Mặt bậc hai

Mặt bậc hai hay mặt cong bậc hai là mặt trong không gian affine ba chiều, quỹ tích những điểm thỏa mãn phương trình bậc hai dạng $a_{11}.x^{2}+a_{22}.y^{2}+a_{33}.z^{2}+a_{12}.xy+a_{13}.xz+a_{23}.yz+a_{14}.x+a_{24}.y+a_{34}.z+a_{44}=0$

Trong đó:

$A=(a_{ij})$ là ma trận thực đối xứng, tức là $a_{ij}=a_{ji}$ .
Phần bậc 2 được gọi là phần toàn phương
Phần bậc 1 được gọi là phần tuyến tính
$a_{44}$ là phần hệ số tự do.

Các loại mặt bậc hai cơ bản

Mặt trụ
Mặt trụ elliptic thực	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
Mặt trụ elliptic ảo
Mặt trụ tròn xoay	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,$
Mặt trụ parabolic	$x^{2}+2ay=0\,$
Mặt trụ hyperbolic	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
Mặt nón
Mặt nón elliptic thực	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$
Mặt nón ảo	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=0\,$
Mặt Ellipsoid Bài chi tiết: Ellipsoid
Mặt Ellipsoid thực	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
Mặt cầu là mặt ellipsoid với ba trục bằng nhau a = b = c		Mặt cầu
Mặt Ellipsoid ảo	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=-1\,$
Mặt Hyperboloid
Mặt Hyperboloid một tầng	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
Mặt Hyperboloid hai tầng	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,$
Mặt hyperbolic paraboloid	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
Mặt elliptic paraboloid	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
Mặt elliptic paraboloid tròn xoay	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$
Cặp mặt phẳng thực và ảo liên hợp giao nhau
Cặp mặt phẳng thực và ảo liên hợp song song
Cặp mặt phẳng thực và ảo liên hợp trùng nhau

Tổng quát

Trong không gian xạ ảnh, mặt bậc hai là tập hợp những điểm $\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ có tọa độ xạ ảnh thỏa mãn

\sum _{i,j=0}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}x_{i}+R=0

với a_i,j không đồng thời bằng không. Với a_i,j đồng thời bằng không, ta có mặt bậc hai suy biến thành mặt phẳng trong không gian metric n chiều.

Xem thêm

Tham khảo

Liên kết ngoài

Interactive Java 3D models of all quadric surfaces Lưu trữ 2007-09-29 tại Wayback Machine
Weisstein, Eric W., "Quadric", MathWorld.
Quadric surface (mathematics) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
Mặt bậc hai tại Từ điển bách khoa Việt Nam

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học \| Đại số \| Giải tích \| Hình học \| Lý thuyết số \| Toán học rời rạc \| Toán học ứng dụng \| Toán học giải trí \| Toán học tô pô \| Xác suất thống kê