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- *Première démonstration. Les relations 1 x = x = x 1 montrent que l'élément neutre de G appartient à CG. Si g et h sont deux éléments de CG, alors g h x = g x h = x g h, donc g h appartient lui aussi à CG. Enfin, si g appartient à CG, alors g x = x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g-1 à gauche, nous trouvons x = g-1 x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g-1 à droite, nous obtenons x g-1 = g-1 x, ce qui montre que g-1 appartient à CG.
*Seconde démonstration. Pour tout élément x de G, désignons par IntG l'automorphisme intérieur de G. Dire que deux éléments x et g de G commutent revient à dire que g est point fixe de IntG . Donc CG est l'ensemble des points fixes de IntG. De façon générale, l'ensemble des points fixes d'un endomorphisme d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe, donc CG est un sous-groupe de G.
*Troisième démonstration. D'après une remarque faite dans la seconde démonstration, CG est l'ensemble des éléments g de G tels que IntG admette x pour point fixe. Autrement dit, CG est l'image réciproque de l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe par l'application . Cette application est un homomorphisme de G dans le groupe SG des permutations de G et l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe est un sous-groupe de SG, donc CG est l'image réciproque d'un groupe par un homomorphisme partant de G, donc c'est un sous-groupe de G. (fr)
- *Première démonstration. Les relations 1 x = x = x 1 montrent que l'élément neutre de G appartient à CG. Si g et h sont deux éléments de CG, alors g h x = g x h = x g h, donc g h appartient lui aussi à CG. Enfin, si g appartient à CG, alors g x = x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g-1 à gauche, nous trouvons x = g-1 x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g-1 à droite, nous obtenons x g-1 = g-1 x, ce qui montre que g-1 appartient à CG.
*Seconde démonstration. Pour tout élément x de G, désignons par IntG l'automorphisme intérieur de G. Dire que deux éléments x et g de G commutent revient à dire que g est point fixe de IntG . Donc CG est l'ensemble des points fixes de IntG. De façon générale, l'ensemble des points fixes d'un endomorphisme d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe, donc CG est un sous-groupe de G.
*Troisième démonstration. D'après une remarque faite dans la seconde démonstration, CG est l'ensemble des éléments g de G tels que IntG admette x pour point fixe. Autrement dit, CG est l'image réciproque de l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe par l'application . Cette application est un homomorphisme de G dans le groupe SG des permutations de G et l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe est un sous-groupe de SG, donc CG est l'image réciproque d'un groupe par un homomorphisme partant de G, donc c'est un sous-groupe de G. (fr)
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