Kogerentlik (fizika)

Toʻlqinning vaqtinchalik kogerentligi bu nurlardan biri vaqt boʻyicha ikkinchisidan orqada qolsa, oʻzaro kogerentlikning saqlanishini tavsiflaydi. Bunday holda, vaqtinchalik kogerentlik oʻlchovi kogerentlik vaqti — bir nurning ikkinchisiga nisbatan mumkin boʻlgan maksimal kechikish vaqti, bunda ularning oʻzaro muvofiqligi saqlanib qoladi. Vaqtinchalik kogerentlik monoxromatiklik darajasi bilan belgilanadi.

Elektromagnit toʻlqinlarning oʻzaro taʼsiri hodisalarini koʻrib chiqishda kogerentlikning vaqtinchalik jihati juda muhimdir, chunki qat'iy maʼnoda amalda monoxromatik toʻlqinlar va nurlanishning statistik tabiati tufayli mutlaqo bir xil chastotali toʻlqinlar mavjud emas. elektromagnit toʻlqinlar. Monoxromatik toʻlqinlar mukammal cheksizdir, ammo elektromagnit toʻlqinlar manbalari energiyasining cheklanganligi sababli bunday toʻlqinlar haqiqatda mavjud boʻlolmaydi. Bundan tashqari, vaqt cheklanganligi sababli spektr kengligi nolga teng emas.

Agar ikkita tebranishning fazalar farqi juda sekin oʻzgarsa, tebranishlar maʼlum vaqt ${\displaystyle \tau _{coh}}$  davomida kogerent boʻlib qoladi, vaqti ${\displaystyle \tau _{coh}}$  kogerentlik vaqti deyiladi.

Turli vaqtlarda ${\displaystyle t_{1}}$  va ${\displaystyle t_{2}}$  interval ${\displaystyle \tau _{coh}}$  bilan ajratilgan bir xil tebranishning fazalarini solishtirish mumkin. Kogerentlik vaqtidan ${\displaystyle \tau _{coh}}$  keyin garmonik tebranish oʻzining asl fazasini "unutib qoʻyadi" va "oʻziga" nokogerentlik boʻladi.

Bunday jarayonlarni (shuningdek, cheklangan davomiylikdagi nurlanish jarayonlarini) tavsiflash uchun toʻlqin paketi tushunchasi — chekli uzunlikdagi monoxromatik toʻlqinning "segmenti" kiritiladi. Toʻlqin paketi davomiyligi kogerentlik vaqtiga ${\displaystyle \tau _{coh}}$  teng boʻladi va uzunligi ${\displaystyle l_{coh}=c\tau _{coh}}$  kogerentlik uzunligi boʻladi(${\displaystyle c}$  — toʻlqinning tarqalish tezligi). Bir toʻlqin paketdan soʻng, u xuddi shu chastotada, lekin boshqa fazada boshqasi paket bilan almashtiriladi.

Ideal toʻlqinlardan farqli oʻlaroq, amalda monoxromatik toʻlqinlar vaqt va fazoda cheklangan vaqtdagi garmonik funksiyalar boʻlgan cheklangan vaqt davomiyligi toʻlqin paketi shaklida taqdim etiladi.

 

Mishelson interferometri bilan tajriba misolidan foydalanib, vaqtinchalik kogerentlik tushunchasini koʻrsatamiz.^[1] Faraz qilaylik, manbasi S kvazimonoxromatik yorugʻlik chiqaradi, yaʼni tarmoqli kengligi ${\displaystyle \Delta \nu }$  oʻrtacha chastotaga nisbatan kichik. Aytaylik, yoʻl oynadan ${\displaystyle M_{2}}$ qaytganda oynadan ${\displaystyle M_{1}}$  qaytganidan 2d uzoqroq masofa. Keyin yoʻl farqi ${\displaystyle 2d=\Delta l=c\Delta t}$  .

Interferentsiya chiziqlari quyidagi shart bajarilgan taqdirda paydo boʻladi

${\displaystyle \Delta t\Delta \nu \leq 1}$  .

Vaqt ${\displaystyle \Delta t}$  kogerentlik vaqti va yoʻl farqi deyiladi ${\displaystyle \Delta l=c\Delta t\sim {\frac {c}{\Delta \nu }}}$  kogerentlik uzunligi.

Chunki ${\displaystyle \Delta \nu \sim {\frac {c\Delta \lambda }{{\overline {\lambda }}^{2}}}}$ , shu yerda ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$  — oʻrtacha toʻlqin uzunligi boʻlsa,

${\displaystyle \Delta l={\frac {\overline {\lambda }}{\Delta \lambda }}{\overline {\lambda }}}$  biz yozishimiz mumkin. Har bir chastota komponenti fazoda oʻziga xos intensivlik taqsimotini yaratadi va turli chastotalar tomonidan yaratilgan taqsimotlar har xil maksimal va minimal sharoitlarga ega boʻladi. Bir nuqtada, baʼzi chastotalarning maksimallari boshqalar uchun minimal bilan bir-biriga toʻgʻri kela boshlaydi va interferentsiya sxemasi xiralashadi.

Agar spektral chiziqning Doppler kengayishi tartibida ${\displaystyle 10^{-1}-10^{-2}\mathrm {\AA} }$  boʻlsa, formula boʻyicha kogerentlik uzunligi bir necha millimetrga teng boʻladi.

${\displaystyle \Delta t\Delta \nu \leq 1}$  shartni olamiz toʻrtburchaklar spektr misolida. Mishelson interferometrida ekrandagi intensivlik quyidagi formula bilan ifodalanadi

${\displaystyle I=2I_{0}+2I_{0}\cos(2kd\cos(\alpha ))=2I_{0}+2I_{0}\cos \left({\frac {2\pi \nu }{c}}2d\cos(\alpha )\right)}$ 

Bu yerda ${\displaystyle \alpha =r/L}$ , r — halqaning radiusi (ekrandagi nuqta radiusi), L — koʻzgugacha boʻlgan masofa, 2d — ikki interferension nurlarning yoʻl farqi.

Chastota dan qiymatlarni ${\displaystyle \nu -\Delta \nu /2}$  dan ${\displaystyle \nu +\Delta \nu /2}$  gacha qabul qilsin va spektr toʻrtburchaklardir.

Barcha kiruvchi chastota komponentlarining intensivligini qoʻshamiz

${\displaystyle I_{int}=2I_{0}+2I_{0}{\frac {1}{\Delta \nu }}\int _{\nu -\Delta \nu /2}^{\nu +\Delta \nu /2}\cos \left({\frac {2\pi y}{c}}2d\cos(\alpha )\right)dy=2I_{0}+2I_{0}{\frac {1}{\Delta \nu }}{\frac {\sin \left({\frac {2\pi (\nu +\Delta \nu /2)}{c}}2d\cos(\alpha )\right)-\sin \left({\frac {2\pi (\nu -\Delta \nu /2)}{c}}2d\cos(\alpha )\right)}{{\frac {2\pi }{c}}2d\cos(\alpha )}}=}$ 

${\displaystyle =2I_{0}+2I_{0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi (\Delta \nu )}{c}}2d\cos(\alpha )\right)}{{\frac {\pi \Delta \nu }{c}}2d\cos(\alpha )}}\cos \left(2kd\cos(\alpha )\right)}$ 

bundan koʻrinib turibdiki, intensivlik grafigi endi konvert chizigʻi ${\displaystyle \sin(x)/x}$  oʻz ichiga oladi , va ${\displaystyle x\approx 2\pi }$  uchun halqalarning koʻrinishi sezilarli darajada kamayadi.

Shuning uchun

${\displaystyle {\frac {\pi \Delta \nu }{c}}2d\cos(\alpha )\approx 2\pi }$ 

Chunki ${\displaystyle \cos(\alpha )\approx 1}$ , interferensiyani kuzatish uchun shartga kelamiz${\displaystyle {\frac {2d}{c}}\Delta \nu =\Delta t\Delta \nu \approx 1}$ 

Fazoviy kogerentlik — toʻlqin tarqalish yoʻnalishiga koʻndalang tekislikning turli nuqtalarida bir vaqtning oʻzida sodir boʻladigan tebranishlarning kogerentligi.

Shunday qilib, manbalardan maʼlum masofada optik yoʻllarning farqi shunday boʻladiki, ikki toʻlqinning fazalari farq qiladi. Natijada, manbaning turli qismlaridan ekranning markaziga kiruvchi toʻlqinlar, agar barcha toʻlqinlar bir xil fazaga ega boʻlsa, yuzaga keladigan maksimalga nisbatan quvvat qiymatini pasaytiradi. Optik yoʻldagi farq ikki toʻlqinning fazalari aniq farqlanishiga olib keladigan masofada ${\displaystyle \pi }$ , ikkita toʻlqin yigʻindisi minimal boʻladi.^[2]

 

Yorugʻlik manbai kengaytirilgan deb faraz qilib, Yung tipidagi tajribani koʻrib chiqing (bir oʻlchovli ${\displaystyle \Delta l}$  uzunlik holatda) va kvazimonoxromatik boʻlib, manbaning har bir nuqtasi qoʻshnisidan mustaqil ravishda chiqariladi (barcha nuqtalar bir-biriga mos kelmaydi). Ikki tirqishda interferensiya paytida bunday manbadan tasmalarning paydo boʻlishi fazoviy kogerentlikning namoyon boʻlishi boʻladi.^[1]

Agar ${\displaystyle \Delta l\Delta \theta \leq \lambda }$  shart bajarilgan boʻlsa, chiziqlar kuzatiladi

Bu yerda ${\displaystyle \Delta \theta \approx {\frac {d}{H}}}$  — manbadan ikkita tirqish koʻrinadigan burchak.

Yon tomoni ${\displaystyle \Delta l}$  bilan ikki oʻlchovli kvadrat manba boʻlsa teshiklar ekranda ${\displaystyle \Delta A\approx (H\Delta \theta )^{2}\approx {\frac {H^{2}\lambda ^{2}}{\Delta l^{2}}}}$  maydonga ega boʻlgan hududda joylashgan boʻlishi kerak

 

Shu maydon ekran tekisligidagi kogerentlik maydoni deb ataladi va uning ildizi baʼzan koʻndalang kogerentlik uzunligi yoki kogerentlik radiusi deb ataladi.

Kengaytirilgan manbaning har bir nuqtasidan interferentsiya natijasida olingan interferentsiya rasmlarining intensivligini qoʻshib, shart haqiqatan ham bajarilganligini koʻrsatish mumkin.^[3]

Shu bilan birga, ${\displaystyle \Delta s_{tot}}$  yoʻl farqi yorugʻlikning manba nuqtasidan har bir tirqishga oʻtishi paytida, xuddi Yung tajribasidagi kabi hisoblab chiqiladi. ${\displaystyle \Delta s_{tot}={\frac {xd}{L}}+{\frac {y\cdot d}{H}}}$ , bu yerda y — manbadagi nuqtaning koordinatasi.

${\displaystyle I=2I_{0}+2I_{0}\cos \left(k{\frac {xd}{L}}+k{\frac {yd}{H}}\right)}$ 

${\displaystyle I_{int}=2I_{0}+2I_{0}{\frac {1}{\Delta l}}\int _{-\Delta l/2}^{\Delta l/2}\cos \left(k{\frac {xd}{L}}+k{\frac {yd}{H}}\right)dy=2I_{0}+2I_{0}{\frac {\sin \left(k{\frac {\Delta l\cdot d}{2H}}\right)}{k{\frac {\Delta l\cdot d}{2H}}}}\cos \left(k{\frac {xd}{L}}\right)}$ 

${\displaystyle k{\frac {\Delta l\cdot d}{2H}}=k{\frac {\Delta l\Delta \theta }{2}}\approx 2\pi }$  uchun koʻrinish sezilarli darajada pasayadi, bu ${\displaystyle \Delta l\Delta \theta \leq \lambda }$  shartga mos keladi.

Kogerentlik radiusi va maydoni ekrandagi nuqtadan manba koʻrinadigan burchak bilan ham ifodalanishi mumkin.

${\displaystyle \Delta A={\frac {H^{2}\lambda ^{2}}{\Delta l^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Omega }}}$  ,

Bu yerda ${\displaystyle \Omega }$  — ikki yoʻnalishda choʻzilgan manba koʻrinadigan qattiq burchak va shunga oʻxshash ${\displaystyle r_{coh}={\frac {\lambda }{\varphi }}}$  .