Trigonometrična funkcija

Trigonometrija
Oris Zgodovina Uporaba Funkcije inverzne Posplošena trigonometrija
Sklici
Identitete Natančne konstante Tabele Enotski krog
Zakoni in izreki
Sinusni Kosinusni Tangensni Kotangensni Pitagorov izrek
Infinitezimalni račun
Trigonometrične substitucije Integrali inverzne funkcije Odvodi
p p u

Trigonométrične (trigonometríjske) ali kótne fúnkcije so pomembne matematične funkcije. Ime kotne funkcije izhaja iz dejstva, da so rezultati odvisni od kota. Starejše ime za te funkcije je kotomerne ali goniometrične (grško starogrško γωνία: lonía – kot) funkcije. Kotne funkcije so pomembne pri proučevanju trikotnikov in pri modeliranju periodičnih pojavov. Na njih sloni trigonometrija. Lahko jih določimo kot razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika, ki oklepata kot, ali še bolj splošno kot razmerja koordinat točk na enotskem trigonometričnem krogu, oziroma kot neskončne vrste.

Obstaja šest osnovnih trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans in kosekans. Sekans in kosekans se v novejšem času opuščata.

Sinus (sin) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.

Kosinus (cos) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.

Tangens (tg ali tan) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.

Kotangens (ctg ali cot) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in kotu nasprotno kateto.

Sekans (sec) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu priležno kateto. Velja: ${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$.

Kosekans (csc) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu nasprotno kateto. Velja: ${\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}$.

Z enotskim krogom (OA = 1) lahko funkcije opredelimo kot:

• sin α = BC - ordinata točke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko krožnico
• cos α = OB - abscisa točke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko krožnico
• tg α = AD - ordinata točke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko krožnico pri x = 1
• ctg α = EF - abscisa točke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko krožnico pri y = 1

• sec α = OD
• csc α = OF

Glavni članek: krožna funkcija.

Vsaki trigonometrični funkciji pripada inverzna funkcija. Inverze trigonometričnih funkcij imenujemo krožne ali ciklometrične funkcije.

Ker trigonometrične funkcije niso bijektivne, so krožne funkcije le delno inverzi (inverzi le na določenem območju). V spodnji tabeli so navedeni ustrezni intervali (glavne vrednosti).

Trigonometrične funkcije lahko za majhne vrednosti argumenta razvijemo v Taylorjevo vrsto (opomba: argument x mora biti v radianih):

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\pm \ldots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\pm \ldots }$

${\displaystyle \operatorname {tg} x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\ldots +{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}+\ldots }$

Pri tem B_n označujejo Bernoullijeva števila.

Trigonometrične funkcije lahko razširimo tako, da dovolimo, da je argument funkcije kompleksen. Pri tem si lahko pomagamo z Eulerjevo enačbo:

${\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z\!\,.}$

Odtod dobimo

${\displaystyle \sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\!\,,}$

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\!\,.}$

${\displaystyle (\sin(x))^{2}+(\cos(x))^{2}=1}$

${\displaystyle 1+(\operatorname {tg} (x))^{2}={\frac {1}{(\cos(x))^{2}}}}$

${\displaystyle 1+(\operatorname {ctg} (x))^{2}={\frac {1}{(\sin(x))^{2}}}}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha }$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\operatorname {ctg} \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\operatorname {tg} \alpha }$

${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }$

${\displaystyle \sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha }$

${\displaystyle \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha }$

${\displaystyle \cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {tg} (\pi -\alpha )=-\operatorname {tg} \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ctg} (\pi -\alpha )=-\operatorname {ctg} \alpha }$

${\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }$

${\displaystyle \cos 2\alpha =(\cos \alpha )^{2}-(\sin \alpha )^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-(\operatorname {tg} \alpha )^{2}}}}$

${\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4(\sin \alpha )^{3}}$

${\displaystyle \cos 3\alpha =4(\cos \alpha )^{3}-3\cos \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}}$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }$

Wikimedijina zbirka ponuja več predstavnostnega gradiva o temi: Trigonometrična funkcija

• sinusni izrek
• kosinusni izrek
• faktorizacija (preoblikovanje vsote kotnih funkcij v produkt)
• razčlenjevanje (preoblikovanje produkta kotnih funkcij v vsoto)
• krožna funkcija
• hiperbolična funkcija