Unidad I. La Problemática Tema 1.5 Estudio cualitativo del cambio NO uniforme: Modelo Cúbico En este tema se continúa con el análisis de tipo cualitativo para predecir el comportamiento de la magnitud en estudio, con la idea de tomar decisiones respecto a si la magnitud está aumentando o disminuyendo, además de precisar cómo realiza esa acción. Todo esto se discute a través del análisis de la razón de cambio de la magnitud. Como producto de un acercamiento visual a las gráficas de razón de cambio y magnitud se establecen relaciones entre ambas gráficas. Las nociones de punto máximo y mínimo, se agregan a la de punto de inflexión, que surge de este análisis, y con esto se enriquece la interpretación del comportamiento de la magnitud modelada mediante la función. Aunque los resultados en este tema son válidos en cualquier función cuyas propiedades matemáticas coinciden con las de las funciones polinomiales. Sin embargo, será en el marco particular de la función cúbica donde se apoyan las inferencias que se establecen en dichos resultados. Este tema incluye un estudio exhaustivo del modelo cúbico y su aplicación en problemas reales. Situación Problema 1.5: Un tanque tiene la forma de un cilindro circular recto con base de área 900 centímetros cuadrados y 1 metro de altura. Tres llaves actúan en el tanque a partir de cierto instante (cuanto t=0) de tal manera que el nivel del agua h (medido en centímetros) cambia con respecto al tiempo t transcurrido (medido en minutos). La función que expresa el nivel del agua con respecto al tiempo es: En el sistema coordenado dado, grafica la razón de cambio del nivel del agua con respecto al tiempo. Utiliza la información de esta gráfica para realizar después la del nivel del agua en ese mismo sistema coordenado. Finalmente, describe lo que sucede con el nivel del agua en el tanque: ¿Crece?, ¿Decrece?, ¿Lo hace cada vez más rápido?, ¿Lo hace cada vez más lento? ¿Cómo saber si el agua rebosará el tanque?, ¿podría calcularse si es posible el instante?  Generalizaciones a partir de la Situación Problema 1.5 Primer resultado: puntos de inflexión El comportamiento del nivel del agua en el tanque muestra un evento singular que se genera alrededor del instante ; se trata del cambio en la forma en que el nivel crece, de cada vez más lento a cada vez más rápido. Visualmente, en la gráfica de este cambio ocurre en un punto donde hay un cambio de concavidad, a este punto se le conoce como punto de inflexión. El punto de inflexión de la gráfica de coincide con el punto mínimo de la gráfica de . En este punto mínimo la razón de cambio deja ser decreciente para ser creciente. El decrecimiento de la razón de cambio (derivada) se relaciona con la concavidad hacia abajo de la gráfica y la función. Mientras que el crecimiento de la razón de cambio se relaciona con la concavidad hacia arriba de la gráfica de la función. El punto mínimo de la razón de cambio nos señala la existencia de un punto de inflexión en la gráfica de la magnitud en estudio. Deriva y´=f´(x) (razón de cambio, velocidad) Función y = f(x) (magnitud, posición) Positiva Creciente Negativa Decreciente Creciente Cóncava hacia arriba Decreciente Cóncava hacia abajo  Tema 1.5 Estudio cualitativo del cambio NO uniforme: Modelo Cúbico Ejercicio 1.5 Problema 1. Considera la función cúbica . Realiza lo siguiente: Grafica la derivada de la función y señala en ella los puntos importantes. Auxiliándote de la gráfica de la derivada de la función, grafica . Señala en la gráfica de los puntos máximo, mínimo, inflexión, intersecciones con el eje x si es posible, intersección con el eje y. Intervalos donde la función crece, decrece, CHA y CHB. Problema 2. Considera la función cúbica . Realiza lo siguiente: Grafica la derivada de la función y señala en ella los puntos importantes. Auxiliándote de la gráfica de la derivada de la función, grafica . Señala en la gráfica de los puntos máximo, mínimo, inflexión, intersecciones con el eje x si es posible, intersección con el eje y. Intervalos donde la función crece, decrece, CHA y CHB.  Tema 1.5 Estudio cualitativo del cambio NO uniforme: Modelo Cúbico Caso 1. La temperatura como función del tiempo. Si pensamos en el cambio que experimenta la temperatura del medio ambiente en un día cualquiera, podemos identificar dos sucesos comunes, la temperatura aumenta de manera notoria al amanecer, llegará un momento en que no sea notorio pero sigue aumentando hasta llegar a un valor máximo y entonces comienza el descenso. Un modelo cuadrático para este comportamiento, aunque veremos posteriormente un modelo que resulta más cercano a la realidad. Supongamos que la temperatura T, en un día de enero en el campus, era de 2°C a las cero horas, y la razón a la que fue cambiando durante ese día, con respecto al tiempo t, está siendo modelada por la función: Grafica la razón de cambio, evidenciando la información importante que provee. Encuentra la función que predice la temperatura T en términos del tiempo t, para cualquier hora del día. ¿Cuál fue la temperatura a la que se llegó a las 24 horas de ese día? ¿Hasta qué hora la temperatura estuvo creciendo?, ¿Dónde lo hace cada vez más rápido?, ¿Dónde lo hace cada vez más lento? ¿Cuál fue la temperatura máxima ese día y a qué hora? Grafica la función de la temperatura en un mismo plano que su razón de cambio y señala su punto máximo y su punto de inflexión. Caso 2. La reacción de un medicamento. Todos los medicamentos vienen acompañados en su presentación de información entre la cual se encuentra la dosis adecuada para menores y adultos. El tomar una dosis menor o mayor a la prescrita disminuye el efecto posible del medicamento. La intensidad del efecto a una dosis de medicamento puede ser representa (aunque existen mejores modelos) por una función cubica de la forma: Donde R es una constante positiva que depende del medicamento y x es la cantidad de medicina (dosis) que se administra. Encuentra la razón de cambio de la intensidad del efecto en el cuerpo con respecto a una dosis x dada. Realiza la gráfica de la razón de cambio R´(x) Tomando en cuenta la gráfica de la razón de cambio R´(x), grafica ahora R(x) y expresa con palabras el comportamiento de la reacción en términos de la cantidad de medicamento administrada. Caso 3. La resistencia de una viga. La resistencia de una viga que se fabrica de madero cilíndrico puede suponerse directamente proporcional al producto del largo por el cuadrado del ancho de la sección transversal rectangular que se determina. En el caso de la fabricación de la viga a partir de maderos de 28 centímetros de diámetro y 3 metros de largo, el modelo matemático toma forma: Donde x representa el largo de la sección transversal y la constante de proporcionalidad es 0.5. Utiliza un graficador para representar visualmente el comportamiento de la resistencia de la viga en función del lado x de su sección transversal. Encuentra el valor x para que la viga tenga su máxima resistencia. Realiza la gráfica de resistencia y su razón de cambio en el mimo sistema coordenado y señala en ellas lo relacionado con lo que se ha obtenido en el inciso anterior. Caso 4. El costo total y marginal en administración y economía. Cuando se produce y comercializa cierta cantidad de artículos, se requiere modelar el costo total mediante una función matemática. La función de costo total, , donde representa cantidad de artículos, debe cumplir con ciertas propiedades: El valor de debe ser mayor o igual que cero , porque indica el costo fijo de producción (renta de local, costo de equipo, etc.) debe ser una función creciente, porque a mayor cantidad de artículos, el costo total debe necesariamente crecer. En niveles iniciales de producción ( relativamente pequeño) tiene una gráfica cóncava hacia abajo; sin embargo, por lo común la producción de una cantidad grande llega a crecer con una tasa creciente, entonces la gráfica de cambiará eventualmente su concavidad hacia arriba. Una función cubica suele ser apropiada para modelar matemáticamente el costo total, cuando su concavidad cambia en un intervalo específicamente, y no tiene valor máximo ni mínimo en el primer cuadrante, donde , . Supongamos que la producción y comercialización de cierto artículo se modela mediante la función cubica: Donde y representa el costo total en miles de pesos y x representa decenas de artículos. ¿Cuál es el costo que permanece constante en todos los niveles de producción? El costo marginal representa la variación del costo total “en el margen”, es decir, para variaciones de x pequeños. Se le conoce como tasa de cambio del costo, o bien, en el lenguaje matemático formal, la derivada del costo total. Encuentra y grafica la función el costo marginal. Realiza en el mismo sistema coordenado la gráfica de la función del costo total tomando en cuenta la información del costo marginal. Caso 5. Una caja sin tapa que resulta óptima. El problemas que planteamos a continuación, es del tipo que ya abordamos en el tema anterior, donde lo que se desea es optimizar en el sentido de obtener mayor beneficio posible en una situación dada. El problema es el siguiente: De una pieza rectangular de catón de dimensiones 18 centímetros por 12 centímetros se pueden construir diferentes cajas sin tapa. Cada caja se construye recortando cuadros iguales en las esquinas de la pieza de cartón y doblando hacia arriba las “cejas” marcadas para formar las caras laterales de la caja. 12 18 En esta situación, interesa encontrar la caja “optima”, es decir, aquella que contiene el volumen máximo y que puede construir del modo descrito utilizando la pieza rectangular. A eso se abocan las siguientes instrucciones. Antes que nada, observa que el problema “tiene sentido” ya que del modo indicado se pueden construir diferentes cajas con diferente volumen. Calcula el volumen de dos cajas diferentes, asignando los valores de 4 y 2 centímetros al lado del cuadrado recortado en las esquinas Utiliza una hoja de cálculo donde produzcas una tabla de valores para generar columnas tituladas: profundidad, largo, ancho y volumen de caja construida con ese cartón de 18 por 12 centímetros. Asigna diferentes valores numéricos, incluso con dos cifras decimales para la longitud de lado del cuadrado recortado en cada esquina. Utiliza la hoja de cálculo para producir una gráfica de puntos cuyas coordenadas sean la profundidad (lado del cuadrado) y el volumen de la caja correspondiente. Interpreta la solución de este problema en relación con la imagen visual obtenida. Construye la función que calcula el volumen de la caja en términos de x, el lado del cuadrado. Encuentra el volumen máximo de la función que representa el volumen de la caja. Tema 1.5 Estudio cualitativo del cambio NO uniforme: Modelo Cúbico Problemas Complementarios Problema 1. En un tanque cilíndrico de 1 metro de altura se introduce agua a través de una llave que provoca un aumento del nivel a razón constante de 27 centímetros/minuto. Otra llave desaloja el agua de tal forma que le nivel disminuye a razón variable de 12 t centímetros/minuto, donde t es el tiempo transcurrido en minutos. Representa la razón de cambio del nivel del agua en el tanque cono una función del tiempo y traza su gráfica. Suponiendo que el en instante t=0 el nivel de agua es de ho= 24 centímetros, construye la función que expresa el nivel del agua en términos del tiempo y traza su gráfica. Utiliza tu gráfica para contestar si el nivel llega a un valor máximo o mínimo, o si el tanque se llena o se vacía. Debes especificar valores numéricos donde ocurre esto. Consideremos que ahora el tanque se modifica para agregar a las dos llaves anteriores otra llave extra que introduzca agua a razón variable de t2 centímetros/minuto. Modifica las funciones h(t) y r(t) para que modelen la nueva situación. Grafica en el mismo sistema coordenado ambas funciones, apoyándote en que el comportamiento de la razón de cambio de nivel dicta cual debe ser el comportamiento de la gráfica del nivel de agua. Describe ampliamente como cambia el nivel del agua del tanque en los primeros doce minutos después de lo que empezamos a observar. Justifica tu descripción con argumentos apoyados en la visualización de las gráficas trazadas. ¿Entre qué minutos consecutivos se llenará el tanque?  Problema 2. Una partícula se está moviendo a lo largo de una línea recta horizontal de acuerdo a los siguientes datos: la razón con que cambia la aceleración es contante igual a ko= - 12 metros por segundo cubico. La posición inicial de la partícula es xo = 4 metros, y la velocidad inicial es de vo= - 30 metros por segundo y la aceleración inicial ao = 36 metros por segundo cuadrado. 4 Podemos hacernos una primera idea de lo que va a suceder con el movimiento de la partícula: como su velocidad inicial es negativa, sabemos que al instante de comenzar a observar este evento (t=0) la partícula se dirigía hacia la izquierda. Pero la acción de la aceleración inicial positiva se opone a la acción de esta velocidad inicial negativa, ¿Se regresa a la derecha? A su vez, la acción de la razón de cambio (contante) de la aceleración, que es negativa, se opone a la acción de la aceleración inicial positiva. ¿Volverá hacia la izquierda? 4 xo = 4 vo = - 30 ao = 36 ko = - 12 ¿ ¿ Para precisar esos eventos importantes se requiere modelarlo mediante una función. El procedimiento matemático para lograrlo incluye la construcción de funciones a través de procesos de antiderivación. Construye de manera secuencial, así funciones de aceleración a(t), velocidad v(t) y posición x(t) de la partícula y explica tu procedimiento. Calcula de manera algebraica los instantes en que la aceleración es cero, y los instantes en que la velocidad es cero. Construye la gráfica de la función de velocidad v(t). Construye la gráfica de la función de posición utilizado la información de la gráfica de velocidad. Describe ampliamente el movimiento de la partícula tomando en cuenta toda la información gráfica y numérica que la curva x(t) contiene. Tu descripción debe incluir los que sucede en cada instante que encontraste algebraicamente en el inciso b) de éste problema. Al observar la gráfica puede pensarse que en instarte t=2 la partícula paso por el origen de la recta en que se mueve, pues parece que la gráfica de posición cruza el eje horizontal ahí. También se observan otros dos cruces en ese eje, uno entres t=0 y t=1 y el otro cerca a t=7. Aplica el método de división sintética, o bien el algoritmo para dividir polinomios de tal modo que puedas precisar en forma exacta los instantes en que la partícula paso por el origen de la recta en que se mueve.  Tema 1.5 Estudio cualitativo del cambio NO uniforme: Modelo Cúbico Tarea 1.5 Problema 1. En un tanque que originalmente tiene 12 centímetros de nivel de agua, se suministran dos tipos de líquido a través de dos llaves: las primera provoca el aumento del nivel del líquido A, a una razón de cambio constante de 3 centímetros/minuto, y la segunda provoca que el nivel del líquido B aumente a razón variable de 2 t centímetros/minuto. Se extrae la combinación del líquido a través de una llave de desagüe que actúa simultáneamente con las otras dos y de manera que la salida del líquido provoca una disminución del nivel a razón variable de t2 centímetros/minuto. Esto hará que eventualmente, el tanque quede vacío en cierto instante. Encuentra la función que modela la razón de cambio del nivel del líquido en el tanque, y luego, a partir de ella, encuentra la función que modela el nivel del líquido en el tanque. Grafica la función que modela la razón de cambio del nivel y enseguida utilízala para graficar la función que modela el nivel del líquido en el tanque. Narra el comportamiento del nivel hasta el instante en que se vacía, ¿Puedes obtener el valor exacto en que esto lo hace? Problema 2. La función que da cuenta del nivel de haga h (en decímetros) con respecto al tiempo (en minutos) en un tanque sobre el que actúan 3 llaves esa dada por: Decímetros. Precisa el nivel inicial (cuando t=0) y además decide si el nivel estaba subiendo o bajando en ese instante. Justifica tus procedimientos. Si el tanque tiene una altura de 4 metros, decide si llega a un instante en que se desborde. ¿Cuál fue el máximo valor alcanzado por el nivel y en que instante lo tuvo? Argumenta tu respuesta. Utiliza un software de graficación para visualizar el comportamiento simultáneo del nivel y de su razón de cambio. ¿En qué instante el nivel aumenta lo más rápido posible? Apóyate en al grafica para precisar en qué instante se vacía el tanque. Expresa tus procedimientos.  Problema 3. En un tanque cilíndrico actúan dos llaves que lo están llenando de agua, la primera con razón constante de 2 litros/minuto y la segunda con razón variable de 3t2 litros/minuto. Una tercera llave lo está vaciando con razón variable igual a 12t litros/minuto, donde t es el tiempo trascurrido (en minutos). En el instante t=0 el volumen de agua es 32 litros. Determina la función que da cuenta del volumen de agua cuando haya transcurrido un número t arbitrario. de minutos y la función de la razón de cambio del volumen de agua. ¿Cuál es el volumen mínimo al que llega el tanque en el proceso de acción de las llaves? Grafica la función de la razón e cambio del volumen. Grafica en el mismo sistema coordenado la función del volumen de agua en el tanque. Describe ampliamente lo que ocurre con el volumen del agua. ¿Se llenará el tanque? Problema 4. El movimiento de un cochecito en una línea recta esta modelado mediante la función cubica: Donde x representa la posición del coche con respecto al lugar al que se propone llegar, que se encuentra a 100 kilómetros de distancia, la posición x se mide en kilómetros y el tiempo t en horas. Cuando comenzamos a observarlo, ¿en qué posición se encontraba y hacia donde se dirigía, hacia la derecha o hacia la izquierda? ¿En qué posición se encontraba justo al haber transcurrido una hora de observas su movimiento? ¿Hacia dónde se dirigía en ese instante que señala la primera hora trascurrida del movimiento? Grafica la función de la velocidad del coche y comprueba tu respuesta del inciso anterior. En el mismo sistema coordenado que graficaste la velocidad, grafica ahora la función de posición del coche. Describe lo que ocurrió con el coche desde el tiempo 0 hasta el tiempo (aproximando con una cifra decimal) en que llego finalmente a su destino.  Problema 5. La representación algebraica de una función en una versión completa y concisa que carga en sí misma un cumulo de información no visible a simple vista. De eso se trata el problema que te proponemos a través de la siguiente historia. Había una vez un cochecito que se movía sobre una línea recta y su función de posición era: ….. y colorín colorado, este cuento se ha acabado. Acabas de conocer la versión corta de la historia del movimiento del cochecito, y para conocer la versión larga de esta realiza todos lo procedimientos algebraicos necesarios que se te indican Deriva y obtén la función de aceleración a(t). Plantea la ecuación a(t)=0 y resuélvela Plantea la ecuación v(t)=0 y resuélvela. Calcula la v(t) en donde t donde a(t)=0 . Calcula la x(t) en los tiempos conde v(t)=0 y donde a(t)=0 . Pantera la ecuación x(t)=0 y resuélvela. Dibuja la gráfica de la aceleración en color verde. Dibuja la gráfica de la velocidad en color rojo. Dibuja la gráfica de la posición en color azul. Y de ahí….. ¡¡¡ Completa la historia!!! Comenzamos a verlo a los t=0 segundos en la posición xo =____________ metros y llevaba una velocidad de vo =____________ metros/segundo. Desde entonces, hasta los t =____________ segundos se movió hacia la ___________ cada vez más _________ hasta que se paró justo en la posición x =____________ metros. Comenzó en ese momento a trasladarse hacia la ___________ cada vez más ___________. Eran los t =_______ segundos cuando lo vimos pasar por el origen de la recta en que se mueve. Siguió hacia la ___________ y a los t = __________ segundos era cuando iba para allá lo más ___________ que podía. Estaba en ese momento en la posición x= __________ metros y se movía hacia la ___________ con rapidez de _______________ metros/segundo. Ahí empezó a disminuir su rapidez; ya quería regresarse. Total, fue hasta los t= __________ segundos que se siguió moviendo hacia la ___________ cada vez más ___________; se paró justo en la posición x= _________ metros. De nuevo entonces, inició su movimiento hacia la ___________ cada vez más ___________. Cuando lo vimos pasar por el origen de la recta en que se mueve eran entonces los t=________ segundos y llevaba una velocidad de _________ metros/segundo. Y siguió trasladándose hacia la ___________, cada vez más ___________, y más___________, ¡hasta que se perdió de nuestra vista! Instituto Tecnológico de Sonora Cálculo I Depto. Matemáticas