Тетраэдральное число: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Stannic (обсуждение | вклад) оформление, викификация |
Stannic (обсуждение | вклад) →Свойства: оформление, викификация |
||
Строка 14: | Строка 14: | ||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
* |
* {{mvar|n}}-е тетраэдрическое число представляет собой сумму первых {{mvar|n}} [[Треугольное число|треугольных чисел]]. |
||
* Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами: |
* Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами: |
||
*: ''T''<sub>1</sub> = 1 |
*: ''T''<sub>1</sub> = {{power|1|2}} = 1, |
||
*: ''T''<sub>2</sub> = 2 |
*: ''T''<sub>2</sub> = {{power|2|2}} = 4, |
||
*: ''T''<sub>48</sub> = 140 |
*: ''T''<sub>48</sub> = {{power|{{num1|140}}|2}} = {{num1|link=nrl|19600}}. |
||
* Пять чисел являются треугольными |
* Пять чисел являются треугольными<ref>{{OEIS long|A027568}}</ref>: |
||
*: ''Te''<sub>1</sub> = ''Tr''<sub>1</sub> = 1 |
*: ''Te''<sub>1</sub> = ''Tr''<sub>1</sub> = 1, |
||
*: ''Te''<sub>3</sub> = ''Tr''<sub>4</sub> = 10 |
*: ''Te''<sub>3</sub> = ''Tr''<sub>4</sub> = {{num1|10}}, |
||
*: ''Te''<sub>8</sub> = ''Tr''<sub>15</sub> = 120 |
*: ''Te''<sub>8</sub> = ''Tr''<sub>15</sub> = {{num1|120}}, |
||
*: ''Te''<sub>20</sub> = ''Tr''<sub>55</sub> = 1540 |
*: ''Te''<sub>20</sub> = ''Tr''<sub>55</sub> = {{num1|link=nrl|1540}}, |
||
*: ''Te''<sub>34</sub> = ''Tr''<sub>119</sub> = 7140 |
*: ''Te''<sub>34</sub> = ''Tr''<sub>119</sub> = {{num1|link=nrl|7140}}. |
||
* Единственным пирамидальным числом, которое одновременно [[квадратное число|квадратное]] и [[кубическое число|кубическое]], является число 1. |
* Единственным пирамидальным числом, которое одновременно [[квадратное число|квадратное]] и [[кубическое число|кубическое]], является число 1. |
||
* Можно заметить, что: |
* Можно заметить, что: |
Версия от 13:26, 10 ноября 2015
Тетраэдрические числа — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит треугольник.
Пример нескольких первых тетраэдрических чисел[1]:
Формула
Формула для -го тетраэдрического числа:
Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:
Тетраэдрические числа находятся на 4-й позиции в треугольнике Паскаля.
Свойства
- n-е тетраэдрическое число представляет собой сумму первых n треугольных чисел.
- Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами:
- T1 = 12 = 1,
- T2 = 22 = 4,
- T48 = 1402 = 19 600.
- Пять чисел являются треугольными[2]:
- Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
- Можно заметить, что:
- T5 = T4 + T3 + T2 + T1.
- Бесконечная сумма обратных величин к тетраэдрическим числам равна 3/2, что может быть получено с помощью телескопического ряда:
Многомерное обобщение
В качестве многомерного обобщения треугольных и тетраэдрических чисел может рассматриваться количество -мерных сфер, которые могут быть упакованы в -мерный симплекс. Для -мерного пространства -е число может быть вычислено по следующей формуле:
Примечания
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
- On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà