LABORATORIO DE CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA, NO. 3, SETIEMBRE 2015
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Comportamiento de un inductor ante una entrada de
exitación senoidal
Stephanie Chavarrı́a, Estudiante, ITCR, José Miguel González, Estudiante, ITCR,
Resumen—El curso de laboratorio de circuitos en corriente
alterna pretende demostrar los efectos de los diferentes elementos
electrónicos ante una variedad de entradas al circuito. En este
caso el experimento mantiene una señal de entrada senoidal con
variaciones en sus voltajes pico y corriente entregada al circuito.
El objetivo principal es analizar el comportamiento de una bobina
en un circuito en serie.
Index Terms—Senoidal, Inductor, Voltaje pico, impedancia,
reactancia.
I.
I NTRODUCTION
L
OS circuitos en corriente alterna, mantienen una entrada
senoidal con un valor pico y una corriente entregada al
circuito correspondiente. Para el presente ejercicio se tomó
una bobina de 10H y una resistencia de 100 Ω conectadas
en serie para analizar a fondo el comportamiento del circuito
ante variaciones de corriente, frecuencia y valores de bobina.
Se tomaron datos para ser graficados y lograr relacionarlos
con las ecuaciones teóricas que permiten analizar los circuitos
en corriente alterna sin necesidad de probarlos fı́sicamente.
Los inductores tienen un efecto ante los cambios bruscos de
corriente. En el ejercicio también se tomó en cuenta este efecto
y se analizó para demostrar la relación teórica que existe entre
la corriente y el voltaje en un inductor.
September 04, 2015
Por lo tanto la primera expresión para el inductor es:
V = jωLI
(4)
La impedancia se define como la división entre el voltaje
del fasor y la corriente del fasor de la siguiente manera:
V
(5)
I
La Ecuación 4. refleja un efecto que sucede en los inductores. La relación entre la corriente que conduce un inductor
y el voltaje que refleja, es de 90o de atraso. Ahora, al igualar
la ecuación (4) y la ecuación (5), se obtiene la expresión de
la impedancia en un inductor:
Z=
Z = jωL
Para el circuito de la Figura 2. el ejercicio consiste en
obtener y analizar los valores de VL e IL . Utilizando la ley
de Ohm para componentes fasoriales se obtiene la siguiente
ecuación:
IL =
VLpp
Zeq
(6)
Lo siguiente es encontrar el valor de Zeq :
Zeq = ZL + ZR
II.
D ESCRIPCI ÓN DE CONCEPTOS
Se obtiene la expresión matemática para calcular la impedancia. Partiendo de que el voltaje y la corriente de salida en
estado estable de un circuito, es de la forma:
v = Vm cos(ωt + φ)
Zeq = jωL + R
Zeq = j(1KHz)(10H) + 100Ω
Zeq = 10000,506 89,43o
v = Re{Vm ej(ωt+φ) }
(1)
i = Re{Im ej(ωt+β) }
(2)
Con este resultado ya se puede sustituir en la ecuación (6)
para obtener el valor de IL :
IL =
Vp
Zeq
El voltaje en un inductor se define como:
di
(3)
dt
Al sustituir las ecuaciones (1) y (2) en la ecuación (3) se
obtiene el siguiente resultado:
j(ωt+β)
)
Vm ej(ωt+φ) = L d(Im e dt
jωt jβ
Vm ejωt ejφ = L d(Im edt e )
Vm ejφ = LIm ejβ
v=L
IL =
3Vp
10000,506 89,43o
IL = 0,3 × 10−3 6 − 89,43o [A]
Ahora para obtener el VL se puede utilizar el divisor de
voltaje para el circuito serie ası́:
VL =
(VT × ZL )
ZL + ZR
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VL =
2
3Vp 100006 90o Ω
100006 90o Ω + 100Ω
VL = 2,99996 0,57o [V ]
Figura 3: Circuito de medición 2
Cuadro II: VL en función de la frecuencia
Frecuencia T. (Hz)
Frecuencia P. (Hz)
VL (Vpp )
60
60,00
2,5
100
100,00
4,0
150
158,73
6,0
200
192,31
8,0
250
250,00
11,2
300
303,03
13,6
Figura 1: Simulación del comportamiento en el Circuito 1
En la Figura 1. la señal que se nota en negro, corresponde
al voltaje simulado en el inductor y la señal que se nota en
color azul, corresponde al voltaje simulado en la resistencia en
serie. Como se puede notar, existe un desfaz entre el voltaje
de la bobina y el voltaje en la corriente. Esto se debe a que el
inductor retrasa la corriente en 90o respecto al voltaje, por lo
tanto el voltaje en la resistencia se va a manifestar 90o después
que el voltaje en el inductor.
III.
P ROCEDIMIENTO
IV.
A N ÁLISIS
Lo primero a mencionar es la relación que existe entre la
frecuencia y el voltaje de la bobina, como ya se ha mencionado
en la teorı́a se tiene la siguiente expresión:
VLpp = 2πf LILpp
(7)
Se puede ver que la frecuencia en la ecuación es directamente proporcional al voltaje, lo cual se nota en la Figura 4.
en la cual se demuestra, por medio de la gráfica con tendencia
lineal creciente. Por lo tanto si la frecuencia aumenta también
lo hace el voltaje en la bobina. Además con esta ecuación
se deduce que la relación entre la corriente y el voltaje es la
reactancia inductiva XL = 2πf L.
Obteniendo la ecuación de la gráfica de la Figura 4. utilizando el software de Microsoft Excel, se tiene el siguiente
resultado:
y = 0,0466x − 0,7108
(8)
Según la Ecuación 7. se logra comprobar que su pendiente
corresponde a 2πLILpp , donde su valor real, para este caso
es de 0.0494 y luego tomando en cuenta el valor práctico de
la bobina, se calcula el porcentaje de error de la siguiente
manera:
Figura 2: Circuito de medición 1
Cuadro I: Medición de los componentes utilizados
Valor Teórico
10000
11
Valor Práctico
9883
15,729
Porcentaje de Error
1,170
42,991
%error =
0,0466 − 0,0494
× 100 = 6,0086 %
0,0466
(9)
Se puede notar que el porcentaje de error es bastante bajo,
por lo tanto se puede afirmar que el ejercicio fue realizado de
manera correcta. Lo que puede afectar en este porcentaje de
error, es el desgaste en el material, en este caso la bobina, las
resistencias y los equipos tanto de medición como el generador
de señales. Se puede comprobar también experimentalmente
que la función es efectivamente lineal, con respecto a la teorı́a.
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Figura 4: Gráfico de VL respecto a la Frecuencia
3
Figura 5: Gráfica de VL respecto a la corriente del circuito
IL
Cuadro III: Medición de VRM y VL
Corriente (mA)
VRM (mV )
VL (V )
0,5
50
2,5
1
100
5
1,52
150
8
2
200
18
2,28
250
12,8
En el Cuadro II. se encuentran los datos de corriente de la
bobina ILP P , VRM pp y VLP P , la mayor caı́da de tensión está
en la bobina pues es la que presenta la magnitud de impedancia
mayor. En la Figura 5. se representa el voltaje de la bobina
contra la corriente del circuito, la cual se hace variar para
tomar los voltajes en ella. La tendencia es lineal, sin embargo
los datos están dispersos, los cuales pueden ser afectados por
la calibración del equipo, un ámbito de error de paralaje y el
desfase que se provoca.
La Figura 6. representa las ondas de voltaje para cada
elemento del circuito, por un error de configuración al no
invertir el canal Y (Figura 3.) el voltaje de la resistencia
adelanta al de la bobina, sin embargo conociendo este error, de
igual forma se obtiene el ángulo entre las ondas, por medio de
una regla de tres, si 360o corresponde a 25 divisiones, entonces
6 divisiones corresponderı́an al ángulo de separación. De esta
forma el resultado obtenido fue un desfaz de: 86.4o , con un
porfentaje de error de 4 % lo cual es aceptable debido a los
factores que pueden afectar las mediciones como la calibración
del equipo y errores de paralaje.
Si se calcula la corriente:
o
66 90
= 95,4µA
20000πj
Se puede notar que la corriente no posee un ángulo en el
resultado. Esto sucede debido a que el atraso que tiene la
corriente, está representado respecto al voltaje pues este ya
tiene un ángulo 90o implı́cito.
Es importante saber de dónde aparecen algunas expresiones
matemáticas. La comprobación de la relación corriente y
voltaje para una bobina es:
VL = L
dI
dt
Figura 6: Forma de onda de VL (en amarillo) y Voltaje en la
Resistencia VRM (en Verde)
VL = L
d(IL sen(ωt))
dt
VL = ωLIL cos(ωt)
(10)
Con identidades trigonométricas se puede sustituir el coseno
para expresar la Ecuación 10. en términos de seno:
VL = ωLIL sin(ωt − 90o )
(11)
Esta Ecuación 11. corresponde a la relación matemática
analizada con anterioridad.
Para el caso del Cuadro IV. se comprueba la Ley de Ohm
aplicada a corriente alterna expresada en la Ecuación 5. Como
la variante es, la inductancia L y tanto la frecuencia angular
como la corriente permanecen con el mismo valor, en la
Ecuación 4. se puede observar que la impedancia varı́a en
función de la Bobina. Es por esto que los valores de voltaje
en la bobina VL aumenta con forme se aumenta el valor de la
bobina.
Cabe destacar que para aumentar el valor de la bobina, se
colocaron una, dos y tres inductancias, en serie, respectivamente para variar de entre 10H, pasando por 20H hasta 30H.
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Cuadro IV: Medición de VL respecto a la inductancia L
Voltaje VL
Inductancia L
2,44
10
4,78
20
7,50
30
V.
C ONCLUSI ÓN
1. Se comprueba la ley de Ohm aplicada a corriente alterna,
donde la impedancia es directamente proporcional al
voltaje y la corriente es inversamente proporcional.
2. Se demuestra el desfaz presente en la bobina de la
corriente respecto al voltaje, el cual es de 90o de
adelanto del voltaje respecto a la corriente que fluye
en el inductor.
3. Se comprueba experimentalmente la relación lineal que
existe entre la reactancia inductiva, el voltaje y la corriente en el inductor, por medio de análisis de gráficas.
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