Manhattangeometri

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Manhattangeometri (på engelska taxicab geometry, det vill säga taxibilsgeometri) är inom matematik en geometri som inte mäter avstånd mellan två punkter som vanligt med euklidisk norm som i euklidisk geometri utan med så kallad 1-norm som introducerades av den tyske mathematikern Hermann Minkowski. Detta innebär att längden från origo till punkten (x, y) beräknas som ${\displaystyle |x|+|y|}$, det vill säga som förflyttning i x-led adderat med förflyttningen i y-led. Detta kan liknas med hur långt man måste gå mellan två punkter bland höghusen på Manhattan, man kan inte gå snett genom dem utan måste följa de vinkelräta gatorna.

Man kan börja med att tänka sig en diskret mängd punkter (korsningar på Manhattan) förbundet med vinkelräta gator. Om man låter dessa diskreta punkter ligga oändligt nära varandra med vinkelräta gator oändligt tätt har man fått manhattangeometrin.

Manhattanavståndet, ${\displaystyle d_{1}}$, mellan två vektorer ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ i ett n-dimensionellt reellt vektorrum med fixt kartesiskt koordinatsystem, är summan av längderna av projektionerna från sträckan mellan punkterna på koordinataxlarna:

${\displaystyle d_{1}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|}$,

där ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,}$ och ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,}$ är vektorer.

Till exempel, är manhattanavståndet i ett plan mellan punkterna

${\displaystyle (p_{1},p_{2}),\ (q_{1},q_{2})=|p_{1}-q_{1}|+|p_{2}-q_{2}|.}$

En cirkel definieras som mängden av punkter som befinner sig på ett visst avstånd från en given punkt. Den givna punkten kallar vi ofta medelpunkt och avståndet kallas cirkelns radie. I manhattangeometri ser en cirkel inte ut som vi är vana vid, utan, som bilden visar, som en kvadrat vriden 45 grader mot x- och y-axlarna.

Avståndet på ett schackbräde för torn mäts i manhattanavstånd, och även för löparen om man vrider planen 45 grader och låter de diagonala rutorna utgöra axlarna.