Napor (mehanika)

Napon u mehanici kontinuuma predstavlja meru prosečne sile po jedinici površine na površi na kojoj se oseća dejstvo unutrašnjih sila koje deluju unutar deformabilnog tela (slika 1). Koncept napona u mehanici kontinuuma razvio je Ogisten Luj Koši oko 1822. godine. Drugim rečima, to je mera intenziteta ili unutrašnje raspodele totalnih unutrašnjih sila koje deluju u okviru deformabilnog tela po zamišljenoj površi. Ove unutrašnje sile nastaju između čestica tela kao reakcija na spoljašnje sile, koje se osećaju u telu. Spoljašnje sile mogu biti površinske ili zapreminske. Ove unutrašnje sile raspoređuju se kontinuirano unutar zapremine tela zato što se deformabilno telo posmatra kao kontinuum. Distribucija napona u telu označena je kao „deo-po-deo“ neprekidna funkcija prostornih koordinata i vremena.

SI jedinica za napon je paskal (Pa — pritisak), koja je jednaka jednom njutnu (N — sila) po kvadratnom metru (m² — površina). Jedinica za napon ista je kao i jedinica za pritisak, to jest, mera sile po jediničnoj površini. Inženjerske mere obično se izražavaju u megapaskalima (MPa) ili gigapaskalima (GPa).

U jednostavnom slučaju aksijalno posmatranog tela (što predstavlja prizmatično telo izloženo tenziji ili kompresiji koju vrši sila koja prolazi kroz njegov centroid (slika 2), napon ${\displaystyle \sigma }$, ili intenzitet raspodele unutrašnjih sila može se odrediti deljenjem ukupne tenzione ili kompresione sile ${\displaystyle F}$ sa poprečnom površinom ${\displaystyle A}$. U ovom slučaju, napon ${\displaystyle \sigma }$ predstavljen je skalarom, koji se naziva inženjerski ili nominalni napon i koji predstavlja prosečan napon (${\displaystyle \sigma _{avg}}$) na površini. To znači da je napon na posmatranoj površini uniformno raspodeljen. Uzevši ovo u obzir, dobija se formula:

${\displaystyle \sigma _{avg}={\frac {F_{n}}{A}}=\sigma }$

Genralno, napon nije uniformno raspodeljen po površini tela, stoga je u određenoj tački posmatrane površine napon različit od prosečnog napona na celoj površini. Zato je neophodno definisati napon ne samo na određenoj površini, već i u određenoj tački u telu (slika 1). Prema Košiju, napon u bilo kojoj tački tela koje se smatra kontinuuom definisan je kompletno sa devet komponenata ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ tenzora drugog reda, koji je poznat kao Košijev tenzor napona, ${\displaystyle \sigma }$:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]\,\!}$

Košijev tenzor napona podvrgava se zakonu transformacije tenzora prilikom promena koordinatni sistem. Grafički prikaz ovog zakona transformacije jeste Morov krug za napon.

Košijev tenzor napona koristi se za analize napona kod tela kod kojih dolazi do malih deformacija. Za velike deformacije neophodne su druge mere napona, kao što su prvi i drugi Piola-Kirhofovi tenzori napona , Biotov tenzor napona ili Kirhofov tenzor napona.

Prema principu održanja linearnog momenta, ako je telo u statičkoj ravnoteži, može se pokazati da komponente Košijevog tenzora napona zadovoljavaju jednačine ravnoteže za bilo koji materijal. U isto vreme, prema principu održanja ugaonog momenta, da bi telo bilo u ravnoteži, zbir svih momenata u određenoj tački mora biti nula, što dovodi do zaključka da je tenzor napona simetričan i da ima samo šest nezavisnih komponenti napona, a ne devet, kako je prvobitno predstavljeno.

Postoje određene invarijante koje su u vezi sa tenzorom napona. Njihove vrednosti ne zavise od izabranog koordinatnog sistema, ili površine elementa na kome se vrši analiza tenzora napona. Postoje tri dijagonalna elementa tenzora napona, koji se nazivaju glavni elementi napona.

Određivanje unutrašnje raspodele napona, tj. analiza napona, primenjuje se u raznim inženjerskim disciplinama, zbog određivanja i dizajniranja određenih struktura, kakve su tuneli, brane i manje strukture. Analiza napona primenjuje se i u strukturnoj geologiji, prilikom određivanja naponskih stanja u toku razlamanja stenske mase. Da bi se odredila raspodela napona u nekoj strukturi, neophodno je rešiti napon na granici sa spoljašnjom sredinom, primenom specifičnih graničnih uslova, koji obuhvataju pomeraj i silu na granici. Za opisivanje veze između napona i deformacije koriste se konstitutivne jednačine, kao što je Hukov zakon kod linearno elastičnih materijala. Granični problem zasnovan je na teoriji elastičnosti, i primenjuje se kod struktura, za koje se očekuje da se deformišu elastično. Kada su u pitanju plastične deformacije, problem se rešava primenom teorije plastičnosti.

Približna rešenja graničnog problema dobijaju se korišćenjem numeričkih metoda, kao što su metoda konačnih elemenata, metoda konačnih razlika i metoda graničnih elemenata, pomoću računarskih programa. Analitička rešenja mogu se dobiti za jednostavne geometrijske uslove, konstitutivne veze i granične uslove.

Analize naponskog stanja mogu biti pojednostavljene u slučajevima gde fizičke dimenzije i raspodela elemenata dozvoljavaju da se struktura smatra jednodimenzionalnom ili dvodimenzionalnom.

Čvrsta tela, tečnosti i gasovi imaju polja napona. Stacionarni fluidi imaju polje normalnog napona, ali se, prilikom tečenja, kod njih javlja smičuća komponenta napona. Kretanje viskoznih fluida može povećati smičuću komponentu napona (dinamički pritisak). U čvrstim telima se mogu javiti i normalni napon, kao i smičuća komponenta napona. Granični primeri su duktilni materijali, kod kojih se javljaju samo smičuće komponente napona, i krta tela, samo sa glavnim elementima napona.

Telo može biti izloženo dejstvu spoljašnjih sila. Postoje dva tipa spoljašnjih sila: površinske sile i zapreminske sile. Površinske ili kontaktne sile deluju na graničnoj površi, kao rezultat mehaničkoh kontakta među telima, i njihov intenzitet proporcionalan je površini kontakta. Zapreminske sile, kao što su gravitaciona i magnetska sila, su sile raspodeljene u zapremini tela, a njihov intenzitet proporcionalan je masi tela. Površinske sile mogu, takođe, delovati i na unutrašnjim površima tela.

Površinske sile koje deluju na telo se prenose sa tačke na tačku unutar tela, što dovodi do stvaranja untrašnjih sila. Prenos ovakvih sila uslovljen je održanjem zakona linearnog i ugaonog momenta (drugi Njutnov zakon kretanja). Kod tela koja su u statičkoj ravnoteži, ovi zakoni povezani su sa principima ravnoteže sila i momenata, respektivno.

Mera intenziteta ovih unutrašnjij sila, koje deluju unutar tela, na zamišljenim površima, naziva se napon. Drugim rečima, napon je mera prosečnog kvantiteta sila koje deluju na jediničnoj površini neke površi, gde deluju unutrašnje sile. Na primer, ako se uporedi sila koja deluje na maloj površini i sila raspodeljena po većoj površini, tako da ima istu magnitudu, zaključuje se da su efekti intenziteta ove dve sile lokalno različiti zbog toga što naponovi nisu jednaki.

Prvo treba objasniti jednostavni slučaj prizmatičnog tela izloženog aksijalnoj sili ${\displaystyle F_{n}}$, koja može proizvesti ili tenziju ili kompresiju (slike 2 i 3). Posmatrajući površ normalnu na osu tela, može se izvesti ravnoteža sila, kada je rezultanta normalna sila, jednaka ${\displaystyle F_{n}}$. Intenzitet unutrašnjih sila, ili napona ${\displaystyle \sigma }$, na posmatranoj površini može se odrediti deljem ukupne tenzione ili kompresione sile ${\displaystyle F_{n}}$ posmatranom površinom ${\displaystyle A}$. U ovom slučaju, napon ${\displaystyle \sigma }$ je skalarna veličina, koja se naziva inženjerski ili nominalni napon, koji predstavlja prosečni napon (${\displaystyle \sigma _{avg}}$) na posmatranoj površini, tj. napon koji je na površini uniformno raspodeljen. Onda se dobija da je:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {avg} }={\frac {F_{\mathrm {n} }}{A}}\approx \sigma \,\!}$

Kada na prizmatično telo deluju transverzalne sile ${\displaystyle F_{s}}$, kao što je prikazano na slici 4, javlja se drugačiji tip napona. Ako se posmatra ista površina kao i u prethodnom slučaju, na osnovu statičke ravnoteže se izvodi da unutrašnja sila ima magnitudu jednaku sili ${\displaystyle F_{s}}$, a suprotan smer, paralelan posmatranom poprečnom elementu. Sila ${\displaystyle F_{s}}$ naziva se smičuća sila. Deljenjem smičuće sile ${\displaystyle F_{s}}$ površinom poprečnog elementa ${\displaystyle A}$, dobija se smičuća komponenta napona. U ovom slučaju, smičuća komponenta napona ${\displaystyle \tau }$ je skalarna veličina, koja predstavlja prosečnu vrednost smičuće komponente napona (${\displaystyle \tau _{avg}}$) u posmatranom elementu, tj. napon u posmatranom elementu je uniformno raspodeljen:

${\displaystyle \tau _{\mathrm {avg} }={\frac {F_{\mathrm {s} }}{A}}\approx \tau \,\!}$

Međutim, u opštem slučaju, napon nije uniformno raspodeljen po posmatranoj površi tela, pa je, iz tog razloga, napon u tački neke površine, različit u odnosu na prosečnu vrednost napona na celoj površini. Na slici 3, normalni napon posmatran je u dve ravni ${\displaystyle m-m}$ i ${\displaystyle n-n}$, u prizmatičnom telu posmatranom aksijalno. napon u ravni ${\displaystyle n-n}$, koji j je bliži tački delovanja sile ${\displaystyle F}$, varira više nego napon u ravni ${\displaystyle m-m}$. Ipak, ako je posmatrana površina tela veoma mala, varijacija napona na površini je veoma mala, pa se normalni napon može aroksimirati vrednošću ${\displaystyle \sigma _{avg}}$. Sa druge strane, varijacija smičuće komponente napona na posmatranoj površini prizmatičnog tela ne može se smatrati uniformnom.

Zbog toga je neophodno definisati napon u određenoj tački površi.

Posmatra se telo u ravnoteži, koje je izloženo dejstvu površinskih i zapreminskih sila, sa zamišljenom ravni, koja deli telo na dva dela (slika 5). Mala površina ${\displaystyle \Delta A\,\!}$ jednog od segmenata, koja sadrži tačku ${\displaystyle P\,\!}$, i normalnim jediničnim vektorom ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$ izložena je dejstvu sile ${\displaystyle \Delta \mathbf {F} \,\!}$, koja potiče od delovanja materijala sa jedne strane površine (levi segment) na drugu stranu (desni segment).

Raspodela sila na površini ${\displaystyle \Delta A\,\!}$, međutim, nije uvek uniformna, kao što može biti moment ${\displaystyle \Delta \mathbf {M} \,\!}$ u tački ${\displaystyle P\,\!}$, pod dejstvom sile ${\displaystyle \Delta \mathbf {F} \,\!}$, kao što je prikazano na slici 5. Po Košijevom principu napona važi da ${\displaystyle \Delta A\,\!}$ postaje vrlo malo i teži nuli, dok ${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta A\,\!}$ postaje ${\displaystyle d\mathbf {F} /dA\,\!}$. Rezultantni vektor ${\displaystyle d\mathbf {F} /dA\,\!}$ definisan je kao vektor napona ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}\,\!}$ u tački ${\displaystyle P\,\!}$ u ravni sa vektorom normale ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$:

${\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta A}}={dF_{i} \over dA}\,\!}$

Ova jednačina pokazuje da vektor napona zavisi od lokacije u telu i orijentacije ravni na kojoj deluje sila.

Po trećem Njutnovom zakonu kretanja, vektori napona, koji deluju na suprotnim stranama iste površi, imaju isti intenzitet i suprotan smer. Dakle,

${\displaystyle -\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}\,\!}$

napon je, u svakoj tački tela, definisan vektorom napona ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!}$ koji je u vezi sa svim ravnima koje prolaze kroz posmatranu tačku (neodređen broj ravni). Međutim, prema Košijevoj teoremi, vektor napona u bilo kojoj ravni, koja prolazi kroz posmatranu tačku, može se odrediti pomoću jednačina transformacije koordinata, ako su poznati vektori napona u tri međusobno upravne ravni.

U zavisnosti od orijentacije posmatrane ravni, vektor napona ne mora biti normalan na tu ravan, i može biti razložen u dve komponente:

• jednu, normalnu u odnosu na ravan, koja se naziva normalni napon, ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$:

${\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta A}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dA}}\,\!}$

gde je ${\displaystyle dF_{\mathrm {n} }\,\!}$ normalna komponenta sile ${\displaystyle d\mathbf {F} \,\!}$ koja deluje na diferencijabilnu površinu ${\displaystyle dA\,\!}$

• i drugu, paralelnu ovoj ravni, koja se naziva napon smicanja, ${\displaystyle \tau \,\!}$:

${\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta A}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dA}}\,\!}$

gde je ${\displaystyle dF_{\mathrm {s} }\,\!}$ tangencijalna komponenta sile ${\displaystyle d\mathbf {F} \,\!}$ koja deluje na diferencijabilnu površinu ${\displaystyle dA\,\!}$. napon smicanja može se dalje razložiti na dve normalne komponente.

Pretpostavljajući da je element materijala (slika 5) paralelan sa ravnima koje grade koordinatne ose Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema, vektori napona u svakoj ravni, tj. ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,\!}$, ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,\!}$ i ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,\!}$, mogu se razložiti u jednu normalnu i dve smičuće komponente, tj. komponente koje su paralelne trima koordinatnim osama. U slučaju kada je površ sa normalnim jediničnim vektorom orijentisana u smeru ${\displaystyle x_{1}\,\!}$-ose normalni napon je obeležen sa ${\displaystyle \sigma _{11}\,\!}$, a dve smičuće komponente sa ${\displaystyle \tau _{12}\,\!}$ i ${\displaystyle \tau _{13}\,\!}$:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3}\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3}\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3}\,\!}$

Prethodne tri jednačine se, preko indeksa, mogu zapisati kao:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\,\!}$.

Devet komponenata ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$ vektora napona su komponente Dekartovog tenzora drugog reda, koji se naziva Košijev tenzor napona. Ovaj tenzor u potpunosti definiše napon u bilo kojoj tački prostora, i dat je kao:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]\,\!}$

gde su:

${\displaystyle \sigma _{11}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{22}\,\!}$, i ${\displaystyle \sigma _{33}\,\!}$ glavne komponente napona, a

${\displaystyle \sigma _{12}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{13}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{21}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{23}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{31}\,\!}$, i ${\displaystyle \sigma _{32}\,\!}$ su smičuće komponente napona.

Prvi indeks ${\displaystyle i\,\!}$ pokazuje da napon deluje u ravni, koja je normalna na osu ${\displaystyle x_{i}\,\!}$, dok drugi indeks ${\displaystyle j\,\!}$ ukazuje na pravac u kome deluje napon. Komponenta napona je pozitivna ako deluje u pozitivnom delu koordinatne ose, i ako vektor normale ravni, u kojoj deluje napon, ima smer kao i pozitivni deo koordinatne ose.

Vojtovo obeležavanje Košijevog tenzora napona koristi svojstvo simetričnosti tenzora napona, da bi se napon izrazio kao vektor u šestoj dimenziji, u obliku:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{T}\\&\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{31}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{T}\end{aligned}}\,\!}$.

Vojtovo obeležavanje koristi se posebno prilikom prikaza veze između napona i istezanja u mehanici čvrstih tela, i prilikom proračunama u softverima koji se primenjuju u strukturnoj mehanici.

Vektor napona ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!}$ u nekoj tački ravni, čiji je vektor normale ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$, može se izraziti kao funkcija vektora napona u ravnima koje su normalne sa koordinatnim osama, tj. preko komponenata tenzora napona ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$. U tenzorskoj formi, ovo će biti:

${\displaystyle T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}\,\!}$.

Da bi se dokazao izraz, mora se posmatrati tetraedar čije su tri ravni orijentisane u pravcu koordinatnih osa i sa infinitezimalnom površinom ${\displaystyle dA\,\!}$ orijentisanom u pravcu vektora normale ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$ (slika 7). Vektor napona u ovoj ravni određen je sa ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!}$. Vektori napona koji deluju u ravnima tetraedra, označeni su sa ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,\!}$, ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,\!}$ i ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,\!}$, i po definiciji su komponente tenzora napona ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$. Ovaj tetraedar se naziva i Košijev tetraedar. Iz ravnoteže sila, tj. Njutnovih zakona kretanja, imamo:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}ds\right)\mathbf {a} \,\!}$

gde desna strana jednačine predstavlja produkt mase unutar tetraedra i njeno ubrzanje: ${\displaystyle \rho \,\!}$ je gustina, ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ je ubrzanje, ${\displaystyle h\,\!}$ je visina tetraedra, kada se ravan ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$ posmatra kao baza. Površine strana tetraedra, koje su normalne na koordinatne ose, mogu se izračunati projektovanjem ${\displaystyle dA\,\!}$ na svaku stranu:

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}dA\,\!}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}dA\,\!}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}dA\,\!}$

i

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}{\frac {ds}{dA}}\right)\mathbf {a} \,\!}$

Ovde je ${\displaystyle dA\,\!}$ proporcionalno kvadratu linearne dimenzije tetraedra, a ${\displaystyle h\ ds\,}$ trećem stepenu. Dakle, u slučaju kada tetraedar teži tački, RHS prethodne jednačine teži nuli, pa je:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}\,\!}$

ili, što je ekvivalentno:

${\displaystyle T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}\,\!}$

U matričnoj formi, ovo je jednako:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(n)}&T_{2}^{(n)}&T_{3}^{(n)}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\,\!}$

Ova jednačina prikazuje komponente vektora napona, koji deluje na proizvoljnoj ravni sa vektorom normale ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$ u određenoj tački, u kojoj su određene i komponente tenzora napona, ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$.

Može se pokazati da je tenzor napona tenzor drugog reda, i u toku transformacija različitih koordinatnih sistema, ponaša se na isti način kao i tenzor drugog reda. Prilikom transformacije sistema ${\displaystyle x_{i}\,\!}$ u sistem ${\displaystyle x_{i}^{'}\,\!}$, komponente ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$ iz inicijalnog sistema se transformišu u komponente ${\displaystyle \sigma _{ij}^{'}\,\!}$ u novom sistemu, prema pravilu transformacije tenzora (slika 8):

${\displaystyle \sigma _{ij}^{'}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T}\,\!}$

gde je ${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$ matrica rotacije sa komponentama ${\displaystyle a_{ij}\,\!}$. U matričnom obliku, ovo je jednako:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}^{'}&\sigma _{12}^{'}&\sigma _{13}^{'}\\\sigma _{21}^{'}&\sigma _{22}^{'}&\sigma _{23}^{'}\\\sigma _{31}^{'}&\sigma _{32}^{'}&\sigma _{33}^{'}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\,\!}$

Proširivanjem matrične operacije i pojednostavljenjem nekih uslova, uzimanjem pravila o simetriji tenzora napona, dobija se:

${\displaystyle \sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{33}'=a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{12}'=a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{23}'=a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{13}'=a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}\,\!}$

Grafička predstava ovih transformacija napona, za dvodimenzionalni ravanski napon i ravanski napon i uopšteni trodimenzionalni napon, su Morovi krugovi za napon.

Intenzitet normalne komponente napona, ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$, bilo kog vektora napona ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!}$, koji deluje na proizvoljnoj ravni sa vektorom normale ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$, u određenoj tački u kojoj deluje i komponenta tenzora napona ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$, je skalarni proizvod vektora napona i vektora normale, dakle:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} \\&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\end{aligned}}\,\!}$

Intenzitet smičuće komponente napona, ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$, koja deluje u ravni koju određuju dva vektora, ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!}$ i ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$, se može odrediti primenom Pitagorine teoreme, odnosno:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(n)}\right)^{2}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\\end{aligned}}\,\!}$

gde je ${\displaystyle \left(T^{(n)}\right)^{2}=T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}\,\!}$

Kada je telo u ravnoteži, komponente tenzora napona u svakoj tački tela zadovoljavaju jednačine ravnoteže,

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0\,\!}$

Izvođenje jednačina ravnoteže

Posmatra se kontinuirano telo (slika 9) koje ima zapreminu ${\displaystyle V\,\!}$, i površinu ${\displaystyle S\,\!}$, sa određenim površinskim silama ${\displaystyle T_{i}^{(n)}\,\!}$ koje deluju u svakoj tački površi tela, i zapreminske sile ${\displaystyle F_{i}\,\!}$ po jedinici zapremine u svakoj tački koja se nalazi unutar zapremine ${\displaystyle V\,\!}$. Dakle, ako je telo u ravnoteži, rezultantna sila koja deluje po zapremini je nula, pa je: ${\displaystyle \int _{S}T_{i}^{(n)}dS+\int _{V}F_{i}dV=0\,\!}$ Po definiciji, vektor napona je ${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ji}n_{j}\,\!}$, pa je ${\displaystyle \int _{S}\sigma _{ji}n_{j}\,dS+\int _{V}F_{i}\,dV=0\,\!}$ Ako se iskoristi Gausova teorema divergencije, površinski integral se može prevesti u zapreminski integral: ${\displaystyle \int _{V}\sigma _{ji,j}\,dV+\int _{V}F_{i}\,dV=0\,\!}$ ${\displaystyle \int _{V}\sigma _{ji,j}+F_{i}\,dV=0\,\!}$ Za proizvoljnu zapreminu integrand nestaje, pa se dobijaju jednačine ravnoteže: ${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0\,\!}$

U isto vreme, da bi se održala ravnoteža, zbir svih momenata u proizvoljnoj tački mora biti jednak nuli, što znači da je tenzor napona simetričan, tj.

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!}$

Izvođenje zakona simetrije tenzora napona

Kada se sumiraju momenti oko tačke O (slika 9), rezultantni moment je jedak nuli, i telo je u ravnoteži. Dakle, ${\displaystyle {\begin{aligned}M_{O}&=\int _{S}(\mathbf {r} \times \mathbf {T} )dS+\int _{V}(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )dV=0\\0&=\int _{S}\varepsilon _{ijk}x_{j}T_{k}^{(n)}dS+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}dV\\\end{aligned}}\,\!}$ gde je ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ vektor pozicije, i izražen je kao ${\displaystyle \mathbf {r} =x_{j}\mathbf {e} _{j}\,\!}$ Ako se zna da je ${\displaystyle T_{k}^{(n)}=\sigma _{mk}n_{m}\,\!}$ i primenom Gausove teoreme divergencije, površinski integral može se prevesti u zapreminski, pa je ${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{S}\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk}n_{m}\,dS+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk})_{,m}dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j,m}\sigma _{mk}+\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk,m})dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j,m}\sigma _{mk})dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}(\sigma _{mk,m}+F_{k})dV\\\end{aligned}}\,\!}$ Drugi integral je jedak nuli, ako sadrži jednačine ravnoteže. Time se izostavlja prvi integral, pa je ${\displaystyle x_{j,m}=\delta _{jm}\,\!}$, therefore ${\displaystyle \int _{V}(\varepsilon _{ijk}\sigma _{jk})dV=0\,\!}$ Za proizvoljnu zapreminu V, dobija se: ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\sigma _{jk}=0\,\!}$ koja je zadovoljena u svakoj tački unutar tela. Proširenjem ove jednačine, dobija se ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}\,\!}$, ${\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}\,\!}$, and ${\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}\,\!}$ ili u opštem slučaju ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!}$ Ovim se dokazuje da je tenzor napona simetričan.

Međutim, kada na telo deluju dva napona, tj. dva momenta po jediničnoj zapremini, tenzor napona neće biti simetričan. Ovo se takođe događa kada Knudsenov broj teži jedinici, ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1\,\!}$, ili je kontunuum ne-Njutnov fluid, koji može dovesti do rotacije ne-invarijantnih fluida, kakvi su polimeri.

U svakoj tački tela, koje je izloženo naponu, postoje najmanje tri ravni, koje se nazivaju glavne ravni, sa vektorima normale ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$, koji se nazivaju glavni pravci. Odgovarajući vektor napona je normalan u odnosu na ravan, tj. paralelan je vektoru normale ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$, ili ima isti pravac kao on. U glavnim ravnima ne postoje komponente smičućeg napona, ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$. Normale na ove tri ravni nazivaju se glavne komponente napona.

Komponente ${\displaystyle \sigma _{ij}\,\!}$ tenzora napona zavise od orijentacije koordinatnog sistema u tački posmatranja. Međutim, sam tenzor napona je fizička veličina, i kao takav od koordinatnog sistema u kome je predstavljen. Postoje određene invarijante vezane za svaki tenzor koji je takođe nezavistan od koordinatnog sistema. Na primer, vektor je jednostavan tenzor prvog stepena. U trećoj dimenziji on ima tri komponente. Vrednost ovih komponenata zavisiće od koordinatnog sistema u kome je vektor predstavljen, ali je dužina vektora fizička veličina (skalar) i nezavisna je od izbora koordinatnog sistema.