derivasjon (matematikk)

For funksjonen y = f(x) er symbolet for den deriverte funksjonen yʹ eller f ʹ(x). Går man ut fra en fritt valgt verdi av x med tilhørende funksjonsverdi f(x) og tenker seg at x får et tillegg h (som kan være positivt eller negativt), slik at funksjonsverdien blir f(x + h), vil den deriverte funksjonen f ʹ(x) være definert som grenseverdien for dette uttrykket når h nærmer seg null.

I matematisk tegnspråk kan den deriverte av f i punktet x=a uttrykkes med denne formelen:

\[\begin{equation} f'(a)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(a + h) – f(a)}{h}\end{equation}\]

Ordet lim er forkortelse for limes, som er latin for «grense».

Den deriverte funksjonen \(f'(x)\) kan også defineres rent geometrisk ved at man ser på kurven for en funksjon \(y=f(x)\) i et rettvinklet koordinatsystem, og på den vinkelen tangenten i et punkt på kurven danner med x-aksen.

I elementær geometri har sirkelen en sentral plass, og her er tangenten definert som en rett linje som bare har ett punkt felles med sirkelen. En slik definisjon kan også brukes for andre enkle kurver, men ikke for kurver av mer komplisert form. For slike kurver blir tangenten definert ved en grensebetraktning: tangenten til en kurve i et punkt P på kurven, er grensestillingen for sekanten man kan trekke gjennom P og et annet punkt Q på kurven når Q nærmer seg mot P (under forutsetning av at den gitte kurven er av en slik art at denne grenseovergangen har mening). I så fall vil tangenten i punktet P(x,y) på kurven danne en vinkel α med x-aksen slik at \(\tan\alpha=f'(x)\).

I geometrisk formulering er derfor grunnproblemet innen differensialregningen å bestemme tangens til en tangents vinkel med x-aksen, fordi denne verdien er et uttrykk for vinkelens størrelse, og dermed et uttrykk for hvor hurtig funksjonen vokser eller avtar i tangeringspunktet.

Selve operasjonen som består i å finne den deriverte funksjonen \(f'(x)\), kalles å derivere eller differensiere funksjonen. Den deriverte eksisterer ikke alltid, selv om f(x) er en kontinuerlig funksjon og geometrisk derfor er en sammenhengende kurve. En funksjon som har en derivert sies å være deriverbar eller differensierbar.

I stedet for \(y'\) og \(f'(x)\) bruker man også symbolet \(\frac{dy}{dx}\), hvor bokstaven d står for ordet differensial. Symbolet må imidlertid ikke oppfattes som en brøk i vanlig forstand.

Det er ofte behov for å derivere en funksjon to eller flere ganger på rad. Den førstederiverte blir da \(f'(x)\), den andrederiverte \( f''(x)\) og så videre.

Når en funksjon er avhengig av to variabler, for eksempel z = f(x,y), kan det være behov for å derivere funksjonen under den forutsetning at for eksempel y er konstant og x variabel. Da skriver man ofte resultatet slik: \(\frac{\partial f}{\partial x}\) og leser: den partielt deriverte av f med hensyn på x.

For derivering har man en rekke generelle regler. Den deriverte av summen av to funksjoner \(y=f(x)+g(x)\), er \(y'=f'(x)+g'(x)\), og den deriverte av produktet av to funksjoner \(y=f(x)\cdot g(x)\) er \(y'=f(x)\cdot g'(x)+f(x)\cdot g'(x)\). Sammen med kjennskapet til den deriverte av en rekke spesielle funksjoner som for eksempel xⁿ, sin x og cos x, gjør disse reglene at vi kan finne uttrykk for de deriverte funksjoner som opptrer i forskjellige anvendelser.

I praktiske beregninger på en datamaskin kan man ikke beregne den deriverte ved en grenseovergang som beskrevet ovenfor. Da velger man en liten og positiv h og erstatter den deriverte med følgende tilnærming

\[\begin{equation} f'(a)\approx\frac{f(a + h) – f(a)}{h}\end{equation}\]

Dette fører til større ligningssystemer som kan løses med datamaskiner.

Allerede i gresk matematikk var det tilløp til en problembehandling som man nå vil regne til differensialregningen. Mer direkte forløpere til differensialregningen finner man på 1500- og 1600-tallet, særlig navn som B. Cavalieri, J. Kepler og P. de Fermat. Det er imidlertid Isaac Newton og Gottfried Wilhelm von Leibniz som regnes som de egentlige grunnleggere av dagens differensialregning, som sammen med integralregning inngår som en vesentlig del i mange grener av matematikken og i matematisk betonte vitenskaper, for eksempel fysikk, astronomi, statistikk og samfunnsøkonomi.

• matematikk
• differensialregning