مکسور

ایسے خود مشابہ مجموعہ کو کہتے ہیں، جسے جتنی ہی تفصیل میں جا کر دیکھیں، خود مشابہ ہی نظر آتا ہے۔ قدرت میں اگر سمندر کی ساحل کو قریب سے دیکھیں یا دور سے، ساحل ایک ہی طرح کی ٹوٹی ٹوٹی لکیرٰیں معلوم ہوتی ہے۔ اگر ساحل کو ہوائی جہاز سے دیکھا جائے، تو ساحل ٹوٹی لکیروں کا نقشہ پیش کرے گی۔ اسی ساحل کے ساتھ سڑک پر گاڑی سے دیکھیں، تو مزید تفصیل نظر آئے گی، جو ہوائی جہاز سے نہیں نظر آتی تھی۔ اب اگر ساحل کے ساتھ چہل قدمی کریں تو مزید تفصیل دیکھائ دے گی۔ اب تصور کرو کہ ایک چیونٹی ساحل پر رینگ رہی ہے، اس کو ہر ریت کا زرّہ پہاڑ معلوم ہوتا ہے اور وہ ان بدلتے ہوئے نظارے کی مزید تفصیل دیکھے گی۔ مگر ہر تفصیل میں نقشہ ایک ہی طرح کا ہے۔ فریکٹل اسی طرح کے مظاہر کو ریاضاتی طور پر مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ تصویر 1 میں دیکھو کہ اگرچہ "برفباری گالا" فریکٹل کا محیط لانتہائ ہے، مگر اس کا رقبہ محدود ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ ناپ کی عام تعریف اس طرح کی شکلوں میں شاید مفید نہ ہو۔

تعریف: ریاضی میں فریکٹل ایسے (خود مشابہ) مجموعہ کو کہتے ہیں، جس کے بُعد (وضعیت) اور ہاسڈارف بُعد برابر نہ ہوں۔

یاد رہے ہاسڈارف بُعد کا صحیح عدد ہونا ضروری نہیں ہوتا، بلکہ فریکٹل کے لیے یہ اکثر عدد اور کسر ہوتا ہے اور فریکٹل کا بُعد (وضعیت) اس کے ہاسڈارف بُعد سے کم (یا برابر) ہوتا ہے۔ مستوی (plane) میں کسی بھی فریکٹل کا ہاسڈارف بُعد 1 اور 2 کے درمیان ہو گا۔

تصویر 2 میں مجموعہ سیرپنسکی تکون دکھایا گیا ہے، جو ایک فریکٹل ہے۔ اس کا ہاسڈارف بُعد 1.585 ہے (جبکہ اس کا بُعد (وضعیت) 1 ہے)۔

فریکٹل کی سب سے مشہور مثال مینڈلبرو مجموعہ ہے (تصویر 3)، جو اس سادہ سی متوالیہ نسبت کی تکرار سے بنتا ہے:

${\displaystyle z_{n}=z_{n-1}^{2}+C}$

جہاں تمام عدد مخلوط عدد ہیں اور C ایک دائم ہے۔ اس فریکٹل کا ہاسڈارف بُعد پورا 2 ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ یہ سب سے پچیدہ ترین فریکٹل میں سے ہے۔

• خود مشابہ مجموعہ
• تموینی نقشہ

ویکی ذخائر پر مکسور سے متعلق سمعی و بصری مواد ملاحظہ کریں۔