ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: พื้นฐานในระนาบคาร์ทีเซียนตัวอย่างการออกกำลังกาย

เนื้อหา

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติบนระนาบคาร์ทีเซียน
• ฟังก์ชัน f (x) = sin x
• ฟังก์ชัน f (x) = cos x
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่ต่อเนื่อง
• ฟังก์ชันแทนเจนต์ f (x) = tg x
• ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ f (x) = ctg x
• ฟังก์ชัน Secant f (x) = วินาที x
• ฟังก์ชันโคซีแคนต์ f (x) = cosec x
• การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข
• วิธีการแก้
• อ้างอิง

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ของตัวแปรจริงทำให้สอดคล้องกับมุมใด ๆ (แสดงเป็นเรเดียน) อัตราส่วนตรีโกณมิติซึ่งอาจเป็นไซน์โคไซน์แทนเจนต์โคแทนเจนต์ซีแคนท์และโคซีแคนต์

ด้วยวิธีนี้เรามีฟังก์ชันตรีโกณมิติ 6 ฟังก์ชัน ได้แก่ ไซน์โคไซน์แทนเจนต์โคซีแคนต์ซีแคนท์และโคแทนเจนต์

ฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมระหว่าง 0 ถึง2πถูกกำหนดด้วยความช่วยเหลือของวงกลมหน่วยโดยมีรัศมี 1 และมีจุดศูนย์กลางตรงกับจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน: จุด (0,0)

เราสามารถหาจุด P ของพิกัด (x, y) บนเส้นรอบวงนี้ได้

ส่วนที่รวมจุดเริ่มต้นกับ P ร่วมกับส่วนต่างๆที่เข้าร่วมการคาดการณ์ของ P บนแกนพิกัดประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งอัตราส่วนตรีโกณมิติเรียกว่าผลหารระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยม ดังนั้น:

• บาปθ = ขาตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• cos θ = ขาที่อยู่ติดกัน / ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• tg θ = ขาตรงข้าม / ขาที่อยู่ติดกัน

และตอนนี้เหตุผลที่ผกผันของก่อนหน้านี้:

• วินาทีθ = ด้านตรงข้ามมุมฉาก / ขาข้างเคียง
• cosec θ = ด้านตรงข้ามมุมฉาก / ขาตรงข้าม
• ctg θ = ขาข้างเคียง / ขาตรงข้าม

ในวงกลมหน่วยด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมใด ๆ จะเท่ากับ 1 และขามีค่า x และ y ดังนั้น:

บาปθ = y

cos θ = x

ด้วยวิธีนี้ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์จะได้รับค่าระหว่าง -1 ถึง 1 เสมอในขณะที่ส่วนที่เหลือ:

tg θ = y / x

cosec θ = 1 / ปี

วินาทีθ = 1 / x

ไม่ได้กำหนดไว้ว่าเมื่อไร x หรือ ย มีค่าเป็น 0

ฟังก์ชันตรีโกณมิติบนระนาบคาร์ทีเซียน

ดังที่เราจะเห็นด้านล่างฟังก์ชันตรีโกณมิติมีลักษณะเป็นคาบ ดังนั้นจึงไม่มีความหมายเชิงอคติยกเว้นในโดเมนที่ จำกัด

ฟังก์ชัน f (x) = sin x

เริ่มจากวงกลมตรีโกณมิติที่จุด P (1,0) มุมคือ 0 เรเดียน จากนั้นรัศมีจะหมุนทวนเข็มนาฬิกาและฟังก์ชัน sin x จะค่อยๆเติบโตขึ้นจนมาถึงπ / 2 เรเดียน (90º) เทียบเท่ากับประมาณ 1,571 เรเดียน

ที่นั่นถึงค่า y = 1 แล้วลดลงจนกระทั่งถึงศูนย์ในπเรเดียน (180 °) หลังจากนั้นค่าจะลดลงมากขึ้นเรื่อย ๆ เนื่องจากค่าจะกลายเป็นลบจนกระทั่งถึง −1 เมื่อมุมเป็น3π / 2 เรเดียน (270 °)

ในที่สุดก็เพิ่มขึ้นอีกครั้งจนกว่าจะกลับสู่ศูนย์ใน 360 °ซึ่งทุกอย่างเริ่มต้นอีกครั้ง สิ่งนี้ทำให้ y = sin x a ฟังก์ชันเป็นระยะ ของช่วงเวลา2πดังนั้นฟังก์ชันไซน์จึงไม่เป็น bijective

นอกจากนี้กราฟยังสมมาตรเมื่อเทียบกับจุด (0,0) ดังนั้นฟังก์ชันจึงเป็นเลขคี่

จากนั้นกราฟของ y = sin x:

ส่วนที่เป็นสีแดงคือช่วงแรก นอกจากนี้ยังพิจารณามุมลบเนื่องจากรัศมีของวงกลมตรีโกณมิติสามารถหมุนตามเข็มนาฬิกาได้

โดเมนของบาป x = จริงทั้งหมด

ช่วงหรือเส้นทางของบาป x = [-1,1]

ฟังก์ชัน f (x) = cos x

ที่จุด P (1,0) ฟังก์ชันโคไซน์มีค่า 1 และจากนั้นจะลดลงถึง 0 เมื่อมุมเป็นπ / 2 มันยังคงลดลงและรับค่าลบจนกระทั่งถึง -1 ที่มุมπ

จากนั้นจะเริ่มค่อยๆเพิ่มขึ้นจนกระทั่งถึง 0 ใน3π / 2 และกลับไปที่ 1 เมื่อรัศมีทำการปฏิวัติหนึ่งครั้ง จากนั้นวัฏจักรจะวนซ้ำตัวเองเนื่องจาก cos x เป็นคาบและสม่ำเสมอด้วย (สมมาตรรอบแกนตั้ง)

รูปแบบของฟังก์ชันโคไซน์จะเหมือนกับฟังก์ชันไซน์ยกเว้นว่าจะถูกแทนที่ด้วยπ / 2 ซึ่งกันและกัน

โดเมนของ cos x = จริงทั้งหมด

ช่วงคอส x หรือท่องเที่ยว = [-1,1]

ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่ต่อเนื่อง

ฟังก์ชัน tg x, ctg x, sec x และ cosec x ไม่ต่อเนื่องเนื่องจากเป็นอัตราส่วนระหว่างไซน์และโคไซน์หรือผกผัน เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็น 0 ในบางมุมเมื่อปรากฏในตัวส่วนจึงทำให้ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง

และเนื่องจากไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบฟังก์ชัน tg x, ctg x, วินาที x, โคเซต x จึงเป็นคาบเช่นกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์ f (x) = tg x

สำหรับฟังก์ชันแทนเจนต์ค่าความไม่ต่อเนื่องคือ±π / 2, ±3π / 2, ±5π / 2 …ซึ่งฟังก์ชันนี้รับค่ามากหรือน้อยมาก โดยทั่วไปสิ่งนี้เกิดขึ้นกับการทวีคูณของπของรูปแบบ (2n + 1) π / 2 ทั้งบวกและลบโดย n = 0, 1, 2 ...

ดังนั้น:

โดเมน Tg x: D = {x ∈ ร / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z}

ช่วง Tg x หรือการเดินทาง: จริงทั้งหมด.

สังเกตว่าฟังก์ชัน f (x) = tg x ซ้ำระหว่าง - π / 2 และ + π / 2 ดังนั้นช่วงเวลาจึงเป็นπ นอกจากนี้ยังสมมาตรเมื่อเทียบกับต้นกำเนิด

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ f (x) = ctg x

สำหรับฟังก์ชันนี้ค่าความไม่ต่อเนื่องจะเกิดขึ้นที่ 0, ±π, ±2π…นั่นคือจำนวนเต็มทวีคูณของπ

เช่นเดียวกับฟังก์ชันแทนเจนต์ฟังก์ชันโคแทนเจนต์คือคาบคาบπ สำหรับเธอมันเป็นความจริงที่:

โดเมน ctg x: D = {x ∈ ร / x ≠ n π; n ∈ Z}

ช่วง Ctg x หรือการเดินทาง: จริงทั้งหมด.

ฟังก์ชัน Secant f (x) = วินาที x

ฟังก์ชัน sec x มีจุดไม่ต่อเนื่องที่±π / 2, ±3π / 2, ±5π / 2 …โดยที่ cos x = 0 นอกจากนี้ยังเป็นคาบที่มีจุดπและสังเกตได้จากกราฟว่าฟังก์ชันไม่เคยรับค่า ในช่วงเวลา (-1,1)

โดเมนของวินาที x: D = {x ∈ ร / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z}

ช่วงวินาที x หรือการเดินทาง: จริงทั้งหมดยกเว้น (-1,1)

ฟังก์ชันโคซีแคนต์ f (x) = cosec x

มันคล้ายกับฟังก์ชัน secant แม้ว่ามันจะถูกเลื่อนไปทางขวาดังนั้นจุดที่ไม่ต่อเนื่องคือ 0, ±π, ±2πและจำนวนเต็มจำนวนเต็มทั้งหมดของπ นอกจากนี้ยังเป็นระยะ

โดเมน Cosec x: D = {x ∈ ร / x ≠ n π; n ∈ Z}

ช่วงการเก็บเกี่ยวหรือเส้นทาง x: จริงทั้งหมดยกเว้น (-1,1)

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

ชายสูง 6 ฟุตร่ายเงา S ซึ่งกำหนดความยาวโดย:

S (t) = 6 │cot (π.t / 12) │

ด้วยหน่วยฟุตและจำนวนชั่วโมงตั้งแต่ 6.00 น. เงาเวลา 8.00 น. 12.00 น. 14.00 น. และ 17.45 น.

วิธีการแก้

เราต้องประเมินฟังก์ชันสำหรับแต่ละค่าที่กำหนดโปรดทราบว่าต้องใช้ค่าสัมบูรณ์เนื่องจากความยาวของเงาเป็นบวก:

- เวลา 8.00 น. ผ่านไป 2 ชั่วโมงตั้งแต่ 6.00 น. ดังนั้น t = 2 และ S (t) คือ:

S (2) = 6 │cot (π.2 / 12) │ฟุต = 6 │cot (π / 6) │ฟุต = 10.39 ฟุต

- เมื่อเวลาผ่านไป 12 N t = 6 ชั่วโมงดังนั้น:

S (6) = 6 │cot (π.6 / 12) │ฟุต = 6 │cot (π / 2) │ฟุต = 0 ฟุต (ในขณะนั้นดวงอาทิตย์ตกในแนวดิ่งบนศีรษะของบุคคลนั้น)

- เวลา 14.00 น. t = 8 ชั่วโมงผ่านไป:

S (8) = 6 │cot (π.8 / 12) │ft = 6 │cot (2π / 3) │ft = 3.46 ฟุต

- เมื่อถึงเวลา 17:45 น. 11.75 ชั่วโมงผ่านไปแล้วตั้งแต่ 6.00 น. ดังนั้น:

S (11.75) = 6 │cot (π x 11.75 / 12) │feet = 91.54 ฟุต ในเวลานี้เงายาวขึ้นเรื่อย ๆ

ผู้อ่านสามารถคำนวณเวลาที่เงาของบุคคลนั้นเท่ากับความสูงของเขาได้หรือไม่?

อ้างอิง

1. Carena, M. 2019. คู่มือคณิตศาสตร์เตรียมเข้ามหาวิทยาลัย. มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Litoral
2. Figuera, J. 1999. คณิตศาสตร์. ที่ 1. หลากหลาย Bolivarian Colegial Editions
3. Hoffman, J. การเลือกหัวข้อคณิตศาสตร์. เล่ม 4.
4. Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
5. Zill, D. 1984. พีชคณิตและตรีโกณมิติ. McGraw Hill