ligning

Som oftest er en ligning ikke en identitet, og den inneholder visse variable ukjente størrelser som man skal bestemme verdien av. Disse størrelsene kalles gjerne x, y, z, t og så videre.

Eksempel: Hvis ligningen er 2x² – 32 = 0, betyr det å bestemme ligningens løsninger å finne verdier for x slik at uttrykket 2x² – 32 virkelig er lik 0. I dette tilfellet finnes det to løsninger, nemlig x₁ = 4 og x₂ = –4.

Løsningene til en ligning f(x) = 0 med én ukjent kalles gjerne ligningens røtter. Det å bestemme alle slike verdier blir kalt å løse ligningen.

Innen ligningsteorien studerer man metoder til å løse en ligning, eller mer generelt, til å løse flere ligninger på en gang (simultane ligninger).

Ligninger deles i to hovedklasser, de algebraiske og de transcendente ligningene. I transcendente ligninger opptrer transcendente funksjoner. Noen eksempler på transcendente ligninger er 3^x = 7 eller 3sinx + 5cosx = 5.

En algebraisk ligning med en ukjent kan alltid føres tilbake til den generelle formen xⁿ + a₁·x^n–1 + ... +a_n–1·x + a_n = 0, og algebraisk ligningsteori dreier seg om løsningen av slike ligninger.

Problemer som fører til ligninger av første grad treffer man på i ulike sammenhenger i den elementære matematikken. Kileskrifttavler fra cirka 2000 år fvt. viser at allerede babylonerne kjente en fremgangsmåte til å løse andregradsligninger x² + ax + b = 0 som svarer til formelen \[x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2-4b}}{2}\]

Senere gresk matematikk gav løsningene ved hjelp av geometriske konstruksjoner.

Den neste naturlige oppgaven er løsningen av tredjegradsligninger, og den ble ikke gjennomført før på begynnelsen av 1500-tallet av den italienske matematiske skolen i Bologna. Det må her fremheves at man ønsker å løse ligningen ved rottegn, det vil si ved uttrykk som tilfredsstiller ligningen og som er utledet av koeffisientene i ligningen ved de fire regningsartene og rotutdragninger. Løsningen av tredjegradsligningen ble sannsynligvis gitt først av Scipione del Ferro omkring 1515 og senere uavhengig av Niccolò Tartaglia, men den ble først offentliggjort av Girolamo Cardano i hans verk Ars magna (1545), sammen med løsningen av fjerdegradsligningen, funnet av Cardanos elev Lodovico Ferrari. Det kom til en bitter prioritetsstrid mellom Cardano og Ferrari, som hadde gitt løsningen av tredjegradsligningen til Cardano under taushetsløfte.

I algebraiske ligninger forekommer de ukjente i uttrykk som er fremkommet ved de fire regningsartene. Andre operasjoner kan også innføres, og man får da andre typer ligninger, for eksempel differensialligninger, integralligninger, funksjonalligninger og differensligninger.

• algebra
• matematikk