Mosbarazimi i Jensenit

Në matematikë, mosbarazimi i Jensenit, e quajtur sipas matematikanit danez Johan Jensen, lidh vlerën e një funksioni të lugët të një integrali me integralin e funksionit të lugët. Ajo u vërtetua nga Jenseni në vitin 1906, ^[1] duke u mbështetur në një provë të mëparshme të së njëjtës pabarazi për funksionet e dyfishta të diferencueshme nga Otto Hölder në 1889. ^[2] Duke pasur parasysh përgjithësinë e saj, pabarazia shfaqet në shumë forma në varësi të kontekstit, disa prej të cilave janë paraqitur më poshtë. Në formën e tij më të thjeshtë, pabarazia thotë se transformimi i lugët i një mesatareje është më i vogël ose i barabartë me mesataren e zbatuar pas transformimit të lugët; është një përfundim i thjeshtë se e kundërta është e vërtetë për shndërrimet e mysëta. ^[3]

Pabarazia e Jensenit përgjithëson pohimin se vija sekante e një funksioni të lugët qëndron mbi grafikun e funksionit, që është pabarazia e Jensenit për dy pika: vija sekante përbëhet nga mesataret e peshuara të funksionit të lugët (për t ∈ [0,1]),

${\displaystyle tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),}$

ndërsa grafiku i funksionit është funksioni i lugët i mesatares së peshuar,

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2}).}$

Kështu, pabarazia e Jensenit është

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}$

Në kontekstin e teorisë së probabilitetit, përgjithësisht shprehet në formën e mëposhtme: nëse X është një ndryshore e rastit dhe φ është një funksion i lugët, atëherë

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}$

Supozoni se Ω është një nëngrup i matshëm i vijës reale dhe ${\displaystyle f(x)}$ është një funksion jo negativ i tillë që

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1.}$

Në gjuhën probabiliste, ${\displaystyle f}$ është një funksion i dendësisë së probabilitetit .

Atëherë pabarazia e Jensen bëhet pohimi i mëposhtëm në lidhje me integralet e lugëta:

Nëse g është ndonjë funksion i matshëm me vlerë reale dhe ${\textstyle \varphi }$ është i lugët mbi shtrirjen e g, atëherë

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (g(x))f(x)\,dx.}$

Nëse ${\displaystyle g(x)=x}$, atëherë kjo formë e pabarazisë reduktohet në një rast të veçantë të përdorur zakonisht:

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,f(x)\,dx.}$

Kjo aplikohet në metodat variacionale Bejesiane .

Nëse ${\displaystyle g(x)=x^{2n}}$, dhe X është një ndryshore e rastit, atëherë g është i lugët si

${\displaystyle {\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}(x)=2n(2n-1)x^{2n-2}\geq 0\quad \forall \ x\in \mathbb {R} }$

dhe kështu

${\displaystyle g(\operatorname {E} [X])=(\operatorname {E} [X])^{2n}\leq \operatorname {E} [X^{2n}].}$

Pabarazia e Jensenit ka një rëndësi të veçantë në fizikën statistikore kur funksioni i lugët është një eksponencial, duke dhënë:

${\displaystyle e^{\operatorname {E} [X]}\leq \operatorname {E} \left[e^{X}\right],}$

ku pritjet matematike janë në lidhje me disa shpërndarje probabiliteti në ndryshoren e rastit X

Nëse ${\displaystyle p(x)}$ është dendësia e vërtetë e probabilitetit për ${\displaystyle X}$, dhe ${\displaystyle q(x)}$ është një dendësi tjetër, atëherë duke zbatuar pabarazinë e Jensenit për ndryshoren e rastit ${\displaystyle Y(x)={\frac {q(x)}{p(x)}}}$ dhe funksionin e lugët ${\displaystyle \phi (y)=-\log(y)}$ jep

${\displaystyle \operatorname {E} [\varphi (Y)]\geq \varphi (\operatorname {E} [Y])}$

Prandaj:

${\displaystyle -D(p(x)\|q(x))=\int p(x)\log \left({\frac {q(x)}{p(x)}}\right)\,dx\leq \log \left(\int p(x){\frac {q(x)}{p(x)}}\,dx\right)=\log \left(\int q(x)\,dx\right)=0}$

një rezultat i quajtur pabarazia e Gibbs-it .

Nëse L është një funksion i lugët dhe ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ një nën-sigma-algjebër, atëherë, nga versioni i kushtëzuar i pabarazisë së Jensenit, marrim

${\displaystyle L(\operatorname {E} [\delta (X)\mid {\mathfrak {G}}])\leq \operatorname {E} [L(\delta (X))\mid {\mathfrak {G}}]\quad \Longrightarrow \quad \operatorname {E} [L(\operatorname {E} [\delta (X)\mid {\mathfrak {G}}])]\leq \operatorname {E} [L(\delta (X))].}$

Pra, nëse ${\displaystyle \delta (x)}$ është një vlerësues i një parametri të pavëzhguar ${\displaystyle \theta }$ dhënë një vektor të vëzhguesve ${\displaystyle X}$ ; dhe nëse ${\displaystyle T(X)}$ është një statistikë e mjaftueshme për ${\displaystyle \theta }$ atëherë një vlerësues i përmirësuar, në kuptimin e të paturit një humbje më të vogël të pritshme L, mund të merret duke llogaritur

${\displaystyle \delta _{1}(X)=\operatorname {E} _{\theta }[\delta (X')\mid T(X')=T(X)],}$

pritja matematike e ${\displaystyle \delta }$ në lidhje me ${\displaystyle \theta }$, marrë mbi të gjithë vektorët e mundshëm të vëzhgimeve ${\displaystyle X}$ të përputhshëm me të njëjtën vlerë të ${\displaystyle T(X)}$ si ajo e vëzhguar. Më tej, për shkak se T është një statistikë e mjaftueshme, ${\displaystyle \delta _{1}(X)}$ nuk varet nga ${\displaystyle \theta }$, prandaj bëhet statistikë.

1. ^ Jensen, J. L. W. V. (1906). "Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes". Acta Mathematica. 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
2. ^ Guessab, A.; Schmeisser, G. (2013). "Necessary and sufficient conditions for the validity of Jensen's inequality". Archiv der Mathematik. 100 (6): 561–570. doi:10.1007/s00013-013-0522-3. MR 3069109. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
3. ^ Dekking, F.M.; Kraaikamp, C.; Lopuhaa, H.P.; Meester, L.E. (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How. Springer Texts in Statistics. London: Springer. doi:10.1007/1-84628-168-7. ISBN 978-1-85233-896-1. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)