Modélisation numérique du transfert de matière dans un écoulement annulaire faiblement tourbillonnaire non-entretenu

z zyxwvut zyxwvut zyxwvutsrqp Modklisation numkriaue du transfert de matikre dans un kcoulement annulaire faiblement tourbillonnaire non-entretenu P. LEGENTILHOMME et J . LEGRAND” Laboratoire de G h i e des Prockdh - I. U.T. - BP 420, 44606 Saint-Nazaire Cidex - France Ce travail est consacre h la modClisation de l’hydrodynamique et du transfert de matitre lors de 1’Ccoulement tourbillonnaire laminaire produit par une entrCe tangentielle dans un espace annulaire cylindrique. Les Cquations du mouvement et de diffusion-convection, simplifi6es en utilisant la th6orie de la couche limite, sont rCsolues par une mCthode implicite aux diffkrences finies. Bien que cette mCthode ne permette pas de traiter les Ccoulements fortement tourbillonnaires ou ceux oh se produisent des phCnombnes de recirculation, ce travail nous a cependant permis de soulever un probltme intkressant quant h la validit6 des hypotheses de la thkorie de la couche limite pour la dbtermination du transfert de matitre pour des nombres de Schmidt ClevCs. Mass transfer and hydrodynamics in a laminar swirling flow induced by a tangential inlet in a cylindrical annulus was investigated. The simplified version of the momentum and convection-diffusion equations using the boundary layer theory, was resolved by an implicit finite difference method. Although the proposed method cannot be applied to vortex flows and recirculating phenomena, the present work identified a relevant problem about the validity of the boundary layer theory for the mass transfer determination at high Schmidt numbers. Mots clCs: koulement tourbillonnaire, entrke tangentielle, espace annulaire, modClisation numkrique, transfert de matsre. D ans le domaine du Gtnie des ProctdCs, un grand nombre de travaux rtcents est consacrt au dkveloppement de nouveaux appareillages caracttrists notamment par des coefficients de transfert de chaleur ou de matibre tlevts. Parmi les diffdrentes techniques mises en oeuvre, la gtnkration d’tcoulements ? caractkre i tourbillonnaire permet d’accroitre les tchanges de manibre constquente. Les Ccoulements tourbillonnaires, caractCrisCs par une vitesse tangentielle Clevk, peuvent &re divists en deux cat& gories d’aprbs Gupta et al. (1984), suivant la mCthode employte pour assurer la rotation du fluide: 1 - les tourbillons entretenus, dont les propriCtts (composante tangentielle de vitesse, inclinaison des lignes de courant) persistent tout au long d’un appareillage donne. Ces structures peuvent Ctre obtenues par la rotation d’un tube (Korjack, 1985) ou d’un des cylindres constituantsun espace annulaire (Simmers et Coney, 1979) ou par l’insertion, le long d’une canalisation, d’objets tels que des hClices (Burfoot et Rice, 1984), des spirales de fil mttallique (Sethumadhavan et Raja Rao, 1983), etc, 2 - le second type d’Ccoulements tourbillonnaires est caracttrist par la mise en oeuvre de structures nonentretenues; le mouvement de rotation est communiquC au fluide B son admission dans la cellule, l’intensitt tourbillonnaire dCcroit par constquent lorsque l’on s’tloigne du gtntrateur de tourbillons, la composante tangentielle de vitesse diminue, de m&meque l’inclinaison des lignes de courant par rapport 2 l’axe de la canalisation. Ce type d’hydrodynamique peut Ctre obtenu par la rotation de I’extrCmitC d’un tube, par des htlices ou des serpentins de fil disposes ?i l’entrte de I’appareillage, ou B l’aide de differents dispositifs h ailettes inclintes (Clayton et Morsi, 1984) et enfin, en utilisant une (ou plusieurs) entrte(s) tangentielle(s) couplte(s) ou non B une entrke axiale du fluide (Yukawa et Hashimoto, 1982; Hallet, 1986). Lors de prtcbdents travaux expbimentaux, nous avons employ6 plusieurs entrees tangentielles (figure 1) de differents diamktres pour produire un tcoulement tourbillonnaire non-entretenu dans un espace annulaire cylindrique. zy zyxwv Des mesures tlectrochimiques de gradients parittaux de vitesse, sur le cylindre exttrieur (Legrand et al., 1991) et de coefficients globaux de transfert de matibre sur le cylindre inttrieur (Legentilhommeet Legrand, 1990; 1991) nous ont permis d’Ctudier l’incidence du rapport de l’tpaisseur de I’espace annulaire, e, au diambtre de l’entrke tangentielle, 4%. Les Ccoulements tourbillonnaires ont d’ores et dtja fait l’objet d’applications dans les domaines des cellules tlectrochimiques, pour la rCcuptration de mttaux prtcieux en solution dilute (Cedrone, 1958; Walsh et Wilson, 1986), des Cchangeurs thermiques (Hong et Bergles, 1986), ou des stparateurs gaz-solide (Duggins et Frith, 1987) ou gaz-liquide (Thew, 1986). Par ailleurs, nous sommes en train de dtvelopper un proctdt de mtlange bast sur des entrtes tangentielles des rtactifs. Les Ccoulementstourbillonnaires en rtgime laminaire ont fait l’objet de quelques travaux thtoriques, consacrts pour la plupart i la dttermination des profils de vitesses dans un tube ou un espace annulaire muni de plusieurs types de gCnCrateurs de tourbillons. Talbot (1954) a dttermint analytiquement les composantes axiale et tangentielle de vitesse dans un espace annulaire dont l’une des extrCmitCs du cylindre inttrieur est animCe d’un mouvement de rotation. La vitesse angulaire dtcro2t exponentiellement lorsque l’on s’Cloigne de la section d’entrCe et prCdit correctement les dtterminations expirimentales dans ce type de cellule (Talbot, 1954). Lavan et al. (1969) se sont inttressts B l’hydrodynamique engendree par la rotation de l’extrkmitk d’un tube et tirent les mCmes conclusions que Talbot (1954) quant-a-1’Cvolution du profil de vitesse angulaire et montrent par ailleurs que l’affaiblissementdes structures tourbillonnaires s’accompagne d’une augmentation de la pression prbs de l’axe du tube et d’une diminution de cette grandeur prbs de la paroi. Kinney et Sparrow (1970) ont Ctudit analytiquement 1’Ccoulement dans un dispositif semblable avec extraction ou injection de fluide radialement au travers de la paroi du tube supposte permeable. 11s ont montre que la dkcroissance de I’intensitC tourbillonnaire (dCfinie comme le rapport du flux angulaire de quantitt de mouvement au flux axial de quantitC de mouvement) est freinte lorsque l’on injecte du fluide et zyxwvutsrqpon *Auteur auquel la correspondance doit b r e adress6e. THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING, VOLUME 71, APRIL, 1993 299 zy Cette modClisation est basCe sur la rCsolution, par une mtthode numCrique aux diffirences finies, des Cquations du mouvement et de diffusion-convection simplifiCes en utilisant les hypotheses de la thCorie de la couche limite (Schlichting, 1979). Mise en Cquations du problhme FORMULATION SIMPLIFIEE DES EQUATIONS DU MOUVEMENT ET DE DIFFUSION-CONVECTION ConsidCrons 1’Ccoulement stationnaired’un fluide visqueux incompressible entre deux cylindres coaxiaux. En adoptant le systbme de coordonnCes cylindriques reprCsentC sur la figure 2, les Cquations du mouvement sont les suivantes (u, v, w reprksentant respectivement les composantes axiale, radiale et tangentielle de la vitesse et p la pression): zyxwvutsrqpon zyxwvu zy zyxw - suivant la coordonnCe radiale: Figure 1 - DCtermination de la vitesse tangentielle initiale. - Cyl indre --, exte‘rieur A - (lip) ut, I I I I + (wit-) ada6 + u aviaz - w2/r = v aviar Cyl i n d r e ’-int&ieur apiar +v [v 2~ - v/r2 - ( 2 / r 2 )aviae] (1) - suivant la coordonnee angulaire: zyx + (wir) awiae + u awiaz + vw/r = - (i/p)(i/r)ap/a6 + v [ v 2~ + (2/r2)aw/a8 - w/r2] v awiar ..................................... - suivant la coordonnCe axiale: (2) zyxw + (w/r) auia6 + u auiaz = - (11~)apiaz + v 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(3) 06: v = a2/ar2 + (lir) aiar + (l/r2) a2/ae2 + a2iaz2 v auiar p et v &ant respectivement la masse volumique et la visco- sit6 cinCmatique du fluide. Par ailleurs, 1’Cquation de continuit6 s’tcrit: Figure 2 - Le systkme de coordonnCes cylindriques. qu’elle est au contraire accC1CrCe dans le cas d’une aspiration radiale. Cette chute de I’intensitC tourbillonnaire est principalement localiste dans la couche limite hydrodynamique au contact de la paroi du tube. En ce qui concerne la modtlisation des phCnomknes de transfert de chaleur ou de matibre, trbs peu d’Ctudes sont disponibles. Kiya et al. (1971) ont utilisC une methode aux differences finies pour rCsoudre les equations du mouvement et I’Cquation de conservation de la chaleur dans un tube sibge d ’un Ccoulement faiblement tourbillonnaire et ont dCterminC les profils de vitesses axiale et tangentielle et le transfert de chaleur entre le fluide et la paroi du tube. Cette Ctude a confirm6 la dkcroissance exponentielle de I’intensitC tourbillonnaire et montri que le transfert de chaleur est d’autant plus important que 1’intensit6 tourbillonnaire initiale est ClevCe. Ce dernier point a Cgalement t t t relevC par Mukherjee et al. (1987) dans le cas d’un Ccoulement tourbillonnaire produit par deux entrtes tangentielles opposees dans un tube. Le prtsent travail a trait h une prem5re modClisation de I’hydrodynamique et du transfert de matibre lors de 1’Ccoulement tourbillonnaire laminaire induit par une entrCe tangentielle B la base d’un espace annulaire cylindrique. 300 (llr) a/& (rv) + ( l l r ) awlae + adaz = 0 . . . . . (4) En l’absence de rCaction chimique, l’tquation gCnCrale de diffusion-convection prend la forme (Bird et al., 1960): + (wit-) aciae + u ac/az = D [(lir)aiar(r aclar) + (l/r2)a2~ia62 + a2c/dz2] v aciar ........................................ (5) ob c reprCsente la concentration de I’espbce transfCrCe et D son coefficient de diffusion molCculaire dans la solution. D’aprbs la plupart des auteurs, 1’Ccoulement produit par une entrCe tangentielle disposCe ti la base d’une conduite cylindrique ou d’une cellule annulaire prksente un caractbre asymttrique (Hay et West, 1975). Cependant, les travaux thioriques concernant ce type d’hydrodynamiquefont I’hypothbse d’un Ccoulement bidimensionnel 5 symttrie axiale (Kiya et al., 1971; Morsi et Clayton, 1986). Par ailleurs, immddiatement aprbs le gtnCrateur de tourbillons, Kiya et al. (1971) ont supposC que l’amplitude des variations des trois composantes de la vitesse est negligeable suivant la coordonnCe axiale par rapport a celle observCe dans la direction perpendiculaire au sens general de 1’Ccoulement. De plus, zyx zyxwvutsr THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING, VOLUME 71, APRIL, 1993 zyxwvutsrqpo zyxwvu zyxwvutsrq zyxwvutsr zyxw zyxw les variations de la vitesse radiale sont supposCes trks faibles devant celles des composantes axiale et tangentielle dans la mCme direction. Dans ce cas, en appliquant les hypothhses de la thCorie de la couche limite (Schlichting, 1979), les Cquations (1) h (5) se rCduisent B la formulation suivante; en utilisant les grandeurs adimensionnelles dtfinies ci-aprh: - suivant la coordonnte radiale: W ~ I R= aPiaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - suivant (6) la coordonnCe angulaire: v awiaR + u awiaz + w i R = a2wiaR2 + ( i i R ) awiaR - suivant - la coordonnke axiale: v a u a R + u aviaz + ( I I R )a u a R - tquation - Cquation = -apiaz + a2uiaR2 ........................... VIR = o . . . . . . . . . . . . . . . . . .(9) de diffusion-convection: + u aciaz = ( m ) [a2ciaR2+ I I Ra c i a ~ ] ....................................... avec: U = uIV, (8) de continuitk: aviaz + aviaR + vaciaR wiR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7) W = wIU, (10) Z = 2z(1 - N)/(Re R2) R = r / R 2 C = clc Pour calculer les trois composantes de la vitesse, la pression et la concentration, il faut se donner les profils initiaux de vitesses axiale et tangentielle, de pression et de concentration a I’entrCe de la cellule (Z = 0) ainsi que les valeurs de ces diffkrentes grandeurs, plus la vitesse radiale, sur les parois de I’espace annulaire ( R = N et R = 1). La condition d’adhirence aux parois s’Ccrit: Z > O e t R = N : U = V = W = O Z > OetR = 1 : U = .......... V= W=0 Kiya et al. (1971), comme dans tous les travaux thCoriques sur les Ccoulements tourbillonnaires, considbent que le profil depression est uniforme a I’entrCe de la cellule soit, en utilisant la pression adimensionnelle P: z = 0, vR: p Z = O , v R : U = 1 ....................... (13) En ce qui concerne le profil initial de vitesse tangentielle, on rencontre plusieurs hypothbes dans la littirature: 1 - lorsque les structures tourbillonnaires sont gCnCrCes par la rotation de l’extrtmitt d’un tube, Talbot (1954) suppose que la composante tangentielle initiale obiit B une loi de type vortex ford: w = k r, 2 - d’autres travaux (Mukherjee et al., 1987) sont bases sur une vitesse tangentielle initiale suivant une loi de type vortex libre: w = k‘lr. Cette hypothkse semble cependant plus particulibrernent adaptCe B la rnodklisation des jets tourbillonnaires libres (Gupta et al., 1984), 3 - Morsi et Clayton (1986) expriment la vitesse tangentielle B l’entrte d’un espace annulaire sous la forme d’un polyn6me du rayon, r , qui inclut les diffirents types de vortex: w = a, r - ’ + al + a2 r + a3 r2 + . . . + a,+I r”; les coefficients ai sont dkterrninks B partir d’investigations exptrimentales (Clayton et Morsi, 1984). Compte tenu du caractbe confink de 1’Ccoulernent dans notre cellule annulaire et du fait qu’il est probable que, immCdiaternent en aval de I’entrCe tangentielle, l’hydrodynamique soit essentiellement gouvernCe par la composante angulaire de vitesse, nous avons exprime la vitesse tangentielle initiale sous la forme d’un vortex ford: w = k r ; d’ob, en coordonnCes adimensionnelles, on obtient: zyxw W = w/Um = (kR21Um)R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14) zyxwvut zyxwvut V = v R ~ I v P = @ -p,)I(pU~) CONDITIONS AUX FRONTIERES Nous supposerons la vitesse axiale uniforme dans la section d’entrke, ce qui constitue l’hypothltse communCment admise dans la plupart des travaux thtoriques (Kiya et al., 1971; Mukherjee et al., 1987) se rapportant aux Ccoulements tourbillonnaires non-entretenus: = 1 ....................... (12) On suppose qu’h Z = 0, la quantite de mouvement communiquCe au fluide par l’intermddiaire de 1’entrCe tangentielle l’est uniquement sous forme d’une composante angulaire. Par ailleurs, en considCrant la conservation du dCbit, on admet (figure 1) que le rapport de la vitesse tangentielle moyenne en Z = 0 a la vitesse dibitante dans l’entrbe tangentielle est Cgal au rapport des sections II 4; 1 [ 4 4, (R2 - R , ) ], oh d~~(R2 - R , ) reprksente la section d’admission du fluide dans I’espace annulaire. En integrant 1’Cquation (14) sur la section de I’espace annulaire et en explicitant la vitesse dkbitante dans 1’entrCe tangentielle, on obtient finalement le profil de la composante angulaire initiale adimensionnelle: W = (2IT R214c)R = K R . . . . . . . . . . . . . . . . Dans les Cquations (6) a (lo), la dCrivCe de la vitesse radiale par rapport a Z : (aVlaz) n’apparait pas; il n’est donc pas nCcessaire, a priori, de supposer un profil initial de cette composante; mais nous verrons par la suite que I’application de notre schema aux differences finies ntcessite cette condition initiale supplCmentaire. La plupart des auteurs s’intkressant aux Ccoulements tournants suppose la vitesse radiale nulle a Z = 0 (Morsi et Clayton, 1986; Coney et El-Shaarawi, 1974): Z = O , v R , v = O ........................ THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING, VOLUME 71, APRIL, 1993 (16) 30 I zyxwvu zy zyxwvutsrq Enfin, pour rCsoudre 1’Cquation (lo), nous devons Cgalement nous donner un profil initial de concentration, ainsi que la valeur de cette grandeur sur les parois de l’espace annulaire. Par analogie avec les travaux de Ould-Rouis et al. (1989), concernant le transfert de matikre fluide-paroi lors d’un tcoulement laminaire axial nonttabli dans un espace annulaire, et compte tenu des conditions adoptCes lors de nos prCcCdents travaux exptrimentaux (Legentilhomme et Legrand, 1990; 1991) - concentration nulle en substance transfkrte sur le cylindre intCrieur - nous avons utilisC les conditions suivantes: Z = 4 1 2 i-1 i ” i+t 4 zyxwvutsrq zyxwvutsrqponm zyxwvut zyxwvutsrqponm zyxwvutsrqp 0, VR, C = 1 Z>O, R = N , C = O .................... (17) Z > 0, R = 1 , C = 1 Figure 3 - DiscrCtisation du domaine physique. METHODE DE RESOLUTION Schkma aux diflkrences Jinies Pour rCsoudre le systbme d’Cquations aux dCrivCes partielles (relations (6) h (lo)), nous avons adopt6 un schema aux differences finies dCrivC de celui dtveloppt par Coney et El-Shaarawi (1974) pour modCliser 1’Ccoulement d’un fluide incompressible dans un espace annulaire dont les deux cylindres peuvent Ctre animCs d’un mouvement de rotation. Ce schCma et quelques variantes ont Cgalement CtC utilists par diffirents auteurs traitant d’kcoulements tournants (El-Shaarawi et Sharan, 1982). Les Cquations sont discretistes en utilisant un schema centrC sur la coordonnCe radiale et dtcentrt suivant la cote axiale (figure 3): - suivant la coordonnCe angulaire (equation (7)): On pose: Les coefficients A!, A f , A: et A; se dkduisent facilement en remplaCant les dCrivCes partielles de 1’Cquation (7) par leurs expressions sous forme de diffkrences finies. - suivant la coordonnke radiale (Cquation (6)): avec : 1’Cquation (6) prend la forme: W!,j+l / ( N + i AR) = (Pi,j+l- P;-l,,+l)/AR . . (19) - suivant la coordonnCe axiale (equation (8)): On approxime les dCrivCes partielles par les expressions suivantes: zyxwvut 1’Cquation (8) devient alors: Coney et El-Shaarawi (1974) supposent que dans les produits W,i,j+l V,,j+l, Wi,j+lUi,j+l,etc, les termes h la cote 2 AZ (pasj l), autres que ceux concernant W, conservent leurs valeurs dCterminCes au pas prtcCdent (pas j, cote 3.Pour commencer le calcul, B la cote AZ,il nous faut par consCquent connaitre non seulement les composantes axiale et tangentielle de la vitesse, mais Cgalement la composante radiale i Z = 0, alors que la rtsolution des Cquations initiales (6) h (10) peut thCoriquement Ctre rCalis&esans connaitre la vitesse radiale initiale; ce qui nous a conduit B utiliser 1’Cquation (16). En faisant l’hypothbse de Coney et El-Shaarawi, l’kquation (7) devient: + A! + X FV-l,j+l + A; X W,,j+l + A! X F+l,j+l= ....................................... 302 Pi,j+l + A: X Ui-l,j+I + A: X Ui,,+l + A: x Ui+l,j+l = A$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20) En faisant la mCme hypothbse que pour la composante angulaire, c’est-&dire que les termes au pas j 1, autres que ceux ayant trait B U , conservent leurs valeurs du pas j , les coefficients A! B A$ ne dependent que des termes calcu16s au pas j (cote Z). - Cquation de continuit6 (equation (9)): Nous avons employ6 les differences finies suivantes: + A! (18) THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING, VOLUME 71, APRIL. 1993 zyxwvutsrq zyxwvut zyxwvutsrq zyx zyxwvuts Pour assurer la stabilitt du schtma de discrttisation, Terhmina et Mojtabi (1988) prtconisent d’utiliser l’expression suivante pour approximer le terme VIR: 2 - l’tquation (19) s’tcrit tgalement sous la forme: ou : Pi,j+l = po,j+l + L’tquation (9) peut alors s’tcrire sous la forme: A: x Vi+l,j+l + A!’ x Vi,,+l = A!’ . . . . . . . . . (2 1) ~ C = ( ,A R / ( N + k AR))Wi,j+,. (25) oa dtsigne la pression sur le cylindre inttrieur de l’espace annulaire ( R = Nj sur la section j 1. En remplaFant par son expression dans l’tquation (20), cette dernibre devient: + - Equation de diffusion - convection (equation (10)): On pose: + PO,^+^ = Aj6 .......................... (26) avec : A!6 = AS - X Ctl,j+l + A!3 x Cij+l + A!4 X Ci+l,j+l = A / ’ ....................................... (22) Pour rtsoudre le problkme hydrodynamique, nous avons introduit une tquation suppltmentaire traduisant la conservation du dtbit & travers la section droite de l’espace annulaire. Celle-ci s’tcrit: R UdR zyxwvu zyxwvu zyxwvu zyxwvuts zyxwvuts zyxwvuts soit, sous forme adimensionnelle: SN = 1/2 (1 - N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . (23) En utilisant la mtthode d’intbgration “des trapkzes” sur le maillage de la figure 3, la relation (23) devient: i u;,j+l (N + i AR) = 1/2AR (1 - N*) . . . . . (24) ,=I Rbolution du systtme d ’kquations am difSe’rences j n i e s Connaissant les champs de vitesses, de pression et de concentration sur une sectionj (cote Z),les Cquations aux difftrences finies nous permettent de dtterminer ces grandeurs sur la section j + 1 (cote Z + AZ). Le calcul dtbute & la cote A2,les conditions aux frontikres (1 l), (12), (13), (15), (16) et (17) nous fournissent les difftrents profils B la cote Z = 0. Le code de calcul, tcrit en FORTRAN 77, procbde de la manikre suivante: 1 - en appliquant l’tquation (18) pour 2 Ii In - 1, et les conditions limites (11) pour i = 1 et i = n , on obtient un systkme de n tquations 1inCaires & n inconnues dont la matrice des coefficients est tridiagonale. La rksolution de ce systkme par l’algorithme de Thomas (Carnahan et al., 1969) permet de calculer le profil de vitesse tangentielle au pas j 1. + En appliquant l’tquation (26) pour 2 Ii In - 1 et les conditions limites (11) pour i = 1 et i = n , on obtient un systkme de n tquations 2 n 1 inconnues (les n vitesses axiales et la pression sur le cylindre intkrieur). Pour r6soudre ce systbme, nous devons lui adjoindre 1’Cquation de conservation du dCbit (relation (24)). Le systkme de n + 1 tquations lintaires B n + 1 inconnues ainsi obtenu est caractkrist par une matrice tridiagonale des coefficients augmentCe d’une ligne et d’une colonne. Sa rtsolution, par un algorithme spCcifique issu des travaux d’Amaouche (1986), permet de calculer le profil de vitesse axiale et la pression sur le cylindre intCrieur (Po,j+l)et par la suite le profil de pression sur toute la section de l’espace annulaire & I’aide de l’tquation (25). 3 - en appliquant l’tquation de continuit6 (9), pour 2 I i In - 1 et les conditions aux limites (11), on obtient n tquations lintaires dkcoupltes (systkme bidiagonal), qui nous permettent de calculer simplement la composante radiale de la vitesse. 4 - enfin, l’utilisation de l’tquation (22) et des conditions aux limites (17), se traduit par l’obtention d’un systkme de n Cquations linCaires B n inconnues & matrice tridiagonale permettant de dtterminer le profil de concentration. La convergence et la stabilitt de ce schtma de diffkrences finies ont ttC Ctudites par El-Shaarawi et Sharan (1982) qui ont montrt que: - la solution numtrique converge vers la solution exacte lorsque les incrkments A2 et AR tendent simultanement vers 0, - le schtma de discrttisation est stable, c’est-&-direque les erreurs inputables & la prtcision du calculateur utilist ne s’amplifient pas lorsque l’on effectue un increment de AZ, & la condition que la vitesse axiale demeure positive. Ce schCma n’est donc pas utilisable pour modtliser l’tcoulement tourbillonnaire produit par une entrCe tangentielle de diambtre infkrieur B l’entrefer de l’espace annulaire (#e < e ) pour lequel nous avons montrt l’existence de phtnomknes de recirculation ( U C 0, Legentilhomme et Legrand, 1991). + La relation (10) prend donc la forme: Aj2 E ( A R / ( N + kAR))Wi,j+l k = I Test du modkle, problkme de la prCdiction du transfert de matihe pour des critkres de Schmidt ClevCs De manibre B tester la validid de notre schtma de difftrences finies, nous avons modt5lis6 deux types d’hydrodynamique qui ont fait l’objet de plusieurs ttudes thtoriques: THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING, VOLUME 71, APRIL, 1993 303 I- zyxwvut c 3 - 03 - 05 zyx 1 .o / zyxwvuts zyxw 0.5 N = 0.51 Re = 1800 z = 604 mm zyxwvutsr zyxw c 0 0 “ Figure 4(b) - Simulation d’un Ccoulement tourbillonnaire nonentretenu dans un espace annulaire en partant d’une composante tangentielle initiale de type vortex libre ( W = UR); (a) resultats de Morsi et Clayton (1986), (b) nos rksultats. 0” ETABLISSEMENT D’UN ECOULEMENT 0” 1 t A 1.0 0.9 0.8 0.7 R 0.6 0.51 AXIAL LAMINAIREDANS U N ESPACE ANNULAIRE Odd-Rouis et al. (1989) ont Ctudie numkriquement I’Ctablissement d’un Ccoulement laminaire dans une cellule annulaire. Par une mCthode de diffkrences finies, ces auteurs ont calculC, les profils de vitesses radiale et axiale en fonction de 2. A 2 = 0, la vitesse radiale est supposee nulle (Z = 0, V R , V = 0) et la composante axiale constante (Z = 0. V R , U = I), ou correspondant au profil de vitesse a la sortie d’un lit de particules spheriques place dans un espace annulaire (profil riel Ctabli par Cheng et Hsu, 1986). En considtrant une vitesse tangentielle nulle quel que soit Z, nous avons comparC les profils de vitesses obtenus avec notre code de calcul I? ceux dCterminCs par Odd-Rouis et al. (1989). Les rCsultats sont illustris sur les figures 5 et 6; on peut constater la bonne concordance des profils de vitesses axiale et radiale. L’Ctude du transfert de chaleur fluide-paroi d’un espace annulaire, en prksence d’un Ccoulement axial laminaire nonCtabli, a fait l’objet de plusieurs travaux thkoriques (Terhmina et Mojtabi, 1988; Coney et El-Shaarawi, 1975). Par contre, il n’existe pas, B notre connaissance, de modtlisation numtrique satisfaisante du transfert de matikre dans une telle configuration. La connaissance du profil de concentration, caIculC B partir de l’tquation (22),nous permet de dtterminer le coefficient local de transfert de matikre. k , , entre la solution et le cylindre intkrieur de I’espace annulaire, et par suite le nombre de Sherwood local, Sh I, base sur le diamktre hydraulique, et le nombre de Sherwood global, Sh, par intCgration depuis le point de dtveloppement de la couche limite diffusionnelle, soit: zyxwvutsrqpo zyxwvutsr zyxwvutsrq zyx Figure 4(a) 1 - la dtcroissance d’un Ccoulement tourbillonnaire nonentretenu dans un espace annulaire en supposant une composante angulaire initiale obCissant B une loi de type vortex libre, 2 - I’Ctablissement des profils de vitesses axiale et radiale en rCgime laminaire dans un espace annulaire et le transfert de matibre, sur le cylindre intirieur, en prtsence d’un tel Ccoulement . ECOULEMENT TOURBILLONNAIRENON-ENTRETENU DANS UN ESPACE ANNULAIRE Morsi et Clayton (1986) ont dCvelopp6 un modble numCrique permettant de calculer les trois composantes de vitesse dans un Ccoulement tourbillonnaire laminaire ou turbulent, gtntrt B I’entrCe d’un espace annulaire. Dans le cas d’une vitesse angulaire initiale obkissant B une loi de type vortex libre (W = K ‘ / R avec K ‘ = I ) , ces auteurs ont calculC W en fonction de la distance parcourue par le fluide. En rCgime laminaire, pour une distribution de vitesse axiale uniforme B I’entrte, ils ont obtenu les profils de vitesse tangentielle reprCsentCs sur la figure 4(a), qui sont tout B fait comparables h ceux calculCs avec notre propre code (figure 4.b). 304 THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING. VOLUME 71, APRIL. 1092 Figure 5(a) 1.50 1.25 1 .oo 3 zyxwvutsrqpo zyxwvutsr zyxwvutsrqp zyxwvutsrq zyxwvutsrqponmlk zyxwvutsrqp 0.75 0.50 0.25 zyxw ~ 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 , , ~ 0.00 0.80 0.85 0.90 0.95 1. Figure 5(b) - Etablissement d’un ecoulernent axial laminaire dans un espace annulaire: composante axiale de vitesse; (a) travaux de Ould-Rouis et al. (1989), (b) nos resultats. slt = (l/z) (pzldZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , N -401 R * -50 I I I 0.80 I I I I I I I I 0.8 = I 1 I I I I I I I I I I I I 1 1 I I I I I I I II I II r zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb (28) Sur la figure 7 , nous avons reprCsentC Sh, en fonction de 2, d’une part en prCsence d’un Ccoulement laminaire nonCtabli et lors d’une hydrodynamique pleinement dCveloppCe, d’aprh les travaux analytiques de Turitto (1975). On peut remarquer que le nombre de Sherwood local calculi numiriquement en icoulement axial non-6tabli est t r b infirieur 0.85 0.90 0.95 1 .I 10 R Figure 6(b) - Etablissement d’un Ccoulement axial laminaire dans un espace annulaire: composante radiale de vitesse; (a) travaux de Ould-Rouis et al. (1989), (b) nos rksultats. B la valeur obtenue en hydrodynamique pleinement dkveloppie. Ce fait est en total dCsaccord avec les rtsultats exp6rimentaux de Ould-Rouis (1989) et Q i et Savinell (1990) qui ont montri qu’en presence d’un tel icoulement, le zyxwvut zyxwvu THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING, VOLUME 71, APRIL, 1993 305 ”-- zyxw 1zyxwvutsrqponm zyxwvutsr sc 300 1 = 1000 sc = 1 AR = AZ = 1 0 - ~ AR = 1 0 - ~ 2 zyxwvutsrqponmlk zyxwvutsrqp O - f d 0.000 0.001 0.003 0.002 3.004 0.005 Z 35 Figure 7 - Comparaison du transfert de matikre obtenu lors d’un Ccoulement axial non-etabli avec celui relev6 en presence d’une hydrodynamique pleinement dCveloppCe. L zyxwvuts zyxwvutsrq zyxw transfert de masse est plus important qu’en rCgime laminaire Ctabli. Les rCsultats numtriques paraissent a priori difficiles h expliquer. En effet, comme le montre la figure 5, le gradient de vitesse axiale sur le cylindre intkrieur (aU/aR en R = N ) , qui rCgit le transfert de masse, est plus grand en Ccoulement axial nondtabli que lors d’une hydrodynamique pleinement dCvelopp6e. Le problbme semble par constquent &treliC B I’incidence de la vitesse radiale sur le transfert de matibre (Cquation (10)). L’existence d’une composante radiale dirigte de la paroi du cylindre intkrieur vers le centre de l’espace annulaire (figure 6) a tendance h homogCnCiser le fluide, donc h diminuer le gradient parittal de concentration et par consCquent le transfert de matikre fluide-paroi . Les auteurs qui se sont inttressbs h la dttermination numtrique du transfert de chaleur fluide-paroi d’un espace annulaire, en presence d’un tel Ccoulement, ne semblent pas avoir relevC une incidence aussi marquCe de la composante radiale de vitesse. Bien que les transferts de chaleur et de matibre soient rCgis par des lois similaires, il faut noter que le nombre de Prandtl, intervenant en transfert de chaleur, est de l’ordre de 10 pour un liquide et de 1 dans le cas d’un gaz, alors que le nombre de Schmidt est souvent voisin de 1000. ConsidCons 1’Cquation de diffusion-convection sous sa forme discrCtiste (relation (22)): avec: + i AR)SC] - ~ / [ s cm2] [lRAR]vi,j+,........................ A!3 = 2 / [SCAR2] + 306 (29) [l/AZ] Ui,j+l . . . . . . . . . . (30) = - ~ / [ s c AR’] - I / [ ~ A R (N + ..................... A!5 = [Ui,j+l /AZ]ci,j (32) L’influence de la vitesse radiale sur les coefficients A!2 et At4 est d’autant plus importante que le nombre de Schmidt, Sc, est ClevC. Ce fait est illustrC sur la figure 7, oa nous avons report6 les rtsultats obtenus pour Sc = lo00 en prenant en compte ou non la vitesse radiaie. Pour de faibles valeurs de Sc, cette incidence devient ntgligeable comme c’est le cas en transfert de chaleur (Pr faible) ou en transfert de masse gaz-solide (Sc faible). Pour mettre en tvidence ce resultat, nous avons dCterminC le nombre de Sherwood local, pour Sc = 1 en tenant compte ou non de la vitesse radiale. Les rCsultats sont illustrCs sur la figure 8, et sont h mettre en parallble avec les travaux de Coney et El-Shaarawi (1975) concernant le transfert de chaleur entre un fluide et le cylindre inttrieur d’un espace annulaire maintenu B temperature constante, pour Pr = 0.7 (figure 9). Nous venons de montrer que la dttermination numkrique du transfert de masse lors d’un Ccoulement laminaire nonCtabli h partir de notre schCma de differences finies est en disaccord avec les investigations exPCrimentales rCalisCes dans ce domaine (Ould-Rouis, 1989; Qi et Savinell, 1990). On peut par consCquent s’interroger sur la validit6 des hypoth2ses que nous avons utitiskes pour simplifier les equations du mouvement (equations (1) h (3)) et de diffusion-convection (Cquation (5)), et plus particulikrement les simplifications likes h l’utilisation de la thCorie de la couche limite. En effet, Schlichting (1979), qui s’est intCressC 21 l’ordre de grandeur des difftrents termes intervenant dans les Cquations, a montrC que, pour que les hypothkses y conduisant soient justifiCes, il faut notamment que l’bpaisseur, 6 h , de la couche limite hydrodynamique soit trks infkrieure h une dimension caracttristique, 1, de la gComttrie sikge de 1’Ccoulement. I1 montre par ailleurs que la vitesse radiale normalisCe par rapport h la vitesse axiale dCbitante (vlUm)est de l’ordre de grandeur de ah/l alors que la composante axiale reduite @/Urn)est de l’ordre de 1 , soit: zyxwvut zyxwvutsrqponmlkjihg zyxwvutsr A ! ~= I / [ ~ A R (N - Figure 8 - Influence de la vitesse radiale sur Sh, en Ccoulement axial nondtabli. + i AR)SC] [ l l m ] v i , j + l ......................... (31) THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMlCAL ENGINEERING, VOLUME 71, APRIL, 1993 40K zyxwvutsrqponmlkjihg zyxwvutsrqp 600 N 36 = 0.9, PR = 0.7 CYLINDRE zyxwvutsrqponmlk I N T ~ R EUR I I SOTHERHE, CYLINDRE EXTERIEUR ADIABATIPUE U=lAZ=O 12- a- Re = 9 9 6 zyxwv zyxwvutsrqpo zyxwvut zyxwvutsrqp zyxwvutsrqponmlkj 4L 0 w.;o5 Z=2z( l-N)/Re R2 C.d .:c- 4 00 0d.;~.3 Figure 9 - Influence de la vitesse radiale sur le transfert de chaleur fluide-paroi d’un espace annulaire en Ccoulernent axial non-Ctabli, d’aprks Coney et El-Shaarawi (1975). 1 2 3 04 Figure 10 - Comparaison de nos resultats numCriques avec les mesures de Ould-Rouis (1989) concernant le transfert de matibre en kodement axial nonCtabli, en nCgligeantla vitesse radide. d’un espace annulaire (N = 0.72 et Sc = 1255) disposC immtdiatement en aval d’un lit de billes. Dans cette configuration, le profil initial de vitesse axiale est donne par Cheng et Hsu (1986) et est caractCrisC par un “pic” au voisinage de chacun des cylindres de l’espace annulaire. La figure 10 montre que les pddictions numCriques obtenues en nCgligeant la vitesse radiale sont en bon accord avec les mesures de Ould-Rouis. zyxwvut or, dans notre cas, vlU, peut atteindre le l/lOikmede ulU, pour de faibles valeurs de Z . La condition (33) n’est donc pas satisfaite. ConsidCrons d’autre part 1’Cquation de diffusionconvection, en supprimant seulement les dCrivkes partielles par rapport B la coordonnCe angulaire: v aciaR + w aciaz = i/sc [a2ciaR2+ (UR) a u a R + a2c/az2]. . . . . . (34) Schlichting (1979) a montrC que U aC/aZ est de l’ordre de 1, alors que V aCIaR est de l’ordre de Bh / 6 d , ob 6d est l’bpaisseur de la couche limite diffusionnelle. Le rapport 6h /6d est une fonction croissante de Sc. Pour des nombres de Schmidt de l’ordre de loo0 (6, / 6 d z lo), V aCIaR devient prCpondCrant devant U aC/aZ, ce qui corrobore Cgalement l’influence de la vitesse radiale sur le transfert de 1, les deux termes sont du masse. Par contre, pour Sc mCme ordre de grandeur. I1 semble donc que l’utilisation des Cquations de la couche limite, et plus particulibrement 1’Cquation de diffusion-convection, conduise A des calculs erronis du transfert de masse du fait de l’importance de la contribution de la composante radiale de vitesse. Pour s’affranchir des simplificationsde type couche limite, il est nCcessaire de rCsoudre les Cquations du mouvement et de conservation de la matibre en supprimant seulement les dCrivCes par rapport h la coordonnCe angulaire (symttrie axiale), mais nous nous limiterons ici A une rksolution simplifike. La vitesse radiale semblant Ctre 2 l’origine de l’inexactitude des rtsultats numCriques de transfert de matibe, nous avons dCcidC de la supposer nulle. Pour s’assurer de la 1CgitimitCde cette nouvelle hypothbse, nous avons comparC le transfert de matibre prtdit par notre modble avec les rksultats exfirimentaux de Ould-Rouis (1989). Cet auteur a mesure, au moyen de micro-Clectrodes travaillant en paroi active, le transfert de masse local sur le cylindre intkrieur = Modelisation de l’hydrodynamique et du transfert de matiere en Ccoulement tourbillonnaire Lors de prCcCdents travaux expkrimentaux (Legentilh o m e et Legrand, 1990; 1991), nous avons mesurd le transfert de matEre global entre un liquide en Ccoulement tourbillonnaire et le cylindre intCrieuf d’une cellule annulaire munie d’une entrke tangentielle. A chaque couple, diambtre de 1’entrCe tangentielle, +e, entrefer de I’espace annulaire, e , est associC une valeur de la constante K du vortex for& initial (Cquation (15)) donnte dans le tableau 1. Nous nous limitons aux cas des Ccoulements tourbillonnaires pur (+e = e) et avec contraction (& > e ) , l’ecoulement tourbillonnaire avec expansion &r( < e) Ctant sibge de phCnombnes de recirculation (Legentilhome et Legrand, 1991) qui rendent notre schCma de diffkrences finies instable (El-Shaarawi et Sharan, 1982). zyx INFLUENCE DE LA VITESSE TANGENTIELLE INITIALE SUR L’HYDRODYNAMIQUE Sur les figures 11 et 12, nous avons reprCsentC les profils de vitesses tangentielle et axiale calculCs sur diffkrentes sections de l’espace annulaire pour K = 0.5 et 3.5. On remarque que, quel que soit K,WprCsente un “pic” prbs des parois de l’espace annulaire, et ce phknombne persiste trbs loin de 1’entrCe de la cellule. Dans la littkrature, nous n’avons relev6 aucune Ctude, tant exPCrimentale que thCorique, faisant Ctat de tels profils. Mais, exptrimentalement, il est trbs difficile de mesurer des vitesses prbs des parois solides. Or, les deux THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING, VOLUME 71, APRIL, 1993 307 0.6 zyxwvutsrqponm zyxwvutsr zyxwvu I I nz I = 4.0 AZ = 0 Figure 1 l(a) 2.0 4 I zyxwvut zy zyxwvutsr zyxwvu zyxw zyxwvutsrq 0.0 0.72 R Figure ll(b) - Influence de Z sur les profils de vitesses pour K = 0.5; (a) vitesse tangentielle, (b) vitesse axiale. TABLEAU 1 Valeur de la constante du vortex force initial (W = K R) pour les diffkrentes configurations CtudiCes exHrimentalement par Legentilhomme et Legrand (1990, 1991) 1 Type d’CcouIement tourbillonnaire e = R, - R, (mm) Pur contraction contraction contraction 7 7.0 9.0 12.5 34.7 22.44 17.45 12.57 4.53 14.5 14.5 10.83 PU‘ 17.0 17.0 9.24 Pur “pics’ ’ sont localisCs sur quelques incrCments sur la coordonnCe radiale. Ainsi, sur la figure ll(a), on peut estimer que le “pic” a disparu h partir de R = 0.726; soit h 0.15 mm 308 0.76 0.80 0.84 R 0.88 0.92 0.96 1. 0 Figure 12(b) - Influence de Z sur les profils de vitesses pour K = 3.5; (a) vitesse tangentielle, (b) vitesse axiale. du cylindre intCrieur si R2 = 25 mm (cas exp6rimental CtudiC par Legentilhomme et Legrand, 1990; 1991). Ces “pics” semblent fortement liCs h la forme et h l’amplitude de la vitesse tangentielle initiale. Ainsi, ils n’apparaissent pas avec une vitesse tangentielle initiale de type vortex libre (W = K‘lR, figure 4) ou avec un profii parabolique (Legentilhomme, 1991). On peut remarquer, sur les figures 1l(b) et 12(b), que la vitesse angulaire a pour effet de dCplacer le maximum de la composante axiale vers le cylindre int6rieur (R = N), augmentant ainsi le gradient pariCtal de vitesse axiale qui rCgit le transfert de matike, cornme lors de 1’Ccoulement dans un espace annulaire rnuni d’un cylindre int6rieur tournant (El-Shaarawi et Sharan, 1982). INFLUENCE DE LA VITESSE TANGENTIELLE INITIALE SUR LE TRANSFERT DE MATIERE Sur la figure 13, nous avons reprCsentC 1’Cvolution du nombre de Sherwood local, Sh,, calculC sur le cylindre intbrieur (Cquation (27)), en fonction de Z, pour diffkrentes valeurs de THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING, VOLUME 71, APRIL, 1993 1000 N = - L 0.72 et Sc = N 1255 +e * K = 1 A K = 2 0 K = 3 0 = 0.72 = 34.7 rnrn Z 10 A zyxwvut 0 A v, zyxwvutsr zyxwvutsr zyxwvutsrqpon zyxwvutsrqp ~~ L 0 A * 100 100 o zyxwvutsrqp A zy zyxwvutsrq zyxwvuts Ecoulement laminaire ‘etabli d‘aprGs Turitto ( 1 9 7 5 ) avec K = 3.5 I 0.0001 Rgsultats expkrimentoux 2 0.001 r 100 I,, 1 ooo Re Figure 13 - Influence de K sur le transfert de matikre local en Ccoulement tourbillonnaire dans un espace annulaire. Figure 14 - Comparaison du transfert de matihe global mesure par Legentilhomme et Legrand (1991) pour e = 7 mm et 0, = 34.7 mm avec la modklisation pour K = 3.5. K dans un espace annulaire de rapport des rayons N = RI lR2 = 0.72 et Sc = 1255 (cas expirimental). L’addition d’une vitesse angulaire sur un Ccoulement rCsultant axial a un effet bCntfique sur 1’intensitC du transfert de matikre: Sh, augmente avec K , pour une cote axiale donnee, et tend d’autant moins rapidement vers sa valeur obtenue en Ccoulement laminaire axial pleinement dCvelopp6. La vitesse tangentielle retarde l’ktablissement du profil de vitesse axiale, par consCquent le gradient pariCtal de concentration sur le cylindre intkrieur (aCIaR en R = iV) augmente avec K pour une cote axiale 2 fixte. Cet accroissement des phCnombnes de transfert dii It la vitesse angulaire a Cgalement CtC mis en Cvidence par Kiya et al. (1971) lors d’une ttude numCrique du transfert de chaleur dans un tube sibge d’un Ccoulement tourbillonnaire. Sur la figure 13, nous nous sommes limit& B des valeurs de K infkrieures ou Cgales It 3. En effet, pour des constantes K telles que celles utiliskes expkrimentalement (tableau 1 : K 2 4.53), notre code de calcul devient instable du fait de l’apparition de vitesses axiales ntgatives pour K > 3.5. Ce phCnombne a Cgalement CtC mis en Cvidence par Kiya et al. (1971) pour K > 2. Ces auteurs attribuent ce fait It une “cassure du vortex” (“vortex breakdown”); une vitesse tangentielle ClevCe crCte un gradient radial de pression important qui engendre un “sur-dCbit” au centre de l’espace annulaire, celui-ci Ctant compensC par des zones d’tcoulements en retour au voisinage des parois solides. Dans ce cas, la mCthode numerique utilisee est instable (El-Shaarawi et Sharan, 1982). L’Ccoulement It une cote Z donnCe dCpend non seulement de l’hydrodynamique en amont, mais Cgalement de ce qui se passe en aval de cette position axiale. I1 faut alors employer un schema de diffkrences finies centre sur 2 et tenir compte des termes de diffusion de quantitk de mouvement dans cette direction (a2U/aZ2,d2W/aZ2,a2V/aZ2 dans les Cquations (1) 5 (3)), ce qui conkre un caractbre elliptique aux Cquations du mouvement. Pour rtsoudre ce type de problbme, il faut employer un algorithme qui permette de calculer les champs de vitesses simultan6mentsur l’ensemble du domaine physique (N IR I 1 et 0 IZ I m). Lors de nos prkctdentes etudes exPCrimentales, et surtout lors de la visualisation de 1’Ccoulement dans notre cellule annulaire (Legentilhomme, 1991), nous n’avions pas dCcelC de zone de recirculation lorsque 4, 2 e (Ccoulements tourbillonnaires pur ou avec contraction). Cependant, il est possible qu’il existe, prbs des parois solides, des “microrecirculations” responsables de l’augmentation conskquente du transfert de matibre qui n’ont pas CtC mises en Cvidence par la technique de visualisation relativement globale que nous avons utilisCe (mCthode Clectrochimique basCe sur le virage d’un indicateur color6 par degagement d’hydrogkne sur une cathode). De tels Ccoulements en retour apparaissent notamment, dans une region trbs restreinte, immCdiatement en aval de la contraction brusque d’un tube (Garcia et Sparrow, 1987). COMPARAISON MODBLE EXPERIENCE: CAS DE FAIBLES INTENSIT& TOURBILLONNAIRES Nous avons CtudiC exgrimentalement (Legentilhomme et Legrand, 1991) une configuration pour laquelle K = 4.53 (tableau 1). Dans ce cas, l’entrte tangentielle de 34.7 mm de diambtre forme une contraction avec l’espace annulaire de 7 mm d’entrefer. Sur la figure 14, nous comparons le nombre de Sherwood global, Sh, obtenu experimentalement avec celui calculC numeriquement (Cquation (28)) pour une surface de transfert (cylindre intbrieur) comprise entre z = 0 et z = 10 cm par rapport 1’entrCe tangentielle, avec la valeur maximale de K admissible par notre code de calcul (K = 3.5). LesrCsultats numCriques sont proches des mesures pour des nombres de Reynolds, Re, inferieurs It environ 600. Dans ce cas, I’intensitCtourbillonnaire initiale est relativement faible et diminue rapidement lorsque l’on s’Cloigne de I’entrCe tangentielle. Le fait de calculer Sh avec K = 3.5 au lieu de 4.53 a peu d’incidence sur le transfert de matibre. Par contre, pour des valeurs de Re plus ClevCes (Re 1 700), le modble numCrique prCdit des risultats infCrieurs It la rCalitC. En effet, nous avons constati, lors des ttudes exgrimentales du transfert de masse (Legentilhomme et Legrand, 1990; 1991) et de la visualisation de 1’Ccoulement (Legentilhomme, 1991) que les structures tourbillonnaires persistent d’autant plus loin de I’entrCe tangentielle zyxwvutsr zyxwvutsr THE CANADIAN JOURNAL OF CHEMICAL ENGINEERING, VOLUME 71, APRIL, 1993 309 zyxwvutsrqpo zyxwvut zyxwvut zyxwvuts que Re est ClevC. Par consequent, le fait de prendre K = 3.5 au lieu de 4.53 entraine un k a r t entre les valeurs numCriques et experimentales (figure 14) dii essentiellement B l’augmentation de I’intensitC tourbillonnaire. Conclusion Cette moddisation numCrique ne nous a pas permis de prCdire I’ensemble de nos rksultats expdrimentaux concernant le transfert de matibre entre un liquide en Ccoulement tourbillonnaire et le cylindre intCrieur d’une cellule annulaire munie d’une entrCe tangentielle. Pour les fortes intensitis tourbillonnaires mises en oeuvre exptrimentalement, notre schCma de diffkrences finies s’est rev616 instable du fait de I’apparition de vitesses axiales negatives. Cependant, ce travail nous a amen6 B soulever un problkme important quant B la validit6 des hypothbses de la thCorie de la couche limite pour la dktermination du transfert de maticre en Ccoulement nonCtabli dans le cas de nombres de Schmidt Clevis. Cette constatation et l’apparition de phCnombnes de recirculation en presence d’tcoulements fortement tourbillonnaires, montrent qu’il est nCcessaire de rCsoudre les equations du mouvement complbtes, en conservant seulement l’hypothbse de symCtrie axiale, sur I’ensemble du domaine physique sirnultanCment (N IR 5 1 et 0 IZ Im). Mais pour cela, il faut non seulement connaitre les profils de vitesses et de concentration B Z = 0, mais Cgalement B Z = 00. Physiquement, si le rCgime hydrodynamique Ctabli (vitesses tangentielle et radiale nulles et vitesse axiale obCissant au profil de Poiseuille) est obtenu rapidement, il n’en est pas de mCme en ce qui concerne le profil de concentration caractkristique d’un rCgime purement diffusionnel (aC/aZ = a2C/aZ2 = 0 et I/ = 0 dans 1’Cquation(34)). On peut dire en quelque sorte que “l’infini hydrodynamique est beaucoup plus proche que l’infini diffusionnel” . I1 faudrait alors discrktiser le domaine physique en un trks grand nombre de pas sur la coordonnCe axiale pour atteindre le rCgime diffusionnel pur, alors que l’hydrodynamiqueest d’ores et dCjB Ctablie. Une solution plus satisfaisanteconsiste B utiliser un algorithme B incrkment axial croissant au fur et B mesure que I’on s’Cloigne de la section d’entrCe, sans pour cela sacrifier considerablementla precision sur les premiers pas. Pr r R = r/R2 R, nombre de Prandtl coordonnCe radiale, m rayon adimensionnel rayon extCrieur du cylindre intCrieur de I’espace annulaire, m = rayon intCrieur du cylindre ext6rieur de R2 I’espace annulaire, m Re = 2 e Umlv = nombre de Reynolds Sc = u / D = nombre de Schmidt Sh = nombre de Sherwood global (Cquation (28)) Sh, = 2 e k , ID = nombre de Sherwood local (Cquation (27)) U = vitesse axiale, mls u = UIU, = vitesse axiale rkduite = vitesse axiale dCbitante dans I’espace urn annulaire, mls V = vitesse radiale, mls V = v R,lv = vitesse radiale rCduite W = vitesse tangentielle, m/s w = w1um = vitesse tangentielle rkduite = coordonnCe axiale, m 2 Z=2z(1 -N)/(R,Re) = coordonnCe axiale rCduite = = = = zyxwvuts zyxwvutsrqp zyxwvutsr zyxwv zyxwvutsr Nomenclature concentration en espkce transfCrCe, mol/m3 concentration moyenne dans la solution CO en esptce transfirie, mol/m3 concentration adimensionnelle c = CICO coefficient de diffusion molCculaire de D ~’espkcetransfkrke, m2/s Cpaisseur de l’espace annulaire, m e = R2 - R, constantes intervenant dans la vitesse k,k’ tangentielle initiale, s ou s - ’ coefficient local de transfert de matitre, k, mls constante du vortex forcC initial K adimensionnel (Cquation (15)) dimension caractkristique de la 1 gComCtrie, m rapport caractkristique de I’espace N = R , IR2 annulaire nombre de Nusselt local NU/ = pression, Pa P = pression moyenne sur la section Po d’entrke, Pa P = (p - po)/(pUa = pression adimensionnelle C Lettres grecques = Cpaisseur de la couche limite diffusionnelle, m = Cpaisseur de la couche limite hydrodynamique, m = coordonnCe angulaire, rad viscosit6 cinhatique du fluide, m2/s masse volumique du fluide, kglm3 = diamhtre de I’entrCe tangentielle, m = = References Amaouche, M., “Contribution Zi I’Etude de la Convection Mixte Externe”, Thtse de Doctorat d’Etat, UniversitC de Poitiers (1986). 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