Fourierova vrsta

Fourierove vrste v matematiki omogočajo razstavljanje poljubne periodične funkcije ali periodičnega signala v vsoto (po možnosti končno) skupine periodičnih funkcij kot sta sinus in kosinus. Proučevanje Fourierovih vrst je veja Fourierove analize.

Tako se lahko na primer funkcijo ${\displaystyle S(x)\!\,}$ razvije v neskončno vrsto po sinusih:

${\displaystyle S(x)=b_{1}\sin x+b_{2}\sin 2x+b_{3}\sin 3x+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx\!\,.}$

Lahko pa se neko drugo funkcijo ${\displaystyle C(x)\!\,}$ razvije v neskončno vrsto po kosinusih:

${\displaystyle C(x)=b_{0}+b_{1}\cos x+b_{2}\cos 2x+b_{3}\cos 3x+\cdots =b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\cos nx\!\,.}$

Pri tem obe funkciji ohranita nekatere osnovne značilnosti, kot so periodičnost, lihost (ali sodost), vrednost pri ${\displaystyle x=0\!\,}$ in ${\displaystyle x=\pi \!\,}$.

Imenujejo se po francoskem fiziku in matematiku Josephu Fourieru (1768–1830).

Naj je periodična funkcija ${\displaystyle f(x)\!\,}$ s periodo ${\displaystyle 2\pi \!\,}$, ki je integrabilna na intervalu ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!\,}$. Števila:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,\mathrm {d} x,\quad n\geq 0\!\,}$

in:

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x,\quad n\geq 1\!\,}$

se imenujejo Fourierovi koeficienti za funkcijo ${\displaystyle f(x)\!\,}$.

Včasih se uporablja tudi Fourierove vrste za ${\displaystyle f\!\,}$, ki se jih označuje z:

${\displaystyle (S_{N}f)(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)],\quad N\geq 0\!\,.}$

Delne vsote za ${\displaystyle f\!\,}$ so trigonometrični polinomi. Pričakuje se, da funkcije ${\displaystyle S_{N}\!\,}$ za ${\displaystyle f\!\,}$ dajejo približek, ki se približuje vrednosti za ${\displaystyle f\!\,}$, ko gre ${\displaystyle N\!\,}$ proti neskončnosti. Neskončna vsota v obliki:

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]\!\,}$

se imenuje Fourierova vrsta za ${\displaystyle f\!\,}$.

Fourierova vrsta ne konvergira vedno, saj se včasih celo za neko vrednost ${\displaystyle x_{0}\!\,}$ vsota vrste v tej točki razlikuje od vrednosti ${\displaystyle f(x_{0})\!\,}$ te funkcije. Harmonična analiza je področje, ki se ukvarja s konvergenco Fourierovih vrst. Kadar je kvadrat funkcije integrabilen na intervalu ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!\,}$, takrat Fourierova vrsta konvergira skoraj v vsaki točki. Predpostavi se lahko, da Fourierova vrsta konvergira v vsaki točki razen v točkah nezveznosti.

V zgledu se obravnava žagasti val in se ga razvije v Fourierovo vrsto. Žagasti val se opiše z naslednjo funkcijo:

${\displaystyle f(x)=x,\quad \mathrm {za} -\pi <x<\pi \!\,,}$

${\displaystyle f(x+2\pi )=f(x),\quad \mathrm {za} -\infty <x<\infty \!\,.}$

V tem primeru se dobi za Fourierove koeficiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\,\mathrm {d} x=0.\\a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,\mathrm {d} x=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,\mathrm {d} x=-{\frac {2}{n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi n^{2}}}\sin(n\pi )=2\,{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

Lahko se dokaže, da Fourierova vrsta konvergira k vrednosti ${\displaystyle f(x)\!\,}$ v vsaki točki, kjer je funkcija ${\displaystyle f\!\,}$ diferenciabilna. Torej se lahko zapiše:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {za} \quad x-\pi \notin 2\pi Z.\end{aligned}}}$

Uporabi se Eulerjev obrazec, ki ima obliko:

${\displaystyle e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle i\!\,}$ – imaginarna enota

S tem se dobi bolj zgoščeno obliko za Fourierovo vrsto:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}\!\,.}$

Fourierovi koeficienti pa so:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x\!\,.}$

${\displaystyle a_{n}={c_{n}+c_{-n}}\quad {\text{ za }}n=0,1,2,\dots \!\,}$

${\displaystyle b_{n}=i(c_{n}-c_{-n})\quad {\text{ za }}n=1,2,\dots \!\,}$

in:

${\displaystyle c_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&n>0\\\quad {\frac {1}{2}}a_{0}&n=0\\{\frac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})&n<0\\\end{cases}}}$

Zelo primerno je uporabiti obliko za ${\displaystyle f\!\,}$ tako, da se dobi obrazec v obliki:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)\cdot e^{inx}\!\,.}$

V tehniki se pogosto uporablja naslednjo obliko:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F[n]\cdot e^{inx}\!\,,}$

kjer:

• ${\displaystyle F[n]\!\,}$ pomeni, da je uporabljena nezvezna domena frekvenc. Zelo pogosto v tehniki spremenljivka ${\displaystyle x\!\,}$ predstavlja čas.

Obravnava se splošni interval ${\displaystyle [a,a+\tau ]\!\,}$, kjer je s periodo ${\displaystyle \tau \!\,}$ za vsa realna števila definirana funkcija ${\displaystyle g(x)\!\,}$ s kompleksnimi koeficienti ${\displaystyle G(n)\!\,}$. Lahko se zapiše:

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }G[n]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{\tau }}x}\!\,.}$

Če je funkcija kvadratno integrabilna (velja: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty \!\,}$), v intervalu ${\displaystyle [a,a+\tau ]\!\,}$, se jo lahko v tem intervalu prikaže z zgornjim obrazcem. To pa pomeni, da takrat, ko se dobi koeficiente za funkcijo ${\displaystyle h(x)\!\,}$ z:

${\displaystyle G[n]={\frac {1}{\tau }}\int _{a}^{a+\tau }h(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {n}{\tau }}x}\,\mathrm {d} x\!\,,}$

potem je ${\displaystyle g(x)\!\,}$ povsod na intervalu ${\displaystyle [a,a+\tau ]\!\,}$ enak ${\displaystyle h(x)\!\,}$. Iz tega sledi, da ima ${\displaystyle h(x)\!\,}$ periodo enako ${\displaystyle \tau \!\,}$ in, da naslednje

• sta ${\displaystyle g(x)\!\,}$ in ${\displaystyle h(x)\!\,}$ povsod enaka, razen na mestih nezveznosti
• ${\displaystyle a\!\,}$ se lahko poljubno izbere. Najpogosteje se izbere ${\displaystyle a=0\!\,}$ in ${\displaystyle a=\tau /2\!\,}$.

Definira se lahko tudi Fourierove vrste za dve spremenljivki x in y v kvadratu ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]\!\,}$:

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky}\!\,,}$

kjer je:

${\displaystyle c_{j,k}={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\!\,.}$

Glavni članek: Hilbertov prostor.

Če se obravnava Hilbertove prostore, množica funkcij ${\displaystyle \{e_{n}=e^{inx},n\in \mathbb {Z} \}\!\,}$ tvori ortonormalno bazo prostora ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])\!\,}$ za kvadratno integrabilne funkcije v ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!\,}$. Ta prostor je Hilbertov prostor z notranjim produktom za poljubna dva elementa ${\displaystyle f\!\,}$ in ${\displaystyle g\!\,}$, ki je definiran kot:

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x\!\,.}$

Osnovne Fourierove vrste v Hilbertovih prostorih se lahko zapiše kot:

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}\!\,.}$

To pa je enakovredno s kompleksno eksponentno obliko (glej zgoraj). Oblika s sinusom in kosinusom tvori ortogonalno množico:

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,\mathrm {d} x=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\!\,}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,\mathrm {d} x=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1\!\,}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,\mathrm {d} x=0\,\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle \delta _{mn}\!\,}$ – Kroneckerjeva delta.

Funkcija ${\displaystyle f\!\,}$ pripada ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )\!\,}$, če je ${\displaystyle f\!\,}$ funkcija s periodo ${\displaystyle 2\pi \!\,}$ nad ${\displaystyle \mathbb {R} \!\,}$ in, če je ta k-krat odvedljiva in je k-ti odvod zvezen. Označi se n-ti Fourierov koeficient z ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)\!\,}$.

• če je ${\displaystyle f\!\,}$ periodična liha funkcija, potem so ${\displaystyle a_{n}=0\!\,}$ za vse ${\displaystyle n\!\,}$
• če je ${\displaystyle f\!\,}$ periodična soda funkcija, potem so ${\displaystyle b_{n}=0\!\,}$ za vse ${\displaystyle n\!\,}$
• če je ${\displaystyle f\!\,}$ integrabilna funkcija velja ${\displaystyle \lim _{|n|\rightarrow \infty }{\hat {f}}(n)=0\!\,}$ ter ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0\!\,}$ in ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0\!\,}$. To je Riemann-Lebesguov izrek
• dvojno neskončno zaporedje ${\displaystyle \{a_{n}\}\!\,}$ v ${\displaystyle c_{o}\!\,}$ je zaporedje Fourierovih koeficientov funkcije v ${\displaystyle L^{1}[0,2\pi ]\!\,}$, če in samo če je to konvolucija v ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )\!\,}$
• Parsevalov izrek: če je ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])\!\,}$, potem je tudi ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\!\,}$
• Plancherelov izrek: če so ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots \!\,}$ koeficienti in velja ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty \!\,}$, potem obstaja funkcija ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])\!\,}$ tako, da velja ${\displaystyle {\hat {f}}(n)=c_{n}\!\,}$ za vsak ${\displaystyle n\!\,}$
• prvi konvolucijski izrek pravi, da takrat, ko sta ${\displaystyle f\!\,}$ in ${\displaystyle g\!\,}$ v L¹([−π, π]), potem velja tudi ${\displaystyle {\widehat {f*g}}(n)=2\pi {\hat {f}}(n){\hat {g}}(n)\!\,}$, kjer je ƒ ∗ g konvolucija s periodo ${\displaystyle 2\pi \!\,}$ funkcij ${\displaystyle f\!\,}$ in ${\displaystyle g\!\,}$
• drugi konvolucijski izrek pravi, da je ${\displaystyle {\widehat {f\cdot g}}={\hat {f}}*{\hat {g}}\!\,}$.

Obstaja več vrst posplošitev Fourierovih vrst. Njihovo proučevanje se imenuje harmonična analiza.

Glavni članek: konvergenca Fourierovih vrst.

Gibbsov pojav

Zelo pomembno vprašanje je povezano s konvergenco Fourierovih vrst. Pogosto je treba zamenjati neskončno vrsto ${\displaystyle \sum _{-\infty }^{\infty }\!\,}$ s končno: ${\displaystyle (S_{N}f)(x)=\sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{inx}\!\,}$. Takšna vrsta se imenuje delna vsota. Želi se vedeti kako vrednost ${\displaystyle (S_{N}f)(x)\!\,}$ konvergira k ${\displaystyle f(x)\!\,}$, ko gre ${\displaystyle N\!\,}$ proti neskončnosti.

Fourierove vrste so izredno dobro konvergentne. Vrste, ki bi bile divergentne so zelo redke. V letu 1922 je ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903–1987) v enem svojih del podal primer integrabilne funkcije, katere Fourierova vrsta je skoraj povsod divergentna.

• Laurentova vrsta
• harmonična analiza
• spektralna teorija
• Fourierova transformacija
• Fejérov izrek
• Dichletovo jedro

• Fourierova vrsta Arhivirano 2013-08-01 na Wayback Machine. (slovensko)
• Fourierova vrsta na e-študij Arhivirano 2012-03-18 na Wayback Machine. (slovensko)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Fourier Series«. MathWorld.
• Apleti za prikaz Fourierovih vrst (angleško)
• Fourierove vrste (angleško)
• Učbenik (angleško)
• Maths Online (angleško)
• Fourierove vrste in Fourierovi integrali (angleško)