Тетраэдральное число: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Aikr (обсуждение | вклад) →Формула: уточнил про треугольник Паскаля |
|||
Строка 11: | Строка 11: | ||
Также формула может быть выражена через [[Биномиальный коэффициент|биномиальные коэффициенты]]: |
Также формула может быть выражена через [[Биномиальный коэффициент|биномиальные коэффициенты]]: |
||
: <math>T_n=\binom{n+2}{3}.</math> |
: <math>T_n=\binom{n+2}{3}.</math> |
||
Тетраэдрические числа находятся на 4-й позиции в [[Треугольник Паскаля|треугольнике Паскаля]]. |
Тетраэдрические числа находятся на 4-й позиции каждой строки в [[Треугольник Паскаля|треугольнике Паскаля]]. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
Версия от 20:07, 11 сентября 2018
Тетраэдрические числа — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит треугольник.
Пример нескольких первых тетраэдрических чисел:
- 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS).
Формула
Формула для -го тетраэдрического числа:
Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:
Тетраэдрические числа находятся на 4-й позиции каждой строки в треугольнике Паскаля.
Свойства
- n-е тетраэдрическое число представляет собой сумму первых n треугольных чисел.
- Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами:
- T1 = 12 = 1,
- T2 = 22 = 4,
- T48 = 1402 = 19 600.
- Пять чисел являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):
- Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
- Можно заметить, что:
- T5 = T4 + T3 + T2 + T1.
- Бесконечная сумма обратных величин к тетраэдрическим числам равна 3/2, что может быть получено с помощью телескопического ряда:
Многомерное обобщение
В качестве многомерного обобщения треугольных и тетраэдрических чисел может рассматриваться количество -мерных сфер, которые могут быть упакованы в -мерный симплекс. Для -мерного пространства -е число может быть вычислено по следующей формуле:
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
- On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà