Redigerar Polynom

Du är inte inloggad. Din IP-adress kommer därför att synas i versionshistoriken om du klickar på "Publicera ändringar" nedan. Om du vill undvika att din IP-adress offentliggörs kan du logga in eller skapa ett konto.

Kontrollera versionerna nedan för att bekräfta att detta är vad du avser att göra och slutför återställningen genom att spara. Beskriv gärna orsaken till ditt återställande i sammanfattningsfältet.

Ett '''polynom''' är ett [[matematiskt uttryck]] bestående av icke-negativa [[Potens|heltalspotenser]] av [[variabel|variabler]] och [[konstant]]er kombinerade genom enbart [[addition]], [[subtraktion]] och [[multiplikation]]. Uttryckets högsta heltalspotens är polynomets gradtal. Exempelvis är 
:<math>x^2 - 4x + 5</math>

ett andragradspolynom i variabeln <math>x</math> medan <math>x^{-1}</math> inte är ett polynom överhuvudtaget.

Standardformen för ett polynom av en variabel <math>x</math> är
:<math>\sum_{k=0}^n a_k x^k \; = \; a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math>
där konstanterna <math>a_k</math> kallas ''[[koefficient]]er''.

Den högsta förekommande [[exponent]]en av <math>x</math> (här lika med <math>n</math> om <math>a_n\ne 0</math>) är polynomets ''grad''. Ofta talar man synonymt om polynomet <math>P</math> och den [[funktion]] som avbildar <math>x</math> på <math>P(x)</math>.

Enklaste slaget av polynom benämns [[monom]] och har endast en term.
Ett polynom med två termer kallas för ett [[binom]].

Ett polynom kan också beskrivas som en koefficient multiplicerad med en variabel upphöjd till ett icke-negativt tal. Exempelvis är 2''x'', 2''x'' + 5, 2''x''2, 1''x''1 och 7 alla polynom.

<gallery perrow="2" widths="160" heights="160">
File:Polynomialdeg2.png|Andragradspolynom
File:Polynomialdeg3.png|Tredjegradspolynom
File:Polynomialdeg4.png|Fjärdegradspolynom
File:Polynomialdeg5.png|Femtegradspolynom
</gallery>

== Gradtal och benämningar ==
Polynom av grad 0 till 5 benämns ofta enligt följande tabell:

{| class="wikitable"
!Grad||Benämning||Funktion||Form
|-
|0||Nolltegradspolynom (konstant polynom)||[[Konstant funktion]]||<math>a</math>
|-
|1||Förstagradspolynom (linjärt polynom)||[[Affin funktion]]/[[Linjär funktion]]||<math>ax + b</math>
|-
|2||Andragradspolynom (kvadratiskt polynom)||[[Kvadratisk funktion]]||<math>ax^2 + bx + c</math>
|-
|3||Tredjegradspolynom (kubiskt polynom)||[[Kubisk funktion]]||<math>ax^3 + bx^2 + cx + d</math>
|-
|4||Fjärdegradspolynom (kvartiskt polynom)||[[Kvartisk funktion]]||<math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math>
|-
|5||Femtegradspolynom (kvintiskt polynom)||[[Kvintisk funktion]]||<math>ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f</math>
|}

Det finns ingen enighet om hur graden av nollpolynomet, det vill säga det polynom vars alla koefficienter är 0, skall definieras. Vissa författare föredrar att definiera graden av detta som −1, andra definierar det som −∞; ytterligare andra låter det vara odefinierat.

Ett polynom där högstagradskoefficienten är 1 kallas för moniskt.

== Elementära egenskaper ==
Polynom är de enklaste [[elementära funktioner]]na. Summor och produkter av polynom är polynom, och även [[derivator]] och [[integral]]er av polynom är polynom.

== Nollställen ==
En '''rot''' eller ett '''[[nollställe]]''' är ett tal <math>r</math> sådant att <math>p(r) = 0</math>. Att hitta rötter till en ekvation eller att lösa en algebraisk ekvation, är ett av matematikens äldsta problem. En del polynom, som exempelvis <math>p(x) = x^2+ 1</math>, har ingen reell rot. Men genom att utvidga mängden av möjliga nollställen till de komplexa talen, uppnår man att det alltid finns rötter till ett polynom (se [[Algebrans fundamentalsats]]). [[Komplexkonjugat|Konjugat]]et till en imaginär rot är också en rot till ekvationen om alla koefficienter är reella.

Det är intressant att notera att det är försök att lösa ekvationer som starkt bidragit till att införa de olika utvidgningarna av de naturliga talen: för att lösa till exempel <math>x+2=0</math> behövs [[negativa tal]], för att lösa <math>3x=5</math> krävs [[rationella tal]], till <math>x^2-2=0</math> behövs [[irrationella tal]] och de [[komplexa tal]]en behövs för att lösa <math>x^2+2=0</math>.

Ett polynom med grad större eller lika med fem har ingen generell kompletteringsformel (jfr [[kvadratkomplettera]]). Det betyder att en polynomekvation av grad större eller lika med fem ofta måste lösas numeriskt.

Ett flertal [[numeriska metoder]] för beräkning av nollställen till polynom är kända. Generellt tillämpbara metoder är exempelvis [[Newtons metod]], [[Laguerres metod]] och [[Durand-Kerners metod]]. Numerisk rotberäkning för polynom kan vara ett [[Konditionstal|illakonditionerat]] problem och avancerade metoder kan krävas för att hantera polynom med högt gradtal.

Om ''x = a'' är ett nollställe till polynomet ''f(x)'' innebär detta enligt [[faktorsatsen]] att ''x − a'' är en delare, och endast då, till polynomet ''f(x)''.

Om det rationella talet p/q, där p och q är relativt prima, är ett nollställe till ett polynom <math>f(x) = a_0 + a_1x+ ... + a_nx^n</math> med heltalskoefficienter så gäller att <math>p|a_0</math> och <math>q|a_n</math>.<ref>{{bokref|författare=Per-Anders Svensson|titel=Abstrakt Algebra|förlag=Studentlitteratur|isbn=978-91-44-01262-9|upplaga=1:2|år=2001|kapitel=16.4. Irreducibla polynom|sid=379}}</ref>

== Polynomvärde ==
För att beräkna ett polynomvärde i en viss punkt <math>x</math> så evaluerar man lämpligen inte hela uttrycket. Det är effektivare att använda [[Horners algoritm]]. Om man skall beräkna polynomvärden för flera likaseparerade punkter så är [[Newtons differensschema]] ännu effektivare.

== Flervariabelpolynom ==
I flervariabelanalys består polynomen av flera variabler. Man säger att ''totala graden'' är summan av variablernas maximala potenser i en term. För

: <math>p(x, y, z) = 2x^2yz^3 - 3y^2 + 5yz - 2</math>

är den totala graden 2 + 1 + 3 = 6.

== Se även ==
* [[Chebyshevpolynom]]
* [[Hermitska polynom]]
* [[Legendrepolynom]]
* [[Multiplicitet]]
* [[Interpolation#Interpolation med polynom|Polynominterpolation]]

== Referenser ==
<references/>
 
== Externa länkar ==
* {{Commonscat|Polynomials}}
* {{Wiktionarypar|polynom}}

[[Kategori:Polynom| ]]

Sammanfatta redigeringen

Observera att du genom att bidra till Wikipedia godkänner att ditt bidrag släpps under licensen Creative Commons erkännande-dela lika 4.0. Det innebär bland annat att du godkänner att din text kan redigeras eller kopieras av vem som helst. Du ansvarar även för att bidraget inte bryter mot upphovsrätten och att all information i bidraget är verifierbar.

Avbryt Redigeringshjälp (öppnas i ett nytt fönster)

#OMDIRIGERING [[]] [[Fil:|miniatyr|]] [[Kategori:]] <ref></ref> <ref name=""></ref> <references/> {{byt:referenser}} {{byt:rel|}} <code></code> {{mall|}} : | [] [[]] [[|]] {{}} ~ ~~~~   <nowiki></nowiki>  {{STANDARDSORTERING:}} <includeonly></includeonly> <noinclude></noinclude> [[Wikipedia:]] [[Wikipediadiskussion:]] [[Användare:]] [[Användardiskussion:]] [[Malldiskussion:]] [[Kategoridiskussion:]]

Ä ä Ö ö Æ æ Å å Ø ø Á á É é Í í Ó ó Ú ú Ý ý À à È è Â â Ê ê Ë ë Ü ü đ Ç ç Č č ĉ Ã ã Ñ ñ Ŋ ŋ ĝ ĥ ĵ ŝ Š š Ŧ ŧ ŭ Ž ž • ß Ð ð Þ þ Œ œ • Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū • Ğ ğ İ ı Ş ş Ə ə • Ą ą Ę ę Ś ś Ć ć Ń ń Ó ó Ł ł Ż ż Ź ź • А а Б б В в Г г Д д Е е Ё ё Ж ж З з И и Й й К к Л л М м Н н О о П п Р р С с Т т У у Ф ф Х х Ц ц Ч ч Ш ш Щ щ Ъ ъ Ы ы Ь ь Э э Ю ю Я я ѓ є і ї ј љ њ Ґ ґ • Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ ς σ Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω • – — ¡ ¿ $ ¢ £ © ® ° ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ † ⋅ × ± • ” ’

Wikidata-entiteter som används på denna sida

polynom: Webbplatslänk, Titel, Uttalande: P373, Beskrivning: sv

Mallar som används på den här sidan:

Mall:Bokref (visa wikitext) (delvis skyddad)
Mall:Citation/core (visa wikitext) (endast etablerade användare)
Mall:Cite book (visa wikitext) (delvis skyddad)
Mall:Commonscat (visa wikitext) (delvis skyddad)
Mall:ISBN (visa wikitext) (delvis skyddad)
Mall:Italiclink (visa wikitext) (delvis skyddad)
Mall:Iwcommonscat (visa wikitext) (delvis skyddad)
Mall:Iwwiktionary (redigera)
Mall:Link (visa wikitext) (endast etablerade användare)
Mall:Wiktionarypar (redigera)
Modul:ISBN (visa wikitext) (delvis skyddad)
Modul:Åtgärdskategorier Wikidata (visa wikitext) (delvis skyddad)

Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/wiki/Polynom”