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- في الرياضيات، تعرف متعددة لحدود بالصورة حيث المعاملات أعداد مركبة. تنص النظرية الأساسية للجبر على أن متعددة الحدود P لها n عدد من الجذور يساوي درجتها n. فيما يلي سرد ببعض خواص هذه الجذور. (ar)
- In mathematics, a univariate polynomial of degree n with real or complex coefficients has n complex roots, if counted with their multiplicities. They form a multiset of n points in the complex plane. This article concerns the geometry of these points, that is the information about their localization in the complex plane that can be deduced from the degree and the coefficients of the polynomial. Some of these geometrical properties are related to a single polynomial, such as upper bounds on the absolute values of the roots, which define a disk containing all roots, or lower bounds on the distance between two roots. Such bounds are widely used for root-finding algorithms for polynomials, either for tuning them, or for computing their computational complexity. Some other properties are probabilistic, such as the expected number of real roots of a random polynomial of degree n with real coefficients, which is less than for n sufficiently large. In this article, a polynomial that is considered is always denoted where are real or complex numbers and ; thus n is the degree of the polynomial. (en)
- On appelle racine d'un polynôme réel ou complexe une racine d'un polynôme P(X) à une seule variable dont les coefficients sont réels ou complexes, c'est-à-dire un nombre α, réel ou complexe, vérifiant P(α) = 0. Dit autrement une racine d'un polynôme réel ou complexe est une solution d'une équation polynomiale dont les coefficients sont pris dans ℝ ou ℂ. Les racines des polynômes du premier degré, du second degré, de degré 3 et de degré 4 s'expriment à l'aide des quatre opérations usuelles et des racines n-ièmes. Hors cas particuliers, ceci ne se généralise pas aux degrés supérieurs, selon le théorème d'Abel-Ruffini. Pour le degré 5 la solution générale d'Hermite fait intervenir des fonctions elliptiques. Pour les équations de degrés supérieurs, sauf dans quelques cas particuliers, il ne reste que le calcul numérique, qui est d'ailleurs utile même pour les plus petits degrés. Se posent alors les problèmes de résolution de ces équations, d'estimation des solutions, de détermination du signe de ces solutions, des algorithmes de résolution et tous les problèmes connexes. Au XIXe siècle et dans la première moitié du XXe siècle, ces problèmes étaient souvent regroupés sous le terme « théorie des équations » ou « théorie des équations algébriques », aux côtés d'autres, comme ceux liés à la résolution de systèmes d'équations linéaires, ou à l'analyse de la résolution par radicaux par la théorie de Galois. (fr)
- En matemáticas, un polinomio de grado con coeficientes reales o complejos siempre posee raíces complejas (sin olvidar que los números reales forman parte de los complejos), y teniendo en cuenta su posible multiplicidad. Forman un conjunto de puntos en el plano complejo. Este artículo se refiere a las propiedades geométricas de estos puntos en el plano complejo que se pueden deducir del grado y de los coeficientes del polinomio. Algunas de estas propiedades geométricas, como los límites superiores de los valores absolutos de las raíces, que definen un disco que contiene todas las raíces, o los límites inferiores de la distancia entre dos raíces, se utilizan ampliamente en la resolución numérica de ecuaciones no lineales para polinomios, ya sea para ajustarlos o para calcular su complejidad computacional. Otras propiedades son probabilísticas, como el número esperado de raíces reales de un polinomio aleatorio de grado con coeficientes reales, que es menor que para suficientemente grande. En este artículo, un polinomio siempre se denota como: donde son números reales o complejos y ; y por lo tanto, es el grado del polinomio. (es)
- Na matemática, cotas para raízes de polinômios são estimativas para a grandeza do módulos das raízes de uma função polinomial, isto é, uma função do tipo: onde os coeficientes são números complexos e . Tais cotas localizam as raízes da função polinomial em uma região limitada do plano complexo, normalmente um círculo. (pt)
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- في الرياضيات، تعرف متعددة لحدود بالصورة حيث المعاملات أعداد مركبة. تنص النظرية الأساسية للجبر على أن متعددة الحدود P لها n عدد من الجذور يساوي درجتها n. فيما يلي سرد ببعض خواص هذه الجذور. (ar)
- Na matemática, cotas para raízes de polinômios são estimativas para a grandeza do módulos das raízes de uma função polinomial, isto é, uma função do tipo: onde os coeficientes são números complexos e . Tais cotas localizam as raízes da função polinomial em uma região limitada do plano complexo, normalmente um círculo. (pt)
- In mathematics, a univariate polynomial of degree n with real or complex coefficients has n complex roots, if counted with their multiplicities. They form a multiset of n points in the complex plane. This article concerns the geometry of these points, that is the information about their localization in the complex plane that can be deduced from the degree and the coefficients of the polynomial. Some other properties are probabilistic, such as the expected number of real roots of a random polynomial of degree n with real coefficients, which is less than for n sufficiently large. (en)
- En matemáticas, un polinomio de grado con coeficientes reales o complejos siempre posee raíces complejas (sin olvidar que los números reales forman parte de los complejos), y teniendo en cuenta su posible multiplicidad. Forman un conjunto de puntos en el plano complejo. Este artículo se refiere a las propiedades geométricas de estos puntos en el plano complejo que se pueden deducir del grado y de los coeficientes del polinomio. En este artículo, un polinomio siempre se denota como: donde son números reales o complejos y ; y por lo tanto, es el grado del polinomio. (es)
- On appelle racine d'un polynôme réel ou complexe une racine d'un polynôme P(X) à une seule variable dont les coefficients sont réels ou complexes, c'est-à-dire un nombre α, réel ou complexe, vérifiant P(α) = 0. Dit autrement une racine d'un polynôme réel ou complexe est une solution d'une équation polynomiale dont les coefficients sont pris dans ℝ ou ℂ. (fr)
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