Математика

Математика — це мистецтво думати повільно.^[1]

Для шукача істини нема нічого краще самої істини, і не слід нехтувати істиною і звисока дивитися на тих, хто її висловив або передав: істиною нікого не можна принизити — навпаки, істина облагороджує кожного^[2].

З усіх істинних наук, як твердять Арістотель і Авероес, наші математичні науки найістинніші і мають перший ступінь вірогідності, решта природничих наук іде за ними^[2].

Ніякої достовірності нема в науках там, де не можна застосувати ні однієї з математичних наук, і в тому, що не має зв'язку з математикою^[2].

Сама лише математика має неспростовні докази, що виходять із необхідних причин. Через це тільки там людина може, спираючись на власні закони цієї науки, підійти до істини^[2].

У самій лише математиці є наука і доведення у найточнішому і власному розумінні^[2].

Все має бути доведеним, і при доведенні не можна послуговуватись нічим, крім аксіом і раніше доведених теорем^[2].

У математичних питаннях не можна нехтувати й найменшими похибками^[2].

Люди, не знайомі з алгеброю, не можуть уявити собі тих дивних речей, яких можна досягти за до­помогою названої науки^[2].

Саме математика насамперед захищає нас від обману чуттів і вчить, що одна справа — як влашто­вані предмети, які сприймаються чуттями, а інша — якими вони здаються; ця наука дає найнадійніші правила; хто керується ними, тому не страшний обман чуттів^[2].

Математику вже навіть задля того треба вивчати, що вона розум до ладу приводить^[2].

Перша умова, якої треба дотримуватися у матема­тиці,— це бути точним, друга — бути ясним і, наскільки можливо, простим^[2].

Математика — цариця всіх наук. Її улюблениця — істина, її вбрання — простота і ясність. Палац цієї володарки оточено тернистими заростями, і, щоб досяг­ти його, кожному доводиться пробиратися крізь хащі. Випадковий мандрівник не виявить у палаці нічого привабливого. Краса його відкривається лише розуму, що любить істину і загартований в боротьбі з трудно­щами, і такому, який свідчить про незвичайну схиль­ність людини до заплутаних, але невичерпних і під­несених розумових насолод^[2].

...Жартівливі приклади часто мають більше значення, ніж корисні^[2].

Розв'язування софізмів, які призводять до абсурдів, для не новачка в математиці повинні бути чудовим засобом перевірки правильності наближення до мате­матичної істини, засобом тренування розуму і удер­жування міркування й доказів у твердо встановлених межах^[2].

Тисячі шляхів ведуть до помилки, до істини — тільки один^[2].

Будь-який науковий метод має галузь застосованості й джерела помилок. Останні мають бути виключені лише тоді, коли ясні логічні передумови методу^[2].

Математика — дивовижна вчителька в мистецтві спрямовувати думки, наводити порядок там, де вони не впорядковані, викорчовувати безглуздя, фільтрувати брудне і наводити ясність^[2].

Дуже важливо не приймати ніяких припущень без доведення, а ще важливіше не користуватися словами, якщо їм не надано певного смислу^[2].

Дуже помилковою є думка... що строгість в доведен­ні — це ворог простоти. Численні приклади переконують нас у протилежному: строгі методи є одночасно і найпростішими, і найдоступнішими. Прагнення до стро­гості саме й приводить до знаходження найпростіших доведень^[2].

З тих пір як почали доводити очевидні твердження, багато з них виявилися хибними^[2].

Головна перешкода пізнання істини є не хибність, а подібність до істини^[2].

Історія помилок людського розуму, можливо, так са­мо важлива, як історія його руху вперед до істини^[2].

Доведення, яке не є строгим, — це ніщо^[2].

У математичній науці все, що не обґрунтовано до кінця, розцінюється як абсолютно необґрунтоване^[2].

Для математики характерним є доведення до крайньої межі домінування логічної сили міркування; математик, який, бодай тимчасово, опустить цю схему, взагалі втрачає здатність науково мислити^[2].

У математиці немає і не може бути «напівдоведених» і «майже доведених» тверджень: або повноцінність аргументації — така, що ніякі суперечки про правиль­ність доводжуваного твердження вже неможливі, або аргументація взагалі відсутня^[2].

У моральному плані математика навчає нас суворо ставитися до того, що стверджується як істина, що висувається як аргумент чи висловлюється як доведен­ня. Математика вимагає ясності понять та тверджень і не терпить ні туману, ні бездоказових заяв^[2].

Математичне доведення наводиться так скрупульоз­но, що воно стає незаперечним і переконливим для кожного, хто тільки його зрозуміє... Однак строгість математики не абсолютна: вона розвивається, принципи математики не застигли раз назавжди, а рухаються і теж можуть бути і є об'єктом наукових суперечок^[2].

Серед усіх наук математика користується особливою повагою; підставою для цього є та єдина обставина, що її положення абсолютно правильні й незаперечні, в той час як положення інших наук до деякої міри спірні, і завжди є небезпека їх спростування новими відкриттями^[2].

Ніде, як у математиці, ясність і точність умовиводу не дають змоги замінити відповідь розмовами навколо питання^[2].

Математика навчає точності думки, підкоренню ло­гіці доведень, поняттю строго обґрунтованої істини, а все ж формує особистість, мабуть, більше, ніж музика^[2].

Неспростовність — ім'я твоє, математика. Нехай представник природничих наук задовольняється очевид­ністю — математикові потрібні докази^[2].

Ми, математики, маємо напрочуд простий критерій істини. Доведення або є, або його немає^[2].

У математиці немає авторитетів. Єдиний аргумент істинності — доведення^[2].

Поняття істинності майже неминуче потребує абстракції нескінченності вже тому, що правильне ма­тематичне висловлювання має бути правильним завжди і всюди^[2].

Для строгого логіка неповне доведення — взагалі не доведення. І, звичайно, потрібно чітко розмежо­вувати неповні й повні доведення. Плутати їх одне з одним погано, а ще гірше приймати одне за друге^[2].

Потрібно всіма засобами навчати мистецтву доведення, не забуваючи при цьому про мистецтво здогаду­ватися^[2].

І математика, і смерть — ніколи не помиляються.^[3]

Не все на світі просто, але є
Якась закономірність саме в тому,
Що істина раптово постає
Крізь ліс ускладнень, в самому простому^[2].

Математика дає найбільш чисте й безпосереднє пере­живання істини; на цьому ґрунтується її цінність для загальної освіти людей^[2].

Строгість у математиці означає насамперед добро­совісність і ясність^[2].

Сутність математики полягає в її свободі.

нім. Das Wesen der Mathematik liegt gerade in ihrer Freiheit^[4].

Математика — це мова плюс роздуми^[5].

Математика — це велична споруда, створена уявою людини, для пізнання Всесвіту ^[5].

Серед усіх наук, що відкривають людству шлях до пізнання законів природи, наймогутніша, найвеличніша наука - математика ^[5].

Математика є прообразом краси світу^[5].

Математик повинен бути поетом в душі^[5].

Математика володіє не тільки істиною, але і вищою красою, холодною і суворою, подібною красі скульптури^[5].

Цифри не керують світом, але вони показують, як управляється світ^[5].

Вся глибина думки, яка закладена у формулювання математичних понять, згодом розкривається тим умінням, з яким ці поняття використовуються^[5].

Математик, так само, як художник або поет, створює узори. І якщо ці узори стійкіші, то лише тому, що вони складені з ідей^[5].

В світі немає місця для непривабливої математики^[5].

«Доведення від супротивного», яке так любив Евклід, є чи не найвитонченішою зброєю математика. Це набагато красивіший прийом, ніж будь-який шаховий гамбіт: шахіст, щоб добитися успіху, може пожертвувати пішака або навіть фігуру, математик же йде на ризик програшу всієї партії^[5].

…принципи геометрії є принципами всієї математики^[5].

Невибагливі головоломки про цілі числа протягом віків були джерелом оновлення математики^[5].

Нехай той, хто не математик, не читає мене^[5].

Математика і поезія – це… вираз тієї самої сили уяви, тільки в першому разі уява повернена до голови, а в другому – до серця^[5].

Жодна інша наука не навчає так ясно розуміти гармонію природи, як математика^[5].

… Математика – справа не тільки розуму, але й фантазії^[5].

Є в математиці щось таке, що викликає людське захоплення^[5].

… Я не фахівець із математики, а тільки прихильник її, невдаха, закоханий у цю найпрекраснішу з наук^[5].

Гра в шахи – це немовби насвистування математичних мелодій^[5].

Той, для кого двічі по два чотири – само собою зрозуміле, ніколи не стане великим математиком^[5].

Математика – це не так знання, як уміння^[5].

Найвище призначення математики полягає в тому, щоб знаходити прихований порядок в хаосі, що оточує нас^[5].

Математика – наука молодих. Інакше й не може бути. Заняття математикою – це така гімнастика розуму, для якої потрібна вся гнучкість і вся витривалість молодості^[5].

Математика дає не тільки вміння рахувати гроші, хоча це теж важливо, вона дає можливість людині побачити єдність світу. Ну і математика – це логіка в найчистішому її варіанті, логіка, яка записана так, що її не можна інтерпретувати якось інакше^[6].

Математика – це основа всього. Я взагалі себе математиком вважаю. Навіть якщо людина обирає якусь іншу професію, математика завжди стане в пригоді, адже вона дозволяє дивитися на світ зовсім іншими очима. Наприклад, якщо ви розумієте теорію вищої математики (те, що в англійській мові називається calculus – пов’язане з похідними та інтегралами), то ви розумієте процеси, які відбуваються навколо вас. Ви побачите, що швидкість – це не тільки в машині й на велосипеді, а це швидкість будь-якого процесу, зокрема соціального. Через цю призму ви зможете дивитися на Всесвіт як на єдине ціле^[6].