Vinkelns tredelning

Vinkelns tredelning är ett klassiskt problem inom geometrisk konstruktion. Problemet består i att dela en vinkel i exakt tre lika stora vinklar med endast rätskiva och passare. Problemet bevisades vara olösbart i det allmänna fallet av Pierre Wantzel år 1837. Wantzels bevis använder sig av idéer från Galoisteorin — tredelningen av en vinkel motsvarar lösandet av en viss kubisk ekvation, vilket inte alltid är möjligt med de angivna metoderna.^[1] Dock kan en allmän lösning tas fram om man tillåter andra verktyg än rätskiva och passare.

Problemet härstammar från antikens Grekland och är nära besläktat med andra problem som även de använder sig av endast rätskiva och passare:

• Deliska problemet - Problemet går ut på att konstruera en kub som har dubbla volymen av en given kub.
• Cirkelns kvadratur - Problemet går ut på att med de givna verktygen rita en kvadrat med samma area som en given cirkel.

Även dessa problem visar sig vara olösbara.

Många hävdar fortfarande att problemet är lösbart, men om man följer följande regler är det bevisat omöjligt att lösa problemet:

• Endast en rätskiva (det vill säga en omärkt linjal) och en passare är tillåtna hjälpmedel.
• Rätskivan får ej användas till att mäta längder eller rita markeringar på.
• Passaren används enbart till att rita cirklar runt en fixt punkt.
• Passaren och rätskivan får ej användas till att skapa ett nytt verktyg eller en ny typ av kurva.

Det geometriska problemet kan kopplas till lösningen av ett algebraiskt problem genom att använda den trigonometriska identiteten ${\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}(\theta )-3\cos(\theta ).}$

En allmän tredelning finns inte eftersom vinkeln ${\displaystyle \pi /3}$ ej kan delas. Notera att ${\displaystyle 1/2=\cos(\pi /3)=\cos(60^{\circ })=\cos(3\cdot 20^{\circ })=}$${\displaystyle 4\cos ^{3}(20^{\circ })-3\cos(20^{\circ })}$.

Om ${\displaystyle y=\cos(20^{\circ })}$ medför det att ${\displaystyle 4\cdot y^{3}-3\cdot y-1/2=0}$.

Genom substitution där vi sätter ${\displaystyle x=2y}$ medför det att ${\displaystyle (2y)^{3}-3\cdot (2y)-1=x^{3}-3\cdot x-1=0}$. Denna ekvation kan ej lösas geometriskt enligt reglerna eftersom en lösning kräver egenskaper som de givna verktygen inte har.

Detta är en metod att dela vinkeln 90 grader i tre delar om 30 grader.

Genom att utgå från origo och rita en cirkel som skär axlarna får vi punkterna B och D. Om vi, från dessa punkter, ritar en lika stor cirkel så får vi nu fram två nya skärningspunkter C och E.

Eftersom samma mått på passaren använts hela tiden, har vi nu två liksidiga trianglar ABC och ADE. Dessa har därför vinkeln 60 grader vilket er oss att vinklarna AEB, ACE och ACD är 30 grader vardera.

Det går att konstruera vinklar godtyckligt nära den exakta tredjedelen av en sökt vinkel, exempelvis medelst bisektriser. I det fallet använder man att

${\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}-\ldots }$

exakt, som oändlig summa, och att hälften, fjärdedelen, åttondelen o. s. v. av en given vinkel kan konstrueras. Man kan därför konstruera varje ändlig delsumma multiplicerad med den givna vinkeln; och dessa delsummor har den sökta tredjedelsvinkeln som gränsvärde. Man kan dock inte nå fram till exakt detta gränsvärde i ett ändligt antal steg.

En del av de lösningar som presenteras av amatörmatematiker ger rätt goda approximationer av den riktiga tredjedelsvinkeln; ibland så goda att det på grund av mätfel är svårt att skilja dem från de exakta vinklarna, om man försöker genomföra konstruktionerna konkret på papper. Det klassiska problemet handlar emellertid om exakta lösningar i en idealiserad situation, där punkter saknar utsträckning, linjer saknar bredd, och inga småfel kan förekomma.

Arkimedes fann en allmän (exakt) lösning på problemet, om man tillåts använda en linjal med två märken, och tillåter en konstruktion där linjalen flyttas till dess att två givna märken på linjalen ligger på en viss linje respektive på en viss cirkel.

I figuren är α = ${\displaystyle \angle }$BAE° en given (spetsig) vinkel, och β en konstruerad vinkel med storlek exakt ⅓α. Konstruktionen går kortfattat ut på att man ser till att vinkelns radie (r i figuren) är lika lång som avståndet genom de två märkena, och man sedan vrider och linjalen åt vänster, så att det ena märket ligger på linjen genom A och E, samtidigt som linjalen hela tiden går genom punkten B. När det andra märket ligger på cirkeln, drar man sträckan DB, som skär cirkeln i punkten C. Man kan nu visa att vinkeln γ = 2β, och att α = β+γ. Alltså är α = β+2β = 3β.

Problemet kan också lösas exempelvis med hjälp av Arkimedes spiral^[1], eller medelst pappervikningsmatematik.