x 2 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ a ⎫ ⎬ ⎭ sin variación ⎫ ⎬ ⎭ ILUSTRACIÓN ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ 272  6x Podemos expresar la regla de Descartes como sigue. 5 4.3 Ceros de polinomios Regla de signos de Descartes 273 Sea f(x) un polinomio con coeficientes reales y un término constante diferente de cero. (1) El número de ceros reales positivos de f(x) es igual al número de variaciones en signo en f(x) o es menor a ese número en un entero par. (2) El número de ceros reales negativos de f (x) es igual al número de variaciones en signo en f(x) o es menor a ese número en un entero par. Una prueba de la regla de Descartes no se dará. EJEMPLO 4 Uso de la regla de signos de Descartes Analice el número de posibles soluciones positivas y negativas y soluciones imaginarias de la ecuación f(x), donde f x  2x 5  7x 4  3x 2  6x  5. El polinomio f (x) es uno dado en las dos ilustraciones previas. Como hay tres variaciones de signo en f (x), la ecuación puede tener tres soluciones reales positivas o una solución real positiva. Como f (x) tiene dos variaciones de signo, la ecuación puede tener dos soluciones negativas o no tiene solución negativa. Debido a que f (x) tiene grado 5, hay un total de 5 soluciones. Las soluciones que no son números reales positivos o negativos son imaginarias. La tabla siguiente resume las diversas posibilidades que pueden ocurrir para soluciones de la ecuación. SOLUCIÓN Número de soluciones reales positivas 3 3 1 1 Número de soluciones reales negativas 2 0 2 0 Número de soluciones imaginarias 0 2 2 4 Número total de soluciones 5 5 5 5 L La regla de Descartes estipula que el término constante del polinomio f (x) es diferente de 0. Si el término constante es 0, como en la ecuación x 4  3x 3  2x 2  5x  0, factorizamos la potencia más baja de x, obteniendo xx 3  3x 2  2x  5  0. Así, una solución es x  0 y aplicamos la regla de Descartes al polinomio x3  3x2  2x  5 para determinar la naturaleza de las tres soluciones restantes. 274 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Cuando apliquemos la regla de Descartes, contamos raíces de multiplicidad k como k raíces. Por ejemplo, dado x2  2x  1  0, el polinomio x2  2x  1 tiene dos variaciones de signo y por tanto la ecuación puede tener dos raíces reales positivas o ninguna. La forma factorizada de la ecuación es (x  1)2  0 y por tanto 1 es una raíz de multiplicidad 2. A continuación analizamos los límites para los ceros reales de un polinomio f (x) que tiene coeficientes reales. Por definición, un número real b es un límite superior para los ceros si ningún cero es mayor a b. Un número real a es un límite inferior para los ceros si ningún cero es menor que a. Así, si r es cualquier número real de f (x), entonces a r b; esto es, r está en el intervalo cerrado [a, b], como se ilustra en la figura 2. Nótese que los límites superior e inferior no son únicos, puesto que cualquier número mayor a b también es un límite superior y cualquier número menor que a también es un límite inferior. Figura 2 Cualquier cero real a Límite inferior para ceros reales r b Límite superior para ceros reales Podemos usar división sintética para hallar límites superior e inferior para los ceros de f(x). Recuerde que si dividimos f (x) sintéticamente entre x  c, la tercera fila del proceso de división contiene los coeficientes del cociente q(x) junto con el residuo f (c). El siguiente teorema indica la forma en que esta tercera fila se puede usar para hallar límites superior e inferior para las soluciones reales. Primer teorema sobre límites para ceros reales de polinomios Suponga que f (x) es un polinomio con coeficientes reales y un coeficiente principal positivo y que f (x) está dividido sintéticamente entre x  c. (1) Si c 0 y si todos los números de la tercera fila del proceso de división son positivos o cero, entonces c es un límite superior para los ceros reales de f(x). (2) Si c 0 y si los números de la tercera fila del proceso de división son alternativamente positivos y negativos (y un 0 en la tercera fila es considerado ya sea positivo o negativo), entonces c es un límite inferior para los ceros reales de f (x). EJEMPLO 5 Hallar límites para las soluciones de una ecuación Encuentre los límites superior e inferior para las soluciones reales de la ecuación f (x)  0, donde f (x)  2x3  5x2  8x  7. SOLUCIÓN Dividimos f (x) sintéticamente entre x  1 y x  2. 1 2 5 8 7 2 7 1 2 7 1 8 2 2 5 8 7 4 18 20 2 9 10 13 4.3 Ceros de polinomios 275 La tercera fila de la división sintética entre x  1 contiene números negativos y por tanto, la parte (1) del teorema sobre límites para ceros reales de polinomios no aplica, pero, como todos los números de la tercera fila de la división sintética entre x  2 son positivos, se deduce de la parte (1) que 2 es un límite superior para las soluciones reales de la ecuación. Este hecho también es evidente si expresamos la división entre x  2 en la forma de algoritmo de división 2x 3  5x 2  8x  7  x  22x 2  9x  10  13, porque si x 2, entonces el lado derecho de la ecuación es positivo (¿por qué?), y por tanto f (x) no es cero. Ahora encontramos un límite inferior. Después de algunos intentos de prueba y error usando x  (1), x  (2) y x  (3), vemos que la división sintética de f entre x  (4) nos da Figura 3 f (x) 4 2 2 5 8 7 8 12 16 3 4 23 Como los números de la tercera fila son alternativamente positivos y negativos, se deduce de la parte (2) del teorema precedente que 4 es un límite inferior para las soluciones reales. Esto también se puede demostrar al expresar la división entre x  4 en la forma x f (x)  2x 3  5x 2  8x  7 2x 3  5x 2  8x  7  x  42x 2  3x  4  23, porque si x 4, entonces el lado derecho de esta ecuación es negativo (¿por qué?) y por tanto f (x) no es cero. Como los límites inferior y superior para las soluciones reales son 4 y 2, respectivamente, se deduce que todas las soluciones reales están en el intervalo cerrado [4, 2]. La gráfica de f en la figura 3 muestra que los tres ceros de f están en los intervalos [4,3], [1, 0], y [1, 2], respectivamente. L Cuando se use una calculadora graficadora, el siguiente teorema es útil para hallar una pantalla que muestre todos los ceros de un polinomio. Segundo teorema sobre límites para ceros reales de polinomios Suponga que f x  an x n  an1 x n1      a1 x  a0 es un polinomio con coeficientes reales. Todos los ceros reales de f (x) están en el intervalo M, M, donde M  máx an , an1 , . . . , a1 , a0 an   1. En otras palabras, el valor de M es igual a la razón entre el máximo coeficiente (en magnitud) y el valor absoluto del coeficiente principal, más 1. Por ejemplo, usando el polinomio f(x)  2x3  5x2  8x  7 del ejemplo 5, tenemos 8 M  1  4  1  5. 2 276 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Cuando se usa una calculadora graficadora sólo para hallar los ceros de un polinomio f (x), no es necesario ver los puntos extremos del polinomio. Por lo tanto, se podría empezar a buscar los ceros de f (x) usando las dimensiones de pantalla M, M por 1, 1. Al trazar Y1  f (x)  2x3  5x2  8x  7 (del ejemplo 5) en la pantalla [5, 5] por [1, 1, 0.5] de la figura 4, casi se puede “ver muy de cerca” las soluciones aproximadas 3.4, 0.7, y 1.5. Figura 4 5, 5 por 1, 1, 0.5 EJEMPLO 6 Figura 5 4, 4 por 35, 35, 5 Hallar un polinomio a partir de una gráfica En la figura 5 se muestran todos los ceros de una función polinomial f. (a) Encuentre una forma factorizada para f que tenga grado mínimo. (b) Suponiendo que el coeficiente principal de f sea 1, encuentre el punto de intersección con el eje y. SOLUCIÓN (a) El cero en x  2 debe tener una multiplicidad que sea un número par, porque f no cambia signo en x  2. El cero en x  1 debe tener una multiplicidad impar de 3 o mayor, porque f cambia de signo en x  1 y se nivela. El cero en x  3 es de multiplicidad 1, porque f cambia signo y no se nivela. Por lo tanto, una forma factorizada de f es f x  ax  2mx  1nx  31. Como deseamos que la función tenga grado mínimo, hacemos m  2 y n  3, obteniendo fx  ax  22x  13x  3, que es un polinomio de sexto grado. (b) Si el coeficiente principal de f debe ser 1, entonces, del teorema de factorización completa para polinomios, sabemos que el valor de a es 1. Para hallar el punto de intersección con el eje y, hacemos x  0 y calculamos f(0): f0)  10  220  130  3  1413  12 Por tanto, el punto de intersección con el eje y es 12. L 4.3 Ceros de polinomios EJEMPLO 7 277 Explorar la gráfica de un polinomio Figura 6 Encuentre los ceros de f x  x 3  1000x 2  x  1000. 15, 15 por 10, 10 SOLUCIÓN Asignamos f (x) a Y1 y usamos una pantalla estándar para obtener la figura 6. Parece que el 1 es una raíz de f y podemos demostrar este hecho con división sintética: 1 1 1000 1 1 999 1 999 1000 1000 1000 0 Usando la ecuación reducida, x2  999x  1000  0, podemos también demostrar que 1 es una raíz de f: 1 1 999 1000 1 1000 1 1000 0 Para la última división sintética, vemos que x  1000 es un factor de f y por tanto la tercera raíz es 1000. Debido a los tamaños relativos de las raíces 1 y 1000, es muy difícil obtener una pantalla que muestre los tres ceros. No obstante, al ajustar Xmín a 50, Xmáx a 1050 y Xscl a 100 y usando ZoomFit (selección 0 en la TI-83/4 Plus o F1 bajo el segundo submenú del menú ZOOM de la TI-86), obtenemos el trazo de f en la figura 7, mostrando sus ceros y puntos extremos. Ahora compruebe los valores de Ymín y Ymáx para ver la pantalla necesaria. Usando ZoomFit 50, 1050, 100 por ?, ?, ? Figura 7 L 4.3 Ejercicios Ejer. 1-6: Encuentre un polinomio f(x) de grado 3 que tenga los ceros indicados y satisfaga las condiciones dadas. 3 4, 3, 0; f 2  36 3x 3  3x 2  36x 1 1, 2, 3; f 2  80 4x 3  16x 2  4x  24 4 3, 2, 0; f 4  16 2x 3  10x 2  12x 2 5, 2, 4; f 3  24 3x 3  3x 2  66x  120 5 2i, 2i, 3; f 1  20 2x 3  6x 2  8x  24 278 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 6 3i, 3i, 4; f 1  50 x 3  4x 2  9x  36 7 Encuentre un polinomio f(x) de grado 4 con coeficiente principal 1 tal que 4 y 3 sean ceros de multiplicidad 2, y trace la gráfica de f. Ejer. 13-14: Encuentre la función con polinomio de grado 3 cuya gráfica se muestra en la figura. 13 y 8 Encuentre un polinomio f(x) de grado 4 con coeficiente principal 1 tal que 5 y 2 sean ceros de multiplicidad 2, y trace la gráfica de f. 9 Encuentre un polinomio f(x) de grado 6 tal que 0 y 3 sean ceros de multiplicidad 3 y f(2)  24. Trace la gráfica de f. 10 Encuentre un polinomio f(x) de grado 7 tal que 2 y 2 sean ceros de multiplicidad 2, 0 es un cero de multiplicidad 3 y f(1)  27. Trace la gráfica de f. x 11 Encuentre la función con polinomio de tercer grado cuya gráfica se ilustra en la figura. f x  1x  12x  3 y 14 y (0, 3.5) x (1.5, 0) x (1,3) 12 Encuentre la función con polinomio de cuarto grado cuya gráfica se ilustra en la figura. f x  1x  22x  4 Ejer. 15-22: Encuentre los ceros de f(x) y exprese la multiplicidad de cada cero. y 15 f x  x 23x  22x  53  32 mult. 1; 0 mult. 2; 52 mult. 3 (1, 4) 16 f x  xx  143x 7 72 1 mult. 4; 0 mult. 1; 3 mult. 2 x 3 17 f x  4x 5  12x 4  9x 3  2 mult. 2; 0 mult. 3 1 18 f x  4x 2  52 2 25 each of mult. 2 4.3 Ceros de polinomios 19 f x  x 2  x  123x 2  92 279 37 x 4  x 3  2x 2  3x  6  0 Upper, 2; lower, 2 4 mult. 3; 3 mult. 2; 3 mult. 5 20 f x  6x 2  7x  544x 2  12  35 mult. 4;  21 38 2x 4  9x 3  8x  10  0 Upper, 5; lower, 1 1 2 mult. 2; mult. 6 21 f x  x 4  7x 2  144 4i, 3 each of mult. 1 39 2x 5  13x 3  2x  5  0 Upper, 3; lower, 3 22 f x  x 4  21x 2  100 5i, 2 each of mult. 1 40 3x 5  2x 4  x 3  8x 2  7  0 Upper, 2; lower, 1 Ejer. 23-26: Demuestre que el número es un cero de f(x) de la multiplicidad dada y exprese f (x) como producto de factores lineales. Ejer. 41-42: Encuentre una forma factorizada para una función polinomial f que tenga un grado mínimo. Suponga que los valores de puntos de intersección son enteros y que Xscl ⴝ Yscl ⴝ 1. 23 f x  x 4  7x 3  13x 2  3x  18; 3 (multiplicidad 2) f x  x  32x  2x  1 24 f x  x 4  9x 3  22x 2  32; 41 4 (multiplicidad 2) f x  x  42x  2x  1 25 f x  x 6  4x 5  5x 4  5x 2  4x  1; 1 (multiplicidad 5) f x  x  15x  1 26 f x  x 5  x 4  6x 3  14x 2  11x  3; 1 (multiplicidad 4) 4 f x  x  1 x  3 Ejer. 27-34: Use la regla de signos de Descartes para determinar el número de posibles soluciones positivas, negativas y complejas de la ecuación. 27 4x 3  6x 2  x  3  0 3, 0, 0 or 1, 0, 2 f x   41 x  12x  1x  23 42 28 5x 3  6x  4  0 1, 2, 0 or 1, 0, 2 29 4x  2x  1  0 0, 1, 2 3 2 30 3x 3  4x 2  3x  7  0 2, 1, 0 or 0, 1, 2 31 3x 4  2x 3  4x  2  0 2, 2, 0; 2, 0, 2; 0, 2, 2; 0, 0, 4 32 2x 4  x 3  x 2  3x  4  0 4, 0, 0; 2, 0, 2; 0, 0, 4 33 x  4x  3x  4x  2  0 2, 3, 0; 2, 1, 2; 0, 3, 2; 0, 1, 4 5 4 3 34 2x 6  5x 5  2x 2  3x  4  0 2, 2, 2; 2, 0, 4; 0, 2, 4; 0, 0, 6 Ejer. 35-40: Aplicando el primer teorema sobre límites para ceros reales de polinomios, determine los enteros mínimos y máximos que son límites superiores e inferiores, respectivamente, para las soluciones reales de la ecuación. Con ayuda de una calculadora graficadora, analice la validez de los límites. f x  18 x  2x  1x  22 Ejer. 43-44: (a) Encuentre una forma factorizada para una función polinomial f que tenga un grado mínimo. Suponga que los valores de puntos de intersección son enteros, Xscl ⴝ 1 y Yscl ⴝ 5. (b) Si el coeficiente principal de f es a, encuentre el punto de intersección con el eje y. 43 a  1 35 x 3  4x 2  5x  7  0 Upper, 5; lower, 2 36 2x 3  5x 2  4x  8  0 Upper, 3; lower, 1 f x  ax  33x  1x  22; 108 280 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Ejer. 53-54: Grafique f para cada valor de n en el mismo plano de coordenadas, y describe la forma en que la multiplicidad de un cero afecta la gráfica de f. 44 a  1 53 f x  x  0.5nx 2  1; n  1, 2, 3, 4 54 f x  x  1nx  1n; n  1, 2, 3, 4 Ejer. 55-56: Grafique f, estime todos los ceros reales, y determine la multiplicidad de cada cero. 55 f x  x 3  1.3x 2  1.2x  1.584 1.2 mult. 2; 1.1 mult. 1 f x  ax  2 x  3 ; 72 3 2 Ejer. 45-46: La función polinomial f tiene sólo ceros reales. Use la gráfica de f para factorizarla. 1 19 9 405 675 56 f x  x 5  4 x 4  8 x 3  32 x 2  256 x  1024 45 f x  x  16.75x  12.75x  49.5x  54 57 Efecto invernadero Debido a la quema de combustibles fósiles, la concentración de dióxido de carbono en la atmósfera está creciendo. Investigaciones realizadas indican que esto resultará en un efecto invernadero que cambiará el promedio de temperatura de la superficie terrestre. Suponiendo una vigorosa expansión de uso de carbón, la cantidad futura A(t) de concentración de dióxido de carbono en la atmósfera se puede aproximar (en partes por millón) con 5 3 2 f x  x  4x  2x  1.52x  3 46 f x  x 5  2.5x 4  12.75x 3  19.625x 2  27.625x  7.5 f x  x  3x  0.52x  2.5x  4 Ejer. 47-50: ¿Hay un polinomio del grado dado n cuya gráfica contenga los puntos indicados? 47 n  4; 2, 0, 0, 24, 1, 0, 3, 0, 2, 0, 1, 52 No 48 n  5; 0, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 5, 1, 2 Yes; 18 xx  3x  1x  2x  3 49 n  3; 1.1, 49.815, 2, 0, 3.5, 25.245, 5.2, 0, 6.4, 29.304, 10.1, 0 Yes; 1.5x  2x  5.2x  10.1 50 n  4; 1.25, 0, 2, 0, 2.5, 56.25, 3, 128.625, 6.5, 0, 9, 307.75, 10, 0 No 51 Uso de datos limitados Un científico tiene datos limitados sobre la temperatura T (en °C) durante un periodo de 24 horas. Si t denota el tiempo en horas y t  0 corresponde a la media noche, encuentre el polinomio de cuarto grado que ajuste la información en la tabla siguiente. t (horas) 0 5 12 T (°C) 0 0 10 1 2 1 3 At  2400 t  20 t  76 t  340, donde t es en años, t  0 corresponde a 1980, y 0 t 60. Use la gráfica de A para estimar el año cuando la concentración de dióxido de carbono será de 400. 2007 (when t  27.1) 58 Efecto invernadero El promedio de aumento en la temperatura de la superficie terrestre debido al efecto invernadero se puede aproximar con Tt  21 127 1293 t3  t2  t, 5,000,000 1,000,000 50,000 donde 0 t 60 y t  0 corresponde a 1980. Use la gráfica de T para estimar el año cuando el promedio de temperatura habrá subido 1°C. 2017 Ejer. 59-60: El promedio de temperaturas mensuales en °F para dos lugares en Canadá aparecen en las tablas siguientes. 19 24 0 0 52 Polinomio de interpolación de Lagrange Un polinomio f(x) de grado 3 con ceros en c1, c2 y c3 y con f(c)  1 para c2 c c3 y con f (c)  1 para c1, c2 y c3 es un polinomio de interpolación de Lagrange de tercer grado. Encuentre una fórmula explícita para f(x) en términos de c1, c2, c3 y c. f x  0.75 mult. 3; 1.25 mult. 2 1 x  c1x  c2x  c3 c  c1c  c2c  c3 Mes Ene. Feb. Mar. Abr. Arctic Bay 22 26 18 4 Trout Lake 11 6 7 25 Mes May. Jun. Jul. Ago. Arctic Bay 19 36 43 41 Trout Lake 39 52 61 59 4.4 Ceros complejos y racionales de polinomios Mes Sept. Oct. Nov. Dic. Arctic Bay 28 12 8 17 Trout Lake 48 34 16 4 60 Temperaturas en Trout Lake (1) f x  2.14x 2  28.01x  55 (3) (2) gx  0.22x 3  1.84x 2  11.70x  29.90 2 (a) Si el 15 de enero corresponde a x ⴝ 1, el 15 de febrero a x ⴝ 2, . . . , y el 15 de diciembre a x  12, determine gráficamente cuál de los tres polinomios dados modela mejor los datos. (b) Use el teorema del valor intermedio para funciones con polinomios para aproximar un intervalo para x cuando se presenta un promedio de temperatura de 0°F. (c) Use su selección de la parte (a) para estimar x cuando el promedio de temperatura es 0°F. 59 Temperaturas en Arctic Bay 5 and 10 x 11 (3) hx  0.089x 4  2.55x 3  22.48x 2  59.68x  19 4.02, 10.53 4.4 Ceros complejos y racionales de polinomios Teorema sobre ceros de pares conjugados de un polinomio 3 and 11 x 12 2.54, 11.42 Ejer. 61-62: Una esfera de madera sólida, cuya densidad es menor a la del agua, flotará. La profundidad d a la que la esfera se hundirá en el agua está determinada por la ecuación 4k 1 ␲ r 3 ⴚ ␲ d 2r ⴙ ␲ d 3 ⴝ 0, 3 3 donde r es el radio de la esfera y k es una constante positiva menor o igual a 1. Si r ⴝ 6 cm, gráficamente estime d para cada constante k. 62 Esfera de roble en agua k  0.85 9.07 cm (2) gx  0.23x 3  2.53x 2  3.6x  36.28 x x (3) hx  0.046x 4  1.39x 3  11.81x 2  22.2x  1.03 61 Esfera de pino en agua k  0.7 7.64 cm (1) f x  1.97x 2  28x  67.95 (3) 4 281 63 Consulte los ejercicios 61 y 62. El agua tiene un valor k de 1. Si una esfera de radio 6 tiene un valor k de 1, ¿cuál es el valor resultante de d? Interprete este resultado. 12 cm El ejemplo 3 de la sección anterior ilustra un dato importante acerca de polinomios con coeficientes reales: Los dos ceros complejos 2  3i y 2  3i de x5  4x4  13x3 son conjugados entre sí. La relación no es accidental, puesto que el siguiente resultado general es verdadero. Si un polinomio f(x) de grado n 1 tiene coeficientes reales y si z  a  bi con b  0 es un cero complejo de f(x), entonces el conjugado z  a  bi es también un cero de f(x). Una prueba se deja como ejercicio de análisis al final del capítulo. EJEMPLO 1 Hallar un polinomio con ceros prescritos Encuentre un polinomio f(x) de grado 4 que tenga coeficientes reales y ceros 2  i y 3i. SOLUCIÓN Por el teorema sobre ceros de par conjugado de un polinomio, f (x) también debe tener ceros 2  i y 3i. Aplicando el teorema del factor, encontramos que f (x) tiene los siguientes factores: x  2  i, x  2  i, x  3i, x  3i (continúa) 282 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Multiplicando estos cuatro factores tendremos f x  x  2  ix  2  ix  3ix  3i  x 2  4x  5x 2  9  x 4  4x 3  14x 2  36x  45. (*) L Nótese que en (*) el símbolo i no aparece. Esto no es coincidencia, porque si a  bi es un cero de un polinomio con coeficientes reales, entonces a  bi es también un cero y podemos multiplicar los factores asociados como sigue: x  a  bix  a  bi  x 2  2ax  a2  b2 En el ejemplo 1 tenemos a  2 y b  1, de modo que 2a  4 y a2  b2  5 y el factor cuadrático asociado es x2  4x  5. Este factor cuadrático resultante siempre tendrá coeficientes reales, como se indica en el teorema siguiente. Teorema sobre la expresión de un polinomio como producto de factores lineales y cuadráticos Todo polinomio con coeficientes reales y n de grado positivo se pueden expresar como un producto de polinomios lineales y cuadráticos con coeficientes reales tales que los factores cuadráticos son irreducibles sobre ⺢. Como f (x) tiene precisamente n ceros complejos c1, c2, . . . , cn, podemos escribir DEMOSTRAC IÓN f x  ax  c1x  c2    x  cn, donde a es el coeficiente principal de f (x). Por supuesto que algunos de los ceros pueden ser reales, en cuyos casos obtenemos factores lineales referidos a un enunciado del teorema. Si un cero ck no es real, entonces, por el teorema sobre ceros de par conjugado de un polinomio, el conjugado ck es también un cero de f (x) y por tanto debe ser uno de los números c1, c2, . . . , cn. Esto implica que x  ck y x  ck aparezcan en la factorización de f(x). Si esos factores se multiplican, obtenemos x  ckx  ck   x 2  ck  ck x  ck ck , que tiene coeficientes reales, porque ck  ck y ck ck son números reales. Así, si ck es un cero complejo, entonces el producto x  ckx  ck  es un polinomio cuadrático que es irreducible sobre ⺢. Esto completa la demostración. L EJEMPLO 2 Expresar un polinomio como producto de factores lineales y cuadráticos Exprese x5  4x3  x2  4 como un producto de (a) polinomios lineales y cuadráticos con coeficientes reales que son irreducibles sobre ⺢ (b) polinomios lineales 4.4 Ceros complejos y racionales de polinomios 283 SOLUCIÓN (a) x 5  4x 3  x 2  4  x 5  4x 3  x 2  4 agrupar términos 3 2 2  x x  4  1x  4 factorizar x 3  x 3  1x 2  4 factorizar x 2  4  x  1x 2  x  1x  2x  2 factorizar como la suma de cubos y la diferencia de cuadrados Usando la fórmula cuadrática, vemos que el polinomio x2  x  1 tiene los ceros complejos 1  212  411 1  23i 1 23    i 21 2 2 2 y por tanto es irreducible sobre ⺢. Entonces, la factorización deseada es x  1x 2  x  1x  2x  2. 1 b) Como el polinomio x2  x  1 del inciso a tiene ceros 2   232 i, se deduce del teorema del factor que el polinomio tiene factores x   1 23  i 2 2 y x   1 23  i . 2 2 Sustituyendo en la factorización hallada del inciso a, obtenemos la siguiente factorización completa en polinomios lineales:  x  1 x   1 23  i 2 2 x  1 23  i x  2x  2 2 2 L Previamente señalamos que por lo general es muy difícil hallar los ceros de un polinomio de grado superior. Si todos los coeficientes son enteros, no obstante, hay un método para hallar los ceros racionales, si existen. El método es una consecuencia del siguiente resultado. Teorema sobre ceros racionales de un polinomio Si el polinomio f x  an x n  an1x n1      a1x  a0 tiene coeficientes enteros y si c/d es un cero racional de f (x) tal que c y d no tienen factor primo común, entonces (1) el numerador c del cero es un factor del término constante a0 (2) el denominador d del cero es un factor del coeficiente principal an D E M O S T R A C I Ó N Suponga que c 0. (La demostración para c 0 es similar.) Demostremos que c es un factor de a0. El caso c  1 es trivial, porque 1 es un factor de cualquier número. Así, suponga que c  1. En este caso, (continúa) 284 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES c  1, obtenemos c  d y como c y d no tienen factor d primo en común, esto implica que c  d  1, una contradicción. Por tanto, en el siguiente análisis tenemos c  1 y c  d. Como f cd  0, cd 苷 1, porque si an cn c n1 c  an1 n1      a1  a0  0. n d d d Multiplicamos por dn y luego sumamos –a0 dn a ambos lados: anc n  an1c n1d      a1cd n1  a0 d n canc n1  an1c n2d      a1d n1  a0 d n La última ecuación muestra que c es un factor del entero a0dn. Como c y d no tienen factor común, c es un factor de a0. Un argumento similar se puede usar para demostrar que d es un factor de an. L Como ayuda para hacer una lista de posibles ceros racionales, recuerde el siguiente cociente: Posibles ceros racionales  factores del término constante a0 factores del coeficiente principal an El teorema de ceros racionales de un polinomio se puede aplicar a ecuaciones con coeficientes racionales, con sólo multiplicar ambos lados de la ecuación por el mcd de todos los coeficientes, para obtener una ecuación con coeficientes enteros. EJEMPLO 3 Mostrar que un polinomio no tiene ceros racionales Demuestre que f (x)  x3  4x  2 no tiene ceros racionales. SOLUCIÓN Si f (x) tiene un cero racional c/d tal que c y d no tengan factor primo común, entonces, por el teorema sobre ceros racionales de un polinomio, c es un factor del término constante 2 y por tanto es 2 o 2 (que escribimos como 2) o 1. El denominador d es un factor del coeficiente principal 1 y por lo tanto es 1. Entonces, las únicas posibilidades para c/d son 1 1 y 2 1 o, bien, lo que es equivalente, 1 y 2. Sustituyendo cada uno de estos números por x, obtenemos f 1  5, f 1  1, f 2  2, y f2  2. Como f1 苷 0 y f 2 苷 0, se deduce que f x no tiene ceros racionales. L 4.4 Ceros complejos y racionales de polinomios 285 En la solución del siguiente ejemplo suponemos que no se dispone de una calculadora graficadora. En el ejemplo 5 volveremos a trabajar el problema para demostrar la ventaja de usar una calculadora graficadora. EJEMPLO 4 Hallar las soluciones racionales de una ecuación Encuentre todas las soluciones racionales de la ecuación 3x 4  14x 3  14x 2  8x  8  0. SOLUCIÓN El problema es equivalente a hallar los ceros racionales del polinomio del lado izquierdo de la ecuación. Si c/d es un cero racional y c y d no tienen factor común, entonces c es un factor del término constante 8 y d es un factor del coeficiente principal 3. Todas las selecciones posibles aparecen en la tabla siguiente. Opciones para el numerador c 1, 2, 4, 8 Opciones para el denominador d 1, 3 Opciones para cd 1, 2, 4, 8,  31 ,  32 ,  34 ,  38 Podemos reducir el número de selecciones al hallar límites superior e inferior para las soluciones reales, pero aquí no lo haremos. Es necesario determinar cuál de las selecciones para c/d, si las hay, son ceros. Vemos por sustitución que ni 1 ni 1 es una solución. Si dividimos sintéticamente entre x  2 obtenemos 2 3 3 14 6 8 14 8 8 16 4 8 2 4 0 Este resultado muestra que 2 es un cero. Además, la división sintética da los coeficientes del cociente en la división del polinomio entre x  2. Por lo tanto, tenemos la siguiente factorización del polinomio dado: x  23x 3  8x 2  2x  4 Las soluciones restantes de la ecuación deben ser ceros del segundo factor, de modo que usamos ese polinomio para comprobar las soluciones, No use el polinomio de la ecuación original. (Nótese que  38 ya no son candidatos, porque el numerador debe ser un factor de 4.) De nuevo procediendo por prueba y error, finalmente hallamos que la división sintética entre x  32 nos da el siguiente resultado:  32 3 8 2 2 4 3 6 6 Por lo tanto,  32 también es un cero. 4 4 0 (continúa) 286 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Usando los coeficientes del cociente, sabemos que los ceros restantes son soluciones de la ecuación 3x2  6x  6  0. Dividiendo ambos lados entre 3 nos da la ecuación equivalente x2  2x  2  0. Por la fórmula cuadrática, esta ecuación tiene soluciones 2  222  412 2  212 2  2 23    1  23. 21 2 2 Por lo tanto, el polinomio dado tiene dos raíces racionales, 2 y  32 y dos raíces irracionales, 1  23  0.732 y 1  23  2.732. L EJEMPLO 5 Hallar las soluciones racionales de una ecuación Encuentre todas las soluciones racionales de la ecuación 3x 4  14x 3  14x 2  8x  8  0. SOLUCIÓN Asignando el polinomio indicado a Y1 y escogiendo la pantalla [7.5, 7.5] por [5, 5], obtenemos un trazo semejante a la figura 1. La gráfica indica que 2 es una solución y que hay una solución en cada uno de los intervalos (3, 2),(1, 0), y (0, 1). Del ejemplo 4 sabemos que los posibles ceros racionales son Figura 1 7.5, 7.5 por 5, 5 1, 2, 4, 8,  31,  32,  34,  38. Concluimos que las únicas posibilidades son  38 en 3, 2,  32 en 1, 0, y 32 en 0, 1. Así, al consultar la gráfica, hemos reducido el número de selecciones para ceros de 16 a tres. La división sintética se puede usar ahora para determinar que las únicas soluciones racionales son 2 y  32. L EJEMPLO 6 Figura 2 Un silo para granos tiene la forma de un cilindro circular recto con una semiesfera unida en la parte superior. Si la altura total de la estructura es de 30 pies, encuentre el radio del cilindro que resulte en un volumen total de 1008p pies3. x 30 30  x x Hallar el radio de un silo para granos SOLUCIÓN Con x denotemos el radio del cilindro, como se muestra en la figura 2. El volumen del cilindro es r 2h  x 230  x y el volumen de la semiesfera es 23 r 3  32 x 3, de modo que despejamos x como sigue: x 230  x  23 x 3  1008 el volumen total es 1008 3x 230  x  2x 3  3024 multiplique por 90x 2  x 3  3024 x 3  90x 2  3024  0 simplifique 3  ecuación equivalente Como el coeficiente principal del polinomio del lado izquierdo de la última ecuación es 1, cualquier raíz racional tiene la forma c/1  c, donde c es un fac- 4.4 Ceros complejos y racionales de polinomios 287 tor de 3024. Si factorizamos 3024 en primos, encontramos que 3024  24  33  7. Se deduce que algunos de los factores positivos de 3024 son 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, .... Para ayudar a decidir cuál de estos números probar primero, hagamos una estimación aproximada del radio al suponer que el silo tiene forma de cilindro circular recto de 30 pies de altura. En ese caso, el volumen sería r 2h  30r 2. Como este volumen debe ser cercano a 1008, vemos que 30r 2  1008, o r 2  100830  33.6. Esto sugiere que usaremos 6 en nuestra primera división sintética, como sigue: Figura 3 6 1 90 0 3024 6 504 3024 1 84 504 0 0, 10 por 0, 4000, 500 Por lo tanto, 6 es una solución de la ecuación x3  90x2  3024  0. Las dos soluciones restantes de la ecuación se pueden hallar al resolver la ecuación reducida x2  84x  504  0. Estos ceros son aproximadamente 5.62 y 89.62, ninguno de los cuales satisface las condiciones del problema. En consecuencia, el radio deseado es 6 pies. La gráfica de f(x)  x3  90x2  3024 de la figura 4 muestra el cero x  6. Una gráfica prolongada también indicaría los otros dos ceros. L 4.4 Ejercicios Ejer. 1-10: Un polinomio f(x) con coeficientes reales y coeficiente principal 1 tiene el cero (o ceros) y grado dados. Exprese f(x) como producto de polinomios lineales y cuadráticos con coeficientes reales que sean irreducibles sobre ⺢. Ejer. 11-14: Demuestre que la ecuación no tiene raíz racional. 11 x 3  3x 2  4x  6  0 1, 2, 3, 6 1 5 12 3x 3  4x 2  7x  5  0 1, 3 , 5, 3 1 3  2i; grado 2 x 2  6x  13 2 4  3i; grado 2 x 2  8x  25 3 2, 2  5i; grado 3 x  2x 2  4x  29 4 3, 1  7i; grado 3 x  3x  2x  50 15 x 3  x 2  10x  8  0 2, 1, 4 5 1, 0, 3  i; grado 4 xx  1x 2  6x  10 16 x 3  x 2  14x  24  0 3, 2, 4 6 0, 2, 2  i; grado 4 xx  2x 2  4x  5 5 17 2x 3  3x 2  17x  30  0 3, 2, 2 7 4  3i, 2  i; grado 4 x 2  8x  25x 2  4x  5 2 1 18 12x 3  8x 2  3x  2  0  3 ,  2 8 3  5i, 1  i; grado 4 x 2  6x  34x 2  2x  2 19 x 4  3x 3  30x 2  6x  56  0 7,  22, 4 9 0, 2i, 1  i; grado 5 xx 2  4x 2  2x  2 20 3x 5  10x 4  6x 3  24x 2  11x  6  0 10 0, 3i, 4  i; 2 grado 5 xx 2  9x 2  8x  17 13 x 5  3x 3  4x 2  x  2  0 1, 2 1 7 14 2x 5  3x 3  7  0 1, 2 , 7, 2 Ejer. 15-24: Encuentre todas las soluciones de la ecuación. 1 mult. 2, 31 , 2, 3 288 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 2 1 21 6x 5  19x 4  x 3  6x 2  0 3, 3 , 0 mult. 2, 2 1 3 22 6x 4  5x 3  17x 2  6x  0 2,  3 , 0, 2 3 3 3 23 8x 3  18x 2  45x  27  0  4 ,  4  4 27i 24 3x 3  x 2  11x  20  0 4 3, 21  21 219i Ejer. 25-26: Encuentre una forma factorizada con coeficientes enteros del polinomio f que se muestra en la figura. Suponga que Xscl ⴝ Yscl ⴝ 1. 25 f x  6x 5  23x 4  24x 3  x 2  12x  4 32 Si un polinomio de la forma x n  an1x n1    a1x  a0, donde cada ak es un entero, tiene una raíz racional r, demuestre que r es un entero y es factor de a0. 33 Construcción de una caja De una pieza rectangular de cartón que tiene dimensiones 20  30 pulgadas, se ha de hacer una caja abierta al quitarle cuadrados de área a2 de cada esquina y voltear hacia arriba los lados. (Vea ejercicio 41 de la Sección 4.1.) (a) Demuestre que hay dos cajas que tienen un volumen de 1000 pulgadas cúbicas. (b) ¿Cuál caja tiene la menor área superficial? 34 Construcción de una reja de embarque El bastidor para una reja de embarque se va a construir con madera de 2  2 pulgadas por 24 pies de largo. Suponiendo que la reja debe tener extremos cuadrados de x pies de longitud, determine el valor(es) de x que resulte(n) en un volumen de 4 pies3. (Vea el ejercicio 42 de la sección 4.1.) f x  3x  22x  1x  12x  2 26 f x  6x 5  5x 4  14x 3  8x 2  8x  3 35 Un triángulo rectángulo tiene área de 30 pies2 y una hipotenusa que mide 1 pie más que uno de sus lados. (a) Si x denota la longitud de este lado, entonces demuestre que 2x3  x2  3600  0. (b) Demuestre que hay una raíz positiva de la ecuación en el inciso a y que esta raíz es menor a 13. (c) Encuentre las longitudes de los lados del triángulo. f x  x  123x  11  x2x  3 Ejer. 27-28: La función polinomial f tiene sólo ceros reales. Use la gráfica de f para factorizarla. 27 f x  2x 3  25.4x 2  3.02x  24.75 f x  2x  0.9x  1.1x  12.5 28 f x  0.5x 3  0.65x 2  5.365x  1.5375 f x  0.5x  4.1x  0.3x  2.5 29 ¿Existe un polinomio de grado 3 con coeficientes reales que tenga ceros 1, 1 e i? Justifique su respuesta. 30 El polinomio f (x)  x3  ix2  2ix  2 tiene el número complejo i como cero, pero el conjugado –i de i no es cero. ¿Por qué este resultado no contradice el teorema sobre ceros de par conjugado de un polinomio? 31 Si n es un entero positivo impar, demuestre que un polinomio de grado n con coeficiente real tiene al menos un cero real. 36 Construcción de un tanque de almacenamiento Un tanque de almacenamiento para gas propano se va a construir en forma de cilindro circular recto de 10 pies de altura, con una semiesfera unida en cada extremo. Determine el radio x para que el volumen resultante sea de 27 ft3. (Vea ejemplo 8 de la sección 3.4.) 37 Construcción de un cobertizo de almacenamiento Un cobertizo de almacenamiento se va a construir en forma de cubo con un prisma triangular formando el techo (vea la figura). La longitud x de un lado del cubo está por determinarse. (a) Si la altura total de la estructura es 6 pies, demuestre que su volumen V está dado por V  x 3  12 x 26  x. (b) Determine x para que el volumen sea de 80 pies3. 4.5 Funciones racionales 289 Ejer. 39-40: Use una gráfica para determinar el número de soluciones no reales de la ecuación. Ejercicio 37 39 x 5  1.1x 4  3.21x 3  2.835x 2  2.7x  0.62  1 None 6 40 x 4  0.4x 3  2.6x 2  1.1x  3.5  2 Two Ejer. 41-42: Use una gráfica y división sintética para hallar todas las soluciones de la ecuación. 41 x 4  1.4x 3  0.44x 2  0.56x  0.96  0 x 1.2, 0.8,  1 23  i 2 2 42 x 5  1.1x 4  2.62x 3  4.72x 2  0.2x  5.44  0 1.7, 1, 1.6, 1  i 38 Diseño de una tienda Una tienda de campaña, hecha de lona, se va a construir en forma de pirámide con base cuadrada. Un poste de 8 pies formará el soporte del centro, como se ilustra en la figura. Encuentre la longitud x de un costado de la base para que la cantidad total de lona necesaria para los costados y fondo sea de 384 pies2. 12 43 Densidad atmosférica La densidad D(h) (en kg/m3) de la atmósfera terrestre a una altitud de h metros se puede aproximar con Dh  1.2  ah  bh2  ch3, donde a  1.096  104, b  3.42  109, c  3.6  1014, Ejercicio 38 y 0 h 30,000. Use la gráfica de D para aproximar la altitud h a la que la densidad sea 0.4. 10,200 m 8 44 Densidad de la Tierra La densidad de la Tierra D(h) (en g/cm3) h metros bajo la superficie se puede aproximar con Dh  2.84  ah  bh2  ch3, donde a  1.4  103, b  2.49  106, c  2.19  109, y 0 h 1000. Use la gráfica de D para aproximar la profundidad h a la que la densidad de la tierra sea 3.7. x 418 m 4.5 Una función f es una función racional si f x  Funciones racionales gx , hx donde g(x) y h(x) son polinomios. El dominio de f está formado por todos los números reales excepto los ceros del denominador h(x). ILUSTRACIÓN Funciones racionales y sus dominios f x  1 ; dominio: toda x excepto x  2 x2 (continúa) 290 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Figura 1 y (2, 4) f x  5x ; dominio: toda x excepto x   3 x2  9 f x  x3  8 ; dominio: todos los números reales x x2  4 Previamente simplificamos expresiones racionales como sigue: x2  4 f (x)  x2 si x 苷 2 x x2 para x  2 Figura 2 pixel faltante Figura 3 x  4 x  2x  2 x  2   x2 x2 x2 1 x2  4 Si hacemos fx  y g(x)  x  2, entonces el dominio de f es toda x x2 excepto x  2 y el dominio de g es todos los números reales. Estos dominios y la simplificación indicada líneas antes sugiere que las gráficas de f y g son iguales excepto para x  2. ¿Qué ocurre a la gráfica de f en x  2? Hay un hueco en la gráfica, es decir, un solo punto está faltante. Para hallar el valor de y del hueco, podemos sustituir 2 por x en la función reducida, que es simplemente g(2)  4. Una gráfica de f se muestra en la figura 1. Para alertar al usuario de la presencia de un hueco en la gráfica, algunas calculadoras graficadora en realidad dibujan un hueco, como en la figura 1; otras simplemente omiten un píxel, como en la figura 2. La comprobación de una tabla de valores para f (figura 3) indica que f está indefinida para x  2. Ahora llevamos nuestra atención a funciones racionales que no tienen un factor común en el numerador y el denominador. Al trazar la gráfica de una función racional f, es importante contestar las dos preguntas siguientes. 2 Pregunta 1 ¿Qué se puede decir de los valores de función f(x) cuando x está cercana (pero no es igual) a un cero del denominador? Pregunta 2 ¿Qué se puede decir de los valores de función f (x) cuando x es positiva grande o cuando x es negativa grande? Como veremos, si a es un cero del denominador, una de varias situaciones ocurre con frecuencia. Éstas se ven en la figura 4, donde hemos empleado notaciones de la siguiente tabla. Notación x l a x l a f x l  f x l  Terminología x se aproxima a a desde la izquierda (valores menores a a). x se aproxima a a desde la derecha (valores mayores a a). f x aumenta sin límite (puede ser tan positiva como se desee). f x disminuye sin límite (puede ser tan negativa como se desee). 4.5 Funciones racionales Figura 4 f x l  cuando x l a f x l  cuando x l a y f x l  cuando x l a y xa 291 f x l  cuando x l a y y xa y  f (x) a y  f (x) a x a a x y  f (x) x y  f (x) x xa xa Los símbolos  (léase “infinito”) y  (léase “menos infinito”) no representan números reales; simplemente especifican ciertos tipos de comportamiento de funciones y variables. La recta punteada x  a de la figura 4 se denomina asíntota vertical, como en la siguiente definición. Definición de asíntota vertical La recta x  a es una asíntota vertical para la gráfica de una función f si f x l  o f x l  cuando x se aproxima a a ya sea de la izquierda o la derecha. Así, la respuesta a la pregunta 1 es que si a es un cero del denominador de una función racional f, entonces la gráfica de f puede tener una asíntota vertical x  a. Hay funciones racionales donde éste no es el caso (como en la figura 1 de esta sección). Si el numerador y denominador no tienen factor común, entonces f debe tener una asíntota vertical x  a. Consideremos a continuación la pregunta 2. Para x grande positiva o grande negativa, la gráfica de una función racional puede ser semejante a una de las de la figura 5, donde la notación f x l c cuando xl se lee “f (x) se aproxima a c cuando x aumenta sin límite” o “f(x) se aproxima a c cuando x se aproxima al infinito,” y la notación f x l c cuando x l  se lee “f (x) se aproxima a c cuando x disminuye sin límite.” 292 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES f x l c cuando x l  Figura 5 y f x l c cuando x l  y y y y  f (x) yc yc y  f (x) y  f (x) x yc yc y  f (x) x x x A la recta interrumpida de la figura 5 se la denomina asíntota horizontal, como en la siguiente definición. Definición de asíntota horizontal La recta y  c es una asíntota horizontal para la gráfica de una función f si f (x)→c cuando x→ o cuando x→. Así, la respuesta a la pregunta 2 es que f (x) puede estar muy cerca de algún número c cuando x sea grande positiva o grande negativa; esto es, la gráfica de f puede tener una asíntota horizontal y  c. Hay funciones racionales donde éste no es el caso (como en los ejemplos 2(c) y 9). Nótese que, como en los dibujos segundo y cuarto de la figura 5, la gráfica de f puede cruzar una asíntota horizontal. En el siguiente ejemplo encontramos las asíntotas para la gráfica de una función racional sencilla. EJEMPLO 1 Trazar la gráfica de una función racional Trace la gráfica de f si f x  1 . x2 SOLUCIÓN Empecemos por considerar la pregunta 1, expresada al principio de esta sección. El denominador x – 2 es cero en x  2. Si x es cercana a 2 y x 2, entonces f(x) es grande positiva, como se indica en la tabla siguiente. x 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 1 x2 10 100 10,000 100,000 1000 4.5 Funciones racionales 293 Como podemos hacer 1/(x  2) tan grande como se desee al tomar x cercana a 2 (y x 2), vemos que f x l  cuando x l 2. Si f(x) es cercana a 2 y x 2, entonces f (x) es grande negativa; por ejemplo, f (1.9999)  10,000 y f (1.99999)  100,000. Así, f x l  cuando x l 2. La recta x  2 es una asíntota vertical para la gráfica de f, como se ilustra en la figura 6. A continuación consideramos la pregunta 2. La tabla siguiente contiene algunos valores aproximados para f (x) cuando x es grande y positiva. Figura 6 y x x2 x 100 1000 10,000 100,000 1,000,000 1 (aprox.) x2 0.01 0.001 0.0001 0.000 01 0.000 001 Podemos describir este comportamiento de f (x) al escribir f x l 0 cuando x l . Del mismo modo, f (x) es cercana a 0 cuando x es grande negativa; por ejemplo, f 100,000  0.00001. Así, fx l 0 cuando x l . La recta y  0 (el eje x) es una asíntota horizontal, como se ve en la figura 6. El trazo de los puntos (1, 1) y (3, 1) ayuda a darnos un trazo aproximado de la gráfica. L La función considerada en el ejemplo 1, f (x) 1/(x  2), se asemeja con mucho a una de las funciones racionales más sencillas, la función recíproca. La función recíproca tiene ecuación f (x)  1/x, asíntota vertical x  0 (el eje y), y asíntota horizontal y  0 (el eje x). La gráfica de la función recíproca (mostrada en el apéndice I) es la gráfica de una hipérbola (que se estudia más adelante en el texto). Nótese que podemos obtener la gráfica de y  1/(x  2) al desplazar la gráfica y  1/x a la derecha 2 unidades. El siguiente teorema es útil para hallar la asíntota horizontal para la gráfica de una función racional. 294 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Teorema sobre asíntotas horizontales Sea f x  an x n  an1x n1      a1x  a0 , donde an 苷 0 y bk 苷 0. bk x k  bk1x k1      b1x  b0 (1) Si n k, entonces el eje x (la recta y  0) es la asíntota horizontal para la gráfica de f. (2) Si n  k, entonces la recta y  an/bk (la razón entre coeficientes principales) es la asíntota horizontal para la gráfica de f. (3) Si n k, la gráfica de f no tiene asíntota horizontal. En cambio, ocurre fx l  o fx l  cuando x l  o cuando x l .) Las pruebas para cada una de las partes de este teorema pueden ajustarse a las soluciones del siguiente ejemplo. Con respecto a la parte (3), si q(x) es el cociente obtenido al dividir el numerador entre el denominador, entonces fx l  si qx l  o f x l  si qx l . EJEMPLO 2 Hallar asíntotas horizontales Encuentre la asíntota horizontal para la gráfica de f, si existe. 3x  1 5x 2  1 (a) f x  2 (b) f x  2 x x6 3x  4 (c) fx  2x 4  3x 2  5 x2  1 SOLUCIÓN (a) El grado del numerador, 1, es menor que el grado del denominador, 2, de modo que por la parte (1) del teorema sobre asíntotas horizontales, el eje x es una asíntota horizontal. Para verificar esto directamente, dividimos el numerador y denominador del cociente entre x2 (porque 2 es la potencia mayor en x del denominador), obteniendo 3x  1 3 1  2 2 x x x f x  2  x x6 1 6 1  2 2 x x x por x 苷 0. Si x es grande positiva o grande negativa, entonces 3/x, 1/x2, 1/x, y 6/x2 son cercanas a 0 y por lo tanto fx  00 0   0. 100 1 En consecuencia, fx l 0 cuando x l  o cuando x l . Como f (x) es la coordenada y de un punto sobre la gráfica, el último enunciado significa que la recta y  0 (esto es, el eje x) es una asíntota horizontal. 4.5 Funciones racionales 295 (b) Si f x  5x 2  13x 2  4, entonces el numerador y el denominador tienen el mismo grado 2 y los coeficientes principales son 5 y 3, respectivamente. En consecuencia, por la parte (2) del teorema sobre asíntotas horizontales, la recta y  35 es la asíntota horizontal. También podríamos demostrar que y  53 es la asíntota horizontal al dividir el numerador y denominador de f (x) entre x2, como en la parte (a). (c) El grado del numerador, 4, es mayor que el grado del denominador, 2, de modo que, por la parte (3) del teorema sobre asíntotas horizontales, la gráfica no tiene asíntota horizontal. Si usamos división larga, obtenemos f x  2x 2  5  10 . x 1 2 Cuando x l  o x l , el cociente 2x2  5 aumenta sin límite y 10x 2  1 l 0. Por lo tanto, f x l  cuando x l  o cuando x l . L A continuación presentamos una lista de algunas guías para trazar la gráfica de una función racional. Su uso se ilustrará en los ejemplos 3, 6 y 7. Guías para trazar la gráfica de una función racional Suponga que f x  gx , donde gx y hx son polinomios que no tienen hx factor común. 1 Encontrar los puntos de intersección con el eje x, es decir, los ceros reales del numerador g(x) y localice los puntos correspondientes sobre el eje x. 2 Encontrar los ceros reales del denominador h(x). Para cada cero real a, trace la asíntota vertical x  a con una línea punteada. 3 Encontrar el punto de intersección f (0) con el eje y, si existe y localizar el punto (0, f (0)) en el eje y. 4 Aplicar el teorema sobre asíntotas horizontales. Si hay una asíntota horizontal y  c, trazarla con guiones. 5 Si hay una asíntota horizontal y  c, determine si cruza la gráfica. Las coordenadas x de los puntos de intersección son las soluciones de la ecuación f(x)  c. Localice estos puntos, si existen. 6 Trazar la gráfica de f en cada una de las regiones del plano xy determinadas por las asíntotas verticales en la guía 2. Si es necesario, use el signo de valores de función específicos para saber si la gráfica está arriba o abajo del eje x o de la asíntota horizontal. Use la guía 5 para determinar si la gráfica se aproxima a la asíntota horizontal desde arriba o desde abajo. En los ejemplos siguientes, nuestro principal objetivo es determinar la forma general de la gráfica, poniendo especial atención a la forma en que la gráfica se aproxima a las asíntotas. Localizaremos sólo unos pocos puntos, como 296 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES los correspondientes a los puntos de intersección con los ejes x y y o la intersección de la gráfica con una asíntota horizontal. EJEMPLO 3 Trazar la gráfica de una función racional Trace la gráfica de f si f x  3x  4 . 2x  5 Seguimos las guías. Guía 1 Para hallar los puntos de intersección con el eje x buscamos los ceros del numerador. Resolver 3x  4 nos da x   34 y localizamos el punto   34 , 0  en el eje x, como se ve en la figura 7. 5 Guía 2 El denominador tiene cero 2 , de modo que la recta x  52 es una asíntota vertical. Trazamos esta recta punteada, como en la figura 7. Guía 3 El punto de cruce con el eje y es f 0   54 , y localizamos el punto  0,  54  en la figura 7. Guía 4 El numerador y denominador de f (x) tienen el mismo grado, 1. Los coeficientes principales son 3 y 2, de modo que por la parte (2) del teorema sobre asíntotas horizontales, la recta y  23 es una asíntota horizontal. Trazamos la recta con guiones en la figura 7. Guía 5 Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza la asíntota 3 horizontal y  23 son soluciones de la ecuación f x  2. Resolvemos esta ecuación como sigue: SOLUCIÓN Figura 7 y yw x d R xe 3x  4 3  2x  5 2 23x  4  32x  5 Figura 8 y 6x  8  6x  15 8  15 R1 sea f x  3 2 multiplique por 22x  5 multiplique reste 6x Como 8 苷 15 para cualquier valor de x, este resultado indica que la gráfica de f no cruza la asíntota horizontal. Como ayuda en el trazo, podemos ahora considerar la asíntota horizontal como frontera que no se puede cruzar. Guía 6 La asíntota vertical de la figura 7 divide el plano xy en dos regiones: R2 yw x R1: la región a la izquierda de x  25 5 R2: la región a la derecha de x  2 xe 4 4 Para R1, tenemos los dos puntos   3 , 0  y  0,  5  por los que la gráfica de f debe pasar, así como las dos asíntotas a las que la gráfica debe aproximarse. Esta parte de f se muestra en la figura 8. 4.5 Funciones racionales 297 Para R2, la gráfica debe de nuevo aproximarse a las dos asíntotas. Como la gráfica no puede cruzar el eje x (no hay punto de cruce con el eje x en R2), debe ser arriba de la asíntota horizontal, como se ve en la figura 8. Figura 9 y L EJEMPLO 4 Trazar una gráfica que tenga un hueco Trace la gráfica de g si yw gx  x (1, g ) xe 3x  4x  1 . 2x  5x  1 El dominio de g es todos los números reales excepto 25 y 1. Si g se reduce, obtenemos la función f del ejemplo previo. La única diferencia entre las gráficas de f y g es que g tiene un hueco en x  1. Como f 1   37 , sólo necesitamos hacer un hueco en la gráfica de la figura 8 para obtener la gráfica de g en la figura 9. SOLUCIÓN L EJEMPLO 5 Hallar una ecuación de una función racional que satisfaga condiciones prescritas Encuentre una ecuación de una función racional f que satisfaga las condiciones siguientes: punto de cruce con el eje x: 4, asíntota vertical: x  2, 3 asíntota horizontal: y   5 , y un hueco en x  1 SO L U C I Ó N Un punto de intersección con el eje x de 4 implica que x  4 debe ser un factor en el numerador y una asíntota vertical de x  2 implica que x  2 es un factor del denominador. Por tanto, podemos empezar con la forma x4 . x2 La asíntota horizontal es y   53 . Podemos multiplicar el numerador por 3 y el denominador por 5 para obtener la forma 3x  4 . 5x  2 (No escriba (3x  4)/(5x  2), porque eso cambiaría el punto de intersección con el eje x y la asíntota vertical.) Por último, como hay un hueco en x  1, debemos tener un factor de x  1 en el numerador y en el denominador. Por lo tanto, una ecuación para f es f x  3x  4x  1 o bien, lo que es equivalente, 5x  2x  1  f x  3x 2  15x  12 . 5x 2  5x  10 L 298 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES EJEMPLO 6 Trazar la gráfica de una función racional Trace la gráfica de f si f x  x1 . x2  x  6 SOLUCIÓN Es útil expresar el numerador y el denominador en forma factorizada. Así, empezamos por escribir fx  x1 x1  . x 2  x  6 x  2x  3 Guía 1 Para hallar los puntos de intersección con el eje x encontramos los ceros del numerador. Resolviendo x  1  0 nos da x  1 y localizamos el punto (1, 0) en el eje x, como se ve en la figura 10. Guía 2 El denominador tiene ceros 2 y 3. Por tanto, las rectas x  2 y x  3 son asíntotas verticales; las trazamos con rectas punteadas, como en la figura 10. Figura 10 y x Guía 3 El punto de intersección con el eje y es f 0  16 , y localizamos el punto  0, 61 , mostrado en la figura 10. Guía 4 El grado del numerador de f (x) es menor que el grado del denominador y entonces, por la parte (1) del teorema sobre asíntotas horizontales, el eje x es la asíntota horizontal. Guía 5 Los puntos donde la gráfica cruza la asíntota horizontal (el eje x) hallados en la guía 4 corresponden a los puntos de intersección con el eje x. Ya localizamos el punto (1, 0) en la guía 1. Guía 6 Las asíntotas verticales de la figura 10 dividen el plano xy en tres regiones: R1: la región a la izquierda de x  2 R2: la región entre x  2 y x  3 R3: la región a la derecha de x  3 Para R1, tenemos x 2. Sólo hay dos opciones para la forma de la gráfica de f en R1: cuando x l , la gráfica se aproxima al eje x ya sea desde arriba o desde abajo. Para determinar cuál opción es correcta, examinaremos el signo de un valor de función típico en R1. Escogiendo 10 para x, usamos la forma factorizada de f(x) para hallar el signo de f (10) (este proceso es semejante al empleado en la sección 2.7): f 10     El valor negativo de f(10) indica que la gráfica se aproxima a la asíntota horizontal desde abajo cuando x l . Además, cuando x l 2, la gráfica se extiende hacia abajo; esto es, f x l . Un trazo de f en R1 se muestra en la figura 11(a). 4.5 Funciones racionales Figura 11 (a) (b) (c) y y y R3 R2 R1 299 x x x En R2, tenemos 2 x 3 y la gráfica cruza el eje x en x  1. En vista que, por ejemplo, f (0) es positiva, se deduce que la gráfica se encuentra arriba del eje x si 2 x 1. Así, cuando x l 2, la gráfica se extiende hacia arriba; esto es, f x l . Como f(2) se puede demostrar que es negativa, la gráfica se encuentra abajo del eje x si 1 x 3. En consecuencia, cuando x l 3, la gráfica se extiende hacia abajo; esto es, fx l . Un trazo de f en R2 se muestra en la figura 11(b). Por último, en R3, x 3 y la gráfica no cruza el eje x. En vista que, por ejemplo, f (10) se puede demostrar que es positiva, la gráfica se encuentra arriba del eje x. Se deduce que f x l  cuando x l 3 y que la gráfica se aproxima a la asíntota horizontal desde arriba cuando x l . La gráfica de f se traza en la figura 11(c). L EJEMPLO 7 Trazar la gráfica de una función racional Trace la gráfica de f si f x  SOLUCIÓN x2 . x x2 2 La factorización del denominador nos da f x  x2 x2  . x 2  x  2 x  1x  2 De nuevo seguimos las guías. (continúa) 300 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Figura 12 Guía 1 Para hallar los puntos de intersección con el eje x buscamos los ceros del numerador. Resolviendo x2  0 nos da x  0 y trazamos el punto (0, 0) en el eje x, como se muestra en la figura 12. y Guía 2 El denominador tiene ceros 1 y 2. Por tanto, las rectas x  1 y x  2 son asíntotas verticales y las trazamos con rectas punteadas, como en la figura 12. R1 x Guía 3 El punto de intersección con el eje y es f (0)  0. Esto nos da el mismo punto (0, 0) hallado en la guía 1. Guía 4 El numerador y denominador de f (x) tienen el mismo grado y los coeficientes principales son ambos 1. Por tanto, por la parte (2) del teorema sobre asíntotas horizontales, la recta y  11  1 es una asíntota horizontal. Trazamos la recta con guiones, como en la figura 12. Guía 5 Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza la asíntota horizontal y  1 son soluciones de la ecuación f (x)  1. Resolvemos esta ecuación como sigue: x2 1 x x2 2 x2  x2  x  2 x  2 sea f x  1 multiplique por x 2  x  2 reste x 2 y sume x Este resultado indica que la gráfica cruza la asíntota horizontal y  1 sólo en x  2; por tanto, trazamos el punto (2, 1) mostrado en la figura 12. Guía 6 Las asíntotas verticales de la figura 12 dividen el plano xy en tres regiones: R1: la región a la izquierda de x  1 R2: la región entre x  1 y x  2 R3: la región a la derecha de x  2 Para R1, primero consideremos la parte de la gráfica que corresponde a 2 x 1. Del punto (2, 1) en la asíntota horizontal, la gráfica debe extenderse hacia arriba cuando x l 1 (no puede extenderse hacia abajo, porque no hay punto de intersección con el eje x entre x  2 y x  1). Cuando x l , habrá un punto bajo en la gráfica entre y  0 y y  1, y entonces la gráfica se aproximará a la asíntota horizontal y  1 desde abajo. Es difícil ver dónde se presenta el punto bajo en la figura 12 porque los valores de función están muy cercanos entre sí. Usando cálculo, se puede 8 demostrar que el punto bajo es  4, 9 . En R2, tenemos 1 x 2 y la gráfica cruza el eje x en x  0. Como la función no cruza la asíntota horizontal en esta región, sabemos que la gráfica se extiende hacia abajo cuando x l 1 y cuando x l 2, como se ve en la figura 13(a). 4.5 Funciones racionales Figura 13 (a) (b) 301 (c) y y R2 y R3 x x x En R3, la gráfica se aproxima a la asíntota horizontal y  1 (ya sea de arriba o abajo) cuando x l . Además, la gráfica debe extenderse hacia arriba cuando x l 2 porque no hay puntos de cruce con el eje x en R3. Esto implica que cuando x l , la gráfica se aproxima a la asíntota horizontal desde arriba, como en la figura 13(b). La gráfica de f se traza en la figura 13(c). L En las soluciones restantes no escribiremos formalmente cada guía. EJEMPLO 8 Trazar la gráfica de una función racional Trace la gráfica de f si f x  2x 4 . x 1 4 Nótese que como f (x)  f (x), la función es par y por tanto la gráfica es simétrica con respecto al eje y. La gráfica cruza el eje x en (0, 0). Como el denominador de f(x) no tiene cero real, la gráfica no tiene asíntota vertical. El numerador y el denominador de f (x) tienen el mismo grado. Como los coeficientes principales son 2 y 1, respectivamente, la recta y  12  2 es la asíntota horizontal. La gráfica no cruza la asíntota horizontal y  2, porque la ecuación f (x)  2 no tiene solución real. Localizar los puntos (1, 1) y  2, 32 17  y hacer uso de simetría lleva al trazo de la figura 14. SOLUCIÓN Figura 14 y y 2x 4 x4  1 x L Una asíntota oblicua para una gráfica es una recta y  ax  b, con a  0, tal que la gráfica se aproxima a esta recta cuando x l  o cuando x l . (Si la gráfica es una recta, la consideramos su propia asíntota.) Si la función 302 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES racional f(x)  g(x)/h(x) para polinomios g(x) y h(x) y si el grado de g(x) es uno mayor que el grado de h(x), entonces la gráfica de f tiene una asíntota oblicua. Para hallar esta asíntota oblicua podemos usar división larga para expresar f (x) en la forma fx  gx rx  ax  b  , hx hx donde r(x)  0 o el grado de r(x) es menor que el grado de h(x). De la parte (1) del teorema sobre asíntotas horizontales, rx l0 hx cuando xl o bien cuando x l . En consecuencia, f(x) se aproxima a la recta y  ax  b cuando x aumenta o disminuye sin límite; esto es, y  ax  b es una asíntota oblicua. EJEMPLO 9 Hallar una asíntota oblicua Encuentre todas las asíntotas y trace la gráfica de f si Figura 15 y f x  x x2  9 . 2x  4 SOLUCIÓN Una asíntota vertical se presenta si 2x  4  0 (esto es, si x  2). El grado del numerador de f (x) es mayor que el grado del denominador. Por tanto, por la parte (3) del teorema sobre asíntotas horizontales, no hay asíntota horizontal; pero como el grado del numerador, 2, es uno mayor que el grado del denominador, 1, la gráfica tiene una asíntota oblicua. Por división larga obtenemos 1 2x 1 9 2x  4 x x 2  2x 2x  9 2x  4 5 2 Figura 16 y Por lo tanto, x x2  9  2x  4   12 x 2x  4 reste 12x  4  reste 1 5 x1  . 2 2x  4 Como indicamos en el análisis que precede a este ejemplo, la recta y  21 x  1 es una asíntota oblicua. Esta recta y la asíntota vertical x  2 se trazan con rectas punteadas en la figura 15. Los puntos de cruce con el eje x de la gráfica son las soluciones de x2  9  0 y por lo tanto son 3 y 3. El punto de intersección con el eje y es f 0  94. Los puntos correspondientes se trazan en la figura 15. Ahora podemos demostrar que la gráfica tiene la forma indicada en la figura 16. L 4.5 Funciones racionales 303 En el ejemplo 9, la gráfica de f se aproxima a la recta y  12 x  1 en forma asintótica cuando x l  o cuando x l . Las gráficas de funciones racionales pueden aproximar tipos diferentes de curvas en forma asintótica. Por ejemplo, si f x  x4  x 1  x2  , 2 x x entonces para valores grandes de x , 1x  0 y por tanto f x  x 2. Así, la gráfica de f se aproxima a la parábola y  x2 en forma asintótica cuando x l  o cuando x l . En general, si f(x)  g(x)/h(x) y si q(x) es el cociente obtenido al dividir g(x) entre h(x), entonces la gráfica de f se aproxima a la gráfica de y  q(x) en forma asintótica cuando x l  o cuando x l . EJEMPLO 10 Trazar la gráfica de una función racional Trace la gráfica de f si f x  Figura 17 2, 3 por 1, 1 y encuentre ecuaciones de las asíntotas verticales. SOLUCIÓN Comenzamos por hacer las asignaciones Y1  x 2  x, Figura 18 2, 3 por 1, 1 x2  x , 9x  9x 2  22x  8 3 Y2  9x 3  9x 2  22x  8, y Y3  Y1Y2. Seleccionando sólo Y3 como graficada (apague Y1 y Y2) y usando una pantalla estándar, obtenemos una gráfica que no nos da indicación de la verdadera forma de f. Cambiar a una pantalla de [6, 6] por [4, 4] nos da una sugerencia de que las asíntotas verticales están confinadas al intervalo 2 x 3. Usando una pantalla de [2, 3] por [1, 1] y cambiando al modo de punto (para no graficar la función al otro lado de las asíntotas verticales) nos lleva al trazo de la figura 17. Como el grado del numerador, 2, es menor que el grado del denominador, 3, sabemos que la asíntota horizontal es el eje x. Los ceros del numerador, 0 y 1, son los únicos puntos de cruce con el eje x. Para determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales, abandonaremos la gráfica de Y3 y examinamos la gráfica de Y2, buscando sus ceros. Graficar Y2 con la misma pantalla, pero usando el modo conectado, nos da la figura 18. Por el teorema sobre ceros racionales de un polinomio, sabemos que las posibles raíces racionales de 9x3  9x2  22x  8  0 son 1, 2, 4, 8,  31 ,  32 ,  34 , 38 ,  91 , 92 ,  94 ,  98 . De la gráfica, vemos que la única opción razonable para el cero en el intervalo 2, 1 es  34. El número 2 parece ser un cero y usando un cero o (continúa) 304 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES función de raíz indica que 13 es también buen candidato para un cero. Podemos demostrar que  34, 31 , y 2 son ceros de Y2 con el uso de división sintética. Así, las ecuaciones de las asíntotas verticales son x   34 , x  31 , y x  2. L Las gráficas de funciones racionales pueden hacerse cada vez más complicadas cuando los grados de los polinomios del numerador y denominador aumentan. Técnicas desarrolladas en cálculo son muy útiles para lograr un tratamiento más completo de esas gráficas. Las fórmulas que representan cantidades físicas pueden determinar funciones racionales. Por ejemplo, considere la ley de Ohm en teoría eléctrica, que expresa que I  V/R, donde R es la resistencia (en ohms) de un conductor, V es la diferencia de potencial (en volts) en las terminales del conductor e I es la corriente (en amperes) que circular por el conductor. La resistencia de ciertas aleaciones se aproxima a cero cuando la temperatura se aproxima al cero absoluto (aproximadamente 273°C) y la aleación se convierte en superconductor de electricidad. Si el voltaje V es fijo, entonces, para ese superconductor I V l R cuando R l 0; esto es, cuando R se aproxima a 0, la corriente aumenta sin límite. Los superconductores permiten el uso de corrientes muy grandes en plantas generadoras y motores. También tienen aplicaciones en transporte experimental terrestre de alta velocidad, donde los intensos campos magnéticos producidos por imanes superconductores hacen posible que los trenes leviten para que en esencia no haya fricción entre las ruedas y la vía. Quizá el uso más importante de superconductores es en circuitos para computadoras, porque esos circuitos producen muy poco calor. 4.5 Ejercicios Ejer. 1-2: (a) Trace la gráfica de f. (b) Encuentre el dominio D y rango R de f. (c) Encuentre los intervalos en los que f es creciente o es decreciente. 1 f x  4 x 2 f x  1 x2 Ejer. 5-6: Todas las asíntotas, puntos de intersección y huecos de una función racional f están marcados en la figura. Trace una gráfica de f y encuentre una fórmula para f. 5 2(x  5)(x  6) (x  3)(x  6) 2(x  4)(x  2) 4 f (x)  5(x  2)(x  1) y 6 Ejer. 3-4: Identifique cualesquiera asíntotas verticales, asíntotas horizontales y huecos. 3 f (x)  6 y x 1 y2 x 3 (2, s)6 f(x)  3 y 2 x1 2(x  3)(x  2) (x  1)(x  2) (4, W) f(x)  2(x  3)(x  4) (x  1)(x  4) x 4.5 Funciones racionales Ejer. 37-44: Simplifique f(x) y trace la gráfica de f. Ejer. 7-32: Trace la gráfica de f. 3 7 f x  x4 3 8 f x  x3 37 f x  f x  9 f x  3x x2 10 f x  4x  1 11 f x  2x  3 13 f x  15 f x  17 f x  4x 2x  5 5x  3 12 f x  3x  7 4x  1x  2 2x  3x  2 14 f x  x2 x x6 16 f x  2 4 x  22 305 18 f x  5x  3x  1 3x  7x  1 38 f x  2x  3 for x 苷 2 x1 39 f x  f x  2x 2  x  6 x 2  3x  2 x2 for x 苷 3 x1 f x  x1 1  x2 40 f x  1 for x 苷 1 x1 f x  x2  x  6 x 2  2x  3 x2 x2  4 1 for x 苷 2 x2 41 f x  x2  x  2 f x  x  1 for x 苷 2 x2 42 f x  x 3  2x 2  4x  8 f x  x 2  4 for x 苷 2 x2 43 f x  x2 x 2  4x  4 f x  for x 苷 2 x1 x 2  3x  2 44 f x  x 2  x2x  1 x  3x  22x  1 x1 x  2x  3 2 2 x  12 2 19 f x  x3 x2  1 20 f x  x4 x2  4 21 f x  2x 2  2x  4 x 2  x  12 22 f x  3x 2  3x  6 x2  9 Ejer. 45-48: Encuentre una ecuación de una función racional f que satisfaga las condiciones dadas. 23 f x  x  x  6 x 2  3x  4 24 f x  x  3x  4 x2  x  6 45 asíntota vertical: x  4 asíntota horizontal: y  1 intersección con el eje x: 3 25 f x  3x 2  3x  36 x2  x  2 26 f x  2x 2  4x  48 x 2  3x  10 2 2x 2  10x  12 27 f x  x2  x 29 f x  31 f x  x1 x 3  4x 2x 2  8x  6 28 f x  x 2  2x 30 f x  2 3x x2  1 2 32 f x  x 2  2x  1 x 3  9x x 4 x2  1 2 Ejer. 33-36: Encuentre la asíntota oblicua y trace la gráfica de f. 33 f x  x2  x  6 x1 34 f x  8x 2x 2 36 f x  yx2 35 f x  3 y   12 x 2x 2  x  3 x2 y  2x  3 x3  1 yx x2  9 f x  xx  1 for x 苷 12 x  1x  2 f x  3x x4 46 asíntotas verticales: x  2, x  0 asíntota horizontal: y  0 intersección con el eje x: 2; f(3)  1 f x  15x  30 x 2  2x 47 asíntotas verticales: x  3, x  1 asíntota horizontal: y  0 intersección con el eje x  f(0)  2 6x 2  6x  12 hueco en x  2 f x  x 3  7x  6 48 asíntotas verticales: x  1, x  3 asíntota horizontal: y  2 puntos de intersección con el eje x: 2, 1; hueco en x  0 49 Un recipiente para desechos radiactivos Un recipiente cilíndrico para almacenar desechos radiactivos se va a construir de plomo. Este recipiente debe tener paredes de 6 pulgadas de grueso. El volumen del cilindro exterior mostrado en la figura debe ser 16 pies3. 306 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES (a) Exprese la altura h del interior del cilindro como fun16 ción del radio interior r. h  1 donde a y b son constantes positivas que dependen del lugar geográfico. (b) Demuestre que el volumen interior V(r) está dado por (a) Analice la variación de R(t) cuando t l . r  0.52 Vr  r 2   16  1 . Vr  r 2h r  0.52 (c) ¿Qué valores de r deben excluirse en la parte (b)? r 0yr As t increases, total approaches a. (b) La intensidad I de lluvia (en pulgadas/hora) está definida por I  R(t)/t. Si a  2 y b  8, trace la gráfica de R e I en el mismo plano de coordenadas para t 0. 3.5 Ejercicio 49 53 Propagación de salmón Para una población particular de salmón, la relación entre el número S de reproductores y el número R de crías que sobreviven hasta la madurez está dada por la fórmula 6 r R 6 4500S . S  500 (a) ¿Bajo qué condiciones es R S? 0 S 4000 (b) Encuentre el número de reproductores que darían 90% del mayor número posible de crías que sobrevivan hasta la madurez. h 6 (c) Trabaje la parte (b) con 80% sustituyendo a 90%. (d) Compare los resultados para S y R (en términos de aumentos de porcentaje) de los incisos b y c. 125% increase in S produces 12.5% increase in R. 50 Dosis de medicamento La regla de Young es una fórmula que se usa para modificar los niveles de dosis de medicamento de adultos para niños. Si a denota la dosis de adultos (en miligramos) y si t es la edad del niño (en años), entonces la dosis y para niño está dada por la ecuación y  ta /(t  12). Trace la gráfica de esta ecuación para t 0 y a  100. 54 Densidad de población La densidad D de población (en habitantes/mi2) en una gran ciudad está relacionada con la distancia x (en millas) del centro de la ciudad por 51 Concentración de sal Agua salada de concentración 0.1 libras de sal por galón entra en un gran tanque que inicialmente contiene 50 galones de agua pura. (a) ¿Qué ocurre a la densidad cuando la distancia desde el centro de la ciudad cambia de 20 a 25 millas? D 5000x . x 2  36 It decreases. (b) ¿Qué ocurre eventualmente a la densidad? It gets closer to 0. (a) Si el caudal de agua salada que entra al tanque es 5 gal/min, encuentre el volumen V(t) de agua y la cantidad A(t) de sal en el tanque después de t minutos. (c) ¿En qué áreas de la ciudad es que la densidad de población excede de 400 habitantes/mi2? 4.5 x 8 (b) Encuentre una fórmula para la concentración de sal c(t) t (en lb/gal) después de t minutos. Ejer. 55-58: Grafique f y encuentre ecuaciones de las asíntotas verticales. (c) Discuta la variación de c(t) cuando t l . 55 f x  20x 2  80x  72 None 10x 2  40x  41 56 f x  15x 2  60x  68 None 3x 2  12x  13 57 f x  x  12 x  0.9992 Vt  50  5t, At  0.5t 10t  100 As t l , ct l 0.1 lb of salt per gal. 52 Cantidad de lluvia El número total de pulgadas R(t) de lluvia durante una tormenta de duración t horas se puede aproximar con at Rt  , tb 58 f x  x 2  9.01 x3 x3 4.6 Var iación 61 Promedio de calificación (GPA) 59 Sea f(x) el polinomio x  3x  2x  1xx  1x  2x  3. (a) Describa la gráfica de gx  f xf x. Horizontal line y  1 with holes at x  0, 1, 2, 3 (b) Describa la gráfica de hx  gxpx, donde px es una función con polinomios. Graph of p with holes at x  0, 1, 2, 3 60 Consulte el ejercicio 59. Seventh-degree polynomial with zeros at x  0, 1, 2, 3 y 132  48x x4 (b) Escriba una tabla de valores para x y y, empezando con x  2.8 y usando incrementos de 0.2. (d) ¿Cuál es la asíntota vertical de la gráfica de la parte (c)? x4 (b) Describa la gráfica de kx  1f x. (e) Explique la importancia práctica del valor x  4. Vertical asymptotes at x  0, 1, 2, 3 Variación (a) Un estudiante ha terminado 48 horas de crédito con un GPA de 2.75. ¿Cuántas horas crédito adicionales y en 4.0 subirán el GPA del estudiante a algún valor x deseado? (Determine y como función de x.) (c) Grafique la función en el inciso a en la pantalla [2, 4] por [0, 1000, 100]. (a) Describa la gráfica de y  f x. 4.6 307 A cumulative GPA of 4.0 is not attainable. En algunas investigaciones científicas, la terminología de variación o proporción se emplea para describir relaciones entre cantidades variables. En la tabla siguiente, k es un número real diferente de cero llamado constante de variación o constante de proporcionalidad. Terminología Fórmula general y varía directamente con x, o y es directamente proporcional a x y  kx y varía inversamente con x, o y es inversamente proporcional a x y k x Ejemplos C  2r, donde C es la circunferencia de un círculo, r es el radio y k  2 110 , donde I es la R corriente en un circuito eléctrico, R es la resistencia y k  110 es el voltaje I La variable x de la tabla también puede representar una potencia. Por ejemplo, la fórmula A  pr2 expresa que el área A de un círculo varía directamente con el cuadrado del radio r, donde p es la constante de variación. Del mismo modo, la fórmula V  43 r 3 indica que el volumen V de una esfera es directamente proporcional al cubo del radio. En este caso la constante de proporcionalidad es 43 . En general, las gráficas de variables relacionadas por variación directa se asemejan a las gráficas de funciones de potencia de la forma y  xn con n 0 (tal como y  2x o y  x 2 para valores de x no negativos, como se ve en la figura 1). Con variación directa, cuando una variable aumenta, también aumenta la otra variable. Un ejemplo de dos cantidades que están directamente relacionadas es el número de millas recorridas y el número de calorías quemadas. 308 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Figura 1 Cuando x aumenta, y aumenta o bien, cuando x disminuye, y disminuye y y  x 2, x 0 y  x 1 Las gráficas de variables relacionadas por variación inversa se asemejan a las gráficas de funciones de potencia de la forma y  xn con n 0 (como y  1 2x o y  1/x2 para valores de x positivos, como se ve en la figura 2). En este caso, cuando una variable aumenta, la otra variable disminuye. Un ejemplo de dos cantidades que están inversamente relacionadas es el número de pulgadas de lluvia y el número de incendios de pastizales. EJEMPLO 1 Variables directamente proporcionales Suponga que una variable q es directamente proporcional a una variable z. (a) Si q  12 cuando z  5, determine la constante de proporcionalidad. x 1 (b) Encuentre el valor de q cuando z  7 y trace una gráfica de esta relación. SOLUCIÓN Como q es directamente proporcional a z Figura 2 Cuando x aumenta, y disminuye o bien, cuando x disminuye, y aumenta y 1 y 2,x x q  kz, donde k es una constante de proporcionalidad. (a) La sustitución de q  12 y z  5 nos da 0 12  k  5, o k  12 5 . 12 (b) Como k  5 , la fórmula q  kz tiene la forma específica y 1 1 x q  12 5 z. Por lo tanto, cuando z  7, 1 84 q  12 5  7  5  16.8. x La figura 3 ilustra la relación de las variables q y z, como una relación lineal simple. Figura 3 q 16.8 12 q  Pz 5 7 z 4.6 Var iación 309 Las siguientes guías se pueden usar para resolver problemas aplicados que contienen variación o proporción. Guías para resolver problemas de variación 1 Escriba una fórmula general que contenga las variables y una constante de variación (o proporción) k. 2 Encuentre el valor de k en la guía 1 mediante los datos iniciales dados en el enunciado del problema. 3 Sustituya el valor de k hallado en la guía 2 en la fórmula de la guía 1, obteniendo una fórmula específica que contiene las variables. 4 Use los nuevos datos para resolver el problema. Seguiremos estas guías en la solución del siguiente ejemplo. EJEMPLO 2 Presión y volumen como cantidades inversamente proporcionales Si la temperatura permanece constante, la presión de un gas encerrado es inversamente proporcional al volumen. La presión de cierto gas dentro de un globo esférico de 9 pulgadas de radio es 20 lb/in2. Si el radio del globo aumenta a 12 pulgadas, aproxime la nueva presión del gas. Trace una gráfica de la relación entre la presión y el volumen. SOLUCIÓN Guía 1 Si denotamos la presión por P (en lb/in2) y el volumen por V (en in3), entonces como P es inversamente proporcional a V, k P V para alguna constante de proporcionalidad k. Guía 2 Encontramos la constante de proporcionalidad k en la guía 1. Como el volumen V de una esfera de radio r es V  34 r 3, el volumen inicial del globo es V  34  93  972 in3. Esto lleva a lo siguiente: 20  k 972 P  20 cuando V  972 k  20972  19,440 despeje k Guía 3 Sustituyendo k  19,440p en P  k/V, encontramos que la presión correspondiente a cualquier volumen V está dada por P 19,440 . V (continúa) 310 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Guía 4 Si el nuevo radio del globo es 12 pulgadas, entonces V  34  123  2304 in3. Sustituyendo este número por V en la fórmula obtenida en la guía 3 nos da 19,440 135 P   8.4375. 2304 16 Así, la presión disminuye a aproximadamente 8.4 lb/pulg2 cuando el radio aumenta a 12 pulgadas. La figura 4 ilustra la relación de las variables P y V para V 0. Como P  19,440p/V y V  43 r 3, podemos demostrar que (P ⴰ V)(r)  14,580r 3, de modo que podríamos también decir que P es inversamente proporcional a r3. Nótese que ésta es una gráfica de una función racional sencilla. Figura 4 P (lb/in2) 20 P 19,440p V 8.4375 972p 2304p V (in3) 9 12 r (in.) L Hay otros tipos de variación. Si x, y, y z son variables y y  kxz para algún número real k, decimos que y varía directamente con el producto de x y z o que y varía conjuntamente con x y z. Si y  k(x/z), entonces y varía directamente con x e inversamente con z. Como ilustración final, si una variable w varía directamente con el producto de x y el cubo de y e inversamente con el cuadrado de z, entonces wk xy3 , z2 donde k es una constante de proporcionalidad. Gráficas y ecuaciones para estos tipos de variación no se considerarán en este texto. EJEMPLO 3 Combinar varios tipos de variación Una variable w varía directamente con el producto de u y v e inversamente con el cuadrado de s. (a) Si w  20 cuando u  3, v  5, y s  2, encuentre la constante de variación. (b) Encuentre el valor de w cuando u  7, v  4, y s  3. 4.6 Var iación 311 Una fórmula general para w es uv wk 2, s donde k es una constante de variación. (a) Sustituyendo w  20, u  3, v  5, y s  2 tendremos SOLUCIÓN 20  k 35 , 22 o k 80 16  . 15 3 (b) Como k  16 3 , la fórmula específica para w es 16 uv w . 3 s2 Entonces, cuando u  7, v  4, y s  3, 16 7  4 448   16.6. w 3 32 27 L En el siguiente ejemplo, de nuevo seguimos las guías indicadas en esta sección. EJEMPLO 4 Hallar la carga de soporte de una viga rectangular El peso que con seguridad puede ser soportado por una viga rectangular de sección transversal varía directamente con el producto del ancho y cuadrado de la profundidad de la sección transversal, e inversamente con la longitud de la viga. Si una viga de 2  4 pulgadas que mide 8 pies de largo soporta con seguridad una carga de 500 libras, ¿qué peso puede ser soportado con seguridad por una viga de 2  8 pulgadas que mida 10 pies de largo? (Suponga que el ancho es la dimensión más corta de la sección transversal.) SOLUCIÓN Guía 1 Si el ancho, profundidad, longitud y peso están denotados por w, d, l y W, respectivamente, entonces una fórmula general para W es Wk wd 2 , l donde k es una constante de variación. Guía 2 Para hallar el valor de k en la guía 1, vemos de los datos dados que 500  k 242 , 8 o k  125. Guía 3 Sustituyendo k  125 en la fórmula de la guía 1 nos da la fórmula específica wd 2 W  125 . l Guía 4 Para contestar la pregunta, sustituimos w  2, d  8, y l  10 en la fórmula encontrada en la guía 3, obteniendo W  125  2  82  1600 lb. 10 L 312 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 4.6 Ejercicios Ejer. 1-12: Exprese el enunciado como una fórmula que contenga las variables dadas y una constante de proporcionalidad k y luego determine el valor de k a partir de las condiciones dadas. 1 u es directamente proporcional a v. Si v  30, entonces u  12. u  kv; k  25 2 s varía directamente con t. Si t  10, entonces s  18. 9 s  kt; k  5 3 r varía directamente con s e inversamente con t. Si s  2 y t  4, entonces r  7. s ; k  14 t rk 4 w varía directamente con z e inversamente con la raíz cuadrada de u. Si z  2 y u  9, entonces w  6. wk z 2u ;k9 5 y es directamente proporcional al cuadrado de x e inversamente proporcional al cubo de z. Si x  5 y z  3, entonces y  25. x2 y  k 3 ; k  27 z 6 q es inversamente proporcional a la suma de x y y. Si x  0.5 y y  0.7, entonces q  1.4. k ; k  1.68 q xy 7 z es directamente proporcional al producto del cuadrado de x y al cubo de y. Si x  7 y y  2, entonces z  16. z  kx y ; k  2 3 492 8 r es directamente proporcional al producto de s y v e inversamente proporcional al cubo de p. Si s  2, v  3 y p  5, entonces r  40. rk sv ; k  2500 3 p3 9 y es directamente proporcional a x e inversamente proporcional al cuadrado de z. Si x  4 y z  3, entonces y  16. yk x ; k  36 z2 10 y es directamente proporcional a x e inversamente proporcional a la suma de r y s. Si x  3, r  5 y s  7, entonces y  2. yk x ;k8 rs 11 y es directamente proporcional a la raíz cuadrada de x e inversamente proporcional al cubo de z. Si x  9 y z  2, entonces y  5. yk 2x z3 ; k  40 3 12 y es directamente proporcional al cuadrado de x e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de z. Si x  5 y z  16, entonces y  10. yk x2 2z ;k 8 5 13 Presión de un líquido La presión P que actúa en un punto en un líquido es directamente proporcional a la distancia d desde la superficie del líquido al punto. (a) Exprese P como función de d por medio de una fórmula que contenga una constante de proporcionalidad k. P  kd (b) En cierto tanque de petróleo, la presión a una profundidad de 2 pies es 118 lb/pie2. Encuentre el valor de k del inciso a. 59 (c) Encuentre la presión a una profundidad de 5 pies para el tanque de petróleo del inciso b. 295 lbft2 (d) Trace una gráfica de la relación entre P y d para d 0. 14 Ley de Hooke La ley de Hooke expresa que la fuerza F necesaria para estirar un resorte x unidades más que su longitud natural es directamente proporcional a x. (a) Exprese F como función de x por medio de una fórmula que contenga una constante de proporcionalidad k. F  kx (b) Un peso de 4 libras estira cierto resorte a partir de su longitud natural de 10 pulgadas hasta una longitud de 40 10.3 pulgadas. Encuentre el valor de k del inciso a. 3 (c) ¿Qué peso estira el resorte del inciso b hasta una longitud de 11.5 pulgadas? 20 lb (d) Trace una gráfica de la relación entre F y x para x 0. 15 Resistencia eléctrica La resistencia eléctrica R de un alambre varía directamente con su longitud l e inversamente con el cuadrado de su diámetro d. (a) Exprese R en términos de l, d y una constante de variación k. (b) Un alambre de 100 pies de largo y 0.01 pulgadas de diámetro tiene una resistencia de 25 ohms. Encuentre el valor de k del inciso a. 1 40,000 (c) Trace una gráfica de la relación entre R y d para l  100 y d 0. (d) Encuentre la resistencia de un alambre hecho del mismo material que tiene un diámetro de 0.015 pulgada y mide 50 pies de largo. 50 9 ohms 16 Intensidad de iluminación La intensidad de iluminación I de una fuente de luz varía inversamente con el cuadrado de la distancia d desde la fuente. 4.6 Var iación (a) Exprese I en términos de d y una constante de variación k. (b) Un proyector tiene una intensidad de 1,000,000 de candelas de potencia a una distancia de 50 pies. Encuentre el valor de k del inciso a. 2.5  109 (c) Trace una gráfica de la relación entre I y d para d 0. (d) Aproxime la intensidad del proyector del inciso b a una distancia de 1 milla. 89.7 candlepower 17 Periodo de un péndulo El periodo P de un péndulo simple, es decir, el tiempo necesario para una oscilación completa, es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud l. (a) Exprese P en términos de l y una constante de proporcionalidad k. P  k 2l (b) Si un péndulo de 2 pies de largo tiene un periodo de 1.5 segundos, encuentre el valor de k del inciso a. (c) Encuentre el periodo de un péndulo de 6 pies de largo. 313 20 Alcance de un proyectil Se sabe, a partir de física, que el alcance R de un proyectil es directamente proporcional al cuadrado de su velocidad v. (a) Exprese R como función de v por medio de una fórmula que contenga una constante de proporcionalidad k. R  kv 2 (b) Un temerario motociclista ha hecho un salto de 150 pies. Si la velocidad saliendo de la rampa fue de 70 3 mi/h, encuentre el valor de k del inciso a. 98 (c) Si el motociclista puede alcanzar una velocidad de 80 mi/h saliendo de la rampa y mantiene un equilibrio apropiado, estime la posible longitud del salto. 195.9 ft 21 Marcas de patinazo de un automóvil La velocidad V a la que un automóvil corría antes de aplicar frenos se puede estimar a veces por la longitud L de las marcas de un patinazo. Suponga que V es directamente proporcional a la raíz cuadrada de L. (a) Exprese V como función de L por medio de una fórmula que contenga una constante de proporcionalidad k. V  k 2L 18 Dimensiones de un miembro (superior o inferior) Un cilindro circular se usa a veces en psicología como representación sencilla de un miembro humano. (a) Exprese el volumen V de un cilindro en términos de su longitud L y el cuadrado de su circunferencia C. (b) La fórmula obtenida en el inciso a se puede usar para aproximar el volumen de un miembro a partir de las medidas de su longitud y circunferencia. Suponga que la circunferencia (promedio) de un antebrazo humano es de 22 centímetros y la longitud promedio es de 27 centímetros. Aproxime el volumen del antebrazo al cm3 más cercano. (b) Para cierto automóvil en una superficie seca, L  50 pies cuando V  35 mi/h. Encuentre el valor de k del inciso a. 7 2 22 (c) Estime la velocidad inicial del automóvil del inciso b si las marcas del patinazo fueron de 150 pies de largo. 22 Ley de Coulomb La ley de Coulomb en teoría eléctrica expresa que la fuerza F de atracción, entre dos partículas con cargas opuestas, varía directamente con el producto de las magnitudes Q1 y Q2 de las cargas e inversamente con el cuadrado de la distancia d entre las partículas. (a) Encuentre una fórmula para F en términos de Q1, Q2, d y una constante de variación k. F  kQ 1 Q 2 d2 19 Periodo de un planeta La tercera ley de Kepler expresa que el periodo T de un planeta (el tiempo necesario para hacer una revolución completa alrededor del Sol) es directamente proporcional a la potencia 32 de su distancia promedio d desde el Sol. (a) Exprese T como función de d por medio de una fórmula que contenga una constante de proporcionalidad k. T  kd 3/ 2 (b) Para el planeta Tierra, T  365 días y d  93 millones de millas. Encuentre el valor de k del inciso a. (c) Estime el periodo de Venus si su distancia promedio desde el Sol es de 67 millones de millas. (b) ¿Cuál es el efecto de reducir la distancia entre las partículas en un factor de un cuarto? 23 Umbral de Peso El umbral de peso W se define como el peso por encima del cual el riesgo de muerte aumenta considerablemente. Para hombres de edad mediana, W es directamente proporcional a la tercera potencia de la estatura h. (a) Exprese W como función de h por medio de una fórmula que contenga una constante de proporcionalidad k. W  kh3 (b) Para un hombre de 6 pies de estatura, W es alrededor de 200 libras. Encuentre el valor de k del inciso a. (continúa) 314 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES (c) Estime, a la libra más cercana, el umbral de peso para un hombre que mide 5 pies 6 pulgadas de estatura. 154 lb 24 La ley de un gas ideal La ley de un gas ideal expresa que el volumen V que un gas ocupa es directamente proporcional al producto del número n de moles de gas y la temperatura T, en K y es inversamente proporcional a la presión (en atmósferas). (a) Exprese V en términos de n, T, P y una constante de proporcionalidad k. V  knT P (b) ¿Cuál es el efecto en el volumen si el número de moles se duplica y tanto la temperatura como la presión se reducen en un factor de 12? V is doubled. 25 Ley de Poiseuille La ley de Poiseuille expresa que el caudal F de sangre (en L/min), que pasa por una arteria principal, es directamente proporcional al producto de la cuarta potencia del radio r de la arteria y la presión sanguínea P. (a) Exprese F en términos de P, r y una constante de proporcionalidad k. F  kPr 4 (b) Durante un ejercicio pesado, los caudales normales de sangre a veces se triplican. Si el radio de una arteria principal aumenta en 10%, ¿aproximadamente cuánto más debe bombear el corazón? About 2.05 times as hard 26 Población de truchas Suponga que se pescan 200 truchas, se marcan y se sueltan en la población general de un lago. Denote con L el número de peces marcados que son recapturados cuando una muestra de n truchas se pesca en una fecha posterior. La validez del método de marca-recaptura, para estimar la población total de truchas del lago, está basada en la suposición de que T es directamente proporcional a n. Si 10 truchas marcadas se recuperan de una muestra de 300, estime la población total de truchas del lago. 27 Desintegración radiactiva de un gas radón Cuando el uranio se desintegra en plomo, un paso del proceso es la desintegración radiactiva del radio en el gas radón. El radón entra por el suelo hacia los sótanos de casas, donde presenta un riesgo de salud si se inhala. En el caso más sencillo de detección de radón, se toma una muestra de aire con volumen V. Después de establecer un equilibrio, la desintegración radiactiva D del radón se cuenta con una eficiencia E en el tiempo t. La concentración C del radón presente en la muestra de aire varía directamente con el producto de D y E, e inversamente con el producto de V y t. Para una concentración C fija de radón y un tiempo t, encuentre el cambio en la cuenta D de desintegración radiactiva si V se duplica y E se reduce en 20%. Increases 250% 28 Concentración de radón Consulte el ejercicio 27. Encuentre el cambio en la concentración C de radón si D aumenta en 30%, t aumenta en 60%, V disminuye en 10% y E permanece constante. Decreases approximately 9.7% 29 Densidad en un punto Una placa plana y delgada se sitúa en un plano xy, de modo que la densidad d (en lb/ft2) en el punto P(x, y) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen. ¿Cuál es el efecto en la densidad en P si las coordenadas x y y se multiplican por 13 ? d is multiplied by 9. 30 Temperatura en un punto Una placa metálica plana se coloca en un plano xy tal que la temperatura T (en °C) en el punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia desde el origen. Si la temperatura en el punto P(3, 4) es 20°C, encuentre la temperatura en el punto Q(24, 7). Ejer. 31-34: Examine la expresión para el conjunto dado de puntos de datos de la forma (x, y). Encuentre la constante de variación y una fórmula que describa la forma en que y varía con respecto a x. 0.6, 0.72, 1.2, 1.44, 4.2, 5.04, 7.1, 8.52, 9.3, 11.16 y  1.2x 31 yx; 32 xy; 0.2, 26.5, 0.4, 13.25, 0.8, 6.625, 1.6, 3.3125, 3.2, 1.65625 y  5.3x 33 x 2y; 0.16, 394.53125, 0.8, 15.78125, 10.1 1.6, 3.9453125, 3.2, 0.986328125 y   2 x 34 yx 3; 0.11, 0.00355377, 0.56, 0.46889472, 1.2, 4.61376, 2.4, 36.91008 y  2.67x 3 35 Distancias de parada Consulte el ejercicio 86 de la sección 3.4. La distancia D (en pies) necesaria para que un auto se detenga con seguridad varía directamente con su velocidad S (en mi/h). (a) Use la tabla para determinar un valor aproximado para k en la fórmula de variación D  kS2.3. k  0.034 S 20 30 40 50 60 70 D 33 86 167 278 414 593 (b) Compruebe el lector su aproximación al graficar los datos y D en los mismos ejes de coordenadas. Capítulo 4 Ejercicios de repaso 315 C APÍTULO 4 EJERCICIOS DE REPASO Ejer. 1-6: Encuentre todos los valores de x tales que f(x) y toda x tal que f(x) 0, y trace la gráfica de f. 0 2 f x  x 6  32 3 f x  1 2 4 xx  2x  2x  3 17 Encuentre un polinomio f(x) de grado 7 con coeficiente principal 1 tal que 3 es un cero de multiplicidad 2 y 0 es un cero de multiplicidad 5 y trace la gráfica de f. 1 f x  x  23  41 x grado 4; f 2  1 16 1  i, 3, 0; x 7  6x 6  9x 5  2x  12x  3 4 f x  2x 2  x 3  x 4 18 Demuestre que 2 es un cero de multiplicidad 3 del polinomio f(x)  x5  4x4  3x3  34x2  52x  24 y exprese f(x) como producto de factores lineales. 5 f x  x 3  2x 2  8x Ejer. 19-20: Encuentre los ceros de f(x) y exprese la multiplicidad de cada cero. 1 6 f x  15 x 5  20x 3  64x 19 f x  x 2  2x  12x 2  2x  3 7 Si f(x)  x3  5x2  7x  9, use el teorema del valor intermedio para funciones polinomiales para demostrar que hay un número real a tal que f(a)  100. 20 f x  x 6  2x 4  x 2 0,  i all have mult. 2 8 Demuestre que la ecuación x5  3x4  2x3  x  1  0 tiene una solución entre 0 y 1. Ejer. 9-10: Encuentre el cociente y residuo si f(x) se divide entre p(x). 9 f x  3x 5  4x 3  x  5; px  x 3  2x  7 3x 2  2; 21x 2  5x  9 10 f x  4x 3  x 2  2x  1; px  x 2 4x  1; 2x  1 11 Si f(x)  4x4  3x3  5x2  7x  10, use el teorema del residuo para hallar f(2). 12 Use el teorema del factor para demostrar que x  3 es un factor de f(x)  2x4  5x3  4x2  9. Ejer. 13-14: Use división sintética para hallar el cociente y residuo si f(x) se divide entre p(x). 13 f x  6x 5  4x 2  8; px  x  2 6x 4  12x 3  24x 2  52x  104; 200 14 f x  2x 3  5x 2  2x  1; px  x  22 2x 2   5  2 22 x   2  5 22 ; 11  2 22 1 mult. 5; 3 mult. 1 Ejer. 21-22: (a) Use la regla de signos de Descartes para determinar el número de posibles soluciones complejas positivas, negativas y no reales de la ecuación. (b) Encuentre los enteros mínimo y máximo que sean límites superior e inferior, respectivamente, para las soluciones reales de la ecuación. 21 2x 4  4x 3  2x 2  5x  7  0 22 x 5  4x 3  6x 2  x  4  0 23 Demuestre que 7x 6  2x 4  3x 2  10 no tiene cero real. Ejer. 24-26: Encuentre todas las soluciones de la ecuación. 24 x 4  9x 3  31x 2  49x  30  0 3, 2, 2  i 1 1 3 25 16x 3  20x 2  8x  3  0  2 , 4 , 2 26 x 4  7x 2  6  0  26, 1 Ejer. 27-28: Encuentre una ecuación para el polinomio de sexto grado f que se muestra en la figura. 27 20 Ejer. 15-16: Un polinomio f(x) con coeficientes reales tiene el cero (o ceros) indicado y grado y satisface la condición dada. Exprese f(x) como producto de polinomios lineales y cuadráticos con coeficientes reales que sean irreducibles en ⺢. 15 3  5i, 1; 2 2 41 x grado 3; f 1  4  6x  34x  1 28 y y 10 (1, 4) 7 x 7 x 8 f (x)   61 (x  2)3(x  1)2(x  3) 1 f (x)  16 (x  3)2x 2(x  3)2 316 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 29 Identifique cualesquier asíntotas verticales, asíntotas horizontales, puntos de cruce y huecos para 4(x  2)(x  1) f (x)  . 3(x  2)(x  5) 43 Flexión de una viga Una viga horizontal de l pies de largo está apoyada en un extremo y no apoyada en el otro extremo (vea la figura). Si la viga se somete a una carga uniforme y si y denota la flexión de la viga en una posición x pies del extremo con apoyo, entonces se puede demostrar que y  cx 2x 2  4lx  6l 2, Ejer. 30-39: Trace la gráfica de f. 2 30 f x  x  12 1 31 f x  x  13 32 f x  3x 2 16  x 2 x 33 f x  x  5x 2  5x  4 donde c es una constante positiva que depende del peso de la carga y las propiedades físicas de la viga. (a) Si la viga mide 10 pies de largo y la flexión en el extremo no apoyado de la viga es de 2 pies, encuentre c. 1 15,000 (b) Demuestre que la flexión es de 1 pie en algún punto entre x  6.1 y x  6.2. Ejercicio 43 x 3  2x 2  8x 34 f x  x 2  2x 35 f x  x x 2  2x  1 x  x2  x  1 l 3 y 3x 2  x  10 36 f x  x 2  2x 37 f x  2x 2  8x  6 x 2  6x  8 38 f x  x  2x  8 x3 39 f x  x 4  16 x3 2 44 Cilindro de plástico un rectángulo hecho de material elástico se va a convertir en cilindro al unir el lado AD con el lado BC, como se ve en la figura. Un alambre de longitud fija l se pone a lo largo de la diagonal del rectángulo para dar apoyo a la estructura. Denote con x la altura del cilindro. (a) Exprese el volumen V del cilindro en términos de x. 40 Encuentre una ecuación de una función racional f que satisfaga las condiciones dadas. 3(x  5)(x  2) asíntota vertical: x  3 f (x)  2(x  3)(x  2) 3 asíntota horizontal: y  2 3x 2  21x  30 punto de intersección con el eje x: or 5 f (x)  2x 2  2x  12 hueco en x  2 V (b) ¿Para qué valores positivos de x es V 0? 0 Ejercicio 44 D 41 Suponga que y es directamente proporcional a la raíz cúbica de x e inversamente proporcional al cuadrado de z. Encuentre la constante de proporcionalidad si y  6 cuando x  8 y z  3. 27 42 Suponga que y es inversamente proporcional al cuadrado de x. Trace una gráfica de esta relación para x 0, dado que y  18 cuando x  4. Incluya un punto para x  12. 1 xl 2  x 2 4 C D B A l A x l Capítulo 4 Ejercicios de análisis 45 Determinar temperaturas Un meteorólogo determina que la temperatura T (en °F) para cierto periodo de 24 horas en 1 invierno se da con la fórmula T  20 tt  12t  24 para 0 t 24, donde t es el tiempo en horas y t  0 corresponde a las 6:00 a.m. ¿En qué tiempo(s) la temperatura fue de 32°F? 46 Propagación de venados Un rebaño de 100 venados se introduce en una pequeña isla. Suponiendo que el número N(t) de venados después de t años está dado por N(t)  t4  21t2  100 (para t 0), determine cuándo es que el tamaño del rebaño pasa de 180. 47 Curva de umbral de respuesta En bioquímica, la curva general de umbral de respuesta es la gráfica de una ecuación R kS n , S  an n donde R es la respuesta química cuando el nivel de la sustancia sobre la que se actúa es S y a, k y n son constantes positivas. Un ejemplo es la rapidez de remoción R de alcohol del torrente sanguíneo por el hígado, cuando la concentración de alcohol en la sangre es S. (a) Encuentre una ecuación de la asíntota horizontal para la gráfica. (b) En el caso de la remoción de alcohol, n  1 y un valor típico de k es 0.22 gramos por litro por minuto. ¿Cuál es la interpretación de k en esta situación? 317 48 Limpieza de un derrame de petróleo El costo C(x) de limpiar x por ciento de un derrame de petróleo que ha llegado a la costa aumenta grandemente cuando x se aproxima a 100. Suponga que Cx  0.3x millones de dólares. 101  x (a) Compare C100 con C90. C100  $30 million, C90  $2.5 million (b) Trace la gráfica de C para 0 x 100. 49 Llamadas telefónicas En cierto condado, el número promedio de llamadas telefónicas por día, entre dos ciudades cualesquiera, es directamente proporcional al producto de sus poblaciones e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Las ciudades A y B están a 25 millas una de otra y tienen poblaciones de 10,000 y 5000, respectivamente. Los registros telefónicos indican un promedio de 2000 llamadas por día entre las dos ciudades. Estime el número promedio de llamadas por día entre la ciudad A y otra ciudad de 15,000 habitantes que está a 100 millas de A. 50 Potencia de un rotor de viento La potencia P generada por un rotor de viento es directamente proporcional al producto del cuadrado del área A recorrida por las palas y la tercera potencia de la velocidad v del viento. Suponga que el diámetro del área circular recorrida por las palas es de 10 pies y P  3000 watts cuando v  20 mi/h. Encuentre la potencia generada cuando la velocidad del viento sea de 30 mi/h. CAPÍTULO 4 EJERCICIOS DE ANÁLISIS 1 Compare el dominio, rango, número de intersecciones con el eje x y forma general de polinomios de grado par y polinomios de grado impar. 2 Cuando use división sintética, ¿podría el lector usar un número complejo c en vez de un número real en x  c? Yes 3 Analice la forma en que la división sintética se puede usar para ayudar a hallar el cociente y residuo cuando 4x3  8x2  11x  9 se divide entre 2x  3. Discuta cómo se puede usar división sintética con cualquier factor lineal de la forma ax  b. 4 Trace (manualmente) una gráfica de una función con polinomios de grado 3 que tenga intersección 1, 2 y 3 con el eje x, tenga una intersección en 6 con el eje y y pase por el punto (1, 25). ¿Puede el lector tener la gráfica que acaba de trazar? No 5 ¿Cuántos puntos diferentes se necesitan para especificar un polinomio de grado n? n  1 6 Demuestre el teorema sobre ceros de par conjugado de un polinomio (Sugerencia: Para un polinomio f arbitrario, examine los conjugados de ambos lados de la ecuación f(z)  0.) 318 CAPÍTULO 4 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 7 Dé un ejemplo de una función racional que tenga un factor común en el numerador y el denominador, pero no tenga un hueco en su gráfica. Analice, en general, la forma en que esto ocurre. x 2  1x  1 f x  2 x  1x  2 ax  b (donde ax  b 苷 cx  d cx  d) cruzar su asíntota horizontal? Si es así, ¿dónde es? No 8 (a) ¿Puede la gráfica de f x  2 ax  bx  c (suponga dx 2  ex  f que no hay factores semejantes) cruzar su asíntota horizontal? Si es así, ¿dónde es? Yes; at x  cd  af , pro- (b) ¿Puede la gráfica de f x  vided denominator is not zero ae  bd 9 Formula de supervivencia en juegos de azar Una fórmula empírica para rollo de papel moneda B (en dólares), que se necesita para sobrevivir a una sesión de juegos de azar con confianza C (porcentaje expresado como decimal), está dada por la fórmula B GW , 29.3  53.1E  22.7C donde G es el número de juegos jugados en la sesión, W es la apuesta por juego y E es la ventaja del jugador en el juego (expresada como decimal). (a) Aproxime el rollo de papel moneda necesario para un jugador que juega 500 juegos por hora, durante 3 horas, a $5 por juego y ventaja de 5%, siempre que el jugador desee un 95% de probabilidad de sobrevivir la sesión de 3 horas. $1476 (b) Discuta la validez de la fórmula; una tabla y gráfica pueden ayudar. Not valid for high confidence values 10 Multiplique juntos tres enteros consecutivos y luego sume el segundo entero a ese producto. Use división sintética para ayudar a demostrar que la suma es el cubo de un entero y determine qué entero. The second integer 11 Tasa personal de impuesto Suponga que la cantidad total de impuesto estatal pagada está formada por una cantidad P por propiedad personal y S por ciento de ingreso I. (a) Encuentre una función que calcule la tasa R de impuesto estatal de una persona, es decir, el porcentaje del ingreso de esa persona que se paga en impuestos. (Es útil considerar valores específicos para crear la funP  SI ción.) R(I)  I (b) ¿Qué ocurre a R cuando I se hace muy grande? R approaches S. (c) Analice la frase “La gente rica paga un porcentaje más bajo de sus ingresos en impuestos estatales que cualquier otro grupo.” As income gets larger, individuals pay more in taxes, but fixed tax amounts play a smaller role in determining their overall tax rate. 12 Calificación de un pasador de la NFL La National Football League clasifica a sus pasadores al asignar una calificación R de pasador con base en los números de pases completos C, intentos A, yardas Y, touchdowns T, e intercepciones I. En una situación normal, se puede demostrar que la calificación del pasador se puede calcular usando la fórmula R 25(A  40C  2Y  160T  200I) . 12A (a) En 1994, Steve Young completó 324 de 461 pases para 3969 yardas y tuvo 35 pases para touchdown, así como 10 intercepciones. Calcule su calificación récord. 112.8 (b) ¿Cuántas yardas más hubiera necesitado para obtener una calificación de pasador de al menos 113? 23 (c) Si hubiera podido hacer un pase de touchdown más, ¿de qué largo hubiera tenido que ser para que él obtuviera una calificación de pasador de al menos 114? 5 Funciones inversas, exponenciales y logarítmicas 5.1 Funciones inversas 5.2 Funciones exponenciales 5.3 La función exponencial natural 5.4 Funciones logarítmicas 5.5 Propiedades de logaritmos 5.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones trascendentes, porque no pueden ser definidas en términos sólo de adición, sustracción, multiplicación, división y potencias racionales de una variable x, como es el caso para las funciones algebraicas consideradas en capítulos previos. Esas funciones son de la mayor importancia en matemáticas y tienen aplicaciones en casi todos los campos del saber humano. Son especialmente útiles en los campos de química, biología, física e ingeniería, donde ayudan a describir la forma en la que las cantidades en la naturaleza crecen o se desintegran. Como veremos en el capítulo, hay una estrecha relación entre funciones exponenciales y logarítmicas específicas, es decir, son funciones inversas entre sí. 320 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 5.1 Una función f puede tener el mismo valor para diferentes números en su dominio. Por ejemplo, si f (x)  x2, entonces f (2)  4 y f (2)  4, pero 2 苷 2. Para que la inversa de una función se defina, es esencial que números diferentes del dominio siempre den valores diferentes de f. Esas funciones se denominan funciones biunívocas. Funciones inversas Una función f con dominio D e imagen R es una función biunívoca si cualquiera de las dos condiciones equivalentes siguientes se satisface: (1) Siempre que a 苷 b en D, entonces f (a) 苷 f (b) en R. (2) Siempre que f (a)  f (b) en R, entonces a  b en D. Definición de función biunívoca El diagrama de flechas de la figura 1 ilustra una función biunívoca. Nótese que el valor de cada función de la imagen R corresponde a exactamente un elemento del dominio D. La función ilustrada en la figura 2 de la sección 3.4 es biunívoca, porque f (w)  f (z), pero w 苷 z. Figura 1 a c b f (a) x f (c) D f (x) f (b) EJEMPLO 1 Determinar si una función es biunívoca (a) Si f (x)  3x  2, demuestre que f es biunívoca. (b) Si g(x)  x2  3, demuestre que g no es biunívoca. R SOLUCIÓN (a) Usaremos la condición 2 de la definición precedente. Por lo tanto, suponga que f (a)  f (b) para algunos números a y b del dominio de f. Esto nos da 3a  2  3b  2 3a  3b ab Figura 2 y y  f (a) a divida entre 3 L f (b) b reste 2 Como hemos concluido que a debe ser igual a b, f es biunívoca. (b) Demostrar que una función es biunívoca requiere una prueba general, como en el inciso a. Para demostrar que g no es biunívoca sólo necesitamos hallar dos números reales distintos en el dominio que produzcan el mismo valor de función. Por ejemplo 1 苷 1, pero g(1)  (1). De hecho, como g es una función par, g(a)  g(a) para todo número real a. y  f (x) f (a) definición de fx x Si conocemos la gráfica de una función f, es fácil determinar si f es biunívoca. Por ejemplo, la función cuya gráfica se traza en la figura 2 no es biunívoca porque a 苷 b, pero f (a)  f(b). Nótese que la recta horizontal y  f(a) (o y  f (b)) cruza la gráfica en más de un punto. En general, podemos usar la prueba gráfica siguiente para determinar si una función es biunívoca. 5 .1 F u n c i o n e s i n v e r s a s Prueba de la recta horizontal 321 Una función f es biunívoca si y sólo si toda recta horizontal cruza la gráfica de f en a lo sumo un punto. Apliquemos la prueba de la recta horizontal a las funciones del ejemplo 1. EJEMPLO 2 Uso de la prueba de la recta horizontal Use la prueba de la recta horizontal para determinar si la función es biunívoca. (a) fx  3x  2 (b) gx  x2  3 SOLUCIÓN (a) La gráfica de f(x)  3x  2 es una recta con punto de cruce 2 con el eje y y pendiente 3, como se ve en la figura 3. Vemos que cualquier recta horizontal cruza la gráfica de f en un punto a lo sumo. Entonces, f es biunívoca. Figura 3 Figura 4 y y g(x)  x2  3 x x f (x)  3x  2 (0, 3) (b) La gráfica de g(x)  x2 3 es una parábola que abre hacia arriba con vértice (0, 3), como se ve en la figura 4. En este caso, cualquier recta horizontal con ecuación y  k, donde k 3, cruzará la gráfica de g en dos puntos. Por lo tanto, g no es biunívoca. L 322 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Podemos suponer del ejemplo 2 que toda función creciente o función decreciente pasa la prueba de la recta horizontal. En consecuencia, obtenemos el siguiente resultado. Teorema: Las funciones crecientes o decrecientes son biunívocas (1) Una función que es creciente en todo su dominio es biunívoca. (2) Una función que es decreciente en todo su dominio es biunívoca. Sea f una función biunívoca con dominio D e imagen R. Así, para cada número y en R, hay exactamente un número x en D tal que y  f (x), como lo ilustra la flecha de la figura 5(a). Podemos, por lo tanto, definir una función g de R a D por medio de la siguiente regla: x  g y Como en la figura 5(b), g invierte la correspondencia dada por f. Denominamos g a la función inversa de f, como en la siguiente definición. Figura 5 (a) y  f x (b) x  g y g f x  g(y) x y  f (x) D y D R R Definición de función inversa Sea f una función biunívoca con dominio D e imagen R. Una función g con dominio R e imagen D es la función inversa de f, siempre que la condición siguiente sea verdadera para toda x en D y toda y en R: y  f x si y sólo si x  g y Recuerde que para definir la inversa de una función f, es absolutamente esencial que f sea biunívoca. El siguiente teorema, expresado sin prueba, es útil para verificar que una función g es la inversa de f. 5 .1 F u n c i o n e s i n v e r s a s Teorema de funciones inversas 323 Sea f una función biunívoca con dominio D e imagen R. Si g es una función con dominio R e imagen D, entonces g es la función inversa de f si y sólo si son verdaderas las dos condiciones siguientes: (1) g f x  x para toda x en D (2) f g y  y para toda y en R Las condiciones 1 y 2 del teorema precedente están ilustradas en la figura 6(a) y (b), respectivamente, donde la flecha azul indica que f es una función de D a R y la flecha roja indica que g es una función de R a D. Figura 6 (a) Primero f, luego g (b) Primero g, luego f f f f (x) x g( f (x)) D g(y) g y g R D f (g(y)) R Nótese que en la figura 6(a) primero aplicamos f al número x en D, obteniendo el valor de función f (x) en R, y luego aplicamos g a f (x), obteniendo el número g( f (x)) en D. La condición 1 del teorema expresa que g(f (x))  x para toda x; esto es, g invierte la correspondencia dada por f. En la figura 6(b) usamos el orden opuesto para las funciones. Primero aplicamos g al número y en R, obteniendo el valor de función g(y) en D y luego aplicamos f a g(y), obteniendo el número f (g(y)) en R. La condición 2 del teorema expresa que f (g(y))  y para toda y; esto es, f invierte la correspondencia dada por g. Si una función f tiene una función inversa g, con frecuencia denotamos g por f1. El 1 empleado en esta notación no debe confundirse con un exponente; esto es, f 1 y no significa 1 f  y. El recíproco 1/[ f (y)] puede ser denotado por [ f(y)]1. Es importante recordar los datos siguientes acerca del dominio y rango de f y f1. Dominio e imagen de f y f ⴚ1 dominio de f 1  rango de f rango de f 1  dominio de f Cuando estudiamos funciones, a veces denotamos con x a un número arbitrario en el dominio. Así, para la función inversa f1, podemos considerar f1(x), donde x está en el dominio R de f1. En este evento, las dos condiciones del teorema sobre funciones inversas se escriben como sigue: (1) f 1 f x  x para toda x en el dominio de f (2) f  f 1x  x para toda x en el dominio de f 1 324 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS La figura 6 contiene una sugerencia para hallar la inversa de una función biunívoca en ciertos casos: si es posible, de la ecuación y  f (x) despejamos x en términos de y, obteniendo una ecuación de la forma x  g(y). Si las dos condiciones g(f(x))  x y f (g(x))  x son verdaderas para toda x en los dominios de f y g, respectivamente, entonces g es la función inversa f1 requerida. Las guías siguientes resumen este procedimiento; en la guía 2, antes de hallar f1, escribimos x  f 1(y) en lugar de x  g(y). Guías para hallar f ⴚ1 en casos sencillos 1 Verifique que f sea una función biunívoca en todo su dominio. 2 De la ecuación y  f (x) despeje x en términos de y, obteniendo una ecuación de la forma x  f1(y). 3 Verifique las dos condiciones siguientes: (a) f1(f(x))  x para toda x en el dominio de f (b) f (f1(x))  x para toda x en el dominio de f1 El éxito de este método depende de la naturaleza de la ecuación y  f(x), porque debemos estar en condiciones de despejar x en términos de y. Por esta razón, incluimos la frase en casos sencillos en el título de las guías. Seguiremos estas guías en los siguientes tres ejemplos. EJEMPLO 3 Hallar la inversa de una función Sea f (x)  3x  5. Encuentre la función inversa de f. SOLUCIÓN Guía 1 La gráfica de la función lineal f es una recta de pendiente 3 y por tanto f es creciente de principio a fin en ⺢. Así, f es biunívoca y existe la función inversa f1. Además, como el dominio y el rango de f son ⺢, lo mismo es cierto para f1. Guía 2 De la ecuación y  f(x) despeje x: y  3x  5 sea y  fx y5 despeje x en términos de y x 3 Ahora formalmente hacemos x  f1(y); esto es, f 1 y  y5 . 3 Como el símbolo empleado para la variable no tiene importancia, también podemos escribir f 1x  donde x está en el dominio de f1. x5 , 3 5 .1 F u n c i o n e s i n v e r s a s 325 Guía 3 Como el dominio y el rango de f y de f1 son ⺢, debemos verificar las condiciones (a) y (b) para todo número real x. Procedemos como sigue: (a) f 1 f x  f 13x  5 definición de f 3x  5  5 definición de f 1  3 simplifique x (b) f  f 1x  f 3     x5 3 definición de f 1 x5 5 3 definición de f x simplifique Estas verificaciones demuestran que la función inversa de f está dada por f 1x  EJEMPLO 4 x5 . 3 L Hallar la inversa de una función Sea f (x)  x2  3 para x 0. Encuentre la función inversa de f. SOLUCIÓN Guía 1 La gráfica de f aparece en la figura 7. El dominio de f es [0, ), y el rango es [3, ). Como f es creciente, es biunívoca y por tanto tiene una función inversa f1 con dominio [3, ) y rango [0, ). Guía 2 Consideremos la ecuación Figura 7 y y  x2  3, x y  x2  3 0 y despejamos x, obteniendo x  2y  3 . x Como x es no negativa, rechazamos x   2y  3 y hacemos f 1 y  2y  3 o bien, lo que es equivalente, f 1x  2x  3 . (Nótese que si la función f tuviera dominio x 0 escogeríamos la función f 1x   2x  3.) Guía 3 Verificamos las condiciones (a) y (b) para x en los dominios de f y f1, respectivamente. (a) f 1 f x  f 1x 2  3  2x 2  3  3  2x 2  x para x 0 (b) f  f 1x  f  2x  3    2x  3 2  3  x  3  3  x para x 3 Entonces, la función inversa está dada por f 1x  2x  3 para x 3. L 326 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Hay una relación interesante entre la gráfica de una función f y la gráfica de su función inversa f1. Primero observamos que b  f(a) es equivalente a a  f1(b). Estas ecuaciones implican que el punto (a, b) está sobre la gráfica de f si y sólo si el punto (b, a) está sobre la gráfica de f1. Como ilustración, en el ejemplo 4 encontramos que las funciones f y f1 dadas por Figura 8 y l y  f 1(x) fx  x 2  3 x y f 1x  2x  3 son funciones inversas entre sí, siempre que x se restrinja de modo apropiado. Algunos puntos sobre la gráfica de f son (0, 3), (1, 2), (2, 1) y (3, 6). Los puntos correspondientes sobre la gráfica de f1 son (3, 0), (2, 1), (1, 2) y (6, 3). Las gráficas de f y f1 se trazan en el mismo plano de coordenadas en la figura 8. Si la página se dobla a lo largo de la recta y  x que corta los cuadrantes I y III (como se indica con la línea interrumpida de la figura), entonces las gráficas de f y f1 coinciden. Las dos gráficas son reflexiones una de la otra a través de la recta y  x o son simétricas con respecto a esta recta. Esto es típico de la gráfica de toda función f que tiene una función inversa f1 (vea el ejercicio 50). y  f(x) Nótese que las gráficas de f y f1 se cruzan en la recta y  x. Figura 9 y (2, 8) EJEMPLO 5 La relación entre las gráficas de f y f1 Sea f(x)  x3. Encuentre la función inversa f1 de f y trace las gráficas de f y f1 en el mismo plano de coordenadas. y  x3 SOLUCIÓN La gráfica de f se traza en la figura 9. Nótese que f es una función impar y por tanto la gráfica es simétrica con respecto al origen. Guía 1 Como f es creciente en todo su dominio ⺢, es biunívoca y por tanto tiene una función inversa f1. Guía 2 Consideremos la ecuación (1, 1) x y  x3 y despejamos x al tomar la raíz cúbica de cada lado, obteniendo Figura 10 3 x  y1/3  2 y. y A continuación hacemos (2, 8) y  x3 3 f 1 y  2 y yx 3 y  x  (8, 2) x o bien, lo que es equivalente, 3 f 1x  2 x. Guía 3 Verificamos las condiciones (a) y (b): 3 3 (a) f 1 f x  f 1x 3  2 x  x para toda x en ⺢ 3 3 (b) f  f 1x  f  2 x    2 x 3  x para toda x en ⺢ 3 La gráfica de f1  esto es, la gráfica de la ecuación y  2 x  puede obtenerse por reflexión de la gráfica de la figura 9 a través de la recta y  x, como se ve en la figura 10. Tres puntos sobre la gráfica de f1 son (0, 0), (1, 1) y (8, 2). L El siguiente ejemplo muestra cómo graficar la inversa de una función usando una calculadora graficadora. 5 .1 F u n c i o n e s i n v e r s a s EJEMPLO 6 327 Graficar la inversa de una función (a) Trace la gráfica de la función inversa de 1 f x  35 x3  9x. (b) Aproxime las soluciones de la ecuación f(x)  f1(x). SOLUCIÓN (a) Asignaremos (x3  9x)/35 a Y1, asignamos x a Y2, ajustamos la pantalla a [12, 12] por [8, 8] y graficamos las funciones. TI-83/4 Plus TI-86 Haga asignaciones Y. Grafique las funciones. Grafique la inversa. Como f es creciente en todo su dominio, es biunívoca y tiene una inversa. Si f no fuera biunívoca e hiciéramos el siguiente tecleo, entonces la calculadora trazaría la relación inversa, pero no sería una función. 2nd VARS DRAW 8 䉯 1 MORE 1 ENTER DrInv(F3) DRAW(F2) 2nd MORE (3 veces) alpha Y 1 ENTER (b) f(x)  f1(x) en la recta y  x. Usando la función de intersección con Y1 y Y2 da la solución x  5.1. Por la simetría de las gráficas, tenemos las soluciones x  0 y x  5.1. L 328 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 5.1 Ejercicios Ejer. 1-2: Si es posible, encuentre (a) f ⴚ1(5) (b) gⴚ1(6) 1 x 2 4 6 x 1 3 5 f(x) 3 5 9 g(x) 6 2 6 Ejer. 17-20: Use el teorema sobre funciones inversas para demostrar que f y g son funciones inversas una de otra y trace las gráficas de f y g en el mismo plano de coordenadas. x2 17 f x  3x  2; gx  3 18 f x  x 2  5, x 4; not possible 2 t 0 3 5 t 1 2 4 f(t) 2 5 6 g(t) 3 6 6 19 f x  x 2  3, x Ejer. 3-4: Determine si la gráfica corresponde a una función biunívoca. (b) y (c) y y Yes x No 4 (a) x 2 21 f x   x1 Yes x Not a function 9 f x  2x Yes 11 f x  x No 8 f x  x 2  4 No 26 f x  7  2x f 1x  1 3x  2 f 1x  28 f x  2x  1 3x 3x  2 2x  5 f 1x  30 f x  5x  2 2x  3 31 f x  2  3x 2, x 3 2x f 1x  2 36 f x  24  x 2, 0 1 16 f x  2 No x 0 34 f x  x 3  2 12 f x  3 No 1 15 f x  Yes x 2x x4 32 f x  5x 2  2, x 0 35 f x  23  x f 1x  3  x 2, x 14 f x  2x 3  4 Yes 1  3x x 4x x2 f 1x  33 f x  2x 3  5 f 1x  24  x 2, 0 7x 2 1 x3 f 1x  3 10 f x  2 x Yes 13 f x  24  x2 No 2x  7 9x  1  , 92  傼  29 ,  ;  ,  19  傼   19 ,   x5 f x  3 y Ejer. 5-16: Determine si la función f es biunívoca. 1 6 f x  Yes 5 f x  3x  7 Yes x2 7 f x  x 2  9 No 24 f x  1 29 f x  No 4x  5 3x  8 25 f x  3x  5 x 5 x3 , 0 傼 0, ; , 3 傼 3,   , 34  傼  43 ,  ;  , 38  傼  83 ,   27 f x  x 22 f x  Ejer. 25-42: Encuentre la función inversa de f. (c) y 3 3 gx  2 x4 , 0 傼 0, ; , 1 傼 1,  Not a function (b) y 0; gx  23  x, x 5 Ejer. 21-24: Determine el dominio y el rango de f ⴚ1 para la función dada sin hallar en realidad f ⴚ1. Sugerencia: Primero encuentre el dominio e imagen de f. 23 f x  x gx   2x  5, x 20 f x  x 3  4; 3; not possible 3 (a) 0; x x 2 0 2 3 x1 37 f x  2 38 f x  x3  15 3 5 f 1x   2x  1 39 f x  x f 1x  x 40 f x  x f 1x  x f 1x  x  13 5 .1 F u n c i o n e s i n v e r s a s 41 f x  x 2  6x, x 3 f 1x  3  42 f x  x 2  4x  3, x 46 2x  9 y yx 2 f 1x  2 2x  1 Ejer. 43-44: Sea h(x) ⴝ 4 ⴚ x. Use h, la tabla y la gráfica para evaluar la expresión. x f(x) 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 329 (10, 9) g(x) (1, 1) x (1, 0) (3, 5) D  1, 10, R  0, 9; D 1  0, 9, R 1  1, 10 (2, 3) y 47 yx x (3, 2) x (3, 2) 43 (a) g1 ⴰ f 12 3 (b) g1 ⴰ h3 1 (c) h1 ⴰ f ⴰ g13 5 44 (a) g ⴰ f 11 3 (b)  f 1 ⴰ g13 5 D  3, 3, R  2, 2; D 1  2, 2, R 1  3, 3 (c) h1 ⴰ g1 ⴰ f 6 2 y 48 Ejer. 45-48: Se ilustra la gráfica de una función biunívoca f. (a) Utilice la propiedad de reflexión para trazar la gráfica de f 1. (b) Encuentre el dominio D y la imagen R de la función f . (c) Encuentre el dominio D1 y rango R1 de la función inversa f 1. y 45 yx (0, 1) (3, 1) (2, 4) x 1, q x yx D  0, 3, R  1, 1; D 1  1, 1, R 1  0, 3 49 (a) Demuestre que la función definida por f(x) ax  b (una función lineal) para a 苷 0 tiene una función inversa y encuentre f1(x). (b) ¿Una función constante tiene inversa? Explique. D  1, 2, R   12 , 4 ; D 1   12 , 4 , R 1  1, 2 No; not one-to-one 330 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 50 Demuestre que la gráfica de f1 es la reflexión de la gráfica de f a través de la recta y  x verificando las siguientes condiciones: (1) Si P(a, b) está sobre la gráfica de f, entonces Q(b, a) está sobre la gráfica de f1. (2) El punto medio del segmento de recta PQ está sobre la recta y  x. (3) La recta PQ es perpendicular a la recta y  x. 51 Verifique que f(x)  f1(x) si (a) f x  x  b (b) f x  ax  b para c 苷 0 cx  a (c) f x tiene la gráfica siguiente: Ejer. 57-58: Grafique f en la pantalla dada. Use la gráfica de f para predecir la forma de la gráfica de f ⴚ1. Verifique su predicción al graficar f ⴚ1 y la recta y ⴝ x en la misma pantalla. 3 57 f x  2 x  1; 12, 12 por 8, 8 f 1x  x 3  1 58 f x  2x  22  3, x 2; 0, 12 por 0, 8 59 Necesidades de ventilación La ventilación es una forma eficiente de mejorar la calidad del aire en interiores. En restaurantes donde no se permite fumar, las necesidades de circulación de aire (en pies3/min) están dadas por la función V(x)  35x, donde x es el número de personas en el área de comedor. (a) Determine las necesidades de ventilación para 23 personas. y (b) Encuentre V1(x). Explique el significado de V1. (c) Use V1 para determinar el número máximo de personas que pueden estar en un restaurante que tenga capacidad de ventilación de 2350 pies3/min. 60 Estaciones radioemisoras La tabla siguiente es una lista de números totales de radioemisoras en Estados Unidos para ciertos años. y  f(x) x Año 52 Sea n cualquier entero positivo. Encuentre la función inversa de f si (a) f x  x n para x (b) f x  x m/n 0 f 1x  x 1/n para x f 1x  x n/m 0 y m cualquier entero positivo Ejer. 53-54: Use la gráfica de f para determinar si f es biunívoca. 53 f x  0.4x5  0.4x4  1.2x3  1.2x2  0.8x  0.8 Yes 54 f x  x8 No x 2/3  4 Ejer. 55-56: Grafique f sobre el intervalo dado. (a) Estime el intervalo más grande [a, b] con a < 0 < b sobre el cual f es biunívoca. (b) Si g es la función con dominio [a, b] tal que g(x) ⴝ f (x) para a x b, estime el dominio y rango de gⴚ1. 55 f x  2.1x  2.98x  2.11x  3; 3 2 0.27, 1.22; 0.20, 3.31, 0.27, 1.22 56 f x  0.05x 4  0.24x 3  0.15x 2  1.18x  0.24; 1.27, 1.31; 0.88, 1.14, 1.27, 1.31 1, 2 2, 2 Número 1950 2773 1960 4133 1970 6760 1980 8566 1990 10,770 2000 12,717 (a) Grafique los datos. (b) Determine la función lineal f(x)  ax  b que modele estos datos, donde x es el año. Grafique f y los datos en los mismos ejes de coordenadas. (c) Encuentre f1(x). Explique el significado de f1. (d) Use f1 para predecir el año en el que hubo 11,987 radioemisoras. Compárelo con el verdadero valor, que es 1995. 5.2 Funciones exponenciales 5.2 331 Previamente, consideramos funciones que tenían términos de la forma Funciones exponenciales base variablepotencia constante, como por ejemplo x2, 0.2x1.3 y 8x2/3. Ahora llevemos nuestra atención a funciones que tienen términos de la forma base constantepotencia variable, como por ejemplo 2x, (1.04)4x y 3x. Empecemos por considerar la función f definida por f x  2x, donde x está restringida a números racionales.  Recuerde que si x  m/n para n enteros m y n con n 0, entonces 2x  2m/n   2 2 m.  Las coordenadas de x varios puntos sobre la gráfica de y  2 se dan en la tabla siguiente. Figura 1 x y 1 1024 y ⴝ 2x (3, 8) (2, 4) 1, q 10 3 2 1 0 1 (1, 2) (0, 1) x 1 4 1 2 1 2 2 3 10 4 8 1024 Otros valores de y para x racional, por ejemplo 21/3, 29/7, y 25.143, se pueden aproximar con una calculadora. Podemos demostrar algebraicamente que si x1 y x2 son números racionales tales que x1 x2, entonces 2x1 2x 2. Así, f es una función creciente y su gráfica sube. Localizar puntos lleva al trazo de la figura 1, donde los pequeños puntos indican que sólo los puntos con coordenadas x racionales están sobre la gráfica. Hay un hueco en la gráfica siempre que la coordenada x de un punto sea irracional. Para extender el dominio de f a todos los números reales, es necesario definir 2x para todo exponente irracional x. Para ilustrar, si deseamos definir 2p, podríamos usar el decimal no periódico que representa 3.1415926. . . por p y considerar las siguientes potencias racionales de 2: 23, Figura 2 1 8 23.1, 23.14, 23.141, 23.1415, 23.14159, ... Puede demostrarse, usando cálculo, que cada potencia sucesiva se acerca a un único número real, denotado por 2. Así, y 2x l 2 x como x l , con x racional. La misma técnica se puede usar para cualquier otra potencia irracional de 2. Para trazar la gráfica de y  2x con x real, sustituimos los huecos de la gráfica de la figura 1 con puntos y obtenemos la gráfica de la figura 2. La función f definida por f (x)  2x para todo número real x se denomina función exponencial con base 2. Consideremos a continuación cualquier base a, donde a es un número real positivo diferente de 1. Al igual que en la exposición precedente, a cada número real x corresponde exactamente un número positivo ax tal que las leyes de exponentes son verdaderas. Así, como en la tabla siguiente, podemos definir una función f cuyo dominio es ⺢ y la imagen es el conjunto de números reales positivos. 332 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Terminología Gráfica de f para a > 1 Definición Función exponencial f con base a f x  ax Gráfica de f para 0 < a < 1 y para toda x en ⺢ , donde a 0ya苷1 y x Nótese que si a 1, entonces a  1  d (d 0) y la base a en y  ax puede considerarse como la representación de una multiplicación por más de 100% a medida que x aumenta en 1, de modo que la función es creciente. Por ejemplo, si a  1.15, entonces y  (1.15)x puede considerarse como una función creciente de 15% por año. Más detalles sobre este concepto aparecen más adelante. Teorema: Las funciones exponenciales son biunívocas x Las gráficas de la tabla muestran que si a 1, entonces f es creciente en ⺢, y si 0 a 1, entonces f es decreciente en ⺢. (Estos datos se pueden demostrar usando cálculo.) Las gráficas simplemente indican el aspecto general; la forma exacta depende del valor de a. Nótese, sin embargo, que como a0  1, el punto de intersección con el eje y es 1 para toda a. Si a 1, entonces x disminuye pasando por valores negativos y la gráfica de f se aproxima al eje x (vea la tercera columna de la tabla). Así, el eje x es una asíntota horizontal. Cuando x aumenta pasando por valores positivos, la gráfica sube rápidamente. Este tipo de variación es característico de la ley de crecimiento exponencial y f a veces recibe el nombre de función de crecimiento. Si 0 a 1, entonces, cuando x aumenta, la gráfica de f se aproxima al eje x en forma asintótica (vea la última columna de la tabla). Este tipo de variación se conoce como decaimiento exponencial. Al considerar ax excluimos los casos a 0 y a  1. Nótese que si a 0, entonces ax no es un número real para muchos valores de x como por ejemplo 1 3 11 0 0 2 , 4 , y 6 . Si a  0, entonces a  0 no está definida. Por último, si a  1, enx tonces a  1 para toda x y la gráfica de y  ax es una recta horizontal. La gráfica de una función exponencial f es creciente en todo su dominio o decreciente en todo su dominio. Por lo tanto, f es biunívoca por el teorema de la página 322. Combinando este resultado con la definición de una función biunívoca (vea la página 320) nos da las partes (1) y (2) del siguiente teorema. La función exponencial f dada por f x  ax para 0 a 1 o a 1 es biunívoca. Por lo tanto, las siguientes condiciones equivalentes quedan satisfechas para números reales x1 y x2. (1) Si x1 苷 x2, entonces a x 苷 a x . (2) Si a x  a x , entonces x1  x2. 1 1 2 2 Cuando usemos este teorema como razón para un paso en la solución de un ejemplo, indicaremos que las funciones exponenciales son biunívocas. 333 5.2 Funciones exponenciales ILUSTRACIÓN Las funciones exponenciales son biunívocas Si 73x  72x5, entonces 3x  2x  5 o x  5. En el siguiente ejemplo resolveremos una ecuación exponencial sencilla, es decir, una ecuación en la que la incógnita aparece en un exponente. EJEMPLO 1 Resolver una ecuación exponencial Resuelva la ecuación 35x8  9x2. SOLUCIÓN 35x8  9x2 35x8  32x2 35x8  32x4 5x  8  2x  4 3x  12 x4 enunciado exprese ambos lados con la misma base ley de exponentes las funciones exponenciales son biunívocas reste 2x y sume 8 L divida entre 3 Observe que la solución del ejemplo 1 dependió del hecho que la base 9 podía escribirse como 3 a alguna potencia. Consideraremos sólo ecuaciones exponenciales de este tipo por ahora, pero resolveremos ecuaciones exponenciales más generales más adelante en este capítulo. En los dos ejemplos siguientes trazamos las gráficas de varias funciones exponenciales diferentes. Figura 3 EJEMPLO 2 y Si f x   ordenadas. y  3x  3 x 2 Trazar gráficas de funciones exponenciales y gx  3x, trace las gráficas de f y g en el mismo plano de co3 Como 2 1 y 3 1, cada gráfica sube cuando x aumenta. La tabla siguiente muestra coordenadas para varios puntos sobre las gráficas. SOLUCIÓN x  y w x x 1 0 1 2 3  0.7 1 3 2 1 3  0.3 1 3 2 y ⴝ 2 4 9  0.4 y ⴝ 3x 1 9  0.1 3 x 2 9 4  2.3 9 3 27 8  3.4 27 4 81 16  5.1 81 Localizar puntos y estar familiarizado con la gráfica general de y  ax lleva a las gráficas de la figura 3. L El ejemplo 2 ilustra el hecho de que si 1 a b, entonces ax bx para valores positivos de x y bx ax para valores negativos de x. En particular, 3 como 2 2 3, la gráfica de y  2x en la figura 2 se encuentra entre las gráficas de f y g en la figura 3. 334 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Figura 4 EJEMPLO 3 Trazar la gráfica de una función exponencial Trace la gráfica de la ecuación y   12 x. y 1 Como 0 2 1, la gráfica decrece cuando x aumenta. Las coordenadas de algunos puntos en la gráfica se indican en la tabla siguiente. SOLUCIÓN x  x y q  y ⴝ  12  2x x 3 2 1 0 1 2 3 x 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 La gráfica se traza en la figura 4. Como  12 x  21x  2x, la gráfica es la misma que la gráfica de la ecuación y  2x. Nótese que la gráfica es una reflexión por el eje y de la gráfica de y  2x en la figura 2. L Ecuaciones de la forma y  au, donde u es alguna expresión en x, se presentan en aplicaciones. Los siguientes dos ejemplos ilustran ecuaciones de esta forma. Figura 5 y y  3x EJEMPLO 4 Desplazamiento de gráficas de funciones exponenciales Trace la gráfica de la ecuación: (a) y  3x2 (b) y  3x  2 SOLUCIÓN y (a) La gráfica de y  3x, trazada en la figura 3, se vuelve a trazar en la figura 5. Del análisis de desplazamientos horizontales en la sección 3.5, podemos obtener la gráfica de y  3x2 al desplazar la gráfica de y  3x dos unidades a la derecha, como se muestra en la figura 5. La gráfica de y  3x2 también se puede obtener al localizar varios puntos y usarlos como guía para trazar una curva tipo exponencial. (b) De la exposición de desplazamientos verticales de la sección 3.5, podemos obtener la gráfica de y  3x  2 al desplazar la gráfica de y  3x dos unidades hacia abajo, como se muestra en la figura 6. Nótese que el punto de intersección con el eje y es 1 y la recta y  2 es una asíntota horizontal para la gráfica. 3 x2 x Figura 6 L y EJEMPLO 5 y  3x Hallar una ecuación de una función exponencial que satisfaga condiciones prescritas Encuentre una función exponencial de la forma f (x)  bax  c que tiene asíntota horizontal y  2, punto de intersección 16 con el eje y y punto de intersección 2 con el eje x. y  3x  2 x y  2 SOLUCIÓN La asíntota horizontal de la gráfica de una función exponencial de la forma f(x)  bax es el eje x, es decir, y  0. Como la asíntota horizontal deseada es y  2, debemos tener c  2, de modo que f(x)  bax  2. Como el punto de intersección con el eje y es 16, f (0) debe ser igual a 16. Pero f (0) ba0  2  b  2, de modo que b  2  16 y b  18. Por lo tanto, f (x)  18ax  2. 5.2 Funciones exponenciales 335 Por último, encontramos el valor de a: Figura 7 y f x  18ax  2 0  18a2  2 1 2  18  2 a 2 a 9 a  3 20 15 (0, 16) 10 y 18(3)x 2 forma dada de f f2  0 porque 2 es la intersección en x sume 2; definición de exponente negativo multiplique por a22 tome la raíz cuadrada Como a debe ser positiva, tenemos 5 f x  183x  2. (2, 0) y  2 La figura 7 muestra una gráfica de f que satisface todas las condiciones del enunciado del problema. Nótese que f (x) podría escribirse en la forma equivalente x 5 f x  18 13 x  2. L La gráfica en forma de campana de la función del siguiente ejemplo es semejante a una curva de probabilidad normal empleada en estudios de estadística. Trazar una gráfica en forma de campana EJEMPLO 6 2 Si f x  2x , trace la gráfica de f. Figura 8 y  2x 2, 161  1, q (0, 1) Si escribimos de nuevo f(x) como 1 f x  x 2 , 2 vemos que cuando x aumenta por valores positivos, f (x) disminuye rápidamente; en consecuencia, la gráfica se aproxima al eje x en forma asintótica. Como x2 es mínima cuando x  0, el máximo valor de f es f (0)  1. Como f es una función par, la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Algunos pun1 1 tos en la gráfica son 0, 1,  1, 2 , y  2, 16 . Localizar puntos y usar simetría nos da el trazo de la figura 8. SOLUCIÓN y 1, q 2 2, 161  x L APLICACIÓN Crecimiento de bacterias Las funciones exponenciales pueden usarse para describir el crecimiento de ciertas poblaciones. Como ilustración, suponga que se observa experimentalmente que el número de bacterias en un cultivo se duplica al día. Si 1000 bacterias están presentes al inicio, entonces obtenemos la tabla siguiente, donde t es el tiempo en días y f (t) es la cantidad de bacterias en el tiempo t. t (tiempo en días) f(t) (cantidad de bacterias) 0 1 2 3 4 1000 2000 4000 8000 16,000 336 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Figura 9 f (t) (cantidad de bacterias) Parece que f (t)  (1000)2t. Con esta fórmula podemos predecir el número de bacterias presentes en cualquier tiempo t. Por ejemplo, en t  1.5  23 , f t  100023/2  2828. 15,000 La gráfica de f se ve en la figura 9. 10,000 APLICACIÓN 5,000 1 2 3 4 t (días) Figura 10 f (t) (mg restantes) 20 10 100 200 300 400 500 t (días) Desintegración radiactiva Ciertas cantidades físicas decrecen exponencialmente. En tales casos, si a es la base de la función exponencial, entonces 0 a 1. Uno de los ejemplos más comunes de decrecimiento exponencial es la desintegración de una sustancia radiactiva, o isótopo. La vida media de un isótopo es el tiempo que tarda la mitad de la cantidad original de una muestra determinada en desintegrarse. La vida media es la característica principal empleada para distinguir una sustancia radiactiva de otra. El isótopo del polonio 210Po tiene una vida media de aproximadamente 140 días; esto es, dada cualquier cantidad, la mitad se desintegrará en 140 días. Si 20 miligramos de 210Po están presentes inicialmente, entonces la tabla siguiente indica la cantidad restante después de varios intervalos. t (tiempo en días) 0 140 f(t) (mg restantes) 20 10 280 420 5 2.5 560 1.25 El trazo de la figura 10 ilustra la naturaleza exponencial de la desintegración. Otras sustancias radiactivas tienen vidas medias mucho más largas. En particular, un producto derivado de reactores nucleares es el isótopo de plutonio radiactivo 239Pu, que tiene una vida media de alrededor de 24,000 años. Es por esta razón que la eliminación de desechos radiactivos es un problema muy grande en la sociedad moderna. APLICACIÓN Interés compuesto El interés compuesto da una buena ilustración del crecimiento exponencial. Si una cantidad de dinero C, el capital inicial, se invierte a una tasa de interés i simple, entonces el interés al final de un periodo de interés es el producto Ci cuando i se expresa como decimal. Por ejemplo, si C  $1000 y la tasa de interés es 9% al año, entonces i  0.09 y el interés al final de un año es $1000(0.09) o sea $90. Si el interés se reinvierte con el capital al final del periodo de interés, entonces el nuevo capital es C  Ci o bien, lo que es equivalente, C1  i. Observe que para hallar el nuevo capital podemos multiplicar el capital inicial por (1  i). En el ejemplo precedente, el nuevo capital es $1000(1.09) o sea $1090. Después que haya transcurrido otro periodo de interés, el nuevo capital puede hallarse al multiplicar C(1  i) por (1  i). Así, el capital después de dos periodos de interés es C(1  i)2. Si continuamos reinvirtiendo, el capital después de tres periodos es C(1  i)3; después de cuatro es C(1  i)4; y, en general, la cantidad A acumulada después de k periodos de interés es A  P1  rk. 5.2 Funciones exponenciales 337 El interés acumulado por medio de esta fórmula es interés compuesto. Observe que A se expresa en términos de una función exponencial con base 1  i. El periodo de interés puede medirse en años, meses, semanas, días o cualquier otra unidad apropiada de tiempo. Cuando se aplique la fórmula para A, recuerde que i es la tasa de interés por periodo de interés expresado como decimal. Por ejemplo, si la tasa se expresa como 6% por año capitalizado 6 mensualmente, entonces la tasa por mes es 12 % o bien, lo que es equivalente, 0.5%. Entonces, i  0.005 y k es el número de meses. Si $100 se invierten a esta tasa, entonces la fórmula para A es A  1001  0.005k  1001.005k. En general, tenemos la fórmula siguiente.   Fórmula de interés compuesto AC 1 i n it , donde C  Capital inicial i  tasa de interés anual expresada como decimal n  número de periodos de interés por año t  número de años que C se invierte A  cantidad después de t años. El siguiente ejemplo ilustra un caso especial de la fórmula de interés compuesto. EJEMPLO 7 Uso de la fórmula de interés compuesto Suponga que $1000 se invierten a una tasa de interés de 9% capitalizado mensualmente. Encuentre la nueva cantidad acumulada después de 5 años, después de 10 años y después de 15 años. Ilustre gráficamente el crecimiento de la inversión. SOLUCIÓN Aplicando la fórmula de interés compuesto con i  9%  0.09, n  12 y C  $1000, encontramos que la cantidad después de t años es  A  1000 1   0.09 12 12t  10001.007512t. Sustituyendo t  5, 10 y 15 y usando calculadora, obtenemos la tabla siguiente. Número de años Observe que cuando se trabaja con valores monetarios, usamos  en lugar de  y redondeamos a dos lugares decimales. 5 10 15 Cantidad A  $10001.007560  $1565.68 A  $10001.0075120  $2451.36 A  $10001.0075180  $3838.04 (continúa) 338 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Figura 11 Interés compuesto: A  10001.007512t A (dólares) 4000 La naturaleza exponencial del aumento está indicada por el hecho de que durante los primeros cinco años, el crecimiento en la inversión es $565.68; durante el segundo periodo de cinco años, el crecimiento es $885.68; y durante el último periodo de cinco años, es $1386.68. El trazo de la figura 11 ilustra el crecimiento de $1000 invertidos en un periodo de 15 años. L 3000 2000 EJEMPLO 8 1000 5 10 15 t (años) Hallar un modelo exponencial En 1938, se promulgó una ley federal que establecía un salario mínimo y éste fue de $0.25 por hora; el salario había subido a $5.15 por hora en 1997. Encuentre una función exponencial de la forma y  abt que modele el salario mínimo federal para 1938-1997. SOLUCIÓN y  abt 0.25  ab0 0.25  a enunciado sea t  0 para 1938 b0  1 y  0.25bt 5.15  0.25b59 5.15 b59   20.6 0.25 59 b  220.6 b  1.0526 sustituya a con 0.25 t  1997  1938  59 divida entre 0.25 tome la raíz 59 aproxime Obtenemos el modelo y  0.25(1.0526)t, que indica que el salario mínimo federal aumentó alrededor de 5.26% por año de 1938 a 1997. Una gráfica del modelo se muestra en la figura 12. ¿Piensa el lector que este modelo se cumplirá hasta el año 2010? Figura 12 y ($/h) 10.03 ? 5.15 0.25 0 1938 59 72 1997 2010 t (años) L 5.2 Funciones exponenciales 339 Concluimos esta sección con un ejemplo que comprenda el uso de una calculadora graficadora. EJEMPLO 9 Estimar cantidades de un medicamento en el torrente sanguíneo Si un adulto toma oralmente una pastilla de 100 miligramos de cierto medicamento, la rapidez R a la cual el medicamento entra al torrente t minutos después se pronostica que será R  50.95t mgmin. Se puede demostrar mediante cálculo que la cantidad A del medicamento en el torrente sanguíneo en el tiempo t se puede aproximar con A  97.47861  0.95t  mg. (a) Estime el tiempo que tarden 50 miligramos del medicamento en entrar al torrente sanguíneo. Figura 13 0, 100, 10 por 0, 100, 10 (b) Estime el número de miligramos del medicamento presentes en el torrente sanguíneo cuando entre a razón de 3 mg/min. SOLUCIÓN (a) Deseamos determinar t cuando A sea igual a 50. Como el valor de A no puede exceder de 97.4786, escogemos que la pantalla sea [0, 100, 10] por [0, 100, 10]. A continuación asignamos 97.4786[1  (0.95)x] a Y1, asignamos 50 a Y2 y graficamos Y1 y Y2, obteniendo una pantalla semejante a la de la figura 13 (nótese que x  t). Usando la función de intersección, estimamos que A  50 mg cuando x  14 minutos. Figura 14 0, 15 por 0, 5 (b) Deseamos determinar t cuando R sea igual a 3. Primero asignemos 5(0.95)x a Y3 y 3 a Y4. Como el valor máximo de Y3 es 5 (en t  0), usamos una pantalla de dimensiones [0, 15] por [0, 5] y obtenemos una pantalla semejante a la de la figura 14. Usando de nuevo la función de intersección, encontramos que y  3 cuando x  9.96. Entonces, después de casi 10 minutos, el medicamento estará entrando en el torrente sanguíneo a razón de 3 mg/minuto. (Nótese que la rapidez inicial, en t  0, es 5 mg/min.) Al hallar el valor de Y1 en x  10, vemos que hay casi 39 miligramos del medicamento en el torrente después de 10 minutos. L 5.2 Ejercicios Ejer. 1-10: Resuelva la ecuación. 1 7x6  73x4 5 2 67x  62x1 2 3 32x3  3x  1, 3 1 4 9x   33x2  2 , 2 4 5 2100x  0.5x4  99 6 2 2  12 6x  2 7 7 4x3  84x 9 4x   12  32x 10 92x   13  x2 18 5  8  2x2 3  27  3x2 1 8 27x1  92x3 3 340 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS (a) f x  a x (b) f x  a x Ejer. 29-30: Encuentre una función exponencial de la forma f (x) ⴝ ba x que tiene el punto dado de intersección con el eje y y pasa por el punto P. (c) f x  3a x (d) f x  a x3 29 punto 8 de intersección con el eje y; P3, 1 (e) f x  a x  3 (f) f x  a x3 30 punto 6 de intersección con el eje y; (g) f x  a x  3 (h) f x  ax 11 Trace la gráfica de f si a  2.  1 a (i) f x  x (j) f x  a3x  32 y  72; intersección con el eje y 425; 33 Población de renos Cien renos, cada uno de ellos de 1 año de edad, se introducen en una reserva de caza. El número N(t) vivos después de t años se pronostica que es N(t)  100(0.9)t. Estime el número de animales vivos después de 2 17 f x   12   4 18 f x  3x  9 19 f x  2 x 20 f x  2 x (a) 1 año 90 21 f x  31x 22 f x  2x1 23 f x  3x  3x 24 f x  3x  3x 2 Ejer. 25-28: Encuentre una función exponencial de la forma f(x) ⴝ ba x o f(x) ⴝ ba x ⴙ c que tenga la gráfica dada. y y 25 26 (b) ¿Qué porcentaje del medicamento todavía en el cuerpo es eliminado cada hora? (2, 8) (0, q) x x 27 x 28 y y (0, 5) (0, 1) 2 x (1, 7) x y  3 f (x)  2 3   3 (b) Trace la gráfica de f para 0 y1 x (1, 0) f (x)  4 32   1 x 35 Crecimiento de bacterias El número de bacterias en cierto cultivo aumentó de 600 a 1800 entre las 7:00 a.m. y las 9:00 a.m. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, el número f(t) de bacterias t horas después de las 7:00 a.m. está dado por f(t)  600(3)t/2. (a) Estime el número de bacterias del cultivo a las 8:00 a.m., 10:00 a.m. y 11:00 a.m. f (x)  12  14  x (c) 10 años 35 (a) Estime la cantidad del medicamento en el cuerpo 8 horas después de la dosis inicial. (1, 5) f (x)  2 52  (b) 5 años 59 34 Dosis de medicamento Un medicamento es eliminado del cuerpo por la orina. Suponga que para una dosis inicial de 10 miligramos, la cantidad A(t) del cuerpo t horas después está dada por A(t)  10(0.8)t. 2 (0, 2) P1, 248.5 f x  3532x  72 x x P2, 112 f x  1801.5x  32 16 f x  84 3 3 P 2, 32  31 y  32; intersección con el eje y 212; Ejer. 13-24: Trace la gráfica de f. x x 13 f x   25  14 f x   25  15 f x  5 x Ejer. 31-32: Encuentre una función exponencial de la forma f(x) ⴝ baⴚx ⴙ c que tiene la asíntota horizontal y el punto de intersección con el eje y dados y que pasa por el punto P. 12 Trabaje el ejercicio 11 si a  12. 1 x 2 f x  8 12  t 4. 36 Ley de Newton de enfriamiento Según la ley de Newton de enfriamiento, la rapidez a la que un cuerpo se enfría es directamente proporcional a la diferencia en temperatura entre el cuerpo y el medio que le rodea. La cara de una plancha doméstica se enfría de 125° a 100° en 30 minutos en un cuarto que permanece a una temperatura constante de 75°. De cálculo integral, la temperatura f (t) de la cara después de t horas de enfriamiento está dada por f(t)  50(2)2t  75. 5.2 Funciones exponenciales (a) Suponiendo que t  0 corresponde a la 1:00 p.m., aproxime al décimo de grado más cercano, la temperatura de la cara a las 2:00 p.m., 3:30 p.m. y 4:00 p.m. (b) Trace la gráfica de f para 0 t 4. 37 Desintegración radiactiva El isótopo de bismuto radiactivo 210Bi tiene una vida media de 5 días. Si hay 100 miligramos de 210Bi presentes en el tiempo t  0, entonces la cantidad f(t) restante después de t días está dada por f(t)  100(2)t/5. (a) ¿Cuánto 210Bi permanece después de 5 días? ¿10 días? ¿12.5 días? (b) Trace la gráfica de f para 0 t 30. 38 Penetración de luz en un océano Un problema importante en oceanografía es determinar la cantidad de luz que pueda penetrar a varias profundidades oceánicas. La ley de BeerLambert expresa que la función exponencial dada por I(x)  I0cx es un modelo para este fenómeno (vea la figura). Para cierto lugar, I(x)  10(0.4)x es la cantidad de luz (en calorías/cm2/s) que llega a una profundidad de x metros. (a) Encuentre la cantidad de luz a una profundidad de 2 metros. (b) Trace la gráfica de I para 0 x 5. 341 39 Desintegración del radio La vida media del radio es de 1600 años. Si la cantidad inicial es q0 miligramos, entonces la cantidad q(t) restante después de t años está dada por q(t)  q02kt. Encuentre k. 40 Disolución de sal en agua Si 10 gramos de sal se agregan a cierta cantidad de agua, entonces la cantidad q(t) que no se t disuelve después de t minutos está dada por qt  10 45  . Trace una gráfica que muestre el valor q(t) en cualquier tiempo de t  0 a t  10. 41 Interés compuesto Si se invierten $1000 a una tasa de 7% por año capitalizado mensualmente, encuentre el capital después de (a) 1 mes (b) 6 meses (c) 1 año (d) 20 años $4038.74 42 Interés compuesto Si un fondo de ahorros paga interés a razón de 6% por año capitalizado semestralmente, ¿cuánto dinero invertido ahora llegará a $5000 después de 1 año? 43 Valor de venta de un auto Si cierta marca de automóvil se compra en C dólares, su valor comercial V(t) al final de t años está dado por V(t)  0.78C(0.85)t1. Si el costo original es $25,000, calcule al dólar más cercano, el valor después de (a) 1 año (b) 4 años (c) 7 años 44 Plusvalía en bienes raíces Si el valor de una finca aumenta a razón de 5% por año, después de t años el valor V de una casa comprada en P dólares es V  P(1.05)t. En la figura se ilustra una gráfica del valor de una casa comprada en $80,000 en 1986. Aproxime el valor de la casa, a los $1000 dólares más cercanos, en el año 2010. Ejercicio 38 Ejercicio 44 V (dólares) I0 300,000 250,000 x metros 200,000 150,000 100,000 I0 cx 50,000 1987 2010 5 10 15 20 t (años) 342 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 45 Isla de Manhattan La isla de Manhattan fue vendida en $24 en 1626. ¿A cuánto habría crecido esta cantidad en 2006 si se hubiera invertido al 6% por año capitalizado trimestralmente? (a) Aproxime el porcentaje de palabras básicas perdidas cada 100 años. 46 Interés de tarjeta de crédito Cierta tienda de departamentos exige que sus clientes de tarjeta de crédito paguen interés por cuentas no pagadas a razón de 18% por año capitalizado mensualmente. Si un cliente compra un televisor en $500 a crédito y no paga durante un año, ¿cuánto debe al finalizar el año? Ejer. 49-52: Algunas instituciones de préstamos calculan el pago mensual M sobre un préstamo de L dólares a una tasa de interés r (expresada como decimal) mediante la fórmula 47 Depreciación El método de saldo a la baja es un método de contabilidad en el que la cantidad de depreciación tomada cada año es un porcentaje fijo del valor presente del artículo. Si y es el valor del artículo en un año dado, la depreciación tomada es ay para alguna tasa de depreciación a con 0 a 1 y el nuevo valor es (1  a)y. (b) Si N0  200, trace la gráfica de N para 0 Mⴝ donde k ⴝ [1 ⴙ (r12)]12t préstamo esté vigente. t 5. Lrk , 12(k ⴚ 1) y t es el número de años que el 49 Hipoteca para vivienda (a) Encuentre el pago mensual sobre una hipoteca de vivienda de $250,000 a 30 años si la tasa de interés es 8%. (a) Si el valor inicial del artículo es y0, demuestre que el valor después de n años de depreciación es (1  a)ny0. (b) Encuentre el interés total pagado en el préstamo del inciso a. (b) Al final de T años, el artículo tiene un valor de salvamento de s dólares. El contribuyente desea escoger una tasa de depreciación tal que el valor del artículo después de T años sea igual al valor de salvamento (vea la T figura). Demuestre que a  1 2 sy0. 50 Hipoteca para vivienda Encuentre la máxima hipoteca de 25 años que se pueda obtener a una tasa de interés de 7%, si el pago mensual ha de ser $1500. Ejercicio 47 y (valor en dólares) 51 Préstamo para automóvil Un distribuidor de automóviles ofrece a sus clientes, préstamos sin enganche y a 3 años a una tasa de 10%. Si un cliente puede pagar $500 por mes, encuentre el precio del auto más costoso que pueda comprarse. 52 Préstamo financiero El propietario de un pequeño negocio decide financiar una nueva computadora y pide prestados $3000 a 2 años a una tasa de interés de 7.5%. y0 (a) Encuentre el pago mensual. (b) Encuentre el interés total pagado sobre el préstamo. Ejer. 53-54: Aproxime la función al valor de x a cuatro lugares decimales. s T n (años) 53 (a) f x  132x1.1, x3 5 (b) gx   42  , x  1.43 20.9758 (c) hx  2x  2x2x, x  1.06 7.3639 x 48 Datación de un lenguaje La glotocronología es un método de datar la antigüedad de un lenguaje en una etapa particular, con base en la teoría de que en un largo periodo ocurren cambios lingüísticos a un ritmo más bien constante. Suponga que un lenguaje originalmente tenía N0 palabras básicas y que en el tiempo t, medido en milenios (1 milenio  1000 años), el número N(t) de palabras básicas que permanecen en uso común está dado por N(t)  N0(0.805)t. 180.1206 3 54 (a) f x  221x, 2  x (b) gx   25 3x 3 5 , 3x  16 , x  2.5 0.4523 x  2.1 0.0074 x (c) hx  x  22 0.4624 343 5.2 Funciones exponenciales Ejer. 55-56: Trace la gráfica de la ecuación. (a) Estime y si x ⴝ 40. (b) Estime x si y ⴝ 2. 55 y  1.085x 26.13; 8.50 56 y  1.0525x 7.74; 13.55 Ejer. 57-58: Utilice una gráfica para estimar las raíces de la ecuación. 57 1.4x2  2.2x  1 1.02, 2.14, 3.62 58 1.213x  1.41.1x  2x  0.5 0.97, 3.41 Ejer. 59-60: Grafique f en el intervalo dado. (a) Determine si f es biunívoca. (b) Estime los ceros de f. 3.1x  2.5x 59 f x  ; 2.7x  4.5x 3, 3 Not one-to-one; 0 1.8 60 f x   0.6x  1.3x ; 4, 4 Not one-to-one; 3.33, 0, 3.33 (Sugerencia: Cambie x 1.8 a una forma equivalente que está definida para x 0.) Ejer. 61-62: Grafique f en el intervalo dado. (a) Estime dónde f es creciente o decreciente. (b) Estime la imagen de f. 61 f x  0.7x 3  1.71.8x, 4, 1 3.1x  4.1x ; 62 f x  4.4x  5.3x 3, 3 64 Poder de compra Un economista predice que el poder adquisitivo B(t) de un dólar de aquí a t años estará dado por B(t)  (0.95)t. Use la gráfica de B para aproximar cuando el poder adquisitivo sea la mitad de lo que es hoy. 65 Función de Gompertz La función de Gompertz, y  ka(b ) con k 0, 0 a 1, y 0 b 1, a veces se usa para describir las ventas de un nuevo producto cuyas ventas son inicialmente grandes pero luego el nivel baja hacia un nivel máximo de saturación. Grafique, en el mismo plano de coordenadas, la recta y  k y la función de Gompertz con k  4, a  18 y b  41. ¿Cuál es el significado de la constante k? 66 Función logística La función logística, y 1 con k k  abx 0, a Ejer. 67-68: Si pagos mensuales p se depositan en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés anual i, entonces la cantidad A en la cuenta después de n años está dada por     p 1ⴙ Aⴝ i 12 0, y 0 b 1, 1ⴙ i 12 12n ⴚ1 . i 12 Grafique A para cada valor de p y i, y estime n para A ⴝ $100,000. 67 p  100, r  0.05 68 p  250, r  0.09 69 Recaudación del gobierno Las recaudaciones del gobierno federal (en miles de millones de dólares) para años seleccionados aparecen en la tabla siguiente. Año 1910 1930 1950 Recaudaciones 63 Población de truchas Mil truchas, cada una de ellas de 1 año, se introducen en un gran estanque. Se pronostica que el número N(t) todavía vivas después de t años estará dado por la ecuación N(t)  1000(0.9)t. Use la gráfica de N para aproximar cuando 500 truchas estén vivas. x se usa a veces para describir las ventas de un nuevo producto que inicialmente experimenta ventas más lentas, seguido por un crecimiento hacia un nivel máximo de saturación. Grafique, en el mismo plano de coordenadas, la recta y  1k y la función logística con k  41, a  18, y 5 b  8. ¿Cuál es la importancia del valor de 1/k? 0.7 Año 1980 Recaudaciones 517.1 4.1 1990 1970 39.4 192.8 2000 1032.0 2025.2 (a) Sea x  0 correspondiente al año 1910. Localice los datos, junto con las funciones f y g: (1) f x  0.7861.094x (2) gx  0.503x 2  27.3x  149.2 (b) Determine si la función exponencial o cuadrática modela mejor los datos. (c) Use su selección del inciso b para estimar gráficamente el año en el que el gobierno federal recolectó $1 billón. 70 Epidemia En 1840, Gran Bretaña experimentó una epidemia bovina (vacas y bueyes) llamada epizootia. El número estimado de nuevos casos cada 28 días aparece en la tabla. En ese tiempo, el London Daily hizo la terrible predicción de que el número de nuevos casos continuaría hasta aumentar de manera indefinida. William Farr predijo correctamente que el número de nuevos casos llegaría a un máximo. De las dos funciones f t  6531.028t y 2 gt  54,700et200 /7500 344 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS una de ellas modela la predicción del periódico y la otra la de Farr, donde t es en días con t  0 correspondiendo al 12 de agosto de 1840. Fecha Nuevos casos Ago. 12 Sept. 9 Oct. 7 Nov. 4 Dic. 2 Dic. 30 Ene. 27 506 1289 3487 9597 18,817 33,835 47,191 73 Comparaciones de inflación En 1974, Johnny Miller ganó 8 torneos en la PGA y acumuló $353,022 en ganancias oficiales por temporada. En 1999, Tiger Woods acumuló $6,616,585 con un récord similar. (a) Grafique cada función, junto con los datos, en la pantalla [0, 400, 100] por [0, 60,000, 10,000]. (b) Determine cuál función modela mejor la predicción de Farr. (c) Determine la fecha en la que el número de nuevos casos llegó a su máximo. 71 Costo de una estampilla El precio de una estampilla de primera clase era de 3¢ en 2006 (fue de 2¢ en 1885). Encuentre una función exponencial sencilla de la forma y  abt que modele el costo de una estampilla de primera clase para 1958-2006 y prediga su valor para 2010. 5.3 La función exponencial natural 72 Índice de precios al consumidor El IPC es la medida de inflación más ampliamente usada. En 1970, el IPC era de 37.8 y en 2000 fue de 168.8. Esto significa que un consumidor citadino que pagaba $37.80 por una canasta básica de artículos de consumo y servicios en 1970 hubiera necesitado $168.80 para artículos y servicios similares en 2000. Encuentre una función exponencial sencilla de la forma y  abt que modele el IPC para 1970-2000 y prediga su valor para 2010. (a) Suponga que la tasa de inflación mensual de 1974 a 1999 fue de 0.0025 (3% al año). Use la fórmula de interés compuesto para estimar el valor equivalente de las ganancias de Miller en el año 1999. Compare su respuesta con la de un cálculo de inflación en la web (por ejemplo, bls.gov/cpi/home.htm). (b) Encuentre la tasa de interés anual necesaria para que las ganancias de Miller sean equivalentes en valor a las de Woods. (c) ¿Qué tipo de función usó el lector en el inciso a? ¿y en el inciso b? La fórmula de interés compuesto estudiada en la sección anterior es   AC 1 i n nt , donde C es el capital inicial invertido, i es la tasa de interés anual (expresada como decimal), n es el número de periodos de interés por año y t es el número de años que se invierte el capital. El siguiente ejemplo ilustra lo que ocurre si la tasa y el tiempo total invertido son fijos, pero se hace variar el periodo de interés. EJEMPLO 1 Uso de la fórmula de interés compuesto Suponga que se invierten $1000 a una tasa de interés compuesto de 9%. Encuentre el nuevo capital después de un año si el interés se capitaliza cada tres meses, cada mes, semanalmente, a diario, cada hora y cada minuto. Si hacemos C  $1000, t  1 y i  0.09 en la fórmula de interés compuesto, entonces SOLUCIÓN  A  $1000 1   0.09 n n 5.3 La función exponencial natural 345 para n periodos de interés por año. Los valores de n que deseamos considerar aparecen en la tabla siguiente, donde hemos supuesto que hay 365 días en un año y por tanto 36524  8760 horas y 876060  525,600 minutos. (En muchas transacciones financieras, un año de inversión se considera de sólo 360 días.) Periodo de interés n Trimestre Mes 4 12 Semana Día Hora 52 Minuto 365 8760 525,600 Usando la fórmula de interés compuesto (y una calculadora), obtenemos las cantidades dadas en la tabla siguiente. Periodo de interés Trimestre Mes Semana Día Hora Minuto Cantidad después de un año             0.09 4 4 0.09 12 $1000 1  12 0.09 52 $1000 1  52 0.09 365 $1000 1  365 0.09 8760 $1000 1  8760 0.09 525,600 $1000 1  525,600 $1000 1   $1093.08  $1093.81  $1094.09  $1094.16  $1094.17  $1094.17 L Observe que, en el ejemplo precedente, después que llegamos a un periodo de interés de una hora, el número de periodos de interés por año no tiene efecto en la cantidad final. Si el interés se hubiera capitalizado cada segundo, el resultado todavía sería $1094.17. (Algunos lugares decimales después de los dos primeros cambian.) Así, la cantidad se aproxima a un valor fijo a medida que n aumenta. Se dice que el interés se capitaliza continuamente si el número n de periodos por año aumenta sin límite. Si hacemos C  1, i  1 y t  1 en la fórmula de interés compuesto, obtenemos 1 n A 1 . n   La expresión del lado derecho de la ecuación es importante en cálculo. En el ejemplo 1 consideramos una situación semejante: a medida que n aumentaba, A se aproximaba a un valor limitante. El mismo fenómeno se presenta para esta fórmula, como se ilustra en la tabla siguiente. 346 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Aproximación a   1 n 1 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000 100,000,000 1,000,000,000 1 n n 2.00000000 2.59374246 2.70481383 2.71692393 2.71814593 2.71826824 2.71828047 2.71828169 2.71828181 2.71828183 En cálculo se demuestra que cuando n aumenta sin límite, el valor de la expresión 1  1nn se aproxima a cierto número irracional, denotado por e. El número e aparece en la investigación de muchos fenómenos físicos. Una aproximación es e  2.71828. Si usamos la notación desarrollada para funciones racionales en la sección 4.5, denotamos este hecho como sigue. El número e Si n es un entero positivo, entonces   1 1 n n l e  2.71828 cuando n l . En la definición siguiente usamos e como base para una importante función exponencial. Definición de la función exponencial natural La función exponencial natural f está definida por f x  ex para todo número real x. La función exponencial natural es una de las funciones más útiles en matemáticas avanzadas y en aplicaciones. Como 2 e 3, la gráfica de y  ex 5.3 La función exponencial natural 347 Figura 1 y y  3x y  ex y  2x x Se puede tener acceso a la tecla e x al pulsar 2nd LN . se encuentra entre las gráficas de y  2x y y  3x, como se muestra en la figura 1. Calculadoras científicas y graficadoras tienen una tecla e x para aproximar valores de la función exponencial natural. APLICACIÓN Interés compuesto continuamente La fórmula de interés compuesto es   AC 1 i n nt . 1 i Si hacemos  , entonces k  ni, n  ki y nt  kit y podemos escribir k n la fórmula otra vez como      AC 1 1 k kit C 1 1 k k it . Para interés compuesto continuamente hacemos que n (el número de periodos de interés por año) aumente sin límite, denotado por n l , o bien, lo que es equivalente, por k l . Usando el hecho de que 1  1kk l e cuando k l , vemos que C    1 1 k k it l Ceit  Cert cuando k l . Este resultado nos da la fórmula siguiente. Fórmula de interés capitalizado continuamente A  Ceit, donde C  Capital inicial i  tasa de interés anual expresada como decimal t  número de años que C se invierte A  cantidad después de t años. 348 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Los dos ejemplos siguientes ilustran el uso de esta fórmula. EJEMPLO 2 Uso de la fórmula de interés capitalizado continuamente Suponga que $20,000 se depositan en una cuenta de mercado de dinero que paga interés a razón de 6% por año capitalizado continuamente. Determine el saldo de la cuenta después de 5 años. SOLUCIÓN Aplicando la fórmula para interés capitalizado continuamente con C  20,000, i  0.06, y t  5 tenemos A  Ceit  20,000e0.065  20,000e0.3. Si usamos calculadora, encontramos que A  $26,997.18. EJEMPLO 3 L Uso de la fórmula de interés capitalizado continuamente Una inversión de $10,000 aumentó a $28,576.51 en 15 años. Si el interés se capitalizó continuamente, encuentre la tasa de interés. SOLUCIÓN Aplicamos la fórmula para interés capitalizado continuamente con C  $10,000, A  28,576.51, y t  15: Figura 2 A  Ceit fórmula 28,576.51  10,000ei15 sustituya por A, C, t En este punto, podríamos dividir entre 10,000; pero eso nos dejaría con una ecuación que no podemos resolver (todavía). Entonces, graficaremos Y1  28,576.51 y Y2  10,000e^15x y hallaremos su punto de intersección. Como i es una tasa de interés, empezaremos con una pantalla de 0, 0.10, 0.01 por 0, 30,000, 10,000. Usando una función de intersección, encontramos que Y1  Y2 para x  0.07 en la figura 2. Entonces, la tasa de interés es 7%. L La fórmula de interés capitalizado continuamente es sólo un caso específico de la siguiente ley. Ley de la fórmula de crecimiento (o decrecimiento) Sea q0 el valor de una cantidad q en el tiempo t  0 (esto es, q0 es la cantidad inicial de q). Si q cambia instantáneamente a una razón proporcional a su valor actual, entonces q  qt  q0ert, donde r 0 es la rapidez de crecimiento (o r miento) de q. EJEMPLO 4 0 es la rapidez de decreci- Predicción de la población de una ciudad La población de una ciudad en 1970 era de 153,800. Suponiendo que la población aumenta continuamente a razón de 5% por año, prediga la población de la ciudad en el año 2010. 5.3 La función exponencial natural 349 Aplicamos la fórmula del crecimiento q  q0ert con población inicial q0  153,800, rapidez de crecimiento r  0.05 y tiempo t  2010  1970  40 años. Entonces, una predicción para la población de la ciudad en el año 2010 es SOLUCIÓN 153,800e0.0540  153,800e2  1,136,437. L La función f del siguiente ejemplo es importante en aplicaciones avanzadas de matemáticas. EJEMPLO 5 Trazar una gráfica que contenga dos funciones exponenciales Trace la gráfica de f si f x  Figura 3 SOLUCIÓN y ex  ex . 2 Nótese que f es una función par, porque f x  ex  ex ex  ex   f x. 2 2 Entonces, la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Si usamos calculadora, obtenemos las siguientes aproximaciones de f x. e x  ex y 2 x x 0 0.5 1.0 1.5 f(x) (aprox.) 1 1.13 1.54 2.35 3.76 2.0 La localización de puntos y el uso de simetría con respecto al eje y nos da el trazo de la figura 3. La gráfica parece ser una parábola, pero éste no es realmente el caso. L APLICACIÓN Cables flexibles La función f del ejemplo 5 se presenta en matemáticas aplicadas e ingeniería, donde se denomina función coseno hiperbólico. Esta función se puede usar para describir la forma de una cadena o cable flexible uniforme cuyos extremos están sostenidos desde la misma altura, por ejemplo un cable de teléfono o líneas eléctricas (vea la figura 4). Si introducimos un sistema de coordenadas, como se indica en la figura, entonces se puede demostrar que una ecuación que corresponde a la forma del cable es Figura 4 y y x a xa e  exa, 2 donde a es un número real. La gráfica se llama catenaria, por la palabra latina que significa cadena. La función del ejemplo 5 es el caso especial en el que a  1. Vea el ejercicio de análisis 3 al final de este capítulo para una aplicación que comprende una catenaria. 350 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS APLICACIÓN Radioterapia Las funciones exponenciales desempeñan una importante función en el campo de la radioterapia, que es un tratamiento de tumores por radiación. La fracción de células de un tumor que sobreviven al tratamiento, llamada fracción sobreviviente, depende no sólo de la energía y naturaleza de la radiación, sino también de la profundidad, tamaño y características del tumor mismo. La exposición a radiación puede considerarse como varios eventos potencialmente dañinos, donde al menos un hit (acierto) se requiere para matar una célula de tumor. Por ejemplo, suponga que cada célula tiene exactamente un blanco al que se debe acertar. Si k denota el tamaño promedio del blanco de una célula de tumor y si x es el número de eventos dañinos (la dosis), entonces la fracción sobreviviente f (x) está dada por fx  ekx. Esto recibe el nombre de fracción sobreviviente de un blanco un acierto (o hit). Suponga a continuación que cada célula tiene n objetivos o blancos y que a cada blanco se debe acertar una vez para que la célula muera. En este caso, la fracción sobreviviente de n blancos un acierto está dada por f x  1  1  ekxn. Figura 5 Fracción sobreviviente de células de un tumor después de un tratamiento de radiación La gráfica de f puede ser analizada para determinar qué efecto tendrá aumentar la dosis x al decrecer la fracción sobreviviente de células de tumor. Observe que f 0  1; esto es, si no hay dosis, entonces todas las células sobreviven. Como ejemplo, si k  1 y n  2, entonces f x  1  1  ex2  1  1  2ex  e2x  2ex  e2x. y (fracción sobreviviente) 1 1 2 3 x (dosis) Un análisis completo de la gráfica de f requiere cálculo integral. La gráfica se traza en la figura 5. El hombro de la curva cerca del punto (0, 1) representa la naturaleza de umbral del tratamiento, es decir, una pequeña dosis resulta en muy baja eliminación de células del tumor. Observe que para x grande, un aumento en dosis tiene poco efecto en la fracción sobreviviente. Para determinar la dosis ideal a administrar a un paciente, especialistas en terapia de radiación también deben tomar en cuenta el número de células sanas que mueren durante el tratamiento. Problemas del tipo que se ilustra en el ejemplo siguiente se presentan en el estudio del cálculo. EJEMPLO 6 Hallar ceros de una función que contenga exponenciales Si f x  x 2e2x  2xe2x, encuentre los ceros de f. 2 SOLUCIÓN Podemos factorizar f (x) como sigue: f x  2xe2x  2x 2e2x  2xe2x1  x enunciado factorice 2xe2x 5.3 La función exponencial natural 351 Para hallar los ceros de f, despejamos la ecuación f x  0. Como e2x 0 para cada x, vemos que fx  0 si y sólo si x  0 o 1  x  0. Entonces, los ceros de f son 0 y 1. L EJEMPLO 7 Trazar una curva de crecimiento de Gompertz En biología, la función de crecimiento de Gompertz G, dada por G(t)  ke(AeBt) donde k, A y B son constantes positivas, se usa para estimar el tamaño de ciertas cantidades en el tiempo t. La gráfica de G se llama curva de crecimiento de Gompertz. La función es siempre positiva y creciente y cuando t aumenta sin límite, G(t) se nivela y se aproxima al valor k. Grafique G en el intervalo [0, 5] para k  1.1, A  3.2 y B  1.1, y estime el tiempo t en el que Gt  1. SOLUCIÓN Empezamos por asignar Figura 6 1.1e(3.2e1.1t ) 0, 5 por 0, 2 a Y1. Como deseamos graficar G en el intervalo [0, 5], escogemos Xmín  0 y Xmáx  5. Como G(t) es siempre positiva y no excede el valor k  1.1, escogemos Ymín  0 y Ymáx  2. Por lo tanto, las dimensiones de la pantalla son [0, 5] por [0, 2]. Graficar G nos da una pantalla semejante a la figura 6. Los valores extremos de la gráfica son aproximadamente (0, 0.045) y (5, 1.086). Para determinar el tiempo cuando y  Gt  1, usamos una función de intersección, con Y2  1, para obtener x  t  3.194. L 5.3 Ejercicios Ejer. 1-4: Use la gráfica de y ⴝ e x para ayudar a trazar la gráfica de f. 1 (a) f x  ex (b) f x  e x 2 (a) f x  e2x (b) f x  2e x 3 (a) f x  e x4 (b) f x  e x  4 4 (a) f x  e2x (b) f x  2e x Ejer. 5-6: Si C dólares se depositan en una cuenta de ahorros que paga interés a razón de i% por año capitalizado continuamente, encuentre el saldo después de t años. 5 C  1000, 6 C  100, i i 8 41 , 6 21 , t  5 $1510.59 t  10 $191.55 Ejer. 7-8: ¿Cuánto dinero, invertido a una tasa de interés de i% por año capitalizado continuamente, llegará a A dólares después de t años? 7 A  100,000, i  6.4, t  18 $31,600.41 8 A  15,000, i  5.5, t  4 $12,037.78 Ejer. 9-10: Una inversión de C dólares aumentó a A dólares en t años. Si el interés se capitalizó continuamente, encuentre la tasa de interés. 9 A  13,464, C  1000, t  20 13% 10 A  890.20, C  400, t  16 5% Ejer. 11-12: Resuelva la ecuación. 2 7x12 11 ex )  e 3, 4 12 e3x  e2x1 1 352 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ejer. 13-16: Encuentre los ceros de f. 13 f x  xe x  e x 1 14 f x  x 2ex  2xex 0, 2 3 15 f x  x 34e 4x  3x 2e4x  4 , 0 1 16 f x  x 22e 2x  2xe 2x  e2x  2xe2x 1  2 22 Ejer. 17-18: Simplifique la expresión. 4 e x  exe x  ex  e x  exe x  ex 17 e x  ex2 e x  ex2 18 4 e x  ex2  e x  ex2 x x x 2 e  ex2 e  e  19 Crecimiento de cosecha Una función exponencial W tal que Wt  W0 ekt para k 0 describe el primer mes de crecimiento para cosechas como el maíz, algodón y frijoles de soya. El valor de función W(t) es el peso total en miligramos, W0 es el peso en el día que emergen y t es el tiempo en días. Si, para una especie de frijol de soya, k  0.2 y W0  68 mg, prediga el peso al término de 30 días. tiva, el número de unidades A(t) presentes después de t días está dado por A(t)  A0e0.0249t. (a) Si 35 unidades del rastreador se envían y tardan 2 días en llegar, ¿aproximadamente cuántas unidades habrá para la prueba? 33.3 (b) Si se necesitan 35 unidades para la prueba, ¿aproximadamente cuántas unidades deben enviarse? 36.8 25 Crecimiento de la población de ballenas azules En 1980, la población de ballenas azules en el hemisferio sur se pensaba que era de 4500. La población N(t) ha estado decreciendo de acuerdo con la fórmula N(t)  4500e0.1345t, donde t es en años y t  0 corresponde a 1980. Prediga la población en el año 2015 si esta tendencia continúa. 41 26 Crecimiento del lenguado La longitud (en centímetros) de muchos peces comerciales comunes de t años de edad puede aproximarse con una función de crecimiento de von Bertalanffy, que tiene una ecuación de la forma f (t)  a(1  bekt), donde a, b y k son constantes. (a) Para el lenguado del Pacífico, a  200, b  0.956 y k  0.18. Estime la longitud de un lenguado de 10 años de edad. 20 Crecimiento de cosecha Consulte el ejercicio 19. A veces es difícil medir el peso W0 de una planta desde que emergió primero del suelo. Si, para una especie de algodón, k  0.21 y el peso después de 10 días es 575 miligramos, estime W0. (b) Use la gráfica de f para estimar la máxima longitud alcanzable del lenguado del Pacífico. 200 cm 21 La población en 1980 de Estados Unidos era alrededor de 231 millones y ha estado creciendo continuamente a razón de 1.03% por año. Prediga la población N(t) en el año 2010 si esta tendencia continúa. 348.8 million 27 Presión atmosférica Bajo ciertas condiciones, la presión atmosférica p (en pulgadas) a una altitud de h pies está dada por p  29e0.000034h. ¿Cuál es la presión a una altitud de 40,000 pies? 7.44 in. 22 Crecimiento de población en India En 1985, la estimación de población en India era de 766 millones y ha estado creciendo a razón de 1.82% por año. Suponiendo que continúe este rápido porcentaje de crecimiento, estime la población N(t) de India en el año 2015. 28 Desintegración del isótopo de polonio Si empezamos con c miligramos del isótopo de polonio 210Po, la cantidad restante después de t días puede ser aproximada mediante A  ce0.00495t. Si la cantidad inicial es 50 miligramos, aproxime, al centésimo más cercano, la cantidad restante después de 70.41 mg 1322 million 23 Longevidad del lenguado En ciencias piscícolas, un cardumen es un conjunto de peces que resulta de una reproducción anual. Suele suponerse que el número de peces N(t) todavía vivo después de t años está dado por una función exponencial. Para el lenguado del Pacífico, N(t)  N0e0.2t, donde N0 es el tamaño inicial del cardumen. Aproxime el porcentaje del número original todavía vivo después de 10 años. 24 Rastreador radiactivo El rastreador radiactivo 51Cr se puede usar para localizar la posición de la placenta en una mujer embarazada. Es frecuente que el rastreador sea solicitado por un laboratorio médico. Si se envían A0 unidades (microcurios), entonces, debido a la desintegración radiac- (a) 30 días 43.10 mg (b) 180 días 20.51 mg (c) 365 días 8.21 mg 29 Crecimiento de niños El modelo Jenss es generalmente considerado como la fórmula más precisa para predecir la estatura de niños de preescolar. Si y es la estatura (en centímetros) y x es la edad (en años), entonces y  79.041  6.39x  e3.2610.993x para 14 x 6. De cálculo, la rapidez de crecimiento R (en cm/año) está dada por R  6.39  0.993e3.2610.993x. Encuentre la estatura y rapidez de crecimiento de un niño típico de 1 año de edad. 75.77 cm; 15.98 cmyr 353 5.3 La función exponencial natural 30 Velocidad de una partícula Una partícula esférica muy pequeña (del orden de 5 micrones de diámetro) se proyecta a través de aire en calma con una velocidad inicial de v0 m/s, pero su velocidad disminuye debido a fuerzas de resistencia. Su velocidad t segundos más tarde está dada por v(t)  v0eat para alguna a 0 y la distancia s(t) que la partícula recorre está dada por Ejer. 39-41: (a) Grafique f usando calculadora graficadora. (b) Trace la gráfica de g tomando los recíprocos de las coordenadas y en (a), sin usar calculadora graficadora. 39 f x  e x  ex ; 2 gx  2 e x  ex 40 f x  e x  ex ; 2 gx  2 e x  ex La distancia de parada es la distancia total recorrida por la partícula. 41 f x  e x  ex ; e x  ex gx  e x  ex e x  ex (a) Encuentre una fórmula que aproxime la distancia de parada en términos de v0 y a. s  v0 42 Función de densidad de probabilidad En estadística, la función de densidad de probabilidad para la distribución normal está definida por v0 st  1  eat. a a (b) Use la fórmula del inciso a para estimar la distancia de parada si v0  10 m/s y a  8  105. 1.25  105 m 31 Salario mínimo En 1971 el salario mínimo en Estados Unidos era de $1.60 por hora. Suponiendo que la tasa de inflación es 5% al año, encuentre el salario mínimo equivalente en el año 2010. $11.25 per hr 32 Valor del suelo En 1867 Estados Unidos compró Alaska a Rusia en $7,200,00. Hay 586,400 millas cuadradas de terreno en Alaska. Suponiendo que el valor del terreno aumenta continuamente al 3% por año y que el terreno se puede comprar a un precio equivalente, determine el precio de 1 acre en el año 2010. (Una milla cuadrada es equivalente a 640 acres.) $1.40 Ejer. 33-34: El rendimiento efectivo (o tasa de interés anual efectiva) para una inversión es la tasa de interés simple que daría al término de un año la misma cantidad que rinde la tasa compuesta que en realidad se aplica. Aproxime, al 0.01% más cercano, el rendimiento efectivo correspondiente a una tasa de interés de i% por año capitalizado (a) trimestralmente y (b) continuamente. 33 i  7 7.19%; 7.25% 34 i  12 12.55%; 12.75% Ejer. 35-36: Trace la gráfica de la ecuación. 35 y  e 1000x Ejer. 43-44: Grafique f y g en el mismo plano de coordenadas y estime las soluciones de la ecuación f(x) ⴝ g(x). 43 f x  e0.5x  e0.4x; gx  x 2  2 1.04, 2.11, 8.51 44 f x  0.3e x; gx  x 3  x 0.93, 0.25, 1.36, 7.04 Ejer. 45-46: Las funciones f y g se pueden usar para aproximar ex en el intervalo [0, 1]. Grafique f, g y y ⴝ e x en el mismo plano de coordenadas y compare la precisión de f(x) y g(x) como una aproximación a ex. 45 f x  x  1; gx  1.72x  1 f x is closer if x  0 ; gx is closer if x  1. 46 f x  21 x 2  x  1; gx  0.84x 2  0.878x  1 gx is closer if 12 x 1. Ejer. 47-48: Grafique f y estime sus ceros. 47 f x  x 2e x  xe(x )  0.1 0.11, 0.79, 1.13 2 48 f x  x 3e x  x 2e 2x  1 4.54, 1.71, 0.65 36 y  e 1000x Ejer. 37-38: Trace la gráfica de la ecuación. (a) Estime y si x  40. (b) Estime x si y  2. 37 y  e0.085x 29.96; 8.15 x 1 2 ez /2 con z  ,   22 donde m y s son números reales (m es la media y s2 es la varianza de la distribución). Trace la gráfica de f para el caso s  1 y m  0. f x  38 y  e0.0525x 8.17; 13.20 Ejer. 49-50: Grafique f en el intervalo (0, 200]. Encuentre una ecuación aproximada para la asíntota horizontal.   49 f x  1  y  2.71  e 1 x x   50 f x  1  2 x x y  7.32  e2  7.389 354 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ejer. 51-52: Aproxime la raíz real de la ecuación. 52 e3x  5  2x 0.467 51 ex  x 0.567 57 Densidad atmosférica La densidad atmosférica a una altitud x aparece en la tabla siguiente. Ejer. 53-54: Grafique f y determine dónde f es creciente o es decreciente. Altitud (m) 53 f x  xe 54 f x  x e Increasing on 1, ; decreasing on , 1 Increasing on 0, 1; decreasing on , 0 傼 1,  55 Contaminación de una chimenea La concentración C (en unidades/m3) de contaminación cerca de un punto al nivel del suelo, que está corriente abajo de una fuente de chimenea de altura h, está dada por C Q y /(2a ) (zh) /(2b ) e e  e(zh) /(2b ),  vab 2 2 2 2 2 0 2000 4000 Densidad kgm  1.225 1.007 0.819 Altitud (m) 6000 8000 10,000 0.660 0.526 3 2 2x x 2 donde Q es la intensidad de la fuente (en unidades/s), v es la velocidad promedio del viento (en m/s), z es la altura (en metros) arriba del punto corriente abajo y es la distancia desde el punto corriente abajo en la dirección que es perpendicular al viento (la dirección de viento cruzado) y, a y b son constantes que dependen de la distancia en dirección del viento (vea la figura). (a) ¿Cómo cambia la concentración de contaminación al nivel del suelo, en la posición a favor del viento (y  0 y z  0) si la altura de la chimenea se aumenta? Densidad kgm  3 0.414 (a) Encuentre una función f (x)  C0ekx que aproxime la densidad a una altitud x, donde C0 y k son constantes. Localice los datos y f en los mismos ejes de coordenadas. f x  1.225e0.0001085x (b) Use f para pronosticar la densidad a 3000 y 9000 metros. Compare las predicciones con los valores reales de 0.909 y 0.467, respectivamente. 0.885, 0.461 58 Gasto gubernamental Los gastos del gobierno federal (en miles de millones de dólares) para años seleccionados aparecen en las tablas siguientes. (b) ¿Cómo cambia la concentración de contaminación al nivel del suelo (z  0) para una chimenea de altura fija h si una persona se mueve en la dirección de viento cruzado, con lo cual aumenta y? Año Ejercicio 55 Año 1980 1990 2000 Gastos 590.9 1253.1 1789.1 z (m) Gastos 1910 1930 0.7 3.3 1950 1970 42.6 195.6 ( y, z) h y (km) 56 Concentración de contaminación Consulte el ejercicio 55. Si la altura de la chimenea es 100 metros y b  12, use una gráfica para estimar la altura z arriba del punto a favor del viento (y  0) donde se presenta la máxima concentración de contaminación. (Sugerencia: Sea h  100, b  12 y gra2 2 2 2 fique la ecuación C  e(zh) /(2b )  e(zh) /(2b )) (a) Sea x  0 correspondiente al año 1910. Encuentre una función A(x)  A0ekx que aproxime los datos, donde A0 y k son constantes. Localice los datos y A en los mismos ejes de coordenadas. Ax  0.7e0.087 179 37x (b) Utilice A para predecir gráficamente el año en el que el gobierno federal primero gastó $1 trillón. (El año real fue 1987.) 1993 5.4 Funciones logarítmicas 5.4 Funciones logarítmicas 355 En la sección 5.2 observamos que la función exponencial dada por f x  ax para 0 a 1 o a 1 es biunívoca. En consecuencia, f tiene una función inversa f 1 (vea la sección 5.1). Esta inversa de la función exponencial con base a se denomina función logarítmica con base a y se denota por log a. Sus valores se escriben loga(x) o loga x, léase “el logaritmo de x con base a.” En vista que, por la definición de una función inversa f 1, y  f 1x si y sólo si x  f y, la definición de loga se puede expresar como sigue. Definición de log a Sea a un número real positivo diferente de 1. El logaritmo de x con base a está definido por y  loga x para toda x si y sólo si x  ay 0 y todo número real y. Nótese que las dos ecuaciones de la definición son equivalentes. A la primera ecuación la llamamos forma logarítmica y, a la segunda, forma exponencial. El lector debe esforzarse en ser experto para cambiar de una forma a la otra. El siguiente diagrama puede ayudar a lograr este objetivo. Forma logarítmica Forma exponencial exponente b ay  x a b loga x  y a base Observe que cuando se cambian formas, las bases de las formas logarítmica y exponencial son iguales. El número y (esto es, loga x) corresponde al exponente en la forma exponencial. En otras palabras, loga x es el exponente al cual debe elevarse la base para obtener x. Esto es a lo que se refieren las personas cuando dicen “los logaritmos son exponentes.” La siguiente ilustración contiene ejemplos de formas equivalentes. ILUSTRACIÓN Formas equivalentes Forma logarítmica Forma exponencial log5 u  2 logb 8  3 r  logp q w  log4 2t  3 log3 x  5  2z 52  u b3  8 pr  q 4w  2t  3 352z  x El siguiente ejemplo contiene una aplicación que comprende el cambio de una forma exponencial a una forma logarítmica. 356 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS EJEMPLO 1 Cambiar forma exponencial a forma logarítmica El número N de bacterias en cierto cultivo después de t horas está dado por N  (1000)2t. Exprese t como función logarítmica de N con base 2. N  10002t N  2t 1000 N t  log2 1000 SOLUCIÓN enunciado aísle la expresión exponencial L cambie a forma logarítmica Algunos casos especiales de logaritmos se dan en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 2 Hallar logaritmos Encuentre el número, si es posible. 1 (a) log10 100 (b) log2 32 (c) log9 3 (e) log3 2 (d) log7 1 En cada caso nos dan loga x y debemos hallar el exponente y tal que ay  x. Obtenemos lo siguiente. (a) log10 100  2 porque 102  100. 1 1 (b) log2 32  5 porque 25  32 . 1 1/2 (c) log9 3  2 porque 9  3. (d) log7 1  0 porque 70  1. (e) log3 2 no es posible porque 3y 苷 2 para cualquier número real y. SOLUCIÓN L Las siguientes propiedades generales se siguen de la interpretación de loga x como exponente. Propiedad de loga x (1) (2) (3) (4) Figura 1 y y  ax yx Ejemplo a0  1 a1  a ax  ax como sigue log3 1  0 log10 10  1 log2 8  log2 23  3 5log5 7  7 La razón para la propiedad 4 se sigue directamente de la definición de loga, porque si y  log a x loga 1  0 loga a  1 loga ax  x aloga x  x Razón x y  loga x, entonces x  ay, o bien x  alog a x. La función logarítmica con base a es la inversa de la función exponencial con base a, de modo que la gráfica de y  loga x se puede obtener al reflejar la gráfica de y  ax por la recta y  x (vea la sección 5.1). Este procedimiento se ilustra en la figura 1 para el caso a 1. Nótese que el punto de cruce con el eje x de la gráfica es 1, el dominio es el conjunto de los números reales positivos, 5.4 Funciones logarítmicas 357 la imagen es ⺢ y el eje y es una asíntota vertical. Como los logaritmos con base 0 a 1 se usan raras veces, aquí no trazaremos sus gráficas. Vemos de la figura 1 que si a 1, entonces loga x es creciente en (0, ) y por lo tanto es biunívoco según el teorema de la página 322. La combinación de este resultado con las partes (1) y (2) de la definición de función biunívoca de la página 320 nos da el siguiente teorema, que también se puede demostrar si 0 a 1. La función logarítmica con base a es biunívoca. Entonces, las siguientes condiciones equivalentes se satisfacen para números reales positivos x1 y x2. Teorema: las funciones logarítmicas son biunívocas (1) Si x1 苷 x2, entonces loga x1 苷 loga x2. (2) Si loga x1  loga x2, entonces x1  x2. Cuando usemos este teorema como razón para un paso en la solución de un ejemplo, expresaremos que las funciones logarítmicas son biunívocas. En el siguiente ejemplo resolvemos una ecuación logarítmica sencilla, es decir, una ecuación que contiene un logaritmo de una expresión que contiene una variable. Se pueden presentar soluciones extrañas cuando se resuelvan ecuaciones logarítmicas. En consecuencia, debemos comprobar soluciones de ecuaciones logarítmicas para asegurarnos que estamos tomando logaritmos de sólo números reales positivos; de otro modo, una función logarítmica no está definida. EJEMPLO 3 Resolver una ecuación logarítmica Resuelva la ecuación log6 4x  5  log6 2x  1. SOLUCIÓN log6 4x  5  log6 2x  1 4x  5  2x  1 2x  6 x3 ⻬ Prueba x  3 enunciado las funciones logarítmicas son biunívocas reste 2x; sume 5 divida entre 2 lado izq.: log6 4  3  5  log6 7 lado der.: log6 2  3  1  log6 7 Como log6 7  log6 7 es un enunciado verdadero, x  3 es una solución. L Cuando comprobemos la solución x  3 del ejemplo 3, no se requiere que la solución sea positiva, pero sí se requiere que las dos expresiones, 4x  5 y 2x  1 sean positivas después de sustituir 3 por x. Si extendemos nuestra idea de argumento de variables a expresiones, entonces cuando comprobemos soluciones podemos simplemente recordar que los argumentos deben ser positivos. En el siguiente ejemplo usamos la definición de logaritmo para resolver una ecuación logarítmica. 358 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Resolver una ecuación logarítmica EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación log4 (5  x)  3. SOLUCIÓN ⻬ log4 5  x  3 5  x  43 x  59 P r u e b a x  59 enunciado cambie a forma exponencial despeje x lado izq.: log4 5  59  log4 64  log4 43  3 lado der.: 3 Como 3  3 es un enunciado verdadero, x  59 es una solución. L A continuación trazamos la gráfica de una función logarítmica específica. Trazar la gráfica de una función logarítmica EJEMPLO 5 Trace la gráfica de f si f x  log3 x. SOLUCIÓN Describiremos tres métodos para trazar la gráfica. Método 1 Como las funciones dadas por log3 x y 3x son inversas entre sí, procedemos como hicimos para y  loga x en la figura 1; esto es, primero trazamos la gráfica de y  3x y luego la reflejamos a través de la recta y  x. Esto nos da el trazo de la figura 2. Nótese que los puntos (1, 31), (0, 1), (1, 3) y (2, 9) en la gráfica de y  3x se reflejan en los puntos (31, 1), (1, 0), (3, 1) y (9, 2) en la gráfica de y  log3 x. Figura 2 y y  3x yx y  log 3 x x Método 2 Podemos hallar puntos en la gráfica de y  log3 x si hacemos x  3k, donde k es un número real y luego aplicamos la propiedad 3 de logaritmos de la página 356 como sigue: y  log3 x  log3 3k  k 5.4 Funciones logarítmicas 359 Usando esta fórmula, obtenemos los puntos en la gráfica que se ven en la tabla siguiente. Figura 3 y y  3x (2, 9) x ⴝ 3k 33 y ⴝ log3 x ⴝ k 3 2 1 0 32 31 30 31 32 33 1 2 3 Esto nos da los mismos puntos obtenidos usando el primer método. Método 3 Podemos trazar la gráfica de y  log3 x si trazamos la gráfica de la forma exponencial equivalente x  3y. yx (log 35, 5) L (1, 3) (5, log 35) (3, 1) Antes de continuar, localizamos un punto más en y  log3 x en la figura 2. Si hacemos x  5, entonces y  log3 5 (vea la figura 3). (Vemos que log3 5 es un número entre 1 y 2; en la sección 5.6 estaremos en mejor aptitud de aprox ximar log 5). Ahora en la gráfica de y  3x tenemos el punto (x, y)  (log 3 3 5, 5), de modo que 5  3log 5, que ilustra la propiedad 4 de logaritmos de la página 356 y refuerza lo dicho de que los logaritmos son exponentes. (9, 2) y  log 3 x 3 Al igual que en los ejemplos siguientes, con frecuencia buscamos trazar la gráfica de f(x)  loga u, donde u es alguna expresión que contiene x. Figura 4 EJEMPLO 6 Trazar la gráfica de una función logarítmica Trace la gráfica de f si f x  log3 x para x 苷 0. y SOLUCIÓN y  log 3 x La gráfica es simétrica con respecto al eje y, porque fx  log3 x  log3 x  f x. x Si x 0, entonces x  x y la gráfica coincide con la gráfica de y  log3 x trazada en la figura 2. Usando simetría, reflejamos esa parte de la gráfica a través del eje y, obteniendo el trazo de la figura 4. De manera alternativa, podemos pensar en esta función como g(x)  log3 x con x sustituida por x (consulte la explicación en la página 208). Como todos los puntos de la gráfica de g tienen coordenadas x positivas, podemos obtener la gráfica de f al combinar g con la reflexión de g a través del eje y. L Figura 5 EJEMPLO 7 y Reflejar la gráfica de una función logarítmica Trace la gráfica de f si fx  log3 x. y  log 3 (x) x S O L U C I Ó N El dominio de f es el conjunto de números reales negativos, porque log3(x) existe sólo si x 0 o bien, lo que es equivalente, x 0. Podemos obtener la gráfica de f a partir de la gráfica de y  log3 x al sustituir cada punto (x, y) de la figura 2 por (x, y). Esto es equivalente a reflejar la gráfica de y  log3 x a través del eje y. La gráfica se muestra en la figura 5. Otro método es cambiar y  log3 (x) a la forma exponencial 3y  x y luego trazar la gráfica de x  3y. L 360 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS EJEMPLO 8 Desplazar gráficas de ecuaciones logarítmicas Trace la gráfica de la ecuación: (a) y  log3 x  2 (b) y  log3 x  2 SOLUCIÓN Figura 6 (a) La gráfica de y  log3 x se trazó en la figura 2 y se vuelve a trazar en la figura 6. De la exposición sobre desplazamientos horizontales en la sección 3.5, podemos obtener la gráfica de y  log3 (x  2) al desplazar la gráfica de y  log3 x dos unidades a la derecha, como se muestra en la figura 6. (b) De la exposición sobre desplazamientos verticales en la sección 3.5, la gráfica de la ecuación y  log3 x  2 se puede obtener al desplazar la gráfica de y  log3 x dos unidades hacia abajo, como se muestra en la figura 7. Nótese que el punto de cruce con el eje x está dado por log3 x  2 o x  32  9. y y  log3 x x y  log3 (x  2) L EJEMPLO 9 Figura 7 y Reflejar la gráfica de una función logarítmica Trace la gráfica de f si fx  log3 2  x. SOLUCIÓN y  log 3 x f x  log3 2  x  log3 x  2, x entonces, aplicando la misma técnica usada para obtener la gráfica de la ecuación y  log3 (x) en el ejemplo 7 (con x sustituida por x  2), vemos que la gráfica de f es la reflexión de la gráfica de y  log3 (x  2) a través de la recta vertical x  2. Esto nos da el trazo de la figura 8. Otro método es cambiar y  log3 (2  x) a la forma exponencial 3y  2  x y luego trazar la gráfica de x  2  3y. y  log 3 x  2 Figura 8 L y y  log 3 (2  x) Si escribimos y  log 3 (x  2) x Definición de logaritmo común Antes que se inventaran las calculadoras electrónicas, los logaritmos con base 10 se usaban para cálculos numéricos complicados que contenían productos, cocientes y potencias de números reales. La base 10 se usaba porque está bien adaptada para números que se expresan en forma científica. Los logaritmos con base 10 se denominan logaritmos comunes. El símbolo log x se usa como abreviatura para log10 x, igual que 2 se usa como abreviatura para 2 2 . log x  log10 x para toda x 0 Como ahora se dispone de calculadoras de bajo costo, no hay necesidad de logaritmos comunes como herramienta para trabajo computacional. La base 10 ocurre en aplicaciones, no obstante y por ello numerosas calculadoras tienen una tecla LOG , que se puede usar para aproximar logaritmos comunes. 5.4 Funciones logarítmicas 361 La función exponencial natural está dada por f (x)  ex. La función logarítmica con base e se llama función logarítmica natural. El símbolo ln x (léase “ele ene de x” es una abreviatura de loge x y nos referimos a ella como el logaritmo natural de x. Entonces, la función logarítmica natural y la función exponencial natural son funciones inversas una de la otra. Definición de logaritmo natural ln x  loge x para toda x 0 Casi todas las calculadoras tienen una tecla marcada LN , que se puede usar para aproximar logaritmos naturales. La siguiente ilustración da varios ejemplos de formas equivalentes que contienen logaritmos comunes y naturales. ILUSTRACIÓN Formas equivalentes Forma logarítmica Forma exponencial log x  2 102  x log z  y  3 10 y3  z ln x  2 e2  x ln z  y  3 e y3  z Para hallar x cuando se da log x o ln x, podemos usar la tecla 10x o la , respectivamente, en una calculadora, como en el ejemplo siguiente. Si la calculadora del lector tiene una tecla INV (para inversas), puede introducir x y sucesivamente pulsar INV LOG o INV LN . ex EJEMPLO 10 Resolver una ecuación logarítmica sencilla Encuentre x si (a) log x  1.7959 (b) ln x  4.7 SOLUCIÓN (a) Cambiando log x  1.7959 a su forma exponencial equivalente tendremos x  101.7959. Evaluando la última expresión a una precisión de tres lugares decimales dará x  62.503. (b) Cambiando ln x  4.7 a su forma exponencial equivalente dará x  e4.7  109.95. L 362 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS La tabla siguiente es una lista de formas logarítmicas comunes y naturales para las propiedades de la página 356. Logaritmos con base a (1) (2) (3) (4) Logaritmos comunes Logaritmos naturales log 1  0 log 10  1 log 10 x  x 10log x  x ln 1  0 ln e  1 ln e x  x eln x  x loga 1  0 loga a  1 loga a x  x aloga x  x La última propiedad para logaritmos naturales nos permite escribir el número a como eln a, de modo que la función exponencial fx  a x se puede escribir como f x  eln ax o como f x  e x ln a. Muchas calculadoras calculan un modelo exponencial de regresión de la forma y  abx. Si se desea un modelo exponencial con base e, podemos escribir el modelo como y  ae x ln b. y  ab x ILUSTRACIÓN Figura 9 y x Convertir a expresiones de base e 3x es equivalente a e x ln 3 x3 es equivalente a e3 ln x 4  2x es equivalente a 4  e x ln 2 La figura 9 muestra cuatro gráficas logarítmicas con base a 1. Observe que para x 1, cuando aumenta la base del logaritmo, las gráficas aumentan más lentamente (son más horizontales). Esto es lógico cuando consideramos las gráficas de las inversas de estas funciones: y  2x , y  e x, y  3x, y y  10 x. Aquí, para x 0, cuando aumenta la base exponencial las gráficas aumentan más rápido (son más verticales). Los cuatro ejemplos siguientes ilustran aplicaciones de logaritmos comunes y naturales. E J E M P L O 11 La escala Richter En la escala Richter, la magnitud R de un terremoto de intensidad I está dada por R  log I , I0 donde I0 es cierta intensidad mínima. (a) Si la intensidad de un terremoto es 1000I0, encuentre R. (b) Exprese I en términos de R e I0. 5.4 Funciones logarítmicas 363 SOLUCIÓN I I0 1000I0 log I0 log 1000 log 103 3 (a) R  log     enunciado sea I  1000I0 cancele I0 1000  103 log 10 x  x para toda x De este resultado vemos que un aumento multiplicado por diez en intensidad resulta en un aumento de 1 en magnitud (si 1000 se cambiara a 10,000, entonces 3 cambiaría a 4). (b) R  log I I0 enunciado I  10R I0 I  I0  10R EJEMPLO 12 cambie a forma exponencial L multiplique por I0 Ley de Newton del enfriamiento La ley de Newton del enfriamiento expresa que la rapidez a la que un cuerpo se enfría es directamente proporcional a la diferencia en temperatura entre el cuerpo y el medio que le rodea. La ley de Newton se puede usar para demostrar que bajo ciertas condiciones la temperatura T (en °C) de un cuerpo en el tiempo t (en horas) está dada por T  75e2t. Exprese t como función de T. SOLUCIÓN T  75e2t T e2t  75 T 2t  ln 75 1 T t   ln 2 75 EJEMPLO 13 enunciado aísle la expresión exponencial cambie a forma logarítmica divida entre 2 L Aproximar un tiempo de duplicación Suponga que una población está creciendo continuamente a razón de 4% por año. Aproxime el tiempo que toma una población para duplicar su tamaño, es decir, su tiempo de duplicación. SOLUCIÓN Nótese que no se da un tamaño inicial de población. No saber el tamaño inicial de la población no presenta problema, puesto que deseamos sólo determinar el tiempo necesario para obtener un tamaño de población relativo a un tamaño inicial de población. Si usamos la fórmula del crecimiento q  q0ert con r  0.04 tendremos 2q0  q0 e0.04t 2  e0.04t sea q  2q0 divida entre q0 q0 苷 0 (continúa) 364 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 0.04t  ln 2 cambie a forma logarítmica t  25 ln 2  17.3 años. multiplique por 1  25 0.04 El hecho de que q0 no tuvo ningún efecto en la respuesta indica que el tiempo de duplicación para una población de 1000 es el mismo que el tiempo de duplicación para una población de 1,000,000 o cualquier otra población inicial razonable. L Del último ejemplo podemos obtener una fórmula general para el tiempo de duplicación de una población, es decir, ln 2 rt  ln 2 o bien, lo que es equivalente, t . r Como ln 2  0.69, vemos que el tiempo de duplicación t para un crecimiento de este tipo es aproximadamente 0.69/r. Como los números 70 y 72 son cercanos a 69 pero tienen más divisores, algunos recursos se refieren a esta relación de duplicación como la regla del 70 o la regla del 72. Como ilustración de la regla del 72, si el porcentaje de crecimiento de una población es 8%, entonces toma unos 728  9 años para que la población se duplique. En forma más precisa, este valor es ln 2  100  8.7 años. 8 EJEMPLO 14 Determinar la vida media de una sustancia radiactiva Un físico encuentra que una sustancia radiactiva desconocida registra 2000 cuentas por minuto en un contador Geiger. Diez días después la sustancia registra 1500 cuentas por minuto. Con cálculo, se puede demostrar que después de t días la cantidad de material radiactivo y por tanto el número de cuentas por minuto N(t), es directamente proporcional a ect para alguna constante c. Determine la vida media de la sustancia. SOLUCIÓN Como N(t) es directamente proporcional a ect, Nt  kect, donde k es una constante. Haciendo t  0 y usando N0  2000, obtenemos 2000  kec0  k  1  k. En consecuencia, la fórmula para N(t) se puede escribir como Nt  2000ect. Como N10  1500, podemos determinar c como sigue: 1500  2000ec10 3 10c 4  e 10c  ln c 1 10 3 4 ln sea t  10 en Nt aísle la expresión exponencial cambie a forma logarítmica 3 4 divida entre 10 5.4 Funciones logarítmicas 365 Por último, como la vida media corresponde al tiempo t en el que N(t) es igual a 1000, tenemos lo siguiente: 1000  2000ect 1 ct 2  e ct  ln 12 1 1 t  ln c 2 1 1  1 3 ln 2 10 ln 4 sea Nt  1000 aísle la expresión exponencial cambie a forma logarítmica divida entre c 1 c  10 ln 34  24 días L aproxime El siguiente ejemplo es una buena ilustración del poder de una calculadora graficadora, porque es imposible hallar la solución exacta usando sólo métodos algebraicos. EJEMPLO 15 Aproximar una solución a una desigualdad Grafique fx  log x  1 y gx  ln 3  x y estime la solución de la desigualdad fx gx. Figura 10 1, 3 por 2, 2 Empezamos por hacer las asignaciones SOLUCIÓN Y1  log x  1 y Y2  ln 3  x. Como el dominio de f es (1, ) y el dominio de g es (, 3), escogemos la pantalla [1, 3] por [2, 2] y obtenemos la gráfica de la figura 10. Usando una función de intersección, encontramos que el punto de intersección es aproximadamente (1.51, 0.40). Entonces, la solución aproximada de f x gx es el intervalo 1.51 x 3. L 5.4 Ejercicios Ejer. 3-4: Cambie a forma exponencial. Ejer. 1-2: Cambie a forma logarítmica. 1 (a) 43  64 log4 64  3 1 (b) 43  64 1 log4 64  3 (d) 3x  4  t ab (e) 57t  a log3 4  t  x log5 2 (a) 3  243 5 log3 243  5 (d) 7  100p x log7 100p  x ab  7t a (b) 3 4  1 81 1 log3 81  4 P (e) 32x  F P log3  2x F 3 (a) log2 32  5 25  32 (c) t r  s log t s  r (f) 0.7t  5.3 2 logc d  p 1 2  t log0.9 12 (f) logb 512  32 b3/2  512 m 4 (a) log3 81  4 34  81 (c) c  d (f) 0.9  35  x  2 3x4 p t (d) log3 x  2  5 (c) log t r  p t p  r (e) log2 m  3x  4 log0.7 5.3  t 1 1 (b) log3 243  5 35  243 (c) logv w  q v q  w 1 1 (b) log4 256  4 44  256 (d) log6 2x  1  3 63  2x  1 (e) log4 p  5  x 4 5x  p (f) loga 343  3 4 a3/4  343 366 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ejer. 5-10: Despeje t usando logaritmos con base a. 5 2a  5 t  3 t/3 loga 25 6 3a  10 t  4t 7 K  H  Ca t t  K loga H  C Ct 1 4 loga 103 8 F  D  Bat  t 9 A  Ba  D  loga F B D t/N 10 L  Ma  P (b) 103  0.001 log 100,000  5 log 0.001  3 (c) 10x  y  1 (d) e7  p log  y  1  x 25 log3 x  4  2 13 26 log2 x  5  4 21 27 log9 x  32 27 28 log4 x   23 (d) ln w  4  3x (b) log x  y  2 10 y2  x (d) ln z  7  x e7x  z (e) ln t  5  1.2 e1.2  t  5 Ejer. 15-16: Encuentre el número, si es posible. (b) log3 3 1 (c) log4 2 15 (a) log5 1 0 (d) log7 72 2 (e) 3log3 8 8 Not possible (f ) log5 125 3 (g) log4 161 2 16 (a) log8 1 0 (b) log9 9 1 (c) log5 0 (d) log6 67 7 (e) 5log5 4 4 (f ) log3 243 5 Not possible (g) log2 128 7 4, 3 1, 2 1 1 8 29 ln x 2  2  e 1 30 log x 2  4  100 31 e2 ln x  9 3 32 eln x  0.2 5 33 e x ln 3  27 3 34 e x ln 2  0.25 2 35 Trace la gráfica de f si a  4: (a) f x  loga x (b) f x  loga x (c) f x  2 loga x (d) f x  loga x  2 (e) f x  loga x  2 (f ) f x  loga x  2 (g) f x  loga x  2 (h) f x  loga x (i) f x  loga x ( j) f x  loga 3  x (k) f x  loga x ( l) f (x)  log1/a x 36 Trabaje el ejercicio 35 si a  5. Ejer. 37-42: Trace la gráfica de f. Ejer. 17-18: Encuentre el número. 17 (a) 10log 3 3 (b) log 105 5 (c) log 100 2 (d) log 0.0001 4 (e) eln 2 2 (f ) ln e3 3 (g) e2ln 3 3e2 24 ln x 2  ln 12  x e43x  w 1 (e) ln z  2  6 e1/6  z  2 1 (c) ln x  2 e1/2  x 3 20 log3 x  4  log3 1  x  2 (d) e4  D ln D  4 Ejer. 13-14: Cambie a forma exponencial. 13 (a) log x  50 1050  x (b) log x  20t 1020t  x 14 (a) log x  8 108  x Ejer. 19-34: Resuelva la ecuación. 23 log x 2  log 3x  2 (e) e0.1t  x  2 ln x  2  0.1t (c) ln x  0.1 e0.1  x 2 3 (g) e1ln 5 5e (b) 102  0.01 log 0.01  2 (c) 10x  38z log 38z  x 5 (f ) ln e2/3 22 log7 x  5  log7 6x No solution (e) e2t  3  x ln 3  x  2t log 10,000  4 (d) log 0.001 3 (e) eln 8 8 (c) log 100,000 21 log5 x  2  log5 3x  7 No solution ln p  7 12 (a) 104  10,000 (b) log 106 6 19 log4 x  log4 8  x 4 Ejer. 11-12: Cambie a forma logarítmica. 11 (a) 105  100,000 18 (a) 10log 7 7 37 f x  log x  10 38 f x  log x  100 39 f x  ln x 40 f x  ln x  1 41 f x  ln e  x 42 f x  ln e  x 5.4 Funciones logarítmicas Ejer. 43-44: Encuentre una función logarítmica de la forma f(x) ⴝ log a x para la gráfica dada. 43 y 46 y (a2, 2) (1, 0) (a, 1) (9, 2) x  a1 , 1 x f x  Fx y 47 x2 f (x)  log3 x 44 y (a2  2, 2) (3, 0) (a  2, 1) (8, 3)  a1  2, 1 x 48 f (x)  log2 x  (a2, 2)  (a2  3, 2) x  a1  3, 1 F(x)  loga x 1 a , 1 x  3 (2, 0) y (a, 1) x f x  Fx  3 y 49 (a2, 3) (1, 1) (a, 2)  a1 , 0 45 f x  Fx  2 y (a  3, 1) Ejer. 45-50: En la figura se muestra la gráfica de una función f. Exprese f(x) en términos de F. (1, 0) x x y a1 , 1 f x  Fx  1 y 50 (a2, 4) (1, 0) (a, 1) (1, 0) x (a, 2) x (a2, 2) f x  Fx  1 a , 2  f x  2Fx 367 368 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ejer. 51-52: Aproxime x a tres cifras significativas. 51 (a) log x  3.6274 4240 (b) log x  0.9469 8.85 (c) log x  1.6253 0.0237 (d) ln x  2.3 9.97 (e) ln x  0.05 1.05 52 (a) log x  1.8965 78.8 (a) 100 veces la de I0 2 (f ) ln x  1.6 0.202 (b) 10,000 veces la de I0 4 (b) log x  4.9680 92,900 (c) 100,000 veces la de I0 5 (c) log x  2.2118 0.00614 (d) ln x  3.7 40.4 (e) ln x  0.95 2.59 59 Escala de Richter Use la fórmula de la escala de Richter R  log (I / I0) para hallar la magnitud de un terremoto que tiene una intensidad (f ) ln x  5 0.00674 53 Hallar un porcentaje de crecimiento Cambie f (x)  1000(1.05)x a una función exponencial con base e y aproxime el porcentaje de crecimiento de f. 54 Hallar una rapidez de desintegración Cambie f (x)  x 100 12  a una función exponencial con base e y aproxime la rapidez de desintegración de f. 55 Desintegración del radio Si empezamos con q0 miligramos de radio, la cantidad q restante después de t años está dada por la fórmula q  q0(2)t/1600. Exprese t en términos de q y de q0. 56 Desintegración del isótopo de bismuto El isótopo radiactivo de bismuto 210Bi se desintegra de acuerdo con Q  k(2)t/5, donde k es una constante y t es el tiempo en días. Exprese t en términos de Q y k. 57 Circuito eléctrico Un diagrama de un circuito eléctrico sencillo formado por un resistor y un inductor se muestra en la siguiente figura. La corriente I en el tiempo t está dada por la fórmula I  20eRt/L, donde R es la resistencia y L es la inductancia. De esta ecuación despeje t. Ejercicio 57 R I V 60 Escala de Richter Consulte el ejercicio 59. Las magnitudes más grandes de terremotos registrados han sido entre 8 y 9 en la escala de Richter. Encuentre las intensidades correspondientes en términos de I0. Between 108I0 and 109I0 61 Intensidad del sonido La intensidad acústica de un sonido, como la experimenta el oído humano, está basada en su nivel de intensidad. Una fórmula empleada para hallar el nivel de intensidad a  10 log (I / I0), donde I0 es un valor especial de I acordado como el sonido más débil que puede ser detectado por el oído bajo ciertas condiciones. Encuentre a si (a) I es 10 veces mayor que I0 10 (b) I es 1000 veces mayor que I0 30 (c) I es 10,000 veces mayor que I0. (Éste es el nivel de intensidad de la voz promedio.) 40 62 Intensidad del sonido Consulte el ejercicio 61. Un nivel de intensidad del sonido de 140 decibeles produce dolor en el oído humano promedio. ¿Aproximadamente cuántas veces mayor que I0 debe ser I para que a alcance este nivel? 63 Crecimiento de la población en Estados Unidos La población N(t) (en millones) de Estados Unidos t años después de 1980 se puede aproximar con la fórmula N(t)231e0.0103t. ¿Cuándo es que la población será el doble de la de 1980? 64 Crecimiento de población en India La población N(t) (en millones) de India t años después de 1985 puede aproximarse con la fórmula N(t)  766e0.0182t. ¿Cuándo es que la población será de 1500 millones? 65 Peso de niños La relación de Ehrenberg L 58 Condensador eléctrico A un condensador eléctrico con carga inicial Q0 se le permite descargarse. Después de t segundos, la carga Q es Q  Q0ekt, donde k es una constante. De esta ecuación despeje t. ln W  ln 2.4  1.84h es una fórmula empírica que relaciona la estatura h (en metros) con el peso promedio W (en kilogramos) para niños de 5 a 13 años de edad. (a) Exprese W como función de h que no contenga ln. W  2.4e1.84h (b) Estime el peso promedio de un niño de 8 años de edad que mide 1.5 metros de estatura. 37.92 kg 5.4 Funciones logarítmicas 66 Interés capitalizado continuamente Si el interés se capitaliza continuamente a razón de 6% al año, aproxime el número de años necesarios para que un depósito inicial de $6000 crezca a $25,000. 23.8 yr 67 Presión de aire La presión de aire p(h) (en lb/in2), a una altitud de h pies sobre el nivel del mar, se puede aproximar con la fórmula p(h)  14.7e0.0000385h. ¿Aproximadamente a qué altitud h la presión del aire es (a) 10 lbin2? 10,007 ft (b) la mitad de su valor al nivel del mar? 18,004 ft 68 Presión de vapor La presión de vapor P de un líquido (en lb/pulg2), una medida de su volatilidad, está relacionada con su temperatura T (en °F) por la ecuación de Antoine log P  a  b , cT donde a, b y c son constantes. La presión de vapor aumenta rápidamente con un aumento en temperatura. Exprese P como función de T. PT  10a10b/cT 69 Crecimiento de elefantes El peso W (en kilogramos) de una elefanta africana de t años (en años) se puede aproximar con W  26001  0.51e0.075t3. (a) Aproxime el peso al nacimiento. 305.9 kg (b) Estime la edad de una elefanta africana que pesa 1800 kg mediante el uso (1) de la gráfica siguiente y (2) de la fórmula para W. (1) 20 yr (2) 19.8 yr Ejercicio 69 369 70 Consumo de carbón Un país actualmente tiene reservas de carbón de 50 millones de toneladas; el año pasado consumió 6.5 millones de toneladas de carbón. Los datos de años pasados y las proyecciones de población sugieren que la rapidez de consumo R (en millones de toneladas al año) aumentará de acuerdo con la fórmula R  6.5e0.02t y la cantidad total T (en millones de toneladas) de carbón que se usarán en t años está dada por la fórmula T  325(e0.02t  1). Si el país utiliza sólo sus propios recursos, ¿cuándo se agotarán las reservas de carbón? 71 Densidad de población urbana Un modelo de densidad urbana es una fórmula que relaciona la densidad de población D (en miles/mi2) con la distancia x (en millas) del centro de la ciudad. La fórmula D  aebx para la densidad central a y coeficiente de decaimiento b se ha encontrado apropiada para muchas grandes ciudades de Estados Unidos. Para la ciudad de Atlanta en 1970, a  5.5 y b  0.10. ¿Aproximadamente a qué distancia era la densidad de población de 2000 por milla cuadrada? 72 Brillantez de estrellas Las estrellas se clasifican en categorías de brillantez llamadas magnitudes. A las estrellas más tenues, con flujo de luz L0, se les asigna una magnitud de 6; a las más brillantes con flujo de luz L se les asigna una magnitud m por medio de la fórmula L m  6  2.5 log . L0 (a) Encuentre m si L  100.4L0. 5 (b) De la fórmula despeje L en términos de m y L0. L  L0 106m/2.5 73 Desintegración de yodo radiactivo El yodo radiactivo 131I se usa con frecuencia en estudios de rastreo que involucran a la glándula tiroides. La sustancia se desintegra de acuerdo con la fórmula A(t)  A0at, donde A0 es la dosis inicial y t es el tiempo en días. Encuentre a, suponiendo que la vida media del 131I es 8 días. W (kg) 3000 21/8  1.09 74 Contaminación radiactiva El estroncio radiactivo 90Sr ha sido depositado en un gran campo por la lluvia ácida. Si suficientes cantidades llegan hasta la cadena alimenticia de seres humanos, puede resultar cáncer en los huesos. Se ha determinado que el nivel de radiactividad en el campo es 2.5 veces el nivel seguro S. El 90Sr se desintegra de acuerdo con la fórmula 2000 1000 At  A0 e0.0239t, 10 20 30 40 50 60 70 80 t (años) donde A0 es la cantidad actualmente en el campo y t es el tiempo en años. ¿Durante cuántos años estará contaminado el campo? 38.3 yr 75 Velocidad al caminar En un estudio de 15 ciudades que van en población P de 300 a 3,000,000, se encontró que el pro- 370 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS medio de velocidad al caminar S (en pies/s) de un peatón podría aproximarse por S  0.05  0.86 log P. (a) ¿En qué forma afecta la población al promedio de velocidad al caminar? Pedestrians have faster average walking speeds in (b) ¿Para qué población es de 5 pies/s el promedio de velocidad al caminar? 570,000 76 Chips de computadora Para fabricantes de chips de computadora, es importante considerar la fracción F de chips que fallarán después de t años de servicio. Esta fracción puede aproximarse a veces con la fórmula F  1  ect donde c es una constante positiva. (a) ¿En qué forma el valor de c afecta la confiabilidad de un chip? Ejer. 79-80: Aproxime la raíz real de la ecuación. 79 x ln x  1 1.763 Ejer. 81-82: Grafique f y g en el mismo plano de coordenadas, y estime la solución de la desigualdad f(x) W g(x). 81 f x  2.2 log x  2; gx  ln x (0, 14.90] 82 f x  x ln x ; 0.94, 0.05 傼 1.59, 3.23 R  2.07 ln x  2.04 (b) Si c  0.125, ¿después de cuántos años habrán fallado el 35% de los chips? 3.45 yr log x2  log x , 4 78 (a) f x  log 2x 2  1  10x, x  3.4 , (b) gx  ln x  4 Leyes de logaritmos 1. 30% 84 Nivel de colesterol en hombres Consulte el ejercicio 83. Para un hombre, el riesgo se puede aproximar con la fórmula R  1.36 ln x  1.19. (a) Calcule R para un hombre con C  287 y H  65. x  0.55 0.8377 Propiedades de logaritmos R (b) Gráficamente estime x cuando el riesgo sea de 75%. x  1.95 0.9235 5.5 0 (a) Calcule R para una mujer con C  242 y H  78. x  2 8.4877 x  3.97 0.0601 siempre y cuando Por ejemplo, si R  0.65, entonces hay un 65% de probabilidad que una mujer tenga un ataque cardiaco en su vida. Ejer. 77-78: Aproxime la función al valor de x a cuatro lugares decimales. (b) gx  gx  0.15e x 83 Nivel de colesterol en mujeres Estudios que relacionan el nivel de colesterol de suero, con enfermedades coronarias, sugieren que un factor de riesgo es la razón entre x y la cantidad total C de colesterol en la sangre y la cantidad H de colesterol lipoproteínico de alta densidad en la sangre. Para una mujer, el riesgo de vida R de tener un ataque cardiaco se puede aproximar con la fórmula Larger values cause F to decrease more rapidly. 77 (a) f x  ln x  1  ex, 80 ln x  x  0 0.567 (b) Gráficamente estime x cuando el riesgo sea de 75%. En la sección precedente observamos que loga x se puede interpretar como exponente. Así, parece razonable esperar que las leyes de exponentes puedan usarse para obtener leyes correspondientes de logaritmos. Esto se demuestra en las pruebas de las leyes siguientes, que son fundamentales para todo trabajo con logaritmos. Si u y w denotan números reales positivos, entonces (1) loga uw  loga u  loga w (2) loga  u w  loga u  loga w (3) loga uc  c loga u para todo número real c 5.5 Propiedades de logaritmos PRUEBAS 371 Para las tres pruebas, sean r  loga u y s  loga w. Las formas exponenciales equivalentes son u  ar y Ahora procedemos como sigue: (1) uw  aras uw  ars loga uw  r  s loga uw  loga u  loga w u ar (2)  s w a u  ars w loga loga (3)   w  as. definición de u y w ley 1 de exponentes cambio a forma logarítmica definición de r y s definición de u y w ley 5(a) de exponentes u w rs cambio a forma logarítmica u w  loga u  loga w definición de r y s uc  arc uc  acr loga uc  cr loga uc  c loga u definición de u ley 2 de exponentes cambio a forma logarítmica definición de r L Las leyes de logaritmos para los casos especiales a  10 (logaritmos comunes) y a  e (logaritmos naturales) se escriben como se muestra en la siguiente tabla. Logaritmos comunes Logaritmos naturales (1) log uw  log u  log w u  log u  log w (2) log w (3) log uc  c log u (1) ln uw  ln u  ln w u  ln u  ln w (2) ln w (3) ln uc  c ln u   Como lo indica la siguiente advertencia, no hay leyes para expresar loga (u  w) o loga (u  w) en términos de logaritmos más sencillos. Y ¡Advertencia! Y loga u  w ⬆ loga u  loga w loga u  w ⬆ loga u  loga w Los siguientes ejemplos ilustran usos de las leyes de logaritmos. 372 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Uso de leyes de logaritmos EJEMPLO 1 Exprese loga x 3 2y en términos de logaritmos de x, y y z. z2 Escribimos 2y como y1/2 y usamos leyes de logaritmos: SOLUCIÓN loga x 3 2y  loga x 3y1/2  loga z2 z2  loga x3  loga y1/2  loga z2 1 2  3 loga x  loga y  2 loga z ley 2 ley 1 ley 3 Nótese que si un término con exponente positivo (por ejemplo x3) está en el numerador de la expresión original, tendrá un coeficiente positivo en la forma expandida y, si está en el denominador (por ejemplo z2), tendrá un coeficiente negativo en la forma expandida. L Uso de leyes de logaritmos EJEMPLO 2 Exprese como un logaritmo: 1 3 loga x 2  1  loga y  4 loga z Aplicamos las leyes de logaritmos como sigue: SOLUCIÓN 1 3 loga x 2  1  loga y  4 loga z  loga x 2  11/3  loga y  loga z4 ley 3 3 2 x  1  loga y  loga z4  loga 2 álgebra  loga 2 x  1  loga  yz  ley 1  loga 3 2 3 2 2x  1 yz4 4 ley 2 L En la figura 1 ejecutamos una prueba sencilla de calculadora del ejemplo 2 al asignar valores arbitrarios a X, Y y Z y luego evaluar la expresión dada y nuestra respuesta. No demuestra que tengamos razón, pero da credibilidad a nuestro resultado (por no mencionar tranquilidad mental). Figura 1 5.5 Propiedades de logaritmos EJEMPLO 3 373 Resolver una ecuación logarítmica Resuelva la ecuación log5 2x  3  log5 11  log5 3. SOLUCIÓN log5 2x  3  log5 11  log5 3 log5 2x  3  log5 11  3 2x  3  33 x  15 ⻬ P r u e b a x  15 enunciado ley 1 de logaritmos las funciones logarítmicas son biunívocas despeje x Lado izq.: log5 2  15  3  log5 33 Lado der.: log5 11  log5 3  log5 11  3  log5 33 Como log5 33  log5 33 es un enunciado verdadero, x  15 es una solución. L Las leyes de logaritmos se demostraron para logaritmos de números reales positivos u y w. Si aplicamos estas leyes a ecuaciones en las que u y w son expresiones que contengan una variable, entonces pueden aparecer soluciones extrañas, por lo cual las respuestas deben sustituirse por la variable en u y w para determinar si estas expresiones están definidas. EJEMPLO 4 Resolver una ecuación logarítmica Resuelva la ecuación log2 x  log2 x  2  3. SOLUCIÓN log2 x  log2 x  2  3 log2 xx  2  3 xx  2  23 2 x  2x  8  0 x  2x  4  0 x  2  0, x  4  0 x  2, x  4 ⻬ Prueba x  2 enunciado ley 1 de logaritmos cambie a forma exponencial multiplique e iguale a 0 factorice teorema del factor cero despeje x Lado izq.: log2 2  log2 2  2  1  log2 4  1  log2 22  1  2  3 Lado der.: 3 Como 3  3 es un enunciado verdadero, x  2 es una solución. ⻬ P r u e b a x  4 Lado izq.: log2 4  log2 4  2 Como los logaritmos de números negativos no están definidos, x  4 no es una solución. L EJEMPLO 5 Resolver una ecuación logarítmica Resuelva la ecuación ln x  6  ln 10  ln x  1  ln 2. 374 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS SOLUCIÓN ln x  6  ln x  1  ln 10  ln 2 reacomode términos x6 10 ley 2 de logaritmos ln  ln x1 2 x6 ln es biunívoco 5 x1 multiplique por x  1 x  6  5x  5 11 despeje x x 4   ⻬ Como ln (x  6) y ln (x  1) están definidos en x  11 4 (son logaritmos de números reales positivos) y como nuestros pasos algebraicos son correctos, se deduce que 11 4 es una solución de la ecuación dada. (La figura 2 muestra una prueba de calculadora para el ejemplo 5.) Prueba L Figura 2 LI LD EJEMPLO 6 Desplazar la gráfica de una ecuación logarítmica Trace la gráfica de y  log3 81x. Figura 3 y SOLUCIÓN y  log 3 (81x)  4  log 3 x Podemos reescribir la ecuación como sigue: y  log3 81x  log3 81  log3 x  log3 34  log3 x  4  log3 x y  log 3 x x enunciado ley 1 de los logaritmos 81  34 loga a x  x Entonces, podemos obtener la gráfica de y  log3 (81x) al desplazar verticalmente la gráfica de y  log3 de la figura 2 en la sección 5.4 hacia arriba cuatro unidades. Esto nos da el trazo de la figura 3. L EJEMPLO 7 Trazar gráficas de ecuaciones logarítmicas Trace la gráfica de la ecuación: (a) y  log3 x 2 (b) y  2 log3 x 5.5 Propiedades de logaritmos 375 SOLUCIÓN (a) Como x 2  x 2, podemos reescribir la ecuación dada como y  log3 x 2. Usando la ley 3 de logaritmos, tenemos y  2 log3 x . Podemos obtener la gráfica de y  2 log3 x al multiplicar por 2 las coordenadas y de puntos en la gráfica de y  log3 x en la figura 4 de la sección 5.4 por 2. Esto nos da la gráfica de la figura 4(a). Figura 4 (a) (b) y y  log 3 y (x 2) y  2 log 3 x x x (b) Si y  2 log3 x, entonces x debe ser positiva. Por lo tanto, la gráfica es idéntica a la parte de la gráfica de y  2 log3 x de la figura 4(a) que se encuentra a la derecha del eje y. Esto nos da la figura 4(b). L EJEMPLO 8 Una relación entre precio de venta y demanda En el estudio de economía, la demanda D de un producto a veces está relacionada con su precio de venta p por una ecuación de la forma loga D  loga c  k loga p, donde a, c y k son constantes positivas. (a) Despeje D de la ecuación. (b) ¿En qué forma se afecta la demanda al aumentar o disminuir el precio de venta? SOLUCIÓN (a) loga D  loga c  k loga p loga D  loga c  loga pk c loga D  loga k p c D k p enunciado ley 3 de logaritmos ley 2 de logaritmos loga es biunívoca (b) Si el precio p aumenta, el denominador pk en D  cpk también aumentará y por tanto la demanda D del producto disminuirá. Si el precio disminuye, entonces pk disminuirá y la demanda D aumentará. L 376 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 5.5 Ejercicios Ejer. 1-8: Exprese en términos de logaritmos de x, y, z o w. 1 (a) log4 xz (b) log4  yx 2 (a) log3 xyz log4 z 5 y (c) log3 2 1 5 log3 x  log3 z  log3 y x 3w 3 loga 2 4 yz log3 y 5 loga y  2 loga w  4 loga x  3 loga z 2z 6 log x 2y 1 2 x7 y 5z 3 z x4 2 log y  4 log x  13 log z 8 ln x y4 z5 (b) log3 2z  log3 x log3 5xy log3 (c) 5 log3 y log3 y 5 log4 w log4 2z x 19 2 log3 x  3 log3 5 5 25 3 29 21 log x  log x  1  3 log 4 No solución 2 15 23 ln 4  x  ln 3  ln 2  x 7 24 ln x  ln x  6  12 ln 9 3  2 23 26 log6 x  5  log6 x  2 4 27 log3 x  3  log3 x  5  1 2 28 log3 x  2  log3 x  4  2 3  (b) log4 x  log4 7y log4 x7y log4 3xz 1 3 13 3 210 1  265 29 log x  3  1  log x  2 2 10 (a) log4 3z  log4 x (c) 18 log4 3x  2  log4 5  log4 3 25 log2 x  7  log2 x  3 1 Ejer. 9-16: Escriba la expresión como un logaritmo. 9 (a) log3 x  log3 5y 7 2 17 log6 2x  3  log6 12  log6 3 22 log x  2  log x  2 log 4 2y 3 Ejer. 17-34: Resuelva la ecuación. 20 3 log2 x  2 log2 3 y 5w 2 4 log a 4 3 xz 3 7 ln 1 3 (b) log3 xzy log3 x  log3 y  log3 z 4 (c) log 4 2z log4 y  log4 x log4 x  log4 z 5 log 3 3 2w 30 log 57x  2  log x  2 200 43 31 ln x  1  ln x  2 1  21  e 32 ln x  1  ln x  1 No solución 3 x22 x2 1 11 2 loga x  3 loga x  2  5 loga 2x  3 loga 2x  35 33 log3 x  2  log3 27  log3 x  4  5log5 1 3  34 log2 x  3  log2 x  3  log3 9  4log4 3 1 2 12 5 loga x  loga 3x  4  3 loga 5x  1 13 log x y   2 log x 2 y  3 log 3 2 14 2 log 3  x y 1 y3  3 log y  log x 4y 2 log y 4 x 2 1 15 ln y 3  3 ln x 3y 6  5 ln y ln x 16 2 ln x  4 ln 1y  3 ln xy ln  yx log y 13/3 x2 99 31 Ejer. 35-46: Trace la gráfica de f. 35 f x  log3 3x 36 f x  log4 16x 37 f x  3 log3 x 38 f x  13 log3 x 39 f x  log3 x 2 40 f x  log2 x 2 41 f x  log2 x 3 42 f x  log3 x 3 43 f x  log2 2x 3 44 f x  log2 2 x 45 f x  log3  1 x 46 f x  log2  1 x 210 5.5 Propiedades de logaritmos Ejer. 47-50: En la figura se ilustra la gráfica de una función f. Exprese f(x) como un logaritmo con base 2. y 47 377 del altavoz cambia de V1 a V2 y el aumento en decibeles en ganancia está dado por db  20 log V2 . V1 Encuentre el aumento en decibeles si el voltaje cambia de 2 volts a 4.5 volts. x 52 Volumen y decibeles Consulte el ejercicio 51. ¿Qué razón de voltaje k se necesita para una ganancia de 20 decibeles? ¿y para una ganancia de 40 decibeles? f x  log2 x 2 48 y 53 Ley de Pareto La ley de Pareto para países capitalistas expresa que la relación entre el ingreso anual x y el número y de individuos cuyo ingreso excede de x es log y  log b  k log x, donde b y k son constantes positivas. De esta ecuación despeje y. x f x  log2 x 49 55 Velocidad del viento Si v denota la velocidad del viento (en m/s) a una altura de z metros sobre el suelo, entonces bajo ciertas condiciones v  c ln (z/z0), donde c es una constante positiva y z0 es la altura a la que la velocidad es cero. Trace la gráfica de esta ecuación en un plano zv para c  0.5 y z0  0.1 m. y x f x  log2 8x 50 54 Precio y demanda Si p denota el precio de venta (en dólares) de una mercancía y x es la demanda correspondiente (en número vendido por día), entonces la relación entre p y x está dada a veces por p  p0eax, donde p0 y a son constantes positivas. Exprese x como función de p. y x 51 Volumen y decibeles Cuando se aumenta el control de volumen de un equipo de estéreo, el voltaje en las terminales 56 Eliminar contaminación Si la contaminación del lago Erie se detuviera de pronto, se ha estimado que el nivel y de contaminantes disminuiría según la fórmula y  y0e0.3821t, donde t es el tiempo en años y y0 es el nivel de contaminantes en el que ya no hubo más contaminación. ¿Cuántos años pasarían para limpiar el 50% de contaminantes? 57 Reacción a un estímulo Denote con R la reacción de un sujeto a un estímulo de intensidad x. Hay muchas posibilidades de R y x. Si el estímulo x es la salinidad (en gramos de sal por litro), R puede ser la estimación del sujeto de qué tan salada es la solución, con base en una escala de 0 a 10. Una relación entre R y x está dada por la fórmula de WeberFechner, Rx  a log xx0 , donde a es una constante positiva y x0 se denomina umbral de estímulo. (a) Encuentre R(x0). (b) Encuentre una relación entre R(x) y R(2x). 378 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 58 Energía electrónica La energía E(x) de un electrón después de pasar por material de grosor x está dada por la ecuación Ex  E0 ex/x 0, donde E0 es la energía inicial y x0 es la duración de radiación. (a) Exprese, en términos de E0, la energía de un electrón después de pasar por material de grosor x0. (b) Exprese, en términos de x0, el grosor al que el electrón pierde 99% de su energía inicial. 59 Capa de ozono Un método de estimar el grosor de la capa de ozono es usar la fórmula ln I0  ln I  kx, donde I0 es la intensidad de longitud de onda particular de luz del Sol antes que llegue a la atmósfera, I es la intensidad de la misma longitud de onda después de pasar una capa de ozono de x centímetros de grueso y k es la constante de absorción de ozono para esa longitud de onda. Suponga que para una longitud de onda de 3176  108 centímetros con k  0.39, I0 I se mide como 1.12. Aproxime el grosor de la capa de ozono al 0.01 centímetro más cercano. 60 Capa de ozono Consulte el ejercicio 59. Aproxime el porcentaje de disminución en la intensidad de luz con una longitud de onda de 3176  108 centímetros si la capa de ozono mide 0.24 centímetros de grueso. Ejer. 61-62: Grafique f y g en el mismo plano de coordenadas y estime la solución de la desigualdad f(x) W g(x). 61 f x  x 3  3.5x 2  3x; gx  log 3x 62 f x  30.5x; gx  log x Ejer. 65-66: Grafique f en el intervalo [0.2, 16]. (a) Estime los intervalos donde f es creciente o es decreciente. (b) Estime los valores máximo y mínimo de f en [0.2, 16]. 65 f x  2 log 2x  1.5x  0.1x 2 66 f x  1.13x  x  1.35x  log x  5 Ejer. 67-68: Resuelva gráficamente la ecuación. 67 x log x  log x  5 6.94 68 0.3e x  ln x  4 ln x  1 0.40, 3.12 Ejer. 69-70: Los graznidos de aves disminuyen en intensidad (acústica) cuando se mueven por la atmósfera. Cuanto más lejos se encuentre un ave de un observador, más débil será el sonido. Esta disminución en intensidad se puede usar para estimar la distancia entre un observador y un ave. Una fórmula que se puede usar para medir esta distancia es I ⴝ I0 ⴚ 20 log d ⴚ kd siempre que 0 X I X I0, donde I0 representa la intensidad (en decibeles) del ave a una distancia de un metro (I0 se conoce con frecuencia y por lo general depende sólo del tipo de ave), I es la intensidad observada a una distancia de d metros del ave y k es una constante positiva que depende de las condiciones atmosféricas tales como temperatura y humedad. Dadas I0, I y k, gráficamente estime la distancia d entre el ave y un observador. 69 I0  70, I  20, k  0.076 115 m 70 I0  60, I  15, k  0.11 72 m Ejer. 63-64: Use una gráfica para estimar las raíces de la ecuación en el intervalo dado. 63 ex  2 log 1  x 2  0.5x  0; 0, 8 64 0.3 ln x  x 3  3.1x 2  1.3x  0.8  0; 0, 3 5.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas En esta sección consideraremos varios tipos de ecuaciones exponenciales y logarítmicas y sus aplicaciones. Cuando resolvamos una ecuación con expresiones exponenciales con bases y variables constantes que aparezcan en los exponentes, con frecuencia igualamos los logaritmos de ambos lados de la ecuación. Cuando así lo hacemos, las variables del exponente se convierten en multiplicadores y la ecuación resultante suele ser más fácil de resolverse. Nos referiremos a este paso simplemente como “tomar log de ambos lados.” EJEMPLO 1 Resolver una ecuación exponencial Resuelva la ecuación 3x  21. 5.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas SOLUCIÓN 3x  21 379 enunciado log 3x  log 21 tomar logaritmo de ambos lados x log 3  log 21 log 21 x log 3 ley 3 de logaritmos dividir entre log 3 También podríamos haber usado logaritmos naturales para obtener x ln 21 . ln 3 El uso de una calculadora nos da la solución aproximada de x  2.77. Una prueba parcial es observar que como 32  9 y 33  27, el número x tal que 3x  21 debe estar entre 2 y 3, un poco más cerca de 3 que de 2. L También podríamos haber resuelto la ecuación del ejemplo 1 al cambiar la forma exponencial 3x  21 a forma logarítmica, como hicimos en la sección 5.4, obteniendo x  log3 21. Ésta es, de hecho, la solución de la ecuación; no obstante, como en general las calculadoras tienen teclas sólo para log y ln, no podemos aproximar log3 21 directamente. El siguiente teorema nos da un sencillo cambio de fórmula de base para hallar logb u si u 0 y b es cualquier base logarítmica. Teorema: Cambiar de fórmula de base Si u 0 y si a y b son números reales positivos diferentes de 1, entonces logb u  PRUEBA loga u . loga b Empezamos con las ecuaciones equivalentes w  logb u y bw  u y procedemos como sigue: bw  u loga bw  loga u w loga b  loga u loga u w loga b enunciado tome loga de ambos lados ley 3 de logaritmos divida entre loga b Como w  logb u, obtenemos la fórmula. L 380 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS El siguiente caso especial del cambio de fórmula de base se obtiene al hacer u  a y usar el hecho de que loga a  1. 1 logb a  loga b El cambio de fórmula de base se confunde a veces con la ley 2 de logaritmos. La primera de las siguientes advertencias podría recordarse con la frase “un cociente de logaritmos no es el log del cociente.” loga u u ⬆ loga ; loga b b Y ¡Advertencia! Y loga u ⬆ loga u  b loga b Los casos especiales que se usan con más frecuencia del cambio de fórmula de base son aquellos para los que a  10 (logaritmos comunes) y a  e (logaritmos naturales), como se expresa en el siguiente cuadro. Cambio especial de fórmulas de base (1) logb u  log10 u log u  log10 b log b (2) logb u  loge u ln u  loge b ln b A continuación, retrabajamos el ejemplo 1 usando un cambio de fórmula de base. EJEMPLO 2 Usar un cambio de fórmula de base Resuelva la ecuación 3x  21. SOLUCIÓN Procedemos como sigue: 3x  21 enunciado x  log3 21 cambio a forma logarítmica log 21 cambio especial de fórmula de base 1  log 3 Otro método es usar cambio especial de fórmula de base 2, obteniendo x ln 21 . ln 3 L Los logaritmos con base 2 se usan en ciencias computacionales. El siguiente ejemplo indica cómo aproximar logaritmos con base 2 usando cambio de fórmulas de base. EJEMPLO 3 Aproximar un logaritmo con base 2 Aproxime log2 5 (a) logaritmos comunes (b) logaritmos naturales 5.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 381 S O L U C I Ó N Usando las fórmulas especiales para cambio de base, 1 y 2, obtenemos lo siguiente: log 5 (a) log2 5   2.322 log 2 ln 5 (b) log2 5   2.322 ln 2 L EJEMPLO 4 Resolver una ecuación exponencial Resuelva la ecuación 52x1  6x2. S O L U C I Ó N Podemos usar ya sea logaritmos comunes o naturales. El uso de logaritmos comunes nos da lo siguiente: 52x1  6x2 Figura 1 enunciado log 52x1  log 6x2 tome log de ambos lados 2x  1 log 5  x  2 log 6 ley 3 de logaritmos 2x log 5  log 5  x log 6  2 log 6 2x log 5  x log 6  log 5  2 log 6 multiplique pase a un lado todos los términos en x xlog 52  log 6  log 5  log 62 factorice y use la ley 3 de logaritmos x log 5  36 log 25 6 despeje x y use leyes de logaritmos Una aproximación es x  3.64. La figura 1 muestra una prueba de calculadora para este ejemplo. Deducimos de la prueba que las gráficas de y  52x1 y y  6x2 se intersecan en aproximadamente (3.64, 0.00004). L EJEMPLO 5 Resolver una ecuación exponencial Resuelva la ecuación 5x  5x  3. 2 5x  5x 3 2 5x  5x  6 1 5x  x  6 5 1 5x5x  x 5x  65x 5 5x2  65x  1  0 SOLUCIÓN enunciado multiplique por 2 definición de exponente negativo multiplique por mcd, 5x simplifique y reste 65x (continúa) 382 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Nótese que 5x2 se puede escribir como 52x. Reconocemos esta forma de ecuación como una cuadrática en 5x y procedemos como sigue: 5x2  65x  1  0 5x  ley de exponentes 6  236  4 2 fórmula cuadrática 5x  3  210 simplifique 5  3  210 5x x log 5  log  3  210  x x log 5  log  3  210  x log  3  210  log 5 0 , pero 3  210 0 tome log de ambos lados ley 3 de logaritmos divida entre log 5 Una aproximación es x  1.13. EJEMPLO 6 L Resolver una ecuación que contenga logaritmos 3 Resuelva la ecuación log 2 x  2log x para x. SOLUCIÓN n log x1/3  2log x 2 x  x1/n 1 3 log x r  r log x log x  2log x 1 9 log x2  log x log x2  9 log x eleve al cuadrado ambos lados multiplique por 9 log x  9 log x  0 iguale a 0 un lado log xlog x  9  0 factorice log x 2 log x  0, log x  9  0 iguale a 0 cada factor log x  9 x  10  1 0 o sume 9 x  10 9 log10 x  a &fi x  10a 3 Lado izq.: log 2 1  log 1  0 Lado der.: 2log 1  20  0 ⻬ Prueba x  1 ⻬ 3 P r u e b a x  109 Lado izq.: log 2 109  log 103  3 Lado der.: 2log 109  29  3 La ecuación tiene dos soluciones, 1 y 1000 millones. L La función y  2e x  ex se llama función secante hiperbólica. En el siguiente ejemplo despejamos x de esta ecuación en términos de y. Bajo restricciones apropiadas, esto nos da la función inversa. 5.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 383 Hallar una función hiperbólica inversa EJEMPLO 7 De la ecuación y  2e x  ex despeje x en términos de y. SOLUCIÓN y 2 e x  ex ye x  yex  2 ye x  ye xe x  y 2 ex y x e   2e x ex ye x2  2e x  y  0 enunciado multiplique por e x  ex definición de exponente negativo multiplique por el mcd, e x simplifique y reste 2e x Reconocemos esta forma de la ecuación como cuadrática en ex con coeficientes a  y, b  2 y c  y. Nótese que estamos despejando ex, no x. 2  222  4 y y 2 y fórmula cuadrática  2  24  4y 2 2y simplifique  2  24 21  y 2 2y factorice 24 1  21  y 2 y cancele un factor de 2 ex  Figura 2 2 y  g(x)  ex  ex 0 y 1 y 2 y  f(x)  ex  ex 0 y 1 0 x ex  0 x x  ln x y  f 1x  ln y 1  1  x 2  ln x 0 x 1 f 1(x) y 0 1  1  x 2 x x 1 y 0 1  21  x 2 , x que se muestra en la figura 3. Nótense las relaciones de dominio e imagen. Para la curva roja y  g(x) de la figura 2, la función inversa es 0 y  g1(x)  ln tome ln de ambos lados Para la curva azul y  f(x) de la figura 2, la función inversa es Figura 3 y 1  21  y 2 y x y  g1x  ln 1  21  x 2 , x que se muestra en rojo en la figura 3. Como la secante hiperbólica no es biunívoca, no puede tener una ecuación sencilla para su inversa. L 384 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS La secante hiperbólica inversa es parte de la ecuación de la curva llamada catenaria. La curva está asociada con la solución de Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) a la pregunta “¿Cuál es la trayectoria de un cuerpo arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una cuerda de longitud constante, cuando el extremo de la cuerda no unido al cuerpo se mueve a lo largo de una recta en el plano?” Aproximar la penetración de luz en un océano EJEMPLO 8 La ley de Beer-Lambert expresa que la cantidad de luz I que penetra a una profundidad de x metros en un océano está dada por I  I0c x, donde 0 c 1 e I0 es la cantidad de luz en la superficie. (a) Despeje x en términos de logaritmos comunes. (b) Si c  14 , aproxime la profundidad a la que I  0.01I0. (Esto determina la zona fótica donde puede tener lugar la fotosíntesis.) SOLUCIÓN (a) I  I0c x enunciado I  cx I0 x  logc  aísle la expresión exponencial I I0 log II0 log c cambie a forma logarítmica cambio especial de fórmula de base 1 (b) Haciendo I  0.01I0 y c  14 en la fórmula para x obtenida en la parte (a), tenemos x log 0.01I0I0 log 41 sustituya por I y c  log 0.01 log 1  log 4 cancele I0; ley 2 de logaritmos log 102 0  log 4 2  log 4   2 . log 4 Una aproximación es x  3.32 m. propiedad de logaritmos log 10x  x simplifique L 5.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas EJEMPLO 9 385 Comparar intensidades de luz Si un haz de luz que tiene intensidad I0 se proyecta verticalmente hacia abajo en el agua, entonces su intensidad I(x) a una profundidad de x metros es Ix  I0e1.4x (vea la figura 4). ¿A qué profundidad la intensidad tendrá la mitad de su valor en la superficie? SOLUCIÓN En la superficie, x  0 y la intensidad es I0  I0e0  I0. Figura 4 I0 x metros I(x) Deseamos hallar el valor de x tal que Ix  21 I0 . Esto lleva a lo siguiente: Ix  12 I0 intensidad deseada I0e1.4x  12 I0 fórmula para Ix e1.4x  12 1.4x  ln x divida entre I0 I0 苷 0 1 2 1 2 ln 1.4 Una aproximación es x  0.495 m. cambie a forma logarítmica divida entre 1.4 L 386 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS EJEMPLO 10 Una curva logística Una curva logística es la gráfica de una ecuación de la forma k , 1  becx donde k, b y c son constantes positivas. Estas curvas son útiles para describir una población y que al principio crece rápidamente, pero cuya rapidez de crecimiento disminuye después que x alcanza cierto valor. En un estudio famoso del crecimiento de protozoarios realizado por Gause, se encontró que una población de Paramecium caudata estaba descrita por una ecuación logística con c  1.1244, k  105 y x el tiempo en días. (a) Encuentre b si la población inicial era de 3 protozoarios. (b) En el estudio, la máxima rapidez de crecimiento tuvo lugar en y  52. ¿En qué tiempo x ocurrió esto? (c) Demuestre que después de largo tiempo, la población descrita por cualquier curva logística aproxima la constante k. y SOLUCIÓN (a) Haciendo c  1.1244 y k  105 en la ecuación logística, obtenemos 105 . 1  be1.1244x A continuación procedemos como sigue: y 3 105 105  0 1  be 1b 1  b  35 y  3 cuando x  0 multiplique por b  34 1b 3 despeje b (b) Usando el hecho de que b  34 nos lleva a lo siguiente: 52  1  34e1.1244x  105 1  34e1.1244x sea y  52 en la parte (a) 105 52 multiplique por 1 53 e1.1244x   105 52  1   34  1768 53 1.1244x  ln 1768 1  34e1.1244x 52 aísle e1.1244x cambie a forma logarítmica 53 x ln 1768  3.12 días 1.1244 divida entre 1.1244 (c) A medida que x l , ecx l 0. En consecuencia, y k k l  k. cx 1  be 1b0 L 5.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 387 En el siguiente ejemplo graficamos la ecuación obtenida en la parte (a) del ejemplo anterior. E J E M P L O 11 Trazar la gráfica de una curva logística Grafique la curva logística dada por y 105 , 1  34e1.1244x Figura 5 y estime el valor de x para y  52. 0, 10 por 0, 105, 10 SOLUCIÓN Empezamos por asignar 105 1  34e1.1244x a Y1 y 52 a Y2. Como el tiempo x es no negativo, escogemos Xmín  0. Seleccionamos Xmáx  10 para incluir el valor de x hallado en la parte (b) del ejemplo 10. Por la parte (c), sabemos que el valor de y no puede exceder de 105. Entonces, escogemos Ymín  0 y Ymáx  105 y obtenemos una pantalla semejante a la figura 5. Usando una función de intersección, vemos que para y  52, el valor de x es aproximadamente 3.12, que está acorde con la aproximación hallada en (b) del ejemplo 10. L El siguiente ejemplo muestra cómo un cambio de la fórmula de base puede usarse para graficar funciones logarítmicas con bases diferentes de 10 y e en una calculadora graficadora. EJEMPLO 12 Estimar puntos de intersección de gráficas logarítmicas Estime el punto de intersección de las gráficas de f x  log3 x y gx  log6 x  2. SOLUCIÓN Casi todas las calculadoras graficadoras están diseñadas para trabajar sólo con funciones logarítmicas comunes y naturales. Por tanto, primero usamos un cambio de fórmula de base para reescribir f y g como Figura 6 2, 4 por 2, 2 fx  ln x ln 3 y gx  ln x  2 . ln 6 A continuación asignamos (ln x)/ln 3 y (ln (x 2))/ln 6 a Y1 y Y2, respectivamente. Después de graficar Y1 y Y2 usando una pantalla estándar, vemos que hay un punto de intersección en el primer cuadrante con 2 x 3. Usando una función de intersección, encontramos que el punto de intersección es aproximadamente (2.52, 0.84). La figura 6 se obtuvo usando dimensiones de pantalla de [2, 4] por [2, 2]. No hay otros puntos de intersección, porque f aumenta más rápidamente que g para x 3. L 388 5.6 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ejercicios Ejer. 1-4: Encuentre la solución exacta y una aproximación a dos lugares decimales para ella usando (a) el método del ejemplo 1 y (b) el método del ejemplo 2. log 8 1 5x  8 log 5  1.29 log 5 3 34x  5 4  log 3  2.54 31 e2x  2e x  15  0 ln 3 32 e x  4ex  5 0, ln 4 1, 1023, 1023 log 3 4  13 x  100 5 log5 6 1.1133 6 log2 20 4.3219 7 log9 0.2 0.7325 8 log6 12 0.3869 Ejer. 9-10: Evalúe usando la fórmula de cambio de base (sin calculadora). log5 16 2 log5 4 30 log x 3  log x3 2 4x  3 log 4  0.79 Ejer. 5-8: Estime usando la fórmula de cambio de base. 9 29 x2log x  108 10,000 10 log7 243 5 log7 3 Ejer. 11-24: Encuentre la solución exacta, usando logaritmos comunes y una aproximación a dos lugares decimales de cada solución, cuando sea apropiado. 11 3x4  213x 12 42x3  5x2 13 22x3  5x2 14 323x  42x1 15 2x  8 3 16 2x  5 No solución 2 17 log x  1  log x  3 5 301 195 18 log 5x  1  2  log 2x  3  1.54 Ejer. 33-34: Resuelva la ecuación. 33 log3 x  log9 (x  42)  0 7 34 log4 x  log8 x  1 5 264 Ejer. 35-38: Use logaritmos comunes para despejar x en términos de y. 10x  10x 10x  10x 35 y  36 y  2 2 x  log  y  2y2  1  10x  10x 37 y  x 10  10x x   1 1y log 2 1y x  log  y  2y2  1  38 y  x 10x  10x 10x  10x 1 log 2   y1 y1 Ejer. 39-42: Use logaritmos naturales para despejar x en términos de y. e x  ex e x  ex 39 y  40 y  2 2 y  ln  y  2y 2  1  e x  ex 41 y  x e  ex x 1 ln 2   y1 y1 x  ln  y  2y 2  1  42 y  x e x  ex e x  ex   1 1y ln 2 1y Ejer. 43-44: Trace la gráfica de f y use la fórmula de cambio de base para aproximar el punto de cruce con el eje y. 43 f x  log2 x  3 44 f x  log3 x  5 y-intercept  log2 3  1.5850 y-intercept  log3 5  1.4650 19 log x  4  log x  2  2  log x  2 Ejer. 45-46: Trace la gráfica de f y use la fórmula de cambio de base para aproximar el punto de cruce con el eje x. 20 log x  4  log 3x  10  log 1x 5 x-intercept  log4 3  0.7925 2 21 5x  1255x  30 1, 2 22 33x  93x  28 23 4x  34x  8 24 2x  62x  6 log  4  219   1.53 log 4 1, 2 log  3  215   2.78 log 2 Ejer. 25-32: Resuelva la ecuación sin usar calculadora. 25 log x 2  log x2 1 or 100 26 log 2x  2log x 1 or 10,000 27 log log x  2 10100 28 log 2x3  9  2 3 2 10,009 45 f x  4x  3 46 f x  3x  6 x-intercept  log3 6  1.6309 Ejer. 47-50: Los químicos emplean un número denotado por pH para describir cuantitativamente la acidez o basicidad de soluciones. Por definición, pH ⴝ ⴚlog[Hⴙ], donde [Hⴙ] es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. 47 Aproxime el pH de cada sustancia. (a) vinagre: H  6.3  103 2.2 (b) zanahorias: H  1.0  105 5 (c) agua de mar: H  5.0  109 8.3 5.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 48 Aproxime la concentración del ión hidrógeno [H] de cada sustancia. (a) manzanas: pH  3.0 (b) cerveza: pH  4.2 (c) leche: pH  6.6 389 56 Dosis de medicamento Un medicamento es eliminado del cuerpo por la orina. Suponga que para una dosis de 10 miligramos, la cantidad A(t) restante en el cuerpo t horas después está dada por A(t)  10(0.8)t y que para que el medicamento sea eficaz, al menos 2 miligramos deben estar en el cuerpo. (a) Determine cuándo quedan 2 miligramos en el cuerpo. 49 Una solución es considerada como alcalina si [H] 107 o ácida si [H] 107. Encuentre las correspondientes desigualdades que contengan el pH. 50 Muchas soluciones tienen un pH entre 1 y 14. Encuentre la imagen correspondiente de [H]. 51 Interés compuesto Use la fórmula del interés compuesto para determinar cuánto tiempo tardará una suma de dinero en duplicarse si se invierte a razón del 6% al año capitalizado mensualmente. 52 Interés compuesto De la fórmula de interés compuesto   i AC 1 n (b) ¿Cuál es la vida media del medicamento? 57 Mutación genética La fuente básica de diversidad genética es la mutación o cambio en la estructura química de genes. Si un gen cambia a un ritmo constante m y si otras fuerzas de evolución son insignificantes, entonces la frecuencia F del gen original después de t generaciones está dada por F  F0(1  m)t, donde F0 es la frecuencia a t  0. (a) De la ecuación despeje t usando logaritmos comunes. (b) Si m  5  105, ¿después de cuántas generaciones F es igual a 21 F0? it despeje t usando logaritmos naturales. 53 Zona fótica Consulte el ejemplo 8. La zona más importante en el mar desde el punto de vista de la biología marina es la zona fótica, en la que tiene lugar la fotosíntesis. La zona fótica termina a la profundidad a la que penetra alrededor del 1% de la luz de superficie. En aguas muy claras en el Caribe, 50% de la luz de superficie alcanza una profundidad de unos 13 metros. Estime la profundidad de la zona fótica. 58 Productividad de empleados Ciertos procesos de aprendizaje se pueden ilustrar con la gráfica de una ecuación de la forma f(x)  a  b(1  ecx), donde a, b y c son constantes positivas. Suponga que un fabricante estima que un nuevo empleado puede producir cinco piezas el primer día de trabajo. A medida que el empleado adquiera más experiencia, la producción diaria aumenta hasta alcanzar cierta producción máxima. Suponga que en el nésimo día en el trabajo, el número f(n) de piezas producidas se aproxima con 54 Zona fótica En contraste con la situación descrita en el ejercicio previo, en zonas del puerto de Nueva York, 50% de la luz de superficie no llega a una profundidad de 10 centímetros. Estime la profundidad de la zona fótica. f n  3  201  e0.1n. 55 Absorción de medicamentos Si una pastilla de 100 miligramos de un medicamento para el asma se toma oralmente y si nada de esta droga está presente en el cuerpo cuando se toma primero la pastilla, la cantidad total A en el torrente sanguíneo después de t minutos se pronostica que es A  1001  0.9t para 0 t 10. (a) Trace la gráfica de la ecuación. (b) Determine el número de minutos necesario para que 50 miligramos de la droga hayan entrado al torrente sanguíneo. (a) Estime el número de piezas producidas en el quinto día, el noveno día, el día 24 y el día 30. (b) Trace la gráfica de f de n  0 a n  30. (Las gráficas de este tipo reciben el nombre de curvas de aprendizaje y se usan con frecuencia en educación y psicología.) (c) ¿Qué ocurre cuando n aumenta sin límite? 390 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 59 Altura de árboles El crecimiento en altura de árboles se describe con frecuencia con una ecuación logística. Suponga que la altura h (en pies) de un árbol de edad t (en años) es h 120 , 1  200e0.2t donde P es una constante. Durante un periodo de un año en Montreal, la máxima cortante vertical del viento ocurrió cuando los vientos al nivel de 200 pies eran de 25 mi/h mientras que los vientos al nivel de 35 pies eran de 6 mi/h. Encuentre P para estas condiciones. 62 Cortante vertical del viento Consulte el ejercicio 61. El promedio de cortante vertical del viento está dado por la ecuación como se ilustra en la gráfica de la figura. (a) ¿Cuál es la altura del árbol a los 10 años de edad? s (b) ¿A qué edad tendrá 50 pies de altura? v1  v0 . h1  h0 Suponga que la velocidad del viento aumenta con una altitud creciente y que todos los valores para velocidades del viento, tomadas a altitudes de 35 pies y 200 pies, son mayores a 1 mi/h. ¿El valor creciente de P produce valores de s mayores o menores? Ejercicio 59 h (pies) 100 Ejer. 63-64: Un economista sospecha que los siguientes puntos de datos se encuentran sobre la gráfica de y ⴝ c2kx, donde c y k son constantes. Si los puntos de datos tienen una precisión de tres lugares decimales, ¿es correcta esta sospecha? 50 10 20 30 40 50 60 t (años) 60 Productividad de empleados En ocasiones, algunos fabricantes usan fórmulas basadas empíricamente para predecir el tiempo necesario para producir el nésimo artículo en una línea de ensamble para un entero n. Si T(n) denota el tiempo necesario para ensamblar el nésimo artículo y T1 denota el tiempo necesario para el primer artículo o prototipo, entonces típicamente T(n)  T1nk para alguna constante positiva k. (a) Para numerosos aviones, el tiempo necesario para ensamblar el segundo avión, T(2), es igual a (0.80)T1. Encuentre el valor de k. (b) Exprese, en términos de T1, el tiempo necesario para ensamblar el cuarto avión. (c) Exprese, en términos de T(n), el tiempo T(2n) necesario para ensamblar el (2nésimo)avión. 61 Cortante vertical del viento Consulte los ejercicios 67-68 de la sección 3.3. Si v0 es la velocidad del viento a una altura h0 y si v1 es la velocidad del viento a una altura h1, entonces la cortante vertical del viento puede ser descrita por la ecuación  v0 h0  v1 h1 P , 63 0, 4, 1, 3.249, 2, 2.639, 3, 2.144 Yes 64 0, 0.3, 0.5, 0.345, 1, 0.397, 1.5, 0.551, 2, 0.727 No Ejer. 65-66: Se sospecha que los siguientes puntos de datos se encuentran sobre la gráfica de y ⴝ c log (kx ⴙ 10), donde c y k son constantes. Si los puntos de datos tienen una precisión de tres lugares decimales, ¿es correcta esta sospecha? 65 (0, 1.5), (1, 1.619), (2, 1.720), (3, 1.997) No 66 (0, 0.7), (1, 0.782), (2, 0.847), (3, 0.900), (4, 0.945) Yes Ejer. 67-68: Aproxime la función al valor de x a cuatro lugares decimales. 67 hx  log4 x  2 log8 1.2x; x  5.3 0.5764 68 hx  3 log3 2x  1  7 log2 x  0.2; x  52.6 Ejer. 69-70: Use una gráfica para estimar las raíces de la ecuación en el intervalo dado. 69 x  ln 0.3x  3 log3 x  0; 0, 9 None 70 2 log 2x  log3 x 2  0; 0, 3 1.88 5.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejer. 71-72: Grafique f y g en el mismo plano de coordenadas y estime la solución de la ecuación f (x) ⴝ g(x). 71 f x  x; gx  3 log2 x 1.37, 9.94 72 f x  x; gx  x 2  log5 x 0.40 Ejer. 73-74: Grafique f y g en el mismo plano de coordenadas y estime la solución de la desigualdad f(x) g(x). 73 f x  3 x 4 ; 0.2x , 0.32 傼 1.52, 6.84 74 f x  3 log4 x  log x; (2.68, 5.30) gx  ln 1.2  x gx  e x  0.25x 4 75 Memoria humana A un grupo de estudiantes de escuela elemental se les enseño la división larga en una semana. Después, se les aplicó un examen. El promedio de calificación fue de 85. Cada semana de ahí en adelante, se les aplicó un examen equivalente, sin ningún repaso. Represente con n(t) el promedio de calificación después de t 0 semanas. Grafique cada n(t) y determine cuál función modela mejor la situación. (1) nt  85et/3 (2) nt  70  10 ln t  1 (3) nt  86  et (4) nt  85  15 ln t  1 391 76 Enfriamiento Un frasco con agua hirviendo a 212°F se coloca sobre una mesa en una habitación con temperatura de 72°F. Si T(t) representa la temperatura del agua después de t horas, grafique T(t) y determine cuál función modela mejor la situación. (1) Tt  212  50t (2) Tt  140et  72 (3) Tt  212et (4) Tt  72  10 ln 140t  1 392 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS C APÍTULO 5 EJERCICIOS DE REPASO 1 ¿La función f (x)  2x3  5 es biunívoca? 2 La gráfica de una función f con dominio [3, 3] se muestra en la figura. Trace la gráfica de y  f1(x). Ejercicio 2 y 6 Suponga que f y g son funciones biunívocas tales que f(2)  7, f (4)  2, y g(2)  5. Encuentre el valor, si es posible. (a) g ⴰ f 17 5 (b)  f ⴰ g15 7 (c)  f 1 ⴰ g15 4 (d) g1 ⴰ f 12 Not enough information is given. Ejer. 7-22: Trace la gráfica de f. 3 8 f x   5  x 7 f x  3x2 3 9 f x   2  x 11 f x  3x x Ejer. 3-4: Encuentre f1(x). (b) Trace las gráficas de f y f1 en el mismo plano de coordenadas. 3 f x  10  15x 4 f x  9  2x 2, x 10  x f 1x  15 0 9x 2 f 1x   5 Consulte la figura para determinar cada uno de lo siguiente: (a) f 1 2 (b)  f ⴰ f 1 4 (c) f 14 2 (d) toda x tal que f x  4 2 (e) toda x tal que f x Ejercicio 5 4 x 10 f x  32x 2 12 f x  1  3x 13 f x  e x/2 1 14 f x  2 e x 15 f x  e x2 16 f x  e2x 17 f x  log6 x 18 f x  log6 36x 19 f x  log4 x 2 3 x 20 f x  log4 2 21 f x  log2 x  4 22 f x  log2 4  x Ejer. 23-24: Evalúe sin usar calculadora. 1 23 (a) log2 16 4 (d) 6log6 4 4 (g) log4 2 (d) eln 5 5 (g) log27 3 y (c) ln e 1 (e) log 1,000,000 6 (f ) 103 log 2 (b) log5 1 0 (c) log 10 (e) log log 1010 1 (f ) e2 ln 5 1 2 3 24 (a) log5 2 5 2 (b) log 1 0 1 3 8 1 25 1 3 Ejer. 25-44: Resuelva la ecuación sin usar calculadora. y  f (x) 25 23x1  12 0 26 82x   14  27 log 2x  log x  6 9 2 28 log8 x  5  3 9 x2 29 log4 x  1  2  log4 3x  2  4x   12  33 47 30 2 ln x  3  ln x  1  3 ln 2 1 (2, 4) (1, 2) 31 ln x  2  ln eln 2  ln x 1 4 32 log 2 x  1  2 99 33 25x  6 34 3(x )  7 1  23 x 2 2x Capítulo 5 Ejercicios de repaso 55 Crecimiento de bacterias El número de bacterias en cierto cultivo en el tiempo t (en horas) está dado por Q(t)  2(3t), donde Q(t) se mide en miles. log 38 35 25x3  32x1 log 329 36 log3 3x  log3 x  log3 4  x 1 1 4, 3 log4 x 37 log4 x  2 39 102 log x  5 1, 4 38 e xln 4  3e x No solución 40 eln x1  3 2 25 42 e x  2  8ex ln 2 43 (a) log x 2  log 6  x (b) 2 log x  log 6  x 44 (a) ln e x2  16 8 (b) ln e(x )  16 4 2 2 3 2 45 Exprese log x 4 2 y z en términos de logaritmos de x, y y z. 4 log x  23 log y  31 log z 46 Exprese log x y   4 log y  6 log 2xy como un logaritmo. 2 3 47 Encuentre una función exponencial que tiene 6 como punto de intersección con el eje y y pasa por el punto (1, 8). 48 Trace la gráfica de f(x)  log3 (x  2). Ejer. 49-50: Use logaritmos comunes para despejar x de la ecuación en términos de y. 1 1 49 y  x 50 y  x x 10  10 10  10x Ejer. 51-52: Aproxime x a tres cifras significativas. 51 (a) x  ln 6.6 1.89 (b) log x  1.8938 78.3 (c) ln x  0.75 0.472 52 (a) x  log 8.4 0.924 (b) log x  2.4260 0.00375 (c) ln x  1.8 6.05 Ejer. 53-54: (a) Encuentre el dominio e imagen de la función. (b) Encuentre la inversa de la función y su dominio e imagen. 53 y  log2 x  1 D  1, , R  ⺢; y  2x  1, D  ⺢, R  1,  54 y  2  2 D  ⺢, R  2, ; y  3  log2 x  2, D  2, , R  ⺢ 3x (a) ¿Cuál es el número de bacterias en t  0? (b) Encuentre el número de bacterias después de 10 minutos, 30 minutos y 1 hora. 56 Interés compuesto Si $1000 se invierten a razón de 8% al año capitalizado cada tres meses, ¿cuál es el principal después de un año? 2 41 x 22xex   2xex 2  0 0, 1 3, 2 393 57 Desintegración de yodo radiactivo El yodo radiactivo 131I, que se usa con frecuencia en estudios de rastreo de la glándula tiroides, se desintegra según N  N0(0.5)t/8, donde N0 es la dosis inicial y t es el tiempo en días. (a) Trace la gráfica de la ecuación si N0  64. (b) Encuentre la vida media del 131I. 58 Población de truchas Un estanque es abastecido con 1000 truchas; tres meses después, se estima que quedan 600. Encuentre una fórmula de la forma N  N0act que se pueda usar para estimar el número de truchas restantes después de t meses. 59 Interés capitalizado continuamente Diez mil dólares se invierten en un fondo de ahorros en el que el interés se capitaliza continuamente a razón de 7% al año. (a) ¿Cuándo contendrá $35,000 la cuenta? (b) ¿Cuánto tiempo tarda el dinero en duplicarse en la cuenta? 60 Testamento de Ben Franklin En 1790, Ben Franklin dejó $4000 con instrucciones de que pasaran a la ciudad de Filadelfia en 200 años. Valían unos $2 millones de dólares en ese tiempo. Aproxime la tasa de interés anual para el crecimiento. 61 Corriente eléctrica La corriente I(t) en cierto circuito eléctrico en el tiempo t está dada por I(t)  I0eRt/L, donde R es la resistencia, L es la inductancia, e I0 es la corriente inicial en t  0. Encuentre el valor de t en términos de L y R, para el cual I(t) es 1% de I0. 62 Intensidad del sonido La fórmula del nivel de intensidad del sonido es a  10 log (I/I0). (a) Despeje I en términos de a y de I0. (b) Demuestre que un aumento de un decibel en el nivel de intensidad a corresponde a 26% de aumento en la intensidad I. 394 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 63 Crecimiento de peces La longitud L de un pez está relacionada con su edad por medio de la fórmula de crecimiento de von Bertalanffy L  a1  bekt, donde a, b y k son constantes positivas que dependen del tipo de pez. De esta ecuación despeje t para obtener una fórmula que se pueda usar para estimar la edad de un pez a partir de una medición de longitud. 64 Área de terremotos en el Oeste En la región del oeste de Estados Unidos, el área A (en mi2) afectada por un terremoto está relacionada con la magnitud R del terremoto mediante la fórmula R  2.3 log A  3000  5.1. Despeje A en términos de R. 65 Área de terremotos en el Este Consulte el ejercicio 64. Para el este de Estados Unidos, la fórmula de área-magnitud tiene la forma R  2.3 log A  34,000  7.5. Si A1 es el área afectada por un terremoto de magnitud R en el Oeste y A2 es el área afectada por un terremoto similar en el Este, encuentre una fórmula para A1/A2 en términos de R. 66 Área de terremotos en los estados del centro Consulte el Ejercicio 64. Para los estados de las Rocallosas y del Centro, la fórmula de área-magnitud tiene la forma R  2.3 log A  14,000  6.6. Si el terremoto tiene una magnitud 4 en la escala de Richter, estime el área A de la región que sentirá el terremoto. 69 Frecuencia de terremotos Sea n el número promedio de temblores por año que tienen magnitudes entre R y R  1 en la escala de Richter. Una fórmula que aproxima la relación entre n y R es log n  7.7  0.9R. (a) Despeje n de la ecuación en términos de R. (b) Encuentre n si R  4, 5 y 6. 70 Energía de un terremoto La energía E (en ergios) liberada durante un terremoto de magnitud R se puede aproximar con la fórmula log E  11.4  1.5R. (a) Despeje E en términos de R. (b) Encuentre la energía liberada durante el terremoto ocurrido frente a las cosas de Sumatra en 2004, que tuvo una intensidad de 9.0 grados en la escala de Richter. 71 Desintegración radiactiva Cierta sustancia radiactiva se desintegra según la fórmula q(t)  q0e0.0063t, donde q0 es la cantidad inicial de la sustancia y t es el tiempo en días. Aproxime la vida media de la sustancia. 72 Crecimiento de niños El Modelo de Cuenta es una fórmula que se puede usar para predecir la estatura de niños en edad preescolar. Si h es la estatura (en centímetros) y t es la edad (en años), entonces h  70.228  5.104t  9.222 ln t para 14 t 6. De cálculo, la rapidez de crecimiento R (en cm/año) está dada por R  5.104  (9.222/t). Prediga la estatura y rapidez de crecimiento de un niño típico de dos años. 67 Presión atmosférica Bajo ciertas condiciones, la presión atmosférica p a una altitud h está dada por la fórmula p  29e0.000034h. Exprese h como función de p. 73 Circuito eléctrico La corriente I en cierto circuito eléctrico en el tiempo t está dada por 68 Velocidad de un cohete Un cohete de masa m1 se llena de combustible de masa inicial m2. Si se desprecian las fuerzas de fricción, la masa total m del cohete en el tiempo t después de la ignición está relacionada con su velocidad v hacia arriba por v  a ln m  b, donde a y b son constantes. En el tiempo de ignición t  0, v  0 y m  m1  m2. Al agotarse el combustible, m  m1. Use esta información para hallar una fórmula, en términos de un logaritmo, para la velocidad del cohete al agotársele el combustible. donde V es la fuerza electromotriz, R es la resistencia y L es la inductancia. De la ecuación despeje t. I V 1  eRt/L, R 74 Datación del carbono 14 La técnica de datación del carbono 14 (14C) se utiliza para determinar la edad de especímenes arqueológicos y geológicos. La fórmula T  8310 ln x se usa a veces para pronosticar la edad T (en años) de un hueso fósil, donde x es el porcentaje (expresado como decimal) de 14C todavía presente en el fósil. Capítulo 5 Ejercicios de análisis (a) Estime la edad de un hueso fósil que contiene 4% del 14C hallado en una cantidad igual de carbono en un hueso de nuestros días. (b) Aproxime el porcentaje de 14C presente en un fósil que tiene 10,000 años. 75 Población en Kenia Con base en tasas actuales de nacimientos y muertes, se espera que la población de Kenia aumente de acuerdo con la fórmula N  30.7e0.022t, con N en 395 millones y t  0 correspondiente a 2000. ¿Cuántos años tardará la población en duplicarse? 76 Historia de un lenguaje Consulte el ejercicio 48 de la sección 5.2. Si un lenguaje originalmente tenía N0 palabras básicas, de las cuales N(t) todavía están en uso, entonces N(t)  N0(0.805)t, donde el tiempo t se mide en milenios. ¿Después de cuántos años todavía está en uso la mitad de las palabras básicas? CAPÍTULO 5 EJERCICIOS DE ANÁLISIS 1 (a) Trace la gráfica de f (x)  (x  1)3  1 junto con la gráfica de y  f1(x). 5 En la figura se ilustra una gráfica de f x  ln xx para x 0. El valor máximo de f (x) se presenta en x  e. (b) Analice qué ocurre a la gráfica de y  f1(x) (en general) cuando la gráfica de y  f(x) es creciente o decreciente. (a) Los enteros 2 y 4 tienen la poco común propiedad de que 24  42. Demuestre que si xy  yx para los números reales positivos x y y, entonces ln xx  ln yy. (c) ¿Qué se puede concluir acerca de los puntos de intersección de las gráficas de una función y su inversa? (b) Use la gráfica de f (una tabla es útil) para hallar otro par de números reales x y y (a dos lugares decimales) tales que xy  yx. 2 Grafique y  (3)x en [4.7, 4.7] por [3.1, 3.1]. Trace la gráfica para x  0, 0.1, 0.2, . . . ,0.9, 1. Discuta la forma en la que la gráfica se relaciona con las gráficas de y  3x y y  3x. También explique cómo es que estos resultados se relacionan con la restricción a 0 para funciones exponenciales de la forma f (x) ax. (c) Explique por qué muchos pares de números reales satisfacen la ecuación xy  yx. Ejercicio 5 y 3 Catenaria Consulte el estudio sobre catenarias de la página 349 y la figura 4 de la sección 5.3. (a) Describa la gráfica de la ecuación exhibida para valores crecientes de a. (b) Encuentre una ecuación del cable de la figura, tal que el punto más bajo del cable esté a 30 pies del suelo y la diferencia entre el punto más alto del cable (donde está conectado a la torre) y el punto más bajo sea menos de 2 pies, siempre que las torres están a 40 pies entre sí. 4 Consulte el ejercicio 70 de la sección 5.4. Explique cómo resolver este ejercicio sin usar la fórmula para la cantidad total T. Prosiga con su solución y compare su respuesta con la respuesta a la que se llegó usando la fórmula para T. y ln x x 0.1 5 x 396 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 6 (a) Compare los resultados del ejercicio 55 de la sección 5.2 y el ejercicio 37 de la sección 5.3. Explique la diferencia entre las dos funciones. (b) Ahora supongamos que el lector invierte dinero al 8.5% por año capitalizado mensualmente. ¿Cómo se compara una gráfica de este crecimiento con las dos gráficas del inciso a? (c) Usando la función descrita en el inciso b, mentalmente estime las respuestas a los incisos a y b del ejercicio 37 de la sección 5.3 y explique por qué piensa usted que son correctas antes de calcularlas realmente. 7 Como y  log3 (x2) es equivalente a y  2 log3 x por la ley 3 de logaritmos, ¿por qué no son iguales las gráficas de la figura 4(a) y (b) de la sección 5.5? 8 Saldo no pagado sobre una hipoteca Cuando las instituciones de préstamos prestan dinero, esperan recibir un rendimiento equivalente a la cantidad dada por la fórmula de interés compuesto. El prestatario acumula dinero “contra” la cantidad original al hacer un pago mensual M que acumula según la fórmula 12M1  i1212t  1 , r donde i es la tasa de interés anual y t es el número de años del préstamo. (a) Invente una fórmula para el saldo no pagado U de un préstamo. (b) Grafique el saldo no pagado para el préstamo de hipoteca de vivienda del ejercicio 49(a) de la sección 5.2. (c) ¿Cuál es el saldo no pagado después de 10 años? Estime el número de años que tardará en pagar la mitad del préstamo. (d) Explique las condiciones que su gráfica debe satisfacer para ser correcta. (e) Explique la validez de sus resultados obtenidos a partir de la gráfica. 9 Explique cuántas veces las gráficas de y  0.011.001x y y  x 3  99x 2  100x se cruzan. Aproxime los puntos de intersección. En general, compare el crecimiento de funciones con polinomios y funciones exponenciales. 10 Explique cuántas veces las gráficas de yx y y  ln x4 se cruzan. Aproxime los puntos de intersección. ¿Qué se puede concluir acerca del crecimiento de y  x y y  (ln x)n, donde n es un entero positivo, cuando x aumenta sin límite? 11 Aumentos de salario Supongamos que el lector empezó en un trabajo que pagaba $40,000 por año. En 5 años, está programado para ganar $60,000 por año. Determine la rapidez exponencial anual de aumento que describa esta situación. Suponga que la misma tasa exponencial de aumento continuará durante 40 años. Usando la regla del 70 (página 364), mentalmente estime su salario anual en 40 años y compare la estimación con un cálculo real. 12 Liberación de energía Considere estos tres eventos: (1) El 18 de mayo de 1980, la erupción volcánica del Monte St. Helens en Washington liberó aproximadamente 1.7  1018 joules de energía. (2) Cuando detona una bomba nuclear de 1 megatón, libera alrededor de 4  1015 joules de energía. (3) El terremoto de 1989 de San Francisco registró 7.1 en la escala de Richter. (a) Haga comparaciones (es decir, cuánto de un evento es equivalente a otro) en términos de energía liberada. (Sugerencia: Consulte el ejercicio 70 del capítulo 5, ejercicios de análisis.) Nota: Las bombas atómicas arrojadas en la Segunda Guerra Mundial fueron de 1 kilotón (1000 bombas de 1 kilotón  1 bomba de 1 megatón). (b) ¿Qué lectura en la escala de Richter sería equivalente a la erupción del Monte St. Helens? ¿Ha habido alguna lectura tan alta? Capítulo 5 Ejercicios de análisis 13 Promedio Dow-Jones El promedio industrial Dow-Jones es un índice de 30 de las mayores empresas de Estados Unidos y es la medida más común de rendimiento de acciones en Estados Unidos. La tabla siguiente contiene unas fechas de hitos de 1000 puntos para el Dow. Primer día se alcanzó Número de días desde el hito previo 1003.16 111472 — 2002.25 1887 5168 3004.46 41791 1560 4003.33 22395 1408 5023.55 112195 271 6010.00 101496 328 7022.44 21397 122 8038.88 71697 153 9033.23 4698 264 10,006.78 32999 11,014.69 12,011.73 Promedio Dow-Jones 100 (origen) 15 Población total mundial La Oficina del Censo de Estados Unidos dio las siguientes estimaciones y predicciones para la población total del mundo. Población 1950 2,556,518,868 1960 3,040,617,514 1970 3,707,921,742 1980 4,447,068,714 1990 5,274,320,491 2000 6,073,265,234 2010 6,838,220,183 357 2020 7,608,075,253 5399 35 2030 8,295,925,812 102006 2727 2040 8,897,180,403 2050 9,404,296,384 14 Promedio Nasdaq El índice compuesto del mercado de acciones de Nasdaq experimentó un periodo de fenomenal crecimiento (que se ve en las últimas líneas de la tabla). Promedio Nasdaq El índice motivado por tecnología es considerado por muchos como el indicador de crecimiento más rápido en todo el mercado de acciones de Estados Unidos. Encuentre un modelo de regresión exponencial para los datos. Explique el ajuste del modelo a los datos y posibles razones para la calidad del ajuste. Año Encuentre el modelo exponencial para estos datos y úselo para predecir cuándo el Dow alcanzará 20,000. Encuentre la tasa anual promedio de rendimiento de acuerdo con el Dow. Explique algunas de las consideraciones prácticas relacionadas con estos cálculos. Primer día se alcanzó 2571 Número de días desde el hito previo — 200.25 111380 3569 501.62 41291 3802 1005.89 71795 1557 2000.56 71698 1095 3028.51 11399 475 4041.46 122999 56 5046.86 3900 71 397 (a) Sea t  0 correspondiente a 1950 y trace los datos en la pantalla [10, 110, 10] por [0, 1010, 109]. (b) Explique si un modelo exponencial o logístico es más apropiado y por qué. (c) Encuentre un modelo del tipo seleccionado en la parte (b) y grafíquelo con los datos. (d) De acuerdo con el modelo, ¿a qué se aproxima la población después de un largo periodo? 16 Explique cuántas soluciones tiene la ecuación log5 x  log7 x  11 Resuelva la ecuación usando el cambio de fórmula de base. 17 Encuentre la función inversa de f x  9x 2x 2  1 fique cualesquiera asíntotas de la gráfica de relacionan con las asíntotas de la gráfica de f? f1. e identi- ¿Cómo se 6 Las funciones trigonométricas 6.1 Ángulos 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos Hace más de 2000 años que la trigonometría fue inventada por los griegos, quienes necesitaban métodos precisos para medir ángulos y lados de triángulos. De hecho, la palabra trigonometría se derivó de dos palabras griegas trigonon (triángulo) y metria (medición). Este capítulo se inicia con una exposición de ángulos y cómo se miden, a continuación de lo cual in- 6.3 Funciones trigonométricas de números reales troducimos las funciones trigonométricas mediante el uso de razones entre 6.4 Valores de las funciones trigonométricas ramos sus gráficas y técnicas de graficación que hacen uso de amplitudes, 6.5 Gráficas trigonométricas 6.6 Gráficas trigonométricas adicionales 6.7 Problemas aplicados lados de un triángulo rectángulo. Después de extender los dominios de las funciones trigonométricas a ángulos arbitrarios y números reales, consideperiodos y desplazamientos de fase. El capítulo concluye con una sección sobre problemas aplicados. 400 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.1 Ángulos Figura 1 l2 B O l1 A Figura 2 Ángulos coterminales Lado terminal l2 Lado inicial Lado terminal l1 l2 Lado inicial l1 En geometría, un ángulo se define como el conjunto de puntos determinados por dos rayos o semirrectas, l1 y l2, que tienen el mismo punto extremo O. Si A y B son puntos en l1 y l2, como en la figura 1, nos referimos al ángulo AOB (denotado ⬔AOB). Un ángulo puede también ser considerado como dos segmentos de recta finitos con un punto extremo común. En trigonometría con frecuencia interpretamos ángulos como rotaciones de rayos. Empezamos con un rayo fijo l1, que tiene punto extremo O y lo giramos alrededor de O, en un plano, a una posición especificada por el rayo l2. Llamamos a l1 el lado inicial, l2 es el lado terminal y O es el vértice de ⬔AOB. La cantidad o dirección de rotación no está restringida en ninguna forma. Podríamos considerar que l1 hace varias revoluciones en cualquier dirección alrededor de O antes de que llegue a la posición l2, como lo ilustran las flechas curvas de la figura 2. Así, muchos ángulos diferentes tienen los mismos lados iniciales y terminales. Cualquiera de estos dos ángulos recibe el nombre de ángulos coterminales. Un ángulo llano es un ángulo cuyos lados se encuentran sobre la misma recta pero se extienden en direcciones opuestas desde su vértice. Si introducimos un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de un ángulo se obtiene al tomar el vértice en el origen y hacer que el lado inicial coincida con el eje x positivo. Si l1 se hace girar en dirección contraria al giro de las manecillas de un reloj hasta la posición terminal l2, el ángulo se considera positivo. Si l1 se hace girar en dirección de las manecillas, el ángulo es negativo. Los ángulos se denotan muchas veces con letras griegas minúsculas como a (alfa), b (beta), g (gamma), u (theta), f (fi) y así sucesivamente. La figura 3 contiene trazos de dos ángulos positivos, a y b, y un ángulo negativo, g. Si el lado terminal de un ángulo en posición estándar está en cierto cuadrante, se dice que el ángulo se halla en ese cuadrante. En la figura 3, a está en el tercer cuadrante, b en el primero y g en el segundo. Un ángulo se llama ángulo cuadrantal si su lado terminal está en un eje coordenado. Figura 3 Posición estándar de un ángulo Ángulo positivo Ángulo positivo y Ángulo negativo y y l2 a l2 l2 l1 l1 x b l1 x g x Una unidad de medida para los ángulos es el grado. El ángulo en posición estándar obtenido por una revolución completa en sentido contrario al de las manecillas del reloj mide 360 grados, que se escribe 360°; por tanto, un ángulo 1 de un grado (1°) se obtiene por 360 de toda una revolución en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En la figura 4 se muestran varios ángulos medidos en grados en posición estándar sobre sistemas de coordenadas rectangulares. Nótese que los tres primeros son ángulos cuadrantales. 6 .1 Á n g u l o s 401 Figura 4 y y 360 y 90 x y y 540 x 150 x 135 x x En nuestro trabajo, una notación como u  60° especifica un ángulo u cuya medida es 60°. También nos referimos a un ángulo de 60°, en lugar de usar la frase más precisa (pero más engorrosa) de un ángulo que mide 60°. EJEMPLO 1 Hallar ángulos coterminales Si u  60° está en posición estándar, encuentre dos ángulos positivos y dos negativos que sean coterminales con u. SOLUCIÓN El ángulo u se muestra en posición estándar en el primer trazo de la figura 5. Para hallar ángulos coterminales positivos se pueden sumar 360° o 720° (o cualquier múltiplo entero positivo de 360°) a u, con lo que se obtiene 60°  360°  420° y 60°  720°  780°. Estos ángulos coterminales también se muestran en la figura 5. Para hallar ángulos coterminales negativos, se pueden sumar 360° o 720° (o cualquier múltiplo negativo entero de 360°), con lo que se obtiene 60°  (360°)  300° y 60°  (720°)  660°, como se ve en los dos trazos finales de la figura 5. Figura 5 y y u  60 y 420 x y y 780 x 660 x x x 300 L 402 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Un ángulo recto es la mitad de un ángulo llano y mide 90°. La siguiente tabla contiene definiciones de otros tipos especiales de ángulos. Terminología ángulo agudo u ángulo obtuso u ángulos complementarios a, b ángulos suplementarios a, b Definición 0°  90° 90°  180°     90°     180° Ejemplos 12°; 37° 95°; 157° 20°, 70°; 7°, 83° 115°, 65°; 18°, 162° Si se requieren medidas menores de un grado, podemos usar décimas, centésimas o milésimas de grado. En forma opcional, podemos dividir el grado en 60 partes iguales, llamadas minutos (denotadas por  ), y cada minuto en 60 partes iguales, llamadas segundos (denotadas por  ). Por tanto, 1  60 y 1  60. La notación   73°5618 se refiere a un ángulo u que mide 73 grados, 56 minutos, 18 segundos. EJEMPLO 2 Hallar ángulos complementarios Encuentre el ángulo que sea complementario a u: (a)   25°4337 (b)   73.26° SOLUCIÓN Deseamos hallar 90  u. Es más fácil escribir 90 como una medida equivalente: 8959’60”. (a) 90°  89°5960 (b) 90°  90.00°   25°4337   73.26° 90°    64°1623 90    16.74° L Figura 6 Ángulo central u P u r A Definición de medida de radián La medida en grados para ángulos se emplea en actividades aplicadas como por ejemplo topografía, navegación y el diseño de equipos mecánicos. En aplicaciones científicas que requieren cálculo integral, se acostumbra emplear medidas en radianes. Para definir un ángulo de medida 1 en radianes, consideremos un círculo de cualquier radio r. El ángulo central de un círculo es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo. Si u es el ángulo cen២ tral que se ve en la figura 6, decimos que el arco AP (denotado AP) del círcu២ ២ lo subtiende a u o que u está subtendido por AP. Si la longitud de AP es igual al radio r del círculo, entonces u tiene una medida de un radián, como se explica en la siguiente definición. Un radián es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del círculo. 6 .1 Á n g u l o s 403 Si consideramos un círculo de radio r, entonces un ángulo a cuya medida sea 1 radián interseca un arco AP de longitud r, como se ilustra en la figura 7(a). El ángulo b de la figura 7(b) tiene medida 2 en radianes, porque está subtendido por un arco de longitud 2r. Del mismo modo, g en (c) de la figura tiene medida 3 en radianes, porque está subtendido por un arco de longitud 3r. Figura 7 (a)   1 radián (b)   2 radianes P P r a r A (d) 360°  2  6.28 radianes (c)   3 radianes r r r b r r r A r r g P r r A AP r r 360 r r Para hallar la medida en radianes correspondiente a 360, debemos hallar el número de veces que un arco de circunferencia de longitud r puede trazarse a lo largo de la circunferencia (vea figura 7(d)). Este número no es un entero y ni siquiera un número racional. Como la circunferencia del círculo es 2pr, el número de veces que r unidades se pueden trazar es 2p; por tanto, un ángulo de 2p radianes corresponde a 360 y se escribe 360  2p radianes. Este resultado conduce a las siguientes relaciones. Relaciones entre grados y radianes (1) (2) 180°   radianes  1°  radián  0.0175 radián 180 (3) 1 radián    180°  57.2958°  Cuando se usa la medida angular en radianes, no deben indicarse unidades. En consecuencia, si un ángulo mide 5 radianes, escribimos u  5 en lugar de u  5 radianes. No debe haber confusión en cuanto a que se usen radianes o grados, puesto que si u mide 5, se escribe u  5 y no u  5. 404 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS La siguiente tabla ilustra la forma de pasar de una medida angular a otra. Cambios de medidas angulares Para cambiar Multiplicar por grados a radianes  180° Ejemplos 150°  150°     225°  225° 7  4   3 180°  radianes a grados  180°  5 6  5  180° 4     7 180°  315° 4   180°  60° 3  Se puede usar esta técnica a fin de obtener la siguiente tabla, que presenta las medidas correspondientes a radianes y grados de ángulos especiales. Radianes 0 Grados 0°  6  4  3  2 2 3 3 4 5 6  7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 2 360° En la figura 8 se muestran en posición estándar varios de estos ángulos especiales, medidos en radianes. Figura 8 y y y d u x y q x p x x 6 .1 Á n g u l o s 405 Las calculadoras de gráficas tienen funciones especiales que facilitan la conversión de radianes a grados. TI-83/4 Plus Conversión de radianes a grados. TI-86 Seleccione el modo de grados MODE 䉮 䉮 ENTER 䉯 2nd MODE 䉮 䉮 䉯 2nd p  ENTER Convierta radianes a grados. ( 2nd 2nd  p ANGLE 3 4 ) ( EXIT ENTER 2nd MATH ANGLE(F3) 4 ) r(F2) ENTER Convierta un grado decimal a grados, minutos y segundos. 54.25 2nd ANGLE 4 54.25 2nd ENTER 䉴DMS(F4) EJEMPLO 3 MATH ANGLE(F3) ENTER Cambiar radianes a grados, minutos y segundos Si u  3, aproxime u en términos de grados, minutos y segundos. SOLUCIÓN   180°   171.8873°  171°  0.887360  171°  53.238  171°  53  0.23860  171°53  14.28  171°5314 3 radianes  3 multiplique por 180°  aproxime 1°  60 multiplique 1  60 multiplique aproxime L 406 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJEMPLO 4 Expresar minutos y segundos como grados decimales Exprese 19°4723 como decimal, al más cercano diezmilésimo de grado. SOLUCIÓN 1 ° 1 ° Como 1   60  y 1   601    3600 , 23 ° ° 19°4723  19°   47 60    3600   19°  0.7833°  0.0064°  19.7897°. L Los ejemplos 3 y 4 se manejan fácilmente con calculadora graficadora (en modo de grados). TI-83/4 Plus TI-86 Convierta los radianes del ejemplo 3 en grados, minutos y segundos. 3 2nd 4 ANGLE 3 2nd 3 2nd ANGLE MATH 䉴DMS(F4) ENTER ANGLE(F3) r(F2) ENTER Exprese el ángulo del ejemplo 4 como grado decimal. 19 2nd ANGLE 1 47 2nd ANGLE 2 23 ALPHA (onkey) 19 2nd 47 MATH (F3) 23 ANGLE(F3) (F3) (F3) ENTER Nótese que el ángulo se introduce en formato de grados’minutos’segundos. ENTER El siguiente resultado especifica la relación entre la longitud de un arco de circunferencia y el ángulo central que lo subtiende. Si un arco de longitud s de una circunferencia de radio r subtiende un ángulo central de u radianes, entonces Fórmula para la longitud de un arco de circunferencia s  r. En la figura 9(a) se muestra un arco común de longitud s y el ángulo central u correspondiente. La figura 9(b) presenta un arco de longitud s1 y ángulo central u1. Si se mide en radianes, entonces, de geometría plana, la razón entre longitudes de los arcos es igual a la razón entre medidas angulares, es decir, PRUEBA Figura 9 (a) (b) u r s u1 s1 r s   , s1 1 o bien s  s1. 1 6 .1 Á n g u l o s 407 Si consideramos el caso especial en que u1 mide 1 radián, entonces, de la definición de radián, s1  r y la última ecuación se convierte en s   r  r. 1 L Observe que si u  2p, entonces la fórmula para la longitud de un arco de circunferencia se convierte en s  r (2p), que es simplemente la fórmula para la circunferencia de un círculo, C  2pr. La siguiente fórmula se demuestra de manera similar. Fórmula para el área de un sector circular Si u es la medida en radianes de un ángulo central de una circunferencia de radio r y si A es el área de un sector circular determinado por u, entonces 1 A  2 r 2. Figura 10 (a) (b) Si A y A1 son las áreas de los sectores de las figuras 10(a) y 10(b), respectivamente, entonces, por geometría plana, PRUEBA A1 A u1 u r A   , A1 1 r o A  1. 1 Si se considera el caso especial u1  2p, entonces A1 pr2 y A  1  r 2  r 2. 2 2 L Cuando se usen las fórmulas anteriores, es importante recordar emplear los radianes de u en lugar de los grados, como se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5 Figura 11 y s  10 cm A  20 cm2 u  2.5 radianes  143.24 x r  4 cm Usar las fórmulas de arco de circunferencia y sector circular En la figura 11, un ángulo central u está subtendido por un arco de 10 cm de largo en una circunferencia de 4 cm de radio. (a) Calcule la medida de u en grados. (b) Encuentre el área del sector circular determinado por u. SOLUCIÓN (a) Procedemos como sigue: s  r fórmula para la longitud de un arco de circunferencia s despeje   r  10 4  2.5 sea s  10, r  4 (continúa) 408 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ésta es la medida de  en radianes. Al cambiar a grados tenemos     2.5 180° 450°   143.24°.   A  12 r 2 (b) fórmula para el área de un sector circular  21422.5 sea r  4,   2.5 radianes  20 cm multiplique 2 Figura 12 P L La rapidez angular de una rueda que gira a razón constante es el ángulo generado, en una unidad de tiempo, por un segmento de recta que va del centro de la rueda a un punto P de la circunferencia (figura 12). La rapidez lineal de un punto P de la circunferencia es la distancia que P recorre por unidad de tiempo. Al dividir ambos lados de la fórmula por un arco circular entre el tiempo t, obtenemos una relación para rapidez lineal y rapidez angular; esto es, rapidez lineal 앗 O s r  , o bien, lo que es equivalente, t t rapidez angular 앗 s  r . t t 24 pulgadas EJEMPLO 6 Hallar la rapidez angular y la lineal Suponga que la rueda de la figura 12 está girando a razón de 800 rpm (revoluciones por minuto). (a) Determine la rapidez angular de la rueda. (b) Encuentre la rapidez lineal (en in/min y mi/h) de un punto P sobre la circunferencia de la rueda. SOLUCIÓN (a) Denote con O el centro de la rueda y sea P un punto en la circunferencia. En vista de que el número de revoluciones por minuto es 800 y que cada revolución genera un ángulo de 2p radianes, el ángulo generado por el segmento de recta OP en un minuto medirá (800)(2p) radianes, es decir, rapidez angular  800 revoluciones 2p radianes   1600 radianes por minuto. 1 minuto 1 revolución Observe que el diámetro de la rueda no tiene importancia para hallar la rapidez angular. (b) rapidez lineal  radio  rapidez angular  (12 in)(1600p rad/min)  19,200p in/min Convirtiendo in/min a mi/h, obtenemos 19,200p in 60 min 1 ft 1 mi     57.1 mi/h 1 min 1h 12 in 5280 ft A diferencia de la rapidez angular, la rapidez lineal depende del diámetro de la rueda. L 6 .1 Á n g u l o s 6.1 409 Ejercicios Ejer. 1-4: Si el ángulo dado está en posición estándar, encuentre dos ángulos coterminales positivos y dos ángulos coterminales negativos. 1 (a) 120 (b) 135 (c) 30 2 (a) 240 (b) 315 (c) 150 480, 840, 240, 600 600, 960, 120, 480 495, 855, 225, 585 675, 1035, 45, 405 330, 690, 390, 750 210, 570, 510, 870 5 17  7 15, 9,  3 (a) 620 260, (b) , (c)  , 4 6 6 4 4 4 980,100, 460 29 7 19 , , 6 6 6 4 (a) 570 210, (b) 930, 150, 510 2 8 , 3 3  (c)  14 4 10 , , 3 3 3  17 4 5 3 11, 13,  , 4 4 4 4 21 4 Ejer. 5-6: Encuentre el ángulo complementario de u. 5 (a)   51734 (b)   32.5 6 (a)   63415 (b)   82.73 844226 57.5 265545 7.27 Ejer. 7-8: Encuentre el ángulo suplementario de u. 14 (a) 5 150 6 15 (a)  (b) 7 2 4 11 240 (c) 495 3 4 (b) 7 (c) 1260 630 5 16 (a)  2 (b) 9 20 (c) 1620 450  9  16 11.25 Ejer. 17-20: Exprese u en términos de grados, minutos y segundos, al segundo más cercano. 17   2 1143530 18   1.5 855637 19   5 2862844 20   4 2291059 Ejer. 21-24: Exprese el ángulo como decimal, al diezmilésimo de grado más cercano. 21 3741 37.6833 22 8317 83.2833 23 1152627 115.4408 24 2583952 258.6644 Ejer. 25-28: Exprese el ángulo en términos de grados, minutos y segundos al segundo más cercano. 25 63.169 63108 26 12.864 125150 28 81.7238 814326 7 (a)   485137 (b)   136.42 27 310.6215 3103717 8 (a)   152124 (b)   15.9 Ejer. 29-30: Si un arco de circunferencia de longitud dada s subtiende el ángulo central u en un círculo, encuentre el radio de la circunferencia. 131823 43.58 274756 164.1 Ejer. 9-12: Encuentre la medida exacta del ángulo en radianes. 9 (a) 150 5 6 10 (a) 120 2 3 (b) 60   3 (b) 135 3  4 (c) 225 5 4 7 6 (b) 72 (c) 100 12 (a) 630 (b) 54 (c) 95 7 2 2 5 3 10 5 9 19 36 Ejer. 13-16: Encuentre la medida exacta del ángulo en grados. 13 (a) 2 120 3 (b) 2.5 cm 11 3 330 (c) 135 6 4 30 s  3 km,   20 8.59 km Ejer. 31-32: (a) Encuentre la longitud del arco del sector en color de la figura. (b) Encuentre el área del sector. 31 32 (c) 210 11 (a) 450 5 2 29 s  10 cm,   4 45 8 cm  6.28 cm;  25.13 cm2 120 9 cm 18.85 cm; 84.82 cm2 Ejer. 33-34: (a) Encuentre los radianes y grados del ángulo central u subtendido por el arco dado de longitud s en una circunferencia de radio r. (b) Encuentre el área del sector determinado por u. 33 s  7 cm, r  4 cm 1.75,  100.27 ; 14 cm2 34 s  3 ft, r  20 in 1.8, 103.13; 360 in2 410 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ejer. 35-36: (a) Encuentre la longitud del arco que subtiende el ángulo u central dado en una circunferencia de diámetro d. (b) Encuentre el área del sector determinado por u. 35   50, 36   2.2, d  16 m  6.98 m;  27.93 m2 Ejercicio 41 54 in d  120 cm 132 cm; 3960 cm2 37 Medir distancias en la Tierra La distancia entre dos puntos A y B en la Tierra se mide a lo largo de una circunferencia cuyo centro es C, en el centro de la Tierra y radio igual a la distancia de C a la superficie (vea la figura). Si el diámetro de la Tierra es aproximadamente 8000 millas, calcule la distancia entre A y B si el ángulo ACB tiene la medida indicada: (a) 60 4189 mi (b) 45 3142 mi (c) 30 2094 mi (d) 10 698 mi 5 in (e) 1 70 mi Ejercicio 37 C 24 in 17 in A 42 Núcleo de un tornado Un modelo simple del núcleo de un tornado es un cilindro circular recto que gira alrededor de su eje. Si un tornado tiene un diámetro de núcleo de 200 pies y rapidez máxima de vientos de 180 mi/h (o 264 pies/s) en el perímetro del núcleo, calcule el número de revoluciones que hace el núcleo cada minuto. 25.2 revmin 43 Rotación de la Tierra La Tierra gira alrededor de su eje una vez cada 23 horas, 56 minutos y 4 segundos. Calcule el número de radianes que gira la Tierra en un segundo. 7.29  105 radsec B 38 Millas náuticas Consulte el ejercicio 37. Si el ángulo ACB mide 1, entonces la distancia entre A y B es una milla náutica. Calcule el número de millas terrestres en una milla náutica. 1.16 mi 39 Medir ángulos usando distancia Consulte el ejercicio 37. Si dos puntos A y B están a 500 millas uno del otro, exprese el 1 ángulo ACB en radianes y en grados. 8 radian  710 40 Un hexágono está inscrito en un círculo. Si la diferencia entre el área del círculo y el área del hexágono es 24 m2, use la fórmula para el área de un sector para calcular el radio r del círculo. r  6.645 m 41 Área de ventana Una ventana rectangular mide 54 por 24 pulgadas. Hay una hoja limpiadora de 17 pulgadas unida por un brazo de 5 pulgadas al centro de la base de la ventana, como se ve en la figura. Si el brazo gira 120, calcule el porcentaje del área de la ventana que es limpiado por la hoja. 44 Rotación de la Tierra Consulte el ejercicio 43. El radio ecuatorial de la Tierra mide aproximadamente 3963.3 millas. Encuentre la rapidez lineal de un punto sobre el ecuador como resultado de la rotación de nuestro planeta. 1040 mihr Ejer. 45-46: Una rueda de radio dado gira a la velocidad indicada. (a) Encuentre la rapidez angular (en radianes por minuto). (b) Encuentre la rapidez lineal de un punto sobre la circunferencia (en pies/min). 45 radio 5 pulg, 40 rpm 80 radmin;  104.72 ftmin 46 radio 9 pulg, 2400 rpm 4800 radmin; 3600 ftmin 47 Rotación de discos compactos (CD) El motor de impulsión de un reproductor particular de discos compactos está controlado para girar a 200 rpm cuando lee una pista que está a 5.7 cm del centro del CD. La velocidad del motor debe variar para que la lectura de la información ocurra a un ritmo constante. (a) Encuentre la rapidez angular (en radianes por minuto) del motor de impulsión cuando está leyendo una pista a 5.7 cm del centro del CD. 400 radmin 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos (b) Encuentre la rapidez lineal (en cm/s) de un punto en el CD que está a 5.7 cm del centro del CD. 38 cmsec (c) Encuentre la rapidez angular (en rpm) del motor de impulsión cuando está leyendo una pista que está a 3 centímetros del centro del CD. 380 rpm (d) Encuentre una función S que proporcione la rapidez del motor de impulsión en rpm para cualquier radio r en centímetros, donde 2.3 r 5.9. ¿Qué tipo de variación existe entre la rapidez del motor y el radio de la pista que se está leyendo? Compruebe su respuesta al graficar S y hallar las magnitudes de rapidez para r  3 y r  5.7. Sr  1140r; inversely 48 Revoluciones en llantas Una llanta común de auto compacto mide 22 pulgadas de diámetro. Si el auto corre con una rapidez de 60 mi/h, encuentre el número de revoluciones que hace la llanta en un minuto. 411 50 Oscilación de un péndulo El péndulo de un reloj mide 4 pies de largo y oscila a lo largo de un arco de 6 pulgadas. Calcule el ángulo (en grados) por el que pasa el ángulo durante la oscilación. 51 Valores de pizza Un comerciante vende dos tamaños de pizza en rebanadas. La rebanada pequeña es de 61 de una pizza circular de 18 pulgadas de diámetro y la vende en $2.00; la rebanada grande es de 18 de una pizza circular de 26 pulgadas de diámetro y la vende en $3.00. ¿Cuál rebanada da más pizza por dólar? 52 Mecánica de bicicletas En la figura se ilustran las dos estrellas de una bicicleta. Si la estrella de radio r1 gira un ángulo de u1 radianes, encuentre el ángulo de rotación correspondiente para la estrella de radio r2. Ejercicio 52  916.73 revmin 49 Malacate de carga Se utiliza un malacate de 3 pies de diámetro para levantar cargas, como se ve en la figura. r2 r1 (a) Encuentre la distancia que la carga es levantada si el malacate gira un ángulo de 74 radianes. 218  8.25 ft (b) Encuentre el ángulo (en radianes) que el malacate debe 2 girar para levantar la carga d pies. 3 d Ejercicio 49 3 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos 53 Mecánica de bicicletas Consulte el ejercicio 52. Un ciclista experto alcanza una rapidez de 40 mi/h. Si las dos estrellas son de r1  5 pulgadas y r2  2 pulgadas, respectivamente y la rueda tiene un diámetro de 28 pulgadas, ¿aproximadamente cuántas revoluciones por minuto de la estrella delantera producirá una rapidez de 40 mi/h? (Sugerencia: Primero cambie 40 mi/h a pulg/s.) 54 Desplazamiento del polo magnético Los polos geográfico y magnético norte tienen diferentes ubicaciones. Hoy en día, el polo norte magnético se desplaza al oeste 0.0017 radianes por año, donde el ángulo de desplazamiento tiene su vértice en el centro de la Tierra. Si este movimiento continúa, ¿aproximadamente cuántos años tardará el polo norte magnético en desplazarse un total de 5? Introduciremos las funciones trigonométricas en la forma en que se originaron históricamente, como razones entre los lados de un triángulo rectángulo. Un triángulo es un triángulo rectángulo si uno de sus ángulos es un ángulo recto. Si u es cualquier ángulo agudo, podemos considerar un triángulo rectángulo que tiene u como uno de sus ángulos, como en la figura 1. 412 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Figura 1 c u donde el símbolo especifica el ángulo de 90. Se pueden obtener seis razones usando las longitudes a, b y c de los lados del triángulo: b b , c a Figura 2 c b b b  , c c a *Nos referiremos a estas seis funciones trigonométricas como las funciones trigonométricas. A continuación veamos otras, las funciones trigonométricas menos comunes que no usaremos en este texto: vers   1  cos  covers   1  sen  exsec   sec   1 1 hav   2 vers  Figura 3 op u ady Definición de funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo b , a a , b c , a c b Podemos demostrar que estas razones dependen sólo de u y no del tamaño del triángulo, como se indica en la figura 2. Como los dos triángulos tienen ángulos iguales, son semejantes y por tanto las razones entre lados correspondientes son proporcionales. Por ejemplo u hip a , c a a  , c c b b  . a a Entonces, para cada u, las seis razones están determinadas de manera única y por tanto son funciones de u. Reciben el nombre de funciones trigonométricas* y se denotan como las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, abreviadas sen, cos, tan, cot, sec y csc, respectivamente. El símbolo sen (u ) o sen u se usa por la razón bc, que la función seno asocia con u. Los valores de las otras cinco funciones se denotan de un modo semejante. Para resumir, si u es el ángulo agudo del triángulo rectángulo de la figura 1, entonces, por definición, b c c csc   b sen   a c c sec   a cos   b a a cot   . b tan   El dominio de cada una de las seis funciones trigonométricas es el conjunto de todos los ángulos agudos. Más adelante en esta sección ampliaremos los dominios a conjuntos más grandes de ángulos y, en la siguiente sección, a números reales. Si u es el ángulo en la figura 1, nos referiremos a los lados del triángulo de longitudes a, b y c como el lado adyacente, lado opuesto e hipotenusa, respectivamente. Usaremos ady, op e hip para denotar las longitudes de los lados. Entonces podemos representar el triángulo como en la figura 3. Con esta notación, las funciones trigonométricas se pueden expresar como sigue. sen   op hip cos   ady hip tan   op ady csc   hip op sec   hip ady cot   ady op Las fórmulas de la definición anterior se pueden aplicar a cualquier triángulo rectángulo sin poner las leyendas a, b, c a cada uno de los lados. Como las longitudes de los lados de un triángulo son números reales positivos, los valores de las seis funciones trigonométricas son positivos para todo ángulo agudo u. Además, la hipotenusa es siempre mayor que el lado adyacente o el opuesto y por tanto sen u < 1, cos u < 1, csc u > 1 y sec u > 1 para todo ángulo agudo u. 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos 413 Nótese que como sen   op hip y csc   hip , op sen u y csc u son recíprocas entre sí, lo cual nos da las dos identidades de la columna izquierda del cuadro siguiente. Del mismo modo, cos u y sec u son recíprocas entre sí, como lo son tan u y cot u. Identidades recíprocas 1 csc  1 csc   sen  sen   1 sec  1 sec   cos  cos   1 cot  1 cot   tan  tan   Otras identidades importantes que contienen funciones trigonométricas se estudiarán al final de esta sección. EJEMPLO 1 Hallar valores de funciones trigonométricas Si u es un ángulo agudo y cos   43, encuentre los valores de las funciones trigonométricas de u. Figura 4 4 op SOLUCIÓN Empezamos por trazar un triángulo rectángulo que tenga un ángulo agudo u con lado ady  3 e hip  4, como se ve en la figura 4 y procedemos como sigue: u 32  op2  42 op2  16  9  7 op  27 3 teorema de Pitágoras aísle op2 tome la raíz cuadrada Aplicando la definición de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, obtenemos lo siguiente: op 27  hip 4 hip 4 csc    op 27 sen   ady 3  hip 4 hip 4 sec    ady 3 cos   op 27  ady 3 ady 3 cot    op 27 tan   L En el ejemplo 1 podríamos haber racionalizado los denominadores para csc u y cot u, escribiendo csc   4 27 7 y cot   3 27 . 7 No obstante, en casi todos los ejemplos y ejercicios dejaremos expresiones en forma no racionalizada. Una excepción a esta práctica es la de los valores de función trigonométrica especial correspondientes a 60, 30 y 45, que se obtienen en el siguiente ejemplo. 414 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJEMPLO 2 Hallar valores de función trigonométrica de 60, 30 y 45. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas que corresponden a u: (a)   60 (b)   30 (c)   45 Figura 5 30 2 2 3  60 1 1 SOLUCIÓN Considere un triángulo equilátero con lados de longitud 2. La mediana de un vértice al lado opuesto biseca el ángulo en ese vértice, como se ilustra con una línea interrumpida en la figura 5. Por el teorema de Pitágoras, el lado opuesto a 60 en el triángulo rectángulo sombreado tiene longitud 23. Usando las fórmulas para las funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, obtenemos los valores correspondientes a 60 y a 30 como sigue: (a) sen 60  csc 60  (b) sen 30  csc 30  Figura 6 2  45 1 23 2 2 23 1 2 tan 60  sec 60  2 2 1 cot 60  1 2 cos 30  2 2 1 sec 30  23 tan 30  2 2 23  2 23 3 23 1 1 23 1 23 cot 30  23 1  23   23 3 23 3  23 (c) Para hallar los valores para u  45, podemos considerar un triángulo rectángulo isósceles cuyos dos lados iguales tienen longitud 1, como se ve en la figura 6. Por el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa es 22 y por tanto los valores correspondientes para 45 son como sigue: 45 1 2 23 3  cos 60  sen 45  csc 45  1 22 22 1  cos 45 tan 45  1 1 1  22  sec 45 cot 45  1 1 1  22 2 L Para referencia, en la tabla siguiente presentamos la lista de valores hallados en el ejemplo 2, junto con las medidas en radianes de los ángulos. Dos razones para destacar estos valores son su exactitud y la frecuencia con que se ven al trabajar con trigonometría. Debido a la importancia de estos valores especiales, es una buena idea memorizar la tabla o saber cómo hallar los valores rápidamente al usar triángulos, como en el ejemplo 2. 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos 415 Valores especiales de las funciones trigonométricas u (radianes) u (grados) sen u cos u tan u  6 30° 1 2 23 23 2 3  4 45° 22 22 2 2  3 60° 23 1 2 2 cot u 1 23 2 23 3 2 1 22 22 2 2 23 3 23 23 sec u csc u 3 El siguiente ejemplo ilustra un uso práctico para funciones trigonométricas de ángulos agudos. En la sección 6.7 veremos aplicaciones adicionales que contienen triángulos rectángulos. EJEMPLO 3 Hallar la altura de un asta de bandera Un topógrafo observa que en un punto A, situado al nivel del suelo a una distancia de 25.0 pies de la base B de un asta de bandera, el ángulo entre el suelo y el extremo superior del poste es de 30. Calcule la altura h del poste al décimo de pie más cercano. SOLUCIÓN Al observar la figura 7, vemos que lo que buscamos es relacionar el lado opuesto y el lado adyacente, h y 25, respectivamente, con el ángulo de 30. Esto sugiere que usemos una función trigonométrica que contenga esos dos lados, es decir, tan o cot. Por lo general es más fácil resolver el problema si seleccionamos la función para la cual la variable está en el numerador. Por tanto, tenemos Figura 7 h A 30 B 25 tan 30  h 25 o bien, lo que es equivalente, Usamos el valor de tan 30 del ejemplo 2 para hallar h:   h  25 Figura 8 En modo de grados h  25 tan 30. 23 3  14.4 ft L Es posible calcular, a cualquier grado de precisión, los valores de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo agudo. Las calculadoras tienen teclas marcas como SIN , COS , y TAN que se pueden usar para calcular los valores de estas funciones. Los valores para csc, sec y cot se pueden encontrar entonces por medio de la tecla de recíprocos. Antes de usar una calculadora para hallar valores de funciones que correspondan a la medida en radianes de un ángulo agudo, asegúrese que su calculadora esté en modo de radianes. Para valores correspondientes a medidas en grados, seleccione el modo de grados. Como ilustración (vea la figura 8), para hallar sen 30 en una calculadora común, ponemos la calculadora en modo de grados y usamos la tecla SIN para obtener sen 30  0.5, que es el valor exacto. Usando el mismo procedimiento para 60, obtenemos una aproximación decimal a 232, tal como sen 60  0.8660. 416 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Casi todas las calculadoras tienen una precisión de ocho a diez lugares decimales para esos valores de función, pero en todo este texto generalmente redondearemos valores a cuatro lugares decimales. Para hallar un valor tal como cos 1.3 (vea la figura 9), donde 1.3 es la medida en radianes de un ángulo agudo, ponemos la calculadora en modo de radianes y usamos la tecla COS , obteniendo Figura 9 En modo de radianes cos 1.3  0.2675. oprima x1 Para sec 1.3, podríamos hallar cos 1.3 y luego usar la tecla de recíprocos, por lo general marcada 1x o x 1 (como se ve en la figura 9), para obtener 1 sec 1.3   3.7383. cos 1.3 Las fórmulas que aparecen en el cuadro de la página siguiente, sin duda, son las identidades más importantes en trigonometría porque se pueden usar para simplificar y unificar muchos aspectos diferentes del tema. Como las fórmulas son parte de la base para trabajar en trigonometría, se denominan identidades fundamentales. Tres de las identidades fundamentales contienen cuadrados, por ejemplo (sen u)2 y (cos u)2. En general, si n es un entero diferente de 1, entonces una potencia como (cos u)n se escribe cosn u. Los símbolos sen1u y cos1 u están reservados para funciones trigonométricas inversas, que estudiaremos en la sección 6.4 y trataremos a fondo en el siguiente capítulo. Con este acuerdo sobre notaciones, tenemos, por ejemplo, cos2   cos 2  cos cos  tan3   tan 3  tan tan tan  sec4   sec 4  sec sec sec sec . Evaluación de potencias de funciones trigonométricas (en modo de grados). Debe tenerse cuidado al evaluar potencias de funciones trigonométricas en calculadoras. Por ejemplo, considere la expresión sen2 30. Como sen 30°  12 , tenemos sen2 30°   12 2  41 . Por la forma en que está escrita la expresión en la primera entrada en cada pantalla que se ve a continuación, podríamos esperar que la calculadora evaluara 302 y luego tomara el seno de 900, y eso es lo que ocurre. No obstante, esperaríamos lo mismo en la segunda entrada, donde la TI-83/4 Plus nos da el valor de sen2 30. Entonces, en adelante, para evaluar sen2 30, usaremos el formato que se ve en la tercera entrada. TI-83/4 Plus TI-86 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos 417 A continuación hagamos una lista de las identidades fundamentales y luego estudiemos las demostraciones. Estas identidades son verdaderas para todo ángulo agudo u y u puede tomar varias formas. Por ejemplo, usando la primera identidad de Pitágoras con u  4a, sabemos que sen2 4  cos2 4  1. Más adelante veremos que estas identidades también son verdaderas para otros ángulos y para números reales. Las identidades fundamentales (1) Las identidades recíprocas: 1 sen  csc   sec   1 cos  cot   1 tan  (2) Las identidades tangente y cotangente sen  cos  tan   cot   cos  sen  (3) Las identidades de Pitágoras sen2   cos2   1 1  tan2   sec2  1  cot2   csc2  DEMOSTRACIONES Figura 10 c u b a (1) Las identidades recíprocas se establecieron ya al inicio de esta sección. (2) Para demostrar la identidad tangente, vemos el triángulo rectángulo de la figura 10 y usamos definiciones de funciones trigonométricas como sigue: b bc sen  tan     a ac cos  Para verificar la identidad cotangente, usamos una identidad recíproca y la identidad tangente: cot   1 1 cos    tan  sen cos  sen  (3) Las identidades de Pitágoras reciben ese nombre por el primer paso en la siguiente demostración. Si vemos la figura 10, obtenemos b2  a2  c2    b c 2  2 a c  c c sen 2  cos 2  1 sen   cos   1. 2 2 teorema de Pitágoras 2 divida entre c2 definiciones de sen  y cos  notación equivalente continúa 418 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Podemos usar esta identidad para verificar la segunda identidad de Pitágoras como sigue: sen2   cos2  1  cos2  cos2  divida entre cos2 u sen2  cos2  1   2 2 cos  cos  cos2  ecuación equivalente       sen  cos  2 cos  2 1  cos  cos  tan2   1  sec2  2 ley de exponentes  identidades tangente y recíproca Para demostrar la tercera identidad de Pitágoras, 1  cot2 u  csc2 u, podríamos dividir ambos lados de la identidad sen2 u  cos2 u  1 entre sen2 u. L Podemos usar las identidades fundamentales para expresar cada función trigonométrica en términos de cualquier otra función trigonométrica. En el siguiente ejemplo se dan dos ilustraciones. EJEMPLO 4 Usar identidades fundamentales Sea u un ángulo agudo. (a) Exprese sen u en términos de cos u. (b) Exprese tan u en términos de sen u. SOLUCIÓN (a) Podemos proceder como sigue: sen2   cos2   1 identidad de Pitágoras sen2   1  cos2  aísle sen2 u sen   21  cos2  tome la raíz cuadrada sen   21  cos2  sen u > 0 para ángulos agudos Más adelante en esta sección (ejemplo 12) consideraremos una simplificación que contiene un ángulo u que no es agudo. (b) Empezamos con la identidad fundamental tan   sen  , cos  entonces todo lo que resta es expresar cos u en términos de sen u, que podemos hacer al despejar cos u de sen2 u  cos2 u, obteniendo cos   21  sen2  para 0   . 2 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos 419 En consecuencia tan   sen  sen   cos  21  sen2  para 0   . 2 L En la misma forma en que hemos hecho con manipulaciones algebraicas, podemos dar apoyo numérico a los resultados de nuestras manipulaciones trigonométricas al examinar una tabla de valores. Las siguientes pantallas muestran que el resultado del ejemplo 4(a), que sen   21  cos2  para u agudo, está apoyado por la igualdad de Y1 y Y2 en la tabla de valores seleccionados. Discutiremos apoyo gráfico más adelante en el texto. Es frecuente el uso de identidades fundamentales para simplificar expresiones que contengan funciones trigonométricas, como se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5 Demostrar que una ecuación es una identidad Demuestre que la siguiente ecuación es una identidad al transformar el lado izquierdo en el lado derecho: sec   tan 1  sen   cos  SOLUCIÓN Empezamos con el lado izquierdo y procedemos como sigue: sec   tan 1  sen       identidades 1 sen   1  sen  recíproca y tangente cos  cos   1  sen  1  sen  cos  sume fracciones  1  sen2  cos  multiplique  cos2  cos  sen2   cos2   1  cos  cancele cos  L 420 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Examinemos el resultado del ejemplo 5 desde un punto de vista numérico. Asignamos el lado izquierdo a Y1 y el lado derecho a Y2 y elaboramos una tabla de valores para u  0 a u  90. Observe que los valores de Y1 y Y2 de la tercera pantalla son iguales excepto para u  90. El mensaje ERROR aparece porque sec 90 y tan 90 no están definidas. Hay otras formas de simplificar la expresión del lado izquierdo en el ejemplo 5. Podríamos primero multiplicar los dos factores y luego simplificar y combinar términos. Es útil el método que empleamos, es decir, cambiar todas las expresiones a otras que contengan sólo senos y cosenos, pero esa técnica no siempre lleva a la simplificación más corta posible. En adelante, usaremos la frase verifique una identidad en lugar de demuestre que una ecuación es una identidad. Cuando verifiquemos una identidad, muchas veces usamos identidades fundamentales y manipulaciones algebraicas para simplificar expresiones, como hicimos en el ejemplo anterior. Al igual que con las identidades fundamentales, entendemos que una identidad que contiene fracciones es válida para todos los valores de las variables, de forma que no haya denominadores cero. EJEMPLO 6 Verificar una identidad Verifique la siguiente identidad al transformar el lado izquierdo en el lado derecho: tan   cos   sec   cot  sen  SOLUCIÓN Podemos transformar el lado izquierdo en el lado derecho como sigue: tan   cos  tan  cos    sen  sen  sen    sen  cos    cot  sen  divida el numerador entre sen u identidades tangente y cotangente  sen  1   cot  cos  sen  regla para cocientes  1  cot  cos  cancele sen u  sec   cot  identidad recíproca L 421 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos En la sección 7.1 verificaremos muchas otras identidades usando métodos semejantes a los empleados en los ejemplos 5 y 6. En vista de que numerosos problemas aplicados contienen ángulos que no son agudos, es necesario ampliar la definición de las funciones trigonométricas. Hacemos esta ampliación usando la posición estándar de un ángulo u en un sistema de coordenadas rectangulares. Si u es agudo, tenemos la situación ilustrada en la figura 11, donde hemos seleccionado un punto P(x, y) en el lado terminal de u y donde dO, P  r  2x 2  y 2. Por consulta del triángulo OQP, tenemos Figura 11 y P(x, y) r y u O Q(x, 0) x x sen   op y  , hip r cos   ady x  , hip r y tan   op y  . ady x Ahora deseamos considerar ángulos de los tipos ilustrados en la figura 12 (o cualquier otro ángulo, ya sea positivo, negativo o cero). Nótese que en la figura 12 el valor de x o de y puede ser negativo. En cada caso, el lado QP (el opuesto en la figura 11) tiene longitud y el lado OQ (el adyacente en la figura 11) tiene longitud x y la hipotenusa OP tiene longitud r. Definiremos las seis funciones trigonométricas para que sus valores estén de acuerdo con los que se dieron previamente siempre que el ángulo sea agudo. Se entiende que si se presenta un denominador cero, entonces el valor de función correspondiente no está definido. Figura 12 y P(x, y) y y r u Q(x, 0) y O u Q(x, 0) x r O Q(x, 0) x O x u r P(x, y) Definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo y y P(x, y) Sea u un ángulo en posición estándar en un sistema de coordenadas rectangulares y sea P(x, y) cualquier punto que no sea el origen O en el lado terminal de u. Si dO, P  r  2x2  y2, entonces y y x sen   tan   si x 苷 0 cos   r x r r r x csc   si y 苷 0 sec   si x 苷 0 cot   si y 苷 0. y x y 422 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Podemos demostrar, usando triángulos semejantes, que las fórmulas en esta definición no dependen del punto P(x, y) que está seleccionado en el lado terminal de u. Las identidades fundamentales, que se establecieron para ángulos agudos, también son verdaderas para funciones trigonométricas de cualquier ángulo. Los dominios de las funciones seno y coseno están formados por todos los ángulos u. No obstante, tan u y sec u no están definidas si x  0 (esto es, si el lado terminal de u está en el eje y). Así, los dominios de las funciones tangente y secante están formados por todos los ángulos excepto los de medida 2   n en radianes para cualquier entero n. Algunos casos especiales son 2, 32, y 52. Las medidas correspondientes en grados son 90, 270 y 450. Los dominios de las funciones cotangente y cosecante están formados por todos los ángulos excepto los que tienen y  0 (esto es, todos los ángulos excepto los que tienen lados terminales sobre el eje x). Éstos son los ángulos de medida pn en radianes (o medida 180  n en grados) para cualquier entero n. Nuestro examen de dominios se resume en la tabla siguiente, donde n denota cualquier entero. Función Dominio seno, coseno todo ángulo  tangente, secante todo ángulo  excepto      n  90°  180°  n 2 todo ángulo  excepto    n  180°  n cotangente, cosecante Para cualquier punto P(x, y) de la definición precedente, x o bien, lo que es equivalente, xr 1 y yr 1. Por tanto, sen  1, cos  1, csc  1, y sec  ry y r 1 para toda u en los dominios de estas funciones. Hallar valores de función trigonométrica de un ángulo en posición estándar EJEMPLO 7 Si u es un ángulo en posición estándar en un sistema de coordenadas rectangulares y si P(15, 8) está en el lado terminal de u, encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas de u. Figura 13 y El punto P(15, 8) se muestra en la figura 13. Aplicando la definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo con x  15, y8y SOLUCIÓN P(15, 8) r  2x 2  y 2  2152  82  2289  17, obtenemos lo siguiente: r u O x y 8  r 17 r 17 csc    y 8 sen   x 15  r 17 r 17 sec     x 15 cos   y 8  x 15 x 15 cot     y 8 tan   L 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos EJEMPLO 8 423 Hallar valores de función trigonométrica de un ángulo en posición estándar Un ángulo u está en posición estándar y su lado terminal se encuentra en el tercer cuadrante sobre la recta y  3x. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas de u. Figura 14 La gráfica de y  3x está trazada en la figura 14, junto con los lados inicial y terminal de u. Como el lado terminal de u está en el tercer cuadrante, empezamos por escoger un valor negativo conveniente de x, por ejemplo x  1. Sustituyendo en y  3x nos da y  3(1)  3 y por lo tanto P(1, 3) está en el lado terminal. Aplicando la definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo con SOLUCIÓN y y  3x u x  1, O x r P(1, 3) y  3, y r  2x2  y2  212  32  210 tendremos 3 1 3 cos    tan   3 1 210 210 210 210 1 1 csc    sec    cot    . 3 1 3 3 La definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo se pueden aplicar si u es un ángulo cuadrantal. El procedimiento se ilustra en el siguiente ejemplo. sen    L EJEMPLO 9 Hallar valores de función trigonométrica de un ángulo cuadrantal Si u  3p/2, encuentre los valores de las funciones trigonométricas de u. SOLUCIÓN Observe que 32  270. Si u está colocado en posición estándar, el lado terminal de u coincide con el eje y negativo, como se ve en la figura 15. Para aplicar la definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, podemos seleccionar cualquier punto P en el lado terminal de u. Para mayor sencillez, usamos P(0, 1). En este caso, x  0, y  1, r  1 y por tanto Figura 15 y w O x r1 P(0, 1) 3 1   1 2 1 3 1 csc   1 2 1 sen 3 0  0 2 1 3 0 cot   0. 2 1 cos Las funciones tangente y secante no están definidas, porque las expresiones sin sentido tan tan   10 y sec   10 se presentan cuando sustituimos en las fórmulas apropiadas. L Determinemos los signos asociados con valores de las funciones trigonométricas. Si u está en el segundo cuadrante y P(x, y) es un punto en el lado terminal, entonces x es negativa y y es positiva. En consecuencia, sen   yr y csc   ry son positivos y las otras cuatro funciones trigonométricas, que contienen x, son negativas. Comprobando los cuadrantes restantes de un modo semejante, obtenemos la siguiente tabla. 424 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Signos de las funciones trigonométricas y Todas II I III IV Tan Cot Cos Sec Funciones positivas Funciones negativas I II III IV todas sen, csc tan, cot cos, sec ninguna cos, sec, tan, cot sen, csc, cos, sec sen, csc, tan, cot El diagrama de la figura 16 puede ser útil para recordar cuadrantes en los que las funciones trigonométricas son positivas. Si una función no aparece (por ejemplo cos en el segundo cuadrante), entonces esa función es negativa. Terminamos esta sección con tres ejemplos que requieren usar la información de la tabla anterior. Figura 16 Funciones trigonométricas positivas Sen Csc Cuadrante que contiene u EJEMPLO 10 Hallar el cuadrante que contenga un ángulo Encuentre el cuadrante que contenga u si cos u > 0 y sen u < 0. x SOLUCIÓN Consultando la tabla de signos o la figura 16, vemos que cos u > 0 (el coseno es positivo) si u está en los cuadrantes primero o cuarto, y que sen u < 0 (el seno es negativo) si u está en los cuadrantes tercero o cuarto. En consecuencia, para que ambas condiciones queden satisfechas, u debe estar en el cuarto cuadrante. L E J E M P L O 11 Hallar valores de funciones trigonométricas a partir de condiciones prescritas Si sen   53 y tan u < 0, utilice identidades fundamentales para hallar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas. Como sen   53 0 (positivo) y tan u < 0 (negativo), u está en el segundo cuadrante. Usando la relación sen2 u  cos2 u  1 y el hecho de que cos u es negativo en el segundo cuadrante, tenemos SOLUCIÓN 4 cos    21  sen2   1   35 2  16 25   5 . A continuación usamos la identidad tangente para obtener tan   sen  35 3   . cos  45 4 Por último, usando las identidades recíprocas tendremos 1 1 5   sen  35 3 1 1 5 sec     cos  45 4 1 1 4 cot     . tan  34 3 csc   L 425 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos EJEMPLO 12 Usar identidades fundamentales Reescriba 2cos2   sen2   cot2  en forma no radical sin usar valores absolutos para   2. SOLUCIÓN 2cos2   sen2   cot2   21  cot2  cos2   sen2   1  2csc2  1  cot2   csc2   csc  2x 2  x Como   2, sabemos que  está en los cuadrantes tercero o cuarto. En consecuencia, csc  es negativa y por la definición de valor absoluto tenemos csc   csc . 6.2 L Ejercicios Ejer. 1-2: Use el sentido común para relacionar las variables y los valores. (Los triángulos se trazan a escala y los ángulos se miden en radianes.) 1 z 2 5, b z y (a) a (b) b D (B) 0.28 E (C) 17 (d) y C (D) 1.29 (d) y C (D) 0.82 221 2 , 5 221 28 1 , 52 3 , 3 , 28, (e) z A (E) 0.76 a 2 2 b , 2 2 17 8 , 2a  b 2a  b 2a2  b2 2a2  b2 b , c 3 28 a , , c a c c 2c2  a2, a , 2c2  a2 c a , 10 u u c a u 15 3 4 3 4 3 5 5 5, 5, 3, 4, 3, 4 , 3, 2c2  a2 a 2c2  a2 a b , , b a a 9 4 u 1 28 u a Ejer. 3-10: Encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo u. 4 , b (c) x B 5 221 , u (C) 24 3 1 u 8 (b) b D (B) 16 (E) 25 2 5 (A) 23.35 (c) x A (e) z E 221 7 y (A) 7 3 2 x a B 6 5 u 2 b x a (a) a 5 8 15 8 15 17 17 17 , 17 , 15 , 8 , 15 , 8 b a 426 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ejer. 11-16: Encuentre los valores exactos de x y y. 11 Estime la distancia del estudiante al punto a nivel del suelo que está directamente abajo del pico. 12 x 21,477.4 ft 4 x 30 25 Bloques de Stonehenge Stonehenge en los llanos de Salisbury, Inglaterra, fue construido usando bloques de piedra maciza de más de 99,000 libras cada uno. Levantar un solo bloque requería de 550 personas que lo subían por una rampa inclinada a un ángulo de 9°. Calcule la distancia que un bloque era movido para levantarlo a una altura de 30 pies. 192 ft 3 y 60 y x  2 23; y  23 13 14 x 7 10 45 y 30 x  7 22; y  7 x y 27 Resolución de telescopio Dos estrellas que están muy cercanas entre sí pueden aparecer como una sola. La capacidad del telescopio para separar sus imágenes se llama resolución. Cuanto menor es la resolución, mejor es la capacidad del telescopio para separar imágenes en el cielo. En un telescopio de refracción, la resolución  (vea la figura) se puede mejorar al usar un lente con diámetro D más grande. La relación entre  en grados y D en metros está dada por sen   1.22D, donde  es la longitud de onda de la luz en metros. El telescopio de refracción más grande del mundo está en la Universidad de Chicago. A una longitud de onda de   550  109 metros, su resolución es 0.000 037 69°. Calcule el diámetro del lente. 1.02 m x  5; y  5 23 15 16 4 8 x 45 y x 60 y x  4 23; y  4 Ejer. 17-22: Encuentre los valores exactos de las funciones trigonométricas para el ángulo agudo u. 3 17 sen   5 8 18 cos   17 5 19 tan   12 7 20 cot   24 3 4 3 4 5 5 5, 5, 4, 3, 4, 3 21 sec   56 211 5 211 6 , 6, 5 Ejercicio 27 u 15 8 15 8 17 17 17 , 17 , 8 , 15 , 8 , 15 5 12 5 12 13 13 13 , 13 , 12 , 5 , 12 , 5 26 Altura de un anuncio espectacular Colocado en 1990 y removido en 1997, el anuncio más alto del mundo era una gran letra I situada en lo alto del edificio de 73 pisos First Interstate World Center en Los Ángeles. A una distancia de 200 pies del punto directamente abajo del anuncio, el ángulo entre el suelo y la cima del anuncio era de 78.87°. Calcule la altura de la cima del anuncio. 1017 ft 24 7 24 7 25 25 25 , 25 , 7 , 24 , 7 , 24 22 csc   4 , 5 211 , 6 5, 6 211 1 4, 215 4 , 1 215 , 215, 4 215 ,4 23 Altura de un árbol Un guardabosque, situado a 200 pies de la base de una sequoia roja, observa que el ángulo entre el suelo y la cima del árbol es de 60°. Estime la altura del árbol.  346.4 ft 24 Distancia al Monte Fuji El pico del Monte Fuji de Japón mide aproximadamente 12,400 pies de altura. Un estudiante de trigonometría, situado a varias millas del monte, observa que el ángulo entre el nivel del suelo y el pico es de 30. 28 Fases de la Luna Las fases de la Luna se pueden describir usando el ángulo de fase , determinado por el Sol, la Luna y la Tierra, como se muestra en la figura. Debido a que la Luna gira alrededor de la Tierra, el ángulo  cambia durante el curso de un mes. El área de la región A de la Luna, que 427 6.2 Funciones trigonométricas de ángulos aparece iluminada para un observador en la Tierra, está dado por A  12 R 21  cos , donde R  1080 millas es el radio de la Luna. Calcule A para las siguientes posiciones de la Luna: (a)   0 (luna llena) (b)   180 (luna nueva) (c)   90 (primer cuarto) (d)   103 3,664,354 mi 2 1,832,177 mi2 0 Ejer. 35-38: Use las identidades de Pitágoras para escribir la expresión como entero. 35 (a) tan2 4  sec2 4 4 36 (a) csc 3  cot 3 1 2 2 (b) 3 csc2   3 cot2  3 37 (a) 5 sen2   5 cos2  5 1,420,027 mi2 Ejercicio 28 (b) 4 tan2   4 sec2  1 (b) 5 sen2 4  5 cos2 4 5 38 (a) 7 sec2   7 tan2  7 (b) 7 sec2 3  7 tan2 3 7 Ejer. 39-42: Simplifique la expresión. u 39 sen3   cos3  sen   cos  40 cot2   4 cot   cot   6 42 csc   1 1sen2   csc  2 1  sin  cos  41 2  tan  2 csc   sec  sin  sin  Ejer. 29-34: Calcule a cuatro lugares decimales, cuando sea apropiado. 29 (a) sen 42 0.6691 (c) csc 123 1.1924 (b) cos 77 0.2250 Ejer. 43-48: Use identidades fundamentales para escribir la primera expresión en términos de la segunda, para cualquier ángulo agudo u. 43 cot , sen  (d) sec 190 1.0154 30 (a) tan 282 4.7046 (b) cot 81 0.1584 (c) sec 202 1.0785 (d) sen 97 0.9925 cot   (d) tan 37 4.3813 0.6335 32 (a) sen 0.11 0.1098 (c) tan   133  31 (b) sec 27 2.4380 (d) cos 2.4 0.3090 0.2350 33 (a) sen 30° 0.5 (b) sin 30 0.9880  sin  45 sec , sen  sec   sin   tan   21  sin2  2sec2 1 sec  csc   cos   1 21  cos2  cot  21  cot2  Ejer. 49-70: Verifique la identidad al transformar el lado izquierdo en el lado derecho. 49 cos  sec   1 50 tan  cot   1 51 sen  sec   tan  52 sen  cot   cos  53 csc   cot  sec  54 cot  sec   csc  55 1  cos 21  cos 2  sen2 2 34 (a) sen 45° 0.7071 (b) sen 45 0.8509 56 cos2 2  sen2 2  2 cos2 2  1 (c) cos 32° (d) cos 32 0 57 cos2 sec2   1  sen2  0.9966  cos  48 cos , cot  (d) cos  1 (c) cos  ° 0.9985 21  cos2 46 csc , cos  1 47 sen , sec  31 (a) cot 13 4.0572 (b) csc 1.32 1.0323 (c) cos 8.54 44 tan , cos  21  sin2 428 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 78 III; biseca el cuadrante 58 tan   cot  tan   sec2   59 sen 2 cos 2  1 csc 2 sec 2 22 22 2 2 , 1, 1,  22,  22 79 III; paralela a la recta 2y  7x  2  0  60 1  2 sen2 2  2 cos2 2  1 7 253 2 , , 7 2 253 253 , , , 7 2 7 253 2 80 II; paralela a la recta que pasa por A1, 4 y B3, 2 3 1 61 1  sen 1  sen   sec2  210 , 1 210 , 3,  1 210 ,  210, 3 3 Ejer. 81-82: Encuentre los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de cada ángulo, siempre que sea posible. 62 1  sen2 1  tan2   1 63 sec   cos   tan  sen  64 , 81 (a) 90 (b) 0 (c) 72 (d) 3 82 (a) 180 (b) 90 (c) 2 (d) 52 1, 0, U, 0, U, 1 sen   cos   1  tan  cos  0, 1, 0, U, 1, U 0, 1, 0, U, 1, U 1, 0, U, 0, U, 1 0, 1, 0, U, 1, U 1, 0, U, 0, U, 1 0, 1, 0, U, 1, U 1, 0, U, 0, U, 1 65 cot   csc tan   sen   sec   cos  Ejer. 83-84: Encuentre el cuadrante que contenga u si las condiciones dadas son verdaderas. 66 cot   tan   csc  sec  83 (a) cos  0 y sen  0 IV (b) sen  0 y cot  0 III (c) csc  0 y sec  0 II (d) sec  0 y tan  0 III 84 (a) tan  0 y cos  0 IV (b) sec  0 y tan  0 IV (c) csc  0 y cot  0 II (d) cos  0 y csc  0 III 67 sec2 3 csc2 3  sec2 3  csc2 3 68 1  cos2 3  2 csc2 3  1 sen2 3 69 log csc   log sen  70 log tan   log sen   log cos  Ejer. 71-74: Encuentre los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de u, si u está en posición estándar y P está en el lado terminal. 71 P4, 3 4 72 P8, 15 5 15 73 P2, 5  5 , 229 229 5 2 229 , , , 2 5 2 5 8 17 15 , 178 , 8 , 15,  17  17 8 ,  15  53 , 5 ,  43 ,  34 , 4 ,  35 2 229 , 74 P1, 2 2,  2 , 1 25 25 25 1 ,  25, 2 2 , Ejer. 75-80: Encuentre los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de u, si u está en posición estándar y el lado terminal de u está en el cuadrante especificado y satisface la condición dada. 75 II; en la recta y  4x 4 217 , 1 217 , 4,  1 217 ,  217, 4 4 Ejer. 85-92: Use identidades fundamentales para hallar los valores de las funciones trigonométricas para las condiciones dadas. 85 tan    43 y sen  86 cot   34 y cos  87 sen    135 y sec  88 cos   12 y sen  76 IV; en la recta 3y  5x  0  77 I; 5 , 3 234 234 , 5 3 234 234 , , , 3 5 3 5 en la recta que tiene pendiente 43 89 cos    31 y sen  4 3 4 3 5 5 5, 5, 3, 4, 3, 4 3 0 5,  54,  43,  34,  45, 53 4 0  5 ,  53, 34, 34,  35,  45 5 5 12 13 13 0  13, 12 13 ,  12 ,  5 , 12 ,  5 0  23 2 0 , 1 1 2 ,  23,  , 2,  2 23 23 28 3 ,  1 1 3 , 28, , 3,  3 28 28 6.3 Funciones trigonométricas de números reales 90 csc   5 y cot  0 91 sec   4 y csc  92 sen   25 y cos  224 1 1 , , ,  224, 5 5 224 1 1 215 0 ,  ,  215,  , 4, 4 4 215 221 221 2 2 , , , , 5 2 5 221 0 Ejer. 93-98: Reescriba la expresión en forma no radical sin usar valores absolutos para los valores indicados de u. 93 2sec   1; 2 2   tan  6.3 Funciones trigonométricas de números reales Definición de las funciones trigonométricas de números reales 0 95 21  tan2 ; 32  2 sec  96 2csc2   1; 32  2 cot  97 2sen2 2; 2 98 2cos2 2; 0   csc  4   sin  2   cos 2 El dominio de cada función trigonométrica que hemos estudiado es un conjunto de ángulos. En cálculo y en numerosas aplicaciones, los dominios de funciones están formados por números reales. Para considerar el dominio de una función trigonométrica como un subconjunto de ⺢, podemos usar la siguiente definición. El valor de una función trigonométrica de un número real t es su valor en un ángulo de t radianes, siempre que exista ese valor. Usando esta definición, podemos interpretar una notación tal como sen 2 o el seno del número real 2 de un ángulo de 2 radianes. Al igual que en la sección 6.2, si se usan medidas en grados, escribiremos sen 2°. Con esta idea, Figura 1 sen 2 苷 sen 2°. y st P(x, y) ut O U 94 21  cot2 ; 429 A(1, 0) x Para hallar los valores de funciones trigonométricas de números reales con una calculadora, usamos el modo de radianes. Podemos interpretar geométricamente funciones trigonométricas de números reales si usamos una circunferencia unitaria U, es decir, una circunferencia de radio 1, con centro en el origen O de un plano de coordenadas rectangulares. La circunferencia U es la gráfica de la ecuación x2  y2  1. Sea t un número real tal que 0 t 2 y denotemos con  el ángulo (en posición estándar) de la medida t en radianes. Una posibilidad se ilustra en la figura 1, donde P(x, y) es el punto de intersección del lado terminal de  y la circunferencia unitaria U y donde s es la longitud del arco de circunferencia de A(1, 0) a P(x, y). Usando la fórmula s  r para la longitud de un arco de circunferencia, con r  1 y   t, vemos que s  r  1t  t. Entonces, t puede ser considerada ya sea como la medida en radianes del ángulo  o como la longitud del arco de circunferencia AP en U. A continuación consideremos cualquier número t real no negativo. Si consideramos que el ángulo  de medida t en radianes ha sido generado al girar el segmento de recta OA alrededor de O en la dirección contraria al giro de las 430 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS manecillas de un reloj, entonces t es la distancia a lo largo de U que A viaja antes de llegar a su posición final P(x, y). En la figura 2 hemos ilustrado un caso para t 2; no obstante, si t 2, entonces A puede viajar alrededor de U varias veces en sentido contrario a las manecillas de un reloj antes de llegar a P(x, y). Si t < 0, entonces la rotación de OA es en el sentido de giro de las manecillas del reloj y la distancia que A viaja antes de llegar a P(x, y) es t , como se ilustra en la figura 3. Figura 2   t, t 0 y t ut A(1, 0) O x Figura 3   t, t U 0 P(x, y) y P(x, y) A(1, 0) O x ut U t El análisis precedente indica la forma en que podemos asociar, con cada número real t, un punto único P(x, y) en U. A P(x, y) lo llamaremos punto sobre la circunferencia unitaria U que corresponde a t. Las coordenadas (x, y) de P se pueden usar para hallar las seis funciones trigonométricas de t. Entonces, por la definición de las funciones trigonométricas de números reales junto con la definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo (dada en la sección 6.2), vemos que sen t  sen   y y   y. r 1 El uso del mismo procedimiento para las cinco funciones trigonométricas restantes nos da las fórmulas siguientes. Definición de las funciones trigonométricas en términos de una circunferencia unitaria Si t es un número real y P(x, y) es el punto en la circunferencia unitaria U que corresponde a t, entonces sen t  y csc t  1 y cos t  x si y 苷 0 sec t  1 x tan t  si x 苷 0 cot t  y x x y si x 苷 0 si y 苷 0. 6.3 Funciones trigonométricas de números reales 431 Las fórmulas en esta definición expresan valores de función en términos de coordenadas de un punto P en una circunferencia unitaria. Por esta razón, las funciones trigonométricas a veces se conocen como funciones circulares. EJEMPLO 1 Encontrar valores de las funciones trigonométricas Un punto P(x, y) en la circunferencia unitaria U correspondiente a un número real t se muestra en la figura 4, para  t 32. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas en t. Figura 4 y SOLUCIÓN Consultando la figura 4, vemos que las coordenadas del punto P(x, y) son t ut A(1, 0) x ( U ) P E, R x   53 , y   54 . El uso la definición de las funciones trigonométricas en términos de una circunferencia unitaria nos da 4 4 4 3 y  sen t  y   cos t  x   tan t   53  3 5 5 5 x csc t  3 3 1 1 1 1 x  5 5  4 sec t   3   cot t   45  . 5 4 y 5 x 5 y 4 3 L EJEMPLO 2 Hallar un punto en U relativo a un punto dado Denotemos con P(t) el punto en la circunferencia unitaria U que corresponde a t para 0 t 2. Si Pt   45 , 35 , encuentre (a) Pt   (b) Pt   (c) Pt SOLUCIÓN (a) El punto P(t) en U se localiza en la figura 5(a), donde también hemos mostrado el arco AP de longitud t. Para hallar Pt  , nos desplazamos una distancia  en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj a lo largo de U desde P(t), como lo indica el arco azul en la figura. Como  es la mitad de la circunferencia de U, esto nos da el punto Pt      54 ,  53  diametralmente opuesto a P(t). Figura 5 (a) (b) (c) y y ( ) U ( ) U P(t)  R, E y P(t)  R, E t t A(1, 0) x A(1, 0) x p ( ) P(t  p)  R, E ( U ( ) P(t)  R, E t A(1, 0) x t P(t)  R, E ( ) ) P(t  p)  R, E (continúa) 432 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Figura 6 (a) (b) Para hallar Pt  , nos desplazamos una distancia  en el sentido de giro de las manecillas de un reloj a lo largo de U desde P(t), como se indica en la figura 5(b). Esto nos da Pt      54 ,  53 . Nótese que Pt    Pt  . (c) Para hallar P(t), nos movemos a lo largo de U una distancia t en el sentido de giro de las manecillas de un reloj desde A(1, 0), como se indica en la figura 5(c). Esto es equivalente a reflejar P(t) a través del eje x. Por tanto, simplemente cambiamos el signo de la coordenada y de Pt   45 , 35  para obtener Pt   45 ,  53 . y L EJEMPLO 3 P(1, 0) x Encuentre los valores de las funciones trigonométricas en t:   (a) t  0 (b) t  (c) t  4 2 SOLUCIÓN U (b) Hallar valores especiales de las funciones trigonométricas (a) El punto P en la circunferencia unitaria U que corresponde a t  0 tiene coordenadas (1, 0), como se ve en la figura 6(a). Así, hacemos x  1 y y  0 en la definición de las funciones trigonométricas en términos de una circunferencia unitaria, obteniendo y d sen 0  y  0 y 0 tan 0   0 x 1 P(x, y) d x U cos 0  x  1 1 1 sec 0    1. x 1 Nótese que csc 0 y cot 0 son indefinidas, porque y  0 es un denominador. (b) Si t  4, entonces el ángulo 4 de medida en radianes mostrado en la figura 6(b) biseca el primer cuadrante y el punto P(x, y) está en la recta y  x. Como P(x, y) está en la circunferencia unitaria x2  y2  1 y como y  x, obtenemos x 2  x 2  1, o 2x 2  1. Al despejar x y observar que x > 0 tendremos (c) y x 1 22  22 2 . Entonces, P es el punto  222, 222 . Si hacemos x  222 y y  222 en la definición de las funciones trigonométricas en términos de una circunferencia unitaria, tendremos P(0, 1) q q x sen  22  4 2 cos  22  4 2 tan  222  1 4 222 csc  2   22 4 22 sec  2   22 4 22 cot  222   1. 4 222 U (c) El punto P en U que corresponde a t  2 tiene coordenadas (0, 1), como se ve en la figura 6(c). Así, hacemos x  0 y y  1 en la definición de las funciones trigonométricas en términos de una circunferencia unitaria, obteniendo 6.3 Funciones trigonométricas de números reales sen  1 2 cos  0 2 csc  1  1 2 1 cot 433  0   0. 2 1 Las funciones tangente y secante no están definidas, porque x  0 es un denominador en cada caso. L Un resumen de las funciones trigonométricas de ángulos especiales aparece en el apéndice IV. Usaremos la fórmula de circunferencia unitaria de las funciones trigonométricas para ayudar a obtener estas gráficas. Si t es un número real y P(x, y) es el punto en la circunferencia unitaria U que corresponde a t, entonces por la definición de las funciones trigonométricas en términos de una circunferencia unitaria, x  cos t y y  sen t. Figura 7 Entonces, como se ve en la figura 7, podemos denotar P(x, y) por Pcos t, sen t. y (0, 1) P(cos t, sen t) t (1, 0) ut A(1, 0) x U (0, 1) Si t > 0, el número real t puede interpretarse ya sea como la medida del ángulo u en radianes o como la longitud del arco AP. Si hacemos que t aumente de 0 a 2 radianes, el punto Pcos t, sen t se mueve alrededor de la circunferencia unitaria U una vez en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj. Al observar la variación de las coordenadas x y y de P, obtenemos la siguiente tabla. La notación 0 l 2 en la primera fila significa que t aumenta de 0 a 2, y la notación 1, 0 l 0, 1 denota la variación correspondiente de Pcos t, sen t cuando se mueve a lo largo de U de (1, 0) a (0, 1). Si t aumenta de 0 a 2, entonces sen t aumenta de 0 a 1, que denotamos por 0 l 1. Además, sen t toma todo valor entre 0 y 1. Si t aumenta de 2 a , entonces sen t disminuye de 1 a 0, que se denota por 1 l 0. Otras entradas en la tabla se pueden interpretar de manera semejante. t  0l 2  l 2 l 3 2 3 l 2 2 P(cos t, sen t) cos t sen t 1, 0 l 0, 1 1l0 0l1 0, 1 l 1, 0 0 l 1 1l0 1, 0 l 0, 1 0, 1 l 1, 0 1 l 0 0l1 0 l 1 1 l 0 Si t aumenta de 2 a 4, el punto P(cos t, sen t) en la figura 7 traza la circunferencia unitaria U otra vez y los patrones para sen t y cos t se repiten, es decir, sen t  2  sen t y cos t  2  cos t para toda t en el intervalo 0, 2. Lo mismo es cierto si t aumenta de 4 a 6, de 6 a 8, etcétera. En general, tenemos el siguiente teorema. 434 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Teorema en valores de función repetidos para sen y cos Si n es cualquier entero, entonces sen t  2 n  sen t y cos t  2 n  cos t. La variación repetitiva de las funciones seno y coseno es periódica en el sentido de la siguiente definición Definición de función periódica Una función f es periódica si existe un número real positivo k tal que f t  k  ft para toda t en el dominio de f. Este número real positivo k mínimo, si existe, es el periodo de f. x y ⴝ sen x 0 0  4  2 22 3 4 22 2 1 2  22 2 3 2 7 4 2  0.7 0  5 4  0.7  0.7 22 2 y  sen x  0.7 0 y y  cos x. Podemos considerar x como la medida de cualquier ángulo en radianes, pero, en cálculo, x suele ser considerada como número real. Éstos son puntos de vista equivalentes, porque el seno (o coseno) de un ángulo de x radianes es el mismo que el seno (o coseno) del número real x. La variable y denota el valor de la función que corresponde a x. La tabla que se ve al margen es una lista de coordenadas de varios puntos en la gráfica de y  sen x para 0 x 2. Se pueden determinar puntos adicionales usando resultados de ángulos especiales, por ejemplo sen 6  12 1  Por sentido común ya se tiene una idea del concepto del periodo de una función. Por ejemplo, si en un lunes se le pregunta “¿Qué día de la semana será dentro de 15 días?” su respuesta será “martes” porque entiende que los días de la semana se repiten cada 7 días y 15 es un día más de dos periodos completos de 7 días. Del examen que precede al teorema anterior, vemos que el periodo de las funciones seno y coseno es 2. Ahora podemos fácilmente obtener las gráficas de las funciones seno y coseno. Como deseamos trazar estas gráficas en un plano xy, sustituyamos la variable t por x y consideremos las ecuaciones y sen 3  232  0.8660. Para trazar la gráfica para 0 x 2, localizamos los puntos dados por la tabla y recuerde que sen x aumenta en 0, 2, disminuye en 2,  y , 32 y aumenta en 32, 2. Esto nos da el trazo de la figura 8. Como la función seno es periódica, el bosquejo que se muestra en la figura 8 se repite a la derecha y a la izquierda, en intervalos de longitud 2. Esto nos conduce al trazo de la figura 9. 6.3 Funciones trigonométricas de números reales Figura 8 Figura 9 y 1 1 435 y y  sen x, 0 x 2p y  sin x 1 2p p q x 2p p p 1 2p 3p 4p x x y ⴝ cos x 0 1 Podemos usar el mismo procedimiento para trazar la gráfica de y  cos x. La tabla al margen es una lista de coordenadas de varios puntos en la gráfica de 0 x 2. La localización de estos puntos lleva a la parte de la gráfica ilustrada en la figura 10. Si se repite este trazo a la derecha y a la izquierda, en intervalos de longitud 2, obtenemos el trazo de la figura 11.  0.7 Figura 10 22  4 2 y  2 3 4 0  22 2  5 4 1  22 2 3 2 7 4 2  0.7  0.7 1 y  cos x, 0 1 q 2p x 2p x p Figura 11 y 0 22 2 1 y  cos x 1  0.7 2p p 1 p 2p 3p 4p x La parte de la gráfica de la función seno o coseno correspondiente a 0 x 2 es un ciclo. A veces nos referimos a un ciclo como una onda senoidal o una onda cosenoidal. El conjunto de valores de las funciones seno y coseno está formado por todos los números reales del intervalo cerrado 1, 1. Como csc x  1sen x y sec x  1cos x, se deduce que el conjunto de valores de las funciones cosecante y secante está formado por todos los números reales que tienen valor absoluto mayor o igual a 1. Como veremos, el conjunto de valores de las funciones tangente y cotangente está formado por todos los números reales. 436 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Antes de estudiar gráficas de otras funciones trigonométricas, establezcamos fórmulas que contienen funciones de t para cualquier t. Como aparece un signo menos, las llamamos fórmulas para ángulos negativos. sen t  sen t csc t  csc t Fórmulas para ángulos negativos Figura 12 P(x, y) U tan t  tan t cot t  cot t D E M O S T R A C I O N E S Considere la circunferencia unitaria U de la figura 12. Cuando t aumenta de 0 a 2, el punto P(x, y) traza la circunferencia unitaria U una vez en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj y el punto Q(x, y), correspondiente a t, traza U una vez en el sentido de giro de las manecillas de un reloj. Al aplicar la definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo (con r  1), tenemos y t t cos t  cos t sec t  sec t A(1, 0) sen t  y  sen t cos t  x  cos t y y tan t     tan t. x x x Q(x, y) Las demostraciones de las tres fórmulas restantes son semejantes. L En la siguiente ilustración, se usan fórmulas para ángulos negativos para hallar un valor exacto para cada función trigonométrica. ILUSTRACIÓN Uso de fórmulas para ángulos negativos sen 45°  sen 45°   cos 30°  cos 30°    tan   3  tan 22 2 23   3 2   23 csc 30°  csc 30°  2 sec 60°  sec 60°  2   cot   4  cot   4  1 Verificaremos una identidad trigonométrica a continuación, usando fórmulas para ángulos negativos, 6.3 Funciones trigonométricas de números reales EJEMPLO 4 437 Usar fórmulas para ángulos negativos para verificar una identidad Verifique la siguiente identidad transformando el lado izquierdo en el lado derecho: sen x tan x  cos x  sec x SOLUCIÓN Podemos proceder como sigue: sen x tan x  cos x  sen xtan x  cos x  sen x  sen x  cos x cos x fórmulas para ángulos negativos identidad tangente sen2 x  cos x cos x multiplique sen2 x  cos2 x cos x 1  cos x  sec x sume términos  identidad de Pitágoras L identidad recíproca Podemos demostrar el siguiente teorema usando las fórmulas para negativos. (1) Las funciones coseno y secante son pares. (2) Las funciones seno, tangente, cotangente y cosecante son impares. Teorema sobre funciones trigonométricas par e impar D E M O S T R A C I O N E S Demostraremos el teorema para las funciones coseno y seno. Si f(x)  cos x, entonces fx  cos x  cos x  f x, lo cual significa que la función coseno es par Si f x  sen x, entonces f x  sen x  sen x  fx. Así, la función seno es impar. L Como la función seno es impar, su gráfica es simétrica con respecto al origen (vea figura 13). Como la función coseno es par, su gráfica es simétrica con respecto al eje y (vea la figura 14). Figura 14 coseno es par Figura 13 seno es impar y y y  sen x 1 p 1 (a, b) (a, b) p (a, b) 1 x p y  cos x 1 (a, b) p x 438 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS y ⴝ tan x x   3  2 3  1.7   4 1   6 Figura 15  23 3 0  6  4  3 Por el teorema precedente, la función tangente es impar y por tanto la gráfica de y  tan x es simétrica con respecto al origen. La tabla del margen contiene una lista de algunos puntos sobre la gráfica si 2 x 2. Los puntos correspondientes se localizan en la figura 15. y  0.6 0 23 3  0.6 q q x 1 2 3  1.7 Los valores de tan x cerca de x   2 requieren especial atención. Si consideramos que tan x  sen x/cos x, entonces cuando x aumenta hacia 2, el numerador sen x se aproxima a 1 y el denominador cos x se aproxima a 0. En consecuencia, tan x toma valores positivos grandes. A continuación veamos algunas aproximaciones de tan x para x cercana a 2  1.5708: tan 1.57000  1,255.8 tan 1.57030  2,014.8 tan 1.57060  5,093.5 tan 1.57070  10,381.3 tan 1.57079  158,057.9 Nótese la rapidez con que tan x aumenta cuando x se aproxima a 2. Decimos que tan x aumenta sin límite cuando x se aproxima a 2 por medio de valores menores que 2. Del mismo modo, si x se aproxima a 2 pasando por valores mayores que 2, entonces tan x disminuye sin límite. Podemos denotar esta variación usando la notación introducida para funciones racionales en la sección 4.5:  , tan x l  2  cuando x l  , tan x l  2 cuando x l Esta variación de tan x en el intervalo abierto 2, 2 se ilustra en la figura 16 de la página siguiente. Esta parte de la gráfica recibe el nombre de rama de la tangente. Las rectas x  2 y x  2 son asíntotas verticales para la gráfica. El mismo patrón se repite en los intervalos abiertos 32, 2, 2, 32, y 32, 52 y en intervalos semejantes de longitud  como se ve en la figura. Entonces, la función tangente es periódica con periodo . 6.3 Funciones trigonométricas de números reales 439 Figura 16 y  tan x y 1 2p p 1 p 2p 3p 4p x Podemos usar las gráficas de y  sen x, y  cos x, y y  tan x para ayudar a trazar las gráficas de las restantes tres funciones trigonométricas. Por ejemplo, como csc x  1sen x, podemos hallar la coordenada y de un punto en la gráfica de la función cosecante al tomar el recíproco de la correspondiente coordenada y en la gráfica del seno para todo valor de x, excepto x   n para cualquier entero n. (Si x   n, sen x  0 y por tanto 1sen x no está definido.) Como ayuda para trazar la gráfica de la función cosecante, es conveniente trazar la gráfica de la función seno (mostrada en rojo en la figura 17) y luego tomar recíprocos para obtener puntos en la gráfica de la cosecante. Figura 17 y  csc x, y  sen x y 1 2p p 1 p 2p 3p 4p x Nótese la forma en que la función cosecante aumenta o disminuye sin límite cuando x se aproxima a  n para cualquier entero n. La gráfica tiene asíntotas verticales x   n, como se indica en la figura. Hay una rama superior de la cosecante en el intervalo 0,  y una rama inferior en el intervalo , 2; juntas pueden formar un ciclo de la cosecante. 440 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Como sec x  1/cos x y cot x  1/tan x, podemos obtener las gráficas de las funciones secante y cotangente al tomar recíprocos de coordenadas y de puntos sobre las gráficas de las funciones coseno y tangente, como se ilustra en las figuras 18 y 19. Un resumen gráfico de las seis funciones trigonométricas y sus inversas (estudiadas en la sección 7.6) aparece en el apéndice III. Figura 18 y  sec x, y  cos x y 1 2p p p 1 2p 3p 4p x Figura 19 y  cot x, y  tan x y 1 2p p 1 p 2p 3p 4p x Hemos considerado muchas propiedades de las seis funciones trigonométricas de x, donde x es un número real o la medida de un ángulo en radianes. La tabla siguiente contiene un resumen de características importantes de estas funciones (n denota un entero arbitrario). 441 6.3 Funciones trigonométricas de números reales Resumen de características de las funciones trigonométricas y sus gráficas Característica y ⴝ sen x y ⴝ cos x y p p x 1 p  2 y ⴝ cot x y ⴝ sec x y y y 1 1 x x x 1 p x 2 x p 2 x0 x 1 p 3p p x 2 x x 2 2 xp Dominio ⺢ ⺢ x 苷 2 n p x 苷 n x 苷 2 n Asíntotas verticales ninguna ninguna x  2 n p x  n x  2 n Imagen 1, 1 1, 1 ⺢ ⺢ Intersecciones con eje x n p 2 n p 2 Intersecciones con eje y 0 1 0 Periodo 2 2 Par o impar impar Simetría origen  n y ⴝ csc x y 3p 2 1 1 Gráfica (un periodo) y ⴝ tan x y x  p x0 xp p x 苷 n p x  n , 1 傼 1,  , 1 傼 1,   n ninguna ninguna ninguna 1 ninguna   2 2 par impar impar par impar eje y origen origen eje y origen EJEMPLO 5 x 1 Investigar la variación de csc x Investigar la variación de csc x cuando Figura 20 x l , y  csc x, y  sen x y x l , x l  , 2 y x l  . 6 SOLUCIÓN Por consulta de la gráfica de y  csc x en la figura 20 y usando nuestro conocimiento de los valores especiales de las funciones seno y cosecante, obtenemos lo siguiente: 1 1 p 2p x cuando x l , sen x l 0 por valores positivos y cuando x l , sen x l 0 por valores negativos y  cuando x l , sen x l 1 y 2 1  cuando x l , sen x l y 6 2 csc x l  csc x l  csc x l 1 csc x l 2 L 442 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJEMPLO 6 Resolver ecuaciones y desigualdades que contengan una función trigonométrica Encuentre todos los valores de x del intervalo 2, 2 tales que 1 1 1 (a) cos x  2 (b) cos x 2 (c) cos x 2 SOLUCIÓN Este problema se puede resolver fácilmente por consulta de las gráficas y  cos x y y  21, trazadas en el mismo plano xy de la figura 21 para 2 x 2. Figura 21 (u, q) (p, q) yq 2p p ( u, q) ( p, q) y 1 1 p y  cos x 2p x (a) Los valores de x tales que cos x  21 son las coordenadas x de los puntos en los que las gráficas se cruzan. Recuerde que x  3 satisface la ecuación. Por simetría, x  3 es otra solución de cos x  12. Como la función coseno tiene periodo 2, los otros valores de x en 2, 2 tales que cos x  21 son   5  2  3 3  5  2   . 3 3 y 1 (b) Los valores de x tales que cos x 2 se pueden hallar al determinar en dónde la gráfica de y  cos x de la figura 21 se encuentra arriba de la recta y  21. Esto nos da los intervalos x  2,    5 , 3       , , y 3 3 5 , 2 . 3 1 (c) Para resolver cos x 2, de nuevo consultamos la figura 21 y vemos en dónde la gráfica de y  cos x se encuentra abajo de la recta y  12. Esto nos da los intervalos x   5  , 3 3    y  5 , . 3 3 Otro método para resolver cos x 12 es observar que las soluciones son los subintervalos abiertos de 2, 2 que no están incluidos en los intervalos obtenidos en la parte (b). L 6.3 Funciones trigonométricas de números reales 443 El resultado que se examina en el ejemplo siguiente, desempeña un importante papel en matemáticas avanzadas. EJEMPLO 7 Trazar la gráfica de f x ⴝ sen xx Si f x  sen xx, trace la gráfica de f en ,  e investigue el comportamiento de f(x) cuando x l 0 y cuando x l 0. Nótese que f no está definida en x  0, porque la sustitución da la expresión sin sentido 0/0. Asignamos sen xx a Y1. Como nuestra pantalla tiene una proporción 3:2 (horizontal:vertical), usamos la pantalla ,  por [2.1, 2.1],  desde 2 3   2.1 , un trazo semejante al de la figura 22. Usando funciones de rastreo y zoom, encontramos que SOLUCIÓN Figura 22 ,  por 2.1, 2.1 cuando x l 0, f x l 1 y cuando x l 0, f x l 1. Hay un hueco en la gráfica en el punto (0, 1); no obstante, casi ninguna calculadora tiene capacidad para mostrar este hecho. Nuestra técnica gráfica no demuestra que f x l 1 cuando x l 0, pero la hace parecer altamente probable. Una prueba rigurosa, basada en la definición de sen x y consideraciones geométricas, se puede hallar en textos de cálculo. L Un resultado interesante obtenido del ejemplo 7 es que si x está en radianes y si x  0, entonces sen x  1, x y sen x  x. El último enunciado nos da una fórmula de aproximación para sen x si x es cercana a 0. Para ilustrar, usando calculadora encontramos que sen (0.03  0.029 995 5  0.03 sen (0.02  0.019 998 7  0.02 sen 0.01  0.009 999 8  0.01. Hemos estudiado dos planteamientos diferentes para funciones trigonométricas. El desarrollo en términos de ángulos y razones, introducido en la sección 6.2, tiene muchas aplicaciones en ciencias e ingeniería. La definición en términos de una circunferencia unitaria, considerado en esta sección, destaca el hecho de que las funciones trigonométricas tienen dominios formados de números reales. Estas funciones son los elementos de construcción del cálculo. Además, el método de la circunferencia unitaria es útil para estudiar gráficas y deducir identidades trigonométricas. El lector debe trabajar para adquirir experiencia en el uso de ambas formulaciones de las funciones trigonométricas, puesto que cada una reforzará a la otra y facilita el dominio de aspectos más avanzados de trigonometría. 444 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.3 Ejercicios Ejer. 1-4: Un punto P(x, y) se muestra en la circunferencia unitaria U correspondiente a un número real t. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas en t. 1 y 4 y t O ( P ) 15 8  17 , 17 t O ( 12 5 P  13 ,  13 x U 8 17 , x U 12 ) 5 12 13  13 ,  135 , 5 , 12 ,  13 5 ,  12 Ejer. 5-8: Sea P(t) el punto en la circunferencia unitaria U que corresponde a t. Si P(t) tiene las coordenadas rectangulares dadas, encuentre (a) P(t ⴙ p) (b) P(t ⴚ p) (c) P(ⴚt) (d) P(ⴚt ⴚ p) 15 8 15 17  17 ,  15 ,  8 ,  15 , 17 8 2 y 5 (  35 , 54    53 ,  54 ;   53 ,  54 ;  35 ,  54 ;   53 , 54  ) P R, E 6   178 , 15 17   178 , 15  17 ;  178 ,  1715 ;   178 ,  1715 ;  178 , 1517  12 7   13 ,  135  24  1213 , 135 ;  1213 , 135  8  257 ,  25    257 , 2524 ;   1312 , 135 ;  1213 ,  135    257 , 2524 ;  257 , 2524 ;   257 ,  2524  t O x Ejer. 9-16: Sea P el punto en la circunferencia unitaria U que corresponde a t. Encuentre las coordenadas de P y los valores exactos de las funciones trigonométricas de t, siempre que sea posible. U 3 4 3 4 5 5 5, 5, 4, 3, 4, 3 9 (a) 2 3 (b) 3 1, 0; 0, 1, 0, U, 1, U 1, 0; 0, 1, 0, U, 1, U y 10 (a)  (b) 6 1, 0; 0, 1, 0, U, 1, U 1, 0; 0, 1, 0, U, 1, U 11 (a) 32 (b) 72 0, 1; 1, 0, U, 0, U, 1 12 (a) 52 (b) 2 0, 1; 1, 0, U, 0, U, 1 13 (a) 94 (b) 54 14 (a) 34 (b) 74 0, 1; 1, 0, U, 0, U, 1 O ( 24 7 P 25 ,  25 U 24 t 25 25  257 , 25 ,  247 ,  24 7 , 24 ,  7 x ) 0, 1; 1, 0, U, 0, U, 1 6.3 Funciones trigonométricas de números reales 15 (a) 54 (b) 4 (b) Cuando x l 2, sen x l 1 28 (a) Cuando x l , sen x l 16 (a) 74 0 1 2 (b) Cuando x l 6, sen x l (b) 34 22 29 (a) Cuando x l 4, cos x l Ejer. 17-20: Use una fórmula para ángulos negativos para hallar el valor exacto. 17 (a) sen 90 1 18 (a) sen 1 19 (a) cot 1   3  2   3  4 20 (a) cot 225 1   3 (b) cos  4  (c) tan 45 22 1 2 (b) cos 225  0 2 (b) sec 180 (c) csc 1 1    (b) sec  4 22 (b) Cuando x l , cos x l 30 (a) Cuando x l 0, cos x l 1 1 1 2 (b) Cuando x l 3, cos x l 31 (a) Cuando x l 4, tan x l (c) tan  22 2   3  2 1 (b) Cuando x l 2, tan x l 32 (a) Cuando x l 0, tan x l  0 (b) Cuando x l 2, tan x l  33 (a) Cuando x l 4, cot x l (c) csc 45  22 Ejer. 21-26: Verifique la identidad al transformar el lado izquierdo en el lado derecho. 21 sen x sec x  tan x (b) Cuando x l 0, cot x l 1  34 (a) Cuando x l 6, cot x l (b) Cuando x l , cot x l 23  35 (a) Cuando x l 2, sec x l  22 csc x cos x  cot x cot x  cos x 23 csc x 25 sec x  csc x 24 tan x 1  tan x sen x  cos x cos x 26 cot x cos x  sen x  csc x Ejer. 27-38: Complete el enunciado al consultar una gráfica de una función trigonométrica. 27 (a) Cuando x l 0, sen x l 0 (b) Cuando x l 4, sec x l 22 36 (a) Cuando x l 2, sec x l  (b) Cuando x l 0, sec x l 37 (a) Cuando x l 0, csc x l 1  (b) Cuando x l 2, csc x l 38 (a) Cuando x l , csc x l (b) Cuando x l 4, csc x l 1  22 445 446 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ejer. 39-46: Consulte la gráfica de y ⴝ sen x o y ⴝ cos x para hallar los valores exactos de x en el intervalo [0, 4p] que satisfagan la ecuación. 39 sen x  1 3 7 , 2 2 63 secante 64 cosecante 65 tangente 66 cotangente 40 sen x  1  5 , 2 2 41 sen x  12 42 sen x   222  5 13 17 , , , 6 6 6 6 43 cos x  1 0, 2, 4 5 7 13 15 , , , 4 4 4 4 44 cos x  1 , 3 45 cos x  222 46 cos x   21  7 9 15 , , , 4 4 4 4 Ejer. 63-66: Encuentre los intervalos entre 2p y 2p en los que la función dada es (a) creciente o (b) decreciente. 2 4 8 10 , , , 3 3 3 3 67 Practique el trazado de gráficas de la función seno, tomando diferentes unidades de longitud en los ejes horizontal y vertical. Practique trazar gráficas de las funciones coseno y tangente en la misma forma. Continúe esta práctica hasta que alcance una etapa en la que, si se despertara de un profundo sueño a medianoche y le pidieran trazar una de estas gráficas, pueda hacerla en menos de treinta segundos. Ejer. 47-50: Consulte la gráfica de y ⴝ tan x para hallar los valores exactos de x en el intervalo (ⴚp2, 3p2) que satisfagan la ecuación. 68 Trabaje el ejercicio 67 para las funciones cosecante, secante y cotangente. 47 tan x  1 48 tan x  23 Ejer. 69-72: Use la figura para calcular lo siguiente a un lugar decimal. 49 tan x  0 0,  50 tan x  1 23  5 , 4 4  4 , 3 3  y  5 , 6 6 2 Ejer. 51-54: Consulte la gráfica de la ecuación en el intervalo especificado. Encuentre todos los valores de x tales que para el número real a, (a) y ⴝ a, (b) y > a, y (c) y < a. 51 y  sen x; 2, 2; a  52 y  cos x; 0, 4; 1 2 a  232 53 y  cos x; 2, 2; a   21 1 0.8 0.4 3 0.8 0.4 0.4 6 0.4 54 y  sen x; 0, 4; x 0.8 a   222 4 Ejer. 55-62: Use la gráfica de una función trigonométrica para trazar la gráfica de la ecuación sin localizar puntos. 55 y  2  sen x 56 y  3  cos x 57 y  cos x  2 58 y  sen x  1 59 y  1  tan x 60 y  cot x  1 61 y  sec x  2 62 y  1  csc x 0.8 5 69 (a) sen 4 0.8 (b) sen 1.2 0.9 (c) Todos los números t entre 0 y 2 tales que sen t  0.5 0.5, 2.6 70 (a) sen 2 0.9 (b) sen 2.3 0.8 (c) Todos los números t entre 0 y 2 tales que sen t  0.2 6.3 Funciones trigonométricas de números reales 71 (a) cos 4 0.7 (b) cos 1.2 0.4 447 (b) Determine si un aumento constante en el ángulo  produce o no un aumento constante en la altura de la mano. No (c) Todos los números t entre 0 y 2 tales que cos t  0.6 72 (a) cos 2 0.5 (b) cos 2.3 0.7 (c) Todos los números t entre 0 y 2 tales que cos t  0.2 (c) Encuentre la distancia total que se mueve la mano. 76.5 cm Ejercicio 74 1.4, 4.9 73 Relación entre temperatura y humedad El 17 de marzo de 1981, en Tucson, Arizona, la temperatura en grados Fahrenheit pudo calcularse con la ecuación   u  t  60, Tt  12 cos 12 donde el porcentaje de humedad relativa podría expresarse con Ht  20 cos    t  60, 12 donde t es en horas y t  0 corresponde a las 6:00 a.m. (a) Construya una tabla que contenga la temperatura y humedad relativa cada tres horas, empezando a medianoche. 153 50 cm Ejer. 75-76: Grafique la ecuación y estime los valores de x en el intervalo especificado que corresponda al valor dado de y. 75 y  sen x 2, , ; 0.72, 1.62, 2.61, 2.98 76 y  tan  2x , 0, 25; (b) Determine las horas cuando el máximo y el mínimo ocurrieron para T y H. (c) Analice la relación entre la temperatura y la humedad relativa en este día. cm y  0.5 y  5 1.89, 20.39 Ejer. 77-78: Grafique f en el intervalo [ⴚ2p, 2p] y estime las coordenadas de los puntos alto y bajo. 77 f x  x sen x 2.03, 1.82; 4.91, 4.81 78 f x  sen2 x cos x 0.96, 0.38 y 5.33, 0.38; 2.19, 0.38 y 4.10, 0.38 Ejer. 79-84: Cuando x l 0ⴙ, f(x) l L para algún número real L. Use una gráfica para predecir L. 74 Movimiento de brazo robótico Las funciones trigonométricas se usan extensamente en el diseño de robots industriales. Suponga que la articulación del hombro de un robot está motorizada de modo que el ángulo  aumenta a una razón constante de 12 radianes por segundo a partir de un ángulo inicial de   0. Suponga que la articulación del codo se mantiene siempre recta y que el brazo tiene una longitud constante de 153 centímetros, como se ve en la figura. (a) Suponga que h  50 cm cuando   0. Construya una tabla que indique el ángulo  y la altura h de la mano robótica cada segundo cuando 0  2. 79 f x  1  cos x 0 x 81 f x  x cot x 1 83 f x  tan x 1 x 80 f x  6x  6 sen x 1 x3 82 f x  x  tan x 2 sen x 84 f x  cos  x  2   1 x 1 448 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.4 Valores de las funciones trigonométricas Definición de ángulo de referencia En secciones previas calculamos valores especiales de las funciones trigonométricas usando la definición de las funciones trigonométricas en términos de un ángulo o una circunferencia unitaria. En la práctica usamos con frecuencia una calculadora para calcular valores de funciones. A continuación demostraremos la forma en que el valor de cualquier función trigonométrica a un ángulo de  grados o a cualquier número real t, se puede hallar a partir de su valor en el intervalo  (0°, 90°) o el intervalo t 0, 2, respectivamente. Esta técnica a veces es necesaria cuando se usa calculadora para hallar todos los ángulos de números reales que correspondan a un valor dado de función. Haremos uso del siguiente concepto. Sea  un ángulo no cuadrantal en posición estándar. El ángulo de referencia para  es el ángulo agudo R que el lado terminal de  forma con el eje x. La figura 1 ilustra el ángulo de referencia R para un ángulo no cuadrantal , con 0°  360° o 0  2, en cada uno de los cuatro cuadrantes. Figura 1 Ángulos de referencia (a) Primer cuadrante (b) Segundo cuadrante (c) Tercer cuadrante y y u uR uR y y u u u x x uR  u (d) Cuarto cuadrante u R  180  u pu uR x u R  u  180 up uR x u R  360  u  2p  u Las fórmulas que aparecen debajo de los ejes de la figura 1 se pueden usar para hallar la medida de R en grados o radianes, respectivamente. Para un ángulo no cuadrantal mayor a 360° o menor de 0°, primero encuentre el ángulo coterminal  con 0°  360° o 0  2 y luego usamos las fórmulas de la figura 1. EJEMPLO 1 Hallar ángulos de referencia Encuentre el ángulo de referencia R para  y trace  y R en posición estándar en el mismo plano de coordenadas. 5 (a)   315° (b)   240° (c)   (d)   4 6 6.4 Valores de las funciones tr igonométr icas Figura 2 (a) 449 SOLUCIÓN y (a) El ángulo   315° está en el cuarto cuadrante y por tanto como en la figura 1(d), u  315 R  360°  315°  45°. u R  45 x Los ángulos  y R se trazan en la figura 2(a). (b) El ángulo entre 0° y 360° que es coterminal con   240° es (b) 240°  360°  120°, y que está en el segundo cuadrante. Usando la fórmula de la figura 1(b) nos da 120 u R  60 R  180°  120°  60°. x Los ángulos  y R se ven en la figura 2(b). u  240 (c) (c) Como el ángulo   56 está en el segundo cuadrante, tenemos y R    ul como se ve en la figura 2(c). x (d) Como  4 32, el ángulo   4 está en el tercer cuadrante. Usando la fórmula de la figura 1(c), obtenemos uR  k (d) 5   , 6 6 R  4   . y Los ángulos están trazados en la figura 2(d). uR  4  p L u4 A continuación mostraremos la forma en que se pueden usar ángulos de referencia para hallar valores de las funciones trigonométricas. Si  es un ángulo no cuadrantal con ángulo de referencia R, entonces tenemos 0° R 90° o 0 R 2. Sea P(x, y) un punto en el lado terminal de u y considere el punto Q(x, 0) en el eje x. La figura 3 ilustra una x Figura 3 y y P(x, y) r O y uR x Q(x, 0) y y P(x, y) r Q(x, 0) uR x x Q(x, 0) y O x y Q(x, 0) x uR r P(x, y) O x O x uR r P(x, y) y x 450 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS situación común para  en cada cuadrante. En cada caso, las longitudes de los lados del triángulo OQP son dO, Q  x , dQ, P  y , y dO, P  2x2  y2  r. Podemos aplicar la definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo y también usar el triángulo OQP para obtener las siguientes fórmulas: y y y    sen R r r r x x x cos      cos R r r r y y tan     tan R x x sen   Estas fórmulas llevan al siguiente teorema. Si  es un ángulo cuadrantal, la definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo deben usarse para hallar valores. Teorema sobre ángulos de referencia Si  es un ángulo no cuadrantal en posición estándar, entonces para hallar el valor de una función trigonométrica en , encuentre su valor para el ángulo de referencia R y ponga como prefijo el signo apropiado. El “signo apropiado” citado en el teorema se puede determinar a partir de la tabla de signos de las funciones trigonométricas dadas en la página 424. EJEMPLO 2 Usar ángulos de referencia Use ángulos de referencia para hallar los valores exactos de sen , cos  y tan  si 5 (a)   (b)   315° 6 SOLUCIÓN (a) El ángulo   56 y su ángulo de referencia R  6 están trazados en la figura 4. Como  está en el segundo cuadrante, sen  es positivo y cos  y tan  son negativos. En consecuencia, por el teorema sobre ángulos de referencia y resultados conocidos acerca de ángulos especiales, obtenemos los valores siguientes: Figura 4 y ul x uR  k 5  1   sen  6 6 2 0000 5  23 cos   cos  6 6 2 5  23 tan   tan  6 6 3 sen 0 6.4 Valores de las funciones tr igonométr icas 451 (b) El ángulo   315° y su ángulo de referencia R  45° están trazados en la figura 5. Como  está en el cuarto cuadrante, sen  0, cos  0 y tan  0. Así, por el teorema sobre ángulos de referencia, obtenemos figura 5 y sen 315°   sen 45°   u  315 u R  45 x cos 315°   cos 45°  22 2 22 2 tan 315°   tan 45°  1. L Si usamos calculadora para calcular valores de función, los ángulos de referencia suelen ser innecesarios (vea el ejercicio de análisis 2 al final del capítulo). Como ilustración, para hallar sen 210°, ponemos la calculadora en modo de grados y obtenemos sen 210°  0.5, que es el valor exacto. Usando el mismo procedimiento para 240°, obtenemos una representación decimal: sen 240°  0.8660 No debe usarse calculadora para hallar el valor exacto de sen 240°. En este caso, encontramos el ángulo de referencia 60° de 240° y usamos el teorema sobre ángulos de referencia, junto con resultados conocidos acerca de ángulos especiales, para obtener sen 240°  sen 60°   23 2 . Consideremos a continuación el problema de resolver una ecuación del siguiente tipo: Problema: Si  es un ángulo agudo y sen   0.6635, calcule . Casi todas las calculadoras tienen una tecla marcada SIN que se puede usar para ayudar a resolver la ecuación. Con algunas calculadoras, puede ser necesario usar otra tecla o una secuencia de tecleo como INV SIN (consulte el manual del usuario para su calculadora). Usaremos la siguiente notación cuando se busca , donde 0 k 1: 1 si sen   k, entonces   sen1 k Esta notación es semejante a la usada para la función inversa f 1 de una función f en la sección 5.1, donde vimos que bajo ciertas circunstancias, si f x  y, entonces x  f 1 y. Para el problema sen   0.6635, f es la función seno, x   y y  0.6635. La notación sen1 está basada en las funciones trigonométricas inversas que se estudian en la sección 7.6. En esta etapa de nuestro trabajo, consideraremos sen1 simplemente como una entrada hecha en una calculadora usando la tecla SIN . Por tanto, para el problema expresado, obtenemos 1   sen1 0.6635  41.57°  0.7255. Como se indica, cuando se busque un ángulo, por lo general redondeamos medidas en grados al 0.01° más cercano y la medida en radianes a cuatro lugares decimales. 452 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Del mismo modo, dados cos   k o tan   k, donde  es agudo, escribimos   cos1 k o   tan1 k Para indicar el uso de una tecla COS o TAN en una calculadora. Dados csc , sec , o cot , usamos una relación recíproca para hallar , como se indica en la siguiente ilustración. 1 ILUSTRACIÓN 1 Hallar soluciones de ecuaciones de ángulos agudos con calculadora Ecuación sen   0.5 cos   0.5 tan   0.5 csc   2 sec   2 cot   2 Solución de calculadora (grados y radianes)   sen1 0.5  30°  0.5236 1   cos 0.5  60°  1.0472   tan1 0.5  26.57°  0.4636   sen1  12   30°  0.5236 1 1   cos  2   60°  1.0472 1 1   tan  2   26.57°  0.4636 La misma técnica se puede emplear si  es cualquier ángulo o número real. Así, usando la tecla SIN , obtenemos, en modo de grados o radianes, 1   sen1 0.6635  41.57°  0.7255, que es el ángulo de referencia para . Si sen  es negativo, entonces una calculadora nos da el negativo del ángulo de referencia. Por ejemplo, sen1 0.6635  41.57°  0.7255. Del mismo modo, dados cos  o tan , encontramos  con una calculadora usando COS o TAN , respectivamente. El intervalo que contiene a  aparece en la tabla siguiente. Es importante observar que si cos  es negativo, entonces  no es negativo del ángulo de referencia, sino que está en el intervalo 2  , o 90°  180°. Las razones para usar estos intervalos se explican en la sección 7.6. Podemos usar relaciones recíprocas para resolver ecuaciones semejantes que contengan csc , sec  y cot . 1 1 Solución de calculadora Ecuación Valores de k sen   k 1 k 1   sen1 k cos   k 1 k 1   cos1 k tan   k cualquier k   tan1 k Intervalo que contiene a u si se usa calculadora    2   , 2 o 90°  90° 0  , o 0°  180°  2   , 2 o 90°  90° La siguiente ilustración contiene algunos ejemplos específicos para modos en grados y radianes. 6.4 Valores de las funciones tr igonométr icas ILUSTRACIÓN Hallar ángulos con calculadora Ecuación sen   0.5 cos   0.5 tan   0.5 Solución de calculadora (grados y radianes)   sen1 0.5  30°  0.5236 1   cos 0.5  120°  2.0944 1   tan 0.5  26.57°  0.4636 Cuando use calculadora para hallar , asegúrese de recordar las restricciones en . Si se desean otros valores, entonces los ángulos de referencia u otros métodos se pueden emplear, como se ilustra en los siguientes ejemplos. Figura 6 y uR 453 u  180  u R  155.2 EJEMPLO 3 Calcular un ángulo con calculadora Si tan   0.4623 y 0° x  360°, encuentre  al 0.1° más cercano. SOLUCIÓN Como se señala en el análisis anterior, si usamos calculadora (en modo de grados) para hallar  cuando tan  es negativa, entonces la medida en grados estará en el intervalo (90°, 0). En particular, obtenemos lo siguiente: Figura 7   tan1 0.4623  24.8° y u  360  u R  335.2 uR x Como deseamos hallar valores de  entre 0° y 360°, usamos el ángulo de referencia (aproximado) R  24.8°. Hay dos posibles valores de  tales que tan  es negativo, uno en el segundo cuadrante, el otro en el cuarto cuadrante. Si  está en el segundo cuadrante y 0°  360°, tenemos la situación que se ve en la figura 6 y   180°  R  180°  24.8°  155.2°. Si  está en el cuarto cuadrante y 0°  360°, entonces, como en la figura 7,   360°  R  360°  24.8  335.2°. Figura 8 uR  p  u  1.1765 y EJEMPLO 4 u  1.9651 Si cos   0.3842 y 0 cano. x L Calcular un ángulo con calculadora  2, encuentre  al 0.0001 de radián más cer- SOLUCIÓN Si usamos calculadora (en modo de radianes) para hallar  cuando cos  es negativo, entonces la medida en radianes estará en el intervalo 0, . En particular, obtenemos lo siguiente (mostrado en la figura 8):   cos1 0.3842  1.965 137 489 Como deseamos hallar valores de  entre 0 y 2, usamos el ángulo de referencia (aproximado) Figura 9 y u  p  uR  4.3180 uR x R      1.176 455 165. Hay dos posibles valores de  tales que cos  es negativo, el que encontramos en el segundo cuadrante y el otro en el tercer cuadrante. Si  está en el tercer cuadrante, entonces     R  4.318 047 819, como se ve en la figura 9. (continúa) 454 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Figura 10 La pantalla de la figura 10 proporciona apoyo numérico para las respuestas   1.9651   4.3180. y También podríamos resolver gráficamente este problema si hallamos los puntos de intersección de Y1  cos (X) y Y2  0.3842 en el intervalo 0, 2. No obstante, el propósito de esta solución era ilustrar el uso de ángulos de referencia. L 6.4 Ejercicios Ejer. 1-6: Encuentre el ángulo de referencia uR si u tiene la medida dada. 1 (a) 240 60 (b) 340 (c) 202 20 22 (d) 660 60 2 (a) 165 (b) 275 (c) 110 (d) 400 3 (a) 34 (b) 43 (c) 6 (d) 94 4 (a) 74 (b) 23 (c) 34 (d) 236 15 85 70 40 5 (a) 3 (b) 2 (c) 5.5 (d) 100 6 (a) 6 (b) 4 (c) 4.5 (d) 80   3  8.1 2  6  16.2   2  65.4 2  5.5  44.9 32  100  30.4 4    49.2 4.5    77.8 80  25  83.7 Ejer. 7-18: Encuentre el valor exacto. 7 (a) sen 23 23 2 1 2 9 (a) cos 150  23 2 10 (a) cos 54  22 2 11 (a) tan 56  22 2 8 (a) sen 210  (b) sen 54 23 3 (b) sen 315 22 2 (b) cos 60 1 2 (b) cos 116 23 2 (b) tan 3  23 12 (a) tan 330  23 3 23 13 (a) cot 120  3 (b) tan 225 1 (b) cot 150 23 14 (a) cot 34 1 (b) cot 23 23 15 (a) sec 23 2 (b) sec 6 2 16 (a) sec 135  22 17 (a) csc 240  18 (a) csc 34 2 23 22 3 23 (b) sec 210  2 23 (b) csc 330 2 (b) csc 23  2 23 Ejer. 19-24: Calcule a tres lugares decimales. 19 (a) sen 7320 0.958 (b) cos 0.68 0.778 20 (a) cos 3830 0.783 (b) sen 1.48 0.996 21 (a) tan 2110 0.387 (b) cot 1.13 0.472 22 (a) cot 910 6.197 (b) tan 0.75 0.932 23 (a) sec 6750 2.650 (b) csc 0.32 3.179 24 (a) csc 4340 1.448 (b) sec 0.26 1.035 Ejer. 25-32: Calcule el ángulo agudo u al más cercano (a) 0.01ⴗ y (b) 1ⴕ. 25 cos   0.8620 26 sen   0.6612 27 tan   3.7 28 cos   0.8 29 sen   0.4217 30 tan   4.91 31 sec   4.246 32 csc   11 30.46; 3027 74.88; 7453 24.94; 2457 76.38; 7623 41.39; 4123 36.87; 3652 78.49; 7829 5.22; 513 6.4 Valores de las funciones tr igonométr icas Ejer. 33-34: Calcule a cuatro lugares decimales. 33 (a) sen 9810 (b) cos 623.7 0.9899 (c) tan 3 0.1097 (d) cot 23140 0.7907 (e) sec 1175.1 0.1425 (f ) csc 0.82 1.3677 11.2493 34 (a) sen 496.4 0.6896 (b) cos 0.65 (c) tan 10540 (e) sec 1.46 (f ) csc 32050 0.7961 (d) cot 1030.2 0.8451 3.5656 9.0441 1.5833 Ejer. 35-36: Calcule, al 0.1ⴗ más cercano, todos los ángulos u del intervalo [0ⴗ, 360ⴗ) que satisfagan la ecuación. 35 (a) sen   0.5640 214.3, 325.7 (b) cos   0.7490 41.5, 318.5 (c) tan   2.798 (d) cot   0.9601 (e) sec   1.116 (f ) csc   1.485 70.3, 250.3 153.6, 206.4 36 (a) sen   0.8225 55.3, 124.7 133.8, 313.8 42.3, 137.7 (b) cos   0.6604 131.3, 228.7 (c) tan   1.5214 (d) cot   1.3752 (e) sec   1.4291 (f ) csc   2.3179 123.3, 303.3 45.6, 314.4 36.0, 216.0 205.6, 334.4 Ejer. 37-38: Calcule, al 0.01 radián más cercano, todos los ángulos u del intervalo [0, 2p] que satisfagan la ecuación. 37 (a) sen   0.4195 0.43, 2.71 (b) cos   0.1207 1.69, 4.59 (c) tan   3.2504 (d) cot   2.6815 (e) sec   1.7452 (f ) csc   4.8521 1.87, 5.01 0.96, 5.32 0.36, 3.50 (b) cos   0.9235 (c) tan   0.42 (d) cot   2.731 (e) sec   3.51 (f ) csc   1.258 3.15, 6.27 0.40, 3.54 1.28, 4.42 una longitud de onda de 3055  108 centímetros, I0 / I se mide como 2.05, calcule el ángulo que formó el Sol con la vertical en el momento de la medición. 35.7 41 Radiación solar La cantidad de luz solar que ilumina una pared de un edificio puede afectar en gran medida la eficiencia de energía del edificio. La radiación solar que incide en una pared vertical que mira hacia el Este está dada por la fórmula R  R0 cos  sen !, donde R0 es la máxima radiación solar posible,  es el ángulo que el Sol forma con la horizontal y ! es la dirección del Sol en el cielo, con !  90° cuando el Sol está en el Este y !  60° cuando el Sol está en el Sur. (a) ¿Cuándo incide sobre la pared la máxima radiación solar R0? When the sun is rising in the east (b) ¿Qué porcentaje de R0 incide sobre la pared cuando  es igual a 60° y el Sol está en el Sureste? 224  35% 42 Cálculos meteorológicos En latitudes medias a veces es posible estimar la distancia entre regiones consecutivas de baja presión. Si ! es la latitud (en grados), R es el radio de la Tierra (en kilómetros) y v es la velocidad horizontal del viento (en km/h), entonces la distancia d (en kilómetros) de una zona de baja presión a la siguiente se puede estimar usando la fórmula 3.35, 6.07 38 (a) sen   0.0135 0.39, 5.89 2.79, 5.93 0.92, 2.22 39 Grosor de la capa de ozono El grosor de la capa de ozono se puede calcular usando la fórmula ln I0  ln I  kx sec , donde I0 es la intensidad de una longitud de onda de luz particular proveniente del Sol antes de llegar a la atmósfera, I es la intensidad de la misma longitud de onda después de pasar por una capa de ozono de x centímetros de grueso, k es la constante de absorción de ozono para esa longitud de onda y  es el ángulo agudo que la luz solar forma con la vertical. Suponga que para una longitud de onda de 3055  108 centímetros con k  1.88, I0 / I se mide como 1.72 y   12°. Calcule el grosor de la capa de ozono al 0.01 de centímetro más cercano. 40 Cálculos de ozono Consulte el ejercicio 39. Si se estima que la capa de ozono es de 0.31 centímetros de grueso y, para 455 d  2  vR 0.52 cos !  1/3 . (a) A una latitud de 48, el radio de la Tierra es aproximadamente 6369 kilómetros. Calcule d si la velocidad del viento es de 45 km/h. 589 km (b) Si v y R son constantes, ¿cómo varía d cuando aumenta la latitud? d increases as ! increases 43 Brazo de robot Los puntos en los lados terminales de ángulos desempeñan un importante papel en el diseño de brazos de robot. Suponga que un robot tiene un brazo recto de 18 pulgadas de largo, que puede girar alrededor del origen en un plano de coordenadas. Si la mano del robot está situada en (18, 0) y luego gira todo un ángulo de 60°, ¿cuál es la nueva ubicación de la mano?  9, 9 23  44 Brazo de robot Suponga que el brazo de robot del ejercicio 43 puede cambiar su longitud además de girar alrededor del origen. Si la mano está inicialmente en (12, 12), ¿aproximadamente cuántos grados debe girar el brazo y cuánto debe cambiar su longitud para mover la mano a (16, 10)? 103 counterclockwise; 2356  2288  1.9 in. 456 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.5 En esta sección consideramos gráficas de las ecuaciones Gráficas trigonométricas y  a sen bx  c y y  a cos bx  c para números reales a, b y c. Nuestra meta es trazar esas gráficas sin localizar muchos puntos. Para hacer esto usaremos datos acerca de las gráficas de las funciones seno y coseno estudiadas en la sección 6.3. Empecemos por considerar el caso especial c  0 y b  1, es decir, y  a sen x y y  a cos x. Podemos hallar las coordenadas y de puntos sobre las gráficas si multiplicamos por a las coordenadas y de puntos en las gráficas de y  sen x y y  cos x. Para ilustrar, si y  2 sen x, multiplicamos por 2 la coordenada y de cada punto sobre la gráfica de y  sen x. Esto nos da la figura 1, donde por comparación también vemos la gráfica de y  sen x. El procedimiento es el mismo que para estirar verticalmente la gráfica de una función, que vimos en la sección 3.5. Como otra ilustración, si y  21 sen x, multiplicamos por 12 las coordenadas y de puntos sobre la gráfica de y  sen x. Esta multiplicación comprime verticalmente la gráfica de y  sen x por un factor de 2, como se ilustra en la figura 2. Figura 2 Figura 1 y y 2 y  sen x y  2 sen x 2 1 1 p 1 p 2p 3p x p y  q sen x y  sen x 1 p 2p 3p x 2 El siguiente ejemplo muestra una gráfica de y  a sen x con a negativa. EJEMPLO 1 Trazar la gráfica de una ecuación que contiene sen x Trace la gráfica de la ecuación y  2 sen x. La gráfica de y  2 sen x trazada en la figura 3 se puede obtener al trazar primero la gráfica de y  sen x (que se muestra en la figura) y luego multiplicando por 2 las coordenadas y. Un método alternativo es reflejar la gráfica de y  2 sen x (vea la figura 1) a través del eje x. SOLUCIÓN 6.5 Gráficas trigonométricas 457 Figura 3 y 2 p y  2 sen x y  sen x 3p p 1 x 2 L Para cualquier a 苷 0, la gráfica de y  a sen x tiene la apariencia general de una de las gráficas ilustradas en las figuras 1, 2 y 3. La cantidad de estiramiento de la gráfica de y  sen x y si la gráfica se refleja o no, está determinada por el valor absoluto de a y el signo de a, respectivamente. La coordenada y más grande a es la amplitud de la gráfica o, lo que es equivalente, la amplitud de la función f dada por f (x)  a sen x. En las figuras 1 y 3 la amplitud es 2. En la figura 2 la amplitud es 12 . Observaciones y técnicas similares aplican si y  a cos x. EJEMPLO 2 Alargar la gráfica de una ecuación que contiene cos x Encuentre la amplitud y trace la gráfica de y  3 cos x. SOLUCIÓN Por el análisis previo, la amplitud es 3. Como se indica en la figura 4, primero trazamos la gráfica de y  cos x y luego multiplicamos por 3 las coordenadas y. Figura 4 y y  3 cos x 3 y  cos x p p 2p 3p x 3 L A continuación consideremos y  a sen bx y y  a cos bx para números reales a y b diferentes de cero. Al igual que antes, la amplitud es a . Si b 0, entonces exactamente un ciclo se presenta cuando bx aumenta de 0 a 2 o, lo que es equivalente, cuando x aumenta de 0 a 2b. Si b 0, entonces b 0 y se presenta un ciclo cuando x aumenta de 0 a 2b. Así, el periodo de la 458 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS función f dado por f (x)  a sen bx o f (x)  a cos bx es 2 b . Por comodidad, también nos referiremos a 2 b como el periodo de la gráfica de f. El siguiente teorema resume nuestra exposición. Teorema sobre amplitudes y periodos Si y  a sen bx o y  a cos bx para números reales a y b diferentes de cero, 2 entonces la gráfica tiene amplitud a y periodo . b También podemos relacionar el papel de b con la discusión de comprimir 1, la gráfica y estirar horizontalmente una gráfica de la sección 3.5. Si b de y  sen bx o y  cos bx puede ser comprimida horizontalmente por un facb 1, las gráficas se estiran horizontalmente en un factor de tor b. Si 0 1/b. Este concepto se ilustra en los siguientes dos ejemplos. EJEMPLO 3 Figura 5 Encuentre la amplitud y periodo y trace la gráfica de y  3 sen 2x. y 3 Hallar una amplitud y un periodo SOLUCIÓN Usando el teorema sobre amplitudes y periodos con a  3 y b  2, obtenemos lo siguiente: y  3 sen 2x amplitud: p p periodo: 2p x a  3 3 2 2 2    b 2 2 Entonces, hay exactamente una onda senoidal de amplitud 3 en el intervalo x de 0, . El trazo de esta onda y luego extender la gráfica a derecha e izquierda nos da la figura 5. L EJEMPLO 4 Hallar una amplitud y un periodo Encuentre la amplitud y el periodo y trace la gráfica de y  2 sen 12 x. Usando el teorema sobre amplitudes y periodos con a  2 y b  21 , obtenemos lo siguiente: SOLUCIÓN Figura 6 y 2 2 amplitud: y  2 sen qx 2p 4p x periodo: a  2 2 2 2 2  1  1  4 b 2 2 Entonces, hay una onda senoidal de amplitud 2 en el intervalo [0, 4p]. El trazo de esta onda, así como extenderla a izquierda y derecha nos da la gráfica de la figura 6. L Si y  a sen bx y si b es un número positivo grande, entonces el periodo 2/b es pequeño y las ondas senoidales están cercanas entre sí, con b ondas senoidales en el intervalo 0, 2. Por ejemplo, en la figura 5, b  2 y tene- 6.5 Gráficas trigonométricas 459 mos dos ondas senoidales en 0, 2. Si b es un número positivo pequeño, entonces el periodo 2b es grande y las ondas están separadas. Para ilustrar, si 1 y  sen 10 x, entonces habrá un décimo de una onda senoidal en 0, 2 y se requiere un intervalo de 20 unidades para un ciclo completo. (Vea también la figura 6: para y  2 sen 12 x, hay media onda senoidal en 0, 2,) Si b 0, podemos usar el hecho de que sen (x) sen x para obtener la gráfica de y  a sen bx. Para ilustrar, la gráfica de y  sen (2x) es igual que la gráfica de y  sen 2x. Figura 7 EJEMPLO 5 y p Encuentre la amplitud y el periodo y trace la gráfica de la ecuación y  2 sen (3x). y  2 sen 3x 2 i 3p x p Figura 8 y 4 Hallar una amplitud y un periodo Como la función seno es impar, sen (3x)  sen 3x y podemos escribir la ecuación como y  2 sen 3x. La amplitud es 2  2 y el periodo es 23. Entonces, hay un ciclo en el intervalo de longitud 23. El signo negativo indica una reflexión a través del eje x. Si consideramos el intervalo 0, 23 y trazamos una onda senoidal de amplitud 2 (reflejada a través del eje x), la forma de la gráfica es aparente. La parte de la gráfica del intervalo 0, 23 se repite periódicamente, como se ilustra en la figura 7. SOLUCIÓN L y  4 cos px EJEMPLO 6 Hallar una amplitud y un periodo Encuentre la amplitud y el periodo y trace la gráfica de y  4 cos x. 1 3 2 1 2 3 5 x 4 SOLUCIÓN La amplitud es 4  4, y el periodo es 2  2. Entonces, hay exactamente una onda cosenoidal de amplitud 4 en el intervalo [0, 2]. Como el periodo no contiene el número , tiene sentido usar divisiones enteras en el eje x. Trazar esta onda y extenderla a izquierda y derecha nos da la gráfica de la figura 8. L Como se vio en la sección 3.5, si f es una función y c es un número real positivo, entonces la gráfica de y  f (x)  c se puede obtener al desplazar la gráfica de y  f (x) una distancia c verticalmente hacia arriba. Para la gráfica de y  f(x)  c, desplazamos la gráfica de y  f (x) una distancia c verticalmente hacia abajo. En el siguiente ejemplo usamos esta técnica para una gráfica trigonométrica. 4 Figura 9 y 5 y  2 sen x  3 EJEMPLO 7 Trace la gráfica de y  2 sen x  3. 3p p p 2p y  2 sen x Desplazar verticalmente una gráfica trigonométrica x SOLUCIÓN Es importante observar que y  2 sen (x  3). La gráfica de y  2 sen x está trazada en rojo en la figura 9. Si desplazamos esta gráfica una distancia 3 verticalmente hacia arriba, obtenemos la gráfica de y  2 sen x  3. L 460 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A continuación consideremos la gráfica de y  a sen bx  c. Al igual que antes, la amplitud es a , y el periodo es 2 b . Sólo hay un ciclo si bx  c aumenta de 0 a 2. En consecuencia, podemos hallar un intervalo que contenga exactamente una onda senoidal al despejar x de la siguiente desigualdad: 0 bx  c 2 c bx 2  c reste c c b x 2 c  b b divida entre b  El número cb es el desplazamiento de fase asociado con la gráfica. La gráfica de y  a sen (bx  c) se puede obtener al desplazar la gráfica de y  a sen bx a la izquierda si el desplazamiento de fase es negativo o a la derecha si el desplazamiento de fase es positivo. Resultados análogos son verdaderos para y  a cos (bx  c). El siguiente teorema resume nuestra exposición. Si y  a sen bx  c o y  a cos bx  c para números reales a y b diferentes de cero, entonces Teorema sobre amplitudes, periodos y desplazamientos de fase 2 c , y el desplazamiento de fase es  ; b b (2) un intervalo que contenga exactamente un ciclo se puede hallar al resolver la desigualdad (1) la amplitud es a , el periodo es 0 A veces escribiremos y  a sen bx  c en la forma EJEMPLO 8    equivalente y  a sen b x  c b . bx  c 2. Hallar una amplitud, un periodo y un desplazamiento de fase Encuentre la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase y trace la gráfica de  y  3 sen 2x    . 2 La ecuación es de la forma y  a sen (bx  c) con a  3, b  2, y c  2. Entonces, la amplitud es a  3, y el periodo es 2 b  22  . SOLUCIÓN 6.5 Gráficas trigonométricas 461 Por la parte (2) del teorema sobre amplitudes, periodos y desplazamientos de fase, el desplazamiento de fase y un intervalo que contiene una onda senoidal se pueden hallar al resolver la siguiente desigualdad: Figura 10 0 y   y  3 sen 2x  q 3 f d p 2p p 2x   2 2   2 2x 3 2 reste   4 x 3 4 divida entre 2  2 x Entonces, el desplazamiento de fase es 4 y una onda senoidal de amplitud 3 ocurre en el intervalo 4, 34. Trazar esta onda y luego repetirla a derecha e izquierda nos da la gráfica de la figura 10. 3 L EJEMPLO 9 Hallar una amplitud, un periodo y un desplazamiento de fase Encuentre la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase y trace la gráfica de y  2 cos 3x  . SOLUCIÓN La ecuación tiene la forma y  a cos (bx  c) con a  2, b  3 y c  . Entonces, la amplitud es a  2 y el periodo es 2 b  23. Por la parte (2) del teorema sobre amplitudes, periodos y desplazamientos de fase, el desplazamiento de fase y el intervalo que contienen un ciclo se pueden hallar al resolver la siguiente desigualdad: Figura 11 y  2 cos (3x  p) u 2 p 3x   2  3x 3 sume   3 x  divida entre 3 En consecuencia, el desplazamiento de fase es 3 y un ciclo tipo coseno (de máximo a máximo) de amplitud 2 ocurre en el intervalo 3, . Trazar esa parte de la gráfica y luego repetirla a derecha e izquierda nos da el trazo de la figura 11. Si resolvemos la desigualdad y 2 0 x   2 3x   3 2 en lugar de 0 3x   2, x 5  6, que representa un ciclo entre punobtenemos el intervalo  6 tos de intersección con el eje x más que un ciclo entre máximos. L 462 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJEMPLO 10 Hallar una ecuación para una onda senoidal Exprese la ecuación para la onda senoidal mostrada en la figura 12 de la forma y  a sen bx  c para a 0, b 0 y el mínimo número real positivo c. Figura 12 y 1 x 1 SOLUCIÓN Las máximas y mínimas coordenadas y de puntos sobre la gráfica son 5 y 5, respectivamente. Por tanto, la amplitud es a  5. Como existe una onda senoidal en el intervalo [1, 3], el periodo tiene valor 3 (1)  4. En consecuencia, por el teorema sobre amplitudes, periodos y desplazamientos de fase (con b 0), 2 4 b o bien, lo que es equivalente, b  . 2 El desplazamiento de fase es cb  c2. Como c debe ser positivo, el desplazamiento de fase debe ser negativo; esto es, la gráfica de la figura 12 debe obtenerse al desplazar la gráfica de y  5 sen 2x a la izquierda. Como deseamos que c sea tan pequeño como sea posible, escogemos el desplazamiento de fase 1. Por lo tanto,  c  1 2 o bien, lo que es equivalente, Entonces, la ecuación deseada es y  5 sen     x . 2 2 c  . 2 6.5 Gráficas trigonométricas 463 Hay muchas otras ecuaciones para la gráfica. Por ejemplo, podríamos usar los desplazamientos de fase 5,9,13, etcétera, pero no nos darían el mínimo valor positivo para c. Otras dos ecuaciones para la gráfica son y  5 sen   3 x 2 2  y y  5 sen    3 x . 2 2 Ninguna de estas ecuaciones satisface los criterios dados para a, b y c, porque en el primero, c 0 y, en el segundo, a 0 y c no tienen su valor positivo mínimo. Como solución alternativa, podríamos escribir y  a sen bx  c    cuando y  a sen b x  c b . Al igual que antes, encontramos a  5 y b  2. Ahora, como la gráfica tiene un punto de intersección en el eje x en x  1, podemos considerar esta gráfica como un desplazamiento horizontal de la gráfica de y  5 sen 2x a la izquierda por 1 unidad, esto es, sustituimos x con x  1. Por tanto, una ecuación es y  5 sen    x  1 , 2 o bien y  5 sen  L   x . 2 2 Muchos de los fenómenos que ocurren en la naturaleza varían en forma cíclica o rítmica. A veces es posible representar ese comportamiento por medio de funciones trigonométricas, como se ilustra en los dos ejemplos siguientes. E J E M P L O 11 Analizar el proceso de respiración El proceso rítmico de respiración consiste en periodos alternos de inhalación y exhalación. Un ciclo completo normalmente tiene lugar cada 5 segundos. Si F(t) denota el ritmo de flujo de aire en el tiempo t (en litros por segundo) y si el máximo ritmo de flujo es 0.6 litro por segundo, encuentre una fórmula para la forma F(t)  a sen bt que se ajusta a esta información. SOLUCIÓN Si F(t)  a sen bt para alguna b 0, entonces el periodo de F es 2b. En esta aplicación el periodo es 5 segundos y por lo tanto 2  5, b o b 2 . 5 Como el máximo ritmo de flujo corresponde a la amplitud a de F, hacemos a  0.6. Esto nos da la fórmula Ft  0.6 sen   2 t . 5 L 464 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Calcular el número de horas de luz diurna en un día EJEMPLO 12 El número de horas de luz diurna D(t) en un tiempo particular del año se puede calcular con   K 2 sen t  79  12 2 365 Dt  para t en días y t  0 correspondiente al 1 de enero. La constante K determina la variación total en duración del día y depende de la latitud del lugar. (a) Para Boston, K  6. Trace la gráfica de D para 0 t 365. (b) ¿Cuándo es más larga la duración del día? ¿y la más corta? SOLUCIÓN (a) Si K  6, entonces K2  3 y podemos escribir D(t) en la forma Dt  ft  12,   2 t  79 . 365 Trazaremos la gráfica de f y luego aplicaremos un desplazamiento vertical una distancia 12. Al igual que en la parte (2) del teorema sobre amplitudes, periodos y desplazamientos de fase, podemos obtener un intervalo t que contenga exactamente un ciclo al resolver la desigualdad siguiente: ft  3 sen donde 0 Figura 13 0 y (número de horas) 15 79 y  D(t ) 9 6 y  f (t ) 3 t  79 365 multiplique por t 444 sume 79 365 2 t 79 170.25 261.5 352.75 444 f(t) 0 3 0 3 0 Si t  0, 365 79 170 262 2 En consecuencia, hay una onda senoidal en el intervalo [79, 444]. Dividiendo este intervalo en cuatro partes iguales, obtenemos la tabla siguiente de valores, que indica la onda senoidal conocida de amplitud 3. 12 3 2 t  79 365 353 444 t (días) f 0  3 sen   2 79  3 sen 1.36  2.9. 365 Como el periodo de f es 365 días, esto implica que f(365)  2.9. La gráfica de f para el intervalo [0, 444] aparece en la figura 13, con diferentes escalas en los ejes y t redondeada al día más cercano. 6.5 Gráficas trigonométricas 465 La aplicación de un desplazamiento vertical de 12 unidades nos da la gráfica de D para 0 t 365 que se ve en la figura 13. (b) El día más largo, es decir, el valor más grande de D(t), ocurre 170 días después del 1 de enero. Excepto para un año bisiesto, esto corresponde al 20 de junio. El día más corto ocurre 353 días después del 1 de enero, o sea el 20 de diciembre. L En el ejemplo siguiente usamos una calculadora graficadora para calcular la solución de una desigualdad que contiene expresiones trigonométricas. EJEMPLO 13 Calcular soluciones de una desigualdad trigonométrica Calcule la solución de la desigualdad sen 3x SOLUCIÓN x  sen x. La desigualdad dada es equivalente a sen 3x  x  sen x 0. Si asignamos sen 3x  x  sen x a Y1, entonces el problema dado es equivalente a hallar dónde la gráfica de Y1 está abajo del eje x. Usando la pantalla estándar nos da un trazo similar a la figura 14(a), donde vemos que la gráfica de Y1 tiene un punto de cruce c con el eje x entre 1 y 0. Parece que la gráfica está abajo del eje x en el intervalo c,  , pero este hecho no está perfectamente claro debido a la pequeña escala de los ejes. Figura 14 (a) 15, 15 por 10, 10 (b) 1.5, 1.5, 0.25 por 1, 1, 0.25 Usando la pantalla [1.5, 1.5, 0.25] por [1,1, 0.25], obtenemos la figura 14(b), donde vemos que los puntos de cruce con el eje x son aproximadamente 0.5, 0 y 0.5. Usando una función de raíz obtenemos un valor positivo más preciso de 0.51. Como la función involucrada es impar, el valor negativo es aproximadamente 0.51. En consecuencia, las soluciones de la desigualdad están en los intervalos (aproximados) 0.51, 0 傼 0.51, . L 466 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJEMPLO 14 Investigar la corriente alterna en un circuito eléctrico La corriente I (en amperes) en un circuito de corriente alterna en el tiempo t (en segundos) está dada por  I  30 sen 50 t   7 . 3 Calcule el valor más pequeño de t para el cual I  15. SOLUCIÓN Haciendo I  15 en la fórmula dada, obtenemos  15  30 sen 50 t  o bien, lo que es equivalente,  Figura 15 0, 0.04, 0.01 por 1.5, 0.5, 0.25 sen 50 t   7 3  7 1   0. 3 2 Si asignamos sen 50 x  73  21 a Y1, entonces el problema dado es equivalente a calcular el mínimo punto de cruce con el eje x de la gráfica. Como el periodo de Y1 es 2 2 1    0.04 b 50 25 y como  23 Y1 12, seleccionamos la pantalla dada, obteniendo un trazo se mejante a la figura 15. Usando una función de raíz nos da t  0.01 segundos. Volveremos a trabajar el ejemplo precedente, en la sección 7.2, y mostraremos cómo hallar el valor exacto de t sin ayuda de calculadora graficadora. 6.5 Ejercicios 1 Encuentre la amplitud y periodo y trace la gráfica de la ecuación: (a) y  4 sen x (b) y  sen 4x  1, 2 4, 2 (c) y  14 sen x 4, 2 (d) y  sen 41 x 1, 8 2 Para ecuaciones análogas a las de (a)–(h) del ejercicio 1 pero que contengan el coseno, encuentre la amplitud y el periodo y trace la gráfica. 4, 2; 1,   1  ; , 2; 1, 8; 2, 8; 21, ; 4, 2; 1, 2 4 2 2 3 Encuentre la amplitud y el periodo y trace la gráfica de la ecuación: 1 (a) y  3 cos x (b) y  cos 3x 3, 2 1, (c) y  13 cos x 3, 2 (d) y  cos 13 x 1, 6 (e) y  2 cos 31 x (f ) y  21 cos 3x 1 (e) y  2 sen 41 x 2, 8 (g) y  4 sen x 4, 2 (f ) y  21 sen 4x 1 2,  2 (h) y  sen 4x  1, 2 2 3 2, 6 (g) y  3 cos x 3, 2 1 2, 2 3 (h) y  cos 3x 1, 2 3 6.5 Gráficas trigonométricas 4 Para ecuaciones análogas a las de (a)–(h) del ejercicio 3 pero que contengan el seno, encuentre la amplitud y el periodo y trace la gráfica. 3, 2; 1,  3, 4, 2 2 2 1 2 ; , 2; 1, 6; 2, 6; 21, ; 3, 2; 1, 3 3 3 3 Ejer. 5-40: Encuentre la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase y trace la gráfica de la ecuación. 5 y  sen  1, 2, 2   x x  3, 2,  6 9 y  cos  2 6 y  sen   7 y  3 sen  6   x  1, 2,  2 11 y  4 cos  4, 2, 4  2   x  4  2  2 1, ,  3 3 19 y  sen 2 1, 4, 3  1, 2, 3   3 12 y  3 cos  3  3, 2,  6  6 2, , 2  , 3 3 1  x 2 3  21 y  6 sen x 6, 2, 0 18 y  3 cos 3x   20 y  sen   1  x 2 4  1, 4,  2 22 y  3 cos  32 y  4 sen   x 4 2   1 23, 8, 2 3, 2, 3 39 y  5 cos 2x  2  2 40 y  4 sen 3x    3 5, ,  4, 25 y  1 1 sen 2x 2, 1, 0 2 27 y  5 sen 5, 2  , 3 6  3x   2  26 y  1  cos x 2 2 28 y  4 cos 4, ,   6  1 2, y  x 2p p 4 0 y 42 3 4, 0 2x   3 2  , 3 3 4  x 3, 4, 0 2 24 y  4 sen 3x 4,  22, 4, 2  2 p 2 3,  1 x 3 3  2, 1,  21 4, 2, ; y  4 sen x    23 y  2 cos x 2, 4, 0 2  1  x 2 2 34 y  2 sen 2x     x 2 4 41  2, 4,   Ejer. 41-44: La gráfica de una ecuación se muestra en la figura. (a) Encuentre la amplitud, periodo y desplazamiento de fase. (b) Escriba la ecuación en la forma y ⴝ a sen (bx ⴙ c) para a > 0, b > 0 y el mínimo número real positivo c. 16 y  cos 2x    2 2  , 3 3 1  x 3 6 30 y  2 sen 37 y  2 sen 2x    3 38 y  3 cos x  3  2 14 y  sen 3x    1 3,  4, 6,  36 y  23 cos   x  5, 6,  2  35 y   22 sen   x 31 y  5 cos 1  x 2 4 3, 2, 4  1, , 2 17 y  2 sen 3x   2  2, , 3 3  2, 2, 3 x  33 y  3 cos x  4   8 y  2 sen 1, 15 y  cos 3x    2    4 x  1, 2,  4 10 y  cos 13 y  sen 2x    1 1, , 29 y  3 cos 467  p q x p 3 3, ,   ; y  3 sen 4  2x   2  468 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 43 47 Acción del corazón La acción de bombeo del corazón consiste en la fase sistólica, en la que la sangre sale del ventrículo izquierdo hacia la aorta y la fase diastólica, durante la cual el músculo cardiaco se relaja. La función cuya gráfica se muestra en la figura se usa a veces para modelar un ciclo completo de este proceso. Para un individuo en particular, la fase sistólica dura 14 de segundo y tiene un caudal máximo de 8 litros por minuto. Encuentre a y b. y 2 2 2 2 2, 4, 3; y  2 sin  x 4  3 x 2 2  Ejercicio 47 y (litros/min) y 44 y  a sen bt 3 2 2 1 1 Fase sistólica x Fase diastólica 0.25 48 Biorritmos La conocida teoría de biorritmo usa las gráficas de tres sencillas funciones senoidales para hacer pronósticos acerca del potencial físico, emocional e intelectual de una persona en un día particular. Las gráficas están dadas por y  a sen bt para t en días, con t  0 correspondiente al nacimiento y a  1 denotando el 100% de potencial. 3 1 3, 1,  4 ; y  3 sin  2 x   2  45 Electroencefalografía En la figura se muestra un electroencefalograma de ondas del cerebro humano durante el sueño profundo. Si usamos W  a sen (bt  c) para representar estas ondas, ¿cuál es el valor de b? 4 Ejercicio 45 (a) Encuentre el valor de b para el ciclo físico, que tiene un periodo de 23 días; para el ciclo emocional (periodo de 28 días); y para el ciclo intelectual (periodo de 33 días). 2 2 2 ; ; 23 28 33 (b) Evalúe los ciclos de biorritmo para una persona que acaba de cumplir 21 años y tiene exactamente 7670 días de edad. 0 1 2 (s) 46 Intensidad de luz diurna En cierto día de primavera con 12 horas de luz diurna, la intensidad I de luz toma su máximo valor de 510 calorías /cm2 al mediodía. Si t  0 corresponde al amanecer, encuentre una fórmula I  a sen bt que ajuste esta información. I  510 sin t (segundos)    t 12 49 Componentes de mareas La altura de la marea en un punto particular de la playa se puede predecir con el uso de siete funciones trigonométricas (llamadas componentes de mareas) de la forma f t  a cos bt  c. El principal componente lunar se puede calcular con f t  a cos    11 t , 6 12 donde t es en horas y t  0 corresponde a la medianoche. Trace la gráfica de f si a  0.5 m. 6.5 Gráficas trigonométricas 50 Componentes de mareas Consulte el ejercicio 49. El principal componente solar diurno se puede calcular con f t  a cos    7 t . 12 12 Trace la gráfica de f si a  0.2 m. 51 Horas de luz solar en Fairbanks Si se usa la fórmula para D(t) del ejemplo 12 para Fairbanks, Alaska, entonces K  12. Trace la gráfica de D en este caso para 0 t 365. 52 Temperatura baja en Fairbanks Con base en años de datos meteorológicos, la temperatura baja esperada T (en F) en Fairbanks, Alaska, se puede calcular con   2 T  36 sen t  101  14, 365 donde t es en días y t  0 corresponde al 1 de enero. (a) Trace la gráfica de T para 0 t January 11 Ejer. 53-54: Grafique la ecuación y ⴝ f(t) en el intervalo [0, 24]. Represente con y la temperatura exterior (en °F) en el tiempo t (en horas), donde t ⴝ 0 corresponde a las 9:00 a.m. Describa la temperatura durante el intervalo de 24 horas.  t 12   Ejer. 55-58: A veces los científicos usan la fórmula f (t) ⴝ a sen (bt ⴙ c) ⴙ d para simular variaciones de temperatura durante el día, con el tiempo t en horas, la temperatura f(t) en °C y t ⴝ 0 correspondiente a la medianoche. Suponga que f(t) es decreciente a medianoche. (a) Determine valores de a, b, c y d que ajusten la información. (b) Trace la gráfica de f para 0 t 24. 55 La temperatura alta es 10C y la temperatura baja de 10C se presenta a las 4:00 a.m. 5  ,c ,d0 12 6 56 La temperatura a la medianoche es 15C y las temperaturas alta y baja son 20C y 10C. a  5, b   , c  , d  15 12 a  10, b   3 , c   , d  20 12 4 58 La temperatura alta de 28C ocurre a las 2:00 p.m. y el promedio de temperatura de 20C ocurre 6 horas después. a  8, b  2  , c   , d  20 12 3 59 Precipitación en South Lake Tahoe El promedio mensual de precipitación P (en pulgadas) en el South Lake Tahoe, California, aparece en la tabla siguiente. Mes P Mes P Mes P Ene. 6.1 Mayo 1.2 Sept. 0.5 Feb. 5.4 Jun. 0.6 Oct. 2.8 Mar. 3.9 Jul. 0.3 Nov. 3.1 Abr. 2.2 Ago. 0.2 Dic. 5.4 (a) Sea t el tiempo en meses, con t  1 correspondiente a enero, t  2 a febrero, . . . , t  12 a diciembre, t  13 a enero y así sucesivamente. Trace los puntos de datos para un periodo de dos años. (b) Encuentre una función P(t)  a sen (bt  c)  d que calcule el promedio mensual de precipitación. Trace los datos y la función P en los mismos ejes de coordenadas. Pt  2.95 sin  54 y  80  22 cos t  3 12 a  10, b  57 La temperatura varía entre 10C y 30C y el promedio de temperatura de 20C ocurre primero a las 9:00 a.m. 365. (b) Pronostique cuándo ocurrirá el día más frío del año. 53 y  20  15 sen 469    t 6 3   3.15 60 Profundidad del río Támesis Cuando un río desagua en un océano, la profundidad del río varía cerca de su desembocadura como resultado de las mareas. La información acerca de este cambio en profundidad es de importancia crítica para la seguridad. La tabla siguiente proporciona la profundidad D (en pies) del río Támesis en Londres para un periodo de 24 horas. Hora D Hora D Hora D 12 a.m. 27.1 8 a.m. 20.0 4 p.m. 34.0 1 a.m. 30.1 9 a.m. 18.0 5 p.m. 32.4 2 a.m. 33.0 10 a.m. 18.3 6 p.m. 29.1 3 a.m. 34.3 11 a.m. 20.6 7 p.m. 25.2 4 a.m. 33.7 12 p.m. 24.2 8 p.m. 21.9 5 a.m. 31.1 1 p.m. 28.1 9 p.m. 19.6 6 a.m. 27.1 2 p.m. 31.7 10 p.m. 18.6 7 a.m. 23.2 3 p.m. 33.7 11 p.m. 19.6 470 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (a) Determine una función Dt  a sen bt  c  d que modele el número de horas de luz diurna, donde t es en meses y t  1 corresponde al 1 de enero. (a) Localice los datos, con el tiempo en el eje horizontal y la profundidad en el eje vertical. Sea t  0 correspondiente a las 12:00 a.m. Dt  2.85 sin (b) Determine la función Dt  a sen bt  c  d , donde D(t) representa la profundidad del agua en el puerto en el tiempo t. Grafique la función D con los datos. (Sugerencia: Para determinar b, encuentre el tiempo entre profundidades máximas.) Dt  8.15 sin     3.7  12.17 t 6 6 (b) Grafique la función D usando la pantalla [0.5, 24.5, 4] por [0, 20, 4].  2  t  26.15 13 26 (c) Si un barco requiere al menos 24 pies de agua para navegar con seguridad en el Támesis, gráficamente determine el (los) intervalo(s) cuando la navegación no sea segura. (c) Pronostique el número de horas de luz diurna el 1 de febrero y el 1 de septiembre. Compare sus respuestas con los verdaderos valores de 10.17 y 13.08 horas, respectivamente. 9.96, 13.19 61 Horas de luz diurna El número de horas de luz diurna D en un lugar particular varía con el mes y la latitud. La tabla siguiente contiene el número de horas de luz diurna en el primer día de cada mes a 60 de latitud norte. Ejer. 63-66: Grafique la ecuación en el intervalo [2, 2], y describa el comportamiento de y cuando x l 0ⴚ y cuando x l 0 ⴙ. 6:48 A.M. to 12:12 P.M., 7:48 P.M. to 1:12 A.M. 63 y  sen 1 x 64 y  x sen Mes D Mes D Mes D Ene. 6.03 May. 15.97 Sept. 14.18 Feb. 7.97 Jun. 18.28 Oct. 11.50 Mar. 10.43 Jul. 18.72 Nov. 8.73 65 y  Abr. 13.27 Ago. 16.88 Dic. 5.88 As x l 0 or as x l 0, y appears to approach 2. (a) Sea t el tiempo en meses, con t  1 correspondiente a enero, t  2 a febrero, . . . , t  12 a diciembre, t  13 a enero y así sucesivamente. Trace los puntos de datos para un periodo de dos años. As x l 0 or as x l 0, y oscillates between 1 and 1. Dt  6.42 sin    2 t  12.3 6 3 62 Horas de luz diurna Consulte el ejercicio 61. El número máximo de horas de luz diurna a los 40°N es 15.02 horas y ocurre el 21 de junio. El número mínimo de horas de luz diurna es de 9.32 horas y ocurre el 22 de diciembre. As x l 0 or as x l 0, y appears to approach 0. sen 2x x 66 y  1  cos 3x x As x l 0 or as x l 0, y appears to approach 0. Ejer. 67-68: Grafique la ecuación en el intervalo [20, 20] y estime la asíntota horizontal. 67 y  x 2 sen2 y4 (b) Encuentre una función Dt  a sen bt  c  d que calcule el número de horas de luz de día. Grafique la función D con los datos. 1 x  2 x 68 y  1  cos2 2x sen 1x y0 Ejer. 69-70: Use una gráfica para resolver la desigualdad en el intervalo [ⴚp, p]. 1 2x 69 cos 3x  sen x , 1.63 傼 0.45, 0.61 傼 1.49, 2.42 70 1 4  , tan  13 x 2   1 2 cos 2x  15 x 2  232 傼 0.87, 0.87 傼 232,  6.6 Gráficas trigonométricas adicionales 6.6 Gráficas trigonométricas adicionales 471 Los métodos que desarrollamos en la sección 6.5 para el seno y coseno se pueden aplicar a las otras cuatro funciones trigonométricas; hay varias diferencias, no obstante. Como las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante no tienen valores máximos, la noción de amplitud no tiene significado. Además, no hacemos referencia a ciclos. Para algunas gráficas de tangente y cotangente, empezamos por trazar la parte entre asíntotas sucesivas y luego repetimos ese patrón a derecha e izquierda. La gráfica de y  a tan x para a 0 se puede obtener al trazar o comprimir la gráfica de y  tan x. Si a 0, entonces también usamos una reflexión alrededor del eje x. Como la función tangente tiene periodo p, es suficiente trazar la rama entre las dos asíntotas verticales sucesivas x  2 y x  2. El mismo patrón se presenta a derecha e izquierda, como en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 1 Trazar la gráfica de una ecuación que contenga tan x Trace la gráfica de la ecuación (a) y  2 tan x (b) y  21 tan x Empezamos por trazar la gráfica de una rama de y  tan x, como se ve en rojo en las figuras 1 y 2, entre las asíntotas verticales x  2 y x  2 SOLUCIÓN (a) Para y  2 tan x, multiplicamos por 2 la coordenada y de cada punto y luego prolongamos la rama resultante a derecha e izquierda, como se ve en la figura 1. Figura 1 y  2 tan x y 1 2p p p 2p 3p 4p x (b) Para y  21 tan x, multiplicamos por 21 las coordenadas y obteniendo el trazo de la figura 2 en la página siguiente. 472 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1 Figura 2 y  2 tan x y 1 2p p 2p p 3p 4p x L El método empleado en el ejemplo 1 se puede aplicar a otras funciones. Así, para trazar la gráfica de y  3 sec x, podríamos primeramente trazar la gráfica de una rama de y  sec x y luego multiplicar por 3 la coordenada y de cada punto. La figura mostrada a continuación es la gráfica de una calculadora de gráficas común, de y  tan x. Parece que la calculadora tiene incluidas las asíntotas, pero las rectas verticales en realidad resultan del trabajo de la calculadora para conectar pixeles sucesivos. [p, p, p4] por [2.1, 2.1] El siguiente teorema es una analogía del teorema sobre amplitudes, periodos y desplazamientos de fase expresados en la sección 6.5 para las funciones seno y coseno. Teorema sobre la gráfica de y ⴝ a tan (bx ⴙ c) Si y  a tan (bx  c) para números reales a y b diferentes de cero, entonces  c (1) el periodo es y el desplazamiento de fase es  ; b b (2) asíntotas verticales sucesivas para la gráfica de una rama se pueden hallar al resolver la desigualdad   2 bx  c  . 2 6.6 Gráficas trigonométricas adicionales EJEMPLO 2 Trazar la gráfica de una ecuación de la forma y ⴝ a tan (bx ⴙ c)   1  tan x  . 2 4 S O L U C I Ó N La ecuación tiene la forma dada en el teorema precedente con a  12, b  1 y c  4. En consecuencia, por la parte (1), el periodo está dado por  b  1  . Al igual que en la parte (2), para hallar asíntotas verticales sucesivas resolvemos la siguiente desigualdad: Encuentre el periodo y trace la gráfica de y  Figura 3 y   1  tan x  2 4 y x  f xd   x 2 4 3  x 4  1 p p 473 x  2  4 reste  4 Como a  12, la gráfica de la ecuación en el intervalo 34, 4 tiene la forma de la gráfica de y  21 tan x (vea la figura 2). Trazar la rama y prolongarla a derecha e izquierda nos da la figura 3. Observe que como c  4 y b  1, el desplazamiento de fase es cb  4. Por tanto, la gráfica también se puede obtener al desplazar la gráfica de y  12 tan x en la figura 2 a la izquierda una distancia 4. L Si y  a cot (bx  c), tenemos una situación semejante a la expresada en el teorema previo. La única diferencia es la parte (2). Como asíntotas verticales sucesivas para la gráfica de y  cot x son x  0 y x  p (vea la figura 19 de la sección 6.3), obtenemos asíntotas verticales sucesivas para la gráfica de una rama de y  a cot (bx  c) al resolver la desigualdad 0 EJEMPLO 3 bx  c . Trazar la gráfica de una ecuación de la forma y ⴝ a cot (bx ⴙ c)    . 2 S O L U C I Ó N Usando la notación usual, vemos que a  1, b  2 y c  2. El periodo es  b  2. Por tanto, la gráfica se repite a sí misma en intervalos de longitud 2. Al igual que en la exposición que precede a este ejemplo, para hallar dos asíntotas verticales sucesivas para la gráfica de una rama resolvemos la desigualdad: Encuentre el periodo y trace la gráfica de y  cot 2x  0  2  4 2x  2x x  2  3  sume 2 2 3 divida entre 2 4 (continúa) 474 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Figura 4  Como a es positiva, trazamos una rama en forma de cotangente en el intervalo 4, 34 y luego la repetimos a derecha e izquierda en intervalos de longitud 2, como se ve en la figura 4.   y  cot 2x  2 L y Las gráficas que contienen funciones secante y cosecante se pueden obtener con métodos semejantes a aquellos para tangente y cotangente o tomando recíprocos de gráficas correspondientes de las funciones coseno y seno. Trazar la gráfica de una ecuación de la forma y  a sec (bx  c) EJEMPLO 4 1 Trace la gráfica de la ecuación:   (a) y  sec x  (b) y  2 sec x  4 4   x   SOLUCIÓN d (a) La gráfica de y  sec x está trazada (sin asíntotas) en rojo en la figura 5. La gráfica de y  cos x está trazada en negro; observe que las asíntotas de y  sec x corresponden a los ceros de y  cos x. Podemos obtener la gráfica  de y  sec x  al desplazar la gráfica de y  sec x a la derecha una 4 distancia 4, como se ve en azul en la figura 5. (b) Podemos trazar esta gráfica multiplicando por 2 las coordenadas y de la gráfica en la parte (a). Esto nos da la figura 6. f     Figura 5 y  sec x     4 Figura 6 y  2 sec x  y y xf x  d p xf x  d y  sec x 1 2p  4 1 y  cos x q p 2p x 2p p 1 p 2p x L 6.6 Gráficas trigonométricas adicionales Figura 7 EJEMPLO 5 y  csc 2x   y Trazar la gráfica de una ecuación de la forma y ⴝ a csc (bx ⴙ c) Trace la gráfica de y  csc (2x  p). SOLUCIÓN Como csc   1sen , podemos escribir la ecuación dada como y 1 1 1 . sen 2x   Entonces, podemos obtener la gráfica de y  csc (2x  p) al hallar la gráfica de y  sen (2x  p) y luego tomar el recíproco de la coordenada y de cada punto. Usando a  1, b  2 y c  p, vemos que la amplitud de y  sen (2x  p) es 1 y el periodo es 2 b  22  . Para hallar un intervalo que contenga un ciclo, resolvemos la desigualdad x q q 475 0 2x   2  2x   2 x   . 2 Esto lleva a la gráfica en rojo de la figura 7. Tomando recíprocos tenemos la gráfica de y  csc (2x  p) mostrada en azul en la figura. Observe que los ceros de la curva seno corresponden a las asíntotas de la gráfica de cosecante. Figura 8 (a) L El siguiente ejemplo contiene el valor absoluto de una función trigonométrica. y y  cos x p EJEMPLO 6 x 1 Trazar la gráfica de una ecuación que contiene un valor absoluto Trace la gráfica de y  cos x  1. (b) y y  cos x p 1 x S O L U C I Ó N Trazaremos la gráfica en tres etapas. Primero, trazamos la gráfica de y  cos x, como en la figura 8(a). A continuación, obtenemos la gráfica de y  cos x al reflejar las coordenadas y negativas en la figura 8(a) por el eje x. Esto nos da la figura 8(b). Por último, verticalmente desplazamos la gráfica en (b) 1 unidad hacia arriba para obtener la figura 8(c). Hemos empleado tres gráficas separadas para mayor claridad. En la práctica, podríamos trazar las gráficas sucesivamente en un plano de coordenadas. L (c) y  cos x  1 Las aplicaciones matemáticas con frecuencia contienen una función f que es una suma de dos o más de otras funciones. Para ilustrar, suponga y fx  gx  hx, 1 p x donde f, g y h tienen el mismo dominio D. Antes que hubiera calculadoras graficadoras, ocasionalmente se usaba una técnica conocida como adición de co- 476 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ordenadas y para trazar la gráfica de f. El método se ilustra en la figura 9, donde para cada x1, la coordenada y f(x1) de un punto en la gráfica de f es la suma gx1  hx1 de las coordenadas y de puntos en las gráficas de g y h. La gráfica de f se obtiene al sumar gráficamente un número suficiente de coordenadas y; un trabajo que mejor se deja a una calculadora graficadora. A veces es útil comparar la gráfica de una suma de funciones con las funciones individuales, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Figura 9 y (x1, g (x1 )  h(x1 )) y  g(x)  h(x) y  h(x) g(x1 ) h(x1 ) x1 y  g(x) EJEMPLO 7 x Trace la gráfica de y  cos x y  sen x y y  cos x  sen x en el mismo plano de coordenadas para 0 x 3p. Hacemos las siguientes asignaciones: SOLUCIÓN Figura 10 (a) 0, 3, 4 por ,  Trazar la gráfica de una suma de dos funciones trigonométricas Y1  cos x, Y2  sen x, y Y3  Y1  Y2 Como deseamos una proporción de pantalla 3:2 (horizontal:vertical), escogemos la pantalla 0, 3, 4 por ,  y obtenemos la figura 10(a). La claridad de la gráfica se puede mejorar al cambiar la pantalla a 0, 3, 4 por [1.5, 1.5], como en la figura 10(b). Observe que la gráfica de Y3 cruza la gráfica de Y1 cuando Y2  0, y la gráfica de Y2 cuando Y1  0. Los puntos de cruce con el eje x para Y3 corresponden a las soluciones de Y2  Y1. Por último, vemos que los valores máximo y mínimo de Y3 ocurren cuando Y1  Y2 (esto es, cuando x  4, 54, y 94. Estos valores y son 222  222  22  222    222    22. y (b) 0, 3, 4 por 1.5, 1.5 L La gráfica de una ecuación de la forma y  fx sen ax  b o y  f x cos ax  b, donde f es una función y a y b son números reales, se denomina onda senoidal amortiguada u onda cosenoidal amortiguada, respectivamente y f(x) recibe el nombre de factor de amortiguamiento. El siguiente ejemplo ilustra un método para graficar esas ecuaciones. EJEMPLO 8 Trazar la gráfica de una onda senoidal amortiguada Trace la gráfica de f si f(x)  2x sen x. SOLUCIÓN Primero examinamos el valor absoluto de f: x 2 f x  2x sen x  2x sen x 2x  1 f x 2x fx 2x valor absoluto de ambos lados ab  a b sen x 2 x x 1 2 x porque 2x a &fi a x 0 a 6.6 Gráficas trigonométricas adicionales La última desigualdad implica que la gráfica de f se encuentra entre las gráficas de las ecuaciones y  2x y y  2x. La gráfica de f coincidirá con una de estas gráficas si sen x  1, es decir, si x  (p/2)  pn para algún entero n. Como 2x 0, los puntos de cruce con el eje x sobre la gráfica de f se presentan en sen x  0, esto es, en x  pn. Como hay un número infinito de puntos de cruce con el eje x, éste es un ejemplo de una función que interseca su asíntota horizontal un número infinito de veces. Con esta información, obtenemos el trazo mostrado en la figura 11. Figura 11 y y  2x y  2x sin x p x p 477 L El factor de amortiguamiento del ejemplo 8 es 2x. Con el uso de diferentes factores de amortiguamiento podemos obtener otras variaciones comprimidas o expandidas de ondas senoidales. El análisis de esas gráficas es importante en física e ingeniería. y  2x 6.6 Ejercicios Ejer. 1-52: Encuentre el periodo y trace la gráfica de la ecuación. Muestre las asíntotas. 1 4 1 y  4 tan x  2 y 3 y  3 cot x  1 4 y  3 cot x  5 y  2 csc x 2 1 6 y  2 csc x 2 7 y  3 sec x 2 9 y  tan 8 y   x  4  13 y  tan 19 y  cot sec x 2 10 y  tan   x 15 y  2 tan  2 2x   2  16 y   2 1 tan 3  2  2x   4  27 y   2 3   x  4  22 y  cot 21 x 2 23 y  cot  2 2 20 y  cot  1 3x 3   2 21 y  cot 2x 14 y  tan 4x  1  x 3 3 x   1  x 2 3   25 y  2 cot  4   1 tan 4 18 y  3 tan 2 1 4x 4  2 tan x  1 12 y  tan 2 x 11 y  tan 2x  2 1 4 17 y   24 y  cot 3x  2x  1 cot 2   2  3   1 x 2 4 26 y   31 cot 3x     3 28 y  4 cot 3   1 x 3 6  478 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 29 y  sec    2 x 30 y  sec 2   x 1 2x 31 y  sec 2x  32 y  sec 33 y  sec 31 x 6 34 y  sec 3x 35 y  2 sec  2x     1 37 y   sec 3    x 36 y    1  x 2 4  1 x 3 3 38 y  3 sec 39 y  csc  2  2 1 sec 2 2 4  2x  59 y   cos x  1  2  4 61 y  x  cos x 62 y  x  sen x 63 y  2x cos x 64 y  e x sen x 65 y  x sen x 66 y  x cos x Ejer. 67-72: Grafique la función f en la pantalla [ⴚ2p, 2p, p2] por [ⴚ4, 4]. Use la gráfica de f para predecir la gráfica de g. Verifique su predicción al graficar g en la misma pantalla. 67 f x  tan 0.5x; 6   x 60 y   sen x  2 Ejer. 61-66: Trace la gráfica de la ecuación.  40 y  csc 2 3 4 3 2 4 gx  tan    0.5 x  68 f x  0.5 csc 0.5x; gx  0.5 csc 0.5x  2    41 y  csc 2x  42 y  csc 12 x 4 69 f x  0.5 sec 0.5x; gx  0.5 sec 43 y  csc 31 x 6 44 y  csc 3x 70 f x  tan x  1; gx  tan x  1 71 f x  3 cos 2x; gx  3 cos 2x  1 72 f x  1.2x cos x; gx  1.2x cos x 45 y  2 csc 47 y    2x  1 csc 4   2 1  x 2 2 4 49 y  tan    46 y   21 csc 2x    48 y  4 csc  1  x 2 4  4  x 2 2 50 y  cot x 1  52 y  sec x 16 8 51 y  csc 2x 1 53 Encuentre una ecuación usando la función cotangente que tenga la misma gráfica que y  tan x. y  cot   x  2 54 Encuentre una ecuación usando la función cosecante que tenga la misma gráfica que y  sec x. y  csc    x 2  2 0.5 x   2 1 Ejer. 73-74: Identifique el factor de amortiguamiento f(x) para la onda amortiguada. Trace gráficas de y ⴝ ⴞ f(x) y la ecuación en el mismo plano de coordenadas para ⴚ2p x 2p. 73 y  ex/4 sen 4x ex/4 74 y  3x/5 cos 2x 3x/5 Ejer. 75-76: Grafique la función f en [ⴚp, p] y estime los puntos altos y bajos. 75 f x  cos 2x  2 sen 4x  sen x 2.76, 3.09; 1.23, 3.68 76 f x  tan 41 x  2 sen 2x 2.40, 2.68; 2.40, 2.68 Ejer. 77-78: Use una gráfica para estimar el máximo intervalo [a, b], con a 0 y b 0, en el que f es biunívoca. 77 f x  sen 2x  2 cos 1.5x  1 0.70, 0.12 78 f x  1.5 cos 1.70, 0.70  12 x  0.3   sen 1.5x  0.5 Ejer. 55-60: Use la gráfica de una función trigonométrica para ayudar a trazar la gráfica de la ecuación sin localizar puntos. Ejer. 79-80: Use una gráfica para resolver la desigualdad en el intervalo [ⴚp, p]. 55 y  sen x 56 y  cos x 79 cos 2x  1  sen 3x 57 y  sen x  2 58 y  cos x  3 80 sen 31 x  cos x , 1.31 傼 0.11, 0.95 傼 2.39,  1 2 cos 2x  2 cos x  2 2.16, 0.15 傼 2.76,  2 cos 1.5x  1  sen x  1 6.7 Problemas aplicados 81 Intensidad de una señal de radio Las estaciones de radio a veces tienen más de una torre de transmisión, porque las normas federales no suelen permitir que una estación emita su señal en todas direcciones con igual potencia. Como las ondas de radio pueden cubrir grandes distancias, es importante controlar sus figuras direccionales para que las estaciones de radio no se interfieran unas con otras. Suponga que una estación de radio tiene dos torres de transmisión localizadas a lo largo de la línea norte-sur, como se ve en la figura. Si la estación está transmitiendo a una longitud l y la distancia entre las dos torres de radio es igual a 12 , entonces la intensidad I de la señal en la dirección u está dada por 479 Ejercicio 81 u I  12 I0 1  cos  sen , donde I0 es la intensidad máxima. Calcule I en términos de I0 para cada u. (a)   0 I0 (b)   3 0.044I0 (c)   7 0.603I0 82 Intensidad de una señal de radio Consulte el ejercicio 81. (a) Determine las direcciones en las que I tiene valores máximo o mínimo. (b) Grafique I en el intervalo 0, 2. Gráficamente calcule u a tres lugares decimales, cuando I es igual a 31 I0. (Sugerencia: Sea I0  1.) 83 Campo magnético de la Tierra La intensidad del campo magnético de la Tierra varía con la profundidad bajo la superficie. La intensidad a una profundidad z y tiempo t pueden calcularse eventualmente usando la onda senoidal amortiguada S  A0 ez sen kt  z, donde A0, a y k son constantes. (a) ¿Cuál es el factor de amortiguamiento? (b) Encuentre el desplazamiento de fase a una profundidad z0. (c) ¿A qué profundidad la amplitud de la onda es la mitad de la amplitud de la intensidad en la superficie? 6.7 Problemas aplicados La trigonometría fue desarrollada para ayudar a resolver problemas que contenían ángulos y longitudes de lados de triángulos. Problemas de ese tipo ya no son las aplicaciones más importantes, pero todavía surgen preguntas acerca de triángulos en situaciones físicas. Cuando consideremos dichas preguntas en esta sección, restringiremos nuestra exposición a triángulos rectángulos. Los triángulos que no contengan un ángulo recto se consideran en el capítulo 8. Con frecuencia usaremos la siguiente notación. Los vértices de un triángulo se denotarán con A, B y C; los ángulos en A, B y C se denotarán con a, b y g, respectivamente; y las longitudes de los lados opuestos a estos ángulos por a, b y c, respectivamente. El triángulo mismo se mencionará como triángulo ABC (o denotado 䉭ABC). Si un triángulo es rectángulo y si uno de los ángulos agudos y un lado se conocen o si se dan dos lados, entonces podemos hallar las partes restantes con las fórmulas de la sección 6.2 que expresa las funciones trigonométricas como razones entre lados de un triángulo. Podemos referirnos al proceso de hallar las partes restantes como resolver el triángulo. 480 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En todos los ejemplos se supone que el lector sabe cómo hallar valores de funciones trigonométricas y ángulos con calculadora o con resultados acerca de ángulos especiales. Figura 1 EJEMPLO 1 B c A b 34 10.5 a C Resolver un triángulo rectángulo Resuelva 䉭ABC, dadas g  90°, a  34° y b 10.5. S O L U C I Ó N Como la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°, tenemos que a  b  g  180°. Despejando el ángulo desconocido b tendremos   180°      180°  34°  90°  56°. Por consulta de la figura 1 obtenemos Ayuda para tareas La organización de tareas en una tabla facilita ver qué partes restan por hallar. A continuación veamos algunos valores de cómo debe verse la tabla para el ejemplo 1. Después de hallar : Ángulos Lados opuestos   34°   56°   90° a b  10.5 c Después de hallar a: Ángulos Lados opuestos   34°   56°   90° a  7.1 b  10.5 c Después de hallar c: Ángulos Lados opuestos   34°   56°   90° a 10.5 a  10.5 tan 34°  7.1. tan 34°  a  7.1 b  10.5 c  12.7 tan   op ady despeje a; calcule Para hallar el lado c, podemos usar ya sea la función coseno o la secante, como sigue en (1) o (2), respectivamente: 10.5 c 10.5 c  12.7 cos 34° c (2) sec 34°  10.5 (1) cos 34°  c  10.5 sec 34°  12.7 cos   ady hip despeje c; calcule sec   hip ady despeje c; calcule L Como se ilustra en el ejemplo 1, al trabajar con triángulos por lo general redondeamos respuestas. Una razón para hacer esto es que en casi todas las aplicaciones las longitudes de los lados de triángulos y medidas de ángulos se encuentran con calculadoras y por tanto son sólo aproximaciones a valores exactos. En consecuencia, un número como 10.5 en el ejemplo 1 se supone que ha sido redondeado al décimo más cercano. No podemos esperar más precisión en los valores calculados para los lados restantes y por tanto deben redondearse también al décimo más cercano. Al hallar ángulos, las respuestas deben redondearse como se indica en la tabla siguiente. Número de cifras Redondee medidas de ángulos significativas para lados en grados al más cercano 2 3 4 1° 0.1°, o 10 0.01°, o 1 6.7 Problemas aplicados 481 La justificación de esta tabla requiere un cuidadoso análisis de problemas que contienen datos aproximados. EJEMPLO 2 Resolver un triángulo rectángulo Resuelva el 䉭ABC, dados g  90°, a  12.3, y b  31.6. De la consulta del triángulo ilustrado en la figura 2 tenemos SOLUCIÓN Figura 2 B c A b a tan   12.3 Como los lados están dados con tres cifras significativas, la regla expresada en la tabla precedente nos dice que a debe redondearse al 0.1° más cercano o al múltiplo más cercano de 10. Usando el modo de grados en una calculadora, tenemos C 31.6 12.3 . 31.6   tan1 12.3  21.3° 31.6 o bien, lo que es equivalente,   21°20. Como a y b son ángulos complementarios,   90°    90°  21.3°  68.7°. La única parte faltante de hallar es c. Podríamos usar varias relaciones que contengan c para determinar su valor. Entre éstas están cos   Figura 3 Línea de vista X Objeto Ángulo de elevación l 31.6 c , sec   , c 12.3 y a2  b2  c2. Siempre que sea posible, es mejor usar una relación que contenga sólo información dada, puesto que no depende de ningún valor calculado previamente. Por lo tanto, con a  12.3 y b  31.6, tenemos c  2a2  b2  212.32  31.62  21149.85  33.9. L Observador Observador Ángulo de depresión Línea X de vista Como se ilustra en la figura 3, si un observador en el punto X ve un objeto, entonces el ángulo que la línea de vista forma con la horizontal l es el ángulo de elevación del objeto, si éste está sobre la línea horizontal o el ángulo de depresión del objeto, si éste está debajo de la línea horizontal. Usamos esta terminología en los dos ejemplos siguientes. l Objeto EJEMPLO 3 Usar un ángulo de elevación Desde un punto al nivel del suelo a 135 pies de la base de una torre, el ángulo de elevación de la cima de la torre es 57°20. Calcule la altura de la torre. CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS S O L U C I Ó N Si con d denotamos la altura de la torre, entonces los datos dados están representados por el triángulo de la figura 4. Consultando la figura, obtenemos d 135 d  135 tan 57°20  211. tan 57°20  tan 57°20  op ady despeje d; calcule La torre mide aproximadamente 211 pies de altura. de vis t a Figura 4 ea d Lín 482 57  20 135 EJEMPLO 4 L Usar ángulos de depresión Desde lo alto de un edificio situado frente a un océano, un observador ve un bote que navega directamente hacia el edificio. Si el observador está a 100 pies sobre el nivel del mar y si el ángulo de depresión del bote cambia de 25° a 40° durante el periodo de observación, calcule la distancia que recorre el bote. Como en la figura 5, sean A y B las posiciones del bote que corresponden a los ángulos de 25° y 40°, respectivamente. Suponga que el observador está en el punto D y C es el punto 100 pies directamente abajo. SOLUCIÓN Figura 5 D 25  40  100  b C a B k A d 6.7 Problemas aplicados 483 Denote con d la distancia que recorre el bote y denote con k la distancia de B a C. Si a y b denotan los ángulos DAC y DBC, respectivamente, entonces se deduce por geometría (ángulos alternos internos) que a  25° y b  40°. Del triángulo BCD: cot   cot 40°  k 100 k  100 cot 40° cot   ady op despeje k Del triángulo DAC: cot   cot 25°  d  k  100 cot 25° Nótese que d  AC  BC y si usamos tan en lugar de cot, obtenemos la ecuación equivalente d dk 100 ady op multiplique por el mcd d  100 cot 25°  k 100 100  . tan 25° tan 40° cot   despeje d  100 cot 25°  100 cot 40° k  100 cot 40°  100cot 25°  cot 40° factorice 100  1002.145  1.192  95 calcule En consecuencia, el bote recorre aproximadamente 95 pies. L En ciertos problemas de navegación y topografía, la dirección o rumbo, de un punto P a un punto Q se especifica al expresar el ángulo agudo que el segmento PQ forma con la línea norte-sur que pasa por P. También expresamos si Q está al norte o al sur y al este u oeste de P. La figura 6 ilustra cuatro posibilidades. El rumbo de P a Q1 es 25° al este del norte y está denotado por N25°E. También nos referimos a la dirección N25°E, lo que significa la dirección de P a Q1. Los rumbos de P a Q2, a Q3 y a Q4 están representados de un modo semejante en la figura. Nótese que cuando esta notación se emplea para rumbos o direcciones, N o S siempre aparece a la izquierda del ángulo y W o E a la derecha. Figura 6 N N25E Q1 25 N70W 70 Q2 P W 40 55 Q3 E Q4 S55E S40W S 484 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Figura 7 En navegación aérea, las direcciones y rumbos se especifican al medir del norte en una dirección en el sentido de giro de las manecillas de un reloj. En este caso, una medida positiva se asigna al ángulo en lugar de la medida negativa a la que estamos acostumbrados para rotaciones en el sentido de giro de las manecillas de un reloj. Por consulta de la figura 7, vemos que la dirección de PQ es 40° y la dirección de PR es 300°. N Q R 40 P 300 EJEMPLO 5 Dos naves salen de puerto al mismo tiempo, una de ellas navegando en la dirección N23°E a una rapidez de 11 mih, y la segunda navega en dirección S67°E a 15 mih. Calcule el rumbo de la segunda nave a la primera, una hora después. Figura 8 A S O L U C I Ó N El trazo de la figura 8 indica las posiciones de la primera y segunda naves en los puntos A y B, respectivamente, después de una hora. El punto C representa el puerto. Deseamos hallar el rumbo de B a A. Observe que 23 11 ⬔ACB  180°  23°  67°  90°, y en consecuencia el triángulo ACB es rectángulo. Por tanto, C 15 67 b A op ady despeje ; calcule ⬔CBD  90°  ⬔BCD  90°  67°  23° ⬔ABD  ⬔ABC  ⬔CBD  36°  23°  59°   90°  ⬔ABD  90°  59°  31° 11 Entonces, el rumbo de B a A es aproximadamente N31°W. u 67 tan   Hemos redondeado b al grado más cercano porque los lados del triángulo se dan con dos cifras significativas. Por consulta de la figura 9 obtenemos lo siguiente: Figura 9 C 11 15   tan1 11 15  36°. tan   B D Usar rumbos 15 23 36 B Definición de movimiento armónico simple L Las funciones trigonométricas son útiles en la investigación de movimiento vibratorio u oscilatorio, por ejemplo el movimiento de una partícula en una cuerda de guitarra en vibración o un resorte que se ha comprimido o alargado y luego se suelta para oscilar en una y otra dirección. El tipo fundamental de desplazamiento de partículas en estas ilustraciones es movimiento armónico. Un punto que se mueve en una recta coordenada está en movimiento armónico simple si su distancia d desde el origen en el tiempo t está dada por d  a cos vt o bien d  a sen vt, donde a y v son constantes, con v 0. 485 6.7 Problemas aplicados En la definición precedente, la amplitud del movimiento es el máximo desplazamiento a del punto desde el origen. El periodo es el tiempo 2 necesario para una oscilación completa. El recíproco del periodo, 2, es el número de oscilaciones por unidad de tiempo y recibe el nombre de frecuencia. Una interpretación física del movimiento armónico simple se puede obtener al considerar un resorte con un peso colgado a un extremo que está oscilando verticalmente con respecto a una recta coordenada, como se ilustra en la figura 10. El número d representa la coordenada de un punto fijo Q en el peso y suponemos que la amplitud a del movimiento es constante. En este caso ninguna fuerza de fricción está retardando el movimiento. Si hay fricción presente, entonces la amplitud disminuye con el tiempo y se dice que el movimiento está amortiguado. EJEMPLO 6 Describir un movimiento armónico Suponga que la oscilación del peso mostrado en la figura 10 está dada por Figura 10 d  10 cos    t , 6 con t medido en segundos y d en centímetros. Analice el movimiento del peso. S O L U C I Ó N Por definición, el movimiento es armónico simple con amplitud a  10 cm. Como   6, obtenemos lo siguiente: periodo  Entonces, en 12 segundos el peso hace una oscilación completa. La frecuencia 1 es 12 , lo cual significa que un doceavo de oscilación tiene lugar cada segundo. La tabla siguiente indica la posición de Q en varios tiempos. a Q d t 0 1 2 3 4 5 6 ␲ t 6 0  6  3  2 2 3 5 6  23 1 2 0  5 0 5 0 O cos d a 2 2   12  6   ␲ t 6 1 2 10 5 2 3  8.7 1 2  23 2 1 5 2 3  8.7 10 La posición inicial de Q es 10 centímetros arriba del origen O. Se mueve hacia abajo, ganando velocidad hasta que llega a O. Nótese que Q se desplaza aproximadamente 10  8.7  1.3 cm durante el primer segundo, 8.7  5  3.7 cm durante el siguiente segundo y 5  0  5 cm durante el tercer segundo. A continuación disminuye su rapidez hasta que llega a un punto 10 cm debajo de O al final de los 6 segundos. La dirección de movimiento se invierte entonces y el peso se mueve hacia arriba, ganando velocidad hasta que llega a O. Una vez que llega a O, disminuye su rapidez hasta que regresa a su posición original al final de 12 segundos. La dirección de movimiento se invierte entonces otra vez y el patrón se repite indefinidamente. L 486 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.7 Ejercicios Ejer. 1-8: Dadas las partes indicadas del triángulo ABC con g  90°, encuentre los valores exactos de las partes restantes. 1   30, b  20   60, a  203 23, c  403 23 2   45, b  35   45, a  35, c  35 22 60 3   45, c  30 4   60, 5 a  5, b5 6 a  4 23, c  8   45, a  b  15 22     45, c  5 22 7 b  5 23, c  10 23   60,   30, a  15 c6   30, a  3 23, b  3 9   37, 8 b  7 22, c  14   45,   45, a  7 22 b  24 10   6420, a  20.1 11   7151, b  240.0 12   3110, a  510 13 a  25, b  45 14 a  31, b  9.0 15 c  5.8, b  2.1 16 a  0.42, c  0.68   189, a  78.7, c  252.6   29,   61, c  51   69,   21, a  5.4   2540, b  41.8, c  46.4   5850, b  843, c  985   74,   16, c  32   38,   52, b  0.53 Ejer. 17-24: Dadas las partes indicadas del triángulo ABC con g  90°, exprese la tercera parte en términos de las primeras dos. 17 , c; b b  c cos  18 , c; b b  c sin  19 , b; a a  b cot  20 , b; a a  b tan  21 , a; c c  a csc  22 , a; c c  a sec  23 a, c; b b 24 a, b; c c 2c2  a2 4   60,   30, b  4 Ejer. 9-16: Dadas las partes indicadas del triángulo ABC con g  90°, calcule las partes restantes.   53, a  18, c  30 Ejercicio 25 26 Topografía Desde un punto a 15 metros sobre el nivel del suelo, un topógrafo mide el ángulo de depresión de un objeto en el suelo a 68°. Calcule la distancia desde el objeto al punto en el suelo directamente abajo del topógrafo. 27 Aterrizaje de un avión Un piloto, que vuela a una altitud de 5000 pies, desea aproximarse a los números de una pista a un ángulo de 10°. Calcule, a los 100 pies más cercanos, la distancia desde el avión a los números al principio del descenso. 28 Antena de radio Un cable está unido a la cima de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que está a 40.0 metros de la base de la antena. Si el cable forma un ángulo de 5820 con el suelo, calcule la longitud del cable. 29 Topografía Para hallar la distancia d entre dos puntos P y Q en las orillas opuestas de un lago, un topógrafo localiza un punto R que está a 50.0 metros de P tal que RP es perpendicular a PQ, como se ve en la figura. A continuación, usando un teodolito, el topógrafo mide el ángulo PRQ como de 7240. Encuentre d. Ejercicio 29 Q 2a2  b2 50.0 m 25 Altura de una cometa Una persona que hace volar una cometa sostiene la cuerda 4 pies arriba del nivel del suelo. La cuerda de la cometa está tensa y forma un ángulo de 60° con la horizontal (vea la figura). Calcule la altura de la cometa arriba del nivel del suelo si se dan 500 pies de cuerda. 250 23  4  437 ft R d P 6.7 Problemas aplicados 30 Cálculos meteorológicos Para medir la altura h de una capa de nubes, un estudiante de meteorología dirige un proyector de luz directamente hacia arriba desde el suelo. De un punto P en el nivel del suelo que está a d metros del proyector de luz, el ángulo de elevación u de la imagen de la luz en las nubes se mide entonces (vea la figura). 487 Ejercicio 33 d 35 35 (a) Exprese h en términos de d y u. 150 (b) Calcule h si d  1000 m y u  59°. Ejercicio 30 34 Diseño de un tobogán acuático En la figura se muestra parte de un diseño para un tobogán acuático. Encuentre la longitud total del tobogán al pie más cercano. Ejercicio 34 h 35 u P 15 25 d 31 Altitud de un cohete Un cohete es disparado al nivel del mar y asciende a un ángulo constante de 75° toda una distancia de 10,000 pies. Calcule su altitud al pie más cercano. 15 100 35 Elevación del Sol Calcule el ángulo de elevación a del Sol si una persona que mide 5.0 pies de estatura proyecta una sombra de 4.0 pies de largo en el suelo (vea la figura). Ejercicio 35 32 Despegue de un avión Un avión despega a un ángulo de 10° y vuela a razón de 250 pies/s. ¿Aproximadamente cuánto tarda el avión en alcanzar una altitud de 15,000 pies? 33 Diseño de un puente levadizo Un puente levadizo mide 150 pies de largo cuando se tiende de un lado a otro de un río. Como se ve en la figura, las dos secciones del puente se pueden girar hacia arriba un ángulo de 35°. (a) Si el nivel del agua está 15 pies abajo del puente cerrado, encuentre la distancia d entre el extremo de una sección y el nivel del agua cuando el puente está abierto por completo. (b) ¿Cuál es la separación aproximada de los extremos de las dos secciones cuando el puente está abierto por completo, como se ve en la figura? 5 a 4 36 Construcción de una rampa Un constructor desea hacer una rampa de 24 pies de largo que suba a una altura de 5.0 pies sobre el nivel del suelo. Calcule el ángulo que la rampa debe formar con la horizontal. 37 Juego de video En la figura se muestra la pantalla de un juego de video sencillo en el que unos patos se mueven de A 488 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS a B a razón de 7 cms. Balas disparadas desde el punto O se mueven a 25 cm/s. Si un jugador dispara tan pronto como aparece un pato en A, ¿a qué ángulo " debe apuntar el arma para acertar en el blanco? Ejercicio 37 A B 40 Elongación de Venus La elongación del planeta Venus se define como el ángulo u determinado por el Sol, la Tierra y Venus, como se muestra en la figura. La máxima elongación de Venus ocurre cuando la Tierra está en su mínima distancia Dt del Sol y Venus está en su máxima distancia Dv del Sol. Si Dt  91,500,000 millas y Dv  68,000,000 millas, calcule la máxima elongación umáx de Venus. Suponga que la órbita de Venus es circular. Ejercicio 40 w Venus O u 38 Banda transportadora Una banda transportadora de 9 metros de largo puede hacerse girar hidráulicamente hacia arriba a un ángulo de 40° para descargar aviones (vea la figura). (a) Encuentre, al grado más cercano, el ángulo que la banda transportadora debe girar hacia arriba para llegar a la puerta que está a 4 metros sobre la plataforma que soporta la banda. (b) Calcule la máxima altura sobre la plataforma que la banda pueda alcanzar. Ejecicio 38 9m Tierra Sol 41 Área del terreno del Pentágono El Pentágono es el edificio de oficinas más grande del mundo en términos de área de terreno. El perímetro del edificio tiene la forma de un pentágono regular con cada lado de 921 pies de largo. Encuentre el área encerrada por el perímetro del edificio. 42 Un octágono regular está inscrito en un círculo de radio 12.0 centímetros. Calcule el perímetro del octágono. 43 Una caja rectangular tiene dimensiones de 8  6  4. Calcule, al décimo de grado más cercano, el ángulo u formado por una diagonal de la base y la diagonal de la caja, como se ve en la figura. Ejercicio 43 4 u 8 39 Estructura más alta La estructura artificial más alta del mundo es una torre transmisora de televisión situada cerca de Mayville, Dakota del Norte. Desde una distancia de 1 milla al nivel del suelo, su ángulo de elevación es de 212024. Determine su altura al pie más cercano. 6 44 Volumen de un vaso cónico Un vaso cónico de papel tiene un radio de 2 pulgadas. Calcule, al grado más cercano, el ángulo b (vea la figura) para que el cono tenga un volumen de 20 pulgadas cúbicas. 6.7 Problemas aplicados Ejercicio 44 489 48 Altura de un edificio Desde un punto A que está a 8.20 metros sobre el nivel del suelo, el ángulo de elevación de lo alto de un edificio es 3120 y el ángulo de depresión de la base del edificio es 1250. Calcule la altura del edificio. 2 49 Radio de la Tierra Una nave espacial gira en torno a la Tierra a una altitud de 380 millas. Cuando un astronauta ve el horizonte de la Tierra, el ángulo u mostrado en la figura es de 65.8°. Use esta información para estimar el radio de la Tierra. b 45 Altura de una torre De un punto P al nivel del suelo, el ángulo de elevación de la cima de la torre es de 2650. De un punto a 25.0 metros más cercano a la torre y sobre la misma línea con P y la base de la torre, el ángulo de elevación de la cima es 5330. Calcule la altura de la torre. Ejercicio 49 46 Cálculos de escaleras Una escalera de 20 pies de largo se inclina contra el costado de un edificio, siendo el ángulo entre la escalera y el edificio de 22°. (a) Calcule la distancia desde la base de la escalera al edificio. (b) Si la distancia desde la base de la escalera al edificio se aumenta en 3.0 pies, ¿aproximadamente cuánto baja por el edificio la parte alta de la escalera? 47 Ascenso de un globo de aire caliente Cuando un globo de aire caliente se eleva verticalmente, su ángulo de elevación, desde un punto P en el nivel del suelo a 110 kilómetros del punto Q directamente debajo del globo, cambia de 1920 a 3150 (vea la figura). ¿Aproximadamente cuánto sube el globo durante este periodo? Ejercicio 47 u r 380 mi al centro de la Tierra 50 Longitud de una antena Una antena de banda civil está colocada encima de un garaje que mide 16 pies de altura. Desde un punto al nivel del suelo que está a 100 pies de un punto directamente debajo de la antena, la antena subtiende un ángulo de 12°, como se muestra en la figura. Calcule la longitud de la antena. Ejercicio 50 12 16 100 Q P 110 km 51 Rapidez de un avión Un avión que vuela a una altitud de 10,000 pies pasa directamente sobre un objeto fijo en el suelo. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42°. Calcule la rapidez del avión a la milla por hora más cercana. 490 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 52 Altura de una montaña Un automovilista, que viaja a lo largo de una carretera a nivel a una rapidez de 60 kmh directamente hacia una montaña, observa que entre la 1:00 p.m. y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la cima de la montaña cambia de 10° a 70°. Calcule la altura de la montaña. 53 Satélite de comunicaciones En la parte izquierda de la figura se muestra un satélite de comunicaciones con una órbita ecuatorial, es decir, una órbita casi circular en el plano determinado por el ecuador de la Tierra. Si el satélite describe círculos alrededor de la Tierra a una altitud a  22,300 millas, su rapidez es la misma que la rapidez rotacional de la Tierra; para un observador en el ecuador, el satélite parece estar estacionario, es decir, su órbita es sincrónica. (a) Usando R  4000 millas para el radio de la Tierra, determine el porcentaje del ecuador que está dentro del alcance de señal de este satélite. (b) Como se ve en la parte derecha de la figura, tres satélites están igualmente espaciados en órbitas ecuatoriales sincrónicas. Utilice el valor de u obtenido en la parte (a) para explicar por qué todos los puntos en el ecuador están dentro del alcance de señal de al menos uno de los tres satélites. Ejercicio 53 a u Ejercicio 54 u a d R 55 Altura de una cometa Generalice el ejercicio 25 para el caso donde el ángulo es a, el número de pies de cuerda dados es d y el extremo de la cuerda está sostenido c pies sobre el suelo. Exprese la altura h de la cometa en términos de a, d y c. 56 Topografía Generalice el ejercicio 26 para el caso donde el punto está d metros sobre el nivel del suelo y el ángulo de depresión es a. Exprese la distancia x en términos de d y a. 57 Altura de una torre Generalice el ejercicio 45 para el caso donde el primer ángulo es a, el segundo ángulo es b y la distancia entre los dos puntos es d. Exprese la altura h de la torre en términos de d, a y b. R 58 Generalice el ejercicio 42 para el caso de un polígono de n lados inscrito en un círculo de radio r. Exprese el perímetro P en términos de n y r. 54 Satélite de comunicaciones Consulte el ejercicio 53. En la figura se ve el área cubierta por un satélite de comunicaciones que se mueve en círculos alrededor de un planeta de radio R a una altitud a. La parte de la superficie del planeta que está dentro del alcance del satélite es un casquete esférico de profundidad d y un área superficial A  2pRd. (a) Exprese d en términos de R y u. (b) Estime el porcentaje de la superficie del planeta que está dentro del alcance de señal de un solo satélite en órbita ecuatorial sincrónica. 59 Ascenso de un globo de aire caliente Generalice el ejercicio 47 para el caso donde la distancia de P a Q es d kilómetros y el ángulo de elevación cambia de a a b. 60 Altura de un edificio Generalice el ejercicio 48 para el caso donde el punto A está d metros sobre el suelo y los ángulos de elevación y depresión son a y b, respectivamente. Exprese la altura h del edificio en términos de d, a y b. 6.7 Problemas aplicados Ejer. 61-62: Encuentre el rumbo de P a cada uno de los puntos A, B, C y D. 61 N millas al oeste de A, otro guardabosque avista el mismo incendio en la dirección S5410E. Calcule, al décimo de milla más cercano, la distancia del incendio desde A. Ejercicio 64 B A 40 N W 20 W 491 75 E P B N 5 mi E W S A E S 25 D C S 65 Vuelo de un avión Un avión vuela con una rapidez de 360 mih desde un punto A en la dirección 137° durante 30 minutos y luego en la dirección 227° durante 45 minutos. Calcule, a la milla más cercana, la distancia del avión al punto A. N70E; N40W; S15W; S25E 62 N A B 66 Plan de vuelo de un avión Un avión vuela con una rapidez de 400 mih desde un punto A en la dirección 153° durante 1 hora y luego en la dirección 63° durante 1 hora. 15 60 W C P E 35 80 D S N15E; N30W; S80W; S55E 63 Rumbo de un barco Un barco sale de puerto a la 1:00 p.m. y navega en la dirección N34°W a razón de 24 mih. Otro barco sale de puerto a la 1:30 p.m. y navega en dirección N56°E a razón de 18 mih. (a) ¿En qué dirección necesita volar el avión para regresar al punto A? (b) ¿Cuánto tiempo le llevará regresar al punto A? Ejer. 67-70: La fórmula especifica la posición de un punto P que se mueve armónicamente en un eje vertical, donde t es en segundos y d en centímetros. Determine la amplitud, periodo y frecuencia y describa el movimiento del punto durante una oscilación completa (empezando en t  0). 67 d  10 sen 6 t (a) ¿Aproximadamente a qué distancia están entre sí los barcos a las 3:00 p.m.? (b) ¿Cuál es el rumbo, al grado más cercano, del primer barco al segundo? 64 Localización de un incendio forestal Desde un punto de observación A, un guardabosque avista un incendio en la dirección S3550W (vea la figura). Desde un punto B, a 5 69 d  4 cos 3 t 2 68 d  1  cos t 3 4 70 d  6 sen 2 t 3 71 Un punto P en movimiento armónico simple tiene un periodo de 3 segundos y una amplitud de 5 centímetros. Exprese el movimiento de P por medio de una ecuación de la forma d  a cos vt. 492 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 72 Un punto P en movimiento armónico simple tiene una frecuencia de 12 oscilación por minuto y una amplitud de 4 pies. Exprese el movimiento de P por medio de una ecuación de la forma d  a sen vt. 73 Tsunamis Un tsunami es una ola de marea causada por un terremoto bajo el mar. Estas olas pueden medir más de 100 pies de altura y desplazarse a grandes velocidades. Los ingenieros a veces representan esas olas por medio de expresiones trigonométricas de la forma y  a cos bt y usan estas representaciones para estimar la efectividad de diques. Suponga que una ola tiene una altura h  50 pies y periodo de 30 minutos y se mueve a 180 piess. Ejercicio 73 y h L Dique (a) Sea (x, y) un punto en la ola representada en la figura. Exprese y como función de t si y  25 ft cuando t  0. (b) La longitud L de la ola es la distancia entre dos crestas sucesivas de la ola. Calcule L en pies. 74 Algunos tsunamis en Hawai Durante un intervalo de 45 minutos, tsunamis cerca de Hawai causados por un terremoto ocurrido en Chile en 1960 pudieron modelarse con la  ecuación y  8 sen t, donde y está en pies y t en minutos. 6 (a) Encuentre la amplitud y periodo de las olas. (b) Si la distancia desde una cresta de la ola a la siguiente era de 21 kilómetros, ¿cuál era la velocidad de la ola? (Algunas olas de marea pueden tener velocidades de más de 700 kmh en aguas marinas profundas.) x Nivel del mar C APÍTULO 6 EJERCICIOS DE REPASO 1 Encuentre la medida en radianes que corresponda a cada medida en grados: 330°, 405°, 150°, 240°, 36°. 11 9 5 4  , , , , 6 4 6 3 5 2 Encuentre la medida en grados que corresponda a cada 9 2 7  medida en radianes: ,  , , 5, . 810, 120, 2 3 4 5 315, 900, 36 3 Un ángulo central u está subtendido por un arco de 20 centímetros de largo en un círculo de 2 metros de radio. (a) Encuentre la medida de u en radianes.0.1 (b) Encuentre el área del sector determinado por u. 0.2 m2 4 (a) Encuentre la longitud del arco que subtiende un ángulo de medida 70° en un círculo de 15 centímetros de diámetro. (b) Encuentre el área del sector de la parte (a). 5 Rapidez angular de discos fonográficos Dos tipos de discos fonográficos, álbumes de larga duración y sencillos, tienen diámetros de 12 pulgadas y 7 pulgadas, respectivamente. El álbum gira a 33 31 rpm, y el sencillo gira a 45 rpm. Encuentre la rapidez angular (en radianes por minuto) del álbum y del sencillo. 6 Rapidez lineal en discos fonográficos Usando la información del ejercicio 5, encuentre la rapidez lineal (en pies/min) de un punto en la circunferencia del álbum y del sencillo. 493 Capítulo 6 Ejercicios de repaso Ejer. 7-8: Encuentre los valores exactos de x y y (a) El punto (30, 40) está en el lado terminal de u. 7 x x 45 y 9 22 Siempre que sea posible, encuentre los valores exactos de las funciones trigonométricas de u si u está en posición estándar y satisface la condición expresada. 3 10 cot , sec  tan   2sec   1 csc  11 sen  csc   sen   cos2  sec   cos  tan   tan  sec  1  tan   csc2  tan2  2 15 sec   csc  sen   cos   sec   csc  sen   cos  cot   1 17  cot  1  tan  1  sec  18  csc  tan   sen  tan   cot   csc2  tan  1 cot  20    csc  csc  sec  21 Si u es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y si el lado adyacente e hipotenusa tienen longitudes 4 y 7, respectivamente, encuentre los valores de las funciones trigonométricas de u. , 4 , 4 , 0 y sen  0 II (b) cot  0 y csc  0 III (c) cos  0 y tan  0 IV 4 4 3 (a) sen    5 y cos   5  5 , 35,  34,  43, 53,  45 13 cos2   1tan2   1  1  sec2  7 (a) sec  24 Encuentre los valores exactos de las funciones trigonométricas restantes si 12 cos  tan   cot   csc  233 4 233 23 Encuentre el cuadrante que contenga u si u está en posición estándar. 2 Ejer. 11-20: Verifique la identidad transformando el lado izquierdo en el lado derecho. , 2 3 213 213 , , , 3 2 3 2 cot   2csc   1 2 7 , 1, 0, U, 0, U, 1 Ejer. 9-10: Use identidades fundamentales para escribir la primera expresión en términos de la segunda, para cualquier ángulo agudo u. 19 3 213 (c) El lado terminal de u está en el eje y negativo. y 16 , 213 60 14 5 (b) El lado terminal de u está en el segundo cuadrante y es paralelo a la recta 2x  3y  6  0. 2 9 tan , 5  54 , 5 ,  34 ,  43 , 3 ,  4 7 , 7 233 4 233 (b) csc   2 213 , 213 2 3 213 y cot    , 3 2 2 3 213 213 , , , 3 2 3 2 Ejer. 25-26: P(t) denota el punto en la circunferencia unitaria U que corresponde al número real t. 25 Encuentre las coordenadas rectangulares de P7 , P52, P92, P34, P18, y P6.  1, 0; 0, 1; 0, 1;  22 2 , 22 2  ; 1, 0;  23 2 , 1 2  26 Si P(t) tiene coordenadas  , encuentre las coordenadas de Pt  3, Pt  , Pt, y P2  t.  53 ,  54  35 , 54 ;  35 , 54 ;   53 , 54 ;  53 , 54  27 (a) Encuentre el ángulo de referencia para cada medida en radianes: 5 5 9   ,  , , . 4, 6 8 4 6 8 (b) Encuentre el ángulo de referencia para cada medida en grados: 245, 137, 892. 65, 43, 8 494 CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 28 Sin usar calculadora, encuentre los valores exactos de las funciones trigonométricas correspondientes a cada número real, siempre que sea posible. (a) 9 2 (b)  22 1, 0, U, 0, U, 1 2 , 5 4 (c) 0 22 2  29 Encuentre el valor exacto.  (b) tan 150 22  2 2 1 23 , , 2 2 2  23, , 2 23 , 1, 1,  22, 22 (a) cos 225 y 41 11 6 (d) Ejer. 41-44: La gráfica de una ecuación se muestra en la figura. (a) Encuentre la amplitud y periodo. (b) Exprese la ecuación en la forma y  a sen bx o en la forma y  a cos bx. (c) sen 23  3 2p    1 2  6 4 3 (e) cot 2 7 4 1.43, 2; y  1.43 sin x y (f ) csc 300 1  1 2 23 2p p p y 43 31 Si tan u  2.7381, calcule u al 0.0001 radián más cercano para 0° u 2p 1.2206; 4.3622 3 1 3 1 2 , 3 3 37 y  3 cos 3 3, 4 ; y  3 cos 32 x 3 y 44 34 y  23 sen x 3, 2 2 2 36 y   21 cos 31 x sen 3x 1 2, 1 2x 2 1 p 38 y  4 sen 2x 4,    ; y  2 cos x 2 2 Ejer. 45-56: Trace la gráfica de la ecuación. 39 y  2 sen x 2, 2 x 6 2, 3, 4 x p 32 Si sec u  1.6403, calcule u al 0.01° más cercano para 0° u 360°. 52.44; 307.56 35 y  x 3.27, 3; y  3.27 sin 32 x 310.5 Ejer. 33-40: Encuentre la amplitud y periodo y trace la gráfica de la ecuación. 2p f, 3.27 30 Si sen u  0.7604 y sec u es positiva, calcule u al 0.1° más cercano para 0° 360°. 33 y  5 cos x 5, 2 (1.5, 1.43) 2 42 (d) sec x 40 y  4 cos  x  2 4, 4 2 45 y  2 sen   x 2 3 46 y  3 sen  1  x 2 4  Capítulo 6 Ejercicios de repaso           47 y  4 cos 51 y  4 cot 55 y  csc  6 1 x 2 49 y  2 tan 53 y  sec x 2x   2 1 x 2 2x   4  48 y  5 cos 2x  50 y  3 tan  52 y  2 cot 54 y  sec 56 y  csc    2  2x   2x   2 alto el silbato de un tren cuando se mueve hacia el oyente. Si f es este cambio en frecuencia y v es la velocidad del objeto, entonces la ecuación    3 1  x 2 4    1 x 2 4 495 f  2 fv c se puede usar para determinar v, donde c  186,000 mis es la velocidad de la luz. Calcule la velocidad v de un objeto si f  108 y f  1014. 0.093 misec 64 La Gran Pirámide La Gran Pirámide de Egipto mide 147 metros de altura, con una base cuadrada de 230 metros por lado (vea la figura). Calcule, al grado más cercano, el ángulo w formado cuando un observador está de pie en el punto medio de uno de los lados y ve la cima de la pirámide. 52 Ejercicio 64 Ejer. 57-60: Dadas las partes indicadas del triángulo ABC con g  90°, calcule las partes restantes. 57   60, b  40 59 a  62, b  25   30, a  23, c  46 58   5440, b  220 60 a  9.0, c  41   3520, a  310, c  380   68,   22, c  67   13,   77, b  40 w 61 Hélice de un avión La longitud de la hélice más gran