| dbo:abstract
|
- في الرياضيات، متتالية تجزيئية (بالإنجليزية Aliquot sequence) هي متتالية معرفة بعلاقة استدعاء ذاتي حيث يساوي كل حد مجموع القواسم النظيفة للحد الذي سبقه. هناك عدة حالات حيث المتتاليات المجزئة لا تنتهي:
* الأعداد المثالية, لها متتاليات مجزئة دورية ودورتها تساوي الواحد. على سبيل المثال، المتتالية المجزئة للعدد 6 هي 6، 6، 6، ...
* الأعداد الصديقة, المتتالية المجزئة التي تنطلق من عدد ما صديق لعدد آخر (220 على سبيل المثال)، هي متتالية تتكرر ودورة تكرارها تساوي الاثنين. على سبيل المثال، المتتالية المجزئة ل 220 هي 284, 220, 284, 220, وهكذا إلي ما لانهاية له.
* الأعداد الأنيسة, لها متتاليات مجزئة دورية دوراتها أكبر من أو تساوي الثلاثة (في بعض الأحيان، يُتكلم عن الأعداد الأنيسة للكلام عن الأعداد الصديقة أيضا). على سبيل المثال، المتتالية المجزئة المنطلقة من العدد 1264460 تتكرر عند كل خمسة حدود وتعود إلى العدد الأصلي كما يلي: 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460... وهكذا إلي ما لانهاية له.
* لبعض الأعداد متتاليات مجزئة قد تكون دورية (أي أنها غير منتهية)، بدون أن تكون هذه الأعداد مثالية أو متحابة مع عدد آخر ما، أو أن تكون أنيسة. على سبيل المثال، المتتالية المجزئة المنطلقة من العدد 95 هي 95, 25, 6, 6, 6, ... لكاتالان حدسية مهمة تتعلق بالمتتاليات المجزئة، وتنص على أن كل متتالية مجزئة تنتهي بعدد أولي أوع عدد مثالي أو مجموعة من الأعداد المتحابة أو الأنيسة. انظر إلى دالة دورية. (ar)
- In mathematics, an aliquot sequence is a sequence of positive integers in which each term is the sum of the proper divisors of the previous term. If the sequence reaches the number 1, it ends, since the sum of the proper divisors of 1 is 0. (en)
- Unter einer Inhaltskette (auch Aliquot-Folge von engl. aliquot sequence) versteht man eine Folge positiver ganzer Zahlen, in der jede der Zahleninhalt (die Summe der echten Teiler) ihres Vorgängers ist. (de)
- En Matemática, una sucesión alícuota es una sucesión recursiva en la que cada término es la suma de los divisores propios del término anterior. La sucesión alícuota que comienza con el entero positivo k puede ser definida formalmente mediante la función divisor σ1 de la siguiente manera: s0 = ksn = σ1(sn−1) − sn−1. Por ejemplo, la sucesión alícuota de 10 es 10, 8, 7, 1, 0 porque: σ1(10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8σ1(8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7σ1(7) − 7 = 1σ1(1) − 1 = 0 Muchas sucesiones alícuotas terminan en cero (sucesión A080907 en OEIS); todas las sucesiones de ese tipo necesariamente terminan con un número primo seguido por 1 (ya que el único divisor propio de un primo es 1), seguido por 0 (ya que 1 no tiene divisores propios). Hay varias maneras en las cuales una sucesión alícuota puede no terminar:
* Un número perfecto tiene una sucesión alícuota periódica infinita de período 1. La sucesión alícuota de 6, por ejemplo, es 6, 6, 6, 6, ....
* Un número amigable tiene una sucesión alícuota infinita de período 2. Por ejemplo, la sucesión alícuota de 220 es 220, 284, 220, 284, ....
* Un número sociable tiene una sucesión alícuota infinita de período mayor o igual a 3 (a veces, el término número sociable se aplica también a los números amigables). Por ejemplo, la sucesión alícuota de 1264460 es 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ....
* Algunos números tienen una sucesión alícuota que termina en una sucesión periódica, pero el número inicial no es perfecto, amigable, ni sociable. Como ejemplo, la sucesión alícuota de 95 es 95, 25, 6, 6, 6, 6, .... Números como 95 que no son perfectos, pero tienen una sucesión alícuota periódica de período 1 son llamados números aspirantes. Una importante conjetura enunciada por Catalan respecto a las sucesiones alícuotas es que cada sucesión alícuota termina en una de las tres formas descritas arriba — con un número primo, un número perfecto, o un conjunto de números amigables o sociables. La alternativa sería que exista un número cuya sucesión alícuota fuera infinita, pero aperiódica. Hay varios números cuyas sucesiones alícuotas no han sido totalmente determinadas (año 2006), por lo que podrían existir tales números. Los primeros cinco números candidato son llamados los cinco de Lehmer: 276, 552, 564, 660, and 966. Hasta la fecha (agosto de 2009), hay 906 enteros positivos menores que 100000 cuyas sucesiones alícuotas no han sido completamente determinadas, y 9393 si se incluyen todos los enteros positivos menores que 1000000. (es)
- En arithmétique, une suite aliquote est une suite d'entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des diviseurs propres (ou diviseurs stricts) de son prédécesseur. Quand la suite atteint 1, elle s'arrête car 1 ne possède pas de diviseur propre. Ainsi la suite commençant à 10 se comporte de la manière suivante : les diviseurs propres de 10 sont 1, 2 et 5.les diviseurs propres de 8 sont 1, 2 et 47 ne possède qu'un diviseur propre 1 (fr)
- In de getaltheorie is de aliquotrij van een natuurlijk getal een rij getallen die begint met dat getal en waarvan verder elk getal de aliquotsom is van het getal dat in die rij eraan vooraf gaat. Voorbeelden
* Is , dan is, met als functie die de aliquotsom van geeft:, enz.De aliquotrij van het getal is dan: .
* Is , dan is:De aliquotrij van is dan: . De aliquotrij van een willekeurig natuurlijk getal kan, op basis van bovenstaande definitie, worden geschreven als: Of, recursief gedefinieerd met als algemene term van de rij: Onderdeel van deze definitie is toegevoegd, opdat de rijen die met een zouden eindigen, dan doorlopen met . (nl)
- アリコット数列（英語: aliquot sequence）は、各項が直前の項の自分自身を除く約数の和となっている再帰数列である。自然数 k から始まるアリコット数列は、約数関数 σ1 によって次のように定義される： s0 = ksn = σ1(sn−1) − sn−1. 例えば、10 から始まるアリコット数列は 10, 8, 7, 1, 0 である。すなわち、 σ1(10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8σ1(8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7σ1(7) − 7 = 1σ1(1) − 1 = 0 多くのアリコット数列は、素数、続いで 1 (素数の自分自身を除く約数は1のみ)、続いで 0 (1は自分自身以外の約数がない) となって終了する (A080907)。終了しないアリコット数列にはいくつかの場合があり、
* 完全数は周期 1 の繰り返しとなる。例えば 6 のアリコット数列は 6, 6, 6, 6, ... である。
* 友愛数は周期 2 の繰り返しとなる。例えば 220 のアリコット数列は 220, 284, 220, 284, ... である。
* 社交数は周期 3 以上の繰り返しとなる（「社交数」は友愛数を含んだ用語として使われることもある）。例えば 1264460 のアリコット数列は 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ... である。
* 完全数、友愛数、社交数のいずれでもないが、最終的には周期的な繰り返しとなる数もある。例えば 95 のアリコット数列は 95, 25, 6, 6, 6, 6, ... である。95 のように、自身が完全数ではないが最終的に周期 1 の繰り返しとなる数を aspiring numbers という (A063769)。 は、あらゆるアリコット数列は素数、完全数、友愛数、社交数のいずれかで終了すると予想した。この予想が正しくない場合、非周期的で無限に続くアリコット数列が存在する事になる。未だに多くの数についてアリコット数列が最後まで決定されておらず、その中にカタランの予想の反例があるかもしれない。このような数のうち最初の5個である 276, 552, 564, 660, 966 をに因んで"レーマーの五数"(Lehmer Five)と呼ぶ。 2015年4月現在、10万以下の自然数のうち 898 個、100万以下では 9190 個のアリコット数列が未決定である。 (ja)
- В математике аликвотная последовательность — это рекурсивная последовательность, в которой каждый член является суммой собственных делителей предыдущего члена. Аликвотная последовательность, начинающаяся с некоторого положительного целого числа k, может быть определена формально в терминах суммирующей функции делителей σ1 следующим образом: s0 = ksn = σ1(sn−1) − sn−1. Например, аликвотная последовательность для числа 10 — 10, 8, 7, 1, 0, поскольку: σ1(10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8σ1(8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7σ1(7) − 7 = 1σ1(1) − 1 = 0 Многие аликвотные последовательности завершаются нулём (последовательность в OEIS), и все такие последовательности завершаются простым числом с последующими единицей (поскольку единственным собственным делителем простого числа является единица) и нулём (поскольку у единицы нет собственных делителей). Имеется также несколько случаев, когда аликвотная последовательность бесконечна:
* Совершенное число имеет повторяющуюся аликвотную последовательность с периодом 1. Аликвотной последовательностью шести, например, является 6, 6, 6, 6, ...
* Дружественные числа имеют повторяющуюся аликвотную последовательность с периодом 2. Например, аликвотной последовательностью числа 220 является 220, 284, 220, 284, ...
* Компанейские числа имеют повторяющуюся аликвотную последовательность с любым периодом. Например, аликвотной последовательностью числа 1 264 460 является 1 264 460, 1 547 860, 1 727 636, 1 305 184, 1 264 460, ...
* Некоторые числа дают аликвотную последовательность, с некоторого места переходящую в последовательность с некоторым периодом, не будучи при этом ни совершенными, ни дружественными, ни компанейскими. Например, аликвотной последовательностью числа 95 является 95, 25, 6, 6, 6, 6, ... . Числа наподобие 95, не являющиеся совершенными, но дающие последовательность, переходящую с некоторого места в последовательность с периодом 1, называются сходящимися. Длины аликвотных последовательностей, начинающихся с n: 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (последовательность в OEIS). Последний элемент аликвотных последовательностей (не включая 1), начинающихся с n: 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (последовательность в OEIS). Числа, аликвотные последовательности которых завершаются 1: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (последовательность в OEIS). Числа, аликвотные последовательности которых завершаются совершенным числом: 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (последовательность в OEIS). Числа, аликвотные последовательности которых завершаются циклом длины 2: 220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, ... (последовательность в OEIS). Числа, для которых не известно, являются ли их аликвотные последовательности конечными или периодическими: 276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 1350, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (последовательность в OEIS). Важной гипотезой относительно аликвотных последовательностей, принадлежащей Каталану, является предположение, что любая аликвотная последовательность завершается одним из перечисленных путей — простым числом, совершенным числом, набором дружественных чисел или набором компанейских чисел. В противном случае должны существовать числа, аликвотная последовательность которых бесконечна и апериодична. Любое из упомянутых выше чисел, для которых аликвотная последовательность не определена полностью, может оказаться таким числом. Первые пять кандидатов называются пятёрка Лемера (по имени американского математика Дика Лемера): , 552, 564, 660 и 966. К декабрю 2013 года известно 898 положительных целых чисел, меньших 100 000, для которых аликвотная последовательность не установлена, и 9205 таких чисел, меньших 1 000 000. (ru)
- 選擇一個正整數作為一個數列的開首，數列的之後的項都是上一項的真因子之和（因數函數），即：
*
* 這樣組成的數列稱為真因子和數列（aliquot sequence）。 例如取10為首項，之後是（任何質數的唯一真因子都是1，1沒有真因子）。 真因子和數列有幾種可能的發展方式：
* 在1結束：好像上面的10、任何質數、18（） ……（）
* 循環不斷：對於完全數、相親數、相親數鏈的成員，真因子和數列是循環的。如果有些數本身並不屬於上述提到那類數，卻因為數項中有些項的真因子之和屬於那類數，而有循環的真因子和數列，它們稱為aspiring numbers（）。譬如： 1.
* 完美數：28, 28, 28... 2.
* 四環相親數鏈的成員1264460：1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, .... 3.
* aspiring number 95：95, 25, 6, 6, 6,
* 不循環地一直延續下去：19世紀數學家歐仁·查理·卡塔蘭猜想任何真因子和數列都是按上面兩種方式延續下去，但人們不但未能證明或推翻這個猜想，而且不能確定一些整數的真因子和數列。在1至1000之間，便有五個這樣的數，它們稱為Lehmer Five —— 276, 552, 564, 660, 966。截止2007年7月，1至105間有909個這樣的數，1至106間有9466個。 (zh)
|