Десятичная дробь

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

${\displaystyle \pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0}{,}d_{-1}d_{-2}\ldots }$

где

${\displaystyle \pm }$ — знак дроби: либо ${\displaystyle +}$, либо ${\displaystyle -}$,

${\displaystyle ,}$ — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (стандарт стран СНГ)^[1],

${\displaystyle d_{k}}$ — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:

• ${\displaystyle 123{,}45}$ (конечная десятичная дробь)
• Представление числа ${\displaystyle \pi }$ в виде бесконечной десятичной дроби: ${\displaystyle 3{,}1415926535897...}$

Значением десятичной дроби ${\displaystyle \pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{-1}d_{-2}\ldots }$ является действительное число

${\displaystyle \pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{-1}\cdot 10^{-1}+d_{-2}\cdot 10^{-2}+\ldots \right),}$

равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид

${\displaystyle \pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},}$

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

${\displaystyle \pm a_{0}{,}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}$

В соответствии с определением эта дробь представляет число

${\displaystyle \pm \sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot 10^{-k}}$

Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида ${\displaystyle p/10^{s}}$, знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида ${\displaystyle p/10^{s}}$, где ${\displaystyle p}$ — целое, а ${\displaystyle s}$ — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь ${\displaystyle p/10^{s}}$ привести к несократимому виду, её знаменатель будет иметь вид ${\displaystyle 2^{m}5^{n}}$. Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.

Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью ${\displaystyle p/q}$ знаменатель ${\displaystyle q}$ не имеет простых делителей, отличных от ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 5}$.

Бесконечная десятичная дробь

${\displaystyle \pm a_{0}{,}a_{1}a_{2}\ldots }$

представляет, согласно определению, действительное число

${\displaystyle \pm \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\cdot 10^{-k}}$

Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное ${\displaystyle a_{0}}$ и десятичные цифры ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$. Это предложение вытекает из того факта, что последовательность его частичных сумм (если отбросить знак дроби) ограничена сверху числом ${\displaystyle a_{0}+1}$ (см. критерий сходимости знакоположительных рядов).

Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:

1. Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
2. Единственно ли такое представление?
3. Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?

Эти вопросы освещаются ниже.

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу ${\displaystyle \alpha }$ десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай ${\displaystyle \alpha \geqslant 0}$. Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок ${\displaystyle I_{0}}$, который содержит точку ${\displaystyle \alpha }$; в частном случае, когда точка ${\displaystyle \alpha }$ является концом двух соседних отрезков, в качестве ${\displaystyle I_{0}}$ выберем правый отрезок.

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка ${\displaystyle I_{0}}$, через ${\displaystyle a_{0}}$, то можно записать:

${\displaystyle I_{0}=[a_{0}\,;\,a_{0}+1]}$

На следующем шаге разделим отрезок ${\displaystyle I_{0}}$ на десять равных частей точками

${\displaystyle a_{0}+b/10,\;b=1,\ldots ,9}$

и рассмотрим тот из отрезков длины ${\displaystyle 1/10}$, на котором лежит точка ${\displaystyle \alpha }$; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Обозначим этот отрезок ${\displaystyle I_{1}}$. Он имеет вид:

${\displaystyle I_{1}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}+1}{10}}\right]}$

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки ${\displaystyle \alpha }$.

На очередном шаге, имея отрезок ${\displaystyle I_{n-1}}$, содержащий точку ${\displaystyle \alpha }$, мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок ${\displaystyle I_{n}}$, на котором лежит точка ${\displaystyle \alpha }$; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков ${\displaystyle I_{0},I_{1},\ldots }$ вида

${\displaystyle I_{n}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+{\frac {1}{10^{n}}}\right]}$

где ${\displaystyle a_{0}}$ — целое неотрицательное, а ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ — целые числа, удовлетворяющие неравенству ${\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant 9}$.

Построенная последовательность отрезков ${\displaystyle I_{0},I_{1},\ldots }$ обладает следующими свойствами:

• Отрезки последовательно вложены друг в друга: ${\displaystyle I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots }$
• Длина отрезков ${\displaystyle |I_{n}|=10^{-n},\;n=0,1,2,\ldots }$
• Точка ${\displaystyle \alpha }$ принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что ${\displaystyle I_{0},I_{1},\ldots }$ есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при ${\displaystyle n\to \infty }$, а точка ${\displaystyle \alpha }$ есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке ${\displaystyle \alpha }$ (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

${\displaystyle a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\to \alpha }$ при ${\displaystyle n\to \infty }$

Это значит, что ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\cdot 10^{-k}}$

сходится к числу ${\displaystyle \alpha }$, и таким образом, десятичная дробь

${\displaystyle a_{0}{,}a_{1}a_{2}\ldots }$

является представлением числа ${\displaystyle \alpha }$. Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа ${\displaystyle \alpha }$ в десятичную дробь.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид

${\displaystyle a_{0}{,}a_{1}\ldots a_{n}000\ldots }$

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка ${\displaystyle \alpha }$ совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\cdot 10^{-k}}$

нулевые слагаемые, получим, что число ${\displaystyle \alpha }$ также может быть представлено конечной десятичной дробью

${\displaystyle a_{0}{,}a_{1}\ldots a_{n}}$

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число ${\displaystyle \alpha }$ может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного ${\displaystyle \alpha }$. В случае отрицательного ${\displaystyle \alpha }$, в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое ${\displaystyle a_{0}}$, такое, что действительное число ${\displaystyle \alpha }$ находится между ${\displaystyle a_{0}}$ и следующим целым ${\displaystyle a_{0}+1}$:

${\displaystyle a_{0}\leqslant \alpha <a_{0}+1,\;a_{0}\in \mathbb {Z} }$

Однако существование такого целого числа ${\displaystyle a_{0}}$ надо ещё доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое ${\displaystyle n}$, всегда имеет место неравенство ${\displaystyle n\leqslant \alpha }$. Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа ${\displaystyle a_{0}}$ не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число ${\displaystyle \alpha }$, всегда найдётся целое ${\displaystyle n}$ такое, что ${\displaystyle n>\alpha }$. Теперь среди чисел ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ возьмём наименьшее, обладающее свойством ${\displaystyle k>\alpha }$. Тогда

${\displaystyle k-1\leqslant \alpha <k}$

Искомое число найдено: ${\displaystyle a_{0}=k-1}$.

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности ${\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2},\ldots }$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }10^{-n}=0}$

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }10^{n}=\infty }$

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число ${\displaystyle E>0}$, последовательность натуральных чисел ${\displaystyle 1,2,\ldots }$ превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого ${\displaystyle n}$ имеет место неравенство

${\displaystyle 10^{n}>n}$

то последовательность ${\displaystyle 10^{n}}$ также превзойдёт ${\displaystyle E}$, начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }10^{n}=\infty }$.

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа ${\displaystyle \alpha }$ построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число ${\displaystyle \alpha }$ может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь

${\displaystyle 0{,}99\ldots }$

Согласно определению, эта дробь является представлением числа ${\displaystyle 0+9/10+9/100+\ldots =1}$. Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби ${\displaystyle 1{,}00\ldots }$. В самом деле, вещественные числа ${\displaystyle a,b}$ различны тогда и только тогда, когда между ними можно вставить ещё одно вещественное число, не совпадающее с самими ${\displaystyle a,b.}$ Но между ${\displaystyle 0{,}99\ldots }$ и ${\displaystyle 1{,}00\ldots }$ никакого третьего числа вставить нельзя.

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

${\displaystyle \pm a_{0}{,}a_{1}\ldots a_{n-1}a_{n}999\ldots }$

и

${\displaystyle \pm a_{0}{,}a_{1}\ldots a_{n-1}(a_{n}+1)000}$

где ${\displaystyle a_{n}\neq 9}$, представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей ${\displaystyle +0{,}00\ldots }$ и ${\displaystyle -0{,}00\ldots }$.

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число ${\displaystyle \alpha }$, не представимое в виде ${\displaystyle p/10^{s}}$, где ${\displaystyle p}$ — целое, ${\displaystyle s}$ — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида ${\displaystyle \alpha =p/10^{s}}$ может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если ${\displaystyle \alpha \neq 0}$, то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на ${\displaystyle 999\ldots }$. Число ${\displaystyle \alpha =0}$ может быть представлено дробями вида ${\displaystyle +0{,}00\ldots }$, а также дробями вида ${\displaystyle -0{,}00\ldots }$.

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на ${\displaystyle 999\ldots }$, получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

С точки зрения приближённых вычислений, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна половине единицы последнего выписанного разряда, т.е. число получено в соответствии с правилами округления^[2]. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна 0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна 0,0005. Другие примеры:

• «25» — абсолютная погрешность равна 0,5 (также такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
• «2,50∙10⁴» — абсолютная погрешность равна 50;
• «25,00» — абсолютная погрешность равна 0,005.

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

${\displaystyle \pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}} \underbrace {b_{1}\ldots b_{l}} \ldots }$

Такую дробь принято кратко записывать в виде

${\displaystyle \pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})}$

Повторяющаяся группа цифр ${\displaystyle b_{1}\ldots b_{l}}$ называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь ${\displaystyle 1{,}(23)=1{,}2323\ldots }$ является чистой периодической, а дробь ${\displaystyle 0{,}1(23)=0{,}12323\ldots }$ — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби ${\displaystyle p/q}$ знаменатель ${\displaystyle q}$ не имеет простых делителей ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 5}$, а также рациональным числам ${\displaystyle p/q}$, у которых знаменатель ${\displaystyle q}$ имеет только простые делители ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 5}$. Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям ${\displaystyle p/q}$, знаменатель ${\displaystyle q}$ которых имеет как простые делители ${\displaystyle 2}$ или ${\displaystyle 5}$, так и отличные от них.

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь ${\displaystyle x=0{,}(1998)}$ с периодом 4. Заметим, что домножив её на ${\displaystyle 10^{4}=10000}$, получим большую дробь ${\displaystyle 10000x=1998{,}(1998)}$ с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть (${\displaystyle 1998}$), на которую увеличилась дробь после её умножения, получаем исходную дробь (${\displaystyle x}$)^[3]:
${\displaystyle 10000x-1998=x}$
${\displaystyle \Rightarrow }$
${\displaystyle 10000x-x=1998}$
${\displaystyle \Rightarrow }$
${\displaystyle x={\frac {1998}{9999}}={\frac {222}{1111}}}$

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т.д.).

Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.

Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи. Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.

Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять — сорок пять).

Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде. Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную^[4].

Тимуридский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше^[5].

В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. Но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585)^[6].

• Десятичный разделитель
• Десятичная система счисления
• Обыкновенная дробь
• Непрерывная дробь

• ЕГЭ математика. Периодическая дробь
• Задачи по теме «обыкновенные и десятичные дроби»
• Семёнова Л. Периодические дроби.