Ідеальний газ

Частина серії статей на тему:
Термодинаміка
Співвідношення між різними рівняннями термодинаміки. Закон для ідеального газу позначено сірим
Розділи Класична Статистична Хімічна Квантова[en] Термодинамічні процеси: Врівноважний[en] / Нерівноважний
Закони 0-й 1-й 2-й 3-й
Системи Стан Агрегатний стан Рівняння стану Ідеальний газ Реальний газ Рівновага Контрольний об'єм Інструменти Фазовий перехід Процеси Адіабатичний Ізобаричний Ізохоричний Ізотермічний Ізоентропійний Ізоентальпійний Квазістатичний Політропний Вільне розширення Оборотний Необоротний Ендоверсивний Цикли Тепловий двигун Тепловий насос Теплова ефективність
Властивості Діаграми Інтенсивні та екстенсивні властивості Функція процесу Робота Кількість теплоти Функція стану Температура / Ентропія Тиск / Об'єм Хімічний потенціал / Номер частинки Якість пари Редуковані властивості
Властивості матерії Термодинамічні показники Теплоємність  ${\displaystyle c=}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial T}$ Стисливість  ${\displaystyle \beta =-}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial p}$ Теплове розширення  ${\displaystyle \alpha =}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial T}$
Рівняння Теорема Карно[en] Нерівність Клаузіуса Фундаментальне рівняння Рівняння ідеального газу Рівняння Максвелла Принцип Онсагера Рівняння Бріджмена Таблиця рівнянь
Потенціали Вільна енергія Вільна ентропія Внутрішня енергія  ${\displaystyle U(S,V)}$ Ентальпія  ${\displaystyle H(S,p)=U+pV}$ Вільна енергія Гельмгольца  ${\displaystyle A(T,V)=U-TS}$ Вільна енергія Гіббса  ${\displaystyle G(T,p)=H-TS}$
Історія Історія Історія ентропії Газові закони Історія вічного двигуна Хронологія Філософія Термодинамічна стріла часу Ентропія і життя Браунівський храповик Демон Максвелла Парадокс теплової смерті Парадокс Лошмідта Синергетика Теорії Теплець Теплова теорія Жива сила Механічний еквівалент теплоти Потужність Ключові наукові праці «Експерименти з отримання тепла через тертя» «Про рівновагу гетерогенних речовин» «Роздуми про рушійну силу вогню»
Науковці Бернуллі Больцман ван дер Ваальс Вотерстон Гіббз Гельмгольц Джоуль Дюгем Карно Клапейрон Клаузіус Каратеодорі Максвелл Маєр Онсагер Ранкін Смітон Томпсон Томсон Шталь
Шаблони • Категорія • Портал
п о р

Ідеа́льний газ ─ з позиції молекулярно-кінетичної теорії ─ являє собою теоретичну (математичну, фізичну) модель газу, в якій передбачається, що:

1. потенціальною енергією взаємодії матеріальних часток, що складають газ, можна знехтувати в порівнянні з їх кінетичною енергією;
2. сумарний об'єм частинок газу дуже малий або ним можна знехтувати;
3. між частинками немає далекодіючих сил тяжіння або відштовхування, зіткнення часток між собою і зі стінками посудини абсолютно пружні (відсутня кінетична енергія);
4. час взаємодії між частинками дуже малий в порівнянні із середнім часом між зіткненнями.

Існує ще розширена модель ідеального газу.

Вчення про Ідеа́льний газ (ідеальні гази) сходить до відкритих в результаті не цілком точних експериментальних досліджень в XVII ─ XIX століттях газових законів Бойля ─ Маріотта, Гей-Люссака і Шарля, а також сформульованому Бенуа Клапейроном на їх основі об'єднаному рівнянню газового стану. В ті часи вважалося, що гази, на відміну від пари, не скраплюються і зберігають свій газоподібний стан у будь-якому температурному діапазоні. Розвиток кріогенної техніки спростував ці уявлення. Проте, газові закони збереглися в термодинаміці і в її технічних застосуваннях як принципово важливі закони ідеальних газів ─ граничних (практично недосяжних) станів реальних газів.

Під ідеальними газами в класичній термодинаміці маються на увазі гіпотетичні (реально не існуючі) гази, що строго підкоряються законам Бойля ─ Маріотта, Гей-Люссака і, відповідно, ─ рівнянню газового стану Клапейрона. ^[1] (Рівняння Клапейрона також було теоретично виведене при деяких припущеннях на основі молекулярно — кінетичної теорії газів).

У розширеній моделі ідеального газу частинки, з якого він складається, мають форму пружних сфер або еліпсоїдів, що дозволяє враховувати енергію не тільки поступального, а й обертально-коливального руху, а також не тільки центральні, а й нецентральні зіткнення частинок.^[2].

Історія виникнення поняття про ідеальний газ безпосередньо пов'язана з успіхами експериментальної фізики, початок яким було покладено в XVII столітті. У 1643 р. Еванджеліста Торрічеллі вперше довів, що повітря має вагу (масу), і спільно з В. Вівіані провів дослід з вимірювання атмосферного тиску за допомогою запаяної з одного кінця скляної трубки, заповненої ртуттю. Так з'явився на світ перший ртутний барометр. У 1650 р. німецький фізик Отто фон Ґеріке винайшов вакуумне відкачування і провів в 1654 р. знаменитий експеримент із магдебурзькими півкулями, яким наочно підтвердив існування атмосферного тиску. Інший експеримент здійснив англійський фізик Роберт Бойль, на підставі якого в 1662 р. був сформульований газовий закон, названий згодом законом Бойля ─ Маріотта^[3], у зв'язку з тим, що французький фізик Едм Маріотт в 1679 р. провів аналогічне незалежне дослідження.

У 1802 році французький фізик Жозеф Луї Гей-Люссак опублікував в пресі закон об'ємів (що називається в російськомовній літературі законом Гей-Люссака)^[4], проте сам Гей-Люссак вважав, що відкриття було зроблене Жаком Шарлем в неопублікованій роботі, що належить до 1787 року. Незалежно від них цей закон був відкритий в 1801 році англійським фізиком Джоном Дальтоном. Крім того, якісно, він був описаний французьким вченим Гійомом Амонтоном наприкінці XVII століття. Гей-Люссак також встановив, що коефіцієнт об'ємного розширення однаковий для усіх газів, попри загальноприйняту думку, що різні гази розширюються при нагріванні по-різному. 1834 року Бенуа Клапейрон об'єднав обидва ці закони в одне рівняння газового стану — рівняння Клапейрона, різновид якого часто називають у російськомовних джерелах рівнянням Клапейрона — Менделєєва.^[5]. Експериментальні дослідження фізичних властивостей реальних газів в ті роки були недостатньо точними і проводилися в умовах, що не дуже відрізнялися від нормальних (температура 0 ℃, тиск 760 мм рт. стовпчика). Передбачалося також, що газ, на відміну від пари, є субстанцією, незмінною у будь-яких фізичних умовах.

Першого удару за цими уявленнями завдало зріджування хлору в 1823 р. Надалі з'ясувалося, що реальні гази насправді є перегріті пари, досить віддалені від областей конденсації і критичного стану. Будь-який реальний газ може бути перетворений на рідину шляхом конденсації, або шляхом безперервних змін однофазного стану. Таким чином реальні гази являють собою один з агрегатних станів відповідних простих тіл, а точним рівнянням стану газу може бути рівняння стану простого тіла. Не дивлячись на це, газові закони збереглися в термодинаміці та в її технічних застосуваннях як закони ідеальних газів ─ граничних (практично недосяжних) станів реальних газів^[6]. Уперше поняття «Ідеальний газ» було введене Р. Клаузіусом.^[7].

Розрізняють три типи ідеального газу^{[джерело?]}:

• Класичний ідеальний газ або газ Максвелла — Больцмана.
• Ідеальний квантовий газ Бозе (складається з бозонів). (Див. Статистика Бозе — Ейнштейна).
• Ідеальний квантовий газ Фермі (складається з ферміонів). (Див. Статистика Фермі — Дірака).

Термодинамічні властивості ідеального газу можна описати такими двома рівняннями: Стан класичного ідеального газу описується рівнянням стану ідеального газу:

${\displaystyle PV=nRT=Nk_{B}T\,}$

Внутрішня енергія ідеального газу описується наступним рівнянням:

${\displaystyle U={\hat {c}}_{V}nRT={\hat {c}}_{V}Nk_{B}T}$

де ${\displaystyle {\hat {c}}_{V}}$ є константою (рівною, наприклад, 3/2 для одноатомного газу) і

• U — внутрішня енергія (вим. у джоулях)
• P — тиск (паскаль)
• V — об'єм (метр кубічний)
• n — кількість речовини (моль)
• R — газова стала (джоуль на моль на градус Кельвіна)
• T — абсолютна температура (градуси Кельвіна)
• N — кількість молекул
• k_B — стала Больцмана (джоуль на градус Кельвіна на молекулу)

Інші термодинамічні величини для одноатомного ідеального газу:

Вільна енергія:

${\displaystyle F=-Nk_{B}T\left({\text{ln}}\,\left[{\frac {V}{N}}\left({\frac {mk_{B}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}\right]+1\right)}$,

де m — маса атома газу, ${\displaystyle \hbar }$ — приведена стала Планка.

Хімічний потенціал

${\displaystyle \mu =k_{B}T{\text{ln}}\,\left[{\frac {N}{V}}\left({\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{B}T}}\right)^{3/2}\right]}$

Фермі-газ утворений з ферміонів — частинок, які не можуть перебувати в станах з однаковими квантовими числами. Ферміони підкоряються статистиці Фермі — Дірака. Прикладом ідеального Фермі-газу є електрони в металах.

Рівняння стану Фермі-газу записується в параметричному вигляді де параметром є величина хімічного потенціалу μ.

${\displaystyle P={\frac {g{\sqrt {2}}m^{3/2}(k_{B}T)^{5/2}}{3\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{3/2}dz}{e^{z-\mu /k_{B}T}+1}}\,}$,

${\displaystyle N={\frac {gVm^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt {z}}dz}{e^{z-\mu /k_{B}T}+1}}}$,

Інші позначення в цій формулі: g — фактор виродження (2 для електронів, у яких спін 1/2), ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка. Міняючи параметр μ і обчислюючи інтеграли, можна побудувати залежність тиску від об'єму для будь-якої температури й будь-якого числа частинок.

При високих температурах Фермі-газ поводить себе аналогічно класичному газу. Перша поправка до рівняння стану має вигляд:

${\displaystyle PV=Nk_{B}T\left(1+{\frac {\pi ^{3/2}}{2g}}{\frac {N\hbar ^{3}}{V(mk_{B}T)^{3/2}}}\right)}$.

Таким чином, тиск при тому ж об'ємі для фермі-газу збільшується завдяки зумовленому принципом Паулі відштовхуванню між частками.

При низьких температурах та високих густинах фермі-газ стає виродженим, і втрачає схожість із класичним ідеальним газом. Умова виродження задається нерівністю:

${\displaystyle T\ll T_{F}={\frac {\hbar ^{2}}{k_{B}m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{2/3}}$.

Температура ${\displaystyle T_{F}}$ називається температурою виродження.

При виконанні цієї умови рівняння стану ідеального електронного газу має вигляд:

${\displaystyle P={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}}{5}}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{5/3}}$.

Це рівняння справедливе також і для абсолютного нуля температури. Тиск виродженого Фермі-газу не залежить від температури.

Ідеальний Бозе-газ складається з бозонів. Відмінність від класичного газу в тому, що бозони неможливо жодним чином відрізнити один він одного і пронумерувати. Поведінка бозонів описується статистикою Бозе-Ейнштейна. Прикладом системи, яка складається з бозонів є світло.

Рівняння стану ідеального Бозе-газу записується у параметричному вигляді, який відрізняється від рівняння стану Фермі-газу лише знаком перед одиницею в знаменнику:

${\displaystyle P={\frac {g{\sqrt {2}}m^{3/2}(k_{B}T)^{5/2}}{3\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{3/2}dz}{e^{z-\mu /k_{B}T}-1}}\,}$,

${\displaystyle N={\frac {gVm^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt {z}}dz}{e^{z-\mu /k_{B}T}-1}}}$,

де хімічний потенціал ${\displaystyle \mu \leq 0}$.

При високих температурах Бозе-газ поводить себе подібно до класичного газу. Перша поправка до рівняння стану

${\displaystyle PV=Nk_{B}T\left(1-{\frac {\pi ^{3/2}}{2g}}{\frac {N\hbar ^{3}}{V(mk_{B}T)^{3/2}}}\right)}$.

Тиск при тому ж об'ємі менший за тиск класичного газу, немов між частками Бозе-газу діє ефективне притягання.

При низьких температурах Бозе-газ вироджується, переходячи в конденсат Бозе — Ейнштейна.

Для Бозе-конденсату рівняння стану записується у вигляді:

${\displaystyle P=0,0851g{\frac {m^{3/2}(k_{B}T)^{5/2}}{\hbar ^{3}}}}$.

Тиск у ньому не залежить від об'єму.

• Ідеальна рідина
• Закони ідеальних газів
• Амага (одиниця вимірювання)

• Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа., 415 с.
• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. Москва: Наука.
• Глосарій термінів з хімії / укладачі: Й. Опейда, О. Швайка ; Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л. М. Литвиненка НАН України, Донецький національний університет. — Донецьк : Вебер, 2008. — 738 с. — ISBN 978-966-335-206-0.